Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị 131 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer http://www.novapdf.com... LUYỆN THI VÀO THPT.[r]
(1)LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Naêm hoïc : 2011-2012 Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (2) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 LỜI NÓI ĐẦU Để góp phần định hướng cho việc dạy - học các trường là việc ôn tập, rèn luyện kĩ cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục tỉnh nhà nhằm nâng cao chất lượng các kì thi tuyển sinh, phòng GD& ĐT Vĩnh Linh phát hành Bộ tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và THPT chuyên Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ Bộ GDĐT, đó tập trung vào kiến thức bản, trọng tâm và kĩ vận dụng Được viết theo hình thức hệ thống kiến thức theo chuyên đề và đề ôn thi, gồm hai phần: phần ôn thi vào lớp 10 THPT, phần ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên dựa trên cấu trúc đề thi các sở GD&ĐT Mỗi đề thi có lời giải tóm tắt và kèm theo số lời bình Bộ tài liệu ôn thi này các thầy, cô giáo là lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục; cốt cán môn phòng; các thầy, cô giáo là Giáo viên giỏi tỉnh biên soạn Hy vọng đây là Bộ tài liệu ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học các trường THCS và kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT chuyên năm học 20122013 và năm Mặc dù đã có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ đội ngũ người biên soạn, song không thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong đóng góp các thầy, cô giáo và các em học sinh để Bộ tài liệu hoàn chỉnh Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu kết cao các kỳ thi tới! TRƯỞNG BAN BIÊN TẬP Trần Công Hoan Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (3) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 PHẦN I: ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ĐỔI CĂN THỨC Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau) 1) 3x 8) x2 2) 2x 9) x2 3) 7x 14 2x 4) 3x 5) x3 7x 7) 2x x x 3x 11) 2x 5x 12) 7x 6) 10) x 5x 13) x 3 5x 6x x 14) 3x Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bài 1: Đưa thừa số vào dấu ; a) b) x (víi x 0); x c) x ; d) (x 5) x ; 25 x2 e) x x2 Bài 2: Thực phép tính a) ( 28 14 ) ; d) b) ( 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 200 450 ) : 10 ; f) g) 3; 20 14 20 14 ; h) 5; 11 11 7 3 7 26 15 26 15 Bài 3: Thực phép tính a) ( 3 216 ) 2 b) 14 15 ): 1 1 7 c) 15 10 Bài 4: Thực phép tính a) (4 15 )( 10 6) 15 c) 3 3 e) 6,5 12 6,5 12 (3 5) (3 5) b) 4 4 d) Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (4) LUYỆN THI VÀO THPT a) NĂM HỌC 2011 - 2012 24 24 1 1 52 5 5 5 c) b) 3 1 1 3 3 3 3 d) Bài 6: Rút gọn biểu thức: a) 13 48 b) 48 10 1 1 1 2 3 99 100 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a b b a a) : , víi a 0, b vµ a b ab a b c) a a a a , víi a vµ a b) a a a a 2a a ; a4 d) 5a (1 4a 4a ) 2a c) 3x 6xy 3y 2 e) x y2 Bài 8: Tính giá trị biểu thức a) A x 3x y 2y, x 2 ;y 94 b) B x 12x víi x 4( 1) 4( 1) ; c) C x y , biÕt x x y y 3; d) D 16 2x x 2x x , biÕt 16 2x x 2x x e) E x y y x , biÕt xy (1 x )(1 y ) a Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ tính toán Bài 1: Cho biểu thức P x3 x 1 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4(2 - ) c) Tính giá trị nhỏ P Bài 2: Xét biểu thức A a2 a 2a a a a 1 a a) Rút gọn A Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (5) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A c) Tìm a để A = d) Tìm giá trị nhỏ A 1 x x 2 x 1 x Bài 3: Cho biểu thức C a) Rút gọn biểu thức C b) Tính giá trị C với x c) Tính giá trị x để C a 1 2 a b a b2 a Bài 4: Cho biểu thức M b : 2 a a b a) Rút gọn M b) Tính giá trị M a b c) Tìm điều kiện a, b để M < x 2 x (1 x) Bài 5: Xét biểu thức P x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Chứng minh < x < thì P > c) Tìm giá trị lơn P Bài 6: Xét biểu thức Q x 9 x x 1 x5 x 6 x 3 x a) Rút gọn Q b) Tìm các giá trị x để Q < c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tương ứng Q là số nguyên xy x y3 Bài 7: Xét biểu thức H x y xy : x y xy x y a) Rút gọn H b) Chứng minh H ≥ c) So sánh H với H Bài 8: Xét biểu thức A 1 a a : a a a a a a a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị a cho A > c) Tính các giá trị A a 2007 2006 Bài 9: Xét biểu thức M 3x 9x x 1 x 2 x x 2 x 1 x a) Rút gọn M b) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị tương ứng M là số nguyên Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (6) LUYỆN THI VÀO THPT Bài 10: Xét biểu thức P NĂM HỌC 2011 - 2012 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị x cho P c) So sánh P với Chủ đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A - Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phương trình và đưa dạng Bài 1: Giải các hệ phương trình 3x 2y 1) ; 2x y 3x 4y 4) ; 5x 2y 14 4x 2y 2) ; 6x 3y 2x 5y 5) ; 3x 2y 14 2x 3y 3) 4x 6y 10 4x 6y 6) 10x 15y 18 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 3x 2y 3 6xy 1) ; 4x y 4xy y 27 2y - 5x 2x 3) ; 6y 5x x y 2x - 32y 4x y 3 54 2) ; x 3y 3y x 12 7x 5y - x 3y 8 4) 6x - 3y 10 5x 6y Dạng 2: Giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Giải các hệ phương trình sau x 2y y 2x 1) ; 1 x 2y y 2x 3x x 1 y 2) ; 2x 9 x y 2 x 2x y 4) ; x 2x y 3y x 1 x 1 y 3) ; 4 x y 5 x y 5) 2 4x 8x y 4y 13 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1: a) Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1) Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (7) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2mx n 1y m n m 2x 3ny 2m b) Định a và b biết phương trình: ax2 - 2bx + = có hai nghiệm là x = và x = -2 Bài 2: Định m để đường thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – Bài 3: Cho hệ phương trình mx 4y 10 m (m lµ tham sè) x my a) Giải hệ phương trình m = b) Giải và biện luận hệ theo m c) Xác định các giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị nguyên nào m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tương tự với S = xy) f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên đường thẳng cố định m nhận các giá trị khác m 1x my 3m 2x y m Bài 4: Cho hệ phương trình: a) Giải và biện luận hệ theo m b) Với các giá trị nguyên nào m thì hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x2) e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên đường thẳng cố định m nhận các giá trị khác x my mx 2y Bài 5: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình trên m = b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > và y < c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y là các số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x y xy 11 Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x y 3x y 28 Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau: Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (8) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x y x y 1) x y xy xy x y 19 3) 2 x y xy 84 x xy y 2) x xy y x 1y 1 5) x x 1 yy 1 xy 17 x y 10 6) x y xy 1 x xy y 7) x y x xy y 19x y 2 8) x xy y 7x y x 3xy y 1 4) 3x xy 3y 13 x y y x 30 10) x x y y 35 x y 2 x y 9) 5 x y 5xy Dạng 2: Hệ đối xứng loại II x 2y y3 x Ví dụ: Giải hệ phương trình Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau: x 3y 1) y 3x x 2x y 3) y 2y x x y y 2) xy x x xy y 4) x xy y y x 3y x 6) y 3x x y x 2y 2x y 5) y 2x 2y x 2x y x x 3x 8y 7) 8) 3 y 3y 8x 2y x y x 3x y x 7x 3y 9) 10) y 3y x y 7y 3x Dạng 3: Hệ bậc hai giải phương pháp cộng đại số Giải các hệ phương trình sau: Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (9) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x y 1) x xy x xy y 12 2) xy x y 2 xy x x 4 3) x xy y x x y xy 11 4) xy y x 2x y 2 3 x y 5) x y x y 7) 2 y x 2 x y xy 9) 2 x y xy y 3x 2y 36 11) x y 3 18 5x y 3 x y 6) 2 x y 12 x y 8) x y 2x 3y 10) 2 x y 40 xy 2x y 12) xy 3x 2y xy x y 13) xy 3x y x y 4x 4y 14) x y 4x 4y x x 8 3yy 1 6 15) 2x x 8 5yy 1 14 Chủ đề 3: HÀM SỐ ĐỒ THỊ Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – ; Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = ; b) y = - 0,5x + b) a = - Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) và B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox góc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm g) (d) qua K(6 ; - 4) và cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – với k là tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = d) Chứng minh không có đường thẳng (d) nào qua điểm A(-1/2 ; 1) Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (10) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 e) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng và parabol Bài 1: a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó b) Gọi A và B là hai điểm trên (P) có hoành độ là và - Tìm toạ độ A và B từ đó suy phương trình đường thẳng AB Bài 2: Cho hàm số y x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P) Bài 3: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y x và đường thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P) b) Tìm m cho (D) tiếp xúc với (P) c) Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số y x a) Vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Trên (P) lấy hai điểm M và N có hoành độ là - 2; Viết phương trình đường thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đường thẳng MN và cắt (P) điểm Bài 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (D): y = kx + b 1) Tìm k và b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm câu 1) 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm câu 1) và câu 2) 3 2 4) Gọi (d) là đường thẳng qua điểm C ;1 và có hệ số góc m a) Viết phương trình (d) b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với Chủ đề 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ĐỊNH LÝ VI-ÉT Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài 1: Giải các phương trình 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 9) x2 – 2( - 1)x - = Bài 2: Giải các phương trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; Biên soạn : Trần Công Hoan 10 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (11) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 3) x – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm Bài 1: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 2 5) x – (2m + 3)x + m + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bài 2: a) Chứng minh với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chứng minh với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân 1 (Èn x) biết: xa xb xc c) Chứng minh phương trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phương trình bậc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 3: a) Chứng minh ít các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) 2 x - 4ax + b = (3) x2 + 4bx + a2 = (4) Chứng minh các phương trình trên có ít phương trình có nghiệm c) Cho phương trình (ẩn x sau): 2b b c ax x 0 (1) bc ca 2c c a bx x 0 (2) ca ab 2a a b cx x 0 (3) ab bc với a, b, c là các số dương cho trước Chứng minh các phương trình trên có ít phương trình có nghiệm Bài 4: a) Cho phương trình ax2 + bx + c = Biết a ≠ và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm Biên soạn : Trần Công Hoan 11 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (12) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) Chứng minh phương trình ax + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm hai điều kiện sau thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm phương trình: x2 – 3x – = Tính: 2 A x1 x ; B x1 x ; C 1 ; x1 x D 3x1 x 3x x1 ; E x1 x ; F x1 x Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 1 vµ x1 x2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phương trình: 5x2 – 3x – = Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau: 3 A 2x1 3x1 x 2x 3x1x ; 1 x x1 x x B ; x x x1 x1 x1 x C 3x1 5x1x 3x 2 4x1x 4x1 x Bài 3: a) Gọi p và q là nghiệm phương trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số số mà các nghiệm nó là p q vµ q 1 p 1 1 vµ 10 72 10 Bài 4: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x – m = a) Chứng minh phương trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với m 1 vµ y x b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 x1 x2 x1 Bài 5: Không giải phương trình 3x + 5x – = Hãy tính giá trị các biểu thức sau: b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm là A 3x1 2x 3x 2x1 ; B x1 x ; x x1 C x1 x2 ; D x1 x x1 x2 Bài 6: Cho phương trình 2x2 – 4x – 10 = có hai nghiệm x1 ; x2 Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bài 7: Cho phương trình 2x2 – 3x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: Biên soạn : Trần Công Hoan 12 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (13) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x1 y x2 y x a) b) x2 y x y x Bài 8: Cho phương trình x + x – = có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: x1 x y y y y x x 2 x x1 a) ; b) y y 2 5x 5x y y 3x 3x y y Bài 9: Cho phương trình 2x2 + 4ax – a = (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả mãn: 1 1 y1 y vµ x1 x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để phương trình có nghiệm a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: 4x 22m 1x m2 m a) Cho phương trình: 2 x 2x x 1 Xác định m để phương trình có ít nghiệm b) Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định m để phương trình có ít nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1: Cho phương trình: x – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2) Xác định m để phương trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại 3) Với điều kiện nào m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện nào m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm) 5) Định m để phương trình có hai nghiệm cho nghiệm này gấp đôi nghiệm 6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - Biên soạn : Trần Công Hoan 13 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (14) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 b) mx – (m – 4)x + 2m = ; 2(x1 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x1 = 3x2 c) mx + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = ; x1 = x 2 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x1 = x 2 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bài 4: a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm này gấp đôi nghiệm b) Chư phương trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho biểu thức R 2x1x đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn đó x1 x 2(1 x1x ) c) Định m để hiệu hai nghiệm phương trình sau đây mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm là 9ac = 2b2 Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: So sánh nghiệm phương trình bậc hai với số Bài 1: a) Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn < x1 < x2 < b) Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn: - < x1 < x2 < Bài 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phương trình f(x) = có hai nghiệm lớn Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Với giá trị nào tham số a, phương trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép b) Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn – Bài 4: Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ và nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - ≤ x2 Biên soạn : Trần Công Hoan 14 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (15) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số Bài 1: a) Cho phương trình: x2 – mx + 2m – = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số m b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phương trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí các nghiệm hai số – và Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – = a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x x x1 Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = a) Giải và biện luận phương trình theo m b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 – x2| ≥ Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = Dạng 8: Mối quan hệ các nghiệm hai phương trình bậc hai Kiến thức cần nhớ: 1/ Định giá trị tham số để phương trình này có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phương trình kia: Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m Định m để cho phương trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phương trình (1), ta có thể làm sau: i) Giả sử x0 là nghiệm phương trình (1) thì kx0 là nghiệm phương trình (2), suy hệ phương trình: ax bx c 2 a' k x b' kx c' (*) Giải hệ phương trình trên phương pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay các giá trị m vừa tìm vào hai phương trình (1) và (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phương trình bậc hai tương đương với Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4) Hai phương trình (3) và (4) tương đương với và hai phương trình có cùng tập nghiệm (kể tập nghiệm là rỗng) Biên soạn : Trần Công Hoan 15 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (16) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với ta xét hai trường hợp sau: i) Trường hợp hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là: (3) ( 4) Giải hệ trên ta tịm giá trị tham số ii) Trường hợp hai phương trình có nghiệm, ta giải hệ sau: Δ (3) Δ (4) S(3) S(4) P P (4) (3) Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phương trình (*) có thể đưa hệ phương trình bậc ẩn sau: bx ay c b' x a' y c' Để giải tiếp bài toán, ta làm sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2 - Kiểm tra lại kết Bài 1: Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bài 2: Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = c) x – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bài 3: Xét các phương trình sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có nghiệm chung Bài 4: Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2) Tìm các giá trị tham số m để phương trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phương trình (1) Bài 5: Cho hai phương trình: x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm các giá trị a hai phương trình trên có ít nghiệm chung b) Với giá trị nào a thì hai phương trình trên tương đương Bài 6: Cho hai phương trình: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) Biên soạn : Trần Công Hoan 16 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (17) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a) Định m để hai phương trình có ít nghiệm chung b) Định m để hai phương trình tương đương c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho các phương trình: x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để các nghiệm phương trình (2) lớn gấp lần các nghiệm phương trình (1) Chủ đề 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –HỆ PHƯƠNG TRÌNH A Các bước giải bài toán cách lập hệ phương trình: Bước : Lập hệ phương trình(phương trình) 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện ẩn (thông thường ẩn là đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết 3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ các lượng Bước : Giải hệ phương trình, (phương trình) Bước : Kết luận bài toán Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy) Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết người đó đến B sớm dự định 24 phút Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở A Thời gian xuôi ít thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A và B Biết vận tốc dòng nước là km/h và vận tốc riêng canô lúc xuôi và lúc ngược Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngược dòng là và vận tốc xuôi dòng vận tốc ngược dòng là km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng (toán vòi nước) Bài tập 1: Hai vòi nước cùng chảy đầy bể không có nước 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ , vòi phải chảy bao lâu đầy bể ? biết vòi chảy sau lâu vòi trước h Giải Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy mình đầy bể là x ( x > , x tính ) Gọi thời gian vòiớau chảy chảy mình đầy bể là y ( y > , y tính ) Biên soạn : Trần Công Hoan 17 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (18) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ( bể ) x 1 vòi sau chảy ( bể ) y 1 hai vòi chảy + ( bể ) y x vòi đầu chảy (1) Hai vòi cùng chảy thì đầy bể 3h 45ph = 15 h 15 = ( bể ) ( 2) 15 1 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình + = y 15 x Vậy hai vòi chảy 1: Mất khác ta biết chảy mình thì vòi sau chảy lâu vòi trước tức là y – x = Vậy ta có hệ phương trình 1 + = y 15 x y–x=4 x (a ) x 1 y 10 4 x 14 x 60 2 x x 30 x x x 2,5 x 2,5 y x y x y x y x ( b) y 1,5 Hệ (a) thoả mãn đk ẩn Hệ (b) bị loại vì x < Vậy Vòi đầu chảy mình đầy bể h Vòi sau chảy mình đầy bể 10 h Bài tập 2: Hai người thợ cùng làm công việc Nếu làm riêng rẽ , người nửa việc thì tổng số làm việc là 12h 30ph Nếu hai người cùng làm thì hai người làm việc đó Như , làm việc riêng rẽ công việc người bao nhiêu thời gian ? Giải Gọi thời gian người thứ làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > ) Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > ) Ta có pt : x + y = 12 (1) thời gian người thứ làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => người thứ làm công việc 2x Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => người thứ hai làm công việc 2y hai người làm 1 1 công việc nên ta có pt : + = 2x y Biên soạn : Trần Công Hoan (2) 18 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (19) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 15 x x y 12 x Từ (1) và (2) ta có hệ pt : 15 1 1 y y x y Vậy làm việc riêng rẽ công việc người làm 10 còn người làm Bài tập 3: Hai tổ niên tình nguyện cùng sửa đường vào thì xong Nếu làm riêng thì tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm mình thì bao lâu xong việc ? Giải Gọi thời gian mình tổ 1sửa xong đường là x( ) ( x ≥ ) Thời gian mình tổ sửa xong đường là x + ( ) ( đường ) x Trong tổ sửa (con đường ) x6 Trong hai tổ sửa (con đường ) 1 Vậy ta có pt: + = 4( x 6) x x ( x 6) x x 24 x1= 6; x2 = -4 x x6 Trong tổ sửa X2 = - < , không thoả mãn điều kiện ẩn Vậy mình tổ sửa xong đường hết ngày mình tổ sửa xong đường hết 12 ngày Bài tập 4: Hai đội công nhân làm đoạn đường Đội làm xong nửa đoạn đường thì đội đến làm tiếp nửa còn lại với thời gian dài thời gian đội đã đã làm là 30 ngày Nếu hai đội cùng làm thì 72 ngày xong đoạn đường Hỏi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đường này ? Giải Gọi thời gian đội làm là x ngày ( x > ) thì thời gian đội làm việc là x + 30 ( ngày ) ( đoạn đường ) 2x Mỗi ngày đội làm ( đoạn đường ) 2( x 30) Mỗi ngày hai đội làm ( đoạn đường ) 72 1 Vậy ta có pt : + = x 2( x 30) 72 Mỗi ngày đội làm x2 -42x – 1080 = / / = 212 + 1080 = 1521 => = =39 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < không thoả mãn đk ẩn Vậy đội làm 60 ngày , đội làm 90 ngày Bài 5: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch cùng thời gian Đội phải trồng 40 , đội phải trồng 90 Đội hoàn thành công việc sớm ngày so với kế hoạch Đội hoàn thành muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc thời Hay Biên soạn : Trần Công Hoan 19 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (20) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 gian thời gian đội đã làm và đội làm trông thời gian đội đã làm thì diện tích trồng hai đội Tính thời gian đội phải làm theo kế hoạch ? Giải Gọi thời gian đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > Thời gian đội đã làm là x – ( ngày ) Thời gian đội đã làm là x + ( ngày ) 40 (ha) x2 90 Mỗi ngày đội trồng (ha) x2 Mỗi ngày đội trồng 40 (x + 2) (ha) x2 90 Nếu đội làm x - ngày thì trồng (x - 2) (ha) x2 Nếu đội làm x + ngày thì trồng Theo đầu bài diện tích rừng trồng dược hai đội trường này là nên ta có pt: 40 90 (x + 2) = (x - 2) x2 x2 Hay x1 = 5x2 – 52x + 20 = / = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 26 24 26 24 = 10 ; x2 = 5 x2 < , không thoả mãn đk ẩn Vậy theo kế hoạch đội phải làm việc 10 ngày Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm và người thứ hai làm thì họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc đó thì xong Giải: Gọi x , y là số người thứ người thứ hai mình làm xong công việc đó ( x > , y>0) 1 1 x y 16 x 24 Ta có hệ pt y 28 3 x y Bài : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai vòi nước cùng chảy vào bể không chứa nước thì sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy , vòi thứ chảy thì bể Hỏi vòi chảy mình bao lâu thì đầy bể ? Giải : Gọi x , y là số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bể mình ( x > , y > ) 1 x Ta có hệ pt 2 x 1 3 x y y x 10 y 15 2 x y y Biên soạn : Trần Công Hoan 20 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (21) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x = 10 , y = 15 thoả mãn đk ẩn Vậy vòi thứ chảy mình 10 , vòi thứ hai chảy mình 15 Bài tập ( 199/24 - 500 BT chọn lọc ) Hai người dự định làm công việc 12 thì xong Họ làm với thì người thứ nghỉ , còn người thứ hai tiếp tục làm Do cố gắng tăng suất gấp đôi , nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại 3giờ 20phút Hỏi người thợ làm mình với suất dự định ban đầu thì bao lâu xong công việc nói trên ? ( Đề thi chuyên toán vòng tỉnh Khánh hoà năm 2000 – 2001 ) Giải: Gọi x , y là thời gian người thợ thứ và người thợ thứ hai làm xong công việc với suất dự định ban đầu (công việc ) x Một người thứ hai làm (công việc ) y Một hai người làm (công việc ) 12 1 Nên ta có pt : + = (1) y 12 x hai người làm = (công việc ) 12 Công việc còn lại là - = ( công việc ) 3 Năng suất người thứ hai làm mình là = (Công việc ) y y 10 Mà thời gian người thứ hai hoàn thành công việc còn lại là (giờ) nên ta có pt 10 y 10 : = hay = (2) y Một người thứ làm Từ (1) và (2) ta có hệ pt : 1 + = y 12 x y 10 = x 30 y 20 Vậy theo dự định người thứ làm xong công việc hết 30giờ và người thứ hai hết 20 Bài tập 9: ( 400 bai tập toán ) Hai người A và B làm xong công việc trông 72 , còn người A và C làm xong công việc đó 63 và ngươoì B và C làm xong công việc 56 Hỏi người làm mình thì bao lâu thì bao lâu làm xong công việc >Nếu ba người cùng làm hoàn thành công việc ? Giải : Gọi người A mình làm xong công việc x (giờ ), x > thì làm Biên soạn : Trần Công Hoan ( công x 21 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (22) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ( công y việc)Người C mình làm xong công việc z (giờ ), z > thì làm ( công z việc).Người B mình làm xong công việc y (giờ ), y > thì làm việc) 1 1 504 x y 72 x 168 504 1 1 y 126 Ta có hpt : x z 63 504 1 1 y z 56 z 100 1 12 + + = ( công việc ) x y z 504 504 Vậy ba ngưòi cùng làm hoàn thành cong việc 42 (giờ ) 12 Nếu ba người cùng làm yhì làm Bài tập 10: ( 258 /96 – nâng cao và chuyên đề ) Hai đội công nhân cùng làm chung công việc Thời gian để đội I làm mình xong công việc ít thời gian để đội II làm mình xong công việc đó là Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó Hỏi đội làm mình thì phải bao lâu xong Giải : Gọi thời gian đội I làm mình xong công việc là x ( x > ) Suy thời gian đội II làm mình xong công việc là x + 1 2x ( công việc ) x x x ( x 4) x ( x 4) Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là (giờ) 2x x ( x 4) Vậy ta có pt : 2x + = 4,5 hay x2 + 4x – 32 = x1 = - ( loại ) x2 = ( thoả mãn 2x Trong hai đội làm chung : điều kiện ẩn ) Vậy Đội I làm mình xong công việc hết , đội hai hết Bài 1: Hai người thợ cùng làm chung công việc 12 phút thì xong Nếu người thứ làm và người thứ hai làm thì hai người làm công việc Hỏi người làm công việc đó thì xong? Bài 2: Nếu vòi A chảy và vòi B chảy thì vòi B chảy 30 phút thì hồ Nếu vòi A chảy và hồ Hỏi chảy mình mỗI vòi chảy bao lâu đầy hồ Bài 3: Biên soạn : Trần Công Hoan 22 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (23) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau đầy bể Nếu vòi chảy mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian vòi I là Tính thời gian vòi chảy mình đầy bể? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất bao nhiêu chi tiết máy? Bài 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A và B là triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm là 045 000 người Tính số dân tỉnh năm ngoái và năm nay? Dạng 4: Toán có nội dung hình học Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất còn lại vườn để trồng trọt là 4256 m2 Bài 2: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m thì diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng m thì diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài 3: Cho tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên cm và cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm thì diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông Dạng 5: Toán tìm số Bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho thì số đó tăng thêm 27 đơn vị Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số đó gấp lần chữ số hàng đơn vị nó và số cần tìm chia cho tổng các chữ số nó thì thương là và số dư là Bài 3: Nếu tử số phân số tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số Nếu tử số thêm và mẫu số tăng gấp thì giá trị phân số Tìm phân số đó 24 Bài 4: Nếu thêm vào tử và mẫu phân số thì giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử và mẫu, phân số tăng Tìm phân số đó Chủ đề 6: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Phương trình có ẩn số mẫu Giải các phương trình sau: Biên soạn : Trần Công Hoan 23 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (24) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x x3 6 x x 1 2x x3 b) 3 x 2x 2 t 2t 5t c) t t 1 t 1 a) Dạng 2: Phương trình chứa thức Lo¹i Lo¹i A (hayB 0) A B A B B AB A B Giải các phương trình sau: a) 2x 3x 11 x b) c) 2x 3x x d) x 2 3x 5x 14 x 12x 3 x e) x 1 x 3x Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải các phương trình sau: a) x x x b) x 2x x 2x c) x 2x x x x 4x d) x x 4x 3x Dạng 4: Phương trình trùng phương Giải các phương trình sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = Dạng 5: Phương trình bậc cao Giải các phương trình sau cách đưa dạng tích đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai: Bài 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2 Bài 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = Biên soạn : Trần Công Hoan 24 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (25) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 c) x x x x e) x2 x 5 3x 40 x x x 5 g) 2x 3x 2x 3x 24 i) 2x 13x 6 2x 5x 2x x k) x 3x x 3x Bài 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bài tập nhà: Giải các phương trình sau: 1 a) 2x 1 x c) 1 d) 4 x 16 x 23 x x 21 f) x 4x x 4x 10 x 48 x 4 h) 10 x 3 x 2x x2 x x4 b) 4x x 3 6 x 1 x d) x 2x 2x 8 x2 9 x 3x 2 a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 2 c) x – 4x – 10 - e) x x 6 = 2x 2x d) 4 3 x2 x2 x x x 5 x a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = Biên soạn : Trần Công Hoan 25 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (26) LUYỆN THI VÀO THPT 1 c) 3 x 16 x 26 x x NĂM HỌC 2011 - 2012 1 d) 2 x 7 x x x a) x 4x x 14 b) 2x x x c) 2x 6x x d) x 3x x e) 4x 4x x x f) x x x x Định a để các phương trình sau có nghiệm a) x4 – 4x2 + a = c) 2t4 – 2at2 + a2 – = Biên soạn : Trần Công Hoan b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 26 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (27) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Phần II: HÌNH HỌC 1.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông A AB2 AC2 BC2 2.Hệ thức lượng tam giác vuông A B C H 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 4) 1 AH AB2 AC2 Kết quả: a -Với tam giác cạnh là a, ta c: h ; a2 S 3.Tỉ số lượng giác góc nhọn Đặt ACB ; ABC đó: AB AH AC HC ; cos ; BC AC BC AC b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC sin tg AB AH ; AC HC cot g AC HC AB AH Kết suy ra: 1) sin cos; cos sin; tg cotg; cot g tg sin cos 2) sin 1; cos <1; tg ; cot g cos sin 1 3) sin cos 2 1; tg.cot g 1; cot g ; tg sin cos 4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó: a b2 c 2bc.cosA; SABC bcsin A 3.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng Biên soạn : Trần Công Hoan 27 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (28) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 A A'; B B'; C C' -Khái niệm: ABC A 'B'C' AB AC BC A 'B' A'C' B'C' -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền cạnh góc vuông… *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tich bình phương tỉ số đồng dạng 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng tam giác vuông, … Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hai tam giác MAD và MCB -Trong trường hợp điểm đó cùng nằm tròn đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng tích thứ ba Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba Ngoài cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức tam giác vuông; phương tích điểm với đường tròn 4.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh -Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng cách điểm -Chứng minh tứ giác cóhai góc đối diện bù -Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm còn lại hai góc -Chứng minh tổng góc ngoài đỉnh với góc đối diện bù -Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nội tiếp (Trong đó M AB CD; N AD BC ) -Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giỏc ABCD nội tiếp (Trong đó P AC BD ) -Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc đường tròn ta có thể chứng minh điểm lúc Song cần chú ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường tròn” B BÀI TẬP TỔNG HỢP: Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H và cắt đường tròn (O) M,N,P Xác định tâm đường tròn nội Chứng minh rằng: tiếp tam giác DEF Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC Lời giải: H và M đối xứng qua BC Xét tứ giác CEHD ta có: Biên soạn : Trần Công Hoan 28 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (29) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 CEH = 90 ( Vì BE là đường cao) CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800 A N P E F H - B D - O ( ( C M Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đường cao => BE AC => BEC = 900 CF là đường cao => CF AB => BFC = 900 Như E và F cùng nhìn BC góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ; Â là góc chung => AEH ADC => AE AH => AE.AC = AH.AD AD AC * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là góc chung => BEC ADC => BE BC => AD.BC = BE.AC AD AC Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 = C2 => CB là tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB là đương trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn => C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E1 = E2 => EB là tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC là tia phân giác góc DFE mà BE và CF cắt H đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Lời giải: Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Xét tứ giác CEHD ta có: Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) đường tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Biên soạn : Trần Công Hoan 29 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (30) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 A O H B E D C CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đường cao => BE AC => BEA = 900 AD là đường cao => AD BC => BDA = 900 Như E và D cùng nhìn AB góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD là đường cao nên là đường trung tuyến => D là trung điểm BC Theo trên ta có BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED là trung tuyến => DE = BC 4.Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2) Mà B1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE E Vậy DE là tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By C và D Các đường thẳng AD và BC cắt N 1.Chứng minh AC + BD = CD 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải: y 3.Chứng minh COD = 90 x AB 3.Chứng minh AC BD = D I / M / 4.Chứng minh OC // BM C N 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD 5.Chứng minh MN AB O A B 1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD Biên soạn : Trần Công Hoan 30 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (31) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC là tia phân giác góc AOM; OD là tia phân giác góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 900 3.Theo trên COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ) Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = AB 4 Theo trên COD = 900 nên OC OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực BM => BM OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD) 5.Gọi I là trung điểm CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang Lại có I là trung điểm CD; O là trung điểm AB => IO là đường trung bình hình thang ACDB IO // AC , mà AC AB => IO AB O => AB là tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD Theo trên AC // BD => CN AC CN CM , mà CA = CM; DB = DM nên suy BN BD BN DM => MN // BD mà BD AB => MN AB ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm IK C2 + I1 = 900 Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên đường tròn (2) ( vì IHC = 900 ) Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (O) A Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lời giải: (HD) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng I tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B 1 Do đó BI BK hayIBK = 90 C B H Tương tự ta có ICK = 90 B và C cùng nằm o trên đường tròn đường kính IK đó B, C, I, K cùng nằm trên đường tròn K Ta có C1 = C2 (1) ( vì CI là phân giác góc ACH I1 = ICO (3) ( vì tam giác OIC cân O) Từ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC Vậy AC là tiếp tuyến đường tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = 202 12 = 16 ( cm) CH2 = AH.OH => OH = CH 12 = (cm) AH 16 Biên soạn : Trần Công Hoan 31 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (32) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 OC = OH HC 12 225 = 15 (cm) Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm AC và BD, I là giao điểm OM và AB d Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp A Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên P K D đường tròn N Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 H M O I Chứng minh OAHB là hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng C Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường B thẳng d Lời giải: (HS tự làm) Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đường kính Và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900 K, A, B cùng nhìn OM góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đường tròn Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực AB => OM AB I Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI là đường cao Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2 Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi Theo trên OAHB là hình thoi => OH AB; theo trên OM AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đường kính đường tròn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E 1.Chứng minh tam giác BEC cân AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC Gọi I là hình chiếu A trên BE, Cminh (1) và AE = AC (2) AI = AH Vì AB CE (gt), đó AB vừa là đường cao 3.Chứng minh BE là tiếp tuyến đường tròn vừa là đường trung tuyến BEC => BEC (A; AH) là tam giác cân => B1 = B2 4.C.minh BE = BH + DE Lời giải: (HD) Biên soạn : Trần Công Hoan 32 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (33) LUYỆN THI VÀO THPT E D NĂM HỌC 2011 - 2012 A I B H C Hai tam giác vuông ABI và ABH có cạnh huyền AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH AI = AH và BE AI I => BE là tiếp tuyến (A; AH) I DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P X cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M N J P Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn I Chứng minh BM // OP M Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng K minh tứ giác OBNP là hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN và OM kéo dài ( ( A B cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng O Lời giải: (HS tự làm) 2.Ta có ABM nội tiếp chắn cung AM; AOM là góc tâm AOM (1) OP là tia phân giác AOM AOM ( t/c hai tiếp tuyến cắt ) => AOP = (2) chắn cung AM => ABM = Từ (1) và (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và nhau) Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt I nên I là trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có PAO = AON = ONP = 900 => K là trung điểm PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật) (6) AONP là hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có PO là tia phân giác APM => APO = MPO (8) Từ (7) và (8) => IPO cân I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK PO (9) Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng Biên soạn : Trần Công Hoan 33 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (34) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp I 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF là tam giác cân F 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH là hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đ tròn M Lời giải: H E Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) K => KMF = 900 (vì là hai góc kề bù) 2 AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) B A O => KEF = 900 (vì là hai góc kề bù) => KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK là tứ giác nội tiếp Ta có IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên) Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao => AI2 = IM IB Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí ……) => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE AF hay BE là đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân B BAF là tam giác cân B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm AF (3) Từ BE AF => AF HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường) (HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân AKFI là hình thang cân M là trung điểm cung AB Thật vậy: M là trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) Tam giác ABI vuông A có ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M là trung điểm cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn X Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn Các tia AC và AD cắt Bx E, F (F B và E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB Chứng minh CEFD là tứ giác nội tiếp Biên soạn : Trần Công Hoan 34 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (35) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 X Lời giải: 1.C thuộc nửa đường tròn nên ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx là tiếp tuyến ) => tam giác ABE vuông B có BC là đường cao => AC AE = AB2 (hệ thức cạnh và đường cao ), mà AB là đường kính nên AB = 2R không đổi đó AC AE không đổi 2. ADB có ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ABD + BAD = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800)(1) ABF có ABF = 900 ( BF là tiếp tuyến ) => AFB + BAF = 900 (vì tổng ba góc tam giác 1800) (2) Từ (1) và (2) => ABD = DFB ( cùng phụ với BAD) E C D A O F B 3.Tứ giác ACDB nội tiếp (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) => ECD = ABD ( cùng bù với ACD) Theo trên ABD = DFB => ECD = DFB Mà EFD + DFB = 1800 ( Vì là hai góc kề bù) nên suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối tứ giác CDFE đó tứ giác CEFD là tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn cho AM < MB Gọi M’ là điểm đối xứng M qua AB và S là giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P là chân đường S vuông góc từ S đến AB 1.Gọi S’ là giao điểm MA và SP Chứng minh ∆ PS’M M cân 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến đường tròn Lời giải: 4( )1 P Ta có SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( nội tiếp B ) H O 3( A chắn nửa đường tròn ) => AMS = 90 Như P và M cùng nhìn AS góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn M' đường kính AS S' Vậy bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đường tròn Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ nằm trên đường tròn => hai cung AM và AM’ có số đo => AMM’ = AM’M ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ AB H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (vì so le trong) (2) => Từ (1) và (2) => AS’S = ASS’ Biên soạn : Trần Công Hoan 35 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (36) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đ/ tròn => ASP=AMP (nội tiếp cùng chắn AP ) => AS’P = AMP => tam giác PMS’ cân P Tam giác SPB vuông P; tam giác SMS’ vuông M => B1 = S’1 (cùng phụ với S) (3) Tam giác PMS’ cân P => S’1 = M1 (4) Tam giác OBM cân O ( vì có OM = OB =R) => B1 = M3 (5) Từ (3), (4) và (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mà M3 + M2 = AMB = 900 nên suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM M => PM là tiếp tuyến đường tròn M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) các điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp BD BM CB CF A Lời giải: (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt ta có AD = AF => tam giác ADF cân A => ADF = AFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => DEF < 900 ( vì góc DEF nội tiếp chắn cung DE) Chứng minh tương tự ta có DFE < 900; EDF < 900 Như tam giác DEF có ba góc nhọn Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF => DF // BC AB AC D F O I B M E C DF // BC => BDFC là hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân) => BDFC là hình thang cân đó BDFC nội tiếp đường tròn Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI); CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF => BDM CBF => BD BM CB CF Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : Như M và N cùng nhìn OP Tứ giác OMNP nội tiếp góc 900 => M Tứ giác CMPO là hình bình hành và N cùng nằm trên đường tròn CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M đường kính OP => Tứ giác Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên OMNP nội tiếp đoạn thẳng cố định nào Tứ giác OMNP nội tiếp => Lời giải: OPM = ONM (nội tiếp 0 Ta có OMP = 90 ( vì PM AB ); ONP = 90 (vì NP là chắn cung OM) Tam giác tiếp tuyến ) Biên soạn : Trần Công Hoan 36 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (37) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ONC cân O vì có ON = OC = R => ONC = OCN C M A O B N A' P D B' => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC và MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM lại có MO là cạnh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo giả thiết Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => OMC NDC => CM CO => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN CD CN =2R2 không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đường thẳng cố định vuông góc với CD D Vì M chạy trên đoạn thẳng AB nên P chạy trên doạn thẳng A’ B’ song song và AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE là hình chữ nhật BEFC là tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn A Lời giải: Ta có : BEH = 90 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) E I => AEH = 900 (vì là hai góc kề bù) (1) 1( F CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) )1 => AFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) O1 O2 B H C EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1) và (O2) => B1 = H1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối tứ giác BEFC đó BEFC là tứ giác nội tiếp Xét hai tam giác AEF và ACB ta có A = 900 là góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng minh trên) Biên soạn : Trần Công Hoan 37 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (38) LUYỆN THI VÀO THPT AE AF => AEF ACB => => AE AB = AF AC AC AB NĂM HỌC 2011 - 2012 * HD cách 2: Tam giác AHB vuông H có HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H có HF AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) và (**) => AE AB = AF AC Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chứng minh tương tự ta có O2F EF Vậy EF là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự là giao điểm EA, E EB với các nửa đường tròn (I), (K) 1.Chứng minh EC = MN N 2.Ch/minh MN là tiếp tuyến chung các nửa đ/tròn (I), (K) H 3.Tính MN M 4.Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Lời giải: I O A C K B Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K) => ENC = 900 (vì là hai góc kề bù) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hchữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN) Tứ giác CMEN là hcnhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tgiác KBN cân K => B1 = N1 (5) Từ (4) và (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN N => MN là tiếp tuyến (K) N Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến (I) M, Vậy MN là tiếp tuyến chung các nửa đường tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => AEB vuông A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 1 Ta có diện tích phần hình giới hạn ba nửa đường tròn là S = S= ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Biên soạn : Trần Công Hoan 38 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (39) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp Chứng minh CA là tia phân giác góc SCB Gọi E là giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM là tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: C C 123 O O D S E M A D M F B 2 F E S 2 A B H×nh b H×nh a Ta có CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CDB = 900 D và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp ABCD là tứ giác nội tiếp => D1= C3( nội tiếp cùng chắn cung AB) EM => C = C (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung D1= C3 => SM nhau) => CA là tia phân giác góc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC BA, EM, CD là ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy EM => D = D => DM là tia phân giác góc ADE.(1) Theo trên Ta có SM Ta có MEC = 90 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => A2 = B2 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếp cùng chắn cung CD) => A1= A2 => AM là tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS CS SM EM => SCM = ECM => CA là tia phân giác góc SCB => CE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : Tứ giác ADEC và Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD AFBC nội tiếp Biên soạn : Trần Công Hoan 39 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (40) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 B AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: O Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC E vuông A); DEB = 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => DEB = BAC = 90 ; lại có ABC là góc chung => DEB CAB F G D Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 S A C ( vì ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 F và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le nên suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB AC Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH PQ Lời giải: A Ta có MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 P và Q cùng nhìn BC góc 900 nên P và Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp * Vì AM là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác O APMQ tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là P trung điểm AM Tam giác ABC có AH là đường cao => SABC = BC.AH Q M AB.MP B H C Tam giác ACM có MQ là đường cao => SACM = AC.MQ 1 Ta có SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Tam giác ABM có MP là đường cao => SABM = Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH là đường cao nên là đường phân giác => HAP = HAQ => HQ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH là tia phân giác góc HP POQ Mà tam giác POQ cân O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy OH là đường cao => OH PQ Biên soạn : Trần Công Hoan 40 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (41) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B) ; trên đường thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M ngoài đường tròn ; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) C và D Gọi I là giao điểm AD và BC Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội Lời giải: BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BID = 900 (vì là hai góc kề bù); DE AB M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M là trung điểm AB; DE AB M nên M là trung điểm DE (quan hệ đường kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD DC; theo trên BI DC => BI // AD (1) Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 = E1 ; O’IC cân O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mà I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI O’I I => MI là tiếp tuyến (O) D I A / / O M B O' C E Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D và E là điểm chính các cung AB và AC DE cắt AB I và cắt AC L a) Chứng minh DI = IL = LE b) Chứng minh tứ giác BCED là hình chữ nhật c) Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi và tính các góc hình này Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có các đường chéo vuông góc với I Biên soạn : Trần Công Hoan 41 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (42) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a) Chứng minh từ I ta hạ đường vuông góc xuống cạnh tứ giác thì đường vuông góc này qua trung điểm cạnh đối diện cạnh đó b) Gọi M, N, R, S là trung điểm các cạnh tứ giác đã cho Chứng minh MNRS là hình chữ nhật c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này qua chân các đường vuông góc hạ từ I xuống các cạnh tứ giác Bài 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH là đường cao Hai đường tròn đường kính AB và AC có tâm là O1 và O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đtròn (O1) và (O2) M và N a) Chứng minh tam giác MHN là tam giác vuông b) Tứ giác MBCN là hình gì? c) Gọi F, E, G là trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch đường nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường tròn phía hình vuông.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường tròn phía hình vuông Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C) H và K là hình chiếu P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đường tròn I và M a) Chứng minh I là trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) các điểm E, F Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF a) Chứng minh tứ giác OAO'I là hình bình hành và OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc đường tròn c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đường cao BE và CF cắt H.Gọi D là điểm đối xứng H qua trung điểm M BC a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.Xác định tâm O đường tròn đó b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) điểm thứ là I Chứng minh điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên đường tròn Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt A và B Tia OA cắt đường tròn (O') C, tia O'A cắt đường tròn (O) D Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên đường tròn Bài 4: Biên soạn : Trần Công Hoan 42 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (43) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD cắt E Vẽ EF vuông góc AD Gọi M là trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp b) Tia CA là tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp Bài 5: Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB, CE MA, CF MB Gọi I là giao điểm AC và DE, K là giao điểm BC và DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp b) CD2 = CE CF c)* IK // AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn Vẽ hai đường cao BD và CE a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn b) Chứng minh xy// DE, từ đó suy OA DE Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N a) Chứng minh tam giác AMN là tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC c)* Gọi D là giao điểm AB và CM Chứng minh rằng: 1 AM MB MD Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A và C Một đường tròn (O) thay đổi qua B và C Vẽ đường kính MN vuông góc với BC D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại điểm thứ hai là F Hai dây BC và MF cắt E Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp b) AD AE = AF AN c) Đường thẳng MF qua điểm cố định Bài 9: Từ điểm A bên ngoài đường tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M là trung điểm AB Tia CM cắt đường tròn điểm N Tia AN cắt đường tròn điểm D a) Chứng minh MB2 = MC MN b) Chứng minh AB// CD c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC là hình thoi Tính diện tích cử hình thoi đó Bài 10: Cho đường tròn (O) và dây AB Gọi M là điểm chính cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D là điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động trên dây AB c) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh MAB = AO'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Biên soạn : Trần Công Hoan 43 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (44) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đường cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vuông góc với AD ( E AD) a) Chứng minh AHEC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH là tia phân giác góc ACE d) Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng CA CH và cung nhỏ AH đường tròn nói trên biết AC= 6cm, ACB = 300 Bài 12: Cho đường tròn tâm O có đường kính BC Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bán kính OC Đường vuông góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F a) Chứng minh ADCF là tứ giác nội tiếp b) Gọi M là trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM là tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tính diện tích hình giới hạn các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC đường tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600 Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đường tròn Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm) Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D là tiếp điểm) a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh CD là tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 600 Bài 14: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D trên tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA các điểm tương ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm trên đường tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP là H, K Tam giác HNK là tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí trên tia AC Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt hai điểm A và B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) và (O') C và C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) và (O') D và D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD và đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài 2: Từ điểm C ngoài đường tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM và AB đồng quy điểm D b) Chứng minh các tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài 3: Biên soạn : Trần Công Hoan 44 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (45) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài A ( R> R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) và (O') theo thứ tự B và C ( B và C khác A) EF là dây cung đường tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường tròn (O') D a) Tứ giác BEFC là hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF và CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’) Bài 4: Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài C AC và BC là đường kính (O) và (O’), DE là tiếp tuyến chung ngoài (D (O), E (O’)) AD cắt BE M a) Tam giác MAB là tam giác gì? b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung (O) và (O’) c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về cùng phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn trên I, K Chứng minh OI // AK Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bài 1: Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngoài (O) Từ điểm chính P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC là phân giác ngoài tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi luôn qua A, B Chứng minh IQ luôn qua điểm cố định Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động trên AB N di động trên tia đối tia CA cho BM = CN a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A và D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn Bài 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định ngoài (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A và B Tiếp tuyến (O) A và B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I là trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O C là điểm chính cung AB M di động trên cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So sánh tam giác AMC và BCN b) Tam giác CMN là tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN là hình bình hành d) Đường thẳng d qua N và vuông góc với BM Chứng minh d luôn qua điểm cố định Biên soạn : Trần Công Hoan 45 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (46) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C và D Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I là trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B cùng thuộc đường tròn b) Gọi H là trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì? c) Khi M di đồng trên d Chứng minh AB luôn qua điểm cố định d) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD E và K Cminh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây AB M là điểm chính cung AB C thuộc AB, dây MD qua C a) Chứng minh MA2 = MC.MD b) Chứng minh MB.BD = BC.MD c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B d) Gọi R1, R2 là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động trên AB Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến A, B C và E a) Chứng minh CE = AC + BE b) Chứng minh AC.BE = R2 c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE d) Xét trường hợp hai đường thẳng AB và CE cắt F Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên AB + Chứng minh rằng: HA FA HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi M di động trên nửa đường tròn Bài 3: Trên cung BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P bất kì Các đường thẳng AP và BC cắt Q Chứng minh rằng: 1 PQ PB PC Bài 4: Cho góc vuông xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A và cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh các hệ thức: a) 1 2 AB AC a b) AB2 + AC2 = 4R2 Chủ đề 6: Các bài toán tính số đo góc và số đo diện tích Bài 1: Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B (O); C (O’)) a) Chứng minh góc O’OB 600 b) Tính độ dài BC c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC và các cung AB, AC hai đường tròn Bài 2: Biên soạn : Trần Công Hoan 46 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (47) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K) a) Chứng ming EC = MN b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung các nửa đường tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN d) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Bài 3: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn Từ điểm M trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P và Q a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi b) Cho biết BAC = 600 và bán kính đường tròn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB và dtích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp , K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm IK a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến đường tròn (O) c) Tính bán kính đường tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R E là điểm trên đường tròn mà AE > EB M là điểm trên đoạn AE cho AM.AE = AO.AB a) Chứng minh AOM vuông O b) OM cắt đường tròn C và D Điểm C và điểm E cùng phía AB Chứng minh ACM đồng dạng với AEC c) Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm và AEC là Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Toán quỹ tích Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm di động trên đường tròn đó Gọi D là hình chiếu B trên AM và P là giao điểm BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển trên đường tròn (O) Bài 2: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M trên d và ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ a) Chứng minh góc QMO góc QPO và đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động trên d b) Xác định vị trí M để MQOP là hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động trên d Bài 3: Hai đường tròn tâm O và tâm I cắt hai điểm A và B Đường thẳng d qua A cắt các đường tròn (O) và (I) P, Q Gọi C là giao điểm hai đường thẳng PO và QI a) Chứng minh các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F là trung điểm AP, AQ, K là trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đường nào? c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Biên soạn : Trần Công Hoan 47 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (48) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu hình học không gian Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm và A’C = 13 cm Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình lập phương đó Bài 3: Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ 600 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật đó Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh và thể tích nó biết cạnh đáy dài cm và góc AA’B 300 Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là a a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình chóp Bài 7:Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên a a) Tính diện tích toán phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài 8:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là cm Tính thể tích hình chóp cụt đó Bài 10:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên là tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 11: Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh nó Bài 12: Một hình nón có bán kính đáy cm và diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón đó Bài 13:Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đường cao 12 cm và đường sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt đó Bài 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2 Tính thể tích hình cầu đó Biên soạn : Trần Công Hoan 48 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (49) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 A - PHẦN ĐỀ BÀI I - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho biết a = và b = Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 3x + y = b) Giải hệ phương trình: x - 2y = - x Câu 2: Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1) : x 1 x - x x- x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị x để P > 2 Câu 3: Cho phương trình: x – 5x + m = (m là tham số) a) Giải phương trình trên m = b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc với AB I (I nằm A và O ) Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc đường thẳng cố định 1 Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a b ĐỀ SỐ Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: 1 3 3 b) Giải phương trình: x2 – 7x + = Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + và Parabol (P): y = x2 4x + ay = b b) Cho hệ phương trình: x - by = a Tìm a và b để hệ đã cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1) Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng thì còn thừa lại tấn, còn xếp toa 16 thì có thể chở thêm Hỏi xe lửa có toa và phải chở bao nhiêu hàng Câu 4: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC) a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn MBC b) Vẽ MP BC (P BC) Chứng minh: MPK c) Xác định vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Biên soạn : Trần Công Hoan 49 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (50) LUYỆN THI VÀO THPT Câu 5: Giải phương trình: NĂM HỌC 2011 - 2012 y - 2010 x - 2009 z - 2011 x - 2009 y - 2010 z - 2011 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – = 2x + y = b) 3x + 4y = -1 Câu 2: Rút gọn các biểu thức: a) A = 3 2 1 1 x+2 x b) B = ( với x > 0, x ) x x4 x + x 4 Câu 3: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – trên cùng hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm các đồ thị đã vẽ trên phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE và CF cắt H a) Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE và CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 - x y + x + y - y +1 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Trục thức mẫu các biểu thức sau: ; 1 b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a Câu 2: Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 2x + = - x 2x + 3y = b) x - y = Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình đã cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Biên soạn : Trần Công Hoan 50 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (51) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM 900 (I và M không trùng với các đỉnh hình vuông ) a) Chứng minh BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N là giao điểm tia AM và tia DC; K là giao điểm BN và tia EM Chứng minh CK BN Câu 5: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) ĐỀ SỐ 2 Câu 1: a) Thực phép tính: b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) và điểm B(-2;1) Tìm các hệ số a và b Câu 2: Giải các phương trình sau: a) x2 – 3x + = x -2 b) + = x-1 x+1 x -1 Câu 3: Hai ô tô khởi hành cùng lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai là 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai là 0,4 Tính vận tốc ô tô Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB và CD là hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự E và F a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S1, S2 thứ tự là diện tích ∆AEF, ∆BCE và ∆BDF Chứng minh: Câu 5: Giải phương trình: 10 x + = x + S1 S2 S ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: 3 3 a) A = 1 b a b) B = a b - b a ( với a > 0, b > 0, a b) a ab ab b x - y = - 1 Câu 2: a) Giải hệ phương trình: x + y = 2 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: Câu 3: Biên soạn : Trần Công Hoan 51 P = x12 + x22 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (52) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) và song song với đường thẳng 2x + y = Tìm các hệ số a và b b) Tính các kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước thêm cm thì diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M là điểm thuộc cạnh AC (M khác A và C ) Đường tròn đường kính MC cắt BC N và cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM là tia phân giác góc ANI c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2 Câu 5: Cho biểu thức A = 2x - xy + y - x + Hỏi A có giá trị nhỏ hay không? Vì sao? ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = 1 b) Tính: 3 5 1 x-1+ 3-x Câu 2: Giải phương trình và bất phương trình sau: a) ( x – )2 = x-1 b) < 2x + Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 b) Tìm các giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vuông góc với AB (CD không qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai là M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H là giao điểm MA và BC; K là giao điểm MD và AB Chứng minh BMHK là tứ giác nội tiếp và HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2 x + = 2y Câu 5: Giải hệ phương trình: y + = 2x ĐỀ SỐ 2x + y = Câu 1: a) Giải hệ phương trình: x - 3y = - b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm phương trình:3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = 1 + x1 x2 a a a 1 Câu 2: Cho biểu thức A = với a > 0, a : a 1 a - a a - a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) Biên soạn : Trần Công Hoan 52 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (53) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a) Giải phương trình đã cho với m = b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2.( x1 x2 – ) = 3( x1 + x2 ) Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn ACO b) Chứng minh ADE c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Cho các số a, b, c ; 1 Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho hàm số y = x + Tính giá trị hàm số x = 32 b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – và đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trên trục hoành 3 x 6 x x-9 Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: A = : x x x-4 với x 0, x 4, x x - 3x + b) Giải phương trình: x + x - 3 x - 3x - y = 2m - Câu 3: Cho hệ phương trình: (1) x + 2y = 3m + a) Giải hệ phương trình đã cho m = b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự C và D a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD c) Gọi I là giao điểm AN và CM, K là giao điểm BN và DM Chứng minh IK //AB a+b Câu 5: Chứng minh rằng: với a, b là các số dương a 3a + b b 3b + a ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Rút gọn các biểu thức: a) A = 50 2 1 x - 2x + , với < x < x-1 4x Câu 2:Giải hệ phương trình và phương trình sau: b) B = 2 x - 1 y = a) x - 3y = - Biên soạn : Trần Công Hoan 53 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (54) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) x + x Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phẩm loại I và 120 sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phẩm loại I ít số sản phẩm loại II là 10 sản phẩm Hỏi xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm loại Câu 4: Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt A và B Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính hai đường tròn (O) và (O) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F cùng nằm trên đường tròn c) Một đường thẳng d thay đổi luôn qua A cắt (O) và (O) thứ tự M và N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn Câu 5: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x + x 2011 y + y 2011 2011 Tính: x + y ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: 1 - a a - a A a - a với a ≥ và a ≠ 1 a 2) Giải phương trình: 2x - 5x + = Câu 2: 1) Với giá trị nào k, hàm số y = (3 - k) x + nghịch biến trên R 2) Giải hệ phương trình: 4x + y = 3x - 2y = - 12 Câu 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 1) Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x1 - x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E là trung điểm AC 1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn 2) Gọi I là giao điểm BE với OM Chứng minh: IB.IE = IM.IO Câu 5: Cho x > 0, y > và x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : + P = 3x + 2y + x y ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 a + a a- a 2) B = + + với a ≥ 0, a ≠ a + 1a Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax , biết đồ thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) Biên soạn : Trần Công Hoan 54 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (55) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, đó có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng đó Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S 1) Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và CA là tia phân giác góc BCS 2) Gọi E là giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 3) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Câu 5: Giải phương trình x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - ĐỀ SỐ 13 a a - a a + a +2 Câu 1: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 1, a : a a a a + a 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Câu 2: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, hãy tìm hệ số góc đường thẳng d 2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = b) Xác định giá trị m để phương trình có tích nghiệm 5, từ đó hãy tính tổng nghiệm phương trình Câu 3: Giải hệ phương trình: 4x + 7y = 18 3x - y = Câu 4: Cho ∆ABC cân A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm IK 1) Chứng minh điểm B, I, C, K cùng thuộc đường tròn tâm O 2) Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn tâm (O) 3) Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm Câu 5: Giải phương trình: x2 + x + 2010 = 2010 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức x +1 x 2+5 x + + với x ≥ 0, x ≠ 4-x x -2 x +2 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P = Câu 2: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y (m 1)x n 1) Với giá trị nào m và n thì d song song với trục Ox 2) Xác định phương trình d, biết d qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc -3 P= Biên soạn : Trần Công Hoan 55 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (56) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 3: Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) 1) Giải phương trình với m = -3 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức x12 + x 22 = 10 3) Tìm hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc giá trị m Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật 2) Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn 3) EF là tiếp tuyến chung nửa đường tròn đường kính BH và HC Câu 5: Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ: (1) x + a + b + c = 2 2 x + a + b + c = 13 (2) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ x ĐỀ SỐ 15 x Câu 1: Cho M = + : với x 0, x x - x - x x 1 x - a) Rút gọn M b) Tìm x cho M > Câu 2: Cho phương trình x2 - 2mx - = (m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình trên Tìm m để x12 + x 22 - x1x2 = Câu 3: Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở ít Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc, biết các xe chở khối lượng hàng Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R Điểm M thuộc đường tròn cho MA < MB Tiếp tuyến B và M cắt N, MN cắt AB K, tia MO cắt tia NB H a) Tứ giác OAMN là hình gì ? b) Chứng minh KH // MB Câu 5: Tìm x, y thoả mãn 5x - x (2 + y) + y2 + = ĐỀ SỐ 16 Câu 1: Cho biểu thức: K = x x -1 - 2x - x với x >0 và x x- x 1) Rút gọn biểu thức K 2) Tìm giá trị biểu thức K x = + Câu 2: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + Tìm hệ số a và b 3x 2y 2) Giải hệ phương trình: x - 3y Câu 3: Một đội xe nhận vận chuyển 96 hàng Nhưng khởi hành có thêm xe nữa, nên xe chở ít lúc đầu 1,6 hàng Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị 56 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (57) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 4: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và điểm A thay đổi trên cung lớn BC cho AC > AB và AC> BC Gọi D là điểm chính cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D và C cắt E Gọi P, Q là giao điểm các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE 1) Chứng minh rằng: DE//BC 2) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn 1 3) Gọi giao điểm các dây AD và BC là F Chứng minh hệ thức: = + CE CQ CF Câu 5: Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c 1 + + 2 a+b b+c c+a ĐỀ SỐ 17 Câu 1: Cho x1 = + và x2 = 3- Hãy tính: A = x1 x2; B = x12 + x 22 Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = a) Giải phương trình với m = -2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cho tích các nghiệm Câu 3: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + và (d’): y = (m2 - 2) x + a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm chúng b) Tìm m để (d) song song với (d’) Câu 4: Cho điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm A và C) Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC; AT là tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông góc với BC, đường thẳng này cắt BC H và cắt đường tròn K (K T) Đặt OB = R a) Chứng minh OH.OA = R2 b) Chứng minh TB là phân giác góc ATH c) Từ B vẽ đường thẳng song song với TC Gọi D, E là giao điểm đường thẳng vừa vẽ với TK và TA Chứng minh ∆TED cân HB AB d) Chứng minh = HC AC Câu 5: Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + ĐỀ SỐ 18 Câu 1: Rút gọn các biểu thức: 1) 45 20 2) x x x x4 với x > x 2 Câu 2: Một vườn hình chữ nhật có chu vi 72m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và chiều dài lên gấp ba thì chu vi vườn là 194m Hãy tìm diện tích vườn đã cho lúc ban đầu Câu 3: Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = (1) 1) Giải phương trình (1) m = Biên soạn : Trần Công Hoan 57 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (58) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức x12 + x 22 = (x1 + x2) Câu 4: Cho đường tròn (O) và (O) cắt hai điểm A, B phân biệt Đường thẳng OA cắt (O), (O) điểm thứ hai C, D Đường thẳng O A cắt (O), (O) điểm thứ hai E, F Chứng minh đường thẳng AB, CE và DF đồng quy điểm I Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp đường tròn Cho PQ là tiếp tuyến chung (O) và (O) (P (O), Q (O) ) Chứng minh đường thẳng AB qua trung điểm đoạn thẳng PQ 1 Câu 5: Giải phương trình: + =2 x 2x ĐỀ SỐ 19 Câu 1: Cho các biểu thức A = 11 11 , B 5: 11 55 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh: A - B = 3x + my = Câu 2: Cho hệ phương trình mx - y = a) Giải hệ m = b) Chứng minh hệ có nghiệm với m Câu 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 10m Hai cạnh góc vuông kém 2m Tính các cạnh góc vuông Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By P và Q; AM cắt CP E, BM cắt CQ F a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn = 900 b) Chứng minh góc PCQ c) Chứng minh AB // EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x + 2x + x2 + ĐỀ SỐ 20 Câu 1: Rút gọn các biểu thức : 2 a) A = -2 +2 x -1 1- x b) B = x : + với x 0, x x x x + x Câu 2: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - c) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 x + x1x 22 = 24 Biên soạn : Trần Công Hoan 58 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (59) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 3: Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và chia thành các dãy có số chỗ ngồi thêm cho dãy chỗ ngồi và bớt dãy thì số chỗ ngồi phòng không thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi phòng họp chia thành bao nhiêu dãy Câu 4: Cho đường tròn (O,R) và điểm S ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB ( A, B là các tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a qua S và cắt đường tròn (O) M và N, với M nằm S và N (đường thẳng a không qua tâm O) a) Chứng minh: SO AB b) Gọi H là giao điểm SO và AB; gọi I là trung điểm MN Hai đường thẳng OI và AB cắt E Chứng minh IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn c) Chứng minh OI.OE = R2 Câu 5: Tìm m để phương trình ẩn x sau đây có ba nghiệm phân biệt: x3 - 2mx2 + (m2 + 1) x - m = (1) ĐỀ SỐ 21 Câu 1) Trục thức mẫu số 1 x y 2) Giải hệ phương trình : 2 x Câu Cho hai hàm số: y x và y x 1) Vẽ đồ thị hai hàm số này trên cùng hệ trục Oxy 2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N hai đồ thị trên phép tính Câu Cho phương trình x 2m 1x m với m là tham số 1) Giải phương trình m 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x thoả mãn x12 x1 x2 x22 Câu Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A , B ) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến đường tròn (O) 7x2 7x Câu Tìm nghiệm dương phương trình : 4x 28 ĐỀ SỐ 22 Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 - 2x - 15 = 2) Trong hệ trục toạ độ Oxy, biết đường thẳng y = ax - qua điểm M (- 1; 1) Tìm hệ số a a a a a a Câu 2: Cho biểu thức: P = a a với a > 0, a 2 a Biên soạn : Trần Công Hoan 59 1) Rút gọn biểu thức P Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (60) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2) Tìm a để P > - Câu 3: Tháng giêng hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy; tháng hai cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì hai tổ đã sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng giêng tổ sản xuất bao nhiêu chi tiết máy? Câu 4: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB Trên cùng nửa mp bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P 1) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh AI.BK = AC.BC 3) Tính APB Câu 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + px + q = biết p + q = 198 ĐỀ SỐ 23 Câu 1) Tính giá trị A = 20 80 2) Giải phương trình x x Câu 1) Tìm m để đường thẳng y 3 x và đường thẳng y x 2m cắt điểm nằm trên trục hoành 2) Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13m và chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật đó Câu Cho phương trình x x m với m là tham số 1) Giải phương trình m 2) Tìm giá trị m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x thoả mãn điều kiện: x x x1 x 12 Câu Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt A và B Kẻ tiếp tuyến chung DE hai đường tròn với D (O) và E (O’) cho B gần tiếp tuyến đó so với A BDE 1) Chứng minh DAB 2) Tia AB cắt DE M Chứng minh M là trung điểm DE 3) Đường thẳng EB cắt DA P, đường thẳng DB cắt AE Q Chứng minh PQ song song với AB 4x Câu Tìm các giá trị x để là số nguyên âm x 1 ĐỀ SỐ 24 Câu Rút gọn: 5 x x x x 2) B = 1 x với x x Câu Cho phương trình x 3 m x 2m 5 với m là tham số 1) Chứng minh với giá trị m phương trình luôn có nghiệm x 1) A = (1 5) Biên soạn : Trần Công Hoan 60 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (61) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2) Tìm giá trị m để phương trình trên có nghiệm x 2 Câu Một xe ô tô cần chạy quãng đường 80km thời gian đã dự định Vì trời mưa nên phần tư quãng đường đầu xe phải chạy chậm vận tốc dự định là 15km/h nên quãng đường còn lại xe phải chạy nhanh vận tốc dự định là 10km/h Tính thời gian dự định xe ô tô đó Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn và điểm D nằm trên đoạn OA Vẽ các tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn Đường thẳng qua C, vuông góc với CD cắt cắt tiếp tuyên Ax, By M và N 1) Chứng minh các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp đường tròn 900 2) Chứng mình MDN 3) Gọi P là giao điểm AC và DM, Q là giao điểm BC và DN Chứng minh PQ song song với AB Câu Cho các số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: ab bc c a b c a 4 c a b bc c a ab ĐỀ SỐ 25 x Câu Cho biểu thức A = : với a > 0, a x 1 x x x x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x 2 Câu Cho phương trình x ax b với a, b là tham số 1) Giải phương trình a và b 5 2) Tìm giá trị a, b để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1 , x thoả mãn điều kiện: x1 x 3 x x Câu Một thuyền chạy xuôi dòng từ bến sông A đến bên sông B cách 24km Cùng lúc đó, từ A bè trôi B với vận tốc dòng nước là km/h Khi đến B thì thuyền quay lại và gặp bè địa điểm C cách A là 8km Tính vận tốc thực thuyền Câu Cho đường (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Lấy điểm M trên tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm AB 1) Chứng minh các điểm M, D, O, H cùng nằm trên đường tròn 2) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD 3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự P và Q Tìm vị trí điểm M trên d cho diện tích tam giác MPQ bé Câu Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn a b c abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a b a c ĐỀ SỐ 26 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: 1 2 2 Biên soạn : Trần Công Hoan 61 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (62) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 3x + y = 2) Giải hệ phương trình: x - 2y = - x Câu 2: Cho biểu thức P = với x > : x 1 x + x 1 x+ x 1) Rút gọn biểu thức P Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = (1) 1) Giải phương trình đã cho với m = 2) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1 x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ) 2) Tìm các giá trị x để P > Câu 4: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O Hai đường chéo AC và BD cắt E Gọi H là hình chiếu vuông góc E xuống AD và I là trung điểm DE Chứng minh rằng: 1) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đường tròn 2) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH 2) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc đường tròn Câu 5: Giải phương trình: x+8 x+3 x 11x + 24 ĐỀ SỐ 27 Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: 1) A = 20 80 45 5 5 2) B = 1 2x - y = - 2y Câu 2: 1) Giải hệ phương trình: 3x + y = - x 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình: x2 – x – = 1 Tính giá trị biểu thức P = x1 x Câu Một xe lửa từ Huế Hà Nội Sau đó 40 phút, xe lửa khác từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn vận tốc xe lửa thứ là km/h Hai xe gặp ga cách Hà Nội 300 km Tìm vận tốc xe, giả thiết quãng đường sắt Huế-Hà Nội dài 645km Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB C là điểm nằm O và A Đường thẳng vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn trên I K là điểm nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) M, tia BM cắt tia CI D Chứng minh: 1) ACMD là tứ giác nội tiếp đường tròn 2) ∆ABD ~ ∆MBC 3) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên đường thẳng cố định K di động trên đoạn thẳng CI Câu 5: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2 x y xy Biên soạn : Trần Công Hoan 62 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (63) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ SỐ 28 2x + y = Câu 1: 1) Giải hệ phương trình: x - 3y = - 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình: 3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức P = x12 + x22 a a a 1 Câu 2: Cho biểu thức A = : a 1 a + a a - với a > 0, a 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm các giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) 1) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 2) Tìm các giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) 1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn 2) MA2 = MD.MB 3) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Giải phương trình: x - x + 2x x x x ĐỀ SỐ 29 Câu 1: a) Cho đường thẳng d có phương trình: y mx 2m Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ b) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số y (m m)x qua điểm A(-1; 2) 1 Câu 2: Cho biểu thức P = 1 với a > và a a a a 3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị a để P > Câu 3: Hai người cùng làm chung công việc thì hoàn thành Nếu người làm riêng, để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ ít thời gian người thứ hai là Hỏi làm riêng thì người phải làm bao lâu để hoàn thành công việc Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự D và E a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn Tính giá trị đó Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = - Biên soạn : Trần Công Hoan 63 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (64) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ SỐ 30 Câu 1) Giải phương trình: x 75 3 x y 2) Giải hệ phương trình 2 x y 4 Câu Cho phương trình x m 3x m (1) với m là tham số 1) Giải phương trình m 2) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với giá trị m Gọi x1 , x là các nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x1 x Câu a 25a 4a với a a 2a 2) Khoảng cách hai bến sông A và B là 48 km Một canô xuôi dòng từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian và là (không tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc canô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là km/h Câu Cho tam giác vuông ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = AC 1) Chứng minh tam giác ABD cân 2) Đường thẳng vuông góc với AC A cắt đường tròn (O) E (E A) Tên tia đối tia EA lấy điểm F cho EF = AE Chứng minh ba điểm D, B, F cùng nằm trên đường thẳng 3) Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) Câu Cho các số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 1) Rút gọn biểu thức P = a b c bc ca ab ĐỀ SỐ 31 Câu 1: Tính: a) A 20 18 45 72 b) B c) C x x x x với x > Câu 2: Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R b) Tìm m để đồ thị hàm số qua A (1; 2) Câu 3: Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm thì họ làm công việc Hỏi người làm mình thì bao lâu làm xong công việc? Câu 4: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự đó Vẽ đường tròn (O; R) qua B và C (BC 2R) Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN đến (O) (M, N là tiếp điểm) Gọi I, K là trung điểm BC và MN; MN cắt BC D Chứng minh: a) AM2 = AB.AC Biên soạn : Trần Công Hoan 64 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (65) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) AMON; AMOI là các tứ giác nội tiếp đường tròn c) Khi đường tròn (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp OID luôn thuộc đường thẳng cố định Câu 5: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (2x +1)y = x +1 ĐỀ SỐ 32 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: P = ( 2)( 2) 2) Trong mp toạ độ Oxy, tìm m để đường thẳng (d): y (m 1)x song song với đường thẳng (d) : y 3x m Câu 2: Cho phương trình x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm Câu 3: Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1)(a2 + b2) + A = (a + b + ab Câu 4: Qua điểm A cho trước nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C là các tiếp điểm), lấy điểm M trên cung nhỏ BC, vẽ MH BC; MI AC; MK AB a) Chứng minh các tứ giác: BHMK, CHMI nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MH2 = MI.MK c) Qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB, AC P, Q Chứng minh chu vi APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M x 2y a (1) Câu 5: Chứng minh a thì hệ phương trình: vô nghiệm x y (2) ĐỀ SỐ 33 x 3y 10 Câu 1: a) Giải hệ phương trình: 2x y 1 b) Với giá trị nào m thì hàm số y = (m + 2) x - đồng biến trên tập xác định a a : Câu 2: Cho biểu thức A = 1 a a a a a với a > 0, a a a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A a = 2011 - 2010 Câu 3: Cho phương trình: k (x2 - 4x + 3) + 2(x - 1) = a) Giải phương trình với k = - b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với giá trị k Câu 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B, C thứ tự là các tiếp điểm thuộc (O; R) và (O’; R’)) = 900 a) Chứng minh BAC Biên soạn : Trần Công Hoan 65 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (66) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) Tính BC theo R, R’ c) Gọi D là giao điểm đường thẳng AC và đường tròn (O) (D A), vẽ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E (O’)) Chứng minh BD = DE Câu 5: Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = (1) , x2 + a2x + b2 = (2) Cho biết a1a2 > (b1 + b2) Chứng minh ít hai phương trình đã cho có nghiệm ĐỀ SỐ 34 ( a 1) ( a 1) với a > Câu 1: Rút gọn biểu thức: P= Câu 2: Cho biểu thức: x Q = 2 x x 1 x 1 x x 1) Tìm tất các giá trị x để Q có nghĩa Rút gọn Q 2) Tìm tất các giá trị x để Q = - x - Câu 3: Cho phương trình x2 + (m - 1) x + m + = với m là tham số Tìm tất các giá trị m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt Câu 4: Giải phương trình: 3x x 19 x x 26 = - x2 + 2x Câu 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng qua A, B và cùng = 900 vuông góc với đường thẳng AB M, N là các điểm thuộc d1, d2 cho MON 1) Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến đường tròn (O) AB 3) Xác định vị trí M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ 2) Chứng minh AM AN = ĐỀ SỐ 35 Câu 1: Rút gọn A = x2 6x với x 3 x3 Câu 2: a) Giải phương trình x 2x b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1; 2) và B(2; 0) Câu 3: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = (1) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt Câu 4: Từ điểm M ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (tiếp điểm A; B) và cát tuyến cắt đường tròn điểm C và D không qua O Gọi I là trung điểm CD a) Chừng minh điểm M, A, I, O, B cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh IM là phân giác AIB 4 x y Câu 5: Giải hệ phương trình: 2 x y x y ĐỀ SỐ 36 Câu 1: a) Tính (1 5) (1 5) Biên soạn : Trần Công Hoan 66 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (67) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = Câu 2: Cho biểu thức: P = a a 1 a với a > 0, a 9a a 3 a 3 a) Rút gọn b) Tìm a để P < Câu 3: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = (1) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình (1) có đúng nghiệm phân biệt Câu 4: Cho đường tròn (O), từ điểm A ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua (O) cắt đường tròn (O) D; E (AD < AE) Đường thẳng vuông góc với AB A cắt đường thẳng CE F a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn b) Gọi M là giao điểm thứ hai FB với đường tròn (O), chứng minh DM AC c) Chứng minh: CE CF + AD AE = AC2 Câu 5: Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = , với < x < 1 x x ĐỀ SỐ 37 x2 x x2 x x 1 x x 1 x x 1 Rút gọn biểu thức M với x 3x 5y 18 Câu 2: a) Giải hệ phương trình: x 2y Câu 1: Cho biểu thức: M = b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào a, b thì đường thẳng (d): y = ax + - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2x + m = (1) a) Giải phương trình m = - 1 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: = x1 x Câu 4: Cho ABC có góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính AK a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành b) Vẽ OM BC (M BC) Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM c) Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB ABC Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn x2 x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = x 2x ĐỀ SỐ 38 x2 x 2x x 1 với x > x x 1 x a) Rút gọi biểu thức P b) Tìm x để P = Câu 1: Cho biểu thức: P = Câu 2: a) Giải phương trình: x + x Biên soạn : Trần Công Hoan 67 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (68) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 6x 6y 5xy b) Giải hệ phương trình: x y 1 Câu 3: Cho phương trình: x - 2(m - 1)x + m + 1= a) Giải phương trình m = - b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn (1) x1 x2 4 x2 x1 Câu 4: ABC cân A Vẽ đường tròn (O; R) tiếp xúc với AB, AC B, C Đường thẳng qua điểm M trên BC vuông góc với OM cắt tia AB, AC D, E a) Chứng minh điểm O, B, D, M cùng thuộc đường tròn b) MD = ME Câu 5: Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x ĐỀ SỐ 39 Câu 1: 1) Tính: 48 - 75 + 108 1- x 1+ x 2) Rút gọn biểu thức: P= - 1 với x và x >0 x Câu 2: 1) Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b qua điểm M (3; 2) và N (4; -1) Tìm hệ số a và b 2x + 5y = 2) Giải hệ phương trình: 3x - y = Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm Câu 4: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN E 1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp 2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC 3) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ Câu 5: Cho x và y là hai số thỏa mãn đồng thời : x , y 0, 2x + 3y và 2x + y Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức K = x - 2x – y ĐỀ SỐ 40 Câu Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 4y = a) Tìm hệ số góc đường thẳng d b) Với giá trị nào tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2 -1)x + m song song với đường thẳng d ax by x Câu Tìm a, b biết hệ phương trình có nghiệm bx ay 11 y 1 Biên soạn : Trần Công Hoan 68 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (69) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu Cho phương trình: (1 3)x 2x (1) a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt b) Gọi nghiệm phương trình (1) là x1 , x Lập phương trình bậc có nghiệm là 1 và x1 x2 Câu Bên hình vuông ABCD vẽ tam giác ABE Vẽ tia Bx thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm E, có bờ là đường thẳng AB cho Bx vuông góc với BE Trên tia Bx lấy điểm F cho BF = BE a) Tính số đo các góc tam giác ADE b) Chứng minh điểm: D, E, F thẳng hàng c) Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác AEB cắt AD M Chứng minh ME // BF x 2y 4y (1) Câu Hai số thực x, y thoả mãn hệ điều kiện : 2 x x y 2y (2) Tính giá trị biểu thức P = x y II - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ Câu 1: Giải các phương trình: 2 a) x x - x x b) x + x + x 7x + 10 Câu 2: a) Cho số a, b, c khác thỏa mãn: abc = và a b c b3 c3 a b3 c3 a a b c Chứng minh số a, b, c luôn tồn số là lập phương hai số còn lại 84 84 1 Chứng minh x có giá trị là số nguyên 9 Câu 3: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 3.Tìm giá trị lớn biểu thức: b) Cho x = A = x y2 z x y z Câu 4: Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn cho OA = R Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Lấy D thuộc AB; E thuộc AC cho chu vi tam giác ADE 2R a) Chứng minh tứ giác ABOC là hình vuông b) Chứng minh DE là tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Tìm giá trị lớn diện tích ∆ADE Câu 5: Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt cho từ điểm bất kì số chúng tìm điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình tròn có bán kính chứa không ít 50 điểm ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm các số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: Biên soạn : Trần Công Hoan 69 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (70) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x ( 2011 2010) y( 2011 2010) 20113 20103 b) Tìm tất các số nguyên x > y > z > thoả mãn: xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2011 Câu 2: a) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x b) Cho a, b, c [0; 2] và a + b + c = Chứng minh a2 + b2 + c2 < Câu 3: Tìm tất các số hữu tỉ x cho giá trị biểu thức x2 + x + là số chính phương Câu 4: Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ABC có H là trực tâm Trên cung nhỏ BC lấy điểm M Gọi N, I, K là hình chiếu M trên BC, CA, AB Chứng minh: a) Ba điểm K, N, I thẳng hàng AB AC BC b) MK MI MN c) NK qua trung điểm HM Câu 5: Tìm GTLN và GTNN biểu thức: P = 2x2 - xy - y2 với x, y thoả mãn điều kiện sau: x2 + 2xy + 3y2 = ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho a, b, c là số đôi khác và thoả mãn: a b c + + =0 b-c c-a a-b a b c + + =0 Chứng minh rằng: 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 b) Tính giá trị biểu thức: 1+ + 2010 2010 + 2010 2010 - 2010 + 2010 A= + 4 2010 2010 Câu 2: a) Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác, chứng minh: 4 1 a+b+c + + a + bc b + ac c + ab 2abc b) Cho biểu thức: A = x - xy +3y - x + Tìm giá trị nhỏ A Câu 3: a) Giải phương trình: x - + - x = 13 b) Cho hàm số y = f(x) với f(x) là biểu thức đại số xác định với số thực x khác 1 không Biết rằng: f(x) + 3f = x2 x ≠ Tính giá trị f(2) x Câu 4: Cho lục giác ABCDEF Gọi M là trung điểm EF, K là trung điểm BD Chứng minh tam giác AMK là tam giác Câu 5: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và điểm O nằm tứ giác cho:OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S Chứng minh ABCD là hình vuông có tâm là điểm O ĐÈ SỐ Câu 1: a) Cho x và y là số thực thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức : Biên soạn : Trần Công Hoan 70 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (71) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 xy x+y+2 b) Cho x, y, z là số thực dương thoả mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh: 2 x + y3 + z + + + x + y2 y2 + z2 z + x 2 xyz A= Câu 2: a) Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 3x + 10 x y - 2x + y = b) Tìm x, y thoả mãn: 2x - 4x + = - y Câu 3: a) Chứng minh nếu: x + x y + y + x y = a thì x2 + y2 = a b) Chứng minh phương trình x4 + ax3 + bx2 + ax +1 = có nghiệm thì 5(a2 + b2) ≥ Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và bán kính OC vuông góc với AB Tìm điểm M trên nửa đường tròn cho 2MA2 = 15MK2, đó K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống OC Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E và F là trung điểm BD và AC Gọi G là giao điểm đường thẳng qua F vuông góc với AD với đường thẳng qua E vuông góc với BC So sánh GD và GC ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Giải phương trình: x2 + 81x = 40 (x + 9)2 2) Giải phương trình: x2 - 2x + 3(x - 3) x+1 = x-3 Câu 2: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = - 3x - x2 2) Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a + b + b + c + c + a (a + b + c) y - xy + = (1) Câu 3: Giải hệ phương trình: 2 x + 2x + y + 2y + = (2) Câu 4: Cho hình thang ABCD có đáy BC và AD (BC AD) Gọi M, N là điểm trên cạnh AB AM CN và DC cho = Đường thẳng MN cắt AC và BD tương ứng với E và F Chứng minh EM = AB CD FN Câu 5: Cho đường tròn tâm (O) và dây AB, điểm M chuyển động trên đường tròn Từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc H trên MA, MB Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB D 1) Chứng minh đường thẳng MD luôn qua điểm cố định M thay đổi trên đường tròn MA AH AD 2) Chứng minh: = MB BD BH Biên soạn : Trần Công Hoan 71 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (72) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ SỐ Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = 1 + + + 1+ 2+ 24 + 25 Câu 2: a) Cho các số khác không a, b, c Tính giá trị biểu thức: M = x2011 + y2011 + z2011 x + y2 + z2 x2 y2 z2 Biết x, y, z thoả mãn điều kiện: = + + a + b2 + c2 a b c b) Chứng minh với a > thì số sau đây là số nguyên dương 8a - a + 8a - + a 3 35 4c Câu 3: a) Cho a, b, c > thoả mãn: + Tìm giá trị nhỏ A = a.b.c 1+a 35 + 2b 4c + 57 b) Giả sử a, b, c, d, A, B, C, D là số dương và x= a+ a+1 a b c d = = = Chứng minh rằng: A B C D aA + bB + cC + dD = (a + b + c + d) (A +B + C + D) Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi M, N, P, Q là bốn đỉnh hình chữ nhật (M và N nằm trên cạnh BC, P nằm trên cạnh AC và Q nằm trên cạnh AB) a) Chứng minh rằng: Diện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị lớn PQ qua trung điểm đường cao AH b) Giả sử AH = BC Chứng minh rằng, hình chữ nhật MNPQ có chu vi Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, đường trung tuyến BM Gọi D là hình chiếu C trên tia BM, H là hình chiếu D trên AC Chứng minh AH = 3HD B - PHẦN LỜI GIẢI I - LỚP 10 THPT ĐỀ SỐ Câu 1: a) Ta có: a + b = ( ) + ( ) = a.b = ( )( = Suy P = 3x + y = 6x + 2y = 10 7x = x = b) x - 2y = - x - 2y = - y = - 3x y = Câu 2: x a) P = : x 1 x - x 1 x- x Biên soạn : Trần Công Hoan 72 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (73) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x - x 1 b) Với x > 0, x thì x x x x x-1 x - 1 x x > x Câu 3: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + = Vậy với x > thì P > ∆ = 25 – 4.6 = Suy phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = b) Ta có: ∆ = 25 – 4.m Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆ m 25 (*) Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = (1); x1x2 = m (2) Mặt khác theo bài thì x1 x (3) Từ (1) và (3) suy x1 = 4; x2 = x1 = 1; x2 = (4) Từ (2) và (4) suy ra: m = Thử lại thì thoả mãn Câu 4: 900 (gt) (gt) a) Tứ giác BEFI có: BIF C E BEF BEA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường F tròn) Suy tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn B A I O đường kính BF AD , b) Vì AB CD nên AC AEC suy ACF D Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung và AEC ACF AC AE Suy ra: ∆ACF ~ với ∆AEC AF AC AE.AF = AC2 AEC , suy AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1) c) Theo câu b) ta có ACF 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy AC CB (2) Từ (1) và (2) suy CB Mặt khác ACB chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định E thay đổi trên cung nhỏ BC Câu 5: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2 (a + b)2 4ab a + b ab 1 4 P , mà a + b 2 a + b b a a + b a + b a - b 2 4 a=b= P Dấu “ = ” xảy a + b 2 a + b = 2 Vậy: P = Lời bình: Câu IIb Biên soạn : Trần Công Hoan 73 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (74) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Các bạn tham khảo thêm lời giải sau 1) Ta có a = = 25 4m Gọi x1, x2 là các nghiệm có phương trình b Từ công thức x1,2 | x1 x2 | Vậy nên phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoă mãn 2a |a| a1 |x1 x2| = | x1 x2 | = 25 4m = m = |a| 2) Có thể bạn dang băn khoăn không thấy điều kiện Xin đừng, |x1 x2| = = Điều băn khoăn càng làm bật ưu điểm lời giải trên Lời giải đã giảm thiểu tối đa các phép toán, điều đồng hành giảm bớt nguy sơ sai sót Câu IVb Để chứng minh đẳng thức tích các đoạn thẳng người ta thường gán các đoạn thẳng vào cặp tam giác đồng dạng Một thủ thuật để dễ nhận cặp tam giác đồng dạng là chuyển "hình thức" đẳng thức đoạn thẳng dạng tích dạng thương Khi đó tam giác xét có cạnh là nằm cùng vế, cùng nằm tử thức, cùng nằm mẫu thức AC AE Đẳng thức mách bảo ta xét các cặp tam giác đồng AF AC dạng ACF (có cạnh nằm vế trái) và ACE (có cạnh nằm vế phải) Trong bài toán trên AE.AF = AC2 Khi đoạn thẳng là trung bình nhân hai đoạn thẳng còn lại, chẳng hạn AE.AF = AC2 thì AC là cạnh chung hai tam giác, còn AE và AF không cùng năm tam giác cần xét Trong bài toán trên AC là cạnh chung hai tam giác ACE và ACF Câu IVc Nếu () là đường thẳng cố định chứa tâm đường tròn biến thiên có các đặc điểm sau: + Nếu đường tròn có hai điểm cố định thì () là trung trực đoạn thẳng nối hai điểm cố định + Nếu đường tròn có điểm cố định thì () là đường thẳng qua điểm đó và là () ('), là () // ('), là () tạo với (') góc không đổi (trong đó (') là đường thẳng cố định có sẵn) Trong bài toán trên, đường tròn ngoại tiếp CEF có điểm C là cố định Lại thấy CB CA mà CA cố định nên phán đoán có thể CB là đường thẳng phải tìm Đó là điều dẫn dắt lời giải trên Câu V Việc tìm GTNN biểu thức P vận hành theo sơ đồ "bé dần": P B, (trong tài liệu này chúng tôi sử dụng B - chữ cái đầu chữ bé hơn) 1) Giả thiết a + b 2 ngược với sơ đồ "bé dần" nên ta phải chuyển hoá a + b 2 1 ab 2 Từ đó mà lời giải đánh giá P theo ab 1 2) với a > 0, b > là bất đẳng thức đáng nhớ Tuy là hệ bất đẳng a b ab Cô-si, nó vận dụng nhiều Chúng ta còn gặp lại nó số đề sau Biên soạn : Trần Công Hoan 74 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (75) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 3) Các bạn tham khảo lời giải khác bài toán là cách chứng minh bất đẳng thức trên 1 Co si Co si 2.2 4 Dấu đẳng thức có a Với hai số a > 0, b > ta có P a b a b ab 2 ab = b = Vậy minP = ĐỀ SỐ Câu 1: a) 3 3 1 3 3 3 3 b) ∆ = 49 – 4.3 = 37; phương trình có nghiệm phân biệt: 37 37 ; x2 2 Câu 2: a) Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) và Parabol (P) là nghiệm phương trình: - x + = x2 x2 + x – = Phương trình này có tổng các hệ số nên có nghiệm là và – + Với x = thì y = 1, ta có giao điểm thứ là (1;1) + Với x = - thì y = 4, ta có giao điểm thứ hai là (- 2; 4) Vậy (d) giao với (P) điểm có tọa độ là (1;1) và (- 2; 4) b) Thay x = và y = -1 vào hệ đã cho ta được: x1 a = + b 8 - a = b a = 8 - + b b 2 + b = a b = Thử lại : Thay a = và b = vào hệ đã cho thì hệ có nghiệm (2; - 1) Vậy a = 5; b = thì hệ đã cho có nghiệm (2; - 1) Câu 3: Gọi x là số toa xe lửa và y là số hàng phải chở Điều kiện: x N*, y > 15x = y - Theo bài ta có hệ phương trình: Giải ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn) 16x = y + Vậy xe lửa có toa và cần phải chở 125 hàng Câu 4: AKM 900 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM a) Ta có: AIM MKC 900 (gt) Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp MPK MCK (1) Vì b) Tứ giác CPMK có MPC MBC (cùng chắn MC ) (2) Từ (1) và (2) suy KC là tiếp tuyến (O) nên ta có: MCK MBC (3) MPK c) Biên soạn : Trần Công Hoan 75 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (76) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp MBP (4) Từ (3) và (4) suy MPK MIP Suy ra: MIP MPI Tương tự ta chứng minh MKP MP MI Suy ra: MPK ~ ∆MIP MK MP MI.MK = MP2 MI.MK.MP = MP3 Do đó MI.MK.MP lớn và MP lớn (4) - Gọi H là hình chiếu O trên BC, suy OH là số (do BC cố định) Lại có: MP + OH OM = R MP R – OH Do đó MP lớn R – OH và O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính cung nhỏ BC (5) Từ (4) và (5) suy max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm chính cung nhỏ BC Câu 5: Đặt A K I B M H C P O x - 2009 a; y - 2010 b; z - 2011 c (với a, b, c > 0) Khi đó phương trình đã cho trở thành: a-1 b-1 c-1 1 1 1 1 1 1 a b c 4 a a 4 b b 4 c c 2 1 1 1 1 a = b = c = 2 a 2 b 2 c Suy ra: x = 2013, y = 2014, z = 2015 Lời bình: Câu IVc Lời bình sau Đề số cho thấy: Nếu có AE.AF.AC = AC3 AE.AF = AC2 thì thường AC là cạnh chung hai tam giác ACE và ACF Quan sát hình vẽ ta thấy MP là cạnh chung hai tam giác MPI và MPK, nên ta phán đoán MI.MK.MP= MP3 Nếu phán đoán là đúng thì GTLN MI.MK.MP chính là GTLN MP Đó là điều dẫn dắt lời giải trên Câu IIa Lời nhắn Hoành độ giao điểm hai đồ thị (d): y = kx + b và (P) : y = ax2 là nghiệm phương trình ax = kx + b (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hai hàm số trên Câu V 1) Việc đặt a, b, c thay cho các thức là cách làm để dễ nhìn bài toán, Với số dương a, b, c ta luôn có a b 1 c 1 (1) a2 b c Thay vì đặt câu hỏi nào thì dấu đẳng thức xẩy ra, người ta đặt bài toán giải phương trình a b 1 c 1 (2) a2 b c a 1 Vai trò a, b, c bình đẳng nên (1) ta nghĩ đến đánh giá a Biên soạn : Trần Công Hoan 76 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (77) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 (a 2) a 1 a 1 Thật 0 Dấu đẳng thức có và a = Tương a2 a2 a2 b 1 c 1 tự ta có , Dấu đẳng thức có và b = 2, c = b c 2) Mỗi giá trị biến cân bất đẳng thức gọi là điểm rơi bất đẳng thức Theo đó, bất đẳng thức (1) các biến a, b, c đếu có chung điểm rơi là a = b = c = Khi vai trò các biến bài toán chứng minh bất đẳng thức bình đẳng với thì các biến có chung điểm rơi Phương trình diễn tả dấu bất đẳng thức gọi là "phương trình điểm rơi" 3) Phương trình (2) thuộc dạng "phương trình điểm rơi" a 1 b 1 c 1 Tại điểm rơi a = b = c = ta có a2 b c 1 Điều đó cắt nghĩa điểm mấu chốt lời giải là tách : 4 4 a 1 b 1 c 1 (2) 4 b 4 c 4 a 4) Phần lớn các phương trình chứa hai biến trở lên chương trình THCS là "phương trình điểm rơi" ĐỀ SỐ Câu 1: a) Đặt x2 = y, y Khi đó phương trình đã cho có dạng: y2 + 3y – = (1) Phương trình (1) có tổng các hệ số nên (1) có hai nghiệm y1 = 1; y2 = - Do y nên có y1 = thỏa mãn Với y1 = ta tính x = Vậy phương trình có nghiệm là x = 2x + y = 8x + 4y = 5x = x = b) 3x + 4y = -1 3x + 4y = -1 2x + y = y = - 1 2 1 3 2 32 1 1 1 1 1 x+2 x x ( x + 2) b) B = = x 2 x x x 4 x + x 4 x ( x 2) Câu 2: a) A = = 1 x 2 x 2 x x 2 x-4 Câu 3: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – b) Hoành độ giao điểm đường thẳng y = x – và parabol y = - x2 là nghiệm phương trình:- x2 = x – x2 + x – = Suy các giao điểm cần tìm là: L( 1; -1 ) và K ( - 2; - ) (xem hình vẽ) Biên soạn : Trần Công Hoan 77 x-4 O Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (78) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 4: a) Tứ giác AEHF có: AEH AFH 900 (gt) Suy AEHFlà tứ giác nội tiếp - Tứ giác BCEF có: BEC BFC 900 (gt) Suy BCEF là tứ giác nội tiếp b) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra: BEF BCF (1) Mặt khác BMN BCN = BCF ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: BEF (góc nội tiếp cùng chắn BN BMN MN // EF c) Ta có: ABM ACN ( BCEF nội tiếp) AM AN AM = AN, lại có OM = ON nên suy OA là đường trung trực MN OA MN , mà MN song song với EF nên suy OA EF Câu 5: ĐK: y > ; x R Ta có: P = y - 1) + y 1 y 3y + 4 2 x = y 1 1 2 x y Dấu “=” xảy 3 y= Suy ra: Min P = x2 - x y + x + y - y + = x - x( + ĐỀ SỐ Câu 1: a) 4 ; 3 1 1 1 = 5 5 1 1 5 vào hàm số y = ax2 ta được: 1 a.(-2) 4a = a = 4 16 Câu 2: 7 - x x (1) a) 2x + = - x x 16x + 48 = 2x + = - x Giải phương trình: x – 16x + 48 = ta hai nghiệm là và 12 Đối chiếu với điều kiện (1) thì có x = là nghiệm phương trình đã cho x= 2x + 3y = 10x = 4x + 6y = b) 1 6x - 6y = x - y = y = x - y = Câu 3: a) Với m = ta có phương trình: x – 6x + = Giải ta hai nghiệm: x1 = 5; x b) Ta có: ∆/ = m2 – m Phương trình (1) có nghiệm / (*) m -2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = Suy ra: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 4m2 – + 4m = m1 m2 + m – = m 2 b) Thay x = - và y = Biên soạn : Trần Công Hoan 78 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (79) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy có nghiệm m2 = - thỏa mãn Vậy m = - là giá trị cần tìm Câu 4: a) Tứ giác BIEM có: IBM IEM 900 (gt); suy tứ giác BIEM nội tiếp đường tròn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: IME IBE 450 (do ABCD là hình vuông) N c) ∆EBI và ∆ECM có: IBE MCE 450 , BE = CE K , BEI CEM ( IEM BEC 900 ) ∆EBI = ∆ECM (g-c-g) MC = IB; suy MB = IA M B Vì CN // BA nên theo định lí Thalet, ta có: C MA MB IA = Suy IM song song với BN MN MC IB I (định lí Thalet đảo) IME 450 (2) Lại có BCE 450 (do BKE E ABCD là hình vuông) Suy BKE BCE BKCE là tứ giác nội tiếp Suy ra: BKC BEC 1800 mà BEC 900 ; suy BKC 900 ; hay CK BN A D Câu 5: 2 Ta có: a - b b - c c - a a b c ab + bc + ca a b c ab + bc + ca (1) Vì a, b, c là độ dài cạnh tam giác nên ta có: a2 < a.(b+ c) a2 < ab + ac Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ca + bc Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2) Từ (1) và (2) suy điều phải chứng minh ĐỀ SỐ 2 3 Câu 1: a) 6 6 3 3 b) Vì đường thẳng y = ax + b qua điểm A(2; 3) nên thay x = và y = vào phương trình đường thẳng ta được: = 2a + b (1) Tương tự: = -2a + b (2) Từ đó ta có hệ: 2a + b = 2b = a = - 2a + b = 2a + b = b = Câu 2: a) Giải phương trình: x – 3x + = Ta có: ∆ = – = 3 3 Phương trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = 2 b) Điều kiện: x x x + 1 - x - 1 x -2 4 + = + = 2 x-1 x+1 x -1 x -1 x -1 x -1 x 1 x(x + 1) – 2(x – 1) = x2 – x – = x Đối chiếu với điều kiện suy phương trình đã cho có nghiệm x = Biên soạn : Trần Công Hoan 79 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (80) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 3: Gọi vận tốc ô tô thứ là x (km/h) Suy vận tốc ô tô thứ hai là: x – 10 (km/h) (Đk: x > 10) 120 120 Thời gian để ô tô thứ và ô tô thứ hai chạy từ A đến B là (h) và (h) x x - 10 120 120 Theo bài ta có phương trình: 0, x x - 10 Giải ta x = 60 (thỏa mãn).Vậy vận tốc ô tô thứ là 60 km/h và ô tô thứ hai là 50 km/h Câu 4: a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo A AB và CD và cắt trung điểm đường, suy D O ACBD là hình chữ nhật C b) Tứ giác ACBD là hình chữ nhật suy ra: E B F CAD BCE 900 (1) Lại có CBE sđ BC (góc tạo tiếp tuyến và dây cung); ACD sđ AD (góc 2 AD (do BC = AD) CBE nội tiếp), mà BC ACD (2) Từ (1) và (2) suy ∆ACD ~ ∆CBE c) Vì ACBD là hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE DFE (3) Từ (2) và (3) suy ACD DFE đó tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn S EB2 d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra: S EF2 S EB S2 BF S1 S Tương tự ta có Từ đó suy ra: S1 S2 S S EF S EF S S Câu 5: Đk: x + x -1 (1) Đặt: a = x + ; b = x - x + ,( a 0; b>0) (2) a2 + b2 = x2 + Khi đó phương trình đã cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2) a - 3b 3a - b a = 3b b = 3a +) Nếu a = 3b thì từ (2) suy ra: x + = x - x + 9x2 – 10x + = (vô nghiệm) +) Nếu b = 3a thì từ (2) suy ra: x + = x - x + 9x + = x2 – x + x2 – 10x – = Phương trình có hai nghiệm x1 = 33 ; x2 = 33 (thỏa mãn (1)) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 33 và x2 = 33 Lời bình: Câu IV 1) Để chứng minh đẳng thức (*) diện tích các tam giác (chẳng hạn S1 S2 S (*)) Bạn có thể nghĩ đến ba cách sau : Nếu ba tam giác tương ứng có cạnh thì biến đổi (*) đẳng thức các đường cao tương ứng h1, h2, h để chứng minh (chẳng hạn(*) h1 + h2 = h) Nếu ba tam giác tương ứng có đường cao thì biến đổi (*) đẳng thức các cạnh tương ứng a1, a2, a để chứng minh (chẳng hạn(*) a1 + a2 = a) Nếu hai trương hợp trên không xẩy thì biến đổi (*) đẳng thức tỉ số diện tích để chứng minh S1 S (chẳng hạn(*) ) Thường đẳng thức tỷ số diện tích tam giác là đẳng thức tỉ số S S các cạnh tương ứng các cặp tam giác đồng dạng 2) Trong bài toán trên, hai khả đầu không xảy Điều đó dẫn chúng ta đến lời giải với các cặp tam giác đồng dạng Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị 80 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (81) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu V Để các bạn có cách nhìn khái quát, chúng tôi khai triển bài toán trên bình diện Viết lại 10 x = 3(x2 + 2) 10 ( x 1)( x x 1) = 3[(x + 1) + x2 x + 1) Phương trình (1) có dạng .P(x) + .Q(x) + P ( x )Q( x) = ( 0, 0, 0) (1) (2) (phương trình đẳng cấp P(x) và Q(x)) Đặt Q( x) t P ( x ) , (3) phương trình (1) đưa t2 + t + = (4) Sau tìm t từ (4), thể vào (3) để tìm x ĐỀ SỐ Câu 1: 3 1 3 3 a) A = 1 1 1 b a b) a b b a a - ab a ab - b b a b - ab a - b b a b a b ab a ab b - a a > 0, b > 0, a b a b Câu 2: a) Đk: x và y (*) Rút y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta được: x 2 2x 3x - = x x x+1 + Với x = 2, suy y = x + = (thoả mãn (*)) 1 + Với x = , suy y = x +1 = (thoả mãn (*)) 2 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: (2; 3) và ; 2 b) Phương trình x – x – = có các hệ số a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = và x1 x2 = - Do đó: P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = + = Câu 3: a) Viết đường thẳng 2x + y = dạng y = - 2x + Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng trên, suy a = - (1) 1 Vì đường thẳng y = ax + b qua điểm M (2; ) nên ta có: 2a + b (2) 2 Từ (1) và (2) suy a = - và b = b) Gọi các kích thước hình chữ nhật là x (cm) và y (cm) ( x; y > 0) xy = 40 xy = 40 Theo bài ta có hệ phương trình: x + y + 3 xy + 48 x + y = 13 Suy x, y là hai nghiệm phương trình: t2 – 13t + 40 = (1) Giải phương trình (1) ta hai nghiệm là và Biên soạn : Trần Công Hoan 81 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (82) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Vậy các kích thước hình chữ nhật là cm và cm Câu 4: a) Ta có: MAB 900 (gt)(1) MNC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MNB 900 (2) Từ (1) và (2) suy ABNM là tứ giác nội tiếp Tương tự, tứ giác ABCI có: BAC BIC 900 ABCI là tứ giác nội tiếp đường tròn B N A C M I b) Tứ giác ABNM nội tiếp suy MNA MBA (góc nội tiếp cùng chắn cung AM) (3) Tứ giác MNCI nội tiếp suy MNI MCI (góc nội tiếp cùng chắn cung MI) (4) Tứ giác ABCI nội tiếp suy MBA MCI (góc nội tiếp cùng chắn cung AI) (5) Từ (3),(4),(5) suy MNI MNA NM là tia phân giác ANI BN BI c) ∆BNM và ∆BIC có chung góc B và BNM BIC 900 ∆BNM ~ ∆BIC (g.g) BM.BI = BM BC BN BC Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6) Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vuông A ta có: BC2 = AB2 + AC2 (7) Từ (6) và (7) suy điều phải chứng minh Câu 5: A = x - xy y - x x Trước hết ta thấy biểu thức A có nghĩa và khi: (1) xy Từ (1) ta thấy x = thì y nhận giá trị tùy ý thuộc R (2) Mặt khác, x = thì A = y + mà y có thể nhỏ tùy ý nên A có thể nhỏ tùy ý Vậy biểu thức A không có giá trị nhỏ Lời bình: Câu IVc a) Biết bao kí ức ùa bắt gặp đẳng thức BM BI + CM CA = AB2 + AC2 (1) BM BI AB (2) Phải Từ đó cộng theo vế để có (1) CM CA AC (3) Nếu có (1) thì AB phải là cạnh chung cặp tam giác đồng dạng Tiếc điều không đúng Tương tự không có (2) Để ý AB2 + AC2 = BC2 nên (1) BM.BI + CM.CA = BC2 (3) BM BI k BC Khả (với < k < 1), từ đó cộng theo vế để có (1) không xẩy vì CM CA (1 k ) BC BC không phải là cạnh chung cặp tam giác đồng dạng Biên soạn : Trần Công Hoan 82 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (83) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Để ý BN + NC = BC nên (1) BM.BI + CM.CA = BC(BN + NC) BM.BI + CM.CA = BC.BN + BC.NC (4) Điều dẫn dắt chúng ta đến lời giải trên b) Mong thời gian đừng lãng quên phân tích : PQ2 = PQ(PK + KQ) là cách để chứng minh đẳng thức dạng : PX.PY + QM.QN = PQ2 (ở đây K là điểm thuộc đoạn thẳng PQ) Câu V Cảnh báo Các bạn cùng theo dõi lời giải sau : x Biểu thức A có nghĩa và Biến đổi A y Suy minA = 2, đạt x = y = (!) x y x 1 Kết bài toán sai thì đã rõ Nhưng cái sai tư đáng bàn x x 1) Điều kiện xác định P(x; y) chứa đồng thời x và xy là D y y x x Do để tìm GTLN, GTNN P(x; y) cần phải xét độc lập hai trường hợp và y y x x x 2) Không thể gộp chung thành y y y x x 3) Do cho điều kiện xác định P(x; y) là Dy 0 (bỏ sót Dy 0 ) y y Vậy nên A = là GNNN A trên Dy 0 , chưa đủ để kết luận đó là GTNN A trên D 4) Nhân đây liên tưởng đến phương trình P ( x) Q ( x ) (1) Q ( x) Q ( x ) Biến đổi đúng (1) Q ( x) Cách biến đổi sau là sai (1) P ( x) P ( x ) ĐỀ SỐ x - Câu 1: a) Biểu thức A có nghĩa 1 x 3 - x 1 3 5 1 b) 3 5 1 5 1 = 3 5 1 95 1 1 x Câu 2: a) ( x – )2 = x – = ± x Vậy phương trình có nghiệm x = 5; x = 1 b) Đk: x x -1 x -1 (2 x - 2) - (2 x 1) - 0 0 2x 2x 2(2 x 1) Biên soạn : Trần Công Hoan 83 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (84) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 3 2x + > x > - 2x + 1 Câu 3: a) Ta có ∆/ = m2 + > 0, m R Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 4m2 + = m2 = m = ± Câu 4: a) ∆SBC và ∆SMA có: BSC MSA , SCB SAM ) (góc nội tiếp cùng chắn MB SBC ~ SMA AD b) Vì AB CD nên AC MKB (vì cùng Suy MHB sdMB) tứ (sdAD giác BMHK nội tiếp đường tròn HMB HKB 1800 (1) Lại có: HMB AMB 900 (2) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Từ (1) và (2) suy HKB 900 , đó HK // CD (cùng vuông góc với AB) AN c) Vẽ đường kính MN, suy MB ); OMK - sđ AN - sđ BM ); Ta có: OSM ASC (sđ AC NMD sđ ND = (sđ AD 2 AD và MB AN nên suy OSM OMK mà AC OS OM OK.OS = OM R OM OK x y (1) Câu 5: Giải hệ phương trình: y x (2) Lấy pt (1) trừ pt (2) ta được: x – y3 = 2(y – x) (x – y)(x2 – xy + y2 + 2) = x – y = x = y OSM ~ OMK (g.g) y 3y ( x – xy + y + = x - 0) 2 Với x = y ta có phương trình: x3 – 2x + = -1+ -1- ; x= (x – 1)(x2 + x – 1) = x = 1; x = 2 1 1 1 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm là: 1;1 , ; ; , 2 2 ĐỀ SỐ Câu 1: 2 x y 6 x y 15 7 x 14 x a) x - 3y - x - 3y - y - 2x y Biên soạn : Trần Công Hoan 84 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (85) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) Phương trình 3x2 – x – = có các hệ số a và c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1và x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = và x1.x2 = 3 1 x2 x1 Do đó P = : x1 x2 x1 x2 3 Câu 2: a a a a 1 a) A = : a 1 a 1 a a( a 1) ( a 1)( a 1) a ( a 1) a > 0, a b) A < a < a Câu 3: a) Với m = ta có phương trình x2 – x + = Vì ∆ = - < nên phương trình trên vô nghiệm b) Ta có: ∆ = – 4(1 + m) = -3 – 4m -3 Để phương trình có nghiệm thì ∆ - – 4m 4m 3 m (1) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = và x1.x2 = + m Thay vào đẳng thức: x1 x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) = m2 = m = ± Đối chiếu với điều kiện (1) suy có m = -2 thỏa mãn Câu 4: x a) Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: N MAO MCO 90 AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO C M D ADB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường I tròn) ADM 900 (1) E Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM là đường A B H O trung trực AC AEM 900 (2) Từ (1) và (2) suy MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ADE AME AMO (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (3) Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: AMO ACO (góc nội tiếp cùng chắn cung AO) (4) ACO Từ (3) và (4) suy ADE c) Tia BC cắt Ax N Ta có ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ACN 900 , suy ∆ACN vuông C Lại có MC = MA nên suy MC = MN, đó MA = MN (5) IC IH BI Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì (6) MN MA BM Từ (5) và (6) suy IC = IH hay MB qua trung điểm CH Câu 5: Vì b, c 0;1 nên suy b b; c3 c Do đó: a + b2 + c3 – ab – bc – ca a + b + c – ab – bc – ca (1) Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + (2) Vì a, b, c ; 1 nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) ; – abc Do đó từ (2) suy a + b + c – ab – bc – ca (3) Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị 85 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (86) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Từ (1) và (3) suy a + b2 + c3 – ab – bc – ca ĐỀ SỐ vào hàm số ta được: Câu 1: a) Thay x = y= 32 1 3 22 b) Đường thẳng y = 2x – cắt trục hoành điểm có hoành độ x = trục hoành điểm có hoành độ x = ; còn đường thẳng y = 3x + m cắt m Suy hai đường thẳng cắt điểm trên trục hoành m -3 m= 2 3 x 6 x x-9 Câu 2: a) A = : x x x-4 x 3 x 3 3( x 2) x : x 2 x 2 x 3 x 2 3 x 1 , với x 0, x 4, x x x x b) Điều kiện: x ≠ và x ≠ - (1) x2 3x x2 3x x2 (1) x 3x x (x 2)(x 3) x (x 2)(x 3) (x 2)(x 3) x – 4x + = Giải ta được: x1 = (thỏa mãn); x2 = (loại (1)) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Câu 3: a) Thay m = vào hệ đã cho ta được: 3x - y = 6x - 2y = 7x = x = x + 2y = x + 2y = x + 2y = y = Vậy phương trình có nghiệm (1; 2) b) Giải hệ đã cho theo m ta được: 3x - y = 2m - 6x - 2y = 4m - 7x = 7m x = m x + 2y = 3m + x + 2y = 3m + x + 2y = 3m + y = m + Nghiệm hệ đã cho thỏa mãn x2 + y2 = 10 m2 + (m + 1)2 = 10 2m2 + 2m – = Giải ta được: m1 1 19 1 19 ; m2 2 Câu 4: a) Tứ giác ACNM có: MNC 900 (gt) MAC 900 ( tínhchất tiếp tuyến) ACNM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD b) ∆ANB và ∆CMD có: ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp) ∆ANB ~ ∆CMD (g.g) Biên soạn : Trần Công Hoan 86 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (87) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 c) ∆ANB ~ ∆CMD CMD ANB = 900 (do ANB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Suy IMK INK 900 IMKN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IK IKN IMN (1) Tứ giác ACNM nội tiếp IMN NAC (góc nội tiếp cùng chắn cung NC) (2) y x D N C K I O M A B Lại có: NAC ABN ( sđ AN ) (3) Từ (1), (2), (3) suy IKN ABN IK // AB (đpcm) Câu 5: Ta có: a+b a 3a + b b 3b + a 2(a + b) 4a 3a + b 4b 3b + a (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được: 4a + (3a + b) 7a + b 4a 3a + b 2 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b 3b + a 3 2 Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b Từ (1) và (4) suy ra: a+b a 3a + b b 3b + a 2(a + b) Dấu xảy và a = b 4a + 4b Lời nhắn Câu V Các bạn sử dụng bất đẳng thức Cô-si để làm toán định lý (không phải chứng minh) Bất đẳng thức Cô-si áp dụng cho các số không âm Cụ thể là : ab + Với hai số a 0, b ta có ab , dấu đẳng thức có và a = b abc + Với ba số a 0, b 0, c ta có abc , dấu đẳng thức có và a = b = c ĐỀ SỐ 10 Câu 1: a) A = 50 b) B = 1 5 x - 2x + x-1 4x x-1 x - 1 22 x 2 1 x-1 x-1 x Vì < x < nên x - x - 1 ; x x B = Biên soạn : Trần Công Hoan 1 = 87 - x - 1 2x x - 1 x Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (88) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2x y = x = 2 x - 1 y = 2x y = Câu 2: a) 2x - 6y = - 16 7y = 21 y = x - 3y = - b) x + x Đặt x = t (t ≥ 0) (1) Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 + 3t – = (2) Phương trình (2) có tổng các hệ số 0; suy (2) có hai nghiệm: t1 = (thỏa mãn (1)); t2 = - (loại (1)) Thay t1 = vào (1) suy x = là nghiệm phương trình đã cho Câu 3: Gọi x là số sản phẩm loại I mà xí nghiệp sản xuất giờ(x > 0) Suy số sản phẩm loại II sản xuất là x + 10 120 Thời gian sản xuất 120 sản phẩm loại I là (giờ) x 120 Thời gian sản xuất 120 sản phẩm loại II là (giờ) x + 10 120 120 Theo bài ta có phương trình: (1) x x + 10 40 Giải phương trình (1) ta x1 = 30 (thỏa mãn); x2 = (loại) Vậy xí nghiệp sản xuất 30 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II Câu 4: a) Ta có ABC và ABD là các góc F nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) và (O/) E N d A ABC ABD 90 I Suy C, B, D thẳng hàng M b) Xét tứ giác CDEF có: O/ O CFD CFA 90 (góc nội tiếp chắn nửa D đường tròn (O)) K B C CED AED 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O/) CFD CED 900 suy CDEF là tứ giác nội tiếp c) Ta có CMA DNA 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy CM // DN hay CMND là hình thang Gọi I, K thứ tự là trung điểm MN và CD Khi đó IK là đường trung bình hình thang CMND Suy IK // CM // DN (1) và CM + DN = 2.IK (2) Từ (1) suy IK MN IK KA (3) (KA là số A và K cố định) Từ (2) và (3) suy ra: CM + DN 2KA Dấu “ = ” xảy và IK = AK d AK A Vậy đường thẳng d vuông góc AK A thì (CM + DN) đạt giá trị lớn 2KA Câu 5: Ta có: x + x + y + x 2011 x y 2011 y - x 2011 y + 2 x 2011 2011 y 2011 2011 y 2011 2011 (1) (gt) (2) (3) Biên soạn : Trần Công Hoan 88 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (89) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Từ (1) và (2) suy ra: y + y 2011 x - x 2011 (4) (5) Từ (1) và (3) suy ra: x + x 2011 y - y 2011 Cộng (4) và (5) theo vế và rút gọn ta được: x + y = - (x + y) 2(x + y) = x + y = ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn 1- a 1+ a +a 1- a A= + a - a + a 1- a 1 = 1+2 a +a = 1+ a = 2 1+ a 1+ a 2) Giải phương trình: 2x2 - 5x + = Phương trình có tổng các hệ số nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = Câu 2: 1) Hàm số nghịch biến trên R và - k < k > x= 4x + y = 8x +2y = 10 11x = - 2) Giải hệ: 3x - 2y = - 12 3x - 2y = -12 4x + y = y = Câu 3: 1) Phương trình có nghiệm trái dấu khi: m < 2) Phương trình có nghiệm x1, x2 ∆’ = - m ≥ m ≤ 2 11 63 11 (1) x + x = Theo hệ thứcViét ta có (2) x1 x = m Theo yêu cầu bài x1 - x2 = (3) Từ (1) và (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = Suy m = x1.x2 = (thoả mãn) Vậy m = là giá trị cần tìm Câu 4: a) Ta có E là trung điểm AC OE AC = 900 hay OEM =900 Ta có Bx AB ABx nên tứ giác CBME nội tiếp b) Vì tứ giác OEMB nội tiếp = OEB (cung chắn OB ), OMB = EBM (cùng chắn cung EM) EOM EIO ~ MIB (g.g) IB.IE = M.IO B O I A E C M x Biên soạn : Trần Công Hoan 89 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (90) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 3 y + = ( x + y) + ( x + ) + ( + ) x y 2 x y 3 3 Do x + y = x + y = 2 2 3x 3x y y + =6 , + =4 x x y y Suy P ≥ + + = 19 Câu 5: Ta có : P = 3x + 2y + x + y = x = 3x Dấu xẩy = x y = 2 y 2 = y Vậy P = 19 Lời bình: Câu V Việc tìm GTNN biểu thức P vận hành theo sơ đồ "bé dần": P B, (trong tài liệu này chúng tôi sử dụng B - chữ cái đầu chữ bé hơn) 1) Do giả thiết cho x + y 6, đã thuận theo sơ đồ "bé dần": P B, điều mách bảo ta biểu thị P theo (x + y) Để thực điều ta phải khử và x y Do có x > 0; y > nên việc khử thực dễ dàng cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các