Thông tin tài liệu
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 MỤC LỤC PHẦN I - ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ - BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa bậc hai: Các công thức vận dụng Định nghĩa bậc ba 4 Tính chất bậc ba II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Dạng 2: Căn bậc hai số học Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 5: Tìm x Dạng 6: So sánh Dạng : Rút gọn biểu thức tập liên quan đến rút gọn 10 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 20 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 30 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 30 Hµm sè bËc nhÊt 30 1.1- Khái niệm hàm sè bËc nhÊt 30 1.2 - TÝnh chÊt 30 1.3 - Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) 30 1.4 - Cách vẽ đồ thị hµm sè y = ax + b (a 0) 30 1.5 - VÞ trí t-ơng đối hai đ-ờng thẳng 30 1.6- HƯ sè gãc cđa ®-êng th¼ng y = ax + b (a 0) 30 II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 30 Dạng 1: Xác định hàm số cho hàm đồng biến – nghịch biến 31 Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc toán liên quan 32 Dạng 3: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng 34 Dạng toán 4: Xác định hàm số bậc nhât 35 Dạng 5: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng lớn nhất, nhỏ 37 Dạng 6: Xác định tham số m để đồ thị hàm số y=f(x,m)thỏa mãn điều kiện cho trước 38 Dạng 7:Chứng minh điểm thẳng hàng 39 Dạng 8: Tìm m để đường thẳng đồng quy (cùng qua điểm) 40 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 42 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 CHUYÊN ĐỀ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 47 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 47 Giải hệ phương trình phương pháp 47 Giải hệ phương trình phương pháp cơng đại số 47 II –Các dạng tập 47 Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp 47 Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 48 Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 48 Dạng 4: Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình vơ nghiệm 49 Dạng 5:Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình cho có nghiệm nhất, tìm nghiệm 49 Dạng 6:Tìm nghiệm x, y có chứa tham số m sau tìm GTLN GTNN biểu thức cho trước 50 Dạng 7: Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 51 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 57 CHUYÊN ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax ,(a 0) 64 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 64 I)Hàm số y = ax ,(a 0) 64 II)Phương trình bậc hai ẩn 64 1.Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng 64 2.Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 64 3.C«ng thøc nghiƯm thu gän : 64 HƯ thøc Vi-et vµ øng dơng: 64 III) Các dạng tập 65 III - BÀI CÓ LỜI GIẢI 74 IV Bài tập áp dụng 89 CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN 93 BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG - TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 93 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 93 Phương pháp chung: 93 Một số dạng toán thường gặp 93 II - BÀI TẬP MINH HỌA 93 Dạng 1: Bài tốn Hình học 93 Dạng 2: Bài tốn Tìm số 95 Dạng 3: Bài toán dân số, phần trăm 96 Dạng 4: Bài toán Năng suất 97 Dạng 5: Bài toán Chung - Riêng 99 Dạng 6: Bài toán Chuyển động 102 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Dạng 7: Bài toán thực tế vận dụng 109 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 112 CHUYÊN