Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức đến từ kì tuyển sinh lớp 10 chuyên toán

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: y 1 2 x z + +   + + 2 2  1+ x 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y + z2      Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2019 – 2020 Lời giải Do xy + yz + zx = nên x + = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Từ suy y+z 1 = = Áp dụng tương tự ta x + ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z )( x + z ) x+y z+x = ; = y + ( x + y )( y + z )( z + x ) z + ( x + y )( z + x )( y + z ) Do ta có (x + y + z) 1 + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( y + z )( z + x ) Cũng từ giả thiết xy + yz + zx = bất đẳng thức AM – GM ta có x + x2 Tương tự ta có Do x + x2 + x = x + xy + yz + zx = x ( x + y )( z + x )  1 x x  +   2x+y z+x y  1 y z 1 z z    + ;   +   + y2  y + z x + y  + z2  y + z z + x  y + y2 y + z + z2  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  x  x y y z  z     (x + y + z)  + + + + 2   + x2 + y2 + z   1+ x 1+ y 1+ z   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) Suy ta y 2 x z  + +  + x2 + y2 + z2   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) (x + y + z)   =  ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x )  Kết hợp kết ta suy y 1 2 x z  + +  + + 2 2  1+ x 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y + z2      Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng a2 + b2  2ab ab  + ( x + 1) ( y + ) Từ ta P  = ( x + 1)  y  x + + 2   + + y   + 1   ( z + 3)  2 a + b ) ta có (  y  ( x + 1)  +   x + + y +      Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức ta lại có  y  x + + 2   + ( z + 3)  16  y   x + +  ( z + 3)    64  y   x + + + z + 3   = 256 ( 2x + y + 2z + 10 ) Để ý ta có 2x + 4y + 2z  x2 + + y2 + + z2 + = x2 + y2 + z2 +  3y + Do ta 2x + y + 2z  Suy ta 256 ( 2x + y + 2z + 10 ) Dấu đẳng thức xẩy x = 1; y = 2; z =  256 = hay P  16 Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x = 1; y = 2; z = • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( x + 1) ( ) ( ) (  x + ; ( y + )  y + ; ( z + ) = ( z + + + 1)  z + Do ta P  ( 2 x +1 ) + ( 0, y + + ) (z +3 ) ) a b2 c ( a + b + c ) Dễ chứng minh với x, y, z số thực dương + +  x y z x+y+z Áp dụng bất đẳng thức ta có P ( (1 + + ) ) ( ) ( x + + 0, y + + z + 2 ) = ( 16 ) x + z + 0, 5y + 10 2 Từ giả thiết ta có x2 + y2 + z2  3y nên x2 + z2  3y − y2 Do ta ( ) ( ) Đến ta suy P  16 = 16 x + z + 0, 5y + 10  3y − y + 0, 5y + 10 = −1, 5y + 6y + 1ố ta có a + a + a  3 a a a = 3a b + b + b  3 b b b = 3b c + c + c  3 c c c = 3c Bài toán giải Bất đẳng thức xảy a = b = c = (x Bài 81 Cho x; y  Chứng minh rằng: ) ( + y3 − x2 + y2 ( x − 1)( y − 1) ) 8 Lời giải Ta có (x ) ( + y3 − x2 + y2 ) = x ( x − 1) + y ( y − ) = 2 ( x − 1)( y − 1) ( x − 1)( y − 1) ( x − 1) + ( x − ) + + ( y − ) + ( y − ) + = y2 x2 + y −1 x −1 y −1 x −1  ( x − 1) ( y − 1) = + x −1  y −1  2   ( y − 1) ( x − 1)   1  + + + +  y −   y − x −    x −  Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( x − 1) + ( y − ) y −1 x −1 ( y − 1) x −1 + 2 ( x − 1) y −1 ( x − 1) ( y − 1)  y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) =2 ( y − 1) ( x − 1) =4 x −1 y −1 1 1 + 2 y −1 x −1 y −1 x −1  1 2 +  y − x −  ( x − 1)( y − 1)   2.2  1 y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) = Cộng theo vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức cần chứng minh