Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức đến từ kì tuyển sinh lớp 10 chuyên toán-đã chuyển đổi

Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: y 1 2 x z  + +  + + 2  + x2 1+ x 1+ y 1+ z + y2 + z2      Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2019 – 2020 Lời giải Do xy + yz + zx = nên x + = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Từ suy y+z 1 = = Áp dụng tương tự ta x + ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z )( x + z ) x+y z+x = ; = y + ( x + y )( y + z )( z + x ) z + ( x + y )( z + x )( y + z ) Do ta có (x + y + z) 1 + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( y + z )( z + x ) Cũng từ giả thiết xy + yz + zx = bất đẳng thức AM – GM ta có x 1+ x Tương tự ta có Do x + x2 + x = x + xy + yz + zx = x ( x + y )( z + x )  1 x x  +   2x+y z+x y  1 y z 1 z z    + ;   +   2 y + z x + y y + z z + x 1+ y   1+ z   y + y2 y + z + z2  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  x  x y y z  z     (x + y + z)  + + + + 2   + x2 + y2 + z   1+ x 1+ y 1+ z   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) Suy ta Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên y 2 x z  + + 2  1+ x 1+ y + z2   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) (x + y + z)   =  ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x )  Kết hợp kết ta suy y 1 2 x z  + +  + + 2  + x2 1+ x 1+ y 1+ z + y2 + z2      Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + ( x + 1) ( y + ) ( z + ) 2 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng a2 + b2  2ab ab  + ( x + 1) ( y + ) Từ ta P  = ( x + 1)  y  x + + 2   + + y   + 1   ( z + 3)  2 a + b ) ta có (  y  ( x + 1)  +   x + + y +      Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức ta lại có  y  x + + 2   + ( z + 3)  16  y   x + +  ( z + 3)    64  y   x + + + z + 3   = 256 ( 2x + y + 2z + 10 ) Để ý ta có 2x + 4y + 2z  x2 + + y2 + + z2 + = x2 + y2 + z2 +  3y + Do ta 2x + y + 2z  Suy ta 256 ( 2x + y + 2z + 10 )  256 = hay P  16 Dấu đẳng thức xẩy x = 1; y = 2; z = Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x = 1; y = 2; z = • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( x + 1) ( ) ( ) (  x + ; ( y + )  y + ; ( z + ) = ( z + + + 1)  z + Do ta P  ( 2 x2 + ) + ( 0, y + + ) (z +3 ) ) a b2 c ( a + b + c ) Dễ chứng minh với x, y, z số thực dương + +  x y z x+y+z Áp dụng bất đẳng thức ta có P ( (1 + + ) ) ( ) ( x + + 0, y + + z + 2 ) = ( 16 ) x + z + 0, 5y + 10 2 Từ giả thiết ta có x2 + y2 + z2  3y nên x2 + z2  3y − y2 Do ta ( ) ( ) Đến ta suy P  16 = 16 x + z + 0, 5y + 10  3y − y + 0, 5y + 10 = −1, 5y + 6y + 10 = 16 − 1, ( y − )  16 Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x = 1; y = 2; z = Bài Với x, y số thực thỏa mãn ( x + )( y − 1) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + + y4 − 8y3 + 24y2 − 32y + 17 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2019 – 2020 Lời giải ( ( )( )( ) ) ( x + )4 = x + 4x + x + 4x + = x + 8x + 24x + 32x + 16  Để ý  ( y − 1) = y − 2y + y − 2y + = y − 4y + 6y − 4y +   x + 4x + 6x + 4x + = ( x + ) − ( x + ) + ( x + ) − ( x + ) + Do ta có   y − 8y + 24y − 32y + 17 = ( y − 1)4 − ( y − 1)3 + ( y − 1)2 − ( y − 1) +  Đặt a = x + 2; b = y − Khi giả thiết viết lại thành ab = Nguyễn Công Lợi đồng thời ta có Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên  4  x + 4x + 6x + 4x + = a − 4a + 6a − 4a + = ( a − 1) +   y − 8y + 24y − 32y + 17 = b − 4b + 6b − 4b + = ( b − 1)4 +  ( a − 1) Khi ta A = ( b − 1) +1 + + Đến ta có hướng xử lý sau • Hướng Trước hết ta phát biểu chứng minh bổ đề: Với a, b, x, y số thực dương ta ln có: a + x2 + b2 + y  (a + b) + ( x + y ) 2 Thật vậy, bình phương hai vế ta a + x2 + b2 + y + a + x2 b2 + y  ( a + b ) + ( x + y )  (a + x2 )( b ) ( + y  ab + xy  a + x2 )( b 2 ) + y  ( ab + xy ) Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức Áp dụng bổ đề ta có A = (a − 1) ( b − 1) +1 + 2 2 +  ( a − 1) + ( b − 1)  + (1 + 1)   Ta tìm