Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức đến từ kì tuyển sinh lớp 10 chuyên toán

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: y 1 2 x z + +   + + 2 2  1+ x 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y + z2      Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2019 – 2020 Lời giải Do xy + yz + zx = nên x + = x + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Từ suy y+z 1 = = Áp dụng tương tự ta x + ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z )( x + z ) x+y z+x = ; = y + ( x + y )( y + z )( z + x ) z + ( x + y )( z + x )( y + z ) Do ta có (x + y + z) 1 + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( y + z )( z + x ) Cũng từ giả thiết xy + yz + zx = bất đẳng thức AM – GM ta có x + x2 Tương tự ta có Do x + x2 + x = x + xy + yz + zx = x ( x + y )( z + x )  1 x x  +   2x+y z+x y  1 y z 1 z z    + ;   +   + y2  y + z x + y  + z2  y + z z + x  y + y2 y + z + z2  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có  x  x y y z  z     (x + y + z)  + + + + 2   + x2 + y2 + z   1+ x 1+ y 1+ z   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) Suy ta y 2 x z  + +  + x2 + y2 + z2   ( x + y + z )( xy + yz + zx ) (x + y + z)   =  ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x )  Kết hợp kết ta suy y 1 2 x z  + +  + + 2 2  1+ x 1+ x 1+ y 1+ z 1+ y + z2      Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy x = y = z = Bài Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + 1) + ( y + 2) + ( z + 3) Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng a2 + b2  2ab ab  + ( x + 1) ( y + ) Từ ta P  = ( x + 1)  y  x + + 2   + + y   + 1   ( z + 3)  2 a + b ) ta có (  y  ( x + 1)  +   x + + y +      Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức ta lại có  y  x + + 2   + ( z + 3)  16  y   x + +  ( z + 3)    64  y   x + + + z + 3   = 256 ( 2x + y + 2z + 10 ) Để ý ta có 2x + 4y + 2z  x2 + + y2 + + z2 + = x2 + y2 + z2 +  3y + Do ta 2x + y + 2z  Suy ta 256 ( 2x + y + 2z + 10 ) Dấu đẳng thức xẩy x = 1; y = 2; z =  256 = hay P  16 Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x = 1; y = 2; z = • Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có ( x + 1) ( ) ( ) (  x + ; ( y + )  y + ; ( z + ) = ( z + + + 1)  z + Do ta P  ( 2 x +1 ) + ( 0, y + + ) (z +3 ) ) a b2 c ( a + b + c ) Dễ chứng minh với x, y, z số thực dương + +  x y z x+y+z Áp dụng bất đẳng thức ta có P ( (1 + + ) ) ( ) ( x + + 0, y + + z + 2 ) = ( 16 ) x + z + 0, 5y + 10 2 Từ giả thiết ta có x2 + y2 + z2  3y nên x2 + z2  3y − y2 Do ta ( ) ( ) Đến ta suy P  16 = 16 x + z + 0, 5y + 10  3y − y + 0, 5y + 10 = −1, 5y + 6y + 10 = 16 − 1, ( y − )  16 Vậy giá trị nhỏ P 1, đạt x = 1; y = 2; z = Bài Với x, y số thực thỏa mãn ( x + )( y − 1) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + + y4 − 8y3 + 24y2 − 32y + 17 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hưng Yên năm học 2019 – 2020 Lời giải ( ( )( )( ) ) ( x + )4 = x + 4x + x + 4x + = x + 8x + 24x + 32x + 16  Để ý  ( y − 1) = y − 2y + y − 2y + = y − 4y + 6y − 4y +   x + 4x + 6x + 4x + = ( x + ) − ( x + ) + ( x + ) − ( x + ) + Do ta có   y − 8y + 24y − 32y + 17 = ( y − 1)4 − ( y − 1)3 + ( y − 1)2 − ( y − 1) +  Đặt a = x + 2; b = y − Khi giả thiết viết lại thành ab = đồng thời ta có 4  4  x + 4x + 6x + 4x + = a − 4a + 6a − 4a + = ( a − 1) +   y − 8y + 24y − 32y + 17 = b − 4b + 6b − 4b + = ( b − 1)4 +  ( a − 1) Khi ta A = +1 + ( b − 1) + Đến ta có hướng xử lý sau • Hướng Trước hết ta phát biểu chứng minh bổ đề: Với a, b, x, y số thực dương ta ln có: a + x2 + b2 + y  (a + b) + ( x + y ) 2 Thật vậy, bình phương hai vế ta a + x2 + b2 + y + a + x2 b2 + y  ( a + b ) + ( x + y )  (a + x2 )( b ) ( + y  ab + xy  a + x2 )( b 2 ) + y  ( ab + xy ) Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, bất đẳng thức Áp dụng bổ đề ta có A = (a − 1) + + 2 ( b − 1) +  (a − 1) + ( b − 1)  + (1 + 1) Ta tìm giá trị nhỏ P = ( a − 1) + ( b − 1) với ab = 2 9 Từ ab = suy a b 4 dấu + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 23 P = ( a − 1) + ( b − 1) = a + b2 − ( a + b ) +  2ab + ab + = + + = 2 Dấu xẩy a = b = − + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 1 1  P = ( a − 1) + ( b − 1)  ( a + b − )   ab −  = 2 −  =   2 2 2  2 Dấu xẩy a = b = Từ hai kết suy giá trị nhỏ P , đạt a = b = 2 1 17 Từ ta A    + = Dấu xẩy a = b = 2 2 Do giá trị nhỏ A 17 , đạt a = b = hay x = − ; y = 2 2 • Hướng Đến áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có   2  17 ( a − 1) + 1 = +  17 ( b − 1)4 + 1 = 12 +    Do A = ( ) (a − 1) ( ) ( b − 1) 4 + 1  ( a − 1) +     2 + 1  ( b − 1) +     4 2 1  17 ( a − 1) + 1 + 17 ( b − 1) + 1  a − 1) + ( b − 1) +  (       17 17 17  Ta tìm giá trị nhỏ P = ( a − 1) + ( b − 1) với ab = 2 9 Từ ab = suy a b 4 dấu + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 23 P = ( a − 1) + ( b − 1) = a + b2 − ( a + b ) +  2ab + ab + = + + = 2 Dấu xẩy a = b = − + Xét a b âm Khi áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có đánh giá 2 1 1  P = ( a − 1) + ( b − 1)  ( a + b − )   ab −  = 2 −  =   2 2 2  2 Dấu xẩy a = b = Từ hai kết suy giá trị nhỏ P Từ ta A  , đạt a = b = 2 1  17  +  = Dấu xẩy a = b = 17   Do giá trị nhỏ A 17 , đạt a = b = hay x = − ; y = 2 2 Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = a + b + c + Tìm giá trị lớn biểu thức: P= a + b2 + b2 + c + c2 + a2 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nghệ An năm học 2019 – 2020 Lời giải Biến đổi giả thiết toán ta abc = a + b + c +  ab + a + b + + bc + b + c + + ca + c + a + = abc + ab + bc + ca + a + b + c +  ( a + 1)( b + 1) + ( b + 1)( c + 1) + ( c + 1)( a + 1) = ( a + 1)( b + 1)( c + 1)  Đặt x = 1 + + =1 a +1 b+1 c +1 1 ta x + y + z = ;y = ;z = a +1 b+1 c +1 Suy a = 1− y z + x 1− x y + z 1− z x + y = ;b = = ;c = = x x y y z z Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a +b Khi suy P     + b +c 2 + c +a xy + ( y + z )( z + x )  2ab + yz + ( z + x )( x + y ) 2bc + 2ca  zx  ( x + y )( y + z )  Lại áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta lại có xy y y  x 1 x =   + ( y + z )( z + x ) z + x y + z  z + x y + z  yz y z 1 y z  =   + ( z + x )( x + y ) x + y z + x  x + y z + x  zx x z 1 x z  =   + ( x + y )( y + z ) x + y y + z  x + y y + z  Cộng theo vế bất đẳng thức ta xy + ( y + z )( z + x ) Từ ta suy P  yz + ( z + x )( x + y ) zx  ( x + y )( y + z ) 3 = 2 Dấu đẳng thức xẩy x = y = z = Vậy giá trị lớn biểu thức P hay a = b = c = 3 , đạt a = b = c = Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c + Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Quảng Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Dự đoán giá trị nhỏ P 5, đạt a = b = c = Khi ta quy toán chứng minh (1 + a ) P= + b2 + ab + a + (1 + b ) + + c2 + bc + b + (1 + c ) + + a2 + ca + c +  Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có (1 + a ) + b2 + = a + b2 + 2a +  2ab + 2a + = ( ab + a + ) − (1 + a ) Do ta + b2 + ab + a +  ( ab + a + ) − ab + a + = 2− ab + a +  2  + + Áp dụng hoàn toàn tương tự ta P  −    ab + a + bc + b + ca + c +   2  + + Như ta cần chứng minh −  5  ab + a + bc + b + ca + c +  Hay ta cần chứng minh 1 1 + +  ab + a + bc + b + ca + c + Do abc = nên tồn số dương x, y, z thỏa mãn a = y x z ; b = ; c = Khi ta y z x yz xy 1 zx + + = + + ab + a + bc + b + ca + c + xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy Đặt Q = yz xy zx Biến đổi tương đương ta + + xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy − 3Q = − 3yz 3xy 3zx +1− +1− xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy   1 − 3Q = ( xy + yz + xz )  + +   xy + xz + 4yz xy + yz + 4xz xz + yz + 4xy  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng 1 1 ta + +  A B C A+B+C − 3Q = ( xy + yz + xz ) Vậy 9 3 =  3Q  − =  Q  6xy + 6yz + 6xz 2 1 1 + +  Đẳng thức xẩy a = b = c = ab + a + bc + b + ca + c + Vậy tốn chứng minh hồn tất • Lời giải Dễ chứng minh bất đẳng thức x2 + y2  2xy 1 với x, y +  x y x+y số thực dương Áp dụng bất đẳng thức ta có (1 + a ) a + b2 + 2a + 2ab + 2a + ( ab + a + ) −  = ab + a + ab + a + ab + a + ab + a + 4 1 1 = 2− = 2−   2−  +  ab + a + ( ab + a + 1) +  ab + a +  + b2 + = = 11 1 −  ab + a + Hoàn toàn tương tự ta (1 + b ) + c2 + bc + b + Do ta P  (1 + c ) + a +  11 −  11 1  −  ; bc + b + ca + c + ca + c + 11  1  −  + + 2  ab + a + bc + b + ca + c +  Vì abc = nên ta lại có biến đổi a a ab ab = = ; = = bc + b + abc + ab + a ab + a + ca + c + a bc + abc + ab ab + a + Suy 1 1 a ab + + = + + =1 ab + a + bc + b + ca + c + ab + a + ab + a + ab + a + Do ta có P  11 − = Dấu đẳng thức xẩy a = b = c = 2 Vậy giá trị nhỏ P 5, đạt a = b = c = Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2019xyz Chứng minh rằng: 2 x + + 2019x + y + + 2019y + z + + 2019z + + +  2019.2020xyz x y z Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2019 – 2020 Lời giải x + xy + xz Từ giả thiết x + y + z = 2019xyz ta 2019x = yz Do 2019x2 + = x2 + xy + xz + yz (x + y)(x + z)  x   x  = =  + 1  + 1 yz yz  y  z  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta x  x   x x  x 1 2019x + =  +   +    + +  = +  +  2y z  y  z   y z  x 1 x2 + + +  +  2y z x + + 2019x + 1 1 Suy rat a  = x + +  +  Tương tự x x x 2y z 2 ta có y2 + + 2019y + y  y+  1  z2 + + 2019z + 11 1 +  + ;  z+ +  +  y 2z x z z 2x y Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu 2 1 1 x2 + + 2019x2 + y + + 2019y + z2 + + 2019z + + +  x + y + z + 3 + +  x y z x y z Dễ dạng chứng minh ( x + y + z )  ( xy + yz + zx ) Từ ta  1  ( xy + yz + zx ) 2019.3 ( xy + yz + zx ) 2019 ( x + y + z ) 3 + +  = =  = 2019 ( x + y + z ) xyz 2019xyz x+y+z x y z Vậy 2 x + + 2019x + y + + 2019y + z + + 2019z + + +  2019.2020xyz x y z Bất đẳng thức chứng minh hoàn tất Đẳng thức xẩy x = y = z ( Bài Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b4 )( b )( ) + c c + d4 = Chứng minh rằng: (a − ab + b2 )( b )( ) − bc + c c − ca + a  Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2019 – 2020 Lời giải ( Trước hết ta chứng minh a − ab + b2 )  a + b4 với a, b số thực Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức ta ( a − ab + b2 ) ( )  a + b4  a + b4 + 3a b2 − 2a b − 2ab3  a + b4 (  a + b4 + 6a b2 − 4a b − 4ab3   a + b4 + 6a b2  4ab a + b2 ( ) Ta có a + b4 + 2a b2 = a + b2 ( ) ( ) a + b2 ( ) ) ( ) + 4a b2  ab a + b2  4ab a + b Do ta a + b4 + 6a b2  4ab a + b2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy kh a = b ( Áp dụng hoàn toàn tương tự ta b2 − bc + c ( Do ta a − ab + b2 ( Hay ta a − ab + b2 ) (b ) (b 2 − bc + c − bc + c ) (c ) (c 2 2 ) (  b4 + c ; c − ca + a − ca + a − ca + a ) )  (a + b4 )( b )  c4 + a4 )( + c c + d4 )  Để ý a − ab + b2  0; b2 − bc + c  0; c − ca + a  ( Do suy a − ab + b2 )( b )( ) − bc + c c − ca + a  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = 1 1 + +  Tìm giá trị nhỏ a +1 b+1 c +1 Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a3 b3 c3 + + biểu thức P = a + ab + b2 b2 + bc + c c + ca + a Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hà Nam năm học 2019 – 2020 Lời giải • Lời giải Trước hết ta chứng minh P= a3 b3 c3 a+b+c + +  2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ac + a + Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta P (a + b2 + c ) (a a + b3 + c + a b + ab2 + b2 c + bc + a c + ca = + b2 + c (a + b + c ) (a ) + b2 + c ) a + b2 + c a + b + c  Ta cần