Bài 82 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: (a b + b c + c a )(ab 2 2 ) ( )( )( + bc + ca  abc + a + abc b + abc c + abc ) Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2011-2012 Lời giải + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   + + + +  + + +   +   c a b  c a b      bc  ca  ab  Đặt x = a b c ; y = ; z =  x; y; z  0; xyz = b c a Khi bất đẳng thức trở thành ( xy + yz + zx )( x + y + z )  + Đặt t = 3   x  y  z  z + 1  x + 1  y + 1     ( x + y )( y + z )( z + x )  ( x + y )( y + z )( z + x ) + xyz  +  ( x + y )( y + z )( z + x ) +  + ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) suy t  Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành t +  + t  t +  + 2t + t  t ( t − )( t + 1)  Bất đẳng thức cuối t  Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   + + + +  + + +   +   c a b  c a b      bc  ca  ab  3+ Hay Đặt x =  a2  b2  c  bc ca ab a b2 c  + + + + +  + + +   +  2 bc ca ab a b c  bc  ca  ab  a2 b2 c2 ; y= ; z= , ta có xyz = bc ca ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3+x+y+z+ Hay 1 + +  + (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x y z + x + y + z + xy + yz + zx  + + x + y + z + xy + yz + zx Đặt t = + x + y + z + xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x + y + z + xy + yz + zx  Do ta có t  + = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t +  + t  t +  t + 2t +  t ( t + 1)( t − )  Đánh giá cuối với t  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài 83 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012 Lời giải + Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a + b3 ab ( a + b ) ab ( a + b ) ab ( a + b ) a + b   = = 2 abc c Từ ta có c3 + a + b3 a+b  c3 +  2c a + b c Tương tự ta có a3 + c3 a+c  b3 +  2b a + c b b3 + c b+c a3 +  a3 +  2a b + c a b3 + Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Bài toán chứng minh xong + Cách Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( a b+c +b a+c +c a+b  ) (  (a + b + c ) a + b2 + c ( ( ( a + b + c ) a + b2 + c = abc ( a + b + c ) a + b + c Theo bất đẳng thức quen thuộc ta có Từ ta ) ) abc ( a + b + c )  ab + bc + ca ) ( ) ( ) ( ) abc ( a + b + c ) a + b2 + c  a + b2 + c ( ab + bc + ca ) (a  (a Do ta có + b2 + c + ab + bc + ca + ab + bc + ca 34 b+c +b a+c +c a+b Hay a b + c + b a + c + c (a + b + c ) a+b  ) = (a + b + c ) 34 ) (a + b + c )  34 32 (a Dễ dàng chứng minh +b +c 3 ) (a + b + c )  Từ ta bất đẳng thức sau a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 84 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc biểu thức: Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bắc Ninh năm 2011-2012 Lời giải Ta có a + abc = a ( a + b + c ) + abc = a ( a + b )( a + c ) Do ta a + abc = a ( a + b )( a + c )  a (a + b + a + c ) = a ( a + 1) Chứng minh tương tự ta b + abc  b ( b + 1) ; c + abc  c ( c + 1) Do ta a ( a + 1) a + abc + b + abc + c + abc  + b ( b + 1) + c ( c + 1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có a ( a + 1)  a +1 b+c   a + b+ c +1 + abc  a  + = a  = a     Chứng minh tương tự ta b ( b + 1) Như ta có + abc  b; c ( c + 1) + abc  c P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc  a + b + c + abc Mà ta có a+b+c a + b + c  ( a + b + c ) = 3; abc   =  3   Nên ta suy P  + = Vậy giá trị lớn P = Đẳng thức xẩy a = b = c = 3 Bài 85 Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , ad − bc = Chứng minh rằng: P  