Tuyển chọn các bài toán hình học phẳng hay và khó phần 2 copy đã chuyển đổi

Tailieumontoan.com Bài 51 Cho ta giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) Quay tam giác ABC góc 900 quanh O ta thu tam giác A1 B1C1 Tính diện tích phần chung hai tam giác ABC A1 B1C1 Bài 52 Cho tứ giác lồi nội tiếp ABCD có đường trịn nội tiếp tâm I Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh AO AI = CO CI Bài 53 Cho tam giác ABC có góc A  90 AC = 2AB Đường phân giác AD cắt đường cao BH K (D thuộc BC, H thuộc AC) Đường thẳng CK cắt AB E Chứng minh tam giác ABC vuông B diện tích hai tam giác BDE HDE Bài 54 Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ Gọi D, E F tâm đường tròn nội tiếp tam giác AB’C’, BC’A’ CA’B’ Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF theo độ dài cạnh tam giác ABC A D B' C' I F E B A' C Bài 55 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) có đường cao AD, BE, CF Tìm cơng thức liên hệ diện tích tam giác ABC với chu vi tam giác DEF Bài 56 Cho tam giác ABC có diện tích S ngoại tiếp đường tròn ( O; r ) Kẻ ba tiếp tuyến đường tròn ( O; r ) gồm tiếp tuyến song song với BC cắt CA, AB M, N; tiếp tuyến song song với CA cắt AB, BC P, Q; tiếp tuyến song song với AB cắt BC, AC R, S Chứng minh ta ln có SMNPQRS  S Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 57 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O; R ) ba đường trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh 1 + +  ma m b m c R A A N P P M B N C O P' B A' N' C M A' Bài 58 Cho tam giác nhọn ABC có diện tích S BC = a Trên cạnh BC lấy điểm D cho DB = k Tính diện tích tam giác có đỉnh tâm đường tròn ngoại tiếp tam DC giác ABC, ABC, ACD theo a, k, S A O2 R N M O1 K O F Q C G D P E H B Bài 59 Cho tam giác ABC có ; rb ; rc bán kính đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Gọi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Chứng minh + rb + rc = 4R + r Bài 60 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Chứng minh tổng bình phương khoảng cánh từ điểm đường trịn đến cạnh tam giác ABC bình phương đường cao tam giác Bài 61 Cho tam giác ABC có m a ,l b ,l c p theo thứ tự độ dài đường trung tuyến hạ từ đỉnh A, độ dài đường phân giác hạ tứ đỉnh B, C nửa chu vi tam giác Chứng minh ma + l b + lc  p Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 62 Cho tam giác nhọn ABC có , h b , h c l a ,l b ,l c tương ứng đường cao đường phân giác hạ từ đỉnh A, B, C Gọi r R bán kính đường trịn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:  A  h b B  h C r − sin  c − sin    − sin   l b  l c  4R  la Bài 63 Cho hình vng ABCD có cạnh a hai điểm M, N thay đổi BC, CD cho góc MAN = 450 Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tam giác AMN Bài 64 Cho hình chữ nhật ABCD có AB  BC Vẽ nửa đường trịn đường kính AB nửa mặt phẳng chứa CD có bờ đường thẳng AB Gọi M điểm nửa đường trịn ( M  A, B ) Các đường thẳng MA MB cắt CD P Q Các đường thẳng MC, MD cắt đường thẳng AB E F Xác định ví trí M để PQ + EF có giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ A E B F N M D Q C P Bài 65 Trong tam giác nội tiếp đường tròn ( O; R ) cho trước, tìm tam giác có chu vi lớn nhât Bài 66 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Chứng minh rằng: AB − CD  AC − BD Bài 67 Cho tam giác ABC đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA F, D, E Gọi M giao điểm BC với đường phân giác góc BIC N giao điểm EF với đường phân giác góc EDF Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 68 Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác nhọn ABC Đường tròn ( O ) tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA theo thứ tự F, E, D Đường phân giác góc BOC cắt BC I AI cắt EF K Chứng minh KD  4DE.DE − EF2 Bài 69 Cho tam giác ABC với cạnh AB = c, BC = a, CA = b ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r Gọi A1 , B1 , C1 tiếp điểm đường tròn I với cạnh BC, CA, AB Các tia AI, AI, CI cắt đường tròn tâm I A’, B’, C’ Đặt Ai Bi = c i , B1C1 = a1 , C1A1 = b1 với i = 1, Chứng minh a 32 b22 c 32 216r , dấu  abc a12 b12 c12 đẳng thức xẩy nào? A A2 B1 C1 I C2 B2 B A1 C Bài 70 Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Các tiếp tuyên với (O) song song với cá cạnh ram giác ABC với sáu điểm M, N, P, Q, R, S cho M,S  AB; N,P  AC; Q,R  BC Gọi l1 , l , l đường phân giác xuất phất từ đỉnh A, B, C tam giác AMN, BSR, CPQ Gọi p nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh 1 81 + +  l12 l 22 l 23 p2 A l1 M N P S O l3 l2 B Nguyễn Công Lợi R Q C Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 71 Cho tam giác ABC có BC = a; CA = b; AB = c Gọi O R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi Ia ; I b ; I c tâm đường trịn bàng tiếp góc A, B, C Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: OIa OI b OI c 1  + +  2R ( a + b )( a + c ) ( b + c )( a + b ) ( c + a )( b + c ) 4r Bài 72 Cho đường tròn tâm O bán kính R dây cung BC(với BC  R ) Điểm A di động cung lớn BC điểm D di động cung nhỏ BC Xác định vị trí A D để 1 đạt giá trị nhỏ + + DA DB DC Bài 73 Cho đường tròn (O; R) điểm I nằm bên đường tròn Gọi AC BD hai dây cung qua I Xác định vị trí AC BD để AB.AD + BC.CD AB.BC + DA.CD đạt giá trị lớn giá trị nhỏ Bài 74 Cho đường tròn ( O ) điểm P cố định nằm đường trịn ( O ) (P khơng trùng với O) Hai dây cung AC BD thay đổi đường trịn ( O ) vng góc với P Tìm vị trí dây cung AC BD cho diện tích tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất, nhỏ Bài 75 Cho đường tròn ( O ) điểm P cố định nằm đường trịn ( O ) (P khơng trùng với O) Hai dây cung AC BD thay đổi đường tròn ( O ) vng góc với P Tìm vị trí dây cung AC BD cho chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất, nhỏ Bài 76 Cho tam giác ABC có BC = a,CA = b,AB = c Gọi r ,rb ,rc bán kính đường nội tiếp bấn kính đường bàng tiếp góc A, B, C tam giác ABC Chứng minh abc a b c  + + r rb rc Bài 77 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) ngoại tiếp đường trịn có bán kính r Gọi O1 ,R ; O ,R ; O ,R theo thứ tự tâm bán kính đường trịn tiếp xúc ngồi với đường trịn (O) đồng thời tiếp xúc với AB, AC; BC, BA; CA, CB tương ứng Chứng minh R + R + R  12r Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 78 Cho tam giác ABC khơng cân có AD BE đường phân giác Chứng minh A−B góc nhọn tạo hai đường thẳng AB DE không vượt qua Bài 79 Cho tam giác ABC đường tròn ( O ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA E, D, F Đường bàng tiếp tâm Q tiếp xúc với BC, AB, AC K, H, P Đường thẳng EF cắt tia BO CO M N Đường thẳng HP cắt tia BQ CQ R S Chứng minh DMN = KRS SP SR RH = = AB BC CA Bài 80 Cho đường trịn ( O; R ) nội tiếp hình thang ABCD (AB//CD) Gọi E, F, G, H theo thứ tự tiếp điểm đường tròn ( O; R ) với cạnh AB, BC, CD, DA Trên cạnh CD lấy điểm M nằm hai điểm D C cho chân đường vng góc kẻ từ M đến DO điểm K nằm ngồi đường trịn ( O; R ) Đường thẳng HK cắt đường tròn ( O; R ) điểm thứ hai T Tính tỷ số EB 4R biết AB = ;BC = 3R chứng minh EA MT = MG Bài 81 Cho tam giác ABC có B, C cố định điểm A thay đổi cho tam giác ABC nhọn không cân Gọi D trung điểm BC E, F tương ứng hình chiếu D