ĐỀ 121 BẤT ĐẲNG THỨC - TÌM GIÁ TRỊ MIN - MAX CỦA BIỂU THỨC 121 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 121 Phương pháp chung 121 Phương pháp riêng: 121 2.1 Sử dụng số bất đẳng thức cổ điển thông dụng: 121 2.2 BÊt ®¼ng thøc Cauchy (Cosi): 121 2.3 Bất đẳng thức Bunhiacopski: 121 2.4 BÊt đẳng thức Trê- B Sép: 121 II - BÀI TẬP MINH HỌA 121 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 PHẦN I - ĐẠI SỐ ***** CHUYÊN ĐỀ - BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ x Định nghĩa bậc hai: Với a , x = a x = a * Tính chất: + Số âm khơng có bậc hai + Số có bậc hai số 0, ta viết = + Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương ký hiệu a , số âm ký hiệu − a Các công thức vận dụng A2 = A * Hằng đẳng thức: A.B = A B với A 0, B * Khai phương tích: A = B * Khai phương thương: A B với A 0, B * Đưa thừa số từ vào từ dấu A B với A A B= ( A2 B = A B với A ) A B = − A2 B với A< ( A2 B = − A B với A< 0) * Khử mẫu biểu thức lấy căn: A = B AB với A.B 0, B B * Trục thức mẫu: A = B A B với B> B C AB = C A B C ( = C AB A − B2 ( ) A B A− B ) Định nghĩa bậc ba x = a x3 = a Tính chất bậc ba * A.B = A.3 B *3 A = B A B với B LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Phương pháp giải: +) A để biểu thức có nghĩa A để biểu thức có nghĩa A A +) +) để biểu thức có nghĩa A A +) Định lí dấu nhị thức bậc : Nhị thức ax+b ( a ) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Bài 1: Tìm x để thức sau có nghĩa a) 2x b) x2 c) x d) x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) b) c) Để thức có nghĩa thì: 2x 2 Để thức có nghĩa thì: x x2 x x x 2x nên x2 x2 x x Để thức có nghĩa thì: d) 2x nên x Để thức có nghĩa x x lý) Vậy không tồn x để thức có nghĩa Bài 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức a) A = b) B = x − 2x −1 nên x2 (vô x − 2x + HƯỚNG DẪN GIẢI a) Để biểu thức A có nghĩa x − x − Cách 1: x − x − x − x + ( x − 1) x − 2 x −1 x +1 x − − x − + LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 x +1 Vậy để biểu thức có nghĩa x − + Cách2: x − x − x − x + − ( )( ) ( x − 1) − x − − x − + Bảng xét dấu: 1− x x −1− - x −1+ - + + - ( x − − )( x − + ) - 1+ + + + x +1 Vậy để biểu thức có nghĩa x − + Dạng 2: Căn bậc hai số học Phương pháp giải Với a 0, a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học Bài 1: Tìm bậc hai số học số sau: a) 49 b) 36 c) 64 d) 1,21 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có 49 = Vì 72 = 49 Phần b, c, d làm tương tự Chú ý: Phép tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phương Bài 2: Tìm bậc hai số sau: a) 64 b) 81 c) 1,44 d) 121 HƯỚNG DẪN GIẢI a) Vì bậc hai số học 64 nên 64 có bậc hai 8 Phần b, c, d làm tương tự Chú ý: Từ bậc hai số học ta suy bậc hai Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: + Trục + Khai phương tích, thương + Đưa thừa số vào trong, dấu LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 1:Tính 5+ 5- a) B = + 5- 5+ 1 b) C = 5 + 20 + HƯỚNG DẪN GIẢI 5+ 5- (5 + )2 + (5 - )2 a) B = + = 5- 5+ (5 - )(5 + ) 25 + 10 + + 25 - 10 + 60 = 20 = 25 - 1 b) C = 5 + 20 + = + 4.5 + 5 =5 +2 + =3 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải: + Khai phương tích, thương + Đưa thừa số vào trong, dấu + Dùng đẳng thức Bài 1: a)x b)x = c)x2 3x d)x 2 5x HƯỚNG DẪN GIẢI a)x 3 ta có ta dùng đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử: x x b)x2 c)x2 3x d)x x2 5x x 32 x x2 x x x 3x 5x 3 (x x 3)2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( với a, b, x, y số không âm) a )ab + b a + a + b) x − y + x y − xy HƯỚNG DẪN GIẢI LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a )ab + b a + a + = b a2 + b a + a + =b a = ( ( ) ( a +1 + )( ) a +1 ) a +1 b a +1 x3 − y + x y − xy = ( ( =( =( = ) ( x3 − y + )( x + y )( x + y )( x x y − xy ) ) x− y xy + y + xy x− xy + y + xy x− + y2 ) ( ) x− y ) Dạng 5: Tìm x Phương pháp giải: +)Phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình tích +) Với a , ta có : Nếu x = a x x = a Nếu x x = a x = a g ( x) +) f ( x) = g ( x ) f ( x) = ( g ( x ) ) Bài 1:Tìm x khơng âm biết a) x 15 b)2 x 14 c) x d) 2x HƯỚNG DẪN GIẢI a) x 15 b)2 x c) x d) 2x 152 x 14 x x x x 225 49 2x 16 x Bài 2: Tìm x a) 9x2 2x b) x2 6x 3x c) 4x 4x2 HƯỚNG DẪN GIẢI a) 9x2 Cách 1:Vì 2x x = 3x nên x2 = x + 3x = x + (1) TH1: x x , (1) 3x = x + x = (TM) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 TH2: x x (1) −3x = x + x = − (TM) Vậy x = 1, x = − nghiệm phương trình Cách 2: −1 2x + x 9x 2x 2 x = x + ( ) 9 x = x + x + −1 x =1 x −1 5 x − x − = x = Kết hợp với điều kiện giá trị x cần tìm x = ; x = b) x + x + = 3x − x2 + x + = ( x + 3) −1 = x+3 Nên x + = 3x − (2) TH1: x + x −3 , (2) x + = x − x = (TM) TH2: x + x −3 ,(2) − x − = 3x − x = − (loại) Vậy x = nghiệm phương trình c) − x + x = − x + x2 = − x Nên − x = (3) TH1: − x x ; (3) − x = x = −2 (TM) TH2: − x x ; (3) − x = −5 x = (TM) Vậy x = −2; x = nghiệm phương trình Chú ý: Ở Bài ta biến đổi làm thức, đưa giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối học lớp Tùy vào mà áp dụng cách cách cách hợp lý : Ở câu hỏi trắc nghiệm có phương án lựa chọn em thay đáp án vào biểu thức thỏa mãn biểu thức nghiệm phương trình Dạng 6: So sánh Phương pháp giải: Với hai số a b khơng âm ta có : a b a b Bài 1: So sánh a) 15 b) 11 c) 25 + 25 + HƯỚNG DẪN GIẢI LUYỆN THI VÀO LỚP 10 d) − -2 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a) Ta có : 42 = 16, 152 = 15 16 15 nên 15 b) Tương tự ví dụ 25 + =6, c) Ta có 25 + =8 nên Ta có − = −2 Vì nên bất đẳng thức đổi chiều) 25 + 25 + − − ( suất dấu âm nên Vậy − −2 Chú ý : Ở câu hỏi trắc nghiệm có phần so sánh em bấn máy tính so sánh Dạng : Rút gọn biểu thức tập liên quan đến rút gọn Phương pháp giải : Quy đồng, dùng đẳng thức, trục thức… Đối với tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sau rút gọn ta áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ‘với hai số a,b khơng âm ta có a + b ab dấu ‘=’ xẩy a=b” Bài 1: (Đề tuyển sinh vào 10 Hà Nội 2018-2019) x +4 x +1 − B = với x 0; x x+2 x −3 x +3 x −1 a) Tính giá trị A x=9 b) Chứng minh B = x −1 A x c) Tìm tất giá trị x để + B HƯỚNG DẪN GIẢI Cho hai biểu thức A = a) Vì x=9 thỏa mãn điều kiện nên A = 9+4 = −1 b) Với x 0; x Ta có: B= = = = x +1 − x+2 x −3 x +3 x +1 x +1 − = − x + x − −1 x + ( x − 1) + (2 x − 2) x +3 ( x − 1) ( x +3 ( x − 1) ( ( ) x +1− x −1 − = x +3 x +3 ( x − 1) x + 3 x +1 x +3 ) ) ( = ) ( x − 1) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 10 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 (x − y ) − 2 BĐT cuối nên ta có ®iỊu ph¶i chøng minh Bài 16:Cho xy 1.Chøng minh r»ng: 1 + 2 1+ x 1+ y + xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta cã: 1 + 2 1+ x 1+ y + xy 1 1 + − − 2 + x + y + y + xy xy − x xy − y + (1 + x ).(1 + xy) (1 + y ).(1 + xy) x( y − x) y( x − y) + 0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( y − x )2 (xy − 1) (1 + x )( + y ).(1 + xy) BĐT cuối xy > 1.Vậy ta có điều phải chứng minh Bi 17:a) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng a + b + c b) Cho a,b,c lµ số d-ơng 1 Chứng minh (a + b + c ). + + a b c HƯỚNG DẪN GIẢI: a) ¸p dơng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta cã: (1.a + 1.b + 1.c ) (1 + + 1).(a + b2 + c ) ( 2 (a + b + c ) a + b + c ) (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 1 1 b) (a + b + c ). + + a b c 2 a +b +c a a b b c c + + +1+ + + +1 b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + b a c a c b 1+ áp dụng BĐT phụ x y + y x Víi x,y > Ta cã B§T ci cïng LUYN THI VO LP 10 Trang 127 Biờn soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 1 1 VËy (a + b + c ). + + a b (đpcm) c Bi 18: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = Vµ x − + x − = x − + − x x − + − x = (1) (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y x (2) DÊu b»ng x¶y x Vậy T có giá trị nhá nhÊt lµ x Bi 19: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x), víi x,y,z > vµ x+y+z =1 HƯỚNG DẪN GII: Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta cã:x+ y + z 3 xyz 1 xyz xyz 27 ¸p dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta cã ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 3 ( x + y ) ( y + z ).( x + z ) 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) DÊu b»ng x¶y x=y=z= VËy S 8 = 27 27 729 Vậy S có giá trị lớn nhÊt lµ x=y=z= 729 Bài 20: Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ x + y + z HƯỚNG DẪN GIẢI: Áp dơng B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) ( xy + yz + zx ) Ta cã ( x2 + y + z ) 2 ( x2 + y + z ) (1) Áp dơng B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) Ta cã ( x + y + z ) (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) → ( x + y + z ) 3( x + y + z ) Tõ (1) vµ (2) 3( x4 + y + z ) x4 + y + z LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 128 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 VËy x + y + z có giá trị nhỏ x=y=z= 3 Bài 21: Tìm số nguyên x,y,z thoả mÃn x2 + y + z xy + y + z − HNG DN GII: Vì x,y,z số nguyên nªn: x + y + z xy + y + z − x + y + z − xy − y − z + y2 y2 x − xy + + − 3y + 3 + z − 2z + ( ) y y x − + − 1 + ( z − 1) 2 2 (*) y y Mµ x − + − 1 + ( z − 1) x, y R 2 2 2 y y x − + − 1 + ( z − 1) = 2 2 y x − = x =1 y −1 = y = 2 z =1 z −1 = x =1 Các số x,y,z phải tìm y = z =1 Bài 22: Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ x + y2 biểu thức: M = xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1(không sử dụng BĐT Cơ Si) Ta có M = x + y ( x − xy + y ) + xy − y ( x − y ) + xy − y = = = xy xy xy ( x − y)2 3y +4− xy x Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy x = 2y y x x ≥ 2y −3 y −3 , dấu “=” xảy x = 2y x LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 129 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Từ ta có M ≥ + - = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 2: x2 + y x2 y x y x y 3x = + = + = ( + )+ Ta có M = xy xy xy y x 4y x 4y Vì x, y > , áp dụng bdt Cô si cho số dương x y x y x y + 2 =1 , ; ta có 4y x 4y x 4y x dấu “=” xảy x = 2y Vì x y x y x ≥ 2y = , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 3: Ta có M = x2 + y x2 y x y x y 3y = + = + = ( + )− xy xy xy y x y x x Vì x, y > , áp dụng BĐT Cô si cho số dương x 4y x 4y x 4y ; ta có + = y x y x y x dấu “=” xảy x = 2y −3 y −3 , dấu “=” xảy x = 2y x Từ ta có M ≥ 4- = , dấu “=” xảy x = 2y 2 Vậy GTNN M , đạt x = 2y Vì y x x ≥ 2y Cách 4: x2 x2 3x x x2 + y2 + y2 + + y2 + y2 x +y x 3x = Ta có M = = = + = + xy xy xy xy xy xy 4y 2 Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương x2 x2 x2 + y2 y = xy , ; y ta có 4 dấu “=” xảy x = 2y Vì x y x y x ≥ 2y = , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ 3 xy + = 1+ = , dấu “=” xảy x = 2y 2 xy LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 130 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Vậy GTNN M , đạt x = 2y Bài 23:Cho a,b,c số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh : a + b3 + c 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: = 4a + 4b3 + 4c ( a + b + c ) a + ( a + b + c ) b3 + ( a + b + c ) c a + b4 + c4 = a+b+c =4 Do đó, a3 + b3 + c3 4 = =2 4 Cách 2: Đặt x = a; y = b;z = c => x, y , z > x4 + y4 + z4 = BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3> 2 hay (x3 + y3 + z3 ) > = x4 + y4 + z4 x3( -x) + y3( -y)+ z3( -z) > (*) Ta xét trường hợp: - Nếu sô x, y, z tồn it nhât sô , giả sử x x3 2 Khi đo: x3 + y3 + z3> 2 ( y, z > 0) - Nếu sơ x, y, z nhỏ BĐT(*) đung Vậy x3 + y3 + z3> 2 CM Bài 24: Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: + 3 x y HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có x + 2y = x = – 2y , x dương nên – 2y > Xét hiệu 2 y + − 4y − 3y(3 − 2y) 6(y − 1)2 + −3 = + −3 = = ≥0 x y − 2y y y(3 − 2y) y(3 − 2y) ( y > – 2y >0) x 0,y x 0,y x = 1 dấu “ =” xãy x = − 2y x = + x 2y y = y − = y = LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 131 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 25: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d ac 2 b+d Chứng minh phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x là ẩn) ln có nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI: Xét phương trình:x2 + ax + b = (1) x2 + cx + d = (2) 1 + = (a − 4b) + (c − 4d ) = a − 2ac + c + 2ac − 2(b + d ) = (a − c) + 2ac − 2(b + d ) + Với b+d 0 >0 pt cho có nghiệm ac ac > 2(b + d) => 1 + b+d => Ít hai biểu giá trị 1 , => Ít hai pt (1) + Với b + d Từ (2) có nghiệm Vậy với a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d ac 2, b+d phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x ẩn) ln có nghiệm Bài 26: Khơng dùng máy tính cầm tay , tìm số ngun lớn khơng vượt q ( S, đóS = + ) HƯỚNG DẪN GIẢI: Xét hai số a = + b = - Ta có : a + b = ab = 1, 0< b < (a+b)3 = 43 = 64 => a3 + b3 = 64 - 3ab(a + b) = 64 - 3.1.4 = 52 (a3+b3)(a3 + b3) = 52.52 => a6 + b6 = 2704 - 2(ab)3 = 2704 - = 2702 => a6 = S = 2702 - b6 (*) Do 0 MN hay 1 AM > AB 1 CP > BC (*) (4) (5) Từ (4), (5), (6) suy ra: 1 1 1 1 BN + AM + BN + CP + CP + AM > AB + BC+ AC 3 3 3 2 2 (AM + BN + CP) > (AB + AC + BC) 3 (AB + BC + CA) < AM + BN + CP (**) Từ (*), (**) suy ra: (AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA 2 x − y − y = Bài 29: Giải Hệ PT (2 x + y − 1) x − y − = (4 x − y − 3) x + y HƯỚNG DẪN GIẢI: 2 x − y − y = 3(1) (2 x + y −1) x − y − = (2 x − y − −1) x + y (2) Từ (2) đặt x +2y = a ; 2x–y –1 = b (a:b 0) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 134 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Ta dc (2a-1) b =(2b –1) a ( a − b )(2 ab + 1) = a = b x = 3y + thay vào (1) ta dc 2y2 – y – 1= => y1 = ; y2 = –1/2 => x1 = ; x2 = –1/2 Thấy x2 + 2y2 = –1 < (loại) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4 ; 1) Bài 30: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh 1 + 1 xy xz HƯỚNG DẪN GIẢI: Vì x + y + z = nên suy x = – (y + z) Mặt khác: Thay 1 11 1 1 + + + x x dương (*) xy xz x y z y z x = – (y + z) vào (*) ta có : 2 1 1 + − ( y + z) − + y + − + z − y + − z 0 y z y z y z Luôn với x, y, z dương, dấu xảy chỉ : y = z = 1, x = Bài 31: Cho x; y R , thỏa