CHUYEN DE TLT TC CUA DAY TI SO BANG NHAU 2012

Ph¬ng ph¸p 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chât của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh... TÝnh chÊt nµy gä[r]

CHUY£N §Ò PHÇN I: tû lÖ thøc vµ tÝnh ch©t cña d·y tû sè b»ng A Lý thuyÕt I Tû lÖ thøc §Þnh nghÜa a c = b d Tỉ lệ thức là đẳng thức hai tỉ số C¸c sè h¹ng a vµ d gäi lµ ngo¹i tØ, b vµ d gäi lµ trung tØ TÝnh chÊt - TÝnh chÊt (tÝnh chÊt c¬ b¶n) a c  NÕu b d th× ad = bc - TÝnh chÊt (tÝnh chÊt ho¸n vÞ) NÕu ad = bc vµ a, b, c, d kh¸c th× ta cã c¸c tØ lÖ thøc: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a II TÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh chÊt - Tõ tØ lÖ thøc a c = b d ta suy a c a+c a−c = = = ( b≠±d ) b d b+ d b−d - Më réng: Tõ d·y tØ sè b»ng a c e = = b d f a c e a ce a  c e      b d f b  d  f b  d  f Ta suy (giả thiết các tỉ số có nghĩa) Chó ý: x y z   - Khi nãi ba sè x; y; z tØ lÖ víi ba sè a; b; c tøc lµ ta cã a b c hay x:y:z = a:b:c a b c = = ta nãi c¸c sè a, b, c tØ lÖ víi c¸c sè 2; 3; ta còng viÕt - Khi cã d·y tØ sè a:b:c = 2:3:5 - Vì tỉ lệ thức là đẳng thức nên nó có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c = b d Tõ 2 a c a c k1a k2 c a  c   ( k1 , k2 0)      ; k k  k 0  ; b d k1b k2 d suy  b   d  b d a c e = = b d f 3 a c e a  c   e           ; suy  b   d   f  b d f c e a     d f b B Bµi tËp D¹ng T×m sè h¹ng cha biÕt T×m mét sè h¹ng cha biÕt a) Ph¬ng ph¸p: ¸p dông tÝnh chÊt c¬ b¶n tØ lÖ thøc a c b.c a.d a.d   a.d b.c  a  ; b  ; c d c b - NÕu b d - Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết, muốn tìm trung tỉ cha biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết b) C¸c vÝ dô 0, :1  :  x   VÝ dô 1: T×m x tØ lÖ thøc sau: 2  x     : 0, 0, :1  :  x    3  Gi¶i: Tõ x  4  x 4   x   x   Chó ý: Víi d¹ng to¸n nµy th× gi¸o viªn híng dÉn cho häc sinh sö dông tÝnh chÊt: “Muốn tìm ngoại tỉ cha biết ta lấy tích hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết” ta trình bày lời giải nh trên Cũng có thể đa các tỉ lệ thức trên tỉ lệ thức đơn giản råi t×m x VÝ dô 2: ( Bµi tËp 69a - SBT to¸n tËp 1, NXB GD - Tr 13) x  60  T×m x biÕt  15 x x  60   x.x   15   60   x 900  x 302  x  30 Gi¶i : Tõ  15 x hoÆc x 30 VËy x = 30 hoÆc -30 Chú ý: - Ta thấy tỉ lệ thức có hai số hạng cha biết nhng hai số hạng đó giống nªn ta ®a vÒ luü thõa bËc hai cã thÓ n©ng cao b»ng tØ lÖ thøc - Trong ví dụ ta linh động chỉnh sửa đề tí thì trở thành bài toán khó h¬n VÝ dô 3: T×m x tØ lÖ thøc Gi¶i: 37  x  x  13 (§Ò Violympic líp 7- Vßng 11- n¨m häc 2010-2011) 37  x    37  x  3  x  13  259  x 3 x  39  10 x 220  x 22 C¸ch 1: Tõ x  13 37  x 37  x x  13    C¸ch 2: Tõ x  13 ¸p dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y tØ sè b»ng ta cã : 37  x x  13 37  x  x  13 50    5 37 10 37  x 5  37  x 3.5  x 37  15  x 22 Từ đó suy ra: VÝ dô 4: T×m x tØ lÖ thøc 3x  3x   x  x  (§Ò Violympic líp - Vßng n¨m häc 2010-2011) Gi¶i: C¸ch 1: (¸p dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña tû lÖ thøc) Tõ: 3x  3x     x    x    x  1  x    15 x 12 x 10 x  15 x  21x  x  5x  5x   22 x  16 x   x  15  x  2,5 C¸ch 2: (¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau) x  3x   Tõ: x  x  ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng ta cã: x  3x  (3 x  2)  (3x  1)    1 x  x  (5 x  7)  (5 x  4) 3x  1 Từ đó suy ra: x  (Trë vÒ VD3) Ph©n tÝch: Víi c¸ch th× häc sinh thêng gÆp khã kh¨n ¸p dông tÝnh chÊt (a+b)(c+d) chính vì mà giáo viên cần định hớng cho học sinh giải theo cách Chó ý: Gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn cho häc sinh tÝnh chÊt: a +m = b + m  a = b hoÆc tÝnh chÊt: (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd D¹ng T×m nhiÒu sè h¹ng cha biÕt C¸c vÝ dô VÝ dô 1: (Bµi tËp 54-SGK to¸n tËp 1-NXB GD-Tr30) x y  T×m hai sè x, y biÕt: vµ x  y 16 Gi¶i: C¸ch 1: (¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau) x y x  y 16    2 ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng ta cã:  x 2  x 2.3  x 6 Từ đó suy ra: + y 2  y 5.2  y 10 + VËy x = 6; y = 10 C¸ch 2: (§Æt d·y tû sè b»ng k råi biÓu diÔn x, y qua k) x y  Đặt =k  x 3k ; y 5k Thay các giá trị này vào x + y = 16 ta đợc: 3k  5k 16  8k 16  k 2 - Với k=2 thay vào x=3k ta đợc x=3.2=6 - Với k=2 thay vào y=5k ta đợc y=5.2=10 VËy x = 6, y = 10 x y z   VÝ dô 2: T×m sè x, y, z biÕt vµ x +y + z = 27 Gi¶i: x y z   - C¸ch Tõ ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã x y z x  y  z 27     3 234 x 3  x 2.3  x 6 Từ đó suy ra: + y 3  y 3.3  y 9 + z 3  z 4.3  z 12 + VËy x=6, y=9, z=12 - C¸ch : x y z   k  x 2k , y 3k , z 4k §Æt Thay các giá trị này vào: x +y + z = 27 ta đợc : 2k  3k  4k 27  9k 27  k 3 + Với k=3 thay vào x 2k , y 3k , z 4k ta đợc x=6, y=9, z=12 VËy x = 6; y = 9; z = 12 Từ đó ta có thể thành lập các bài toán sau: x y z   VÝ dô 3: T×m sè x,y,z biÕt vµ 2x + 3y – 5z = -21 Gi¶i: x y z   k  x 2k ; y 3k ; z 4k - C¸ch 1: §Æt (gi¶i t¬ng tù c¸ch -VD1) x y z x y 5z     - C¸ch 2: Tõ suy 20 ¸p dông tÝnh ch©t cña d·y tØ sè b»ng ta cã: x y z x  y  z  21     3 20   20 7  x 6; y 9; z 12 Nhận xét: Qua các ví dụ trên thì ta thấy điều kiện kèm mà đơn giản thì ta nªn ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau, cßn nÕu ®iÒu kiÖn ®i kÌm mµ phøc tạp thì ta nên đặt dãy tỷ số k biểu diễn các yếu tố (x, y, z, ) cần tìm qua k, sau đó thay vào điều kiện kèm để tìm k tìm x, y, z , Điều đó đợc thể qua c¸c bµi to¸n sau: x y z   2 VÝ dô 4: T×m sè x, y, z biÕt vµ x  y  z  405 Gi¶i: x y z   k  x 2k ; y 3k ; z 4k 2 - C¸ch 1: §Æt thay vào x  y  z  405 ta đợc: 2.4k  3.9k  5.16 k  405  k 9  k 3 hoÆc k  + Với k=3 thay vào x 2k ; y 3k ; z 4k ta đợc x=6, y=9, z=12 + Với k=-3 thay vào x 2k , y 3k , z 4k ta đợc x=-6, y=-9, z=-12 VËy x= 6; y = 9; z = 12 hoÆc x = -6; y = -9; z = -12 x y z x2 y z 2 x y 5z        27 90 - C¸ch 2: tõ suy 16 ¸p dông tinh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: x y z 2 x  y  z  405     9 27 90  27  90  45 Từ đó suy ra: x2 9  x 36  x 6 y2  9  y 81  y 9 z2  9  z 144  z 12 16  VËy x= 6; y = 9; z = 12 hoÆc x = -6; y = -9; z = -12 x y z   VÝ dô 5: T×m sè x, y, z biÕt vµ x.y.z = 648 Gi¶i: x y z   k  x 2k ; y 3k ; z 4k - C¸ch 1: §Æt Thay vào x.y.z = 648 ta đợc 24k3 =648  k=3 (Trë vÒ c¸ch VD 1) x y z   - C¸ch 2: Tõ x y z xyz 648 x3  x        27  27  x3 216  x 6 2 24 24   Từ đó tìm đợc y = 9; z = 12 z vµ x +y +z = 27 VÝ dô T×m x,y, z biÕt x y x y z x z x y z x 6 y     x     vµ tõ 2 Từ đó Gi¶i: Tõ x 6 y; x  Sau đó ta giải tiếp nh cách 1- ví dụ NhËn xÐt: Qua c¸c vÝ dô trªn th× ta cã thÓ ®a c¸c trêng hîp tæng qu¸t sau: Bµi to¸n c¬ b¶n thêng gÆp: x y z   Tìm các số x, y, z thoả mãn a b c (1) và x +y + z =d (2) ( đó a, b, c, a+b+c 0 vµ a, b, c, d lµ c¸c sè cho tríc) C¸ch gi¶i: x y z   k  x k a; y k b; z k c - Cách 1: đặt a b c thay vµo (2) Ta cã k.a + k.b + k.c = d d a b c a.d bd cd x ;y ;z  a b c a b c a b c Từ đó tìm đợc  k  a  b  c  d  k  - C¸ch 2: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã x y z xyz d a.d b.d c.d      x ;y ;z  a b c a b  c a b c a b c a b c a b c Híng khai th¸c tõ bµi trªn nh sau - Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) nh sau: * m1 x  m2 y  m3 z e 2 * n1 x  n2 y  n3 z  f 3 * n1 x  n2 y  n3 z  f *x.y.z = g - Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) nh sau:  x y y z  ;  a1 a2 a3 a4 x a1 y a3  ;  y a z a4 + a2 x a1 y; a4 y a3 z + + b1 x b2 y b3 z b1 x  b3 z b2 y  b1 x b3 z  b2 y   a b c + x  b1 y2  b2 z3  b3   a2 a3 + a1 - Thay đổi hai điều kiện Dạng 3: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số Mét sè ph¬ng ph¸p : a c  §Ó Chøng minh tû lÖ thøc : b d Ta cã mét sè ph¬ng ph¸p sau : Ph¬ng ph¸p : Chøng tá r»ng : ad= bc a c ; Phơng Pháp : Chứng tỏ tỷ số b d có cùng giá trị đề bài đã cho tr- ớc tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trÞ cña mçi tû sè ë tØ lÖ thøc ph¶i chøng minh theo k Ph¬ng ph¸p 3: Dùng tính chất hoán vị, tính chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức để biến đổi tỷ số vế trái (VT) thành vế phải (VP), tỷ số VP thành VT biến đổi VT=C, VT=C suy VT=VP Ph¬ng ph¸p 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chât dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh C¸c vÝ dô VÝ dô 1:( Bµi tËp 73 SGK-NXBGD-T14 ) a c a b c d   c Cho a, b, c, d kh¸c tõ tû lÖ thøc: b d h·y suy tû lÖ thøc: a Gi¶i: C¸ch 1: XÐt tÝch c a  b  ac  bc (1) +  a c  d  ac  ad (2) +  a c   ad bc (3) Tõ b d a b c d  c Tõ (1), (2), (3) suy (a-b)c= a(c- d) suy a a c  k  a bk , c dk - C¸ch 2: §Æt b d Ta cã: (1) a  b bk  b b  k  1 k      , (b 0) a bk bk k (2) c  d dk  d d  k  1 k      , (d 0) c dk dk k a b c d  c Tõ (1) vµ (2) suy ra: a a c b d    - C¸ch 3: tõ b d a c a b a b b d c d   1  1   a a a a c c Ta cã: a b c d  c Do đó: a a c a b a b a a b a b c d         a c - C¸ch 4: Tõ b d c d c  d c c  d a c b d b d a b c d      1    a c a c - C¸ch 5: Tõ b d a c a c  B»ng c¸ch chøng minh t¬ng tù tõ tØ lÖ thøc b d ta cã thÓ suy c¸c tØ lÖ thøc sau: a b c d a  b c  d  ;  b d a c (TÝnh chÊt nµy gäi lµ tÝnh chÊt tæng hoÆc hiÖu tØ lÖ) (*) a b c a  VÝ dô 2: chøng minh r»ng nÕu a bc th× a  b c  a (víi a b, a c) Gi¸o viªn cã thÓ híng dÉn häc sinh ph©n tÝch t×m lêi gi¶i nh sau: a b a bc  a.a b.c   c a (2) vª (*) Gi¶i: - C¸ch 1: Tõ : a bc  Từ đây ta áp dụng tính chất dãy tỷ số để đa a b a b a  b a b c a      c a ca c a a b c a a c  k  a bk , c ak C¸ch 2: §Æt b a a  b bk  b b  k  1 k  (1)    ,  b 0  a  b bk  b b  k  1 k  Ta cã: + + c  a ak  a a  k  1 k      a 0  ,(2) c  a ak  a a  k  1 k  a b c  a  Tõ (1) vµ (2) suy ra: a  b c  a - C¸ch 3: Ta cã a  b a  a  b  a  ab bc  ab     do, a bc  a  b a  a  b  a  ab bc  ab b c  a c  a    a, b 0  b  c  a c  a a b c a  Do đó: a  b c  b a b c  a  Ngợc lại từ a  b c  b ta suy đợc a2 = bc a b c  a  Từ đó ta có bài toán cho a  b c  b chứng minh số a, b, c khác thì từ số a, b, c có số đợc dùng lần, có thể lập thành tỉ lệ thức 2 VÝ dô 3: Cho sè kh¸c lµ a1 , a2 , a3 , a4 tho¶ m·n a2 a1a3 ; a3 a2 a4 chøng tá a13  a23  a33 a1  a23  a33  a4 a4 (§Ò thi HSG trêng THCS Phan Huy Chó n¨m hoc 2010-2011) (1) a a a2 a1a3   a2 a3 Gi¶i: Tõ a32 a2 a4  a2 a3  a3 a4 (2) a1 a2 a3 a3 a a3 a a a a     23  33     a2 a3 a4 a2 a3 a a2 a3 a4 a4 (3) Tõ (1) vµ (2) suy a 31 a 32 a 33 a 31  a 32  a 33    3 a a a a  a 33  a34 ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: a 31  a 32  a 33 a1  a 32  a 33  a 34 a4 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra: Ta còng cã thÓ chuyÓn bµi tËp thµnh bµi tËp sau:  a1  a2  a3  a1 a1 a2 a4      Cho a2 a3 a4 chøng minh r»ng  a2  a3  a4  a4 2012 a 2012  c 2012  a  c  a c   2012 2012 (b  d )2012 VÝ dô 4: Cho b d Chøng minh r»ng: b  d Gi¶i: a c  k (k 0)  a kb;c kd b d a 2012  c2012 (kb)2012  (kd)2012 k 2012 b 2012  k 2012 d 2012 k 2012 (.b 2012  d 2012 ) Ta cã : 2012    k 2012 (1) 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 b d b d b d b d 2012 2012 2012 2012 2012 (a  c) (kb  kd) [k(b  d)] k (b  d)    k 2012 (2) 2012 2012 2012 2012 (b  d) (b  d) (b  d) (b  d) vµ § Æt 2012 a 2012  c 2012  a  c   2012 2012 b  d (b  d ) 2012 Tõ (1) vµ (2) suy ra: D¹ng 4: To¸n chia tØ lÖ 1.Ph¬ng ph¸p gi¶i Bớc 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lợng cha biết Bíc 2:Thµnh lËp d·y tØ sè b»ng vµ c¸c ®iÒu kiÖn Bíc 3:T×m c¸c sè h¹ng cha biÕt Bíc 4:KÕt luËn C¸c vÝ dô VÝ dô 1: Sè viªn bi cña ba b¹n