Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Trường hợp 2: P đi qua A,B và cắt CD ⇒ P cắt CD tại trung điểm I của... Gọi E,F là hai điểm nằm trên giao tuyến [r]
(1)Chuyên đề VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chủ đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tọa độ véc tơ – Tọa độ điểm Cho a = ( x1 ;y ;z1 ) , b = ( x2 ;y ;z2 ) và số thực k Khi đó: * a ± b = ( x1 ± x2 ;y1 ± y ) * ka = ( kx1 ;ky ;kz1 ) x y z a b ⇔ a = kb ⇔ = = = k x2 y z2 x1 = x ⇒ a = b ⇔ y1 = y2 z = z * Chú ý: Nếu x2 = ( y = 0,z2 = 0) thì x1 = ( y = 0,z1 = 0) * |a |= x12 + y 12 + z12 * a.b = x1x2 + y 1y + z1z2 ⇒ a ⊥ b ⇔ x1x2 + y 1y + z1z2 = a.b * cos a,b = |a || b| ( ) Cho A = ( x A ;y A ;z A ) ,B = ( x B ;y B ;zB ) ,C ( xC ;y C ;zC ) ,D( x D ;y D ;zD ) Khi đó: * AB = ( xB − x A ;y B − y A ;zB − z A ) 2 * AB =| AB|= ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A ) x + x B y A + y B z A + zB * Trung điểm I đoạn AB: I = A ; ; 2 * Trọng tâm G ∆ABC : 429 (2) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh x + x B + x C y A + y B + y C z A + z B + zC G A ; ; 3 * Trọng tâm G tứ diện ABCD: x + xB + xC + x D y A + y B + y C + y D z A + zB + zC + zD G A ; ; 4 Tích có hướng hai véc tơ và ứng dụng → → a Định nghĩa: Cho a = ( x1 ; y ; z1 ) và b = ( x2 ; y ; z2 ) y z z x x y a,b = 1 ; 1 ; 1 y z z x x y 2 2 2 b Các tính chất: * a cùng phương b ⇔ a,b = * a,b ⊥ a và a,b ⊥ b * a,b = a b sin a,b c Các ứng dụng tích có hướng Diện tích tam giác: S ∆ABC = AB,AC Thể tích: * Hình hộp: VABCD.A'B'C'D' = AB, AD AA' * Tứ diện: VABCD = AB,AC AD ( ) ç Điều kiện véctơ đồng phẳng: * a,b,c đồng phẳng ⇔ a,b c = * A,B,C,D đồng phẳng ⇔ AB,AC AD = Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba vectơ: a = 2i + 3j − 5k, b = −3j + 4k, c = −i − 2j Chứng minh các véc tơ a,b,c không đồng phẳng và phân tích véc tơ u = (3;7; −14 ) qua ba vectơ a,b,c Lời giải Cách 1: Ta có: a,b = ( −3; −8; −6 ) ⇒ a,b c = + 16 = 19 ≠ Nên ba véc tơ a,b,c không đồng phẳng 430 (3) Cách Giả sử ba véc tơ a,b,c đồng phẳng Khi đó tồn hai số thực x,y cho a = x.b + y.c (1 ) − y = Mà xb + yc = ( −y; −3x − 2y;4x ) nên (1) ⇔ −3x − 2y = hệ này vô nghiệm 4x = −5 Vậy a,b,c không đồng phẳng Giả sử u = ma + nb + pc ( 2) Do ma + nb + pc = ( 2m − p;3m − 3n − 2p; −5m + 4n ) nên ( 2) tương đương với 2m − p = 3m − 3n − 2p = ⇔ m = 2,n = −1,p = −5m + 4n = −14 Vậy u = 2a − b + c Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (3; −2;4 ) Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (Oyz ) cho tam giác AEB cân E và có diện tích 29 với B ( −1;4; −4 ) Lời giải Vì E ∈ ( Oyz ) nên E ( 0;x;y ) Suy AE = ( −3;y + 2;z − ) , BE = (1;y − 4;z + ) ⇒ AE,BE = ( 8y + 6z − 8;4z + 8;10 − 4y ) AE2 = BE2 AE2 = BE2 Nên từ giả thiết bài toán ta có: ⇔ AE,BE = 29 AE,BE = 1044 2 AE2 = BE2 ⇔ + ( y + 2) + ( z − ) = + ( y − ) + ( z + ) ⇔ y = 2 2 4z + AE,BE = 1044 ⇔ ( 8y + 6z − )2 + (4z + 8)2 + (10 − 4y )2 = 1044 2 34 50z − 16 26 − 16z ⇔ + ( 4z + ) + − 1044 = ⇔ z = 2,z = − 3 25 • z = ⇒ y = nên E ( 0;3;2) 431 (4) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh • z=− 37 34 34 37 ⇒y=− nên 0; − ; − 25 25 25 25 Bài tập tự luyện Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A ≡ O,B ∈ Ox,D ∈ Oy,A' ∈ Oz và AB = 1,AD = 2, AA' = a Tìm tọa độ các đỉnh hình hộp b Tìm điểm E trên đường thẳng DD' cho B'E ⊥ A'C c Tìm điểm M thuộc A'C , N thuộc BD cho MN ⊥ BD,MN ⊥ A'C Từ đó tính khoảng cách hai đường thẳng chéo A'C và BD Hướng dẫn giải: a Ta có A ( 0;0;0) ,B(1;0;0) , D( 0;2;0) , A'( 0;0;3) Hình chiếu C lên ( Oxy ) là C , hình chiếu C lên Oz là A nên C (1;2;0) Hình chiếu B',C',D' lên mp(Oxy)và trục Oz là các điểm B,C,D và A' nên B'(1;0;3) , C'(1;2;3) , D'( 0;2;3) b Vì E thuộc đường thẳng DD' nên E ( 0;2;z ) , suy B'E = ( −1;2;z − 3) Mà A'C = (1;2; −3) nên B'E ⊥ A'C ⇔ B'E.A'C = ⇔ −1 + − 3( z − 3) = ⇔ z = Vậy E ( 0;2;4 ) c Đặt A'M = x.A'C; BN = y.BD Ta có AM = AA' + A'M = AA' + x.A'C = ( x;2x;3 − 3x ) , suy M ( x;2x;3 − 3x ) AN = AB + BN = AB + y.BD = (1 − y;2y;0) ⇒ N (1 − y;2y;0) MN.A'C = Theo giả thiết để bài, ta có: (∗) MN.BD = Mà MN = (1 − x − y;2y − 2x;3x − 3) , A'C = (1;2; −3) , BD = ( −1;2;0) 53 x= 1 − x − y + 4y − 4x − 9x + = −14x + 3y = −10 61 ⇔ ⇔ ( ∗) ⇔ − + + + − = − + = x y 4y 4x 3x 5y y = 44 61 53 106 24 17 88 Do đó M ; ; , N ; ;0 61 61 61 61 61 432 (5) Vì MN là đường vuông góc chung hai đường thẳng A'C,BD nên 61 61 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho A ( 4;0;0) , B ( x0 ;y ;0 ) x0 ,y > thỏa = 450 mãn AB = 10 và AOB d ( A'C,BD ) = MN = (1 − x − y )2 + (2y − 2x )2 + (3x − 3)2 = a Tìm C trên tia Oz cho thể tích tứ diện OABC b Gọi G là trọng tâm ∆ABO và M trên cạnh AC cho AM = x Tìm x để OM ⊥ GM Hướng dẫn giải: Ta có: OA = ( 4;0;0) , OB = ( x0 ;y ;0) ⇒ OA.OB = 4x0 ( x − )2 + y = 40 Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình sau: 4x0 = 2 x0 + y 2 2 x0 = x0 + y − 8x0 = 24 y = x0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ B ( 6;6;0) 2x0 = x20 + y 20 x0 − 4x0 − 12 = y = a Do C ∈ Oz ⇒ C(0;0;m), m > Ta có: OA = ( 4;0;0) , OB = ( 6;6;0) ⇒ OA,OB = ( 0;0;24 ) và OC = ( 0;0;m ) ⇒ OA,OB OC = 24m ⇒ VOABC = 24m = ⇔ m = ⇒ C ( 0;0;2) 10 b Ta có G ;2;0 , AM = xAC = ( −4x;0;2x ) ⇒ M ( − 4x;0;2x ) ⇒ OM = ( − 4x;0;2x ) ;GM = − 4x;2;2x 3 2 ⇒ OM ⊥ GM ⇔ OM.GM = ⇔ ( − 4x ) − 4x + 4x2 = 56 ± 19 x + = ⇔ 15x2 − 14x + = ⇔ x = 3 15 Cho hình chóp S.ABCD với điểm A ( 4; − 1;2) , B ( −1;0; − 1) và ⇔ 20x2 − C ( 0;0; − 2) , D(10; − 2;4 ) Gọi M là trung điểm CD Biết SM vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và thể tích khối chóp VS.ABCD = 66 (đvtt) Tìm tọa độ đỉnh S Hướng dẫn giải: Ta có AB ( −5;1; − 3) ,DC ( −10;2; − ) ⇒ DC = 2.AB nên ABCD là hình thang và S ADC = 2S ABC , hay S ABCD = 3S ABC Vì AB ( −5;1; − 3) , AC ( −4;1; − ) nên AB, AC = ( −1; − 8; − 1) , đó 433 (6) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh 66 66 AB, AC = ⇒ S ABCD = (đvdt) 2 3V Chiều cao khối chóp là SM = S.ABCD = 66 S ABCD Vì AB, AC ⊥ AB, AB, AC ⊥ AC nên giá véc tơ AB, AC vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , mà SM ⊥ ( ABCD) nên tồn số thực k cho: SM = k AB,AC = ( −k; − 8k; − k ) 2 Suy 66 = SM = ( −k ) + ( −8k ) + ( −k ) ⇔ k = ⇔ k = ±2 M là trung điểm CD nên M(5; − 1;1) ⇒ SM (5 − xS ; − − y S ;1 − zS ) • Nếu k = thì SM = (5 − xS ; − − y S ;1 − zS ) = ( −2; − 16; − 2) nên tọa độ điểm S S ABC = là S (7;15;3) • Nếu k = −2 thì SM = (5 − xS ; − − y S ;1 − zS ) = ( 2;16;2) nên tọa độ điểm S là S (3; − 17; − 1) Vậy tọa độ các điểm S cần tìm là S (7;15;3) S (3; − 17; − 1) Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Véc tơ pháp tuyến: Định nghĩa: Cho ( α ) Véc tơ n ≠ gọi là véc tơ pháp tuyến (VTPT) mp ( α ) giá n vuông góc với ( α ) , kí hiệu n ⊥ ( α ) Chú ý: *Nếu n là VTPT ( α ) thì kn (k ≠ 0) là VTPT ( α ) Vậy mp ( α ) có vô số VTPT * Nếu hai véc tơ a,b (không cùng phương) có giá song song (hoặc nằm trên) ( α ) thì n = a,b là véc tơ pháp tuyến ( α ) * Nếu ba điểm A,B,C phân biệt không thẳng hàng thì véc tơ n = AB, AC là VTPT mp ( ABC ) Phương trình tổng quát mặt phẳng: 434 (7) * Cho mp ( α ) qua M ( x0 ;y ;z0 ) , có n = ( A;B;C ) là VTPT Khi đó phương trình tổng quát ( α ) có dạng: A ( x − x ) + B ( y − y ) + C ( z − z0 ) = * Nếu ( α ) : Ax + By + Cz + D = thì n = ( A;B;C ) là VTPT ( α ) * Nếu A ( a;0;0) , B ( 0;b;0) , C ( 0;0;c ) thì phương trình ( ABC ) có dạng: x y z + + = và gọi là phương trình theo đoạn chắn ( α ) a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Cho hai mp ( P ) : Ax + By + Cz + D = và (Q ) : A’x + B’y + C’z + D’ = * ( P ) cắt (Q ) ⇔ A : B : C ≠ A’ : B’ :C’ A B C D = = ≠ A' B' C' D' A B C D *( P ) ≡ (Q ) ⇔ = = = A' B' C' D' *( P) / / (Q ) ⇔ * ( P ) ⊥ ( Q ) ⇔ AA'+ BB'+ CC' = Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M ( x0 ;y ;z0 ) đến mp ( P ) : Ax + By + Cz+D=0 là: d ( M, ( P ) ) = | Ax0 + By + Cz0 + D| A2 + B2 + C2 Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1;2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;1) và D( 0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B cho khoảng cách từ C đến ( P ) khoảng cách từ D đến (P) Lời giải Cách 1: Mặt phẳng ( P ) thoả mãn yêu cầu bài toán hai trường hợp sau: Trường hợp 1: ( P ) qua A,B song song với CD Véc tơ pháp tuyến ( P ) : n = AB,CD AB = ( −3; −1;2) , CD = ( −2;4;0) ⇒ n = ( −8; −4; −14 ) Phương trình ( P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 435 (8) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Trường hợp 2: ( P ) qua A,B và cắt CD ⇒ ( P ) cắt CD trung điểm I CD ⇒ I (1;1;1) ⇒ AI = ( 0; −1;0) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) : n = AB,AI = ( 2;0;3) Phương trình ( P ) : 2x + 3z − = Vậy ( P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = ( P ) :2x + 3z − = Cách 2: Giả sử ( P ) : ax + by + cz + d = −b + 2c a = a + 2b + c + d = Vì A,B ∈ ( P ) ⇒ ⇔ −2a + b + 3c + d = d = − 5b + 5c Do d (C, ( P ) ) = d ( D, ( P ) ) ⇔ 2a − b + c + d = 3b + c + d c= b ⇔|5b − c|=|2b − c|⇔ b = 15 * c = b ⇒ a = 2b;d = − b ⇒ ( P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = 2 * b = ⇒ a = c;d = − c ⇒ ( P ) :2x + 3z − = 3 Ví dụ Lập phương trình mặt phẳng ( α ) , biết : ( α ) qua M ( 2;3;1) và song song với mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 3z − = ; ( α ) qua A ( 2;1;1) ,B( −1; −2; −3) và ( α ) vuông góc với ( β ) : x + y + z = ; ( α ) chứa trục Ox và vuông góc với ( Q ) :2x + 3y − z + = Lời giải Ta có n = (1; −2;3) là VTPT ( P ) Vì ( α ) ( P ) nên n = (1; −2;3) là VTPT ( α ) Vậy phương trình ( α ) là: x − 2y + 3z + = Ta có a = (1;1;1) là VTPT ( β ) , AB = ( −3; −3; −4 ) Suy a,AB = ( −1;1;0) Vì ( α ) qua A,B và ( α ) ⊥ ( β ) nên ( α ) nhận n = a, AB = ( −1;1;0 ) làm VTPT Vậy phương trình ( α ) là: x − y − = Vì ( α ) chứa trục Ox và vuông góc với (Q ) nên ( α ) nhận n = a,i làm VTPT 436 (9) Trong đó i = (1;0;0) , a = ( 2;3; −1) là VTPT (Q ) nên n = ( 0;1;3) Vậy phương trình ( α ) là: y + 3z = Ví dụ Lập phương trình mặt phẳng ( α ) , biết : ( α ) qua A ( −1;1;1) ,B(3;0;2) và khoảng cách từ C (1;0; −2) đến ( α ) 2; ( α ) cách hai mặt phẳng ( P ) :2x + y + 2z − = 0, ( Q ) : x − 2y + 2z − = ( α ) qua giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) và (Q ) , đồng thời ( α ) vuông góc với mặt phẳng ( β ) :3x + 2y − z + = Lời giải Vì ( α ) qua A nên phương trình ( α ) có dạng: a ( x + ) + b ( y − ) + c ( z − ) = (1) Do B ∈ ( α ) nên ta có: 4a − b + c = ⇒ b = 4a + c Mặt khác d (C, ( α ) ) = ⇔ 2a − b − 3c a2 + b2 + c2 =2⇔ 2a + 4c a2 + ( 4a + c ) + c2 =2 ⇔ ( a + 2c ) = 17a2 + 8ac + 2c2 ⇔ 8a2 + 2ac − c2 = ⇔ c = −2a,c = 4a • c = −2a ta chọn a = ⇒ c = −2,b = nên phương trình ( α ) : x + 2y − 2z + = • c = 4a ta chọn a = ⇒ c = 4,b = nên phương trình ( α ) : x + 8y + 4z − 11 = Ta có M ( x;y;z ) là điểm bất kì thuộc ( α ) và d ( M, ( P ) ) = d ( M, ( Q ) ) ⇔ 2x + y + 2z − = x − 2y + 2z − 2x + y + 2z − = x − 2y + 2z − x + 3y + = ⇔ ⇔ 2x + y + 2z − = − x + 2y − 2z + 3x − y + 4z − = Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán: ( α1 ) : x + 3y + = và ( α2 ) :3x − y + 4z − = Gọi E,F là hai điểm nằm trên giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) và (Q ) Khi đó 2x + y + 2z − = tọa độ E,F là nghiệm hệ : (*) x − 2y + 2z − = Cho x = , từ (*) ta có y = −1,z = ⇒ E ( 0; −1;1) 437 (10) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Cho x = , từ (*) ta có y = −3,z = −4 ⇒ F ( 6; −3; −4 ) Suy EF = ( 6; −2; −5) Vì ( α ) qua E,F và vuông góc với ( β ) nên ( α ) nhận n = EF,a làm VTPT Trong đó a = (3;2; −1) là VTPT ( β ) nên n = (12; −9;18 ) Vậy phương trình ( α ) : 4x − 3y + 6z − = Bài tập tự luyện Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A (1;2;3) ,B( −2;3; −1) ,C ( 0;1;1) , D( −4; −3;5) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) biết: a ( α ) qua A và chứa Ox b ( α ) qua A,B và cách hai điểm C,D Hướng dẫn giải: a Vì mặt phẳng ( α ) chứa Ox nên phương trình ( α ) có dạng: ay + bz = với a2 + b2 ≠ Do A ∈ ( α ) nên: 2a + 3b = , chọn b = −2 ⇒ a = Vậy phương trình ( α ) :3y − 2z = b Cách 1: Vì (α ) cách C,D nên ta có hai trường hợp: TH1: CD ( α ) , đó AB,CD = n là VTPT ( α ) Mà AB = ( −3;1; −4 ) , CD = ( −4; −4;4 ) ⇒ n = ( −12;28;16 ) Trường hợp này ta có phương trình ( α ) là: 3x − 7y − 4z + 23 = TH 2: CD ∩ ( α ) = {I} , đó ta có I là trung điểm CD , suy I ( −2; −1;3) Mặt phẳng ( α ) qua A,B,I Ta có AI = ( −3; −3;0) ,BI = ( 0; −4;4 ) ⇒ AI,BI = ( −12;12;12) Trường hợp này ta có phương trình ( α ) là: x − y − z + = Cách 2: Vì ( α ) qua A nên phương trình ( α ) có dạng: a ( x − ) + b ( y − 2) + c ( z − 3) = ⇔ ax + by + cz − a − 2b − 3c = (*) Do B ∈ ( α ) nên −3a + b − 4c = ⇒ b = 3a + 4c (1) 438 (11) Mặt khác: d (C, ( α ) ) = d ( D, ( α ) ) nên ta có: −a − b − 2c a2 + b2 + c2 = −5a − 5b + 2c a2 + b2 + c2 a + b + 2c = 5a + 5b − 2c 4a + 3c = ⇔ ⇔ a + b + 2c = −5a − 5b + 2c a + c = • 4a + 3c = ta chọn c = −4 ⇒ a = 3,b = −7 , suy phương trình ( α ) là: 3x − 7y − 4z + 23 = • a + c = ta chọn c = −1 ⇒ a = 1,b = −1 , suy phương trình ( α ) là: x −y −z +4 =0 Viết phương trình mặt phẳng (α ) biết: a ( α ) qua A (1; −1;1) ,B( 2;0;3) và ( α ) song song với Ox , b ( α ) qua M (3;0;1) , N ( 6; −2;1) và ( α ) tạo với (Oyz ) góc ϕ thỏa Hướng dẫn giải: a Vì ( α ) song song với Ox nên phương trình ( α ) có dạng: cos ϕ = ay + bz + c = −a + b + c = c = −3b Do A,B ∈ ( α ) nên ta có: ⇔ , chọn b = −1 ⇒ a = 2,c = 3b + c = a = −2b Vậy phương trình ( α ) :2y − z + = b Vì M ∈ ( α ) nên phương trình ( α ) có dạng: a ( x − 3) + by + c ( x − 1) = ⇔ ax + by + cx − 3a − c = (1) Do N ∈ ( α ) ⇒ 3a − 2b = ⇒ b = a Mặt khác cos ϕ = a a2 + b2 + c2 = và i = (1;0;0) là VTPT (Oyz ) nên ta có: ⇔ 49a2 = a2 + a2 + c2 = 13a2 + 4c2 ⇔ c = ±3a Ta chọn a = ⇒ b = 3,c = ±6 Từ đó ta có phương trình ( α ) là: 2x + 3y + 6z − 12 = 2x + 3y − 6z = 439 (12) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh x −1 y z +2 = = và mặt −1 phẳng ( P ) : x − 2y + z = Gọi C là giao điểm ∆ với ( P ) , M là điểm thuộc ∆ Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : Tính khoảng cách từ M đến ( P ) , biết MC = Hướng dẫn giải: x = + 2t Cách 1: Phương trình tham số ∆ : y = t ,t ∈ z = −2 − t Tọa độ điểm C là giao điểm ( ∆ ) và ( P ) là nghiệm hệ : x = + 2t t = −1 y = t x = −1 ⇔ ⇒ C ( −1; −1; −1) z = −2 − t y = −1 x − 2y + z = z = −1 Điểm M ∈∆ ⇔ M (1 + 2t;t; −2 − t ) ⇒ MC = ⇔ ( 2t + 2) + ( t + 1) + ( t + 1) = 2 t = ⇒ M (1;0; −2) ⇒ d ( M;( P ) ) = ⇔ t = −2 ⇒ M ( −3; −2;0) ⇒ d ( M;( P ) ) = Cách 2: Đường thẳng ∆ có VTCP u = ( 2;1; −1) Mặt phẳng ( P ) có VTPT n = (1; −2;1) = cos u,n Gọi H là hình chiếu M lên ( P ) , suy cosHMC ( ) = d ( M, ( P ) ) = MH = MC.cosHMC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;0;1) , B( 0; −2;3) và mặt phẳng ( P ) : 2x − y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho MA = MB = Hướng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng (Q ) trung trực đoạn AB qua trung điểm I (1; −1;2) AB có phương trình: x + y − z + = 440 (13) Giao tuyến d ( P ) và (Q ) qua J ( 0;1;3) có VTCP u = ( 2;1;3) có phương x = 2t trình: y = + t và vì M ∈ ( P ) nên z = + 3t M ∈ d ⇒ M ( 2t;1 + t;3 + 3t ) AM = ⇔ ( − 2t ) + ( −1 − t ) + ( −2 − 3t ) = , giải phương trình này ta tìm 2 12 t = hay t = − Vậy M ( 0;1;3) hay M − ; ; 7 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho các điểm A (1;0;0) ,B( 0;b;0) , C ( 0;0;c ) đó b,c dương và mặt phẳng ( P ) : y − z + = Xác định b và c , biết mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ABC ) Hướng dẫn giải: x y z Phương trình ( ABC ) : + + = 1 b c 1 Vì ( ABC ) ⊥ ( P ) ⇒ − = ⇔ b = c ⇒ ( ABC ) : bx + y + z − b = b c b 1 = ⇔ b = (do b > ) Mà d (O, ( ABC ) ) = ⇒ b2 + Vậy b = c = là giá trị cần tìm Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng: a) Véc tơ phương đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ Véc tơ u ≠ gọi là véc tơ phương đường thẳng ∆ giá nó song song trùng với ∆ Chú ý 1.3.3: * Nếu u là VTCP ∆ thì k.u (k ≠ 0) là VTCP ∆ * Nếu đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B thì AB là VTCP * Nếu ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) và (Q ) thì nP ,nQ = u ∆ b) Phương trình tham số đường thẳng 441 (14) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ;y ;z0 ) và có VTCP u = ( a;b;c ) Khi đó phương trình đường thẳng ∆ có dạng: x = x0 + at y = y + bt z = z + ct t ∈ R (1) (1) gọi là phương trình tham số đường thẳng ∆, t gọi là tham số Chú ý 2.3.3 Cho đường thẳng ∆ có phương trình (1) * u = ( a;b;c ) là VTCP ∆ * M ∈ ∆ ⇔ M ( x0 + at;y + bt;z0 + ct ) Phương trình chính tắc: Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ;y ;z0 ) và có VTCP u = ( a;b;c ) với abc ≠ Khi đó phương trình đường thẳng ∆ có dạng: x − x y − y z − z0 = = (2) a b c (2) gọi là phương trình chính tắc đường thẳng ∆ Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng : x − x y − y z − z0 d: = = qua M ( x0 ;y ;z0 ) a b c x − x0, y − y 0, z − z0, có VTCP ud = ( a;b;c ) và d': = = qua a' b' c' M' x0, ;y 0, ;z0, có VTCP ud' = ( a';b';c') ( ) * Nếu ud ,ud' MM' = ⇒ d và d' đồng phẳng Khi đó xảy ba trường hợp i ) d và d' cắt ⇔ u,u' ≠ và tọa độ gia điểm là nghiệm hệ : x − x0 y − y z − z0 a = b = c , , , x − x0 = y − y = z − z0 a' b' c' u,u' = ii ) d d' ⇔ u,MM' ≠ 442 (15) u,u' = iii ) d ≡ d' ⇔ u,MM' =0 * Nếu u,u' MM' ≠ ⇒ d và d' chéo Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng Cho mp ( α ) : Ax + By + Cz + D = có VTPT nP = ( A;B;C ) và đường thẳng ∆ : x − x y − y z − z0 = = a b c có VTCP u ∆ = ( a;b;c ) và qua M0 ( x0 ;y ;z0 ) * ∆ cắt α ⇔ n và u ∆ không cùng phương ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ Khi đó tọa độ giao điểm là nghiệm hệ : (a) Ax + By + Cz + D = x − x y − y z − z0 (b) a = b = c Từ (b) ⇒ x = x0 + at,y = y + bt,z = z0 + ct vào (a) ⇒ t ⇒ giao điểm nP ⊥ u ∆ Aa + Bb + Cc = * ∆ / /(α ) ⇔ ⇔ M0 ∉ ( α ) Ax0 + By + Cz0 + D ≠ nP ⊥ u ∆ Aa + Bb + Cc = * ∆ ⊂ (α) ⇔ ⇔ M0 ∈ ( α ) Ax0 + By + Cz0 + D = * ∆ ⊥ ( α ) ⇔ nP và u ∆ cùng phương ⇔ nα = k.u ∆ Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng ∆ qua M0 , có VTCP u ∆ và điểm M∉ ∆ Khi đó để tính khoảng cách từ M đến ∆ ta có các cách sau: M0M,u Cách 1: Sử dụng công thức: d ( M, ∆ ) = |u| Cách 2: Lập phương trình mp ( P ) qua M vuông góc với ∆ Tìm giao điểm H (P) với ∆ Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm b) Khoảng cách giữ hai đường thẳng chéo nhau: 443 (16) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Cho hai đường thẳng chéo ∆ qua M0 có VTCP u ∆ và ∆ ' qua M0 ' có VTCP u ∆ ' Khi đó khoảng cách hai đường thẳng ∆ và ∆ ’ tính theo các cách sau: u ∆ ,u ∆ ' M0M'0 C 1: Sử dụng công thức: d(∆ , ∆ ') = u ∆ ,u ∆ ' C 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm C 3: Lập phương trình mp ( P ) qua ∆ và song song với ∆ ' Khi đó khoảng cách cần tìm là khoảng cách từ điểm bất kì trên ∆ ' đến (P) x −1 y +2 z +1 Ví dụ Trong hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : = = và điểm −3 A ( 2; −5; −6 ) Tìm tọa độ hình chiếu A lê đường thẳng ∆ Tìm tọa độ điểm M nằm trên ∆ cho AM = 35 Lời giải Ta có u = (2;1; −3) là VTCP đường thẳng ∆ Cách Gọi H là hình chiếu A lên đường thẳng ∆ , suy H (1 + 2t; −2 + t; −1 − 3t ) ⇒ AH = ( 2t − 1;t + 3; −3t + 5) Vì AH ⊥ ∆ ⇒ AH.u = ⇔ 2(2t − 1) + (t + 3) − 3( −3t + 5) = ⇔ 14t − 14 = ⇔ t = Vậy H (3; −1; −4 ) Cách Gọi ( P ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với ∆ Suy phương trình ( P ) :2x + y − 3z − 17 = Khi đó H = ∆ ∩ ( P ) nên tọa độ H 2x + y − 3z − 17 = là nghiệm hệ: x − y + z + , giải hệ này ta tìm H (3; −1; −4 ) = = −3 Vì M ∈∆ ⇒ M (1 + 2t; −2 + t; −1 − 3t ) ⇒ AM = ( 2t − 1;t + 3; −3t + 5) Nên AM = 35 ⇔ ( 2t − 1) + ( t + 3) + (3t − 5) = 35 ⇔ t − 2t = ⇔ t = 0,t = 2 • t = ⇒ M (1; −2; −1) • t = ⇒ M (5;0; −7 ) 444 2 (17) Ví dụ Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ , biết: ∆ qua hai điểm A (1;2;4 ) và B( −3;5; −1) x −1 y + z = = −1 ∆ là giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = và ( β ) :2y − z − = ∆ qua A (ở ý 1) và song song với đường thẳng d : ∆ nằm mặt phẳng ( α ) (ở ý 3) đồng thời ∆ cắt và vuông góc với đường thẳng d (ở ý 2) Lời giải Ta có AB = ( −4;3; −5) là VTCP đường thẳng ∆ x = − 4t Suy phương trình tham số đường thẳng ∆ là: y = + 3t , t ∈ z = − 5t Đường thẳng d có u = ( 2;1; −1) là VTCP Do ∆ / /d , suy u = ( 2;1; −1) là VTCP ∆ x = + 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ là: y = + t , t ∈ z = − t Cách 1: Ta có n1 = (1;1;1) và n2 = ( 0;2; −1) là VTPT ( α ) và ( β ) Do ∆ = ( α ) ∩ ( β ) , suy a = n1 ,n2 = ( −3;1;2) là VTCP ∆ x + y + z − = (*) Cho y = ⇒ x = z = , suy Xét hệ phương trình 2y − z − = M (1;1;1) ∈∆ x = − 3t Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ là: y = + t , t ∈ z = + 2t x + y + z − = Cách 2: Xét N ( x;y;z ) ∈∆ ⇔ N ∈ ( α ) ∩ ( β ) ⇔ 2y − z − = x = − 3t Đặt y = t , ta có: y = t ,t ∈ , đây chính là phương trình tham số ∆ z = −1 + 2t 445 (18) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Cách 3: Trong hệ (*) cho y = ⇒ z = −1,x = Do đó điểm E ( 4;0; −1) ∈∆ Hay ∆ ≡ ME , từ đó ta lập phương trình tham số ∆ là: x = − 3t ,t ∈ y = t z = −1 + 2t I ∈ d Gọi I = d ∩ ∆ , suy ⇒ I = d ∩ ( α ) , đó tọa độ I là nghiệm hệ I ∈ ( α ) x −1 y +2 z = = −1 , giải hệ này ta được: x = 5,y = 0,z = −2 hay I (5;0; −2) x + y + z − = ∆ ⊂ ( α ) Vì , suy v = u,n1 = ( 2; −3;1) là VTCP ∆ ∆ d x = + 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ là: y = −3t , t ∈ z = −2 + t x −3 y + z +1 = = và mặt −1 phẳng ( P ) : x + y + z + = Gọi giao điểm M ( d ) và ( P ) Viết phương Ví dụ Trong hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : trình đường thẳng ∆ nằm ( P ) vuông góc với ( d ) cho khoảng cách từ M đến ∆ 42 Lời giải Giao điểm M d và mp(P) là nghiệm hệ: x = x −3 y +2 z +1 = = −1 ⇔ y = −3 ⇒ M (1; −3;0) x + y + z + = z = Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa d vuông góc với mp ( P ) Theo giả thiết ta có ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) , với (Q ) là mặt phẳng vuông góc với mp ( α ) ,mp ( P ) và khoảng cách từ M đến (Q ) 42 Ta có ud = ( 2;1; −1) ;np = (1;1;1) là các véc tơ phương, pháp tuyến d,mp ( P ) 446 (19) Véc tơ pháp tuyến mp ( α ) : nα = ud ;np = ( 2; −3;1) Véc tơ pháp tyến mp ( Q ) : nq = nα ;np = ( 4;1; −5) Phương trình mp ( Q ) : 4x + y − 5z + a = Theo giả thiết ta có: d ( M, ( Q ) ) = 42 ⇔ 4.1 − 1.3 + a 42 + + 52 = 42 ⇔ + a = 42 ⇔ a = 41;a = −43 * Với a = 41 ⇒ ( Q ) : 4x + y − 5z + 41 = x = −13 + 2t Phương trình đường thẳng ∆ : y = 11 − 3t z = t * Với a = −43 ⇒ ( Q ) : 4x + y − 5z − 43 = x = 15 + 2t Phương trình đường thẳng ∆ : y = −17 − 3t z = t Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vho mặt phẳng ( P ) có phương trình x − 2y + 2z − = và hai đường thẳng d1 : x +1 y z + = = , 1 x −1 y −3 z +1 = = Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d1 cho −2 khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 và khoảng cách từ M đến mặt d2 : phẳng ( P ) Lời giải Cách 1: Giả sử M ( a;b;c ) là điểm cần tìm Vì M∈∆1 ⇒ a + b c + a = b − = = ⇒ 1 c = 6b − Khoảng cách từ M đến mp ( P ) là: d = d ( M;( P ) ) = a − 2b + 2c − 12 + ( −2) + 22 = 11b − 20 Gọi (Q ) là mp qua M và vuông góc với ∆2 , ta có: n(Q ) = u ∆2 = ( 2;1; −2) ⇒ ( Q ) : 2( x − a ) + 1( y − b ) − 2( z − c ) = 447 (20) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Hay ( Q ) :2x + y − 2z + 9b − 16 = Gọi H là giao điểm (Q ) và ∆2 ⇒ Tọa độ H là nghiệm hệ : 2x + y − 2z + 9b − 16 = ⇒ H ( −2b + 3; −b + 4;2b − 3) x −1 y −3 z +1 = = −2 ⇒ MH2 = (3b − ) + ( 2b − ) + ( 4b − ) = 29b2 − 88b + 68 2 Yêu cầu bài toán trở thành: MH2 = d2 ⇔ 29b2 − 88b + 68 = (11b − 20)2 ⇔ 261b2 − 792b + 612 = 121b2 − 440b + 400 b = ⇔ 140b − 352b + 212 = ⇔ 35b − 88b + 53 = ⇔ b = 53 35 18 53 Vậy có điểm thoả mãn là: M ( 0;1; −3) và M ; ; 35 35 35 x = − t ,t ∈ M ∈∆1 ⇒ M (1 − t;t; −9 + 6t ) Cách 2: ∆1 : y = t z = −9 + 6t ∆2 qua A (1;3; −1) và có VTCP u2 = ( 2;1;1) MA;u2 11t − 20 d ( M; ∆2 ) = = 29t − 88t + 68 ,d ( M;( P ) ) = u2 2 d ( M; ∆2 ) = d ( M;( P ) ) ⇔ 29t − 88t + 68 = ⇔ 35t − 88t + 53 = ⇔ t = 1,t = 11t − 20 53 ⇒M 35 Bài tập tự luyện Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;2;3) và đường thẳng x +1 y z −3 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A , vuông góc −2 với đường thẳng d và cắt trục Ox Hướng dẫn giải: Gọi M là giao điểm đường thẳng ∆ với Ox ⇒ M ( m; 0; 0) ⇒ AM ( m − 1; −2; −3) AM ⊥ d ⇒ AM.ad = ⇒ m = −1 ⇒ AM ( −2; −2; −3) d: 448 (21) Vậy phương trình ∆ là x −1 y −2 z −3 = = 2 x y −1 z Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : = = Xác định tọa 2 độ điểm M trên trục hoành cho khoảng cách từ M đến ∆ OM Hướng dẫn giải: Vì M ∈ Ox ⇒ M ( m;0;0) Đường thẳng ∆ qua N ( 0;1;0) có u = ( 2;1;2) là VTCP nên NM,u 5m2 + 4m + d ( M, ∆ ) = = u Nên d(M, ∆ ) = OM ⇔ 5m2 + 4m + = m ⇔ m2 − m − = ⇔ m = −1.m = Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M1 ( −1;0;0) , M2 ( 2;0;0) x −2 y +1 z = = và mặt −2 −1 phẳng ( P ) : x + y + z − = Gọi I là giao điểm ∆ và ( P ) Tìm tọa độ điểm M Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : thuộc ( P ) cho MI vuông góc với ∆ và MI = 14 Hướng dẫn giải: x −2 y +1 z = = Tọa độ điểm I là nghiệm hệ: −2 −1 ⇒ I (1;1;1) x + y + z − = Điểm M ∈ ( P ) ⇒ M ( x;y;3 − x − y ) ⇒ MI = (1 − x;1 − y; −2 + x + y ) Vectơ phương ∆ là a = (1; −2; −1) MI.a = Ta có : MI = 16.14 y = 2x − ⇔ 2 (1 − x ) + (1 − y ) + ( −2 + x + y ) = 16.14 x = −3 ⇒ y = −7 ⇒ M ( −3; −7;13) ⇔ x = ⇒ y = ⇒ M (5;9; −11) 449 (22) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆: x +2 y −1 z +5 = = −2 và hai điểm A ( −2;1;1) , B( −3; −1;2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho tam giác MAB có diện tích Hướng dẫn giải: M ∈∆ ⇒ M ( −2 + t;1 + 3t; −5 − 2t ) AB = ( −1; −2;1) ,AM = ( t;3t; −6 − 2t ) , AB,AM = ( t + 12; − t − 6; − t ) SMAB = ⇔ AB,AM = ⇔ ( t + 12)2 + ( −t − )2 + t = 2 ⇔ 3t + 36t = ⇔ t = t = −12 Vậy M ( −2;1; −5) hay M ( −14; −35;19) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 2;5;3) và đường thẳng x −1 y z −2 = = 2 a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A lên d d: b Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Hướng dẫn giải: a Đường thẳng d có ud = ( 2;1;2) là VTCP Gọi H là hình chiếu A lên d ⇒ H (1 + 2t;t;2 + 2t ) ⇒ AH = ( 2t − 1;t − 5;2t − 1) Do AH ⊥ d ⇒ AH.ud = ⇔ 2( 2t − 1) + t − + 2( 2t − 1) = ⇔ t = ⇒ H (3;1;4 ) b Gọi H' là hình chiếu A lên mp ( P ) Khi đó, ta có: AH' ≤ AH ⇒ d(A,(P)) lớn ⇔ H ≡ H' ⇔ (P) ⊥ AH ⇒ AH = (1; −4;1) là VTPT (P) và (P) qua H Vậy phương trình (P): x − 4y + z − = Trong không gian với hệ tọa độ x = −1 − 2t x y z d1 : = = ; d2 : y = t 1 z = + t a Xét vị trí tương đối d1 và d2 450 Oxyz , cho hai đường thẳng (23) b Tìm tọa độ các điểm M ∈ d1 , N ∈ d2 cho MN song song với mp ( P ) : x − y + z = và độ dài MN = Hướng dẫn giải: a Ta có d1 qua O(0;0;0) có VTCP u1 = (1;1;2) , d2 qua A ( −1;0;1) có VTCP u2 = ( −2;1;1) Vì u1 ;u2 OA = ≠ ⇒ d1 ,d2 chéo b Do M ∈ ( d1 ) ⇒ M ( t;t;2t ) ,N ∈ ( d2 ) ⇒ N ( −1 − 2s;s;1 + s ) MN ( P ) MN.np = Yêu cầu bài toán ⇔ ⇒ MN = MN = t = −s ⇔ 2 ( t − s ) + 4t + (1 − 3t ) = Giải hệ và kiểm tra điều kiện song song ta 4 8 1 3 M ; ; , N ; − ; thỏa mãn 7 7 7 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz a Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1;2;3) qua đường thẳng d1 : x −2 y + x −3 = = −1 b Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A , vuông góc với d1 và x −1 y −1 z +1 cắt d2 : = = −1 Hướng dẫn giải: a Mặt phẳng (α ) qua A (1;2;3) và vuông góc với d1 có phương trình: 2( x − 1) − ( y − 2) + ( z − 3) = ⇔ 2x − y + z − = Tọa độ giao điểm H (α ) với d1 là nghiệm hệ x − y + z − x = = = −1 ⇔ y = −1 ⇒ H ( 0; −1;2) z = 2x − y + z − = Ta có H là trung điểm AA' ⇒ A'( −1; −4;1) b Gọi ( α ) là mặt phẳng qua A (1;2;3) và vuông góc với d1 có phương trình 2( x − 1) − ( y − 2) + ( z − 3) = ⇔ 2x − y + z − = 451 (24) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Vì ∆ qua A vuông góc với d1 và cắt d2 nên ∆ qua giao điểm B d2 và (α ) Tọa độ giao điểm B là nghiệm hệ : x = x −1 y −1 z +1 = = ⇔ y = −1 ⇒ B( 2; −1; −2) −1 2x − y + z − = z = −2 Véc tơ phương ∆ : u = AB = (1; −3; −5) x −1 y −2 z −3 = = −3 −5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0;1;2) và hai đường thẳng Phương trình đường thẳng ∆ : x = + t x y −1 z +1 d1 : = = , d2 : y = −1 − 2t −1 z = + t a Viết phương trình mp ( P ) chứa A đồng thời song song với d1 ,d2 b Tìm tọa độ điểm M,N thuộc d1 ,d2 cho điểm A,M,N thẳng hàng Hướng dẫn giải: a Ta có u1 = ( 2;1; −1) ;u2 = (1; −2;1) là các véc tơ phương hai đường thẳng d1 ,d2 Véc tơ pháp tuyến mp ( P ) : n = u1 ;u2 = ( −1; −3; −5) Phương trình mp ( P ) qua A có véc tơ pháp tuyến n : mp ( P ) : x + 3y + 5z − 13 = Ta có B( 0;1; −1) ∈ d1 ;C (1; −1;2) ∈ d2 ;B,C ∉ ( P ) Vậy phương trình mp ( P ) : x + 3y + 5z − 13 = b Ta có: M ( 2t;1 + t; −1 − t ) ∈ d1 ;N (1 + s; −1 − 2s;2 + s ) ∈ d2 ⇒ AM = ( 2t;t; −3 − t ) ;AN = (1 + s; −2 − 2s;s ) A,M,N thẳng hàng ⇔ AM, AN cùng phương 2t = k (1 + s ) ⇔ t = k ( −2 − 2s ) ⇔ t = 0;s = −1 −3 − t = ks Vậy M ( 0;1; −1) ;N ( 0;1;1) Chủ đề 4: 452 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (25) Mặt cầu ( S ) tâm I ( a;b;c ) , bán kính R có phương trình : ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2 = R2 Phương trình (1) có thể biểu diễn cách khác sau: x2 + y + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = a2 + b2 + c2 − d > Với d = a2 + b2 + c2 − R ⇒ R = a2 + b2 + c2 − d Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;0;0) , C ( 0;4;0) ,S ( 0;0;4 ) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ giác OABC là hình chữ nhật, viết phương trình mặt cầu qua điểm O,B,C,S Tìm tọa độ A1 đối xứng với A qua SC Lời giải Tứ giác OABC là hình chữ nhật ⇒ OC = AB ⇒ B ( 2;4;0) Vì O,C cùng nhìn SB góc vuông nên trung điểm I (1;2;2) SB là tâm mặt cầu qua điểm O,B,S,C và bán kính R = SB = Vậy PT mặt cầu cần lập là: ( x − ) + ( y − 2) + ( z − 2) = 2 x = Ta có phương trình tham số SC : y = − 4t z = 4t Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên SC ⇒ H ( 0;4 − 4t;4t ) ⇒ AH = ( −2;4 − 4t;4t ) Vì AH ⊥ SC ⇒ AH.SC = ⇒ ( − 4t ) − 4.4t = ⇔ t = ⇒ H ( 0;2;2) Do H là trung điểm AA1 ⇒ A1 ( −2;4;4 ) Ví dụ Lập phương trình mặt cầu có tâm I (1; −1;1) biết qua đường thẳng 3x − 6y − z = = có hai mặt phẳng vuông góc với tiếp xúc với mặt cầu −3 453 (26) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh Lời giải Đường thẳng ( d ) : 3x − 6y − z = = là giao tuyến hai mặt phẳng , đó ( d ) −3 2x + 2y − z − = 0( P ) viết lại : ( d ) : x − 2y − 2z − = 0( Q ) I ∉(P) Dễ thấy và ( P ) ⊥ ( Q ) I ∈(Q) Do đó hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận mặt phẳng (Q ) làm mặt phân giác , đồng thời hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là mặt phân giác sinh ( P ) và (Q ) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là : x + 4y + z − = 0( α ) 2x + 2y − z − = x − 2y − 2z − ⇔ 3x − 3z − = 0( β ) Bán kính mặt cầu cần lập là : R = d( I/( α ) ) 1− +1−2 = 16 Oxyz , cho mặt cầu Phương trình mặt cầu cần lập là : ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = 2 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ (S ) : x2 + y + z2 − 4x − 4y − 4z = và điểm A ( 4;4;0) Viết phương trình mặt phẳng ( OAB ) , biết điểm B thuộc ( S ) và tam giác OAB Lời giải Cách 1: x2 + y 2B + z2B − 4xB − 4y B − 4zB = B B ∈ ( S ) và OAB nên OA2 = OB2 2 OA = AB x2 + y 2B + z2B = ( xB + y B + zB ) x + y + z = B B B B 2 2 2 ⇔ 32 = xB + y B + zB ⇔ xB + y B + zB = 32 2 2 2 32 = ( − x B ) + ( − y B ) + zB x B + y B + zB − ( x B + y B ) = zB = x B + y B + zB = ⇔ ⇔ x B + y 2B + z2B = 32 ⇔ xB + y B − 2x By B + z2B = 32 x + y = B B x B + y B = 454 ( ) (27) x B = xB = ⇔ y B = hay y B = z = z = B B TH 1: OA = ( 4;4;0) ,OB = ( 0;4;4 ) ⇒ OA,OB = (16; −16;16 ) Phương trình ( OAB ) : x − y + z = TH 2: OA = ( 4;4;0) ,OB = ( 4;0;4 ) ⇒ OA,OB = (16; −16; −16 ) Phương trình ( OAB ) : x − y − z = Cách 2: ( S ) có tâm I ( 2;2;2) , bán kính R = Nhận thấy O và A thuộc ( S ) Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = Khoảng cách d ( I;( P ) ) = R − r2 = OA = 3 ( P ) qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = 0, ( P ) qua A , suy b = −a 2( a + b + c ) 2c 2 ⇔ = hay = d ( I;( P ) ) = 2 2 a2 + b2 + c2 > , bình 3 a +b +c 2a + c phương vế rút gọn ta c = ±a Vậy có hai mặt phẳng cần tìm x − y + z = 0, x − y − z = Bài tập tự luyện x −1 y −3 z = = và mặt phẳng ( P ) :2x − y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : ∆ , bán kính và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) Hướng dẫn giải: x = + 2t Phương trình tham số đường thẳng ∆ : y = + 4t z = t I ∈ ( ∆ ) ⇒ I (1 + 2t; + 4t; t ) d ( I, ( P ) ) = ⇔ 2(1 + 2t ) − + 4t + 2t = ⇒ t = hay t = −1 Với I1 (5;11;2) ⇒ Phương trình mặt cầu (S ) : ( x − 5)2 + ( y − 11)2 + ( z − 2)2 = Với I2 ( −1; −1; −1) ⇒ Phương trình mặt cầu 455 (28) Luyện thi cấp tốc môn toán theo chuyên đề môn toán - Nguyễn Phú Khánh (S ) : ( x + 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 = Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 0;0; −2) và đường thẳng x +2 y −2 z +3 = = Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A ,cắt ∆ hai điểm B và C cho BC = Hướng dẫn giải: ∆ qua M ( −2;2; −3) và vtcp u = ( 2;3;2) ; AM,u d ( A, ∆ ) = =3 u ∆: Gọi H là hình chiếu A lên ∆ thì AH = và H là trung điểm BC nên BH = Vậy bán kính mặt cầu là AB = AH2 + BH2 = Nên PT mặt cầu là x2 + y + ( z + 2) = 25 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) có phương trình : 2x − 2y − z − = và mặt cầu ( S ) có phương trình : x2 + y + z2 − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (1;2;3) , bán kính R = 2− −3− Khoảng cách từ I đến ( P ) : d ( I, ( P ) ) = =3< R ⇒ mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn Gọi H, r là tâm và bán kính đường tròn đó ⇒ H là hình chiếu vuông góc I lên mặt phẳng ( P ) nên tọa độ H là nghiệm hệ x = + 2t x = y = − 2t ⇔ y = ⇒ H (3;0;2) z = − t z = 2x − 2y − z − = Bán kính r = R − IH2 = 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ x2 + y + z2 − 2x + 4y + 2z − = 2x − y + 2z − 14 = 456 và mặt Oxyz , cho mặt cầu phẳng (P) có phương (S ) : trình: (29) a Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa trục Ox và cắt ( S ) theo đường tròn có bán kính b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải: a Ta có: ( S ) : ( x − ) + ( y + 2) + ( z + 1) = 2 Tâm và bán kính mặt cầu: I (1; −2; −1) ,R = mp ( Q ) cắt ( S ) theo đường tròn có bán kính r = ⇒ I ∈ ( Q ) Cặp véc tơ có giá nằm mp (Q ) : OI = (1; −2; −1) ,i = (1;0;0) Véc tơ pháp tuyến mp ( Q ) : n = OI;i = ( 0; −1;2) Phương trình mp ( Q ) : y − 2z = b Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với mp ( P ) Giả sử d cắt mặt cầu ( S ) hai điểm A,B Giả sử d ( A, ( P ) ) ≥ d ( B, ( P ) ) thì với M ∈ ( S ) thì d ( M, ( P ) ) lớn M ≡ A x −1 y + z +1 = = −1 2 Tọa độ giao điểm d và (S) là nghiệm hệ: Phương trình đường thẳng d : ( x − )2 + ( y + 2)2 + ( z + 1)2 = x −1 y +2 z +1 = = −1 Giải hệ ta tìm tọa độ hai giao điểm: A ( −1; −1; −3) , B (3; −3;1) Ta có d ( A, ( P ) ) = > d ( B, ( P ) ) = Vậy maxd ( M, ( P ) ) = M ( −1; −1; −3) 457 (30)