giá trị nhỏ P = ( a − 1) + ( b − 1) với ab = 2 9 Từ ab = suy a b 4 dấu + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 23 P = ( a − 1) + ( b − 1) = a + b2 − ( a + b ) +  2ab + ab + = + + = 2 Dấu xẩy a = b = − + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 1 1  P = ( a − 1) + ( b − 1)  ( a + b − )   ab −  = 2 −  =  2 2 2  2 Dấu xẩy a = b = Từ hai kết suy giá trị nhỏ P Nguyễn Công Lợi , đạt a = b = 2 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên 1 17 Từ ta A    + = Dấu xẩy a = b = 2 2 Do giá trị nhỏ A 17 , đạt a = b = hay x = − ; y = 2 2 • Hướng Đến áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có   2  17 ( a − 1) + 1 = +  17 ( b − 1)4 + 1 = 12 +    Do A = ( ) ( ) ( b − 1) ( a − 1)4 + 1  ( a − 1)2 +      2 + 1  ( b − 1) +     4 2 1  17 ( a − 1) + 1 + 17 ( b − 1) + 1  a − + b − +  ( ) ( )        17 17 17 Ta tìm giá trị nhỏ P = ( a − 1) + ( b − 1) với ab = 2 9 Từ ab = suy a b 4 dấu + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 23 P = ( a − 1) + ( b − 1) = a + b2 − ( a + b ) +  2ab + ab + = + + = 2 Dấu xẩy a = b = − + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 1 1  P = ( a − 1) + ( b − 1)  ( a + b − )   ab −  = 2 −  =  2 2 2  2 Dấu xẩy a = b = Từ hai kết suy giá trị nhỏ P Từ ta A  , đạt a = b = 2 1  17  +  = Dấu xẩy a = b = 17   Do giá trị nhỏ A 17 , đạt a = b = hay x = − ; y = 2 2 Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = a + b + c + Tìm giá trị lớn biểu thức: Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên 1 P= + + a + b2 b2 + c c2 + a2 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2019 – 2020 Lời giải Biến đổi giả thiết toán ta abc = a + b + c +  ab + a + b + + bc + b + c + + ca + c + a + = abc + ab + bc + ca + a + b + c +  ( a + 1)( b + 1) + ( b + 1)( c + 1) + ( c + 1)( a + 1) = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)  Đặt x = 1 + + =1 a +1 b+1 c +1 1 ta x + y + z = ;y = ;z = a +1 b+1 c +1 Suy a = 1− y z + x 1− x y + z 1− z x + y = ;b = = ;c = = x x y y z z Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a + b2 Khi suy P     + b2 + c + xy + ( y + z )( z + x ) c2 + a2  2ab + yz + ( z + x )( x + y ) 2bc + 2ca  zx  ( x + y )( y + z )  Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có xy y y  x 1 x =   + ( y + z )( z + x ) z + x y + z  z + x y + z  yz y z 1 y z  =   + ( z + x )( x + y ) x + y z + x  x + y z + x  zx x z 1 x z  =   + ( x + y )( y + z ) x + y y + z  x + y y + z  Cộng theo vế bất đẳng thức ta xy + ( y + z )( z + x ) Từ ta suy P  yz + ( z + x )( x + y ) 3 = 2 hay a = b = c = Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Dấu đẳng thức xẩy x = y = z = Nguyễn Công Lợi zx  ( x + y )( y + z ) Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên Vậy giá trị lớn biểu thức P , đạt a = b = c = Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c + Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Quảng Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Dự đoán giá trị nhỏ P 5, đạt a = b = c = Khi ta quy toán chứng minh (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c +  Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có (1 + a ) + b2 + = a + b2 + 2a +  2ab + 2a + = ( ab + a + ) − (1 + a ) Do ta + b2 + ab + a +  ( ab + a + ) − ab + a + = 2− ab + a +  2  + + Áp dụng hoàn toàn tương tự ta P  −    ab + a + bc + b + ca + c +   2  + + Như ta cần chứng minh −  5  ab + a + bc + b + ca + c +  Hay ta cần chứng minh 1 1 + +  ab + a + bc + b + ca + c + Do abc = nên tồn số dương x, y, z thỏa mãn a = y x z ; b = ; c = Khi ta y z x yz xy 1 zx + + = + + ab + a + bc + b + ca + c + xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy Đặt Q = yz xy zx Biến đổi tương đương ta + + xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chuyên 3yz 3xy 3zx − 3Q = − +1− +1− xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy   1 − 3Q = ( xy + yz + xz )  + +   xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy  1 1 ta + +  A B C A+B+C Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng − 3Q = ( xy + yz + xz ) Vậy 9 3 =  3Q  − =  Q  6xy + 6yz + 6xz 2 1 1 + +  Đẳng thức xẩy a = b = c = ab + a + bc + b + ca + c + Vậy tốn chứng minh hồn tất • Lời giải Dễ chứng minh bất đẳng thức x2 + y2  2xy 1 với x, y +  x y x+y số thực dương Áp dụng bất đẳng thức ta có (1 + a ) a + b2 + 2a + 2ab + 2a + ( ab + a + ) −  = ab + a + ab + a + ab + a + ab + a + 4 1 1 = 2− = 2−   2−  +  ab + a + ( ab + a + 1) +  ab + a +  + b2 + = = 11 1 −  ab + a + Hoàn toàn tương tự ta (1 + b ) + c2 + bc + b + Do ta P  + c ) + a + 11 ( 11 1  −  ;  −  bc + b + ca + c + ca + c + 11  1  −  + + 2  ab + a + bc + b + ca + c +  Vì abc = nên ta lại có biến đổi a a ab ab = = ; = = bc + b + abc + ab + a ab + a + ca + c + a bc + abc + ab ab + a + Suy 1 1 a ab + + = + + =1 ab + a + bc + b + ca + c + ab + a + ab + a + ab + a + Do ta có P  11 − = Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = 2 Vậy giá trị nhỏ P 5, đạt a = b = c = Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2019xyz Chứng minh rằng: 2 x + + 2019x + y + + 2019y + z + + 2019z + + +  2019.2020xyz x y z Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2019 – 2020 Lời giải x + xy + xz Từ giả thiết x + y + z = 2019xyz ta 2019x = yz Do 2019x2 + = x2 + xy + xz + yz (x + y)(x + z)  x   x  = =  + 1  + 1 yz yz  y  z  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta x  x   x x  x 1 2019x + =  +   +    + +  = +  +  2y z  y  z   y z  x 1 x2 + + +  +  2y z x + + 2019x + 1 1 Suy rat a  = x + +  +  Tương tự x x x 2y z 2 ta có y2 + + 2019y + y  y+  1  z2 + + 2019z + 11 1 +  + ;  z+ +  +  y 2z x z z 2x y Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu 2 1 1 x2 + + 2019x2 + y + + 2019y + z2 + + 2019z + + +  x + y + z + 3 + +  x y z x y z Dễ dạng chứng minh ( x + y + z )  ( xy + yz + zx ) Từ ta  1  ( xy + yz + zx ) 2019.3 ( xy + yz + zx ) 2019 ( x + y + z ) 3 + +  = =  = 2019 ( x + y + z ) xyz 2019xyz x+y+z x y z 2 x + + 2019x + y + + 2019y + z + + 2019z + + +  2019.2020xyz Vậy x y z Bất đẳng thức chứng minh hoàn tất Đẳng thức xẩy x = y = z Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Tốn Ơn thi lớp 10 THPT Chun ( Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b4 )( b )( ) + c c + d4 = Chứng minh rằng: (a − ab + b2 )( b )( ) − bc + c c − ca + a  Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2019 – 2020 Lời giải ( Trước hết ta chứng minh a − ab + b2 )  a + b4 với a, b số thực Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta ( a − ab + b2 ) ( )  a + b4  a + b4 + 3a b2 − 2a b − 2ab3  a + b4 (  a + b4 + 6a b2 − 4a b − 4ab3   a + b4 + 6a b2  4ab a + b2 ( Ta có a + b4 + 2a b2 = a + b2 ) ( ) ( ) a + b2 ( ) ) ( ) + 4a b2  ab a + b2  4ab a + b Do ta a + b4 + 6a b2  4ab a + b2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy kh a = b ( Áp dụng hoàn toàn tương tự ta b2 − bc + c ( Do ta a − ab + b2 ( Hay ta a − ab + b2 ) (b ) (b 2 − bc + c − bc + c ) (c ) (c 2 2 ) (  b4 + c ; c − ca + a − ca + a − ca + a ) )  (a + b4 )( b ) )(  c4 + a4 + c c + d4 )  Để ý a − ab + b2  0; b2 − bc + c  0; c − ca + a  ( Do suy a − ab + b2 )( b )( ) − bc + c c − ca + a  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = 1 Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 + +  Tìm giá trị nhỏ a +1 b+1 c +1 a3 b3 c3 + + biểu thức P = a + ab + b2 b2 + bc + c c + ca + a Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ... + c c + ac + a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tài liệu BDHSG Toán Ôn thi lớp 10 THPT Chuyên + Cách Vì a, b số thực... y  ab + xy  a + x2 )( b ) + y  ( ab + xy ) Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Do bổ đề chứng minh Trở lại toán Áp dụng bất đẳng thức ta M = x − 6x + 25 + y − 6y + 25 + z − 6z... b + c hay a + b + c  ( a + b + c )  a+b+c ( ) Bất đẳng thức cuối đánh giá quen thuộc Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c + Cách Ta có a3 b3 a − b3 − = = a − b Áp dụng tương