phan3

Tuy nhiªn kh«ng thÓ chän c¸c cÆp gi¸ trÞ u, v tuỳ ý mà chỉ lấy những cặp giá trị thoả mãn đẳng thức 6.. Nếu đã chọ đợc cặp u, v thoả..[r]

II.C¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba trªn trêng sè phøc Cho ph¬ng tr×nh: x3 + ax2 +bx + c = (1) Cách giải đợc thực theo các bớc sau: Bíc 1: Lµm mÊt sè h¹ng ax2 ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng y3 + py + q =0 y x  §Æt a a x y  ta đợc vµ a a a    x  ax  bx  c  y    a. y    b. y    c 3 3 3    2 3  a 2a   3b  a  a a ab 2a  9ab  27c  y3     b  y     c  y3   y   27 27     2a  9ab  27c 3b  a q p 27 §Æt: vµ ta ®a ph¬ng tr×nh (1) vÒ d¹ng: y3 + py + q = (2) Nh vËy ta chØ cÇn t×m c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh (2) Bíc 2: §Æt y = u + v ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh: (u + v)3 + p(u + v) + q = (3) hay u3 + v3 +( u + v )( 3uv + p ) + q = (4) u  v  q(5)  Nếu tìm đợc u,v thoả mãn hệ phơng trình: 3uv  p (6) thì u,v thoả mãn phơng trình(4) Do đó thoả mãn phơng trình (3):nghĩa là y=u + v là nghiệm phơng trình (2) Bíc3: Gi¶i hÖ gåm hai ph¬ng tr×nh (5) vµ (6) Chia hai vế phơng trình (6) cho lập phơng hai vế ta đợc hệ: u  v  q(5)   3 p3 u v  (7)  27  Theo định lý Viét (5) và (7) chứng tỏ u3 , v3 là hai nghiệm p3 p3 q a   q a  p2 27 ; v3  27 z  qz  0 u3  27 2 ph¬ng tr×nh bËc hai: VËy : u 3 Do đó: q q p3 q q p3   ; v 3   ; 27 27 y u  v  q q p3  q q p3      ; 27 27 Suy ra: Công thức nghiệm trên đây đợc gọi là công thức Cacđanô Chó ý: -Trªn trêng sè phøc mçi c¨n bËc ba cã ba gi¸ trÞ Tuy nhiªn kh«ng thÓ chän c¸c cÆp gi¸ trÞ u, v tuỳ ý mà lấy cặp giá trị thoả mãn đẳng thức (6) Gọi  là giá trị phức   cña c¨n bËc ba cña (1), Ch¼ng h¹n mãn đẳng thức (6) thì:  i 2 ta có 3 = Nếu đã chọ đợc cặp u, v thoả  p 3uv 3(u ).(v ) 3(u ).(v ) nh vậy, đặt u = u, v = v thì dễ thấy các cặp (u ,v ); 1 2 (u3,v3) sau ®©y; u2 =u, v2 =v2; u3 = v2 , v3 =u lµ nh÷ng nghiÖm cña hÖ gåm c¸c ph¬ng tr×nh (5) vµ (6) Khi gi¶i ph¬ng tr×nh bËc ba cã thÓ ¸p dông c«ng thøc Cac®an« cïng víi chó ý trªn Song ta nªn nhí c¸c bíc gi¶i nªu trªn v× cã ta quªn c«ng thøc Mét sè bµi tËp vÒ ph¬ng tr×nh bËc ba Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a.4x3 + 5x2 - 2x - = (1) b.-2x3 + 11x2 - 2x - = (2) c x3 + 5x2 + 2x - = (3) d.-x3 + 5x2 +22x - 26 = (4) e.4x3 + 5x2 + 2x +3 = (5) f.-2x3 + 5x2 - = (6) g x3 - 5x2 - x - = (7) h.4x3 + 3x +7 = (8) Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a.8x3 -1 = (1) b.9x3 + = (2) c x3 + 3x2 + 3x +1 = (3) d.x3 - 3x2 +3x - = (4) e x3 + 3x2 + x+3 = (5) f.x3 + 5x2 +10x +50 = (6) Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a.4x3 - 10x2 + 6x - 1= (1) b.8x3 - 36x2 + 27 = (2) c x3 - 5x2 + 7x - = (3) d x3 - 6x - = (4) c x3 + 6x2 + 30x + 25 = (5) h x3 - 3x2 - 3x + 11 = (6)