Nam, Minh, Hoµng tØ lÖ víi c¸c sè 2; 4; C¶ ba b¹n cã tÊt c¶ 99 viªn bi TÝnh tæng sè viªn bi cña Minh vµ Hoµng (§Ò Violympic Vßng n¨m häc 2010-2011) Lêi gi¶i: Gọi số viên bi ba bạn Nam, Minh, Hoàng là a,b,c (a,b,c  ) Lúc đó a, b, c a b c = = tû lÖ víi 2; 4; nªn ta cã tû lÖ thøc: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã: a b c a  b  c 99     9   11 Từ đó suy a 9  a 18 b  9  b 36 c  9  c 45  Thö l¹i c¸c gi¸ trªn ta thÊy tho¶ m·n VËy sè viªn bi cña Minh vµ Hoµng lµ: 54 viªn VÝ dô 2: Tæng c¸c luü thõa bËc ba cña sè lµ -1009.BiÕt tØ sè gi÷a sè thø nhÊt vµ sè thứ hai là ,giữa số thứ hai và số thứ là Tìm ba số đó Gi¶i: a a  ;  3 Gäi sè ph¶i t×m lµ a,b,c Theo bµi ta cã b c vµ a  b  c  1009 Giải tiếp ta đợc a=-4 , b=-6, c=- Ph©n tÝch: §èi víi bµi to¸n trªn th× häc sinh gÆp khã kh¨n chuyÓn ng«n ng÷ thùc tÕ vÒ ng«n ng÷ ký hiÖu Gi¸o viªn cã thÓ híng d·n: ? §Ó gi¶i bµi to¸n trªn tríc hÕt ta ph¶i lµm g×? (Gäi ba sè cÇn t×m lµ: a, b, c) ? Ta biÓu diÔn tæng lòy thõa bËc ba cña ba sè lµ -1009 th«ng qua a, b, c nh thÕ nµo? Giáo viên hỏi tơng tự cho các yếu tố HD HS gắn kết các yếu tố đó lại với Dạng 5: Một số sai lầm thờng gặp giải toán liên quan đến tỷ số VÝ dô 1: x y  a (Bµi tËp 62 – SGK NXBGD- Tr 31) T×m sè x,y biÕt r»ng vµ x.y=10 x y x y 10    1 Häc sinh thêng m¾c sai lÇm nh sau : 2.5 10 suy x=2, y=5 x y z   b T×m c¸c sè x,y,z biÕt r»ng: vµ x.y.z= 648 x y z x y.z 648     27 Häc sinh thêng m¾c sai lÇm nh sau: 2.3.4 24 Suy a=54, b= 81, c= 108 Tõ vÝ dô ta thÊy häc sinh thêng m¾c sai lÇm ¸p dông t¬ng tù x y x y x y z x y.z      Häc sinh ¸p dông: a b a.b hay a b c a.b.c Gi¸o viªn cã thÓ lÊy vÝ dô: x y   a b nÕu häc sinh ¸p dông tÝnh chÊt trªn th× Cho x y xy 1.1     a b ab 2.2 ®iÒu nµy v« lý ë mét sè bµi to¸n kh¸c, rót gän häc sinh thêng bá qua ®iÒu kiÖn sè chia khác dẫn đến thiếu giá trị cần tìm Tôi xin tiếp tục đa số ví dụ sau: a b c   Ví dụ 2: Cho tỉ số là b  c c  a a  b Tìm giá trị tỷ số đó a b c   C¸ch 1: Tõ: b  c c  a a  b ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: a b c a b c a bc     b  c c  a a  b  b  c   c  a   a  b 2 a  b  c Học sinh thờng bỏ quên điều kiện a+b+c= mà rút gọn luôn điều đó dẫn đến tìm thiếu giá trị Để giải bài toán trên giáo viên có thê hớng dẫn học sinh làm nh sau: a b c ; ; + Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c nên tỉ số b  c c  a a  b -1 a b c a b c     b  c c  a a  b 2 a  b  c + Nếu a+b+c 0 đó C¸ch 2: Céng mçi tØ sè trªn víi P VÝ dô 3: Cho biÓu thøc x  y y  z z t t  x    z t t  x x  y z  y x y z t    (1) y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt r»ng Gi¶i: C¸ch 1: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau, ta cã: x y z t x  y  z t     y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z 3( x  y  z  t ) x y z t 1  1  1  1 z t  x txy x yz C¸ch 2:Tõ (1) suy x  z  t  x  y  z t x  y  z t x  y  z t x  y  z t    y  z t z t  x x  y t xyz NhËn xÐt: ë c¸ch häc sinh m¾c sai lÇm nh bµi tËp cßn ë c¸ch häc sinh mắc sai lầm suy luôn y+z+t = z+t+x = x+y+t = x+y+z Để có lời giải đúng giáo viªn híng dÉn häc sinh lµm nh sau: - NÕu x+y+z+t 0 suy y+z+t = z+t+x = x+y+t = x+y+z suy x=y=z=t suy P=4 - Nếu x+y+z+t =0  x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4 bài và bài có hai cách nh nhau, nhng bài tập nên dùng cách 1, bài tập nªn dïng c¸ch VÝ dô 4: Mét häc sinh líp tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n “T×m x y biÕt: x 1 y  2 x  y    6x Nh sau: 2x 1 y  2x  y    (1) 6x Ta cã: x 1 y  2 x  y    (2) 12 Tõ hai tû sè ®Çu ta cã: 2x  y  2x  y   (3) 6x 12 Tõ (1) vµ (2) ta suy  6x = 12  x = Thay x = vào tỷ số đầu ta đợc y = Thö l¹i thÊy tho¶ m·n VËy x = vµ y = lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m Em h·y nhËn xÐt lêi gi¶i cña häc sinh trªn Gi¶i :Häc sinh trªn sai nh sau Tõ (3) ph¶i xÐt hai trêng hîp: TH1 : 2x+3y-1 0 Khi đó ta suy 6x=12 Từ đó giải tiếp nh trên TH2 :2x+3y-1=0.Suy 2x=1-3y, thay vµo hai tØ sè ®Çu, ta cã:  y 1  y 1  y   0 57  y x  Từ đó tìm tiếp Suy 2-3y =3y-2 =0 PHÇN II: BµI TO¸N TØ LÖ THUËN – TØ LÖ NGHÞCH A Lý thuyÕt Nếu hai đại lợng tỉ lệ thuận với nhau: y = kx (k  0) x1 øng víi y1 y1 y2 y3 x2 øng víi y2 ) x  x  x  k x3 øng víi y3 ) x1 y1 x y  ;  ; x2 y2 x3 y3 Nếu hai đại lợng tỉ lệ nghịch với nhau: x.y = a (a 0) x1 øng víi y1 ) x1 y1  x2 y2  x3 y3  a x2 øng víi y2 y x y x x3 øng víi y3 )  ;  ; x2 y1 x3 y1 B Bµi tËp Bài tập 1(bt113-BVT-Tr42): Một số M đợc chia làm ba phần cho phần thứ và phÇn thø hai tØ lÖ (thuËn) víi vµ 6; phÇn thø hai vµ phÇn thø ba tØ lÖ (thuËn) víi vµ BiÕt phÇn thø ba h¬n phÇn thø hai lµ 150 T×m sè M Gi¶i: Gäi ba phÇn cña sè M lÇn lît lµ x; y; z x x y x y      Theo bµi ta cã: +) y 6 20 24 (1) y y z y z      +) z 9 24 27 (2) x y z   Tõ (1) vµ (2) suy 20 24 27 ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: x y z x yz z y 150      50 20 24 27 20  24  27 27  24 x yz 50  x  y  z 50.71 3550 Suy 20  24  27 VËy M=3550 Bài tập (bt8-NCT7-Tr79): Ba ôtô từ A đến B Vận tốc ôtô thứ kém vận tốc ôtô thứ hai là 3km/h Thời gian ôtô thứ nhất, thứ hai, thứ ba hết quãng đờng AB lần 5 lît lµ 40 phót, giê, TÝnh vËn tèc cña mçi «t« Gi¶i: Cùng quãng đờng, vận tốc và thời gian là hai đại lợng tỉ lệ nghịch Gọi vận tốc ôtô thứ nhât, ôtô thứ hai, ôtô thứ ba lần lợt là: x; y; z Lúc đó x; y; z tỉ lệ nghịch với 5 2 x y 5z ; ;   (40 phót = giê) nªn ta cã: vµ y-x = 2x y 5z x y z      Tõ 15 16 18 x y z y x     3 ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: 15 16 18 16  15 Từ đó ta tính đợc: x= 45 (km/h); y = 48 (km/h); z = 54 (km/h) VËy vËn tèc cña ba «t« lÇn lît lµ: 45 (km/h); 48 (km/h); 54 (km/h) Bài tập 3: (117-Tr43-VHB) Một ôtô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h Biết khoảng cách AB là 540 km và M lµ trung ®iÓm cña AB Hái sau khëi hµnh bao l©u th× «t« c¸ch M mét kho¶ng khoảng cách từ xe máy đến M Gi¶i: Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270 km Gọi quãng đờng ôtô và xe máy đã là S 1và S2 Trong cùng thời gian thì quãng đờng tỉ lệ thuận với vận tốc đó: s1 s2  t (t chÝnh lµ thêi gian cÇn t × m) v1 v Mµ S =270-a; S =270-2a nªn ta cã: 270  a 270  2a  t 65 40 ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: 540  2a 270  2a (540  2a)  (270  2a) 270 t    3 130 40 130  40 90 VËy sau khëi hµnh giê th× «t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng kho¶ng c¸ch tõ xe máy đến M Bµi tËp t¬ng tù T×m sè h¹ng cha biÕt Bµi tËp 1: T×m x biÕt: x   60  a  15 x  ; x  x 1 ; b x x4  c x  x  T×m nhiÒu sè h¹ng cha biÕt Bµi tËp T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 4x = 2z vµ x + y+ z = 27 Bµi tËp 2: T×m x, y, z biÕt 6x = 4y = 3z vµ 2x + 3y – 5z = -21 x  3z y  x 3z  y   Bµi tËp 3: T×m x, y, z biÕt vµ 2x +3y -5z = -21 x y z   vµ x +y +z =27 Bµi tËp 4: T×m x,y,z biÕt Dạng 3: Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số a  c2 c  , (b 0) 2 Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng nÕu a bc th× b  a b bz  cy cx  az ay  bx   a b c Bµi tËp 2: BiÕt x y z   Chøng minh r»ng a b c Bµi tËp 3: Cho x y z = = a+2 b+c a+b−c a−4 b+c a b c = = Chứng minh rằng: x +2 y +z x+ y+z x−4 y +z (với abc 0 và các mẫu kh¸c 0) D¹ng 4: To¸n chia tØ lÖ (TLT-TLN) Bài tập 1: Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây lớp trồng đợc tỉ lệ với các số 2;4;5 và lần số cây lớp 7A cộng với lần số cây lớp 7B thì số cây lớp 7C là 119 cây.Tính số cây lớp trồng đợc 1 Bµi tËp 2: Ba kho thãc cã tÊt c¶ 710 tÊn thãc, sau chuyÓn ®i sè thãc ë kho I, sè thãc ë kho II vµ 11 sè thãc ë kho III th× sè thãc cßn l¹i cña kho b»ng Hái lóc ®Çu mçi kho cã bao nhiªu tÊn thãc Bµi tËp 3: (bt:123-Tr45-VHB) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc th× 21 c«ng nh©n cÇn lµm 15 ngày Do cải tiến công cụ lao động nên suất lao động ngời tăng thêm 25% Hỏi 18 công nhân phảI làm bao lâu xong công việc đó Dạng 5: Một số sai lầm thờng gặp giải toán liên quan đến tỷ số Bµi tËp 1: Cho a,b,c lµ ba sè kh¸c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a b  c b c  a c a  b   c a b  b  a  c  B          c  b  a  H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Bµi tËp 2: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d    a b c d M a b b c c d d a    c  d d  a a b b c T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc M biÕt : CÇn lu ý r»ng mét d·y tØ sè b»ng nÕu c¸c sè h¹ng trªn b»ng (nhng kh¸c 0) th× c¸c sè h¹ng díi b»ng vµ ngîc l¹i, nÕu c¸c sè h¹ng díi b»ng th× c¸c sè h¹ng trªn b»ng Bµi tËp 3: 1 y 1 y 1 y   24 x (§Ò Violympic Vßng n¨m häc 2010-2011) T×m x,y biÕt : 18