mãn x2 + y2 = Tìm GTLN : P = x y+ HƯỚNG DẪN GIẢI: Từ x + y = −1 x, y − y + + Vì P = x y+ x = P( y + ) thay vào x + y = Đưa pt: ( P + 1) y + 2P y + 2P − = Dùng điều kiện có nghiệm pt bậc hai P PMax x = =1 y = − Bài 32:Giảiphươngtrình: + x − x = (2 + x ) − x HƯỚNG DẪN GII: Đặt x = t ; x = v §K v, t ≥ t + 2v = (2 + v).t (t − v)(t − 2) = t = v hc t=2 NÕu t= th× − x = x = (TM) NÕu t = v th× − x = x x = 3,5 Bài 33: Cho a,b,c số thực khác không thoả mãn: LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 135 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a (b a b (c c) 2017 b 2017 c c (a a) 2017 b) 2abc Hãy tính giá trị biểu thức Q a 1 2017 2017 2017 b c HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có: a (b b (c c) 2 a b a c b c ( a 2b b a) ab( a b) c (a a) b a (c a c (a (a b)(ab c2 (a b).(a c).(b b) c a c 2b) b) ac 2abc cb b 2c b) bc ) c) 2abc (2abc c (a 0 a 2c) 0 0 *TH1: a+ b=0 Ta có a b a 2017 a b 2017 c 2017 c b ta có Q 1 1 a 2017 b2017 c 2017 Các trường hợp lại xét tương tự Vậy Q a 1 2017 2017 2017 b c Bài 34: Cho x 0, y thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= −2 xy + xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: Ta có A = −2 xy xy 1 + xy 1 −A = = = + + xy + xy −A xy xy Vì x 0, y A − A 1 Amin − Amax −A −A Mặt khác ( x − y ) x + y xy xy Do (vì xy ) xy 1 + = Dấu “ = ” xảy x = y −A 2 x 0, y x=y= Từ x = y 2 x + y = 1 = − Vậy A = − x = y = Lúc A = 3 1+ −2 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 136 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Cách 2: Với x 0, y ta có x2 + y 2 xy xy + xy 2 + xy + xy Do A = −2 xy = −2 + −2 + = − + xy + xy 3 Dấu “=” xảy x = y x 0, y x=y= Từ x = y 2 x + y = Vậy A = − 2 x = y = Cách 3:Với x 0, y x2 + y = Ta ( có ) 2 2 −2 xy + xy − xy x + y − xy ( x − y ) A+ = + = = = 0 A− 3 + xy (1 + xy ) (1 + xy ) (1 + xy ) Dấu “=” xảy x = y = A+ 2 Vậy A = − x = y = 2 a a −2 xy 0; ( b ) + a + axy − 2bxy a x + y − ( 2b − a ) xy b b + xy ( ) a 2b − a a 2 a x + y − xy 2b − a = a b a = Bài 35:Cho số x,y thỏa mãn x 0; y x + y = Tìm giả trị lớn nhỏ A = x2 + y2 HƯỚNG DẪN GIẢI: * Tìm Min A Cách 1: ( x + y ) = x + xy + y = Ta có: ( x − y ) = x − xy + y Cộng vế với vế ta có: ( x + y ) ( x + y ) A Vậy Min A = 1 Dấu “=” xảy x = y = 2 Cách Từ x + y = x = − y Thay vào A ta có : 1 A = (1 − y ) + y = y − y + = 2( y − )2 + y 2 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 137 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Dấu « = » xảy : x = y = Vậy Min A = 1 Dấu “=” xảy x = y = 2 * Tìm Max A 0 x x x x2 + y x + y = Từ giả thiết suy y y 0 y Vậy : Max A = x = 0, y x − x + 3x − 4y − = Bài 36 : Giải hệ phương trình: x + 4y x + 2xy + 4y + = x + 2y HƯỚNG DẪN GIẢI: Từ (2) suy x + 2y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2(x + 4y2 ) = (12 + 12 )[x + (2y) ] (x + 2y) x + 4y (x + 2y) x + 2y = (3) Dấu xảy x = 2y Mặt khác, dễ dàng chứng minh được: Thật vậy, x + 2xy + 4y x + 2y (4) x + 2xy + 4y x + 2y x + 2xy + 4y (x + 2y) (do hai vế 3 ≥ 0) 4(x2 + 2xy + 4y2) ≥ 3(x2 + 4xy + 4y2) (x – 2y)2 ≥ (luôn x, y) Dấu xảy x = 2y Từ (3) (4) suy ra: x + 4y + x + 2xy + 4y x + 2y Dấu xảy x = 2y Do (2) x = 2y ≥ (vì x + 2y ≥ 0) Khi đó, (1) trở thành: x4 – x3 + 3x2 – 2x – = (x – 1)(x3 + 3x + 1) = x = (vì x3 + 3x + ≥ > x ≥ 0) y = Vậy nghiệm hệ cho (x = 1; y = ) Bài 37: Chứng minh Q = x − 3x3 + x − 3x + với giá trị x HƯỚNG DẪN GIẢI: Q = x − 3x + x − 3x + LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 138 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 = ( x4 − x3 + x2 ) + (1 − 3x + 3x2 − x3 ) = x2 ( x − 1)2 + (1 − x)3 3 = (1 − x)2 ( x − x + 1) = (1 − x)2 ( x − x + + ) = (1 − x)2 ( x − )2 + 0x 4 4 Bài 38: Trên cạnh hình chữ nhật đặt điểm tùy ý Bốn điểm tạo thành tứ giác có độ dài cạnh x, y, z , t Chứng minh rằng: 25 x2 + y2 + z2 + t2 50 Biết hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng HƯỚNG DẪN GIẢI: Giả sử hình chữ nhật có độ dài cạnh đặt hình vẽ Với: a, b, e, f a+b = e+f = 4; c, d, g, h c+d = g+h = Ta có: x = h2 + a ; y = b2 + c ; z = d + e2 ; t = f + g x + y + z + t = (a + b ) + (c + d ) + (e + f ) + ( g + h ) (*) 2 2 • Chứng minh: x + y + z + t 50 a, b Vì nên a + b (a + b) = 16 Tương tự: c + d 9; e2 + f 16; g + h 2 2 Từ (*) x + y + z + t 16 + + 16 + = 50 (1) 2 2 • Chứng minh: x + y + z + t 25 Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a- cớp – xki , ta có: (a + b)2 16 2 2 2 (1 + )(a + b ) (1.a + 1.b) a + b = 2 16 2 2 Tương tự: c + d ; e + f ; g + h 2 16 16 2 2 Từ (*) x + y + z + t + + + = 25 (2) 2 2 2 2 Từ (1) (2) 25 x + y + z + t 50 (đpcm) Bài 39: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x2 + y x + y Chứng minh rằng: x+ y 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 139 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 (x + y) ; x, y Nhận xét: xy (x + y) (x + y) 4xy (x − y) 0; x, y Thật vậy: xy (đúng) Do từ giả thiết: x + y x + y ( x + y)2 x + y + xy ( x + y)2 x + y + ( x + y)2 ( x + y)2 2( x + y) ( x + y )( x + y − 2) (*) Vì x + y x + y 0; x, y , nên ta xét trường hợp sau: • Nếu x2 + y = x = y = x + y = • Nếu x2 + y x + y , từ (*) suy ra: x + y − x + y Từ suy ra: x + y Dấu xảy x = y = Cách 2: Áp dụng BĐT Bu nhi a cốp xki: x, y , ta có: (1.x + 1.y)2 (12 + 12 )(x + y2 ) (x + y)2 2(x + y2 ) (x + y)2 2(x + y) (x + y)(x + y − 2) (*) Vì x + y x + y 0; x, y , nên ta xét trường hợp sau: • Nếu x2 + y = x = y = x + y = • Nếu x2 + y x + y , từ (*) suy ra: x + y − x + y Từ suy ra: x + y Dấu xảy x = y = Bài 40:Cho a,b hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2 + a − 2b + Chứng minh: + a + 2b HƯỚNG DẪN GIẢI: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: 1 1 + 2 + = (1) (bđt Côsi) a + 2b + a + b + 1 (a + 1)(b + ) 2 (a + 1)(b + ) + + a + 2b a +1+ b + (a + 1)(b + ) 2 (bđt Cô si) (2) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 140 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Từ (1) (2) suy ra: + + a + 2b Dấu “=” xảy chỉ : a + = b + a + b = a = b = 4 Bài 41: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + a b HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có (a + b) – 4ab = (a - b) (a + b)2 4ab (a + b) ab 4 1 P + , mà a + b 2 (a + b) (a + b) b a (a + b) ( a - b )2 = 4 a=b= P Dấu “ = ” xảy (a + b) 2 a + b = 2 Vậy: P = LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 141 ... qua A có hệ số góc m a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M N b) Xác định m để MN ngắn LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 45 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 46... pháp cộng đại số phương pháp dựa vào điều kiện tìm giá trị m để kết luận hệ phương trình có nghiệm LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 49 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 1: Đề thi vào 10 Phú Thọ... Đặt B = x+6−A LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 29 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Hàm số bậc 1.1 Khái niệm hàm số bậc Hàm số bậc hàm số cho cơng
Ngày đăng: 07/06/2021, 08:31
Xem thêm:
