Cách dựng chung - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến xem chủ đề 1 - Mỗi khoảng ta đều thu được một hàm tương ứng Dựng đồ thị theo từng khoảng đang xét...[r]
(1)chủ đề i: giải phương trình và hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối I các kiến thức cần lưu ý A(x) A(x) 1.1 A(x) = ( A(x) là biểu thức đại số) -A(x) A(x) < 1.2 Định lí dấu nhị thức bậc ax + b (a 0) Nhị thức bậc ax + b (a 0) sẽ: + Cùng dấu với a với các giá trị nhị thức lớn nghiệm nhị thức + Trái dấu với a với các giá trị nhị thức nhỏ nghiệm nhị thức Giả sử x0 là nghiệm nhị thức ax + b đó: + Nhị thức cùng dấu với a x > x0 + Nhị thức trái dấu với a x < x0 1.3 Định lí dấu tam thức bậc hai Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0) - Nếu < 0, thì f(x) cùng dấu với a x - Nếu thì: + f(x) cùng dấu với a x nằm ngoài khoảng hai nghiệm + f(x) trái dấu với a x nằm khoảng hai nghiệm Hay - Nếu < a.f(x) > x - Nếu f(x) có hai nghiệm x1 x2 x1 < x < x2 a.f(x) < x x1 x x2 a.f(x) > Nhận xét: Giả trị tuyệt đối biểu thức banừg chính nó( biểu thức không âm) biểu thức đối nó( biểu thức âm) Vì khử dấu giá tị tuyệt đối biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối biến làm cho biểu thức dương hay âm( dựa vào định lí dấu nhị thức bậc định lí dấu tam thức bậc hai) Dấu biểu thức thường viết bảng xét dấu x x 2.2 Rút gọn biểu thức B = Thật x Với x-1 0 hay x 1thì =x-1 x Với x-1<0 hay x<1thì = -(x-1)=1-x x Với x-5 0 hay x 5 thì = x+5 x Với x-5<0 hay x<5 thì =-(x-5) =5-x áp dụng định lý dấu nhị thức bậc bậc ta có bảng xét dấu sau: X x-1 - + + x-5 + Từ bảng xét dấu ta xét ba trường hợp ứng với ba khoảng biến x x x Nếu x<1 thì B = =1-x-( 5-x) =1-x-5+x (2) =-4 x x Nếu x<5 thì B = =(x-1)-(5-x) =x-1-5+x =2x-6 x x Nếu x 5 thì B = =(x-1)-(x-5) =x-1-x+5 = 2.2 Rút gọn biểu thức B = |x2 - 4x + 3|-5 Thật vậy: Xét tam thức bậc hai: f(x) = x2 – 4x + f(x) có ' = -3 = > x1 = 1; x2 = Với < x < 1.f(x) < f(x) < Với x x 4f(x) > f(x) > Vậy ta xét hai trường hợp ứng với ba khoảng biến Với < x < thì B = -(x2 - 4x + 3) - = - x2 + 4x - - = - x2 + 4x - Với x x thì B = ( x2 - 4x + 3) - = x2 - 4x + - = x2 - 4x - x x 3 x 2.3 Giải phương trình Thật vậy: áp dụng định lí dấu nhị thức bậc và lập bảng, ta xét trường hợp ứng với khoảng + Nếu x < ta phương trình: - x + - x = 3x + - 2x = 3x + 5x = x = 2/5 < ( là nghiệm) + Nếu x < ta phương trình: x -1 + ( - x) = 3x + x = [1, 2] ( không là nghiệm) + Nếu x ta đựoc phương trình: x - + x - = 3x + x = - < ( không là nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x = 2/5 x 5 2.4 Giải phương trình Thật vậy: áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có: x 5(1) x 5 x 5(2) x 6(1' ) x 5 x 6 x 6(2' ) Giải 1: x 6 x 8 x 8 Giải 1': ( là nghiệm) (3) Giải 2': x x x không có giá trị x x Giải 2: ( không có nghĩa) Vậy phương trình có hai ngiệm: x = x = -8 x y 1 x y y 3 2.5 Giải hệ phương trình Thật vậy: Phương trình thứ đưa đến tập hợp hai phương trình: x y 1 y x 1(1) x y hay y x 1(2) Việc phân tích phương trình thứ hai đưa đến tập hợp phương trình theo các khoảng xác định y 3 x Theo dạng phương trình thứ ta thấy dễ dàng là và , từ đó - x 4 và -1 y Với - x ta có: Với -1 y 2, - x + - y = hay là x + y = (I) Với y 5, - x + y - = hay là y - x = (II) Với x ta có : Với -1 y 2, x -1 + - y = hay là x - y = (III) Với y 5, x -1 + y - = hay là x + y = (IV) Giải hệ phương trình bậc nhất: x y 1 1 x ; y 2 , đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định Hệ (1; I) x y 0 x y 1 Hệ (1; II) y x 4 không có nghiệm x y 1 Hệ (1; III) x y 2 không có nghiệm x y 1 x ; y 2 đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định Hệ (1; IV) x y 6 x y 1 x ; y 2 đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định Hệ (2; I) x y 0 x y Hệ (2; II) y x 4 không có nghiệm x y Hệ (2; III) x y 2 không có nghiệm x y x ;y 2 , đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định Hệ (2; IV) x y 6 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x1 = 1/2; y1 = -1/2 x2 = 7/2; y2 = 5/2 x3 = -1/2; y3 = 1/2 x4 = 5/2; y4 = 7/2 (4) Bài tập luyện tập Bài 10: Tìm x các biểu thức x 1 x 1 a) x x 1 d) x x 0 c) b) Bài 11: Tìm x các biểu thức x 2 a) x ( x 3) b) x 1 x 2 c) x x x 4 d) f) g) h) x x x 0 x x x x x 3 x 1 e) f) g) h) x x 3 x x x x x x x 0 Bài 12: với giá trị nào a, b ta có đẳng thức: a (b 2) a(2 b) a b a b Bài 13: Tìm các số a, b cho: Bài 14: Giải các hệ phương trình sau 3 x y 0 x y 2 x y 3 2 x y 0 a) c) x y 2 x y 4 x y 4 x y 5 b) d) x x x x 3 Bài 15: Giải phương tình sau: Bài 16: Tìm x x a x 2a 3a ( a là số) chủ đề II: giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối x x 1 2.3 Giải bất phương trình: Thật vậy: x x 1 x x 1 x2-2x-2 1 và x2-2x-2 -1 2 Từ x x 1 x x 0 Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai -1 x 2 Từ x x x x 0 (5) x 1 x 1 Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai Kết hợp lại ta các nghiệm hệ là: x 1 ; x 3 x2 x 2 2.4 Giải bất phương trình: Thật vậy: TXĐ: x 1 x2 x 2 x2 x x Cách 1: x 2 x2 x2 4 x 2 0 0 x 4 x x x + Với x2 x2 3x 2 20 x 1 x x x + Với Vậy bất phương trình có ngiệm: x 4; 0<x<1 Cách 2: Theo định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối, ta có: x2 x2 2 2 x2 2x x x x2 2x 0 áp dụng định lí và dấu nhị thức, ta xét trường hợp: + Nếu x -2 thì - x- -2(1 - x) > x > > -2 ( không là nghiệm) + Nếu -2 x < thì x + - 2(1 - x) > 3x > x > Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: < x < + Nếu x > thì x + - 2(x - 1) > x < Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: < x < Vậy bất phương trình có ngiệm: x 4; 0<x<1 Cách 3: Theo định nghĩa và tính chất giá trị tuyệt đối, ta có: x2 x2 2 2 x2 2x x x (x + 2)2 > 4(x - 1)2 x2 4x + > 4(x2 - 2x + 1) 3x2 - 12x < 3x( x - 4) < 0<x<4 Kết hợp với TXĐ < x < 4; 0<x<1 Bài 19: Tìm x các bất đẳng thức x x2 b) (6) x 1 x c) x x 1 d) Bài 20: Tìm x các bất đẳng thức x2 1 x2 a) 2x 2 b) x x x x 10 c) d) e) f) x4187 x 2x 1 x 5x x Chủ đề III: đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối I Đồ thị hàm số y = f(|x|) 1.1 Kiến thức cần lưu ý: x x x Ta thấy f( ) = f( ) Do đó hàm số y = f( )là hàm chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy Cách dựng : - Dựng đồ thị hàm số y = f(x) x > - Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy 1.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - Thật vậy: Đồ thị hàm số y = 2x - với x = y = (1, 0) thuộc đồ thị với x = y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị y x O -1 -2 Hình (7) Phần đồ thị in đậm( Hình 6) là đồ thị hàm số y = 2|x| - II đồ thị hàm số y = |f(x)| 2.1 Kiến thức càn lưu ý Nhận xét f(x) với f(x) y= -f(x) với f(x) < Cách dựng: - Dựng đồ thị hàm số y = f(x) - Phần đồ thị nằm mặt phẳng Ox nghĩa là f(x) < ta dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua Ox * Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k xem đồ thị hàm số y = |f(x)|tịnh tiến theo đường thẳng đứng đoạn bằn k ( k là số thực) 2.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2| Đồ thị hàm số y = x - x = y = -2 ( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số x = y = -1 (1, -1) thuộc đồ thị hàm số y O x -1 -2 Hình Phần đồ thị in đậm ( hình 7) là đồ thị hàm số y = |x - 2| III đồ thị hàm số y = |f(|x|)| (8) 3.1 Kiến thức cần lưu ý Ta có: f(|x|) với f(|x|) y = |f(|x|)|= - f(|x|) với f(|x|) < Cách dựng a) Dựng đồ thị hàm số y = |f(|x|)| + Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > + Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy b) Phần đồ thị nằm mặt phẳng Ox nghiã là f(|x|) < ta dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox ( Hay biến đổi các phần đồ thị nằm nửa mặt phẳng nên nửa mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox) 3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x|| Thật vậy: Đồ thị hàm số y = 1- x x = y = ( 1, ) thuộc đồ thị hàm số x = y = ( 0, 1) thuộc đò thị hàm số Đồ thị hàm số y = - x với x Đồ thị hàm số y = - |x| y Đồ thịi hàm số y = |1 - |x|| y y x O -1 O x -1 O a) b) Hình Phần đồ thị in đậm phần b ( hình 8) là đồ thị hàm số y = |1 - |x|| IV Đồ thị |y| = f(x) với f(x) 4.1 Kiến thức cần lưu ý Ta có: y = f(x) với f(x) Cách dựng: - Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x) ( Phần đồ thị hàm số y = f(x) phía trên trục hoành ) - Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu qua trục Ox Ví dụ c) x (9) Dựng đồ thị hàm số Thật vậy: x 1 |y| = x 1 Đồ thị hàm số y= x = y = ( 0; 1) thuộc đồ thị x = -2 y = ( -2; 0) thuộc đồ thị -1 -2 O -1 Hình x 1 Phần đồ thị in đậm ( hình ) là đồ thị hàm số |y| = V Đồ thị hàm số |y| = |f(x)| 5.1 Kiến thức cần lưu ý: Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có: y = |f(x)| Cách dựng: - Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm nửa mặt phẳng trên) - Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu trên qua trục Ox 5.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số |y| = |x - 3| Thật vậy: Đồ thị hàm số y = x - x = y = -3 ( 0; -3) thuộc đồ thị x = y = ( 3; 0) thuộc đồ thị Đồ thị hàm số y = 1- x với y Đồ thị hàm số y = 1- |x| y x O x O a) b) Hình 10 Đồ thị hàm số y = |1- |x|| y x O c) Phần đồ thị in đậm phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số |y| = |x - 3| VI mở rộng Đối với dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối có cách dựng riêng tương ứng với nó Tuy nhiên thực tế có thể có các hàm số giá trị tuyệt đối không dạng nêu trên mà nó là (10) kết hợp nhiều dạng khác Đối với trường hợp này chúng ta có thể dựng hàm số đó cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên, ngoài ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách dựng chung Cách dựng này có thể áp dụng cho tất các dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối Cách dựng chung - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách xét theo khoảng biến ( xem chủ đề 1) - Mỗi khoảng ta thu hàm tương ứng Dựng đồ thị theo khoảng xét Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3| Thật vậy: Xét theo khoảng biến x ta thu được: - 2x x y= x 2x - x Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = 4- 2x với x y = với x y y Đồ thị hàm số y = 2x - với x y 4 2 x O a) x O b) Hình 11 Phần đồ thị in đậm phần c) (hình 11) là đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3| Ví dụ Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2| Thật vậy: -2 - x x -2 Với x 0, y = |-2 - x| = x + x -2 -2 - x x -2 y= x + x -2 x - x Với x 0, y = |x - 2| = - x x x - x y= - x x x O c) (11) Việc dựng đồ thị thực khoảng -2 - x x -2 x + -2 < x y= - x < x x - x > ĐTHS y= -2 -x x -2 ĐTHS y= x + -2 < x ĐTHS y = - x < x 2 ĐTHS y = x - x>2 y y y y O -2 x O -2 a) x x x -2 O -2 O c) d) b) Hình 12 Phần đồ thị in đậm phần d) (hình 12) là đồ thị hàm số: y = ||x| - 2| VIII.bài tập luyện tập Bài 21 Dựng đồ thị các hàm số x2 a) y = b) y = - 1.5|x| c) y = - |x| Bài 22 Dựng đồ thị các hàm số sau: a) y = 2|x - 3| b) y = |x + 2| + c) Y = -|X - 1| Bài 23 Dựng đồ thị các hàm số sau: 1 x a) y = |2|x| - 3| b) y = Bài 24 Dựng đồ thị các hàm số sau: a) |y| = - x b) |y - 1| = x c) |y| = x2 + Bài 25 Dựng đồ thị các hàm số sau: a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| c) |y - 1| = |x - 2| chủ đề IV: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối (12) I các kiến thức cần lưu ý: Cho A, B là các biểu thức đại số 1.1 |A| ( Đẳng thức xẩy A = ) 1.2 |A + B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy A.B ) 1.3 |A - B| |A| + |B| (Đẳng thức xẩy A.B ) 1.4 |A - B| |A| - |B| (Đẳng thức xẩy A.B ) 1.5 ||A| - |B|| |A + B| (Đẳng thức xẩy A.B ) 1.5 ||A| - |B|| |A - B| (Đẳng thức xẩy A.B ) II Các bài tập điển hình 2.1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = 2|3x - 1| - Thật vậy: Ta có: |3x - 1| x 2|3x - 1|- -4 x GTNN B = -4 3x - = x = 1/3 x3 2.2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = với x Z Thật vậy: Xét |x| > C > |x| > Xét |x| < thì x Z |x| = { 0; 1; 2} Nếu |x| = C = -2 Nếu |x| = C = -3 Nếu |x| = C = -6 GTNN C = -6 |x| = x = 2.3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3| Thật vậy: Cách 1: áp dụng định lí dấu nhị thức bậc và lập bảng * Xét x < thì D = - x + - x = - 2x Do x < nên -2x > -4 D > (1) * Xét x thì D = x - + - x = (2) * Xét x > thì D = x - + x - = 2x - Do x > nên 2x > D > (3) So sánh (1), (2), (3) ta minD = x Cách 2: Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x| |x - + - x| = Do đó minD = (x - 2)(3 - x) x Cách 3: Ta có: D = |x - 2| + |x - 3| | (x - 2) - (x - 3)| |x - + - x| = Do đó minD = (x - 2)(3 - x) x 2.4 Tìm giá trị lớn biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5|| Thật vậy: Cách 1: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| |(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = ( chủ đề I), ta có: (13) Do đó max E = (x - 1)(x + 5) x x 1 Cách 2: Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | - x|| |x -1 +5 - x| = Do đó max E = (x - 1)(5 - x) x x 1 III bài tập luyện tập Bài 26: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = - |2x - 1| x 3 b) B = x2 x c) C = với x Z Bài 27: Tìm giá trị nhỏ các biểu thức a) A = 2|3x - 2| - b) B = x2 + 3|x - 2| - c) C = |x + 2|+ |x + 3| d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4| e) E = |x2 - x - 1|+ |x2 - x - 2| f) F = (0,5x2 + x)2 - 3|0,5x2 + x| Bài 28: Tìm giá trị lớn biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3|| c Đáp án Bài 1: a) a > 0; b) không tồn tại; c) d) a < 0; e) a > 0; f) a < 0; g) a = -5; h) a = Bài 2: a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2 Bài 3: a) a, b cùng dấu cùng b) b = a, b cùng dương Bài 4: a) -1 a 1; b) a a -3; c) a = 11; d) -3 a < -1; < a 3 Bài 5: a) 99 số; b) 20 cặp số Bài 6: a) ; b) ; c) =; d) = (14) Bài 7: a) Cách 1: Xét hai trờng hợp: Nếu b thì a + b = |a| + b a = |a| a Nếu b < thì a + b = |a| - b |a| - a = 2b VT 0, VP < đăng thức không xẩy a 0, b là các giá trị thoả mãn Cách 2: Ta có a |a|, b |b| Do đó a + b = |a| + |b| a 0, b b) Tương tự b 0, a b < 0, a = -b Bài 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)| |a - c| + |c - b| = + = Bài 9: a) BT = 2a với a 0; BT = với a < b) BT = với a 0, BT = -2a với a < c) BT = a2 với a 0, BT = - a2 với a < d) BT = với a > 0, BT = -1 với a < e) BT = x - với x - 3, BT = 5x + với x < - f) BT = 2x + với x < 1/4, BT = -6x + với 1/4 x < 3, BT = -2x - với x Bài 10: a) x1 = 4, x2 = -1; b) x = -1/2 c) x1 = 5/2, x2 = -2/3 d) x1= 1/2, x2 = 3/2 e) x = f) x = -1/2 g) x i) x Bài 11: 1 d) i) 2,0,-4 và -6 k) -5,7,3,-1,1 a) x = x = - b) x c) 2,3 và e) x f) -3/2 g) h) và 3/2 Bài 12: a > và b < a < và b > Bài 13: a = b = a > 0; b< a = -b Bài 14: 1 1 1 1 1 ; ; ;2 ; 2 ; 2 ; 2; 2 a) b) (1; 3) ; (3 ; 1) ; (- 3; -1) ; (-1; -3) x 6 y ; c) 3 ; ;3 d) 2 ; Bài 15: |A| -A, dấu " = " xẩy A x2 - x - (x + 1)(x - 2) -1 x Bài 16: Nếu a > thì - a < 2a; Xét trường hợp x < -a, -a x 2a, x 2a ta các nghiệm x = -7a, x = a Nếu a thì 2a < -a; Xét các trường hợp x < 2a; 2a x -a, x > -a thì ta nghiệm x = -a Bài 17: a) -2 x 3; b) x > -2; c)x -2; x 5;d) x > 3/2 Bài 18: (15) 3 x2 x4 a) b) Bài 19: a) x < 1; b) x < -1; x > 7; x x 12 g) Bài 20: 13 13 x 2 a) ; c) x ;x 2 c) -3 < x < d) x e) x 15 15 x 2 b) e) 13 x 13 d) vô nghiệm 21 d) x 0, x 3 c) - < x < 21 f) x x x Bài 21: y y y x x O -6 -2 O a x -1 O b) c) Bài 22: y y y x O O -1 3 x x -2 O b) a c) Bài 23: y y x O (16) a) O x b) Bài 24: y y y 1 O x O O x a) b) x c) Bài 25: y y y x x O O a) b) Bài 26: x a) max A = b) max A = x 2 c) Xét các trường hợp max C = max A = x = Bài 27: x a) A = -1 b) B = -1 x = 0; y = c) C = -2 x O x c) (17) e) E = -1 x d) D = f) Đặt |0,5x + x| = y G = -9/4 y = 3/2 x1 = 1; x2 = -30 Bài 28: max H = x x -3 x (18)