AC, AB Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường thẳng EF cắt AO BC theo thứ tự M N Các tiếp tuyến E, F đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt T Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN ln qua điểm cố định T thuộc đường thẳng cố định Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com A K O E M F N D I B C J P T G Q Bài 82 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD Lấy điểm P đoạn thẳng AD Các điểm K, L thuộc đường thẳng BC cho AK vng góc với AC AL vng góc với AB Trên đoạn thẳng PB, PC lấy điểm N, M cho KM = KA; LN = LA Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MND ln thuộc đường thẳng cố định P di động đoạn thẳng AP R T A S P M N E K B I D Q F C L Bài 83 Cho đường trịn ( O ) có đường kính AB cố định Lấy C điểm di động đường tròn ( O ) cho BC  AC Vẽ CH vng góc với AB H Gọi E F hình chiếu H CB CA Gọi U, L, Q tâm đường trịn bàng Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com tiếp đỉnh H tam giác AHE, BHF, HEF Chứng minh C tâm đường tròn nội tiếp tam giác QUL Q S C Z D M P U I X E A K J Y G H L F T O B N Bài 84 Cho tứ giác ABCD khơng phải hình thang nội tiếp đường tâm O Hai đường chéo AC BD cắt H Gọi giao điểm AB CD, AD BC E, F Chứng minh H hai trực tâm H3 ; H hai tam giác FAB, FCD nằm đường thẳng Bài 85 Cho tứ giác ABCD khơng phải hình thang nội tiếp đường tâm O Hai đường chéo AC BD cắt H Gọi giao điểm AB CD, AD BC E, F Chứng minh F hai trực tâm H1 ; H2 hai tam giác HAB, HCD nằm đường thẳng Bài 86 Cho đường tròn ( O ) với dây BC đường kính Gọi I trung điểm BC điểm A di động cung lớn BC Gọi ( I1 ) đường tròn qua I tiếp xúc với AB B ( I ) đường tròn qua I tiếp xúc với AC C Hai đường tròn (I ) ( I ) cắt D khác I Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI qua điểm cố định khác I Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com A E F O K J M I C B I1 D I2 T Bài 87 Cho hai đường tròn ( O1 ) ( O ) tiếp xúc với T Một đường thẳng cắt đường tròn ( O1 ) hai điểm phân biệt A, B tiếp xúc với đường tròn ( O ) X (B nằm A X) Đường thẳng XT cắt đường tròn ( O ) S khác T C điểm cung TS Cho CY tiếp tuyến với đường tròn ( O ) cho đoạn thẳng CY ST không cắt Gọi I giao điểm đường thẳng XY SC Chứng minh SA = SI X B O1 O2 T I A C Y S Bài 88 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) ngoại tiếp đường tròn ( I ) Gọi P điểm cung BC khơng chứa A đường tròn ( O ) Gọi J điểm Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com đối xứng với I qua O Tiếp tuyến I đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC cắt BC M Gọi H hình chiếu M OI, D trung điểm BC K giao điểmthứ hai ID với đường tròn ngoại tiếp tam giác ODH Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Q A K T H O I M B J C D F N P Bài 89 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường trịn tâm O có cặp cạnh đối không song song Gọi M, N tương ứng giao điểm đường thẳng AB CD, AD BC Gọi P, Q, S, T tương ứng giao điểm đường phân giác cặp góc MAN MBN , MBN MCN , MCN MDN , MDN MAN Giả sử bốn điểm P, Q, S, T đôi phân biệt Gọi I tâm đường tròn qua bốn điểm P, Q, S Gọi E giao điểm đường chéo AC BD Chứng minh ba điểm E, O, I thẳng hàng P I M C S Q T E B O D Nguyễn Công Lợi A N Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 90 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn ( O ) có AB  AC I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Gọi D, E giao điểm tia AI với BC, đường tròn ( O ) Đường thẳng qua I vng góc với AI cắt BC K KA, KE cắt lại đường tròn ( O ) theo thứ tự M, N Các tia ND, NI cắt lại đường tròn ( O ) Q, P Chứng minh PM = PQ P A M Q O I K B D N C E Bài 91 Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác AD, BE, CF cắt O Chứng minh rẳng bán kính đường trịn nội tiếp tam giác AOF, BOD, COE tam giác ABC tam giác Bài 92 Cho tam giác ABC có AB = c; BC = a; CA = b Chứng minh tam giác ABC vuông B C đẳng thức sau xẩy ra: a) tan A a = b+c b) tan A b−c = b+c Bài 93 Cho tam giác ABC có G trọng tâm I giao điểm ba đường phân giác Chứng minh GI song song với BC tan B C tan = 2 Bài 94 Cho tam giác nhọn ABC Dựng bên tam giác ABC tam giác cân DAC, EAB, FBC cho DA = DC, EA = EC, FB = FC ADC = 2A, AEA = 2B, CFB = 2C Gọi M giao điểm BD EF, N giao điểm EC DF, P giao điểm FA DE Chứng minh Nguyễn Công Lợi BD CE AF + + = MD NE PF Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 95 Cho ABC nhọn (AB < AC) có AH ⊥ BC H Gọi D, E hình chiếu vng góc H AB AC Đường thẳng DE cắt tia CB S Đường thẳng SA cắt đường trịn đường kính AH M Các đường thẳng BM AC cắt F Chứng minh FA.FC + SB.SC = SF2 Bài 96 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) Gọi A’, B’, C’ lầ lượt điểm cung nhỏ BC; CA; AB đường tròn (O) Gọi E, Q giao điểm B’C’ với AB, AC; M, F giao điểm A’C’ với BC, AB; P, N giao điểm A’B’ với AC, BC Gọi I giao điểm MQ, NE, PF Chứng minh SIMN + SIPQ + SIEF  SINP + SIQE + SIMF Bài 97 Cho tam giác ABC không cân A có góc ABC, ACB góc nhọn Xét điểm D di động cạnh BC cho D khơng trùng với B, C hình chiếu A BC Đường thẳng d vng góc với BC D cắt đường thẳng AB, AC E F Gọi M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF, BDE, CDF Chứng minh bốn điểm A, M, N, P nằm đường tròn d qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 98 Cho tam giác ABC có trực tâm H nội tiếp đường tròn ( O ) Một tiếp tuyến thay đổi đường tròn ( O ) cắt HB, HC theo thứ tự E, F Điểm K đối xứng với H qua EF Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác KEF ln tiếp xúc với đường tròn cố định T Q A M U V N H O C B F P E K Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 99 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O ) Gọi P điểm di chuyển cung nhỏ BC đường trịn ( O ) Dựng ngồi tam giác PBC điểm E F có tam giác PCE đồng dạng với tam giác BAO tam giác PBF đồng dạng với tam giác CAO Tiếp tuyến P đường tròn ( O ) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác PCE PBF theo thứ tự M N khác P Gọi Q giao điểm EM FN Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác QMN ln tiếp xúc đường tròn cố định P thay đổi A O X B C F N P M E Q L K Bài 100 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn ( O ) có AC BD cắt E Một đường tròn qua B, C cắt CD, AB theo thứ tự M, N Gọi H giao điểm BM với CN Một đường thẳng qua H cắt AC, BD theo thứ tự K, L Trên BC lấy điểm Q, R cho KR song song với BM LQ song song với CN Gọi P giao điểm KR với QL Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com A D E N L S H B X M C Q Y Nguyễn Công Lợi R P K T Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ... b1 với i = 1, Chứng minh a 32 b 22 c 32 216r , dấu  abc a 12 b 12 c 12 đẳng thức xẩy nào? A A2 B1 C1 I C2 B2 B A1 C Bài 70 Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Các tiếp tuyên với (O) song... tam giác ABC Chứng minh 1 81 + +  l 12 l 22 l 23 p2 A l1 M N P S O l3 l2 B Nguyễn Công Lợi R Q C Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 71 Cho tam giác ABC có BC = a; CA...   l b  l c  4R  la Bài 63 Cho hình vng ABCD có cạnh a hai điểm M, N thay đổi BC, CD cho góc MAN = 450 Tìm giá trị lớn nhỏ diện tích tam giác AMN Bài 64 Cho hình chữ nhật ABCD có AB 