Tai lieu luyen thi vao lop 10 chuyen toan

Tìm soá töï nhieân coù hai chöõ soá , bieát raèng neáu ñem soá ñoù chia cho toång caùc chöõ soá cuûa noù thì ñöôïc thöông 4 vaø dö laø 3 , coøn neáu ñem soá ñoù chia cho tích caùc chöõ [r]

TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH TÀI LIỆU

ƠN THI VÀO CÁC LỚP CHUN

MƠN TỐN

Năm hoïc 2010-2011

Giáo viên biên soạn giảng dạy :

Chuyên đề 1: ĐA THỨC I Đa thức : (Đa thức biến)

1 Định nghĩa: Đa thức bậc n theo x (n) biểu thức có dạng

 

 n n 1  

n n 1

P(x) a x a x a x a với an 0

Các số a ,a , ,a gọi hệ số , n gọi bậc đa thức P(x) n

Ví dụ: P(x) 2x 9x 12x đa thức bậc ba  3 2 

2 Đa thức đồng nhất:

a) Đa thức đồng nhất:

Định nghĩa :Đa thức đồng đa thức ln ln có giá trị với giá trị biến số

 Nếu P(x) Q(x) hai đa thức đồng ta ký hiệu : P(x) Q(x)

P(x) Q(x)    x : P(x) Q(x) 

b) Đa thức đồng không:

Định nghĩa : Đa thức đồng không đa thức luôn với giá trị biến số

 Nếu P(x) đa thức đồng không ta ký hiệu : P(x)  P(x) 0    x : P(x) 0 

Hệ quả:

 



  

  

       

  

 

n n

n n

n n 1

0

a

a

P(x) a x a x a x a

a

Ví dụ: Tìm số A, B, C cho 3x23x A x 2     B x x 2     C x 1  2 với x

Bài giải: Giả sử

x4 +2x3 +ax2+2x+ =b (x2+mx+n)2 với x

4 2

x 2x ax 2x b x m x n 2mx 2nx 2mnx

 + + + + = + + + + + với x

(2m 2 x) (m2 2n a x) (2mn 2 x) n2 b 0

 - + + - + - + - = với x

Áp dụng định lý đa thức đồng không ta được:

2

2

2m

m 2n a

2mn

n b

ì - =

ïï

ïï + - =

ïïï

íï - =

ïï

ïï - = ïïỵ

Giải hệ ta được:

m

n

a

b

ì = ïï ïï = ïï í = ïï ïï = ïïỵ

Vậy a =3; b=1 x4 +2x3+3x2+2x+ =1 (x2+ +x 1)2

3 Nghiệm đa thức:

 Nếu x = a đa thức P(x) có giá trị ta nói a nghiệm P(x)

a nghiệm P(x)đn P(a)  

Ví dụ: Cho phương trình 2x45x36x25x 0  (1) Chứng minh x 1 nghiệm phương trình (1)

4 Phép chia đa thức:

Định lý: Cho hai đa thức P(x) Q(x) khác không Tồn đa thức h(x) r(x) cho

 

P(x) Q(x).h(x) r(x)

Trong r(x) r(x) bậc r(x) nhỏ bậc Q(x)  

Đa thức Q(x) gọi thương đa thức r(x) gọi dư phép chia P(x) cho Q(x)

Ví du 1ï: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) 2x 9x 12x cho đa thức  3 2  x 1

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x)=x4-3x3+bx2+ax+b Q(x)=x2-1

Tìm a, b để f(x) chia hết cho g(x)

Bài giải:

Vì P(x) Q(x) nên ta giả sử P(x)=(x2-1 Q(x)) (1) với x

Thay x=1 vào hai vế (1) ta được: P(1)= - + + + =  +1 b a b a 2b=2 (2)

Thay x= -1 vào hai vế (1) ta được: P( 1)- = + + - + =  - +1 b a b a 2b= -4 (3)

Từ (2) (3) ta suy a 3; b

5 Định lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)

Định lý BEZOUT:

Định lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) số dư R = P(a)

Chứng minh:

Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử thương Q(x) dư số R Ta có:

( )

P(x)= x-a Q(x)+R với x Do với x = a thìP(a)=0.Q(a)+RR=P(a) (đpcm)

Hệ quả:  P(x) chia hết cho (x a) P(a)  

Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm a P(x)(x-a)

   

P(a) =  P(x) = (x a).Q(x), Q(x) đa thức  Ví dụ: Cho P(x) x x  3x9x27x81x243

Tìm dư phép chia P(x) cho x 1

6 Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837)

Để tính hệ số đa thức thương dư phép chia đa thức





 n n 1  

n n 1

P(x) a x a x a x a cho (x - a) ta dùng sơ đồ HOOCNE sau

n

a an 1 an 2 a a0

a b n bn 1 bn 2 b b

Trong đó:

n n

n n n n n n

0

b a

b a.b a

b a.b a

b a.b a

 

  



 

 

 

Khi đó:

 



   

    

 

n n

n n 1

0

P(x) (x a).Q(x) r

Thương : Q(x) b x b x b

Dư : r b

Ví dụ 1: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) 2x 9x 12x cho đa thức x 1 3 2  

7 Phân tích đa thức thừa số

Định lý: Giả sử đa thức n n

n n 1 n

P(x) a x a x - a x a (a 0)

-= + + + + ¹ có n nghiệm x , x , , x1 2 n

( )( ) ( )

n n

P(x)=a x-x x-x x-x

Ví dụ: Phân tích đa thức P(x)=x3 +9x2 +11x-21 thành nhân tử

Ví dụ: Rút gọn phân thức

3

x 4x x

A

x 7x 14x

  



  

Chuyên đề 2:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VAØ PHÂN THỨC

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: Các đẳng thức mở rộng :

1 (a b )2 a22ab b 2

2 (a b )2a22ab b

3 a2b2 (a b a b )(  )

4 (a b )3a33a b2 3ab2b3a3b3 (a b ) (3 ab a b )

5 (a b )3a33a b2 3ab2b3

6 a3b3(a b a )( 2ab b 2)

7 a3b3 (a b a )( 2ab b 2)

(a b c  )2a2b2 c2 2ab2ac2bc

           

     

3 3 2 2 2

3 3

9) (a b c) a b c 3a b 3ab 3a c 3ac 3b c 3bc 6abc

= a b c 3(a b)(b c)(c a)

10) 3 3 ( )( 2 = (1 ) ( ) (2 )2 (

2  ) 

                   

a b c abc a b c a b c ab ac bc a b c a b b c c a

Hệ quaû: Nếu a  b c a3b3c33abc

11) anbn (a b a )( n1a bn2   bn1) Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau

 

   

 

 

2

2

2 2

2

2 2

2x 1 2x

1) A

4x 4x 4x

4x x x 2x x

2) B

9 x 2x x 4x x

 

  

  

    

  

    