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải + Cách Ta có ( ac + bd ) + ( ad − bc ) 2 = a c + 2abcd + b 2d + a 2d − 2abcd + b c ( ) ( )( ( ) ( )( = a c + d2 + b2 d2 + c = a + b2 c + d2 Vì ad − bc = nên + ( ac + bd ) = a + b2 c + d2 ) ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P = a + b2 + c + d2 + ac + bd  (a )( ) + b2 c + d2 + ac + bd Suy ta P  + ( ac + bd ) + ac + bd Rõ ràng P  + ( ac + bd )  ac + bd 2 Đặt x = ac + bd , ta ( ) ( ) P  + x + x  P  + x + 4x + x + x = + x + 4x + x + 4x + Hay P  ( ) + x + 2x +  Do ta P  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ad − bc =  2a = 3d − c  2b = − 3c − d + Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  ( ad − bc ) a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a Hay ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a ( ) 3d − c  a ( ( + ) b − 3c − d  b2 + 3d − c ( ) = a2 + − 3c − d ) 3d − 3cd + c = b2 + 3d + 3cd + c Cộng theo hai bất đẳng thức ta a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Bài toán chứng minh xong Bài 86 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x y z 2x + 2y + 2z + +  a b2 c a + b2 + c Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải + Cách Vì a2 + b2 + c2  nên ta có (  x2 y2 z2  a + b2 + c  + +  b c  a  b2 + c − a  a + c − b2   a + b2 − c  2 = x2  + + y + + z +      a2 b2 c2       2 2 2 2  b +c −a  2a +c −b  a +b −c  = 2x + 2y + 2z + x  + y + z      a2 b2 c2       ) Giả sử a  b  c, c2 − a2  0; c2 − b2  Với c cạnh lớn góc nhọn nên c2  a2 + b2 Do ta có b2 + c2 − a2  0; a2 + c2 − b2  0; a + b2 − c  Suy  b2 + c − a   a + c − b2   a + b2 − c  2 2x2 + 2y2 + 2z2 + x2  +y  +z    2x + 2y + 2z 2 a b c       Hay (  x2 y2 z2 a + b2 + c  + + b c a )  2   2x + 2y + 2z  x y z 2x + 2y + 2z Hay + +  Bài toán chứng minh xong a b c a + b2 + c + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với y2 2y x2 2x z2 2z − + − + − 0 a a + b2 + c b2 a + b2 + c c a + b2 + c x2 b2 + c − a y a + c − b2 z2 a + b2 − c  2 + 2 + 2 0 a a + b2 + c b a + b2 + c c a + b2 + c ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên a2 + b2  c2 ; b2 + c2  a2 ; c2 + a2  b2 Nên ta b2 + c2 − a2  0; a2 + c2 − b2  0; a + b2 − c  Do bất đẳng thức Bài toán chứng minh xong Bài 87 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x + y + z = Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M = x + y + z + 12 (1 − x )(1 − y )(1 − z ) Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Đặt a = x − 1; b = y − 1; c = z − , ta −1  a; b; c  a + b + c = Biểu thức M viết lại thành ( ) ( ) M = a + b4 + c + a + b3 + c + a + b2 + c + ( a + b + c ) + − 12abc Để ý a + b + c = a3 + b3 + c3 − 3abc = nên biểu thức thử thành ( ) M = a + b4 + c + a + b2 + c + Theo đánh giá quen thuộc a + b + c  abc ( a + b + c ) = a + b2 + c  a + b + c) = ( Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = y = z = Mặt khác −1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có a  a  a ; b4  b2  b ; c  c  c ... viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành t +  + t  t +  + 2t + t  t ( t − )( t + 1)  Bất đẳng thức cuối t  Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c + Cách Bất đẳng thức cần... bc + ca  abc + a + abc b + abc c + abc ) Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2011-2012 Lời giải + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c  ... đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài 83 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán