Đang tải... (xem toàn văn)
Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng mộ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ LỚP
I BIỂU THỨC ĐẠI SỐ - GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ: 1 Lý thuyết:
Để tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trước biến, ta thay giá trị cho trước vào biểu thức thực phép tính
2 Phương pháp giải:
- Bước 1: Thu gọn biểu thức đại số (nếu có)
- Bước 2: Thay giá trị x, y, … có giá trị BẰNG SỐ vào biểu thức đại số - Bước 3: Thực phép toán +, -, x, :, lũy thừa, % tính kết 3 Bài tập:
Bài 1: Viết biểu thức đại số biểu diễn: a Một số tự nhiên chẵn
b Một số tự nhiên lẻ c Hai số lẻ liên tiếp d Hai số chẵn liên tiếp Giải:
a 2k; b 2x + 1; c 2y + 1; 2y + 3; d 2z; 2z + (z N)
Bài 2: Cho biểu thức 3x2 + 2x - Tính giá trị biểu thức x = 0; x = - 1; x =3
1
Giải:
Tại x = ta có 3.0 + 2.0 - = - Tại x = - ta có - - =
Tại x =
ta có 3.9
+
- =
3
Bài 3: Tính giá trị biểu thức
a
a a
với a = - 1; b
5
y y
với y =
c
1
2
a b a
với a = 1
; b =
; d
2
2
y y y
y
với y =
Giải:
a Ta có:
3
5
; b = - 9,5
Tương tự c d 84 379
(2)a Với giá trị biến giá trị biểu thức x
2; - 2; 0; b Với giá trị biến giá trị biểu thức sau
7 ) ( ; ) ( ; 3 ; x x x x x x x x Giải:
a x
= 2x + = 10 x = 4,5
5 x
= - x = - 5,5
5 x
= x = - 2
5 x
= x = 9,5
b 1
1 x x x
;
3 x x
0; ) ( x x x x x ; 0 ) ( x x x x
Bài 5: Tính giá trị biểu thức: a) A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3
1
;
2
x y
b B = x2 y2 + xy + x3 + y3 x = –1; y = 3
Giải
Thay
1
;
2
x y
vào biểu thức 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3
Ta : 3 1 +6
2 1
+3
3 1 - 8 +
1 6 -
1 18 =
1 72 Vậy 72
giá trị biểu thức
1
;
2
x y
b B = x2 y2 + xy + x3 + y3 x = –1; y = 3
Thay x = –1; y = vào biểu thức x2 y2 + xy + x3 + y3
Ta : (-1) 2.32 +(-1).3 + (-1) 3 + 33 = -3 -1 + 27 = 32
Vậy 32 giá trị biểu thức x = –1; y = Bài : Tính giá trị biểu thức :
A = x2 + 4xy - 3y3 với x = 5; y = 1
Giải :
(3)Ta : 52 + 4.5.1 -3.13 = 25 + 20 - = 42
Vậy 42 giá trị biểu thức x = ; y = Bài : Tính giá trị biểu thức:
2x2y + 2xy2 x = y = -3
Thay x = ; y = -3 vào biểu thức 2x2y + 2xy2
Ta : 2.12.(-3) +2.1(-3) 2 = -6 + 18 = 12
Vậy 12 giá trị biểu thức x = ; y = -3
Bài 8: Tính giá trị biểu thức: x
2 x x M
2
tại: x = -1
Thay x = -1 vào biểu thức: x
2 x x M
2
Ta được:
2
2.( 1) 3( 1)
( 1)
M
= - -2 = -3
Vậy -3 giá trị biểu thức x = -1
Bài 9: Xác định giá trị biểu thức để biểu thức sau có nghĩa:
a/ x
1 x
2
; b/ x
1 x
2
; Giải:
a) Để biểu thức x
1 x
2
có nghĩa x2 -2 => x 2
b) Để biểu thức x
1 x
2
có nghĩa x2 +1 mà x2 +1 với xnên biểu thức
trên có nghĩa với x
Bài 10: Tìm giá trị biến để biểu thức (x+1)2 (y2 - 6) có giá trị 0
Giải:
Để biểu thức (x+1)2 (y2 - 6) = thì
(x+1)2 = => x + = => x = -1
Hoặc y2 – = => y =
II ĐƠN THỨC - ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG: A ĐƠN THỨC:
I LÝ THUYẾT: 1 Đơn thức:
+ Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến
2 Đơn thức thu gọn:
(4)+ Các bước thu gọn đơn thức
+ Bước 1: Xác định dấu thay cho dấu có đơn thức Dấu dấu "+" đơn thức không chứa dấu "-" hay chứa số chẵn lần dấu "-" Dấu dấu "-" trường hợp ngược lại
+ Bước 2: Nhóm thừa số số số nhân chúng với
+ Bước 3: Nhóm biến, xếp chúng theo thứ tự chữ dùng kí hiệu lũy thừa để viết tích chữ giống
3 Bậc đơn thức thu gọn
+ Bậc đơn thức có hệ số khác khơng tổng số mũ tất biến có đơn thức
+ Số thực khác đơn thức bậc không Số coi đơn thức khơng có bậc 4 Nhân đơn thức
+ Để nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với nhân phần biến với II BÀI TẬP:
Bài 1: Thu gọn đơn thức sau cho biết phần hệ số, phần biến đơn thức:
a,
2
1
xy z -5xy
5 b,
3 1
x - y y y
3
c,
2
1
- x y y z x
3
d,
2
2
2 x y z -x y z
e,
k n
n n+1 n k k k+1
a b c a b c k,n
Bài giải:
a,
2 2
1
xy z -5xy -5 x.x y y z = -x y z
5
, phần hệ số: -1, phần biến: x y z2
b,
3 1 1 3
x - y y y = - x y.y y = - x y
3 5 15
, phần hệ số:
1 15
, phần biến: x y3
c,
2 7
1 2
- x y y z x = - x x y.y z = - x y z
3 5 15
, phần hệ số:
2 15
, phần biến: x y z9
d,
2
2 4 12 4 12 8 16 14 12
2x y z -x y z = 4x y z x y z = x x y y z z = x y z
, phần hệ số: 4, phần biến: x y z16 14 12
e,
k n k n+1 n k+1
n n+1 n k k k+1 nk nk nk nk nk nk+k nk+n
a b c a b c = a b c a b c = a b c
, phần hệ số: 1, phần biến a2 nk.b2 nk+k.c2 nk+n
Bài 2: Tính tích đơn thức sau tìm bậc đơn thức thu được:
a, -7 x yz2
2 3 xy z b, xy ; 2 x y
2
4 - yz
5
c, xyz; -15x y z2
3
1
x y z 14
Bài giải:
a,
2 3 2 3
-7 x yz xy z = -7 x x y.y z.z = -3x y z
7
(5)b,
2
2 2 2 4
1 1
xy x y - yz = xy x y - yz = - x y z
4 4 20
, bậc đơn thức: 14
c,
2 15 11 10
xyz -15x y z x y z
14 14x y z , bậc đơn thức: 27
Bài 3: Tính giá trị đơn thức sau:
a, x y3 x = -1,
-1 y =
3
b,
3
1 - x y
5 x = -2, y = 1
c,
2
4 ax y
9 x = -6, y = -1, a số
Bài giải:
a, Tại x = -1,
-1 y =
3
3
3 1
9 x y
3 27
b, Tại x = -2, y =
3 2
1 1
- x y
5 5
c, Tại x = -6, y = -1
2
2
4 4
ax y = a -6 -1 = a.36 -1 = -16a
9 9
Bài 4: Những biến thức sau, biến thức vào đơn thức a 2,5xy3; x + x3- 2y; x4; a + b
b - 0,7x3y2; x3 x2; - 4
3
x2yx3; 3,6
Giải: Những biến thức đơn thức
2,5xy3; x4; - 0,7x3y2; x3 x2; - 4
3
x2yx3; 3,6
Bài 5: Thu gọn đơn thức.
a 5x3yy2 c 5xy2(-3)y
b
a2b3 2,5a3 d 1,5p.q.4p3.q2
Giải:
a 5x3yy2 = 5(y3.y.y2) = 5y6
b
a2b3 2,5a3 =
.2,5
4
a2.a3.b2 = 8
15
.a5.b6
c 5xy2(-3)y = - 15xy3
d 1,5p.q.4p3.q2 = 1,5 (P.P3.q.q2) = 6p4.q3
(6)a - 120x5y4 b 60x6y2
c -5x15y3 d 2x12y10
Giải:
a - 120x5y4 = - 6y2 20x5y2
b 60x6y2 = 3x 20x5y2
c - 5x6y2 = - 4
1
x 20x2y2
d 2x12y10 = 10
1
x7y8 20x5y2
Bài 7: Tính giá trị đơn thức sau: a 15x3y3z3 x = 2; y = - 2; z = 3
b -
x2y3z3 x = 1; y = - 2
1
; z = -
c
ax3y6z x = - 3; y = - 1; z = 2
Giải:
a 15.23 (- 2)2 32 = 15 (- 8) = - 8640
b -
12
3
2
(- 2)3 = - 3
1
c
a (- 3)3 (- 1)6 = - 5 a
108
Bài 8: Điền đơn thức thích hợp vào dấu
a 3x2y3 + = 5x2y3; b - 2x4 = - 7x4
c + + = x5y3
Giải:
a 3x2y3 + 2x2y3 = 5x2y3
b - 5x4 - 2x4 = - 7x4
c
x5y3 + 3
1
x2y3 + 3
1
x5y3 = x5y3
B ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG: I LÝ THUYẾT :
1 Định nghĩa đơn thức đồng dạng:
+ Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác khơng có phần biến + Lưu ý: số khác coi đơn thức đồng dạng với
2 Cộng, trừ đơn thức đồng dạng:
+ Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến
(7)Bài 1: Tính tổng đơn thức sau tính giá trị biểu thức tìm x = 1; y = −1; z = −1
a,
2 2
x + x + -5x
b,
2 2
6 0,5
5
xy xy xy
c, x y z + 3x y z2 2 2 d,
2 2
14x yz 23x yz 3x yz
Bài giải:
a,
2 2 2 2
x + x + -5x = x + x - 5x = 3x
Tại x = 3x2 3.12 3
b,
2 2 2 67
6xy + xy + 0,5xy = 6xy + xy + xy = xy
5 10
Tại x = 1, y = -1 2
67 67 67
xy 1
10 10 10
c, x y z + 3x y z = 10x y z2 2 2 2 2
Tại x = 1, y = -1, z = -1
2
2 2
10 x y z 10.1 1 10
d,
2 2 2 2
14x yz- -23x yz + 3x yz = 14 x yz+ 23x yz+ 3x yz = 40 x yz
Tại x = 1, y = -1, z = -1 40 x yz 40.1 12 2 40 Bài 2: Tính hiệu đơn thức sau:
a,
2
7 x yz x yz
7
b,
2 2
1
xy - xy + - xy
4
c, xyz- xyz+ 5xyz- xyz d,
2
2 4 4 4
1
x y 5x y - x y 23x y
2
Bài giải:
a,
2 -52
-7 x yz- x yz = x yz
7
b,
2 2 2 2
1 1 -21
xy - xy + - xy = xy - xy - xy = xy
4 5 20
c, xyz- xyz+ 5xyz- 6xyz = -4xyz
d,
2
2 4 4 4
1
x y 5x y - x y 23x y
2
Bài 3: Thu gọn biểu thức sau tính giá trị biểu thức: a, A = x - x + - x - 3x2 3 x =
b, B = 4x- y+ x+ 3y+ - 23 x =4, y = 13 Bài giải:
a,
2 3 2 3
A = x - x + - x - 3x = 2x - x + -4 x - 3x + = x - x +
Tại x = A = x - x + 12 2 7.13 7
b,
3
(8)Tại x = 4, y = 13 B = 13x- y 13.4 4.13 0
Bài 4: Cho hai đơn thức M = xy x z3
2
1
N x yxy z
a, Rút gọn đơn thức
b, Hai đơn thức M N có đồng dạng khơng? c, Tính M + N, M - N
Bài giải:
a,
3 2 3
M = xy x z = x.x y z x y z
2 2 3
1 -1
N = - x yxy z = x x y.y z = - x y z
2 2
b, Hai đơn thức M N có đồng dạng chúng có phần biến
c,
3 3 3 3
M+ N = x y z+ - x y z = x y z
2
3 3 3
M N = x y z x y z = x y z
2
Bài 5: Với giá trị m hai đơn thức sau đồng dạng:
2 3 m-1
-3 a bc -2 a bc3 5-m Bài giải:
Có
2 3 m-1 3 m-1
-3 a bc = 9a bc -2 a bc3 5-m = -8a bc3 5-m
Để hai đơn thức đồng dạng chúng có phần biến cm-1 = c5-m m-1 = - m
2m = m =
Vậy với m = hai đơn thức
2 3 m-1
-3 a bc -2 a bc3 5-m
đồng dạng Bài 6: Thực phép nhân phân thức
a 5xy2 0,7y4z 40x2z3 b - 0,5ab(-15
1
a2bc) 5c2b3
c - 1,2ab.(- 10a2.b.c2) (- 1,5a2c); d - 0,32a7b4.(-38
1
a3b6)
Giải:
a 5xy2 0,7y4z 40x2z3= 0,7 40.x.x2.y2.y4.z.z3 = 196x3y6z4
Tương tự ta có:
b 3a3c3b5; c - 1,8a3b2c3; d 0,04a10b10
Bài 7: Hãy xếp đơn thức sau thành nhóm đơn thức đồng dạng.
3a2b; 2ab3; 4a2b2; 5ab3; 11a2b2; - 6a2b; - 5
1
ab3
Giải: Ta có: 3a2b; - 6a2b
2ab3; 5ab3; - 5
1
ab3
4a2b2; 11a2b2
(9)A ĐA THỨC: I LÝ THUYẾT:
1 Khái niệm đa thức:
+ Đa thức tổng hai hay nhiều đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức
+ Nhận xét:
- Mỗi đa thức biểu thức nguyên - Mỗi đơn thức đa thức
2 Thu gọn số hạng đồng dạng đa thức:
+ Nếu đa thức có chứa đơn thức đồng dạng ta thu gọn đơn thức đồng dạng để đa thức thu gọn
+ Đa thức gọi thu gọn đa thức khơng cịn hai hạng tử đồng dạng
3 Bậc đa thức
+ Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức
4 Phương pháp giải: nhóm hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ hạng tử đồng dạng.
II BÀI TẬP:
Bài 1: Sắp xếp đa thức sau theo lũy thừa giảm dần biến a, 5x - x + x - 8x + 97 11
b, 45y +17 y - y + y -133y + 72 y +17 c, 15z + 8z - 4z +12z +17z +1836
Bài giải :
a, 5x - 6x + x - 8x + -8x7 11 115x + x - 6x + 97
b, 45 y +17 y - y + y -133y + 72 y +1 45 y +17 y + y -133y + 72 y - y 17 2 c, 15z + 8z - 4z +12z +17 z +183 8z 15z +17 z +12z - 4z 1836 7 3
Bài 2: Sắp xếp đa thức sau theo lũy thừa tăng dần biến a, x + x - 55x +18x - 42 x7
b, y- + y +12 y -18 y + 22 y2 c, 6z5 6z2 6z36z4 6z6
Bài giải :
a, 4x + x - 55x +18x - 42 x7 -42 x + 2x - 55x2 64x +18x7
b, y- + y +12 y -18 y + 22 y2 -4 y+ 5y -18 y + 22 y +12 y c, 6z + 6z + 6z + 6z + 6z+ = + 6z+ 6z + 6z + 6z + 6z5 4
Bài 3: Thu gọn đa thức sau tìm bậc chúng: a, 5x yz+ 8xyz - 3x yz- xyz + x yz+ xyz2 2 2
b,
3 3
1
- y + x y- y - y - x y
2
c,
1 1 1
x- x- y- x- y
(10)d, x + x y - 5x y + x x +1089 7
e, 45xy + 28xy-16 x y - xy -14 xy+ 22 x y2 4 f, 12 x y - 6xy + 8x yz- 23x y + xy - x yz4 7 g, x3 y3 z3 x3 y3 z3 1
Bài giải :
a, 5x yz+ 8xyz - 3x yz- xyz + x yz+ xyz2 2 2
2 2 2
2
= 5x yz- 3x yz+ x yz + 8xyz - xyz + xyz = 3x yz+ 8xyz
Bậc đa thức:
b,
3 3
1
- y + x y- y - y - x y
2
3 2
3 2
3 2
1
= - y + x y- y - y - x y
2
1
= - y - y + x y- x y - y
2
= -5y + x y- y
Bậc đa thức:
c,
1 1 1
x- x- y- x- y
3
1 1 1
= x- x- x + - y- y
3
1 12
= - x- y
12 35
Bậc đa thức:
d, x + x y - 5x y + x x +1089 7
9 7
9 7
9
= x + x y - 5x y + 6x +108 = x + x + x y - 5x y +108 = 8x - 4x y +108
Bậc đa thức: 11
e, 45xy + 28xy-16 x y - xy -14 xy+ 22 x y2 4
2 4
2
= 45xy - xy + 28xy-14 xy + -16 x y + 22 x y = 38xy +14 xy+ x y
Bậc đa thức:
f, 12 x y - xy + 8x yz- 23x y + xy - x yz4 7
4 2 7 3
4
= 12 x y - 23x y + -6 xy + 6xy + 8x yz- x yz = 11x y + x yz
(11)g, x3 y3 z3 x3 y3 z3 1
3 3 3
3
= x + x + y - y + z + z +1 = 2x + 2z +1
Bậc đa thức:
Bài 4: Tính giá trị đa thức sau:
a, xy + 2x y - 5x y +15xy3 2 x = -2, y = -1 b, x y + 3x y + xy -10 xy2 2 x = 1, y2 = 1
c, xyz- xyz+ 5xyz- xyz x1;y2 4;z2 d, x - 3x+ x + 22 x 2
e, x - 2020 x + 2020 x - 2020 x + 2020 x- 20205 x = 2020 Bài giải :
a, Tại x = -2, y = -1
3 2
3 2
7 xy + x y - 5x y +15xy
7 2 15
14 80 30 88
b, Có y2 1 y1
Tại x = 1, y = x y + 3x y + xy -10 xy2 2 1 12 3.1 12 7.1.1 10.1.13 1 Tại x = 1, y = -1
2 4 3 6
2 2 2
x y + 3x y + xy -10xy 1 1 3.1 1 7.1 1 10.1 1 13
c, xyz- xyz+ 5xyz- xyz x1;y2 4;z2 Có xyz- 4xyz+ 5xyz- xyz -4 xyz
Có y2 4 y2
Tại x = 1, y = 2, z = -4 xyz 1.2.2 16 Tại x = 1, y = -2, z = -4 xyz 2 16 d, Có x 2 x 32
Tại x 2 x5 x - 3x+ x + 52 3.5 6.5 2 762
Tại x 32 x1 x - 3x+ 6x + 12 2 3.1 6.1 3 2
(12)
5
5
5
4
3
3
x - 2020x + 2020x - 2020 x + 2020 x- 2020
2020 2020.2020 2020.2020 2020.2020 2020.2020 2020
2020 2020 2020 2020 2020 2020
2020 2020 2020 2020
2020 2020 2020 2020
2020 2019 2020.2019 2019 20
3
2
20 2020
2019.2020 2020
B CỘNG, TRỪ ĐA THỨC: I LÝ THUYẾT :
+ Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp hạng tử hai đa thức với dấu chúng thu gọn hạng tử đồng dạng (nếu có)
+ Muốn trừ hai đơn thức, ta viết hạng tử đa thức thứ với dấu chúng viết tiếp hạng tử đa thức thứ hai với dấu ngược lại Sau thu gọn hạng tử đồng dạng hai đa thức (nếu có)
II BÀI TẬP:
Bài 1: Thu gọn đa thức
a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4
b 3xx4 + 4xx3 - 5x2x3 - 5x2x2
c 3a.4b2 - 0,8b 4b2 - 2ab 3b + b 3b2 - 1
d 5x2y2 - 5x.3xy - x2y + 6xy2
Giải:
a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 = 2a2x3 - a2x3 - ax3 + ax3 - a4 + 2a4 = a2x3 + a4
b 3x5 - 5x5 + 4x4 - 5x4 = - 2x5 - x4
c 12ab2 - 6ab2 - 3,2b2 + 3b3 - = 6ab2 - 0,2b3 - 1
d 10xy2 + 6xy - 15x2y - x2y = 16xy2 - 16x2y
Bài 2: Tìm giá trị biểu thức.
a 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a với a = - 2
b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y với x = 1; y = - 1
Giải:
Ta có: 6a3 - 8a3 + 4a3 - a10 + a10 + a = 2a3 + a
a Với a = - giá trị biểu thức là: 2(- 2)3 + (- 2) = - 16 - = - 18
b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y
Với x = 1; y = - ta có:
- 3.(1)6 (- 1)3 + 12 (- 1)2 - = + - =- 3
(13)a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) b (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3)
c (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3)
Giải:
a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z b Làm giống câu a
c 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy
Bài 4: Cho đa thức
A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1
B = - 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y
C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + 5
Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C xác định bậc đa thức Giải:
A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y
= 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: có bậc hai
A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + + 3x2 - 4xy + 7y2
- 6x + 4y + = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: có bậc hai
A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: có bậc hai
Bài 5: Cho đa thức.
A = 4x2 - 5xy + 3y2; B = 3x + 2xy + y2
C = - x2 + 3xy + 2y2
Tính A + B + C; B - C - A; C - A - B Giải:
A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2)
= 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2
B - C - A = (3x + 2xy + y2) - (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2)
= 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2
C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2)
= - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 - 3x2 - 2xy - y2 = - 8x2 + 6xy - 2y2
IV ĐA THỨC MỘT BIẾN - CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN : A ĐA THỨC MỘT BIẾN :
II BÀI TẬP: I LÝ THUYẾT
1 Khái niệm đa thức biến :
(14)+ Bậc đa thức biến khác đa thức không (đã thu gọn) số mũ lớn biến có đa thức
3 Hệ số, giá trị đa thức:
+ Hệ số cao hệ số số hạng có bậc cao + Hệ số tự số hạng không chứa biến
+ Giá trị đa thức f(x) x = a kí hiệu f(a) có cách thay x = a vào đa thức f(x) thu gọn lại
4 Phương pháp giải : Đa thức biến
Bước 1: nhóm hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ hạng tử đồng dạng. Bước 2: xác định hệ số cao nhất, bậc đa thức thu gọn.
II BÀI TẬP:
Bài 1: Cho đa thứcP x 5x5 4x2 3x3 x 25x6 3x7 2x8 a, Sắp xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b, Tìm hệ số tự do, hệ số cao đa thức
c, Tìm bậc đa thức
d, Tính giá trị P(x) x = -1 Bài giải:
a, P x 2x8 3x7 x65x5 3x3 4x2 x 25
b, Hệ số tự đa thức: - 25, hệ số cao đa thức: c, Bậc đa thức:
d, P(-1) = -32
Bài 2: Cho đa thứcQ x x4 4x32x 1 5x2
a, Sắp xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa tăng dần biến b, Tìm hệ số tự do, hệ số cao đa thức
c, Tìm bậc đa thức
d, Tính giá trị Q(x) x = Bài giải:
a, Q x 1 2x5x2 4x3x4
b, Hệ số tự đa thức: 1, hệ số cao đa thức: 1T c, Bậc đa thức:
d, Q(2) = 73
Bài 3: Cho đa thức: M y y6 6y4 3y2 5y2 Viết đa thức dạng tổng của đa thức
Bài giải:
6 6 2 6 4 2 1
M y y y y y y y y y y y
M(x) viết dạng tổng hai đa thức y6 6y4 2y 2
Bài 4: Cho hai đa thức f x x4 5x2 1 g x x3 4x2 1 So sánh f(1) g(-3) Bài giải:
1 14 5.12 1
f
3 33 3 2 10
g
Vậy f(1) < g(-3)
(15)Bài giải: f 0 a.0 b b b1 2 2 14
f a b , thay b = ta có:
13
14
2
a a
Vậy đa thức cần tìm là:
13
f x x
Bài 6: Tìm bậc đa thức sau: a 5x6 - 2x5 + x4 - 3x3 - 5x6 + x2 + 5
b 15 - 2x2 + x3 + 2x2 - x3 + x
c 3x7 + x4 - 3x7 + x5 + x +
d - 2004 Giải:
a - 2x5 + x4 - 3x3 + x2 + có bậc 5
b 15 + x có bậc
c x5 + x4 + x + có bậc 5
d - 2004 có bậc Bài 7:
a Viết đa thức sau theo luỹ thừa tăng biến tìm bậc chúng f(x) = - 6x4 + 2x3 + x + 5x4 + x2 + 3x3
g(x) = x5 + x4 - 3x + - 2x4 - x5
b Viết đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần biến tìm hệ số bậc cao nhất, hệ số tự chúng
h(x) = 5x2 + 9x5 - 7x4 - x2 - 6x5 + x3 + 75 - x
g(x) = 2x3 + - 7x4 - 6x3 + 3x2 - x5
Giải: a Ta có:
f(x) = + x + x2 + 5x3 - x4 có bậc 4
g(x) = - 3x - x4 có bậc 4
b Ta có: h(x) = 3x5 - 7x4 + x3 + 4x2 - x + 75
Hệ số bậc cao h(x) 3, hệ số tự 75 g(x) = - x5 - 7x4 - 4x3 + 3x2 + 5
Hệ số bậc cao g(x) - 1, hệ số tự Bài 8: Đơn giản biểu thức sau:
a (a2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a2 - 1,2a) - (1,6a2 - 2a)
b (y2 - 1,75y - 3,2) - (0,3y2 + 4) - (2y - 7,2)
c 6x2 - 2x2 - (7x2 + 4x + 1) - (x - 2x2 - 1)
d -(2a3 - a2 + a) + 3a3 - 4a - (5a2 - a3)
(16)a a2 + 0,8a2 - 1,6a2 - 0,45a - 1,2a + 2a + 1,2 = 0,2a2 + 0,35a + 1,2
b y2 - 0,3y2 - 1,75y - 2y - 3,2 + 7,2 = 0,7y2 - 3,75y + 4
c 4x2 - 7x2 + 2x2 - 4x - x - + = - x2 - 5x
d - 2a3 + 3a3 + a3 + a2 - 5a2 - a - 4a = 2a3 - 4a2 - 5a
B CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN: I LÝ THUYẾT:
+ Để cộng, trừ hai đa thức biến, ta thực theo hai cách sau: - Cách Thực theo cách cộng, trừ đa thức học Cộng, trừ đa thức
- Cách Sắp xếp hạng tử hai đa thức theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) biến, đặt phép tính theo cột dọc tương tự cộng, trừ số (chú ý đặt đơn thức đồng dạng cột)
* Phương pháp: Cộng trừ đa thức biến.
Bước 1: thu gọn đơn thức xếp theo lũy thừa giảm dần biến. Bước 2: viết đa thức cho hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau. Bước 3: thực phép tính cộng trừ hạng tử đồng dạng cột. Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]
II BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hai đa thức f x 3x2 x x4 x3 x2 2x g x x4 2x2x3 a, Sắp xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến
b, Tìm hệ số tự do, hệ số cao hai đa thức c, Tìm bậc hai đa thức
d, Tính h(x) = f(x) + g(x) k(x) = g(x) - f(x)
e, Tính h(-2) k(3) so sánh hai kết vừa tìm Bài giải:
a, f x x4 x3 2x2 3x; g x x4 x3 2x2
b, Hệ số tự đa thức f(x) 0; hệ số tự đa thức f(x) 0; hệ số cao f(x) 1; hệ số cao g(x)
c, Đa thức f(x) có bậc đa thức g(x) có bậc d,
2
4
4
2
2
2
h x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x
4
3
2
2
2
k x x x x x x x x
x x x x x x x
x x
e,
4
2 2 42
h
3 2.33 3.3 45
k
Vậy h(-2) < k(3)
(17)b, Tìm hệ số tự do, hệ số cao hai đa thức c, Tìm bậc hai đa thức
d, Tính h(x) = g(x) - 2f(x) k(x) = 3g(x) + f(x)
e, Tính h(4) k(-5) so sánh hai kết vừa tìm Bài giải:
a, f x 6x3 2x2 x g x; 2x3x2 x4
b, Hệ số tự đa thức f(x) 0, hệ số tự đa thức g(x) 4; hệ số cao đa thức f(x) 6; hệ số cao đa thức g(x) -2
c, Bậc đa thức f(x) 3; bậc đa thức g(x) d, Tính h(x) = g(x) - 2f(x) k(x) = 3g(x) + f(x)
3
3
2
2 12 12
14 13
h x x x x x x x
x x x x x x
x x x
3
2
3
6 3 12
2 12
k x x x x x x x
x x x x x x
x x
e, h 4 14.4313.42 3.4 4 696 5 52 5 12 57
k
Vậy h(4) < k(-5)
Bài 3: Cho hai đa thức f x x42x2 x3 g x 3x 2x2 2x34 a, Sắp xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến b, Tìm hệ số tự do, hệ số cao hai đa thức
c, Tìm bậc hai đa thức
d, Tính h(x) = f(x) + 2g(x) k(x) = 2g(x) + f(x) - h(x) Bài giải:
a, f x x4 x3 2 ;x g x2 2x3 2x2 3x4
b, Hệ số tự f(x) 0; hệ số tự g(x) 4; hệ số cao f(x) 1; hệ số cao g(x) -2
c, Bậc đa thức f(x) 4, bậc đa thức g(x) d,
4 3
4
2 2
2 4
3
h x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
Có h(x) = 2g(x) + f(x) => k(x) = 2g(x) + f(x) - h(x) = h(x) - h(x) =
Bài 4: Cho hai đa thức f x 5x4 2x3x2 g x x5 7x4 3x2 9x37 a, Sắp xếp hạng tử đa thức theo lũy thừa giảm dần biến
b, Tìm đa thức m(x) thỏa mãn: 2m(x) + f(x) = 3m(x) - g(x)
c, Chỉ hệ số cao nhất, hệ số lũy thừa bậc 2, hệ số tự bậc đa thức m(x) Bài giải:
a, f x 5x4 2x3x2 4; g x x5 7x4 9x3 3x2 7
(18)
4
5
5 ( 7)
5
12
m x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
c, Hệ số cao m(x) -1; hệ số lũy thừa bậc m(x) - 2; hệ số tự m(x) 3; bậc đa thức m(x)
Bài 5: Tìm đa thức:
a, f x ax b , biết f(0) = f(2) = -9 b, f x ax b , biết f(1) = f(-2) =
c, f x ax2 bx c , biết f(2) = 0, f(1) = 6, f(0) = 13 Bài giải:
a, Có f(0) = a.0 + b = b =3 => b =
Có f(2) = a.2 + b = -9, thay b = ta có a.2 + = -9 => a = -6 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -6x +
b, Có f(1) = a.1 + b = => b = - a
Có f(-2) = a.(-2) + b = 8, thay b = - a ta có a.(-2) + - a =
7 10
3
a b
Vậy đa thức cần tìm là:
7 10
( )
3
f x x
c, Có f(0) = a.0 + b.0 + c = 13 => c = 13
Có f(2) = a.4 + b.2 + c = => c = - 4a - 2b = => -2b = 4a <=> b = -2a
Có f(1) = a.1 + b.1 + c = => c = - a - b, mà b = -2a, c = 13 => 13 = - a + 2a <=> a = => b = -14
Vậy đa thức cần tìm là: f x 7x2 14x13 Bài 6: Cho đa thức
f(x) = + 3x - + 3x4; g(x) = - x3 + x2 - x + - x4
Tính f(x) + g(x); f(x) - g(x)
Giải: f(x) + g(x) = + 3x - + 3x4 + (- x3 + x2 - x + - x4)
= 2x4 + x2 + 2x - 1
Tương tự: f(x) - g(x) = 4x4 + 2x3 - x2 + 4x - 3
Bài 7: Cho đa thức
P(x) = x2 + 5x4 - 3x3 + x2 + 4x4 + 3x3 - x + 5
Q(x) = x - 5x3 - x2 - x4 + 4x3 - x2 + 3x - 1
a Thu gọn xếp đa thức theo luỹ thừa giảm biến b Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x)
Giải:
a P(x) = - x + 2x2 + 9x4
Q(x) = - + 4x - 2x2 - x3 - x4
b P(x) + Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) + (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) = 10x4 - x3 + 3x + 4
(19)= 9x4 + 2x2 - x + - x4 + x3 + 2x2 - 4x + = 8x4 + x3 + 4x2 - 5x + 6
Bài 8: Cho đa thức
f(x) = 2x4 - x3 + x - + 5x5
g(x) = - x3 + 5x2 + 4x + + 3x5
h(x) = x2 + x + + x3 + 3x4
Hãy tính: f(x) + g(x) + h(x); f(x) - g(x) - h(x) Giải:
f(x) + g(x) + h(x) = 8x5 + 5x4 + 6x2 + 6x
f(x) - g(x) - h(x) = 2x5 - x4 - 2x3 - 6x2 - 4x - 6
Bài 9: a Chứng minh hiệu hai đa thức
0,7x4 + 0,2x2 - - 0,3x4 + 5
1
x2 - 8
luôn dương với giá trị thực x b Tính giá trị biểu thức
(7a3 - 6a3 + 5a2 + 1) + (5a3 + 7a2 + 3a) - (10a3 + a2 + 8a) với a = - 0,25
Giải: a Ta có:
(0,7x4 + 0,2x2 - ) - (0,3x4 + 5
1
x2 - 8)
= 0,7x4 + 0,2x2 - + 0,3x4 - 5
1
x2 + 8
= x4 + 3x R
b 7a3 - 6a3 + 5a2 + + 5a3 + 7a2 + 3a - 10a3 - a2 - 8a
= - 4a3 + 11a2 - 5a + 1
Với a = - 0,25 giá trị biểu thức là: 4(- 0,25)3 + 11 (- 0,25)2 - 5.(- 0,25) + 1
= 4(- 0,015625) + 11 (- 0,0625) - 1,25 + = 0,0625 - 0,6875 - 0,25 = - 0,875
Bài 10: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến
a
2 0,6
5 , ,
x x x
x
b 1,7 - 12a2 - (2 - 5a2 + 7a) + (2,3 + 7a2 + 7a)
c - b2 - (5b - 3b2) + (1 + 5b - 2b2)
(20)a
x2 - 0,4x - 0,5 - + 5
2
x - 0,6x2 = - 1,5
b 1,7 - 12a2 - + 5a2 - 7a + 2,3 + 7a2 + 7a
= (- 12a2 + 5a2 + 7a2) - 7a + 7a + 1,7 - + 2,3 = 2
c - b2 - 5b + 3b2 + + 5b - 2b2
= - b2 + 3b2 - 2b2 - 5b + 5b + + = 2
Bài 11: Chứng minh rằng: A + B - C = C - B - A Nếu A = 2x - 1; B = 3x + C = 5x Giải:
A + B - C = 2x - + 3x + - 5x = 5x - - + = C - B - A = 5x - 3x + - 2x - = 5x - 3x - 2x + - =
Vậy A + B - C = C - B - A Bài 12: Chứng minh hiệu hai đa thức
7 1
1
x x x
x
0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - 7
3
nhận giá trị dương
Giải:
Ta có: (
4 1
1
x x x
x
) - (0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - 7
3
)= = x4 + x2 + x
Bài 13: Cho hai đa thức sau:
f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
a Tính f(x) + g(x) b Tính f(x) - g(x) Giải:
a Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn
b Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an
g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn
f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)+ an - bn
(21)+ Nếu x = a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a (hoặc x = a) nghiệm đa thức Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm
2 Phương pháp giải:
1 Kiểm tra số cho trước có nghiệm đa thức biến không Phương pháp:
Bước 1: Tính giá trị đa thức giá trị biến cho trước
Bước 2: Nếu giá trị đa thức giá trị biến nghiệm đa thức 2 Tìm nghiệm đa thức biến
3 Bài tập:
Bài 1: Tìm nghiệm đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3)
Giải:
Nghiệm đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3) thoả mãn
(x2 + 2) (x2 - 3) =
3
0
0
2
2
x x
x x
Bài 2: Tìm nghiệm đa thức a) x2 - 4x + 5
b x2 + 1
A x = - 1; B x = 0; C
x = 1; D vô nghiệm
c x2 + x + 1
A x = - 3; B x = - 1; C
x = 1; D vô nghiệm
Giải: a
Vì x2 - 4x + = (x - 2)2 + + > 1
Do đa thức x2 - 4x + khơng có nghiệm
b
vì x2 + + > 1
Do đa thức x2 + khơng có nghiệm
c
vì x2 + x + =
3 4 2
x
Do đ thức x2 + x + khơng có nghiệm
Bài 3: Trong hợp số 1;1;5;5 số nghiệm đa thức, số không nghiệm đa thức P(x) = x4 + 2x3 - 2x2 - 6x + 5
Giải:
(22)P(-1) = - - + + =
P(5) = 625 + 250 - 50 - 30 + = 800 P(- 5) = 625 - 250 - 50 + 30 + = 360
Vậy x = nghiệm đa thức P(x), số 5; - 5; - không nghiệm đa thức
Bài 4: Tìm nghiệm đa thức sau:
f(x) = x3 - 1; g(x) = + x3
f(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1
Giải:
Ta có: f(1) = 13 - = - = 0, x = nghiệm đa thức f(x)
g(- 1) = + (- 1)3 = - 1, x = - nghiệm đa thức g(x)
g(- 1) = (- 1)3 + 3.(- 1)2 + (- 1) + = - + - + = 0
Vậy x = nghiệm đa thức f(x) Bài 5:
a Chứng tỏ đa thức f(x) =
x4 + 3x2 + khơng có nghiệm
b Chứng minh đa thức P(x) = - x8 + x5 - x2 + x + khơng có nghiệm
Giải:
a Đa thức f(x) khơng có nghiệm x = a f(a) =
a4 + 3a2 + dương
b Ta có: P(x) = x5(1 - x3) + x(1 - x)
Nếu x - x3 0; - x nên P(x) <
Nếu x P(x) = - x8 + x2 (x3 - 1) + (x - 1) <