Ví dụ 2: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2x 26x 1

2)Tìm giá trị lớn biểu thức: B  x2 y2xy 2x 2y  Phương pháp:

Để tìm GTLN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau:

Bước 1: Chứng minh : A số M Bước 2: Chỉ biến để AM

Bước 3: Kết luận GTLN A M

Để tìm GTNN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau:

Bước 1: Chứng minh : A số m Bước 2: Chỉ biến để A m

Ví dụ 3: Chứng minh a2b2c2ab bc ca  a b c 

II BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1: Cho

2

x 2 4x 3x x

M :

3x x x 3x

ổ + ửữ - - +

ỗ

=ỗỗố + + - ữữứ + -1) Rỳt gn M thành phân thức 2) Với giá trị x M<0

3) Tìm xỴ để

M Ỵ

Bài giải:

1) Điều kiện biến là:

x x

x x

2 4x

x ìïï ì ï ï ¹ ï ¹ ï ï ï ï ïï + ¹ ï ¹ -í í ï ï ï ï ï - ¹ ï ï ù ùợ ùùùợ Khi ú: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2

x 2 4x 3x x

M :

3x x x 3x

x x 6x 9x x 4x 3x x

:

3x x x 3x

2 8x 4x 3x x

:

3x x x 3x

2 2x 2x x 3x x

3x x 2x 3x

1 2x 3x x

3x 3x x x x 3x ổ + ửữ - - + ỗ =ỗỗố + + - ÷÷ø + -+ + + - - - - + = -+ + - - - + = -+ + + - + - + = -+ -+ - + = -= =

-2) Ta có: M<  - < 0 x x<1

Kết hợp với điều kiện biến ta có kết quả: x x x 1 x ì < ïï ïï ¹ ïï ïí ¹ -ùù ùù ù ùùợ

3) Ta cú:

M = x-1

Để

M Ỵ xỴ ta phải có:

x-1 ước

x 1 x

x

x 1

x

x

x

x

é - = é = ê ê ê - = - ê = ê ê  ê - = ê = ê ê ê ê ê - = - ê = -ë ë

Bài 3:Cho biểu thức P 3x 9x 1 :

x x x x x

ổ + - ửữ

ỗ ữ

=ỗỗỗ + + - ữữ

+ - - +

-è ø

Bài giải:

Điều kiện biến : x

x

ỡùù ùùợ t: x =a vi a

a

³ ìïï í ¹

ïïỵ Khi đó:

( )

( )( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

2

3a 3a 1

P :

a a a a a

3a 3a a a a a 1

:

a a a

a 3a

:

a a a

a (a 1)

a a

a a

æ + - ửữ

ỗ

=ỗỗ + + - ÷÷÷

+ - - +

-è ø

+ - + + + - - +

-=

- +

-+ +

=

- +

-+ +

= - = +

- +

Vậy: ( )2

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI:

Bài 1: Cho biểu thức: M x x x : x x

x x x

ổ + - ữử ổ ửữ

ỗ ỗ

=ỗỗố - - - ữữứ ốỗỗ + - ứữữ Tỡm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M

Đáp số: x 0; M x

x x

>

ỡù

-ù =

ớ ùùợ

Bài 2: Cho biểu thức: M x x x : x

x x x x x

æ + + + ữử ổ ửữ

ỗ ỗ

=ỗỗ - - ữữ ỗỗ - ữữ

ố - + - - ø è + ø

Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M Đáp số:

x

x

x 4; M

x

x

ìï ³

ïï +

ïï ¹ =

ớù

-ùù ùùợ

Bi 3: Cho biểu thức: M 2x x 2x x x x (x x 1)( x)

1 x x x x

é ù

é - + + - ù ê - - ú

= -ê + ú

ê ú

ê - + ú

-ë û ë û

Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M

Đáp số:

x

1

x ;M

x x

1 x

4

ìïï ï ³ ïï

ïï ¹ =

íï - +

ïï ù ùùùợ Bi 4: Cho biu thc: M x x x

x x x x

- + +

= + +

- + -

-Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M Đáp số:

x

x

x 4; M

x

x

ìï ³

ïï +

ïï ¹ =

íï

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Baøi 1: Cho x0 vaø x a x

  số Tính theo a biểu thức :

3

A x x

  ;

6

B x x

  ;

7

C x x

 

Bài giải:

Ta ln có hệ thức: n n n

n n n

1 1

x x x x

x

x x x

+

-+

-ổ ửổữ ổữ ửữ

ỗ ữỗ ữ ỗ ữ

+ =ỗỗỗ + ữữỗỗỗ + ữữ-ỗỗỗ + ữữ

è øè ø è ø với n>1

Cho n=2 ta có:

3

1 1

x x x x

x x x x

ỉ ưỉ÷ ỉ÷ ư÷ ç ç ç + =çç + ÷÷çç + ÷÷-çç + ÷÷ è øè ø è ø Với 2 2 1

x x a

x x

ổ ửữ

ỗ

+ =ỗỗố + ÷÷ø - = -Ta tính được:

3

A=a -3a

( )

2

2

3

3

4

4

1

B x a 3a a 6a 9a

x

1 1

C x x x a 7a 14a 7a

x x x

æ ửữ ỗ =ỗỗố + ữữ - = - - = - + -ứ ổ ửổữ ổữ ửữ ỗ ỗ ç =çèç + øè÷÷çç + ø è÷÷-çç + ÷÷ø= - +

-Baøi 2: Cho x0 thỏa mãn x2 12

x

  Chứng minh 5

1 x

x

+ số ngun Tìm số ngun

Bài giải:

Ta có:

5

1 1

x x x x

x x x x

ỉ ưỉ÷ ổữ ửữ ỗ ỗ ỗ + =ỗỗ + ữữỗỗ + ữữ-ỗỗ + ữữ ố ứố ứ ố ứ Do: 2

1 1

x x x

x x x

ổ ửữ

ỗ + ữ = + + = + = + =

ỗ ữ

ỗố ø (do x > 0)

Mặt khác:

3

3

1 1

x x x x 7.3 18

x x x x

ổ ửổữ ổữ ửữ ỗ ỗ ç + =çç + ÷÷çç + ÷÷-çç + ÷÷= - = è øè ø è ø Và 4 1

x x 49 47

x x

ổ ửữ

ỗ

+ =ỗỗố + ữữứ - = - =

Nên

5

1 1

x x x x 47.3 18 123

x x x x

ỉ ưỉ÷ ổữ ửữ

ỗ ỗ ỗ

+ =ỗỗ + ữữỗỗ + ữữ-ỗỗ + ữữ= - =

ố øè ø è ø

Bài 2: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :

2 2

2

2

2

x y y z z x              

Tính giá trị biểu thức : A x 2009y2009z2009

Bài giải:

( )2 ( )2 ( )2

x

x y z y x y x

z

ìï + = ïï ïï + + + + + = íï + =  = = = -ïï + = ïïỵ

Vậy ( )2009 ( )2009 ( )2009

A= -1 + -1 + -1 = -3

Baøi 4: Cho 4 3 216

4 16 16

a M

a a a a

 

    Tìm giá trị nguyên a để M có giá trị nguyên

Bài giải:

Rút gọn biểu thức M

  

   

   

4

4

4

3

2

2 16

4 16 16

16

2

4 2

2

a M

a a a a

a

a a a a

a a a

a a a

                  

Với a ¹ 2 A a

a

+ =

-Tìm  để 

Tiếp tục biến đổi A thành A a

a a

+

= = +

- -

Để   ta phải có:

a-2 ước

a a

a a

a 2 a

a 2 a

a

a a

a 2 é - = é = ê ê ê - = - ê = ê ê ê - = - ê = ê ê  ê ê - = = ê ê ê - = - ê ê ê ê ê - = = ë ë = -ê ê

Đối chiếu với điều kiện a ta có đáp số là: a =0;a=1;a =3;a=4;a=6

Bài 6: Chứng minh rằng:

1) 1

x(x+1)= x-x+1

2)

( )( )

1 1

3x 3x 3x 3x

ổ ửữ ỗ = ỗỗố - ữữứ - + - + 3) ( ) ( ) ( )

1 1

x x x x x x(x 1)

é ù

ê ú

= ê - ú

- + ë - + û

Áp dụng: Tính tổng sau: 1)

 

1 1

1.2 2.3 3.4

n

S

n n

    

 2)

( )( )

n

1 1

S

2.5 5.8 3n 3n

= + + +

- +

3) 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)

n

S

n n n

    

 

III MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG GIẢI TỐN:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=2x2-6x+1

Bài giải:

Biến đổi biểu thức A

( )

2

2

A x 3x

9

2 x 3x

4

3 7

2 x

2 2

= - +

ổ ửữ

ỗ

= ỗỗố - + ữữ+ -ứ

ổ ửữ

ỗ

= ỗỗố - ữữ -ứ

Du đẳng thức xảy x

= Vậy A

2

=

-Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=(x-1 x)( +2 x)( +3 x)( +6)

Bài giải:

Biến đổi biểu thức A

( )( )( )( )

( )( )

( )

2

2

A x x x x

x 5x x 5x

x 5x 36 36

= - + + +

= + - + +

= + - ³

-Dấu đẳng thức xảy x=0 x= -5 Vậy A= -36

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=x2+xy+y2-3x-3y+2012

Bài giải:

Biến đổi biểu thức 4A

( )

( ) ( )

2

2 2

2

4A 4x 4xy 4y 12x 12y 4.2012

x 2xy y x y 2xy 4x 4y 4.2012 12

x y x y 4.2009

A 2009

= + + - - +

= + + + + + + - - +

-= - + + - +

 ³

Dấu đẳng thức xảy x y x

x y y

- = ì =

ì ï

ï ï

ï 

í + - = í

ï ï =

ï ï

ỵ ỵ

Vậy A=2009

Chuyên đề 3:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC I MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN:

Biến đổi thức bậc hai:

 A2  A (thường dùng)   A 2A A 0 

 A B  A B (A 0;B 0)   A  A (A , B 0) 

B B

 A B2  A B (B 0)

Chú ý: A có nghóa A0

Biến đổi thức bậc ba:

 A3 A

 A B. 3A B.3

 3

3 (B 0)

A A

B  B 

 A B A B3 

Ví dụ 1: 1) Tính: A 20 45 125

  

2) Rút gọn biểu thức: B a a :4a a

a a

    

   

 

  với a 0;a 1 

Ví dụ 2: Hãy rút gọn biểu thức sau:

1) A = 14 15 :

2

   



 

    

 

2) B =

1

x x x

x x x

 

  x0;x1

Ví dụ 3: Cho biểu thức K a : a

a a a a

   

          

 

1) Rút gọn biểu thức K

II BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1:Chứng minh đẳng thức : 13 48

6

  



 (1)

Bài giải:

 

 

2

2

2 13 48

(1)

6

2

6

2

6

2

VT       

                2

2 3 2

6 6 6

3 2                     

Bài 2: Chứng minh đẳng thức :

2

1

3 1

3

1 1

2

 

 

   

(1)

Bài giải:

 2  2

3 3

1 1

2 2

(1)

3 4

1 1 1

2 4

3

1

2

1 3

1 4 3 1 2 1

VT        

                     

2 3

2

3 3 3

2 2

2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) 3 3

6

3 3

Bài 3: Chứng minh đẳng thức : 449 20 449 20

    (1)

Bài giải:

   

   

   

2

4

4

2

4

4

4

5 20

49 20 49 20

VT(1)

2

5 20

2

3

2

3

2

  

  

 

  



  



  

 

Bài 4: Cho a 0 Chứng minh : 2

2 1 1 ( 1)

a a a a a a

a a a a

      

   

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ: a =x

Bài 5: Xét biểu thức 1

2

a a a

P

a a a a

  

   

    Tìm a để P 1

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ: a =x

Bài 6:Rút gọn biểu thức : A 5 3 29 12 5 Đáp số: A=1

Bài 7: Thu gọn biểu thức :

2

P    

 

Đáp số: P= +1

Baøi 8: Cho 2

1

x x x x

M x

x x x x

 

   

   

Rút gọn M với 0 x

Hướng dẫn:

+ Đặt x =a

+ Kết quả: M= -1 x

Bài 9: Tính giá trị biểu thức :A (3x 38x22)2009với x ( 2) 17 383

5 14

 



 

Hướng dẫn:

+ Rút gọn x x

=

Baøi 10:Cho 1 1

2

x



 

Tính giá trị biểu thức :A(x4x3x22x1)2007

Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A

Bài 11: Tính giá trị biểu thức : P (x 44x23)2007

với giá trị x 10 ( 10 3)

6 19 10



 

 

Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A

Bài 12: Cho số x39 5 39 5

1) Chứng tỏ x nghiệm phương trình x33x 18 0  2) Tính x

Hướng dẫn:

1) Ta có:

 

3

3 3

3

x 9

x 18 3.x 9

x 18 3x

x 3x 18

   

    

  

   

Suy x nghiệm phương trình x33x 18 0  2) Giải phương trình (1) x=3

Bài 13: Chứng minh x 33 9 125 3 9 125

27 27

       số nguyên

Hướng dẫn:

Giải tương tự 12

Bài 14: Chứng minh số : x0 2 2  2  nghiệm phương trình : x416x232 0

Bài giải:

Biến đổi phương trình:

x416x232 0 x28232 (1) Ta chứng minh: ( )2

0

x -8 =32

Thật vậy:

 

 

    

2

0

2

2

2 3 2 3

2 3

8 3 3 32

x x

x x

           

      

        

Bài 18:

1) Chứng minh :

( )

1 1

n+1 n +n n+1 = n - n+1

2) Tính tổng:

1 1

S

2 2 3 100 99 99 100

= + + + +

+ + + +

Chuyên đề 4:

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Nhắc lại:

1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng

a) Chuyển vếmột biểu thức từ vế sang vế (nhớ đổi dấu biểu thức)

b) Nhân chia hai vếcủa phương trình với số (khác 0) với biểu thức (khác không)

c) Thay thếmột biểu thức biểu thức khác với biểu thức Chú ý: Sử dụng dấu  thực phép biến đổi tương đương

Lưu ý:

+ Chia hai vế phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phịng nghiệm + Bình phương hai vế phương trình đề phịng dư nghiệm

2) Các bước giải phương trình

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt chọn nghiệm phù hợp ( có)

Bước 4: Kết luận

I Phương trình bậc nhất:

1 Daïng : ax + b = (1)

  

soá tham : b a,

số ẩn : x

2 Giải biện luận:

Ta có : (1) ax = -b (2)

 Neáu a 0 (2) 

a b

x

 Nếu a = (2) trở thành 0.x = -b

* Nếu b 0 phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu b = phương trình (1) nghiệm với x

Tóm lại :

 a 0 : phương trình (1) có nghiệm

a b

x  a = vaø b 0 : phương trình (1) vô nghiệm

 a = b = : phương trình (1) nghiệm với x

AÙp dụng:

Ví dụ : Giải phương trình sau: m x x 2m2   

3 Điều kiện nghiệm số phương trình:

Định lý: Xét phương trình ax + b = (1) ta coù:

 (1) có nghiệm  a 0

 (1) vô nghiệm 

  

  0 b a

 (1) nghiệm với x 

  

 

0 b a Áp dụng:

Ví dụ :

1) Với giá trị a, b phương trình sau nghiệm với x ( 1) 2  0

b x a x a

2) Với giá trị m phương trình sau có nghiệm x m x

x x

  

 

II Phương trình bậc hai: ax2bx c 0 (1) ( a0)

1 Cách giải:

Tính biệt số  b24ac ( ' '2 với b'

2

b b ac

    )

 Neáu  0 pt (1) vô nghiệm

 Nếu  0 pt (1) có nghiệm số kép 2

b x x

a

   ( '

b x x

a

   )

 Neáu  0 pt (1) có hai nghiệm phân biệt 1,2 2

b x

a

  

 ( 1,2 ' '

b x

a

  

 )

Ví dụ: Giải phương trình

x-2+6-x =

2 Trường hợp đặc biệt:

 Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a+b+c = pt (1) có hai nghiệm 1 x2

c x

a

 

 Nếu pt (1) có hệ số thoả mãn a-b+c = pt (1) có hai nghiệm 1 x2

c x

a

   

3 Điều kiện nghiệm số bậc hai:

Định lý : Xét phương trình : ax2bx c 0 (1) ( a0)  Pt (1) voâ nghieäm   0

 Pt (1) có nghiệm kép   0

 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt   0

 Pt (1) có nghiệm ( có hai nghiệm)   0

Đặc biệt :

Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < pt(1) ln có hai nghiệm phân biệt

4 Định lý VIÉT phương trình bậc hai:

 Định lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : ax2bx c 0 ( a0) có hai nghiệm x1, x2

1

1

b S x x

a c P x x

a

     



  

 Định lý đảo : Nếu có hai số ,x y mà x y S  x yP ( ) P

S  ,x y nghiệm

phương trình

X2-S.X+P=0

Ý nghóa định lý VIÉT:

Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm xét dấu nghiệm mà không cần giải phương trình

Biểu thức đối xứng nghiệm x1và x2 phương trình ax2 + bx + c = biểu thức có giá trị khơng thay đổi ta hốn vị x1 , x2

Ta biểu thị biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 theo S P

VÍ DỤ:

Ký hiệu Sn x1n xn2 Ta có:

5 5 5 10 10 10 4 4 4 5 9 4 4 4 8 3 3 3 4 7 3 3 3 6 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 2 4 2 3 3 2 2 2 2 1 P 2 S x x 2 ) x x ( x x S S P S S ) x x ( x x ) x x )( x x ( x x S P 2 S x x 2 ) x x ( x x S S P S S ) x x ( x x ) x x )( x x ( x x S P 2 S x x 2 ) x x ( x x S S P S S ) x x ( x x ) x x )( x x ( x x S P 2 S x x 2 ) x x ( x x S PS 3 S ) x x ( x x 3 ) x x ( x x S P 2 S x x 2 ) x x ( x x S S x x S                                                                         

Tính tương tự cho: S11, S12,

Ví dụ 1:

Cho x1, x2 hai nghiệm phương trình:

0 1 x

x2   

1 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2x1 - x2 2x2 - x1 Hãy tính giá trị biểu thức

a) A = x21 x22 b) B = x13 x23 c) C = x14 x42 d) D = x15 x52; e) E = x16 x26 f) F = x71 x72

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 5x2 0

Gọi x1,x2là nghiệm Tính giá trị biểu thức: a) A x16 x26 b) B = x81 x82

Ví dụ 3: Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 4x 380 Tính giá trị biểu thức:

2 3 2 2 x x 5 x x 5 x 6 x x 10 x 6 Q    

a) Tính giá trị biểu thức : 4

1 x

1 x

1

A   theo a, b, c

b) Chứng minh :

2 7 ) 3 1 (

1 )

3 1 (

1

4

4   



c) Chứng minh : (1 2)6 (1 2)6 198

5 Dấu nghiệm số phương trình bậc hai:

a Định lý: Xét phương trình bậc hai : ax2bx c 0 (1) ( a0)  Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt

> P > S >

  

 

 

 Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt

> P > S <

  

 

 

 Pt (1) có hai nghiệm trái dấu  P <

Ví dụ: Cho phương trình: x2-2 m( +1 x) +m2-4m+ =5 0

Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

b Mọi tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a0) điều biểu diển thành

( ) ( )2

2

b f x ax bx c a x

a a



     

Ví dụ: Tìm giá trị giá trị nhỏ tam thức f(x)=2x2 +5x-12 Ví dụ: Tìm giá trị giá trị lớn phân thức 2

x - +x

Ví dụ: Cho phương trình: x2-2 m( -1 x) +2m- =4 0

1) Chứng minh pt (1) có hai nghiệm phân biệt với m

2) Gọi x , x1 hai nghịệm pt Tìm GTNN biểu thức A=x21 +x22 c Cơng thức phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:

Nếu tam thức bậc hai f(x)=ax2bx c ( a0)

có hai nghiệm x1,x2 tam thức phân tích thành :

f(x) = a(x-x1)(x-x2)

d Dấu cuả nhị thức bậc f(x) = ax+b ( a0)

Bảng xét dấu:

x  b

a

 

f(x) Trái dấu a Cùng dấu a

Ví dụ: Giải bất phương trình: 2x

3 x

- >

-II PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ 1.Dạng I: ax4bx2 c 0 ( a )

 Đặt ẩn phụ : t = x2

Ví dụ: Giải phương trình: 9x4 +2x2-32=0

2 Dạng II (x a x b x c x d )(  )(  )(  )k ( k ) a+b = c+d  Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b)

3.Daïng III: (x a ) (4 x b)4 k ( k  0 )

 Đặt ẩn phụ : t =

a b x 

4.Daïng IV: ax4bx3cx2bx a 0

Chia hai vế phương trình cho x2  Đặt ẩn phụ : t = x

x

III PHƯƠNG TRÌNH BAÄC BA

3 0

ax bx cx d  (1) (a0)

1.Cách giải: Áp dụng biết nghiệm phương trình (1)

Bước 1: Nhẩm nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm x = x0

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân tử đưa pt (1) dạng tích số :

Sơ đoà

Trong đó:

aA, x A  b B, x B c0  C, x0.C d

(1)  (x-x0)(Ax2+Bx+C) =

2

0 (2)

x x

Ax Bx C

 

    



Bước 3: Giải phương trình (2) tìm nghiệm cịn lại ( có) Ví dụ: Giải phương trình: x3 +9x2 +11x-21=0

IV CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

1.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình cho phương trình biết cách giải

2.Phương pháp 2: Biến đổi phương trình cho dạng tích số : A.B = 0; A.B.C =

Định lý: 0

A A B

B

 

   

 ;

0

0

0

A

A B C B

C

  

  

  

3.Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình cho dạng biết cách giải

4.Phương pháp 4: Biến đổi phương trình hệ phương trình

Định lý1: Với A0,B0 0

A A B

B

 

    



Định lý 2: Với A, B 2 0

0

A A B

B

 

    



Định lý 3:

Với A K B K ( K số ) A B A K B K

 

   



a b c d

B BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

Bài 1: Cho phương trình có ẩn số x : x22(m 1)x m 0   

1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m

2) Tìm m cho nghiệm số x1 , x2 phương trình thỏa mãn điều kiện: 2

x x 10

Baøi 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x :x22mx 2m 0  

1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với m

2) Ñaët A = 2

1 2

2(x x ) 5x x

a) Chứng tỏ A = 8m 18m 92 

b) Tìm m cho A = 27

3) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm

Bài 3: Cho phương trình : (m 1)x 22(m 1)x m 0   ( ẩn số x )

a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm

Bài 3: Cho phương trình : x2(2m 3)x m  23m 0

a) Chứng tỏ phương trình ln ln có hai nghiệm m thay đổi b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa < x1 < x2 <

Baøi 4: Cho phương trình : (m 2)x 2(2m 1)x m 0   

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với m

b) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm

Bài 5: Cho phương trình : x24x m 0  

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa : 2

x x 10

Baøi 6: Cho phương trình :x22mx m 0  

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm khơng âm b) Tính giá trị biểu thức E x1 x2 theo m

Bài 7: Cho phương trình : 3x2mx 0 

Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2

x x

9

 

Bài 8: Cho phương trình : x22(m 4)x m  2 8 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : a) A x x 3x x 1 2 đạt giá trị lớn

b) 2

1 2

B x x x x đạt giá trị nhỏ

c) Tìm hệ thức x1 , x2 không phụ thuộc vào m

Bài 9: Cho phương trình : x24x (m 23m) 0

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với m b) Xác định m để : 2

1 2

x x 4(x x )

c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y1 , y2 thỏa mãn :

y1+y2 = x1 + x2

2

y y 3

1 y 1 y 

Bài 10: Cho phương trình : x22(m 3)x 2(m 1) 0   

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1 , x2 với m

b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức:P= 2

x x

Bài 11: Cho phương trình : mx22mx m 23m 3 0 (1)

a) Định m để phương trình (1) vơ nghiệm

Bài 12: Cho phương trình : x22(m1)x2m 4 0

a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ 2

1

y x x

Bài 13: Giải phương trình sau: 1.x410x2 9 0

2.(x1)(x2)(x3)(x4) 3

3 (x23x4)(x2  x 6) 24

4.(x2) (4 x 3)4 1

5.x43x36x23x 1 0

Bài 14:

Giải phương trình sau: 1.x36x211x 6 0

2.x34x229x24 0

3.x32x2  x 2 0

Baøi 15:

Cho phương trình bậc ba :x3(2m1)x2(3m26m2)x3m24m 2 (1)

1 Chứng minh phương trình (1) ln có ba nghiệm phân biệt x1,x2,x3 x1=1 với m Xác định m để biểu thức P = x1 x2x3 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ nghiệm

x1,x2,x3 tương ứng

Bài 16: Giải phương trình sau:

1.2

3

x x x

x x

   



2.x42x35x24x12 0

(x2) (2 x 3) (3 x 4)4 2

4 (x+9)(x+10)(x+11) -8x = 5.(4x1)(12x1)(3x2)(x 1)

482 10( 4)

3

x x

x x

  

Bài 17:

Cho phương trình : x42mx2 4 0

Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1,x2,x3,x4 thoả mãn 4 4

1 32

Chuyên đề 5:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

I.Hệ phương trình bậc hai ẩn

Daïng : 1

2 2

a x b y c a x b y c

 



  



a Caùch giải : Phép , phép cộng

b Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

1) 5x 6y 179x y 7  2) 7x 2y 173x 2y 5  3)   

  

1 x y 3 1xy 36

2

1

xy x y 26

2

    

 

    



Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:

1)

16 16

x y

3

x y

  

 

   

2)

2

3

x y x y

1

1

x y y x

ìïï + =

ï +

-ïï íï

ï - =

ïï +

-ïỵ

Đáp số: 1) x 24y 48 ; 2)

77 x

20 63 y

20

ìïï = ïïï íï ï = -ïïïỵ

Ví dụ 3: Cho phương trình: 15x 3y 32x 3y m  Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm  x; y cho x 0, y 0 

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình :

3

x my

x y

 



  

 (1)

Tìm giá trị m để hệ (1) có nghiệm ( x; y) thoả mãn hệ thức: x - y + m+1 m-2  

II.Hệ phương trình đối xứng :

1 Hệ phương trình đối xứng loại I:

a.Định nghĩa: Đó hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trị x,y cho hệ phương trình khơng thay đổi

b.Cách giải:

Bước 1: Đặt x+y=S xy=P với S24Pta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P

Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S24P

Bước 3: Với S,P tìm x,y nghiệm phương trình :

2 0

X SX P  ( định lý Viét đảo )

c Ví dụ :

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

1) x2 y 2 xy

x y

ì + + =

ïïï

íï + =

ïïỵ 2) 2

7

3 16

x y xy

x y x y

   

 

   



BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải hệ phương trình:

2

4 2

x xy y

x x y y 21

ì - + =

ïïï

íï + + =

ïïỵ

Đáp số: x ; x

y y

ì = ì =

-ï ï

ï ï

í í

ï = - ï =

ï ï

ỵ ỵ

Bài 2: Giải hệ phương trình: ( )( )

( ) ( )

x y

x x y y xy 17

ì + + =

ïïï

íï + + + + =

ïïỵ

Đáp số: x x;

y y

ì = ì =

ï ï

ï ï

í í

ï = ï =

ï ï

ỵ ỵ

Bài 3: Giải hệ phương trình: mx y

x y m

ì + =

-ïï

í + = -ïïỵ

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn y2 =x

Chuyên đề 6:

BẤT ĐẲNG THỨC

I Số thực dương, số thực âm:

 Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x >

 Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x <

 Nếu x số thực dương x= 0, ta nói x số thực khơng âm, ký hiệu x0  Nếu x số thực âm x= 0, ta nói x số thực khơng dương, ký hiệu x0

II Khái niệm bất đẳng thức:

Định nghĩa : Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a-b số dương, tức a-b > Khi ta ký hiệu b < a

Ta coù: a b   a b

 Nếu a>b a=b, ta viết ab Ta có:

ab  a-b0

Quy ước :

 Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức

 Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức

III Các tính chất bất đẳng thức : 1 Tính chất 1: a b a c

b c



  

  

2 Tính chất 2: a b    a c b c

Hệ 1: a b    a c b c

Hệ 2: a c b    a b c

3 Tính chất 3: a b a c b d c d



    

  

4 Tính chất 4: neáu c > neáu c <

ac bc a b

ac bc

 

   



Hệ 3: a b    a b

Hệ 4: c > c <

a b c c a b

a b c c

     

  

5 Tính chất 5: 0

a b

ac bd c d

 

  

   

6 Tính chất 6: a b 0 1

a b

    

7 Tính chất 7: n n

b a N n b

a 0,  * 

8 Tính chất 8: ab0,nN* n a nb

Hệ 5: Nếu a b hai số dương : aba2 b2

Nếu a b hai số không âm :

2

b a b

IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : 1 Định nghĩa: x ( x )

neáu x <

 

 



x

x R

x

2 Tính chất : x 0 , x2x2 , x x , -x x 

3. Với a,bR ta có :  a b  a b  a b  a b

 a b  a b a b 0

 a b  a b a b 0

V Bất đẳng thức tam giác :

Nếu a, b, c ba cạnh tam giác :

 a > 0, b > 0, c >

 b c a b c     c a b c a     a b c a b     a b c    A B C VI Các bất đẳng thức :

a Bất đẳng thức Cauchy:

Cho hai số không âm a; b ta coù :

a b  ab

Dấu "=" xảy a=b

Cho ba số không âm a; b; c ta có :

3

  

a b c abc

Dấu "=" xảy a=b=c

Tổng quát :

Cho n số không âm a1,a2, anta có :

1

n n .

n

a a a a a a

n

   

Dấu "=" xảy a1 = a2 = = an

Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức :

Ta thường sử dụng phương pháp sau

1 Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương

Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết

Ví dụ:

Chứng minh bất đẳng thức sau:

a2b2c2ab bc ca  với số thực a,b,c

a2b2 1 ab a b  với a,b

2 Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp

Xuất phát từ bất đẳng thức biết dùng suy luận toán học để suy điều phải chứng minh

Ví dụ 1: a) Cho hai số dương a b thoả mãn 3a 2b 1  Chứng minh: ab 24 

b) Cho hai số dương a b thoả mãn ab 1 Chứng minh: 4a 9b 12 

Ví dụ 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện

4  y

x Chứng minh rằng:

4

4 

x

x

Ví dụ 3: Cho x,y,z số dương Chứng minh rằng: x y y z z x

y z z x x y

      

   

   

Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh :         9 c

c b a b

c b a a

c b a

Ví dụ 5:Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh : b c c a a b a b c

a b c

        

ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Phương pháp:

Để tìm GTLN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau:

Bước 1: Chứng minh : A số M

Bước 2: Chỉ biến để AM

Bước 3: Kết luận GTLN A M

Để tìm GTNN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau:

Bước 1: Chứng minh : A số m

Bước 2: Chỉ biến để A m

Bước 3: Kết luận GTNN A m

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Baøi 1:

Cho x,y hai số dương thay đổi cho

x y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức

a P = xy b Q= x + y

Baøi 2:

Cho x,y thay đổi cho 0 x 3và 0 y Tìm giá trị lớn biểu thức

P = (3-x)(4-y)(2x+3y)

Baøi 3:

Số thực x thay đổi thoả mãn điều kiện x2 (3 x)2 5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

P = x4 (3 x)46 (3x2 x)2

Baøi 4:

Cho x,y số dương thoả mãn :x2y24 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2

1

( ) ( )

T x y

x y

   

Baøi 5:

a A (x 1) (2 y 1)2

x y

   

b 2( 4)

4

B x y

xy

  

c C (1 1)(1 1)

x y

  

Baøi 6:

Cho hai số dương x,y thay đổi thoả x+y=5 Tìm giá trị nhỏ tổng 1

P

x y

 

Chú ý : Ngồi cách tìm GTLN GTNN cách sử dụng bất đẳng thức, ta sử dụng phương pháp điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai

Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ

2 2

2

x y

x x

 

 

2 5 7

x y

x x



Chuyên đề

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I Định nghóa tính chất :

Định nghóa: A neáu A neáu A <

A A

 

  

2 Tính chất :

A 0 , A2 A2 Lưu ý: A2 = A

II Caùc định lý :

a) Định lý : Với A  B  A = B  A2 = B2

b) Định lý : Với A B A > B  A2 > B2 III Các phương trình & cách giải :

Phương pháp chung để giải loại KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI định nghĩa nâng lũy thừa

* Daïng : A  B  AB

* Daïng :

  

    

B A B B

A ,

IV Các cách giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng :

* Phương pháp : Biến đổi dạng

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) x2x2  x2 2x 2) x24x3 x3

* Phương pháp : Sử dụng phương pháp chia khoảng

Ví dụ : Giải phương trình sau : x-1 2x( -1)=3

Chuyên đề 8:

PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1 Các cơng thức tính chất bản:

 A có nghóa A0

 A0 với A 0

 vaø A neáu A

neáu A <

A

A A

A

 

  

  ( A)2 A với A 0

 A B  A B A,B 0  A B  A B A,B 0

2 Các định lý baûn:

1 Định lý 1: Với A,B : A B  A2B2

2 Định lý 2: Với ,A B0 : A B  A2B2

3 Định lý 3: A B B 02

A B

 

  

 

4 Định lý 4: Với ,A B0 : A=0 B=0

A B    

5 Định lý 5: 2 0 A=0 B=0

A B    

6 Định lý 6: Với A K B K ( K số ) : A=B A=K B=K



   



II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC:

Phương pháp 1: Nâng luỹ thừa khử thức

Ví dụ : Giải phương trình :

x 1 x 2 2x3

2 x x( 2) x x( 5) x x( 3)

3 x x 1

x

  

4 3x 1 3x 1 35x

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển phương trình đại số

Ví dụ : Giải phương trình :

1 3x22x2 x2  x 1 x

2 1

3

x x

x x

  



3 23 2x 53x 3

Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển hệ phương trình đại số

Ví dụ : Giải phương trình : 25x2  10x2 3 32 x x 1 1 5 1x3 2(x22)

Ví dụ : Giải phương trình :

1 2x 3 5 2 x3x212x14 x24x 5 2x3

Phương pháp 5: Biến đổi phương trình dạng tích số

Ví dụ : Giải phương trình :

( x 5 x2)(1 x 7x10) 3

Phương pháp 6: Biến đổi phương trình phương trình có chứa giá trị tuyệt đối

Ví dụ : Giải phương trình :

4x  x 1 x 8 x 1

x 2 2x 5 x 2 2x 5 2

II BÀI TẬP RÈN LUYỆN:

Bài 1: Cho phương trình : x2 x 1 m26m11 0 a Giải phương trình m=2

b Chứng minh phương trình có nghiệm với m

Bài 2: Cho phương trình : x x 1 m (1) m tham số a Giải phương trình (1) m=1

Chun đề 9:

HÌNH HỌC PHẲNG

A Kiến thức bổ sung quan trọng : 1.Định lý Ménélaus:

Cho ba điểm A’,B’,C’ nằm ba đường thẳng chứa ba cạnh BC,CA,AB tam giác ABC cho chúng điểm nào, có hai điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi đó:

' ' ' ' ' '

' ' '

, , thẳng hàng A B B C C A

A B C

A C B A C B

 

     

   

2 Định lý Céva:

Cho ba điểm A’,B’,C’lần lượt thuộc ba cạnh BC, CA, AB Khi

AA BB CC', ', ' đồng quy điểm I A''B B C C A '' ''

A C B A C B

 

     

   

3 Tỉ số diện tích :

Cho hai điểm M, N nằm hai đường thẳng chứa hai cạnh AB AC tam giác ABC ta ln có hệ thức :

( )

( )

dt AMN AM AN dt ABC AB AC

 



4 Đẳng thức Ptolémée:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) ta ln có hệ thức: AC.BD=AB.CD+AD.BC

5 Bất đẳng thức Ptolémée:

Cho tứ giác ABCD ta ln có : AC BD AB CD AD BC   Đẳng thức xảy ABCD nội tiếp đường tròn

A' B'

C'

B

A

C

A'

C' B'

B

A

C I

B

A

C M

N

O A

B

6 Tứ giác nội tiếp:

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt N , hai đường thẳng AB,CD cắt M Khi điều sau tương đương :

i Tứ giác ABCD nội tiếp ii ACB ADB

iii  ABC ADC 1800 iv MA.MB=MC.MD v NA.NC=NB.ND

7 Điều kiện tiếp xúc :

Cho tam giác ABC điểm S thuộc tia đối tia BC Khi mệnh đề sau tương đương i SA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

ii.ACB BAS

iii SA2 = SB.SC

B Các toán luyện tập:

Bài 1: Chứng minh tam giác ABC, có ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ cắt điểm K nằm tam giác (A BC B AC C' , ' , 'AB)

a) KA'' KB'' KC''

AA BB CC 

b) AK BK CK' ' '

AA BB CC 

c) AK' AB' ' AC' '

KA  B C C B

Bài 2: Trên trung tuyến AD tam giác ABC, cho điểm K cho AK=3KD;BK cắt AC P Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABP , BCP

Bài 3: Cho tam giác ABC, điểm K AB cho

AK

KB , moät điểm L trên BC

cho

CL

LB  Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tìm diện tích tam

giác ABC biết diện tích tam giác BQC (đơn vị diện tích )

Bài 4: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho

AB=5AM, BC=3BN Gọi O giao điểm AN CM Tính tỉ số diện tích tam giác AOC diện tích tam giác ABC

Bài 5: Cho tam giác ABC Gọi F giao điểm hai đường phân giác AD CF (D thuộc BC, E thuộc AB) Tính tỷ số diện tích tam giác ADF diện tích tam giác ABC theo ba cạnh BC=a,AC=b,AB=c

Bài 6: Cho tam giác ABC AM,BN,CP đường phân giác Tính tỷ số diện tích tam giác MNP điện tích tam giác ABC theo cạnh BC=a,AC=b,AB=c

Bài 7: Cho đường tròn O dây AB đường trịn Các tiếp tuyến vẽ từ A B đường trò cắt C Kẻ dây CD đường trịn có đường kính OC (D khác A B ) CD cắt cung AB đường tròn (O) E ( E nằm C D ) Chứng minh :

a BED DAE b DE2DA DB.

Bài 8: Giả sử H trực tâm tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB HC lấy hai điểm M,N cho AMC ANB 900 Chứng minh AN=AM

N O

M A

B

C D

O

S A

Bài 9: Cho tam giác ABC có A450 Gọi M N chân đường cao kẻ từ B C tam giác ABC

Tính tỷ số MN

BC

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA MN

Bài 10: Cho đường trịn (O) đường kính AB=2R ( R độ dài cho trước) M, N hai điểm nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ AB đến đường thẳng MN R

1 Tính độ dài đoạn MN theo R

2 Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm đường thẳng AM BN K Chứng minh điểm M,N,I,K nằm đường trịn , Tính bán kính đường trịn theo R

3 Tìm giá trị lớn diện tích tam giác KAB theo R M,N thay đổi vẩn thỏa mãn giả thiết toán

Bài 11: Cho hình vng ABCD , M điểm thay đổi cạnh BC ( M không trùng với B ) N điểm thay đổi cạnh CD (N khơng trùng với D) cho:

góc MAN= goùc MAB + goùc NAD

BD cắt AN AM tương ứng P Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn

Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định M N thay đổi

Ký hiệu diện tích tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN S2 Chứng minh tỉ số

2 S S

không thay đổi M N thay đổi

Bài 12: Cho tam giác ABC có đường cao BD Giả sử (C) đường trịn có tâm O nằm đoạn AC tiếp xúc với BA, BC M N

Chứng minh điểm B, M, D, N nằm đường tròn Chứng minh góc ADM = góc CDN

Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD , có hai đường chéo AC, BD vng góc với Giả sử AB 3;BC  6;CD3 Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng AC khơng chứa điểm B , dựng hình vng ACMN Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng MD không chứa điểm N , dựng tia Mx vng góc với MD lấy điểm E thuộc tia Mx cho ME =MD

Chun đề 10:

LÝ THUYẾT SỐ

I Phép chia hết:

1 Định lý phép chia:

Cho a,b  b 0 , có hai số nguyên q, r sau cho a=bq+r với 0 r b

a b, (b0), ,q r,0 r b a bq r:  

Nhận xét :

 Cho a,b  b 0 Khi chia a cho b xảy b số dư :0,1,2, ,b 1

 Khi chia n+1 số nguyên cho n (n1) có hai số số dư

 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n

2 Phép chia hết:

a.Định nghóa: Cho a,b  b 0 Ta nói a chia hết cho b, ký hiệu a b , tồn số

nguyên q cho a=bq

a b   ñn q sao cho a=bq

 Khi a chia hết cho b ta nói b ước a ký hiệu b a

 Số nguyên dương a>1 có hai ước dương gọi số nguyên tố Tập hợp số nguyên tố ký hiệu  Các số tự nhiên lớn số nguyên tố gọi hợp số

 UCLN hai số nguyên dương a b số nguyên dương lớn chia hết cho a b ký hiệu: UCLN(a,b) hay (a,b).BCNN hai số nguyên dương a b số nguyên dương nhỏ chia hết cho a b, ký hiệu: BCNN(a,b) hay [a,b]

 Hai số nguyên a b gọi nguyên tố , ký hiệu (a,b)=1 , ước chung lớn

b Tính chất: Cho , , ,a b c m; ,c m1 Khi : a) a b b c ,  a c

b) a m b m ,   a b m

c) ab c b c ,( , ) 1 a c

d) a b a c b c ,  ,( , ) 1 a bc

e) Cho p Khi : ab p a p bp

Nhận xét:

 Trong n số nguyên liên tiếp (n1) có số chia hết cho n

 Tích n số nguyên liên tiếp (n1) chia hết cho n

 Với n ta có : anbn (a b a )( n1a bn2   abn2bn1)

Với n lẻ ta có : anbn (a b a )( n1a bn2   abn2bn1)

Suy ra:

 Chia n cho p ta số dư 0,1,2, ,p-1 Đặc biệt p lẻ ta viết: n = kp+r với 0, 1, ,

2

p r   

Ví dụ 1:

Chứng minh :

1 Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho

3 Tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho

Ví dụ 2:

Chứng minh với số nguyên m,n: n311 6n

mn m( 2n2) 3 n n( 1)(2n1) 6

Ví dụ 3:

Với n chẵn, chứng minh : 20n16n3 323n 

Ví dụ 4:

Chứng minh với n số tự nhiên : 11n2122 1n 133

2.5n226.5n82 1n 59

7.52n12.6 19n

II Đồng dư :

1 Định nghĩa: Cho a, b số nguyên n số nguyên dương Ta nói a đồng dư với b theo theo mơđun n a b có số dư chia cho n , ký hiệu: a b (mod n) a b (mod n)a-b n

Nhận xét:

 Trong trường hợp b n thì:

a b (mod n) có nghóa chia a cho m có dư b

Đặc biệt : a0(mod n) có nghĩa a chia hết cho n 2 Tính chất: Cho , ,a b c,n Khi :

 Nếu a b (mod n) b c (mod n) a c (mod n)    Nếu a b (mod n) a+c b+c (mod n) 

 Neáu a b (mod n) ac bc (mod n)   Nếu a b (mod n) a n b (mod )n n

 (a+b)n b (mod a), a>0n

3 Định lý FETMAT:

Nếu p số nguyên tố npn (mod p)

(npn chia hết cho p) với số nguyên n

Đặc biệt:

Cho p p-1,(a,p)=1 Khi : a (mod p)

Ví dụ 1:

Chứng minh : 220024 31

22225555555522227

Ví dụ 2:

1 Tìm dư phép chia 32003 chia cho 13 Tìm dư phép chia 20042004 chia cho 11

III Số nguyên tố & hợp số số phương & số khơng phương :

1 Số nguyên tố & hợp số: a Định nghĩa:

* Số tự nhiên a (a2) gọi số nguyên tố a có ước số dương a * Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước số

b Định lý số học:

Mọi số lớn phân tích thừa số nguyên tố cách ( khơng kể thứ tự thừa số)

Định lý:

Mọi số tự nhiên a > phân tích dạng :

1 k

n

n n

k

a p p p , p1,p2, ,pk số nguyên tố phân biệt , n1,n2, ,nk số tự nhiên, k*

Dạng phân tích gọi dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên a

2 Số phương & số không phương : a Định nghóa số phương :

* Số nguyên a số phương bình phương số ngun , tức a=b2 , b số ngun

a số phương  a = b (b2 )

b Số không phương :

a p a p ( p nguyên tố )   a khơng phương b2 a (b1)2với b  a khơng phương

3 a có chữ số tận ( hoặc )

a có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục chẵn a có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ a có chử số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác

a có chữ số tận hai chữ số lẻ… a khơng phương

Chun đề 11:

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Các phương pháp giải thường sử dụng :

I Phương pháp 1: Phương pháp đánh giá miền giá trị biến Bài 1: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : y x(  1) x22

Bài 2: Tìm ;x y thỏa mãn : 2x22xy5x y 19

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : xy22xy243y x 0

Bài 4: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : (x2y x y)(  2) ( x y )3

Bài 5: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : 7(x y ) 3( x2xy y 2)

Bài 6: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : 12x26xy3y2 28(x y )

Bài 7: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức

2 2

2y x x y   1 x 2y xy

Bài 8: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức x2xy y 2x y2 2

II Phương pháp 2: Phương pháp đưa phương trình tích Bài 1: Tìm x; y nguyên thỏa mãn phương trình sau: 1.x22y23xy3x5y15

2x26y27xy x y  25

Chuyên đề 12:

Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình

Bài 1:

Lấy số tự nhiên có hai chữ số chia cho số viết hai chữ số có thứ tự ngược lại thương dư 15 Nếu lấy số trừ số tổng bình phương chữ số Tìm số tự nhiên

Bài 2:

Tìm số có hai chữ số , biết chữ số gấp lần chữ số hàng đơn vị đem số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư

Baøi 3:

Cho số gồm hai chữ số Tìm số , biết tổng chữ số nhỏ số lần thêm 45 vào tích chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho

Baøi 4:

Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào 18 số thu viết chữ số theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số

Bài 5:

Chữ số hàng chục số có hai chữ số chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chổ hai chữ số cho số

8 số ban đầu Tính số ban đầu

Bài 6:

Cho số gồm hai chữ số Tìm số , biết tổng hai chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho

Bài 7:

Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết đem số chia cho tổng chữ số thương dư , đem số chia cho tích chữ số thương dư

Baøi 8:

Một số nguyên dương có hai chữ số Biết tổng hai chữ số số nguyên dương nầy tích hai chữ số cộng với Nếu lấy tổng hai chữ số nhân với kết với số ngun dương cho Tìm số ngun dương có tính chất