cặp số Ax và , By và x y 3 Bởi lẽ đó mà lời giải đã "khéo léo" tách x x x , y y y 2 2 2) Tuy nhiên mấu chốt lời giải nằm "khéo léo" nói trên Các số , nghĩ 2 cách nào? Với số thực a < 2, ta có 6 8 P 3x y = a( x y ) (3 a ) x (2 a ) y (1) x y x y P 6a 6(3 a ) 8(2 a) Ta có (3 a ) x (2 a) y (2) 6 6(3 a ) , dấu đẳng thức có x ; (3) x 3 a 8 8(2 a ) , dấu đẳng thức có y ; (4) y 2a Biên soạn : Trần Công Hoan 90 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (91) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Để (2) trở thành đẳng thức buộc phải có x + y = 6 3 a 2a (5) Thấy a 3 là nghiệm (5) Thay a vào (2) ta có phân tích lời giải đã trình 2 , nghĩ đó 2 3) Phương trình (3) là phương trình "kết điểm rơi" Người ta không cần biết phương trình "kết điểm rơi" có bao nhiêu nghiệm Chỉ cần biết (có thể là đoán) nghiệm nó là đủ cho lời giải thành công (Việc giải phương trình "kết điểm rơi" nhiều phức tạp và không cần thiết.) bày Các số ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Rút gọn biểu thức 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 = - + + 36 = - + + = 15 - a + a a- a 2) B = + + với a ≥ 0, a ≠ a + - a a ( a + 1) a ( a - 1) = + = (1 + a ) (1 - a ) = - a a + a - Câu 2: 1) Đồ thị hàm số qua điểm M (- 2; -12) nên ta có: - 12 = a (- 2)2 4a = -12 a = - Khi đó hàm số là y = - 3x2 2) a) Với m = ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0 ∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - - 11 ; x2 = - + 11 b) Phương trình có nghiệm phân biệt khi: -1 ∆’ > (m + 1)2 - m2 > 2m + > m > (*) Phương trình có nghiệm x = - - (m + 1) + m2 = m = (thoả mãn điều kiện (*)) m2 - 4m = m = Vậy m = m = là các giá trị cần tìm Câu 3: Gọi chiều dài ruộng là x, chiều rộng là y (x, y > 0, x tính m) Diện tích ruộng là x.y Nếu tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm m thì diện tích ruộng lúc này là: (x + 2) (y + 3) Nếu giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích ruộng còn lại là (x-2) (y-2) k Theo bài ta có hệ phương trình: (x + 2) (y + 3) = xy + 100 (x - 2) (y - 2) = xy - 68 a xy + 3x + 2y + = xy + 100 xy - 2x - 2y + = xy - 68 3x + 2y = 94 x = 22 x = 22 2x + 2y = 72 x + y = 36 y = 14 Biên soạn : Trần Công Hoan 91 d s m O b e Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) c (92) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Vậy diện tích ruộng là: S = 22 14= 308 (m2) = 900 (gt) Câu 4: 1) Ta có BAC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MDC A, D nhìn BC góc 900, tứ giác ABCD nội tiếp = ACB (cùng chắn cung AB) (1) Vì tứ giác ABCD nội tiếp. ADB = ACS (cùng bù với MDS ) (2) Ta có tứ giác DMCS nội tiếp ADB = ACS Từ (1) và (2) BCA 2) Giả sử BA cắt CD K Ta có BD CK, CA BK = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) M là trực tâm ∆KBC Mặt khác MEC K, M, E thẳng hàng, hay BA, EM, CD đồng quy K = DBC (cùng chắn DC ) (3) 3) Vì tứ giác ABCD nội tiếp DAC = MBE (cùng chắn ME ) (4) Mặt khác tứ giác BAME nội tiếp MAE = MAE hay AM là tia phân giác DAE Từ (3) và (4) DAM = MDE hay DM là tia phân giác ADE Chứng minh tương tự: ADM Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp ∆ADE Câu 5: Ta có: x2 - 3x + = (x - 1) (x - 2), x2 + 2x - = (x - 1) (x + 3) Điều kiện: x ≥ (*) Phương trình đã cho (x - 1) (x - 2) - (x - 1) (x + 3) + x + - x - = x - ( x - - x + 3) - ( x - - x + 3) = x-2 - x+3 x-1-1 =0 x - = x + (VN) x (thoả mãn đk (*)) x - - = Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = Lời bình: Câu IVb Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, phương pháp thường dùng là chứng minh ba đường thẳng là ba đường cao, là ba đường trung tuyến, là ba đường phân giác tam giác ĐỀ SỐ 13 Câu 1: 1) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ a -1 a+ a +1 Ta có: P = a a -1 a+ a +1-a+ a -1 a+2 = : = a-2 a 2a - 2a + - 2) Ta có: P = = =2a+2 a+2 P nhận giá trị nguyên và Biên soạn : Trần Công Hoan a - a + 1 : a + a-2 a a + 1 a +1 (a - 2) a+2 a+2 (a + 2) 92 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (93) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a + = a = - 1; a = - a + = a = ; a = - a + = a = ; a = - a + = a = ; a = - 10 Câu 2: 1) Đường thẳng qua điểm M (1; -1) a + (2a - 1) (- 1) + = a - 2a + = a = Suy đường thẳng đó là 4x + 7y + = 7y = - 4x - y = -4 x7 4 2) a) Phương trình có nghiệm x = nên: m + = m 1 b) Phương trình có nghiệm khi: ∆’ = m2 - (m - 1) (m + 1) ≥ m2 - m2 + ≥ 0, đúng m m+1 Ta có x1.x2 = = m + = 5m - 4m = m = m-1 Với m = ta có phương trình : x - 3x + = x2 - 6x + = 2 -b Khi đó x1 + x2 = =6 a 4x + 7y = 18 25x = 25 x = Câu 3: Hệ đã cho 21x - 7y = 3x - y = y = Câu 4: =B , B =B 1) Theo giả thiết ta có: B A +B +B +B = 1800 Mà B nên hệ số góc đường thẳng là B 900 B +C = 900 Tương tự C Xét tứ giác BICK có B + C = 1800 điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O đường kính IK 2) Nối CK ta có OI = OC = OK (vì ∆ICK vuông C) ∆ IOC cân O = ICO (1) OIC Ta lại có C1 = C (gt) Gọi H là giao điểm AI với BC I B H C O K Ta có AH BC (Vì ∆ ABC cân A) + ICH = 900 OCI + ICA = 900 Trong ∆ IHC có HIC = 900 hay AC là tiếp tuyến đường tròn tâm (O) Hay ACO 3) Ta có BH = CH = 12 (cm) Trong ∆ vuông ACH có AH2 = AC2 - CH2 = 202 - 122 = 256 AH = 16 Trong tam giác ACH, CI là phân giác góc C ta có: IA AC AH - IH AC 20 = = = = (16 - IH) = IH IH = IH CH IH CH 12 Biên soạn : Trần Công Hoan 93 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (94) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Trong ∆ vuông ICH có IC2 = IH2 + HC2 = 62 + 122 = 180 Trong ∆ vuông ICK có IC2 = IH IK IK = IC 180 = = 30 , OI = OK = OC = 15 (cm) IH Câu 5: Ta có x + x + 2010 = 2010 (1) Điều kiện: x ≥ - 2010 (1) x + x + 1 - x - 2010 + x + 2010 - = 4 1 x + = x + 2010 - (2) 1 1 2 x + - x +2010 - = 2 2 x + = - x + 2010 + (3) 2 x Giải (2) : (2) (x 1) x 2010 (4) (4) (x + 1)2 = x + 2010 x2 + x - 2009 = ∆ = + 2009 = 8037 - + 8037 -1 - 8037 x1 = ; x2 = (loại) 2 2010 x Giải (3): (3) x x 2010 x x 2010 (5) (5) x x 2010 ∆ = + 2010 = 8041, + 8041 - 8041 x1 = ; x2 = (loại nghiệm x1) 2 1 8037 8041 Vậy phương tình có nghiệm: x ;x 2 Lời bình: Câu V Bằng cách thêm bớt ( x ) , nhạy cảm đã trình bày lời giải ngắn gọn Không cần khéo léo nào cả, bạn có lời giải trơn tru theo cách sau : x y 2010 Đặt x 2010 y , y bài toán đưa giải hệ y x 2010 Đây là hệ phương trình hệ đối xứng kiểu quen thuộc đã biết cách giải 2 Chú ý : Phương trình đã cho có dạng (ax + b)2 = p a ' x b ' + qx + r , (a 0, a' 0, p 0) a ' x b ' ay b, pa ' 0; Đặt : a ' x b ' ay b, pa ' Thường phương trình trở thành hệ đối xứng kiểu SỐ 14 Câu 1: 1) Ta có : P = x +1 x 2+5 x + x-4 x -2 x +2 Biên soạn : Trần Công Hoan 94 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (95) LUYỆN THI VÀO THPT P= = = NĂM HỌC 2011 - 2012 ( x +1) ( x +2) + x ( x - 2) - - x ( x - 2) ( x + 2) = x + x +2 + 2x - x - - x ( x +2) ( x - 2) 3x - x x ( x 2) x = = ( x + 2) ( x - 2) ( x + 2) ( x - 2) x +2 2) P = x = x = x +4 x +2 x = x = 16 m m Câu 2: 1) d song song với trục Ox và n n m 3 m 2 2) Từ giả thiết, ta có: 1 m n n Vậy đường thẳng d có phương trình: y 3x x = Câu 3: 1) Với m = - ta có phương trình: x2 + 8x = x (x + 8) = x = - 2) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆’ (m - 1)2 + (m + 3) ≥ m2 - 2m + + m + ≥ 15 m2 - m + > (m )2 đúng m Chứng tỏ phương trình có nghiệm phân biệt m x + x = 2(m - 1) (1) Theo hệ thức Vi ét ta có: (2) x1 - x = - m - Ta có x12 + x 22 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 (m - 1)2 + (m + 3) = 10 m = 4m - 6m + 10 = 10 2m (2m - 3) = m = 3) Từ (2) ta có m = -x1 x2 - vào (1) ta có: x1 + x2 = (- x1x2 - - 1) = - 2x1x2 - x1 + x2 + 2x1x2 + = Đây là hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc m Câu 4: 1) Từ giả thiết suy = 900 , HEB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CFH a e o f b c o2 h o1 = F = E = 90 AFHE Trong tứ giác AFHE có: A là hình chữ nhật ) (1) = AHE (góc nội tiếp chắn AE 2) Vì AEHF là hình chữ nhật AEHF nội tiếp AFE = ABH (góc có cạnh tương ứng ) (2) Ta lại có AHE Từ (1) và (2) = ABH mà CFE + AFE = 1800 AFE + ABH = 1800 Vậy tứ giác BEFC nội tiếp CFE 3) Gọi O1, O2 là tâm đường tròn đường kính HB và đường kính HC Gọi O là giao điểm AH và EF Vì AFHE là hình chữ nhật OF = OH FOH Biên soạn : Trần Công Hoan 95 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (96) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 = OHF Vì ∆ CFH vuông F O2C = O2F = O2H ∆ HO2F cân cân O OFH 0 O2 O FH = O HF mà O HF + FHA = 90 O FH + HFO = 90 Vậy EF là tiếp tuyến đường tròn tâm O2 Chứng minh tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn tâm O1 Vậy EF là tiếp tuyến chung nửa đường tròn Câu 5: Tìm GTLN, GTNN x thoả mãn (1) x + a + b + c = 2 2 x + a + b + c = 13 (2) Từ (1) a + b + c = - x Từ (2) a2 + b2 + c2 = 13 - x2 Ta chứng minh: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc ≥ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ (đpcm) Suy (13 - x2) ≥ (7 - x)2 (13 - x2) ≥ 49 - 14x + x2 4x2 - 14x + 10 ≤ ≤ x ≤ x a b c , x a b c 2 Vậy max x = , x = ĐỀ SỐ 15 x Câu 1: a) M = + : x - x - x x + x - 1 x x -1 = + : x ( x - 1) x - x +1 x -1 x -1 x-1 = x = : x -1 x +1 x -1 x +1 x-1 = x x - 1 x +1 x +1 x +1 x -1 x-1 x b) M > x - > (vì x > nên x > 0) x > (thoả mãn) Câu 2: a) Ta thấy: a = 1; b = - 2m; c = - 1, rõ ràng: a c = (-1) = -1 < phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Vì phương trình luôn có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b x1 + x = - a 2m đó: x12 + x 22 - x1x = x x = c = - a x1 + x - 3x1x = (2m)2 - ( -1) = 4m2 = m2 = m = Câu 3: Gọi x (chiếc) là số xe lúc đầu (x nguyên, dương) Biên soạn : Trần Công Hoan 96 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (97) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Số xe lúc sau là: x + (chiếc) Lúc đầu xe chở: 480 480 (tấn hàng), sau đó xe chở: (tấn hàng) x x+3 Ta có phương trình: 480 480 = x2 + 3x - 180 = x x +3 Giải phương trình ta x1 = - 15 (loại); x2 = 12 (TMĐK) Vậy đoàn xe lúc đầu có 12 = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) AM Câu 4: a) AMB MB (1) MN = BN (t/c tiếp tuyến cắt nhau), OM = OB ON là đường trung trực đoạn thẳng MB ON MB (2) Từ (1) và (2) AM // ON OAMN là hình thang b) ∆ NHK có HM NK; KB NH suy O là trực tâm ∆NHK ON KH (3) Từ (2) và (3) KH // MB n m k a o b Câu 5: 5x - x (2 + y) + y2 + = (1) Điều kiện: x ≥ Đặt x = z, z 0, ta có phương trình: 5z2 - 2(2 + y)z + y2 + = Xem (2) là phương trình bậc hai ẩn z thì phương trình có nghiệm ∆’ ≥ ∆’ = (2 + y)2 - 5(y2 + 1) = - (2y - 1)2 ≤ với y Để phương trình có nghiệm thì ∆’ = y = 1 Thế vào (1) ta tìm x = Vậy x = và y = là các giá trị cần tìm 4 h Lời bình: Câu V 1) Để giải phương trình chứa hai ẩn, ta xem hai ẩn là tham số Giải phương trình với ẩn còn lại 2) Các bạn tham khảo thêm lời giải khác : Ta có 5x x (2 y ) + y2 + = (4x x + 1) + y2 + y x + x = 1 (2 x 1)2 ( y x ) x y x ( x ; y ) Qua biến đổi ta thấy 5x x (2 y ) + y2 + với y, với x > Trình bày lời giải này chúng tôi muốn nghiệm lại Lời bình sau câu đề rằng: phần lớn các phương trình chứa hai biến trở lên chương trình THCS là "phương trình điểm rơi" Biến đổi tổng các biểu thức cùng dấu là cách giải đặc trưng "phương trình điểm rơi" ĐỀ SỐ 16 Câu 1: Biên soạn : Trần Công Hoan 97 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (98) LUYỆN THI VÀO THPT 1) K = x x -1 - NĂM HỌC 2011 - 2012 x(2 x - 1) = x - x + = x -1 x( x - 1) x -1 2) Khi x = + , ta có: K = - = +1 -1 = +1-1 = Câu 2: 1) Đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x + nên a = Vì đường thẳng y = ax + b qua điểm M (-1;2) nên ta có:2 = 3.(-1) + b b= (t/m vì b ) Vậy: a = 3, b = là các giá trị cần tìm 11y x 3x + 2y = 3 (3y + 2) + 2y = 2) Giải hệ phương trình: x 3y y x 3y = x = 3y + Baì 3: Gọi x là số xe lúc đầu ( x nguyên dương, chiếc) Số xe lúc sau là : x+3 (chiếc) Lúc đầu xe chở : 96 (tấn hàng) x Lúc sau xe chở : 96 ( hàng) x+3 96 Ta có phương trình : - 96 = 1,6 x2 + 3x -180 = x x+3 Giải phương trình ta được: x1= -15 ; x2=12 Vậy đoàn xe lúc đầu có: 12 (chiếc) Câu 4: = Sđ DC = Sđ BD = BCD 1) CDE a DE// BC (2 góc vị trí so le trong) = sđ (AC - DC) = AQC 2) APC o = AQC ) Tứ giác PACQ nội tiếp (vì APC 3) Tứ giác APQC nội tiếp = CAQ (cùng chắn CQ ) CPQ = CDE (cùng chắn DC ) CAQ b DE CE = PQ CQ (vì DE//PQ) (1) , p QE DE = (vì DE// BC) FC QC Cộng (1) và (2) : DE + DE = CE + QE = CQ = PQ FC CQ CQ e d = CDE DE // PQ Suy CPQ Ta có : c q (2) 1 (3) + = PQ FC DE ED = EC (t/c tiếp tuyến); từ (1) suy PQ = CQ Thay vào (3) ta có : + = CQ CF CE a a a+c < < (1) a+b+c b+a a+b+c b b b+a < < (2) a+b+c b+c a+b+c c c c+b < < (3) a+b+c c+a a+b+c a b c Cộng vế (1), (2), (3), ta : < + + < 2, đpcm a+b b+c c+a Câu : Ta có Biên soạn : Trần Công Hoan 98 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (99) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ SỐ 17 Câu 1: A = x1.x2 = 3+ 3- = B = x12 x 22 = + - = 3+ + 3- 32 - 5 = 9-5 = =2 =3+ +3- =6 Câu 2: a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, = - 33 2 b) Ta có ∆ = - (2m +1 - (m + 5m) = 4m2 + 4m + - 4m2 - 20m = - 16m Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ - 16m ≥ m 16 Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m Mà tích các nghiệm 6, đó m2 + 5m = m2 + 5m - = Ta thấy a + b + c = + + (-6) = nên m1 = 1; m2 = - Đối chiếu với điều kiện m ≤ thì m = - là giá trị cần tìm 16 Câu 3: a) Khi m = - 2, ta có hai đường thẳng y = - x - + = - x và y = (4 - 2)x + = 2x + y = - x Ta có toạ độ giao điểm đường thẳng trên là nghiệm hệ y = 2x + 1 Từ đó tính : y 3 1 Vậy tọa độ giao điểm là A( ; ) 3 b) Hai đường thẳng (d), ( d ) song song và - x = 2x + x = - m2 - = - m = m=1 m m + Vậy m = thì hai đường thẳng đã cho song song với t e h Câu 4: a) Trong tam giác vuông ATO có: R2 = OT2 = OA OH (Hệ thức lượng tam giác vuông) = BCT (cùng chắn cung TB) b) Ta có ATB a b = BTH (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) BCT = BTH hay TB là tia phân giác góc ATH ATB d o c k c) Ta có ED // TC mà TC TB nên ED TB ∆ TED có TB vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ∆TED cân T HB BD BE d) BD // TC nên = = (vì BD = BE) (1) HC TC TC BE AB BE // TC nên = (2) TC AC HB AB Từ (1) và (2) suy ra: = HC AC Câu 5: Từ giả thiết: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = Biên soạn : Trần Công Hoan 99 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (100) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x +y 2 7 7 + x +y + - + 10 = - y 2 2 2 7 7 x + y + x + y + 2 2 Giải - ≤ x + y + ≤ - A = -1 x = - và y = 0, A = - x = -5 và y = Vậy giá trị nhỏ A là - và giá trị lớn A là - Lời bình: Câu V Bài toán đã cho có hai cách giải Cách Biến đổi giả thiết dạng (mA + n)2 = k2 [g(x, y)]2 , từ đó mà suy (mA + n)2 k2 k n mA k + n minA, maxA Cách Từ A = x + y +1 y = A x 1, vào giả thiết có phương trình bậc hai x ta tìm minA, maxA ĐỀ SỐ 18 Câu 1: Rút gọn biểu thức: 1) 45 20 = 32.5 22.5 = 52 5 = x x x4 2) = x ( x 1) ( x 2)( x 2) x x2 x x 2 = x 1 x = x 1 Câu 2: Gọi x là chiều dài, y là chiều rộng hình chữ nhật (điều kiện: x > 0, y > 0, x, y tính mét) Theo bài ta có: (x + y) = 72 x +y = 36 (1) Sau tăng chiều dài gấp 3, chiều rộng gấp đôi, ta có : (3 x + 2y) = 194 3x + 2y = 97 (2) Ta có hệ PT : x + y = 36 3x + 2y = 97 x = 25 Giải hệ ta được: y = 11 Đối chiếu điều kiện bài toán ta thấy x, y thỏa mãn Vậy diện tích vườn là: S = xy = 25.11 = 275 (m2) Câu 3: 1) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + = Ta thấy: a +b + c = - +3 = Vậy PT đã cho có nghiệm: x1 = 1; x2 = 2) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , b'2 - ac 22 (m 1) - m m (1) x x Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : x 1x m x12 + x 22 = (x1+ x2) (x + x )2- 2x1x2 = (x1 + x2) 42 - (m +1) = 5.4 (m + 1) = - m = - Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - Câu : = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Ta có: ABC Biên soạn : Trần Công Hoan 100 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Từ (101) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 = 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B, C, F thẳng ABF hàng AB, CE và DF là đường cao tam giác ACF nên chúng đồng quy IBF 900 suy BEIF nội tiếp đường tròn Do IEF I E D A Gọi H là giao điểm AB và PQ Ta chứng minh các tam giác AHP và PHB đồng dạng HP HA HP2 = HA.HB HB HP O' O B C Tương tự, HQ2 = HA.HB Vậy HP = HQ hay H là trung điểm PQ Câu 5: Điều kiện x và - x2 > x và x < (*) P H Đặt y = - x > x + y = (1) Ta có: 1 x y (2) Từ (2) ta có : x + y = 2xy Thay vào (1) Có : xy = xy = - x * Nếu xy = thì x + y = Giải ra, ta có : y 1 1 x x 2 * Nếu xy = - thì x + y = -1 Giải ra, ta có : ; y 1 y 1 2 -1- Đối chiếu đk (*), phương trình đã cho có nghiệm : x = ; x = Lời nhắn Câu IV.1 Liên hệ với lời bình sau câu 4b đề 12 ĐỀ SỐ 19 ( 7) 11( 11 1) 11 11 ( 11) b) B = 11 Vậy A - B = 11 11 = 7, đpcm Câu 2: a) Với m = ta có hệ 3x + 2y = y = 2x - y = 2x - x = 2x - y = 3x + 2(2x - 1) = 7x = y = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) m b) Hệ có nghiệm khi: m2 ≠ - với m m 1 Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm với m Câu 1: a) A = Biên soạn : Trần Công Hoan 101 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) F Q (102) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 3: Gọi cạnh góc vuông nhỏ là x Cạnh góc vuông lớn là x + Điều kiện: < x < 10, x tính m Theo định lý Pitago ta có phương trình: x2 + (x + 2)2 = 102 Giải phương trình ta x1 = (t/m), x2 = - (loại) Vậy cạnh góc vuông nhỏ là 6m; cạnh góc vuông lớn là 8m = 900 PAC + PMC = 1800 Câu 4: a) Ta có PAC y x p m nên tứ giác APMC nội tiếp q MAC b) Do tứ giác APMC nội tiếp nên MPC (1) MBC (2) Dễ thấy tứ giác BCMQ nội tiếp suy MQC MBC 900 (3) Từ (1), (2), (3) ta có : Lại có MAC a b MBC 900 PCQ 900 MPC = BCQ (Tứ giác BCMQ nội tiếp) BMQ = AMC (Cùng phụ với BMC) EMC = EFC (Tứ c) Ta có BMQ = EFC hay AB // EF giác CEMF nội tiếp) Nên BCQ Câu 5: P = x2 + + ≥ x +1 x 2 x 1+ , P = x2 + = +1 x = Vậy P = x +1 ĐỀ SỐ 20 Câu 1: a) A = 2( +2) - 2( - 2) -2 +2 = +4 - + 5 = - 22 = 5-4 b) Ta có: B= x-1 : x -1 x - 1 x +1 = x x - 1 x x x + +1 - x x +1 = x +1 x-1 x x x +1 x-1+1- x x Câu 2: x2 - (m + 5)x - m + = (1) a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + = a + b + c = - + = x1 = 1; x2 = b) Phương trình (1) có nghiệm x = - khi: (-2)2 - (m + 5) (-2) - m + = + 2m + 10 - m + = m = - 20 c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + Phương trình (1) có nghiệm ∆ = m2 + 14m + ≥ (*) Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có: S = x1 + x2 = m + 5; P = x1 x2 = - m + Khi đó: x12 x x1x 22 24 x1x ( x1 x ) 24 (m 6)(m 5) 24 m m m ; m 2 Giá trị m = thoả mãn, m = - không thoả mãn điều kiện (*) Vậy m = là giá trị cần tìm Câu 3: Gọi x là số dãy ghế phòng lúc đầu (x nguyên, x > 3) Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị 102 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (103) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x - là số dãy ghế lúc sau Số chỗ ngồi trên dãy lúc đầu: 360 360 (chỗ), số chỗ ngồi trên dãy lúc sau: (chỗ) x x-3 360 360 =4 x-3 x Giải x1 = 18 (thỏa mãn); x2 = - 15 (loại) Vậy phòng có 18 dãy ghế Ta có phương trình: Câu 4: a) ∆SAB cân S (vì SA = SB - theo t/c tiếp tuyến cắt nhau) nên tia phân giác SO là đường cao SO AB = SIE = 900 IHSE nội tiếp đường tròn đường kính SE b) SHE OI SO = OH OE OI OE = OH OS = R (hệ thức lượng tam giác vuông SOB) Câu 5: (1) x3 - 2mx2 + m2x + x - m = 0, x (x2 - 2mx + m2) + x - m = x (x - m)2 + (x - m) = x = m (x - m) (x2 - mx + 1) = x - mx + = (2) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt khác m Dễ thấy x = m không là nghiệm (2) Vậy (2) có hai nghiệm phân biệt và m > ∆ = m2 - > m < m > Vậy các giá trị m cần tìm là: m < - c) ∆SOI ~ ∆EOH (g.g) ĐỀ SỐ 21 Câu 1 x 2 x 2) Ta có hệ 11 y x y Câu 1) Vẽ đồ thị y x thông qua bảng giá trị x -2 -1 y 0 1 1 1 1) A = 1 1 1 Vẽ đồ thị y x qua các điểm A(0, 2) và B(-2,0) Biên soạn : Trần Công Hoan 103 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (104) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 y N M A B x -2 -1 O -1 2) Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị x x hay x x Phương trình này có nghiệm: x1 1 y1 và x y Vậy hai đồ thị cắt hai điểm M(-1, 1) và N(2, 4) Câu 1) Với m , ta có phương trình: x x Các hệ số phương trình thoả mãn a b c nên phương trình có các nghiệm: x1 1 , x 2 2) Phương trình có biệt thức 2m 1 4.2.m 1 2m 3 nên phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x với m 2m x1 x Theo định lý Viet, ta có: x1 x m 2 Điều kiện đề bài x12 x1 x x 22 4 x1 x x1 x Từ đó ta có: 1 2m 3m 1 4m m Phương trình này có tổng các hệ số a b c (7) nên phương trình này có các nghiệm 3 m1 1, m2 Vậy các giá trị cần tìm m là m 1, m 4 o FCD 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy tứ Câu 1) Tứ giác FCDE có góc đối : FED F giác FCDE nội tiếp 900 , 2) Xét hai tam giác ACD và BED có: ACD BED (đối đỉnh) nên ACDBED Từ đó ta có tỷ số : I ADC BDE E C DC DE DC.DB DA.DE DA DB D 3) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE tam giác ICD cân IDC FEC (chắn cung FC ) Mặt khác tam giác OBC cân ICD A OBC DEC (chắn cung O nên OCB AC (O)) Từ đó ICD DCO FEC DEC FED 900 IC CO hay IC là ICO tiếp tuyến đường tròn (O) Biên soạn : Trần Công Hoan 104 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) B (105) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 4x 1 4x 1 y , y ta có y2 y 7y2 y x 28 2 28 x x y Cùng với phương trình ban đầu ta có hệ: 7 y y x Trừ vế cho vế hai phuơng trình ta thu Câu Đặt x y 7 x y y x ( x y )7 x y 8 x y (vì x và y nên x y 0) hay x y 50 x 14 Thay vào phương trình trên ta x x Đối chiếu với điều kiện 50 x 14 50 x, y ta nghiệm là x 14 Lời bình: Câu V Chắc chắn hỏi đằng sau phép đặt ẩn phụ 4x y có "mách bảo" nào không? 28 2 4x 1 4x Ta có 7x + 7x = 7 x 28 2 28 Dưới hình thức phương trình đã cho thuộc dạng (ax + b)2 = p a ' x b ' + qx + r , (a 0, a' 0, p 0) Một lần Lời bình sau câu đề 13 đã dẫn cách đặt ẩn phụ trên ĐỀ SỐ 22 Câu 1: 1) x2 - 2x - 15 = , ' = - (-15) = 16 , ' = Vậy phương trình có nghiệm x1 = - = - 3; x2 = + = Đường thẳng y = ax - qua điểm M (- 1; 1) và khi: = a (-1) -1 <=> a = - Vậy a = - Câu 2: 1) P = = a 1a a 1 a a a a aa a a a (a 1) a 1 a 1 a 1 a a a a a a 2 a 1 a a a a Vậy P = - a 2) Ta có: P 2 - a > - a < < a < Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: < a < Vậy P > -2 a và < a < Câu 3: Gọi x, y số chi tiết máy tổ 1, tổ sản xuất tháng giêng (x, y N* ), Biên soạn : Trần Công Hoan 105 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (106) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ta có x + y = 900 (1) (vì tháng giêng tổ sản xuất 900 chi tiết) Do cải tiến kỹ thuật nên tháng hai tổ sản xuất được: x + 15%x, tổ sản xuất được: y + 10%y Cả hai tổ sản xuất được: 1,15x + 1,10y = 1010 (2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: x y 900 1,1x 1,1y 990 0, 05x 20 1,15x 1,1y 1010 1,15x 1,1y 1010 x y 900 <=> x = 400 và y = 500 (thoả mãn) Vậy tháng giêng tổ sản xuất 400 chi tiết máy, tổ sản xuất 500 chi tiết máy = 900 (vì góc nội tiếp Câu 4: 1) Ta có IPC = 900 chắn nửa đường tròn) => CPK B = 900 + 900 = 1800 Xét tứ giác CPKB có: K => CPKB là tứ giác nội tiếp đường tròn (đpcm) B = 900; 2) Xét AIC và BCK có A y x BKC (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc) ACI AI AC => AIC ~ BCK (g.g) => BC BK => AI.BK = AC.BC PIC (vì góc nội tiếp cùng chắn cung PC ) 3) Ta có: PAC K P I A C PKC (vì góc nội tiếp cùng chắn cung PC ) PBC = 900 PBC PIC PKC 900 (vì ICK vuông C).=> APB Suy PAC Câu 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + px + q = biết p + q= 198 Phương trình có nghiệm <=> p2 + 4q 0; gọi x1, x2 là nghiệm - Khi đó theo hệ thức Viét có x1+ x2 = - p và x1x2 = q mà p + q = 198 => x1x2 - (x1+ x2) = 198 <=> (x1 - 1)(x2 - 1) = 199 = 199 = (- 1)(-199) ( Vì x1, x2 Z ) Nên ta có : x1 - x2 - x1 x2 199 200 -1 -199 -198 199 200 -199 -1 -198 Vậy phương trình có các nghiệm nguyên: (2; 200); (0; -198); (200; 2); (-198; 0) ĐỀ SỐ 23 Câu 1) A = 20 80 = 5 15 2 2) Đặt t x , t phương trình trở thành 4t 7t Biệt thức 4.4.(2) 81 Phương trình có nghiệm t1 , t 2 (loại) 1 1 Với t ta có x x Vậy phương trình có nghiệm x 4 2 Câu Biên soạn : Trần Công Hoan 106 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) B (107) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x 2m Giao điểm (d1 ) và trục hoành là A(2, 0) Yêu cầu bài toán thoả mãn và (d ) qua A 2m m 2) Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật (đơn vị m, x > 0) chiều dài hình chữ nhật là x + (m) Vì đường chéo là 13 (m) nên theo định lý Piatago ta có : 1) Ta gọi (d1 ) , (d ) là các đường thẳng có phương trình y 3 x và y 132 x x 2x 14x 49 169 x Chỉ có nghiệm x thoả mãn x 7x 60 x 12 Vậy mảnh đất có chiều rộng 5m, chiều dài 12m và diện tích là S = 5.12 = 60 (m2) Câu 1) Khi m phương trình trở thành x x x x 2 x ; x 2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x ' m 3 m Khi đó theo định lí Vi-et ta có: x1 x (1) và x1 x m (2) Điều kiện bài toán x12 x x1 x 12 x1 x1 x x 12 x1 x 12 (do (1)) x1 x 6 (3) Từ (1) và (3) ta có: x1 2, x Thay vào (3) ta được: 2.4 m m 5 , thoả mãn điều kiện Vậy m 5 Câu = sđ DB (góc nội tiếp) và BDE = sđ DB (góc tiếp tuyến và dây cung) Suy 1) Ta có DAB 2 DAB BDE chung, DAM BDM nên DMB AMD 2) Xét hai tam giác DMB và AMD có: DMA MD MA hay MD MA.MB MB MD ME MA Tương tự ta có: EMB AME hay ME MA.MB MB ME Từ đó: MD = ME hay M là trung điểm DE BDM , EAB BEM 3) Ta có DAB PBQ = DAB EAB PBQ BDM BEM DBE 1800 PAQ BDM suy PQB PAB Kết hợp với PAB BDM Hai góc này tứ giác APBQ nội tiếp PQB vị trí so le nên PQ song song với AB Biên soạn : Trần Công Hoan 107 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (108) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 D M E B P Q O' O A 4x x2 1 Khi đó ta có y x x y.x x y 3 (1) Ta tìm điều kiện y để (1) có nghiệm Nếu y thì (1) có nghiệm x Nếu y , (1) có nghiệm ' 2 y y 3 y y y Kết hợp lại thì (1) có nghiệm y Theo giả thiết y là số nguyên âm y 1 Khi đó thay vào trên ta có x 2 Câu Đặt y Lời bình: Câu V 4x có GTNN 1 và GTLN x2 1 2) Phương pháp giải bài toán trên là phương phương pháp tìm GTNN, GTLN các biểu ax bx c thức dạng P (với b'2 4ac < 0), chẳng hạn a ' x2 b ' x c ' 1) Từ cách giải bài toán trên ta suy biểu thức y P 20 x 10 x x xy y ; Q với x2 + y2 > 0; 3x x x2 y2 F = x2 + 2xy y2 với 4x2 + 2xy + y2 = ĐỀ SỐ 24 Câu 5(1 5) (1 5) (1 5) 2 2 x x 1 x x 1 1 x 1 x x 1 x 1 x 1) A = (1 5) 2) B = Câu 1) Thay x vào vế trái phương trình ta được: 22 m 2(m 5) 2m 2m 10 đúng với m nên phương trình có nghiệm x với m 2) Vì phương trình luôn có nghiệm x nên để nó có nghiệm x 2 thì theo định lý Vi-et ta có: 2 2m 5 2 m m 10 2 Biên soạn : Trần Công Hoan 108 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (109) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu Gọi x (km/h) là vận tốc dự định xe, x > 15 80 Thời gian dự định xe là x Thời gian xe phần tư quãng đường đầu là là 20 , thời gian xe quãng đường còn lại x 15 60 x 10 80 20 60 = + (1) x x 15 x 10 Biến đổi (1) x 15 x 10 x x 35 x x 15 x 10 15 x 600 x = 40 (thoả mãn điều kiện) 80 Từ đó thời gian dự định xe là 40 Theo bài ta có Câu 900 Mặt khác theo giả thiết MCD 900 1) Ta có vì Ax là tiếp tuyến nửa đường tròn nên MAD nên suy tứ giác ADCM nội tiếp Tương tự, tứ giác BDCN nội tiếp DAC , DNC DBC 2) Theo câu trên vì các tứ giác ADCM và BDCN nội tiếp nên: DMC DNC DAC DBC 900 Từ đó MDN 900 Suy DMC 900 nên tứ giác CPDQ nội tiếp Do đó CPQ CDQ CDN 3) Vì ACB MDN CBN Hơn ta có CBN CAB , suy CPQ CAB hay Lại tứ giác CDBN nội tiếp nên CDN PQ song song với AB Câu Với các số dương x, y ta có: x y xy x y 1 xy x y x y x y Áp dụng bất đẳng thức trên ta, có: ab bc ca 1 1 1 1 1 1 a b c c a b b c c a a b b c 4 a a b c = 4 bc ca ab bc ca ab Vậy bất đẳng thức chứng minh Lời bình: Câu II.1 Thay câu II.1 câu : Chứng minh phương trình có nghiệm không phụ thuộc giá trị m, ta bài toán "thông minh hơn" Biên soạn : Trần Công Hoan 109 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (110) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Biến đổi phương trình dạng m(x 2) = x2 + 3x 10 (1) Xem (1) là phương trình m Thế thì (1) có nghiệm không phụ thuộc m và x = x2 + 3x 10 = x = Vậy có x = là nghiệm cố định không phụ thuộc vào m phương trình đã cho Vấn đề nghiệm cố định còn bàn thêm lời bình sau câu Câu I4b, đề 32 ĐỀ SỐ 25 Câu x 1 1) Ta có A = x x 1 : x 1 = x x x 1 x 1 x x 1 x 22 2 1 Câu 1) Khi a và b 5 ta có phương trình: x 3x Do a + b + c = nên phương trình có nghiệm x1 1, x 4 2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x a 4(b 1) (*) x x a Khi đó theo định lý Vi-et, ta có (1) x1 x2 b x1 x x1 x x x2 Bài toán yêu cầu (2) 3 x1 x 2 x1 x x1 x 3x1x x1 x 2 Từ hệ (2) ta có: x1 x2 x1 x2 x1 x2 32 4(2) , kết hợp với (1) 2) x 2 x 2 1 x nên A = a a 1, b 3 a 1, b b Các giá trị này thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm Câu Gọi x (km/h) là vận tốc thực thuyền (x > 4) Vận tốc thuyền xuôi dòng là x + (km/m) Vận tốc thuyền ngược dòng là x – km 24 Thời gian thuyền từ A đến B là x4 16 Thời gian thuyền quay từ B đến C là x4 Thời gian bè (giờ) 24 16 Ta có phương trình: + = (1) x4 x4 Biến đổi phương trình: (1) 12( x 4) 8( x 4) x x x 20 x x x( x 20) x 20 Đối chiếu với điều kiện ta thấy có nghiệm x = 20 thoả mãn Vậy vận tốc thực thuyền là 20km/h Biên soạn : Trần Công Hoan 110 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (111) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có 1) Vì H là trung điểm AB nên OH AB hay OHM 900 Suy các điểm M, D, O, H cùng nằm trên đường tròn OD DM hay ODM 2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD MCD cân M MI là đường phân giác = sđ CI Mặt khác I là điểm chính cung nhỏ CD nên DCI sđ DI = MCI CMD 2 CI là phân giác MCD Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD 3) Ta có tam giác MPQ cân M, có MO là đường cao nên diện tích nó tính: S SOQM .OD.QM R( MD DQ ) Từ đó S nhỏ MD + DQ nhỏ Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vuông OMQ ta có DM DQ OD R không đổi nên MD + DQ nhỏ DM = DQ = R Khi đó OM = R hay M là giao điểm d với đường tròn tâm O bán kính R P C A d H B M I O D Q Câu Từ giả thiết ta có: abc a b c Do đó, áp dụng bất đẳng thức Côsi, P = a b a c = a ab ac bc = a a b c bc a a b c bc = a a b c bc a a b c Đẳng thức xảy bc a b c abc Hệ này có vô số nghiệm dương, chẳng hạn ta chọn b = c = a = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P là 2 1 ĐỀ SỐ 26 Câu 1: 1) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 3x + y = 6x + 2y = 18 7x = 14 x = 2) x - 2y = - x - 2y = - y = - 3x y = Câu 2: Biên soạn : Trần Công Hoan 111 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (112) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 x 1) P = : x 1 x + x 1 x x 1 x+ x x 1 x x x 1 1 x x 1 x x x 1 x 1 x 1-x x 1 x x x 1-x 1 - x x 3x > - x < x Vậy với x < thì P > Câu 3: 1) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + = Vì ∆ = - < nên phương trình trên vô nghiệm 2) Với x > thì 2) Ta có: ∆ = – 4m Để phương trình có nghiệm thì ∆ – 4m m (1) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = và x1.x2 = m Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – )2 = 9( x1 + x2 ), ta được: m = - (m – 1)2 = m2 – 2m – = m = Đối chiếu với điều kiện (1) suy có m = -2 thỏa mãn Câu 4: 1) Tứ giác ABEH có: B = 900 (góc nội tiếp nửa đường tròn); H = 900 (giả thiết) nên tứ giác ABEH nội tiếp Tương tự, tứ giác DCEH có C = H = 900 , nên nội tiếp 2) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: ) EBH = EAH (cùng chắn cung EH C Trong (O) ta có: EAH = CAD = CBD B E ) (cùng chắn cung CD I Suy ra: EBH = EBC , nên BE là tia phân D A O H giác góc HBC Tương tự, ta có: ECH = BDA = BCE , nên CE là tia phân giác góc BCH Vậy E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH 3) Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD, nên ) Mà BIC = 2EDC (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung EC EDC = EHC , suy BIC = BHC + Trong (O), BOC = 2BDC = BHC (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn ) cung BC + Suy ra: H, O, I trên cung chứa góc BHC dựng trên đoạn BC, hay điểm B, C, H, O, I cùng nằm trên đường tròn Câu 5: ĐK: x ≥ - (1) Biên soạn : Trần Công Hoan 112 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (113) LUYỆN THI VÀO THPT Đặt NĂM HỌC 2011 - 2012 x + a; x + b a 0; b (2) Ta có: a2 – b2 = 5; x 11x + 24 x + 8 x + 3 ab Thay vào phương trình đã cho ta được: (a – b)(ab + 1) = a2 – b2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = a - b = x + x + (vn) x = - 1 - a = x + x = - 1 - b = x + Đối chiếu với (1) suy phương trình đã cho có nghiệm x = - ĐỀ SỐ 27 Câu 1: 4.5 16.5 9.5 = = 5 5 2) B = 1 5 5 1 1 2 2 1 Câu 2: 2x - y = - 2y 2x + y = 2x = x = 1) 3x + y = - x 4x + y = y = - 2x y = - 2) Phương trình x – x – = có a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = và x1 x2 = - 1 x1 x 1 Do đó: P = x1 x x1 x 3 1) A = Câu 3: Gọi x (km/h) là vận tốc xe lửa thứ từ Huế đến Hà Nội Khi đó vận tốc xe lửa thứ hai từ Hà Nội là: x + (km/h) (ĐK: x > 0) 300 345 Theo giả thiết, ta có phương trình: x5 x 900 x x x 1035 x x 22 x 1035 Giải phương trình ta được: x1 23 (loại vì x > 0) và x2 45 Vậy vận tốc xe lửa thứ là: 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là: 50 km/h Câu 4: D 1) Ta có: AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AMD 900 Tứ giác ACMD có AMD ACD 900 , suy ACMD nội tiếp I đường tròn đường kính AD K 2) ∆ABD và ∆MBC có: B chung và BAD BMC (do ACMD là tứ giác nội tiếp) A C E Suy ra: ∆ABD ~ ∆MBC (g – g) M O B 3) Lấy E đối xứng với B qua C thì E cố định và EDC BDC , lại có: BDC CAK (cùng phụ với B ), suy ra: EDC CAK Do đó AKDE là tứ giác nội tiếp Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AKD thì O’ Biên soạn : Trần Công Hoan 113 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (114) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 củng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AKDE nên O A = O E, suy O thuộc đường trung trực đoạn thẳng AE cố định Câu 5: 1 1 = 2 x y xy x y 2xy 2xy Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: x + y xy xy 4xy (1) 2xy Đẳng thức xảy x = y Tương tự với a, b dương ta có: 1 2 (*) a b ab a+b a+b 1 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: (2) x y 2xy x + y A= Dấu đẳng thức xảy x2 + y2 = 2xy x = y Từ (1) và (2) suy ra: A Dấu "=" xảy x = y = Vậy minA = ĐỀ SỐ 28 Câu 1: 2x + y = 6x + 3y = 21 7x = 14 x = 1) x - 3y = - x - 3y = - y = - 2x y = 2) Phương trình 3x2 – x – = có các hệ số a và c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt x1và x2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2 và x1.x2 = 3 Do đó P = x12 x 22 x1 x 2x1 x = 13 9 Câu a a a 1 1) A = : a ( a + 1) ( a - 1)( a 1) a 1 a > 0, a 2) A < a < a a a a + a a 1 Câu 3: 1) Ta có = m2 + > 0, m R Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 4m2 + = m2 = m = 1 Câu 4: Biên soạn : Trần Công Hoan 114 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (115) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 1) ADB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADM 900 (1) Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM là đường trung trực AC AEM 900 (2) Từ (1) và (2) suy MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA x N C M D E A I H O B 2) Xét ∆MAB vuông A có AD MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng tam giác vuông) 3) Kéo dài BC cắt Ax N, ta có ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ACN 900 , suy ∆ACN vuông C Lại có MC = MA nên suy MC = MN, đó MA = MN (5) Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì với I là giao điểm CH và MB Từ (5) và (6) suy IC = IH hay MB qua trung điểm CH Câu 5: Điều kiện: x 0, x - 0, x - (*) x x 5 x x 2x x - x - 2x x x x x x x x 4 x x - x - 1 x x 5 x 2x x 2x x x x x x - (vì 0) x x 2x x x x 2 Đối chiếu với điều kiện (*) thì có x = thỏa mãn IC IH BI (6) MN MA BM 0 ĐỀ SỐ 29 Câu 1: a) Đường thẳng d qua gốc tọa độ và 2m m b) Đồ thị hàm số y (m m)x qua điểm A(-1; 2) (m m).(1)2 m m m 1; m Câu 2: 1 a) P = .1 a 3 a a 3 = a ( a 3) ( a 3)( a 3) a b) Ta có: Vậy P > a 3 > 2 a 3 a 3 a 3 a 3 Vậy P = a +3<4 a 3 a 3 a 3 a a < a và < a < Biên soạn : Trần Công Hoan 115 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (116) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 3: Gọi x, y là thời gian người cần để mình hoàn thành công việc (x, y > tính giờ) 1 1 Trong người làm ; công việc, làm + = công việc.(vì x y x y hai người hoàn thành công việc giờ) Do người thứ làm ít người thứ hai là nên y - x = Ta có hệ phương trình y x (1) y x 1 1 1 1 x y x x (2) Giải (2): (2) <=> x(x + 6) = (x + x + 6) <=> x2 - 2x - 24 = <=> x = (t/m); x = - (loại vì x > 0) Thay vào (1) y = 12 Vậy để hoàn thành công việc người thứ cần giờ, người thứ hai cần 12 Câu 4: = 900 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn) a) Ta có BAC CEH = 900 Tương tự có BDH ADH AEH = 900 => ADHE là hình chữ nhật Xét tứ giác ADHE có A Từ đó DE = AH mà AH2 = BH.CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH2 = 10 40 = 202 (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20 = C ADE (1) (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà DAH b) Ta có: BAH ADE C BDE = 1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn (Vì ADHE là hình chữ nhật) => C BDO c) Vì O1D = O1B => O1BD cân O1 => B (2) BAH = 900 => O1D //O2E BDO B Từ (1), (2) => ADE A Vậy DEO2O1 là hình thang vuông D và E 1 Ta có Sht = (O1D O2 E).DE O1O DE O1O 22 (Vì O1D + O2E 2 = O1H + O2H = O1O2 và DE < O1O2 ) BC R O1O2 Dấu "=" xảy và DE = O1O2 DEO2O1 là hình chữ nhật E D B Sht A là điểm chính cung BC Khi đó max S DEO2O1 = O1 H O O2 R2 (1) (1) <=> 3x3 + 3x2 - 3x = - <=> 4x3 = x3 - 3x2 + 3x - <=> 4x3 = (x - 1)3 <=> x = x - <=> x( 1 ) = <=> x = 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1 Lời bình: Câu III Câu 5: Giải phương trình: x3 + x2 - x = - Biên soạn : Trần Công Hoan 116 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) C (117) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Ta thường gặp bài toán :" Hai máy cày cùng cày cánh đồng…; hai vòi nước cùng chảy vào bể…; hai hợp tác cùng đào mương…; hai người cùng làm chung công việc…) v.v" Ta gọi bài bài trên thuộc loại toán "Làm chung việc" Một số lưu ý giải bài toán này là a) Khối lượng công việc phải hoàn thành quy ước (đơn vị) (Năng suất) (thời gian) = (khối lượng làm được) (Năng suất chung) = (tổng các suất riêng) (Bạn có thể tò mò lại quy ước khối lượng công việc là Công việc hoàn tất nghĩa là hoàn thành 100 khối lượng công việc Bởi 100 = 1, đó là điều dẫn tới quy ước trên) b) Bài toán có thể trình bày lời giải hệ phương trình hai ẩn phương trình ẩn c) Trong bài toán trên (theo các kí hiệu đã dùng lời giải) thì : 1 Các suất riêng là và x y 1 Năng suất chung : Một mặt tính là , mặt giả thiết cho là Vậy nên có x y 1 phương trình x y ĐỀ SỐ 30 Câu 1) Phương trình tương đương với x 75 x 5 x 5 3 x y 7 x 7 x 1 2) Hệ phương trình 4 x y 8 3 x y y 2 Câu 1) Với m phương trình trở thành x x 52 4.2.2 nên phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 2 2) Phương trình có biệt thức m 3 4.2.m m 2m m 1 với m m3 x1 x Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x Khi đó theo định lý Viet thì x1 x m 2 Biểu thức A = x1 x = 1 m 2m 2 2 x1 x2 = x1 x2 x1 x = m m 3 = 4 m 12 Do m 1 nên m 1 2 , suy A Dấu xảy m Vậy giá trị nhỏ A là , đạt m Câu 1) Ta có a 25a 4a a a 2a a a (a 2) và a 2a a (a 2) a a 2 a a 2 a 2) Gọi vận tốc canô nước yên lặng là x (km/h, x 4) nên P = Biên soạn : Trần Công Hoan 117 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (118) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 48 x4 48 Vận tốc ca nô nước ngược dòng là x và thời gian ca nô chạy ngược dòng là x4 48 48 Theo giả thiết ta có phương trình (*) x4 x4 (*) 48( x x 4) 5( x 16) x 96 x 80 Giải phương trình ta x 0,8 (loại), x 20 (thỏa mãn) Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng là 20 km/h Câu D 1) Chứng minh ABD cân Xét ABD có BC DA và CA = CD nên C BC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nó Vậy ABD cân B O 2) Chứng minh ba điểm D, B, F cùng A B nằm trên đường thẳng = 900, nên CE là đường kính (O) Vì CAE Vận tốc ca nô nước xuôi dòng là x và thời gian ca nô chạy xuôi dòng là E Ta có CO là đường trung bình tam giác ABD Suy BD // CO hay BD // CE (1) Tương tự CE là đường trung bình tam giác ADF F Suy DF // CE (2) Từ (1) và (2) suy D, B, F cùng nằm trên đường thẳng 3) Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) Tam giác ADF vuông A và theo tính chất đường trung bình DB = CE = BF B là trung điểm DF Do đó đường tròn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tâm và AB làm bán kính Hơn nữa, vì OB = AB OA nên đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) A Câu Vì các số a, b, c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có: a b c a (b c ) a bc a ab c 2a abc Tương tự ta có: b 2b c 2c , ca abc ab abc Cộng các bất đẳng thức cùng chiều trên ta có a b c 2a 2b 2c bc ca ab abc a b c Dấu xảy b c a a b c , không thoả mãn c a b a b c bc ca ab Lời bình: Câu II.2 Vậy Biên soạn : Trần Công Hoan 118 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (119) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Các bạn tham khảo thêm lời giải sau Gọi x1, x2 là các nghiệm có phương trình Từ công thức x1,2 (m 1)2 | x1 x2 | , với m |a| b suy : 2a (*) Kết (*) cho thấy > ,m đồng thời có min|x1 x2| = , đạt m = Lời giải đã giảm bớt tối đa các phép toán, điều đồng hành giảm bớt nguy sơ sai sót Câu IV.2 Việc chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng thường thực cách chứng minh ba điều tương đương sau : AB + BC = AC (khi đó B thuộc đoạn thẳng AC) Một ba điểm là đỉnh góc 1800 (chẳng hạn ABC 1800 ) Một ba điểm là điểm chung hai đoạn thẳng song song (chẳng hạnAB // BC) Một ba điểm là điểm chung hai đoạn thẳng cùng tạo với đường thẳng () có sẵn góc (chẳng hạn ( AB, ) ( AC , ) ) ĐỀ SỐ 31 Câu 1: Tính a) A = 20 18 45 72 4.5 9.2 9.5 36.2 = = 3 b) B = 4 4 B ( 1) ( 1) B B 14 c) C = C= x x x x với x > ( x 1) ( x 1) x x 1 +) Nếu x > thì C = x 1 x 1 x +) Nếu x < 2, thì C = x 1 x Câu 2: a) Hàm số y = (2m - 1)x - m + nghịch biến trên R và 2m - > <=> m > b) Đồ thị hàm số qua A (1; 2) khi: = (2m - 1).1 - m + <=> m = Vậy hàm số y = x + Câu 3: Gọi x, y là thời gian người thợ thứ và người thợ thứ làm mình (x, y > 0, tính giờ) 1 1 - Một người làm ; công việc người làm + = (vì người làm x y x y 16 16 thì xong công việc) Biên soạn : Trần Công Hoan 119 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (120) LUYỆN THI VÀO THPT - Trong người thứ làm NĂM HỌC 2011 - 2012 (CV), người làm (CV) vì hai làm x y + = x y Do đó ta có hệ phương trình: (CV) ta có 1 1 3 3 3 x y 16 x y 16 y 16 x 24 6 1 1 y 48 x y x y x y 16 Vậy người thứ hoàn thành công việc 24 người thứ hai hoàn thành công việc 48 Câu 4: a) Xét ABM và AMC MCB Có góc A chung; AMB M sđ cung MB) A => AMB ~ ACM (g.g) AM AB => => AM2 = AB.AC AC AM N = 1800 b) Tứ giác AMON có M (= B K O D I C N N = 900 tính chất tiếp tuyến) (Vì M => AMON là tứ giác nội tiếp - Vì OI BC (định lý đường kính và dây cung) I = 900 + 900 = 1800 => AMOI là tứ giác nội tiếp Xét tứ giác AMOI có M c) Ta có OA MN K (vì K trung điểm MN), MN cắt AC D I = 1800 => tứ giác KOID nội tiếp đường tròn tâm O1 Xét tứ giác KOID có K => O1 nằm trên đường trung trực DI mà AD.AI = AK.AO = AM2 = AB.AC không đổi (Vì A, B, C, I cố định) Do AI không đổi => AD không đổi => D cố định Vậy O1 tâm đường tròn ngoại tiếp OIK luôn thuộc đường trung trực DI cố định Câu 5: x 1 2x 2y 2y (*) 2x 2x 2x Xét pt (*): Để x, y nguyên thì 2x +1 phải là ước 1, đó: + Hoặc 2x +1 =1 x = 0, thay vào (*) y = + Hoặc 2x +1 = -1 x = -1, thay vào (*) y = Vậy pt đã cho có nghiệm nguyên là: (0; 1) ; (-1; 0) Ta có: (2x 1)y x y Lời nhắn Câu IV.c Liên hệ với lời bình sau câu 4c đề ĐỀ SỐ 32 Biên soạn : Trần Công Hoan 120 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (121) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 1: 1) P = ( 2)( 2) [ ( 2)][ ( 2)] = ( )2 ( 2))2 (3 4) 2) Đường thẳng d và d song song với và khi: m m m 2 m 2 m m m Câu 2: x2 + (2m + 1) x + m2 + = (1) a) Khi m = ta có phương trình: x2 + 3x + = Vì a = 1; b = 3; c = => a - b + c = Vậy phương trình có x1 = - 1; x2 = - b) Phương trình (1) có nghiệm âm và khi: (2m 1)2 4(m 1) m 4m m S (2m 1) 2m P m m 2 Câu 3: Ta có: a + b > 2ab = (vì ab = 1) 4 A = (a + b + 1)(a2 + b2) + > 2(a + b + 1) + ab ab = + (a + b + ) + (a + b) > + + = ab (a + b + > và a + b > ab vì áp dụng BĐT Côsi cho số dương) ab Dấu “=” và a = b = A Vậy minA = Câu 4: K = 900 + 900 = 1800 a) Xét tứ giác BHMK: H => Tứ giác BHMK nội tiếp đường tròn CM tương tự có tứ giác CHMI nội tiếp HMK C HMI = 1800 b) Ta có B I K M B H C C HMK HMI (1) mà B BCM , KBM KHM (vì góc nội tiếp KBM cùng chắn cung MK và góc tạo tia tt và góc nội tiếp cùng chắn cung BM) HIM (góc tạo tia tiếp tuyến và góc nội HCM ) KHM HIM (2) tiếp cùng chắn HM MH MK Từ (1), (2) => HMK ~ IMH (g.g) => MH = MI MK (đpcm) MI MH c) Ta có PB = PM; QC = QM; AB = AC (Theo t/c hai tiếp tuyến) Xét chu vi APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PM + QM = (AP + PB) + (AQ + QC) = AB + AC = 2AB không đổi Biên soạn : Trần Công Hoan 121 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (122) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Vì A cố định và đường tròn (O) cho trước nên chu vi APQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M (đpcm) x 2y a (1) Câu 5: Giả sử hệ có nghiệm là (x; y) x y (2) Từ (2) suy x 1, y Từ (1) ta có: x 2y x y x y ( x y ) ( y y 1) ( y y 1) ( y 1)2 a trái giả thiết là a Suy hệ trên vô nghiệm, đpcm ĐỀ SỐ 33 x 3y 10 2x 6y 20 x 3y 10 Câu 1: a) 2x y 1 2x y 1 y 3 x 3(3) 10 x y 3 y 3 b) Hàm số y = (m + 2) x - đồng biến trên R và chi m + > m > - a 1 a a Câu 2: a) A = : a 1 a 1 a (a 1) (a 1) ( a 1)2 ( a 1)2 a ( a 1) = : : a 1 a 1 ( a 1)(a 1) a (a 1)( a 1) = ( a 1)2 (a 1)( a 1) a 1 a 1 ( a 1)2 b) a = 2011 - Vậy A = 2010 ( 2010 1) a 2010 2010 Câu 3: a) Với k = - ta có: 2 (x - 4x + 3) + (x - 1) = x2 - 8x + = Vì a + b + c = + (- 8) + = Nên pt có nghiệm x1 = 1; x2 = - b) + Nếu k = 0, phương trình có dạng 2(x - 1) = x = + Nếu k 0, phương trình có dạng: kx2 + 2(1 - 2k) x + 3k - = ' = (1 - 2k)2 - k(3k - 2) = 1- 4k + 4k2 - 3k2 + 2k = k2 - 2k + = (k - 1)2 > với k Vậy phương trình có nghiệm với k Câu 4: a) Qua A vẽ tiếp tuyến chung cắt BC M Ta có MB = MA = MC (t/c tiếp tuyến cắt nhau) = 900 A Biên soạn : Trần Công Hoan 122 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (123) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 b) Giả sử R’ > R Lấy N trung điểm OO’ Ta có MN là đường trung bình hình thang vuông OBCO’ C = 900) và tam giác AMN vuông A (OB // O’C; B Có MN = R R' R R ; AN = Khi đó MA2 = MN2 - AN2 = RR’ 2 RR' mà BC = 2MA = RR' = 900 ; OA = OB = OD) c) Ta có O, B, D thẳng hàng (vì BAD C M B A O O' N => MA = D E = 900, BA CD, ta có: BD2 = DA DC (1) BDC có DBC DE DA ADE ~ EDC (g.g) => => DA DC = DE2 (2) DC DE (1), (2) => BD = DE (đpcm) Câu 5: Xét 1 = a1 4b1 a 22 4b2 a12 a 22 4(b1 b2 ) a12 a 22 2a1 a (vì a1a2 > 2(b1 + b2)) Mà a12 a 22 2a1 a (a1 a ) , 1 > => Tồn 1 không âm => ít phương trình đã cho có nghiệm Lời bình: Câu III.b 1) Để chứng minh phương trình có nghiệm không phụ thuộc giá trị k có hai cách giải Cách (Đã nói lời bình sau câu 2(1) Đề 24) Xem k(x2 4x 3) + 2(x 1) = (*) là phương trình ẩn k Thế thì (*) có nghiệm không phụ thuộc k và x2 4x = 2(x 1) = x = Cách (Phương pháp cần và đủ) + Phương trình (*) có nghiệm với x phải có nghiệm với k = + Với k = ta có k(x2 4x 3) + 2(x 1) x = Thay x = vào (*) có 0k + = nghĩa là x = là nghiệm (*) với k Ta có điều phải chứng minh 2) Kết bài toán đâu phải có là đáp số Cái quan trọng là cách nghĩ lời giải chúng nào, có bao nhiêu đường (cách giải) để đến kết đó : Câu V : 1) Mấu chốt bài toán là chuyển hoá hình thức bài toán Cụ thể đây là biết thay việc chứng minh ít hai phương trình có nghiệm cách chứng minh 1 + 2 Sự chuyển hoá này đã giúp kết nối thành công với giả thiết a1 + a2 2(b1 + b2) 2) Một cách hiểu khác bài toán là : Chứng minh hai phương trình không thể cùng vô nghiệm Với cách hiểu này ta chuyển hoá thành chứng minh khả 1 + 2 < không thể xảy Thật vậy: Nếu 1 < và 2 < suy 1 + 2 < Điều này dẫn tới mâu thuẫn với a1 + a2 2(b1 + b2) Bài toán chứng minh 3) Các cách chứng minh bài toán trên là cách chứng minh nhiều phương trình bậc hai, ít có phương trình có nghiệm 4) Cùng kiểu tư bạn dễ dàng chứng minh : Với giá trị m, phương trình x2 mx + m = không thể có hai nghiệm cùng dương Thật : + Nếu m = 0, phương trình có nghiệm x = Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị 123 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (124) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 + Nếu m < 0, phương trình có nghiệm hai nghiệm trái dấu (do ac < 0) + Nếu m > 0, hai nghiệm x1, x2 âm thì x1+ x2 < suy b m (!) a Mâu thuẫn với m > Vậy là bài toán chứng minh ĐỀ SỐ 34 Câu 1: P = Nếu a> => a 11 a 11 a 11 P a 1 Nếu 1< a < => a < => P = Câu 2: ĐKXĐ: x > 0; x 1) Q = ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x x 4x x 1 x.( x 1) x x 1 (loai) 2) Q = - x => 4x + x - = x (thỏa mãn) x1 16 Câu 3: Đặt x = t, t2 + 2(m - 1)t + m + = (1) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt <=> (1) có nghiệm khác dấu (1) có nghiệm kép t > +) (1) Có nghiệm khác dấu <=> m + < <=> m < -1 m +) ' = <=> m2 - 3m = <=> m Thay vào (1) để xét thì m = thỏa mãn, m = bị loại Vậy m < - m = 3( x 1) 16 ( x 1) 25 = - (x - 1)2 Câu 4: PT <=> VT > 9; VP < (vì (x - 1)2 > 0) nên: VT PT <=> <=> x = (TM) VP N Câu 5: 1) Gọi H là hình chiếu O trên đường thẳng MN Xét tứ giác OAMH H 1800 (do A H 900 ) A H M => OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn Tương tự tứ giác OANH nội tiếp M , B N (2 góc nội tiếp chắn cung) => A 1 A O B = 900 B M N 900 => AHB A 1 1 => MN là tiếp tuyến 2) Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng tam vuông, ta có: AB AM BN = MH NH = OH = (đpcm) 1 S MON OH MN > OH AB (Vì AMNB là hình thang vuông) 2 Dấu “=” và MN = AB hay H là điểm chính cung AB Biên soạn : Trần Công Hoan 124 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (125) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 AB AB nhỏ và AM = BN = M, N song song với AB AM = BN = Vậy S MON ĐỀ SỐ 35 x 3 (x 3) x 3 = x 3 x 3 1 x 3 Câu 2: a) Bình phương hai vế ta được: x2 - 2x + = <=> x(x - 2) = <=> x = x = b) Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b qua điểm A (1; 2) và B (2; 0) và khi: a b a 2 2a b b Câu 1: A = Vậy y = - 2x + Câu 3: a) Với m = 2, ta có phương trình x2 x x 1; x (x2 - x - 2)(x - 1) = <=> x x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 1; x = b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = nên phương trình (1) có đúng nghiệm phân biệt và khi: - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = có nghiệm kép khác 1 1 4m m m f (1) 1 m m - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = có nghiệm phân biệt đó có nghiệm 1 1 4m m m f (1) m m Vậy phương trình (1) có đúng nghiệm phân biệt và m = Câu 4: a) Vì MA, MB là tiếp tuyến đường tròn (O) Nên MA OA; MB OB; Mà OI CD (Theo định lý đường kính là dây cung) MBO MIO = 900 => điểm A, B, I Do đó MAO ; m = A O M C I D thuộc đường tròn đường kính MO hay điểm M, A, I, O, B cùng thuộc đường tròn B AOM (vì góc nội tiếp cùng chắn cung MA) BIM BOM (vì góc nội tiếp cùng chắn cung b) Ta có: AIM BOM (tính chất hai tiếp tuyến) MB) mà AOM BIM => IM là phân giác góc AIB (đpcm) => AIM 4 (1) x y Câu 5: 3 2 x y x y (2) Biên soạn : Trần Công Hoan 125 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (126) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Từ (1) suy ra: x x Tương tự y (3) (2) x (1 x ) y (1 y) (4), Từ (3) suy vế trái (4) không âm nên x (1 x ) x x x x (4) ; ; ; y (1 y) y y y y x x Thử lại thì hệ có nghiệm là: ; y y ĐỀ SỐ 36 Câu 1: a) P = b) x2 + 2x - 24 = ' = + 24 = 25 => ' = => phương trình có nghiệm x1 = - + = 4; x2 = - - = - a a 1 7 a Câu 2: a) P = a 3 a ( a 3)( a 3) = = a ( a 3) ( a 1)( a 3) a ( a 3)( a 3) 3a a ( a 3)( a 3) Vậy P = a ( a 3) ( a 3)( a 3) 2a a a a a ( a 3)( a 3) a a 3 a a 3 a 1 a a a a a 3 Câu 3: a) Với m = ta có x - 5x + = Đặt x2 = t , với t ta có pt t2 - 5t + = <=> t1 = 1; t2 = b) P < x2 x 1 Từ đó, ta được: x x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 2 b) x4 - 5x2 + m = (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = (2) (với y = x2 ; y > 0) Phương trình (1) có đúng nghiệm phân biệt <=> phương trình (2): 25 25 m 1) Hoặc có nghiệm kép khác <=> m f (0) m 2) Hoặc có nghiệm khác dấu m 25 Vậy m = m < thì phương trình (1) có đúng nghiệm phân biệt = 900 (vì AF AB) Câu 4: a) FAB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BEC = 900 Do đó FAB BEF = 1800 => BEF Vậy tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn Biên soạn : Trần Công Hoan 126 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (127) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 AEB = ( sđ cung AB) (vì góc nội tiếp cùng chắn b) Ta có: AFB cung) BMD = ( sđ cung BD) (vì góc nội tiếp cùng chắn cung) AEB BMD => AF // DM mà FA AC => DM AC Do đó AFB AC CF => CE.CF = AC.BC CE BC AB AD ABD ~ AEC (g.g) => => AD.AE = AC.AB AE AC (1), (2) => AD.AE + CE.CF = AC(AB + BC) = AC2 (đpcm) (2 x ) x (1 x ) x Câu 5: Ta có y = 1 x x 1 x x c) ACF ~ ECB (g.g) => F E D O A B C (1) M (2) 2x x 2x x 3 2 (áp dụng BĐT Côsi với số dương) 1 x x 1 x x 2x x Đẳng thức xảy <=> x (loại nghiệm x = - - ) 1 x x =2+1+ Vậy giá trị nhỏ y + 2 x = -1 Lời nhắn Câu IV.c Liên hệ với Lời bình sau câu 4c,đề ĐỀ SỐ 37 Câu 1: M = = x ( x 1) x ( x 1) +x+1 x x 1 x x 1 x ( x 1)( x x 1) x ( x 1)( x x 1) x 1 x x 1 x x 1 =x- x-x- x + x + = x - x + = ( x - 1)2 3x 5y 18 3x 5y 18 11y 33 x 1 Câu 2: a) x 2y 3x 6y 15 x 2y y Vậy hệ phương trình có nghiệm (- 1; 3) b) Hai đường thẳng (d) và (d’) song song và khi: a a a b b b Câu 3: a) Khi m = - 3, ta có phương trình x2 - 2x - = Vì a - b + c = - (- 2) + (- 3) = nên x1 = - 1; x2 = b) Phương trình có nghiệm ' > - m > m < Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = và x1 x2 = m (1) Biên soạn : Trần Công Hoan 127 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (128) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 1 x12 x 22 (x1 x )2 2x1x 1 2 1 1 x2 x2 x1 x (x1x ) (2) Từ (1), (2), ta được: - 2m = m2 <=> m2 + 2m - = ' = + = => ' = nên m = -1 + (loại); m = - - (T/m vì m < 1) Vậy giá trị m cần tìm là: m 1 = 900 Câu 4: a) Ta có ACK A (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) H O Nên CK AC mà BH AC (vì H trực tâm) => CK // BH tương tự có CH // BK M B => Tứ giác BHCK là hbh (đpcm) K b) OM BC => M trung điểm BC (định lý đường kính và dây cung) => M là trung điểm HK (vì BHCK là hình bình hành) => đpcm AHK có OM là đường trung bình => AH = 2.OM mà ACB BAx C BB C = 900=> tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => AC B = ACB c) Ta có AC (Ax là tiếp tuyến A) => Ax // B’C’ OA Ax => OA B’C’ Do đó SAB’OC’ = R.B’C’ 1 Tương tự: SBA’OC’ = R.A’C’; SCB’OA’ = R.A’B’ 2 1 S ABC = R(A’B’ + B’C’ + C’A’)= AA’ BC < (AO + OM).BC 2 => A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn A, O, M thẳng hàng <=> A là đỉểm chính cung lớn BC x2 x 1 y(x 2x 2) (x x 1) x 2x 2 (1) (y - 1)x + (2y - 1)x + (2y - 1) = - Nếu y = thì x = - - Nếu y thì (1) là phương trình bậc hai x Để (1) có nghiệm thì phải có = (2y - 1)2 - (y - 1)(2y-1) (2y 1)(2y 3) y 2 1 y x = Vậy y = 2 Câu 5: y = ĐỀ SỐ 38 Câu 1: a) Ta có x2 + nên P = = x x ( x 1) x ( x 1)(x x 1) x ( x 1)( x x 1) x (2 x 1) 1 x x 1 x x ( x 1) x x x Vậy P = x x Biên soạn : Trần Công Hoan 128 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) C (129) LUYỆN THI VÀO THPT b) P = x - x = Vậy x = thì P = NĂM HỌC 2011 - 2012 x ( x - 1) = x = (loại) ; x = (t/m) Câu 2: a) Ta có x = - x Đk: x < Bình phương hai vế, ta phương trình hệ quả: - x2 = (1 - x)2 <=> 2x2 - 2x = <=> 2x (x - 1) <=> x = ; x = Thay vào pt đã cho thử lại thì nghiệm thoả mãn b) Đk: x và y Hệ đã cho tương đương với hệ phương trình: 3 7 x x y x x y 4 1 2 y x y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 3) Câu 3: a) Với m = - ta phương trình: x2 + 4x = <=> x(x + 4) = <=> x = ; x = - b) Phương trình (1) có nghiệm ' > <=> (m -1)2 - (m+ 1) = m2 - 3m = m(m - 3) > <=> m > ; m < (1) Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m + (2) Ta có: nên x1 x x x 22 (x1 x )2 2x1x = x x1 x1 x x1 x x1 x (x x )2 2x1x 4 (x1 x )2 6x1x (3) x x1 x1x Từ (2) (3) ta được: 4(m - 1)2 = 6(m + 1) <=> 4m2 - 8m + = 6m + <=> 2m2 - 7m - = 57 57 <0;m= > 4 Đối chiếu đk (1) thì nghiệm thoả mãn DMO = 900 (vì gt) Câu 4: a) Ta có: DBO m = 49 + = 57 nên m = A => điểm B, M thuộc đường tròn đường kính DO =>đpcm b) Chứng minh tương tự có điểm O, C, E, M cùng thuộc đường tròn MCO (vì góc nội tiếp cùng chắn cung MO) => MEO E MDO (vì góc nội tiếp cùng chắn cung MO) MBO MCO (vì BOC cân O) Mà MBO MDO => DOE cân O => MEO Mà MO DE nên MD = ME (đpcm) B M D Câu 5: Đặt x = t, với t > 0, ta có t2 - (x + 3) t + 3x = Xem pt trên là pt bậc t = (x + 3)2 - 12x = (x - 3)2 x 3 x 3 x3 x3 t1 = x ; t2 = 3 2 Biên soạn : Trần Công Hoan 129 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) C (130) LUYỆN THI VÀO THPT Do đó: - Hoặc: - Hoặc: NĂM HỌC 2011 - 2012 x x2 1 = x vô nghiệm x x x = x2 = x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 ĐỀ SỐ 39 Câu 1: (2 điểm) 1) Tính: 48 - 75 + 108 = 16 - 25 + 36 = - 10 + = 2) Rút gọn biểu thức: P = 1 - x - 1 1+ x x x x -1 -2 = + x - + x x - = = x 1+ x 1- x x 1- x Câu 2:1) Đường thẳng y = ax + b qua điểm M (3; 2) và N( 4; -1) nên: a = - 2 = 3a + b - = 4a + b b = 11 2) Giải hệ pt: 2x + 5y = x = 2x + 5y = 17y = 17 3x - y = 15x - 5y = 10 3x - y = y = Câu 3: 1) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = ' = 16, pt đã cho có nghiệm: x = - 2; x = 2) Phương trình (1) có nghiệm ' m2 + 6m m 6; m (2) x + x = 2m Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: (3) x1x = - 6m Phương trình có 1nghiệm gấp lần nghiệm và khi: x1 2x ; x 2x1 (x1 2x )(x 2x1 ) 5x1x 2(x12 x 22 ) 5x1x 2[(x1 x ) 2x1x ] 9x1x 2(x1 x ) Từ (3), (4), ta có: 54m 8m m 0; m Vậy các giá trị m cần tìm là m 0; m (4) 27 (thỏa mãn đk (2)) M 27 O1 E Câu 4: Theo giả thiết MN AB I = 900 hay ECB = 900 ACB + ECB = 1800 EIB mà đây là hai góc đối tứ giác IECB nên tứ giác IECB là tứ giác nội tiếp Theo giả thiêt MN AB, suy A là điểm Biên soạn : Trần Công Hoan 130 A I O C B N Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (131) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 nên AMN = ACM (hai chính MN = ACM , lại có CAM là góc chung đó tam giác góc nội tiếp chắn hai cung nhau) hay AME AM AE AME đồng dạng với tam giác ACM = AM2 = AE.AC AC AM = ACM AM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ECM Nối MB ta có Theo trên AMN = 900, đó tâm O1 đường tròn ngoại tiếp ECM phải nằm trên BM AMB Ta thấy NO1 nhỏ NO1 là khoảng cách từ N đến BM NO1 BM Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp ECM có bán kính là O1M Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp ECM là nhỏ thì C phải là giao điểm đường tròn (O1), bán kính O1M với đường tròn (O) đó O1 là hình chiếu vuông góc N trên BM 2 x-y x-2 3 2x 22 - 22 - = (x - ) K = x2 - 2x - y x - 2x + 3 9 Câu 5: Từ 2x + 3y y - - 22 14 x = ; y= 9 Ta có : 2x + xy 4x ( x 0) - y x + 2 xy x - 2x - y -y= 0 2 Suy : K = y = y = Suy : max K = x = x = Lời bình : Câu V Nhiều tìm trực tiếp GTNN biểu thức K thật khó khăn "Cái khó ló cái khôn", người ta bắc cầu K qua biểu thức B (bé hơn) theo sơ đồ "bé dần": K B Rồi tìm GTNN B, từ đó mà suy GTNN biểu thức K Các mối liên hệ K và giả thiết dẫn chúng ta tìm đến B + Trong bài toán trên, thấy biểu thức K = x2 2x y có chứa y, nên để thuận theo sơ đồ "bé dần" ta biến đổi : 2x 2x + 3y y 2 2 22 2x Thay y ta có K B x 3 Cũng vậy, tìm GTLN thì việc bắc cầu phải theo sơ đồ "lớn dần": K L + Trong các giả thiết không thể suy y h(x) để tìm L (lớn hơn) sơ đồ "lớn dần" Vậy nên để có biểu thức L buộc phải đánh giá phận còn lại x2 2x g(x) y x xy xy Ta có 2x + y x x2 2x (ở đây g ( x ) ) 2 xy y Thay x2 2x ta có K L ( x 2) 2 Chắc chắn bạn còn thắc mắc là bài toán có hai giả thiết, tìm GTNN (GTLN) lại sử dụng giả thiết này mà không sử dụng giả thiết ? Biên soạn : Trần Công Hoan Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị 131 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (132) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 + Trong quá trình đánh giá có thể tìm nhiều biểu thức B Gọi Bk là số các biểu thức B tìm và có minBk = Thế thì chưa hẳn đã là GTNN K Chỉ trường hợp minBk = mà ta có K = Bk (hoá giải dấu "=" sơ đồ "lớn hơn") thì có minK = minBk = Trong trường hợp đó biểu thức Bk gọi là "kết" Lời giải thành công tìm "kết" Trong bài toán trên, sử dụng giả thiết còn lại không dẫn tới "kết" Tình tương tự việc tìm biểu thức L Biểu thức L dẫn tới maxK gọi là "kết" + Trong bài toán trên, hình thức các giả thiết chưa đủ để dẫn "bắt mạch" sử dụng giả thiết này hay giả thiết Nhiều bài toán phức tạp có thể cần kết hợp tất các giả thiết tìm "kết" Mấu chốt bài toán tìm GTNN, GTLN là tìm "kết" Nhìn lại kết các đề trước : + Câu 5, đề 1, "kết" chính là biểu thức phải tìm GTNN 6 1 8 3 + Câu 5, đề 11, "kết" là Bk ( x y ) x y x 2 y 2 + Câu 5, đề 32, "kết" là Bk = 1 + 2 ĐỀ SỐ 40 3 Câu a) 3x + 4y = y x , nên hệ số góc đường thẳng d là k = 4 m m m b) d // d1 m m m m Vậy với m thì d1 // d ax by x a.3 b(1) Câu Hệ phương trình có nghiệm nên bx ay 11 y 1 b.3 a(1) 11 3a b 9a 3b 10a 20 a a a 3b 11 a 3b 11 a 3b 11 3a b b Câu a) Do ac (1 3)(1 3) 2 nên phương trình (1) luôn có nghiệm phân biệt b) Vì x1 , x là nghiệm phương trình (1) nên theo hệ thức Vi-et, ta có: 1 , x1 x 1 1 1 x1 x 2 2(1 3) Do đó: S (1 3) x1 x x 1x 2 1 x1 x và P = 1 1 (1 3) (2 3) x1 x x x 2 2 Vậy phương trình bậc cần tìm là: X (1 3)X (2 3) Câu Biên soạn : Trần Công Hoan 132 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (133) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 C D E a) Tam giác ADE cân A vì AD = AE Lại có: = DAB EAB 900 600 300 A Do đó AED (1800 300 ) 750 ADE b) Từ giả thiết, dễ thấy tam giác BEF 450 vuông cân B, nên E Từ đó ta có: x M F O A B DEA E E 750 600 450 1800 suy điểm D, E, F thẳng hàng, đpcm DEF 300 nên B 300 c) Ta có: B1 A1 (cùng chắn cung EM) suy B Mà E B nên E 30 3 E 60 300 900 hay ME EB Mặt khác BF EB đó ME // BF Vậy E Câu Từ (1) ta có: x 2(y 1) 1 x 1 (3) 2y x 1 x Từ (2) ta có: x (4) y 1 Từ (3) và (4), suy x = -1, thay vào hệ đã cho ta y = Vậy P = II - LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỀ SỐ Câu 1: a) Đặt x - t (1), suy x t x x t 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 – 4t – = t Lần lượt thay các giá trị t vào (1) thì phương trình đã cho có nghiệm: 33 33 x1 = 1; x2 = - 2; x ; x4 2 b) Đk: x ≥ - (1) Đặt x + a; x + b a 0; b (2) Ta có: a2 – b2 = 3; x 7x + 10 x + 5 x + ab Thay vào phương trình đã cho ta được: (a – b)(1 + ab) = a2 – b2 (a – b)(1 – a)(1 – b) = x + x + (VN) x = - nên x + x = - x + Đối chiếu với (1) suy phương trình đã cho có nghiệm x = - a - b = 1 - a = 1 - b = Biên soạn : Trần Công Hoan 133 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (134) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 2: b3 a x b3 x a b c3 a) Đặt y , đó abc = nên xyz = (1) c y b c 1 a3 z a z c 1 Từ đề bài suy x y z x + y + z = yz + xz + xy (2) x y z Từ (1) và (2) suy ra: xyz + (x + y + z) – (xy + yz + zx) – = (x – 1)(y – 1)(z – 1) = Vậy tồn x =1 chẳng hạn, suy a = b3, đpcm 84 84 a; b x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = 9 3 3 Ta có: x = (a + b) = a + b + 3ab(a + b) Suy ra: x3 = – x x3 + x – = x - 1 x x + b) Đặt 1 x = Vì x2 + x + = x + Từ đó suy điều phải chứng minh 2 Câu 3: Áp dụng các BĐT: a + b a b ; a + b + c a b c2 (được suy từ bất đẳng thức Bunhiacôpski) Ta có: 1 y 2y y + 1 1 z 2z z + 1 + x 2x x 2x x + 1 + y 2y + z 2z 2 x y z 3 x + y + z Lại có: A = x y z 2x 2y 2z + 2 x y z A x + y + z + 3 3 x + y + z A + (do x + y + z 3) Dấu “=” xảy và x = y = z = Vậy maxA = Câu 4: a) Ta có: ABO ACO 900 (tính chất tiếp tuyến) (1) A 134 E M D C B AB = AC OA OB2 = R = OB = OC (2) Từ (1) và (2) suy ABOC là hình vuông b) Theo bài ta có: AD + DE + AE = 2R (3) Suy ra: DE = BD + CE (4) Vẽ OM DE (M DE) (5) Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF = BD; suy ∆BDO = ∆COF (c-g-c) Biên soạn : Trần Công Hoan y x F R O Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (135) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c) OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6) Từ (5) và (6) suy DE là tiếp tuyến đường tròn (O;R) c) Đặt: AD = x; AE = y SADE xy (x, y > 0) Ta có: DE AD2 AE x + y (định lí Pitago) Vì AD + DE + AE = 2R x + y + x y = 2R (6) Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: x + y xy và x + y 2xy (7) Dấu “=” xảy và x = y Từ (6) và (7) suy ra: xy 2xy 2R xy 2R 2R R2 xy SADE - 2 R xy SADE 3 2 32 2+ 2R Vậy max SADE = 3 2 R x = y ∆ADE cân A Câu 5: Xét điểm A và hình tròn (C1) có tâm A, bán kính C C1 A B C2 - Nếu tất 98 điểm còn lại nằm (C1) thì hiển nhiên bài toán chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngoài (C1) Ta có: AB > (1) Vẽ hình tròn (C2) tâm B, bán kính + Giả sử C là điểm bất kì khác A và B Khi đó điểm C thuộc hai hình tròn (C1) và (C2) Thật vậy, giả sử C không thuộc hai hình tròn nói trên Suy ra: AC > và BC > (2) Từ (1) và (2) suy điểm A, B, C không có hai điểm nào có khoảng cách nhỏ (vô lí vì trái với giả thiết) Chứng tỏ C (C1) C (C2) Như 99 điểm đã cho thuộc (C1) và (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo nguyên tắc Dirichle phải có hình tròn chứa không ít 50 điểm ĐỀ SỐ Câu 1: a) Theo bài ta có: 2011( x y 2011) 2010 ( y x 2010) x y 2010 2x 4021 x 2010,5 + Nếu x + y - 2011 = thì y - x + 2010 = x y 2011 2y y 0,5 + Nếu y - x + 2010 = thì x + y - 2011 = 0, ta kết trên Biên soạn : Trần Công Hoan 135 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (136) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2011 y x 2010 vô lý (vì VP là số hữu tỉ, VT là số vô tỉ) 2010 x y 2011 Vậy x = 2010,5 và y = 0,5 là cặp số thoả mãn đề bài b) Ta có xy (z + 1) + y(z + 1) + x(z + 1) + (z + 1) = 2012 <=> (z + 1)(xy + y + x + 1) = 2012 <=> (z + 1)[x(y + 1)+(y + 1)] = 2012 <=> (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 1.2.2.503 = 503.4.1 Chỉ có sau thoả mãn: x = 502, y = 1, z = x = 1005, y = 1, z = x = 2011, y = 0, z = + Nếu x + y - 2011 thì Câu 2: a) Điều kiện: x > -1 Đặt a = x ; b = x x Ta có: 2(a2 + b2) = 5ab <=> (2a - b)(2b - a) = <=> b = 2a ; a = 2b Do đó: 1) x = x x <=> 4(x + 1) = x2 - x + <=> x2 - 5x - = <=> x1 = 2) 37 37 (loại); x2 = 2 x = x x x 4(x x 1) 4x 5x vô nghiệm 37 b) Vì a, b, c [0; 2] nên: (2 - a)(2 - b)(2 - c) > <=> - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > <=> 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - + abc nên 2(ab + bc + ca) > (vì a + b + c = và abc 0) Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) > <=> a2 + b2 + c2 (vì (a + b + c)2 = 9) Dấu “=” xẩy số a, b, c có số 2, số và số p Câu 3: Giả sử x = (p, q Z, q > 0) và (p, q) = q Vậy phương trình có nghiệm: x = p p Ta có n (n N) <=> p2 = q(-P - 6q + n2q) q q => q là ước p2 (p, q) = => q = lúc đó x = p => p2 + p + = n2 (p, n Z) <=> (2p + 1)2 + 23 = 4n2 <=> (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 <=> (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do đó 2n - 2p - = và 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 và 2n + 2p + = (vì 23 P và 2n + 2p + > và 2n - 2p - > 0) <=> p = (t/m) ; p = - (t/m) Vậy số hữu tỉ x cần tìm là – Câu 4: Biên soạn : Trần Công Hoan 136 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (137) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a) Tứ giác MNKB nội tiếp (vì N = 1800) Tứ giác MNCI nội K A MIC MNC = 900) tiếp (vì MNC BMK , INC IMC (1) => BNK (vì góc nội tiếp cùng chắn cung) IMC Mặt khác BMK (2) S H P O K C KMC KMC IMC (vì BMK cùng bù với góc A tam giác ABC) = INC nên điểm Từ (1), (2) suy BNK B N I M Q K, N, I thẳng hàng MCN (vì góc nội tiếpcùng chắn cung BM) b) Vì MAK => AK CN AB BK CN AB BK CN cot g hay (1) MK MN MK MN MK MK MN Tương tự có: Mà AI BN AC CI BN hay MI MN MI MI MN (2) IC BK IMC ) tg ( = BMK MI MK Từ (1), (2), (3) => (3) AB AC BC (đpcm) MK MI MN c) Gọi giao AH, MN với đường tròn (O) thứ tự là Q, S => AQMS là hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P MS) => HQMP là hình thang cân, có BN là trục đối xứng (vì Q và H đối xứng qua BC) AIN vì cùng NMC ) => KN => N là trung điểm PM mà HP // KN (vì KN // AS SAC qua trung điểm HM (đpcm) 2x xy y p Câu 5: Đưa bài toán tìm P để hệ phương trình: 2 x 2xy 3y có nghiệm 2 (1) 8x 4xy 4y 4p Hệ trên Lấy (1) - (2), ta có: px 2pxy 3py 4p (2) (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nếu y = => (8 - p)x2 = <=> x = p = p 0; p - Nếu y chia vế pt (3) cho y2 ta có : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) với t = x y + Nếu p 8: Phương trình (2) có nghiệm <=> ' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > + Nếu p = thì t = - <=> p2 - 12p - 18 < <=> - p Dấu “=” có xảy Vậy P = - , max P = +3 Biên soạn : Trần Công Hoan 137 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (138) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b2 - ac + c = = b-c a-c a-b a - b a - c Nhân vế đẳng thức với a ta có: b-c b - c = ab - b - ac + c a - b a - c b - c Vai trò a, b, c nhau, thực hoán vị vòng quanh a, b, c ta có: b c - a cb - c - ab + a = , a - b a - c b - c c a - b Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta có b) Đặt 2010 = x ; 2010 = x x2 - x + x2 A= + x 1-x 2 ac - a - bc + b = a - b a - c b - c a b c + + = (đpcm) 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 2010 = x Thay vào ta có: 2 1+ + x x = 1 + x2 x 1 + x + x2 2 1 1 = - =0 x x Câu 2: a) Vì a, b, c là độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cô-si ta có: a2 + bc ≥ 2a bc, b + ac 2b ac ; c2 + ab 2c ab Do đó 1 1 1 + + + + a + bc b + ac c + ab a bc b ac c ab a +b b+c c+a + + ab + bc + ca 2 = a + b + c , đpcm = 2 abc abc 2abc Dấu xẩy và a = b = c, tức là tam giác đã cho là tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1 x - y x - y - + (2y - y + x - y -1 = = =[ -2 x - 2 + y + 1] - y + 2y 1 )2 2 1 y 2 x= x - y - = A= 2 y = y = Biên soạn : Trần Công Hoan 4 138 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (139) LUYỆN THI VÀO THPT Vậy minA = NĂM HỌC 2011 - 2012 Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: 2 x-1+3 5-x 2 + 32 x - + - x = 13.4 x - + - x 13 Dấu xẩy và x - = - x x = 29 13 Thay vào pt đã cho thử lại thì thỏa mãn 29 Vậy pt có nghiệm x = 13 1 b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f = x x (1) x 1 Thay x = vào (1) ta có: f(2) + f = 2 Thay x = vào (1) ta có: 1 f + 3.f(2) = 2 1 Đặt f(2) = a, f = b ta có 2 Vậy f(2) = - a + 3b = 13 Giải hệ, ta a = 32 3a + b = a 13 32 b Câu 4: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác thì A, O, D 1 thẳng hàng và OK = AB Vì FM = EF mà EF = AB đó FM = 2 OK o f k m = 1200 Ta lại có AF = R AF = OA và AFM d e + AOB = 1800 = AOK + 600 AOK = 1200 Do đó: ∆AFM = ∆AOK AOK b (c.g.c) = 600 AMK AM = AK, MAK a d OA + OB2 Biên soạn : Trần Công Hoan c h Câu 5: Gọi BH là đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB mà OA.OB o 139 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) c (140) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 OA + OB2 Do đó 2SAOB Dấu “=” xảy OA OB và OA = OB Chứng minh tương tự ta có: OB2 + OC2 OC + OD ; 2SCOD 2 2 OD + OA 2SAOD 2 OA + OB2 + OC + OD Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ≤ 2 2 Hay 2S ≤ OA + OB + OC + OD Dấu xẩy và OA = OB = OC = OD = BOC = COD = DOA = 900 ABCD là hình vuông tâm O và AOB 2SBOC Lời bình: Câu III.b từ đâu mà ra? Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) là các đa thức biến x và f(x) là hàm số xác định phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) 1) Chắc chắn bạn hỏi x Giả sử x = b là nghiệm (2) Bước 2: Thay x = a, x = b vào phương trình (1), và đặt x = f(a), y = f(b) ta có hệ A(a ) x B(a) y C (a ) B(b) x A(b) y C (b) (3) Giải hệ phương trình (3) (đó là hệ phương trình bậc hai ẩn x, y) Trong bài toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) = x2, a = x 1 Phương trình Q(x) = P(a) x , tức là b x 2 Số x nghĩ đó 2) Chú ý: Không cần biết phương trình (2) có bao nhiêu nghiệm Chỉ cần biết (có thể là đoán) nghiệm nó là đủ cho lời giải thành công 3) Một số bài tập tương tự a) Tính giá trị hàm số f(x) x = f(x) + 3.f(x) = + 3x (với x ) b) Tính giá trị hàm số f(x) x = f ( x ) f x (với x 1) 1 x 1 c) Tính giá trị hàm số f(x) x = ( x 1) f ( x ) f (với x 1) x x 1 Biên soạn : Trần Công Hoan 140 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (141) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ x2 + y2 = 2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y - 2) xy x+y = -1 Vì x + y + ≠ nên (1) x+y+2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có: x+y≤ x + y2 x+y≤ 2 xy Từ (1), (2) ta được: x+y+2 Vậy maxA = (2) x 0, y - Dấu "=" x = y x=y= x + y2 = -1 b) Vì x2 + y2 + z2 = nên: 2 x + y2 + z x + y2 + z2 x + y2 + z2 + + = + + x + y2 y + z2 z2 + x x + y2 y + z2 z2 + x2 z2 x2 y2 = + + +3 x + y2 y + z2 x + z2 z2 z2 Ta có x2 + y2 ≥ 2xy , x + y2 2xy x2 x2 y2 y2 Tương tự , y + z2 2yz x + z 2xz 2 z x y z2 x2 y2 Vậy + + + + + +3 x + y2 y2 + z x2 + z2 2xy 2yz 2xz 2 x + y3 + z + + + , đpcm x + y2 y + z2 z + x2 2xyz 10 Câu 2: a) x2 + 9x + 20 = 3x + 10 (1) Điều kiện: x (2) (1) (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) = ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 = 3x + 10 - = x = - (thỏa mãn đk (2) x + = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -3 2x x y - 2x + y = (1) y = b) x +1 2x - 4x + = - y y3 = - (x - 1) - 2x y2 - y 1+x Ta có: Mặt khác: - (x - 1)2 - ≤ - y3 ≤ - y ≤ - (1) (2) Từ (1) và (2) y = - nên x = Thay vào hệ đã cho thử lại thì thỏa mãn Vậy x = và y = -1 là các số cần tìm Câu 3: Biên soạn : Trần Công Hoan 141 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (142) LUYỆN THI VÀO THPT a) Đặt x = b > và NĂM HỌC 2011 - 2012 y = c > ta có x2 = b3 và y2 = c3 b3 + b c + c3 + bc = a Thay vào gt ta a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b 2c b + c a2 = (b + c)3 a = b + c hay x2 + y = a , đpcm b) Giả sử x0 là nghiệm phương trình, dễ thấy x a 1 + = x 20 + + a x + +b=0 x0 x0 x0 x0 Suy x 02 + ax0 + b + Đặt x0 + 1 = y x 02 + = y02 - , y0 y 20 - = - ay0 - b x0 x0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: y -2 = ay0 + b (y02 2) a + b y + 1 a b (1) y02 (y 20 2) Ta chứng minh y 20 2 2 (2) Thực vậy: (2) 5(y04 4y02 4) 4(y02 1) 5y04 24y 02 16 5(y02 4)(y02 ) đúng với y nên (1) đúng c Từ (1), (2) suy a + b 5(a + b ) , đpcm 2 m k Câu 4: Đặt AH = x = 900 (OA = OB = OM) Ta có AMB b Trong ∆ vuông AMB ta có MA2 = AH AB = 2Rx a h o h' (H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống BC) Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH là hình chữ nhật) Theo bài ta có: 4Rx = 15(R - x)2 Do H AB O ≤ x ≤ 2R Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 = 3R 5R ;x= (5x - 3R) (3x - 5R) = x = Cả giá trị này thoả mãn Vậy ta tìm điểm H và H’ điểm M và M’ là giao điểm nửa đường tròn với các đường vuông góc với AB dựng từ H và H’ Câu 5: Gọi I là trung điểm CD Nối EF, EI, IF, ta có IE là đường trung bình ∆BDC IE // BC Mà GF BC IE GF (1) d Chứng minh tương tự EG IF (2) Từ (1) và (2) G là trực tâm ∆EIF Biên soạn : Trần Công Hoan 142 a b e f g c i Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (143) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 (3) IG EF Dễ chứng minh EF // DC (4) Từ (3) và (4) IG DC Vậy ∆ DGC cân G DG = GC ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Trừ vào vế phương trình với 2x 9x x+9 2 x2 9x 18x 18x Ta có: x - 40 = (1) + = 40 x + 9 x+9 x+9 x + 9 x2 Đặt = y (2), phương trình (1) trở thành y2 + 18y - 40 = x+9 (y + 20) (y - 2) = y = -20 ; y = x = - 20(x + 9) x + 20x +180 = (3) Thay vào (2), ta có x - 2x - 18 = (4) x = 2(x + 9) = Phương trình (3) vô nghiệm, phương trình (4) có nghiệm là: x 19 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x 19 2) Điều kiện x > x+1 (*) x x-3 Phương trình đã cho (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x+1 =4 x-3 x+1 t = (x - 3) (x + 1) x-3 Phương trình trở thành: t2 + 3t - = t = 1; t = - Đặt t = x - 3 Ta có: (x -3) x 1 (1) ; ( x 3) x - x 1 (2) x x x + (1) x 1 (x 3)(x 1) x 2x (t/m (*)) x x + (2) x (t/m (*)) (x 3)(x 1) 16 x 2x 19 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x ; x Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 > - < x < - 3x > A ≥ 25 - 30x + 9x (3 - 5x)2 = +16 16 - x2 - x2 Dấu xẩy - 5x = x = Vậy minA = Vậy A2 = 2) Chứng minh: a + b + b + c + c + a (a + b + c) (1) Sử dụng bất đẳng thức: 2(x y ) (x y) , ta có: Biên soạn : Trần Công Hoan 143 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (144) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 2(a + b ) (a b) a + b a + b (2) Tương tự, ta được: b + c b + c (3) và c + a c + a (4) Lấy (2) + (3) + (4) theo vế và rút gọn, suy (1) đúng, đpcm Câu 3: (1) có nghiệm y x x 2; x (3) (2) (y 1)2 x 2x có nghiệm x 2x 2 x (4) Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ đó ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; - 1) Câu 4: Kẻ MP // BD (P AD) m MD cắt AC K Nối NP cắt BD H AM AP AM CM Ta có = mà = (gt) AB AD AB CD k e AP CN i f = PN // AC Gọi O là giao điểm AD CD a o h b BO CO MK OC AC và BD Ta có = , = OD OA PK OA n NH OC NH MK và = Suy ra: = KH // MN PH OA PH PK Các tứ giác KENH, MFHK là hình bình hành nên MF = KH và EN = KH MF = EN ME = NF + MFH = 1800 Câu 5: 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì MEH = 1800 - EHF = EHA + FHB AMB (1) = MEF (góc nội tiếp chắn MF ) Ta có MHF + FHB = 900 = MEF + EMD Lại có MHF = EMD FHB (2) = DMB , Gọi N là giao điểm MD với đường tròn (O) ta có DMB = NAB (góc nội Từ (1) và (2) EHA ) EHA = NAB đó AN // EH mà HE MA nên NA MA hay MAN = 900 AN tiếp chắn NB là đường kính đường tròn Vậy MD qua O cố định 2) Kẻ DI MA, DK MB, ta có AH S AM HE AD SMAD AM DI = MAD = ; = = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF AH AD MA HE DI = (1) BD BH MB DK HF = FHB (cùng phụ với MHF ) mà FHB = EMD (CMT) Ta có HMB = DMH = DIK và EHF EFH Vậy = EFH vµ Tứ giác MEHF nội tiếp nên AMH = DIK vµ Tứ giác MIDK nội tiếp nên DMB = 1800 - AMB EHF = 1800 - AMB IDK = DIK vµ EHF = IDK DIK HFE (g.g) đó EFH ID DK HE.DI suy = = (2) ID HE = DK HF HF HE DK.HF Biên soạn : Trần Công Hoan 144 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (145) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 MA AH AD Từ (1), (2) = MB BD BH ĐỀ SỐ Câu 1: Ta có: A = =-1+ 1- 2- + + + -1 -1 24 - 25 -1 - + - + + 25 = - + = Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra: x2 y2 z2 x2 y2 z2 + + =0 2 2 2 2 a +b +c b a +b +c c a +b +c a 1 1 1 1 x2 - 2 + y2 - 2 + z2 - 2 = (*) a a +b +c b a +b +c c a +b +c 1 1 1 Do - > 0; - > 0; - >0 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 Nên từ (*) suy x = y = z = 0, đó M = a + 8a - b) x3 = 2a + x a - 3 x = 2a + 3x 1 - 2a x3 = 2a + x(1 - 2a) x + (2a - 1) x - 2a = (x - 1) (x2 + x + 2a) = x - = x x + x + 2a = (v« nghiÖm a > ) nên x là mét sè nguyên du¬ng Câu 3: a) Ta có: 4c 35 35 + >0 4c + 57 1+a 35 2b 1 + a 2b + 35 Mặt khác 4c 35 4c 35 1+a 4c + 57 35 + 2b + a 4c + 57 35 + 2b 4c 35 2b +1 1= +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b 2b 57 57 + >0 35 + 2b 1+a 4c + 57 1 + a 4c + 57 Ta có: - (1) (2) 4c 35 1+ 1+a 4c + 57 35 + 2b Biên soạn : Trần Công Hoan 145 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (146) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 a 57 35 + 1+a 4c + 57 35 + 2b 35 57 >0 4c + 57 35 + 2b (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 8abc 35 57 1 + a 4c + 57 2b + 35 1 + a 2b + 35 4c + 57 Do đó abc ≥ 35.57 = 1995 Dấu “=” xảy và a = 2, b = 35 và c = 57 Vậy (abc) = 1995 b) Đặt t = t= A B C D = = = A = ta, B = tb, C = tc, D = td a b c d A+B+C+D a+b+c+d Vì aA + bB + cC + dD = a t + b t + c2 t + d t = (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) = A+B+C+D a+b+c+d (a + b + c +d)(A + B + C + D) A Câu 4: a) Xét ∆ABC có PQ // BC AQ QP = AB BC Q P BQ QM Xét ∆BAH có QM // AH = BA AH B Cộng vế ta có: M H N AQ BQ QP QM QP QM + = + 1= + AB AB BC AH BC AH 2SMNPQ QM QP QM QP 1= + = AH BC AH SABC BC S SMNPQ ABC S QP QM BC max SMNPQ = ABC = = QP = BC AH 2 Tức là PQ là đường trung bình ∆ABC, đó PQ qua trung điểm AH QP QM QP + QM b) Vì = + mà BC = AH = QP + QM = BC BC AH BC C Do đó chu vi (MNPQ) = 2BC (không đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà AB = 2AM nên HC = 2HD Biên soạn : Trần Công Hoan 146 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) (147) LUYỆN THI VÀO THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 Đặt HD = x thì HC = 2x Ta có: B DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x Vậy AH = 3HD A H M D Biên soạn : Trần Công Hoan 147 Thị trấn Bến Quan –Vĩnh Linh - Quảng Trị Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) C (148)