chứng minh hay a + b + c  ( a + b + c ) a+b+c ( ) Bất đẳng thức cuối đánh giá quen thuộc Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với x, y  0; xy  ta có ( ) ( )( 1 +  y + z + yz + ) Thật vậy, ta có: y + z + ( yz + 1)  y + z +  ( y − z ) ( yz − 1)  Áp dụng bất đẳng thức ta P = 1 1 + +  + a + b + c + a + bc + Do ta chứng minh 2a + bc + 3 +     a ( a + b + c − 3abc )  2 a + bc + a bc + a + bc + Từ giả thiết suy a + b + c  abc  Do a + b + c − 3abc  1 1 + +  +  a + b + c + a + bc + Do ta Hướng Biến đổi biểu thức vế trái sau P=  a2 1 b2 c  + + = − + +   2 a + b2 + c +  a +1 b +1 c +1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 4a 4a a2 a2 a a2 =  + = + 3a + 3a + ab + bc + ca a + ab + ac 2a + bc a + b + c 2a + bc Áp dụng tương tự với hai biểu thức lại ta 4a 4b2 4c a2 b2 c2 + +  + + + 3a + 3b2 + 3c + 2a + bc 2b + ca 2c + ab Ta chứng minh a2 b2 c2 + + 1 2a + bc 2b2 + ca 2c + ab Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a2 b2 c2 bc ca ab − + + + +    hay 2  2a + bc 2b + ca 2c + ab  2a + bc 2b + ca 2c + ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( bc ) + ( ca ) + ( ab ) bc ca ab + + = 2a + bc 2b2 + ca 2c + ab 2a bc + b c 2ab c + c 2a 2abc + a b 2  ( ab + bc + ca ) a b c + +  2 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 a b2 + b2 c + c 2a + 2abc ( a + b + c ) Như bất đẳng thức chứng minh + Chứng minh =1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a ab2 ab2 ab = a −  a − =a− 2 2b b +1 b +1 b bc c ca  b− ; c− a +1 c +1 Tương tự ta có Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c ab + bc + ca + +  a+ b+c− =a+b+c− 2 b +1 c +1 a +1 Mặt khác ta có (a + b + c )  ( ab + bc + ca )  a + b + c  a b c + +  2 2 1+ b 1+ c 1+ a Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c = + Cách Ta viết lại vế trái thành + 3a + 3b + 3c 1 3a 3b 3c + + = + + + + + 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a + b + c + a + b + c + a2 Khi áp dụng ta đẳng thức Cauchy ta c a  1− ;  1− a +1 c +1 Hoàn toàn tương tự ta Khi ta có bất đẳng thức Mặt khác ta lại có Do ta b2 b2 b = −  − = 1− 2 2b b +1 b +1 1 a+b+c + +  3− b +1 c +1 a +1 a b c ab + bc + ca + +  a+ b+c− =a+b+c− 2 b +1 c +1 a +1 (a + b + c ) 1 3a 3b 3c + + + + +  + − 6 2 + b2 + c + a + b2 + c + a Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 76 Cho a, b, c số dương không âm thoả mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a b c + +  a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013 Lời giải Ta có a2 + 2b + = a2 + 2b + +  2a + 2b + Tương tự ta có A= a b c a b c + +  + + a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2a + 2b + 2b + 2c + 2c + 2a + 2 1 a b c  Hay A   + +  a + b + b + c + c + a +  Ta chứng minh a b c + + 1 a + b +1 b +c +1 c +a +1 Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với a b c −1+ −1+ −  −2 a + b+1 b+c +1 c +a +1 −b − −c − −a − b+1 c +1 a +1  + +  −2  + + 2 a + b+1 b+c+1 c +a +1 a + b+1 b+c+1 c +a +1 ( b + 1) ( c + 1) ( a + 1) + + 2 Ta cần chứng minh A = ( a + b + 1)( b + 1) ( b + c + 1)( c + 1) ( c + a + 1)(a + 1) 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta (a + b + c + 3) A ( a + b + 1)( b + 1) + ( b + c + 1)( c + 1) + ( c + a + 1)( a + 1) Để chứng minh A  2, Ta chứng minh (a + b + c + 3) = a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) +  Thật vậy, ta có có a + b + c + ab + bc + ca + 3(a + b + c) +  = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca + 6a + 6b + 6c + = ( a + b + c + ) Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 77 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + abc − 2(ab + bc + ca) Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2012 – 2013 Lời giải Do a + b + c =  − ( ab + bc + ca ) = a + b + c Suy P= a+b+c 1 1 + = + + + 2 2 abc a +b +c a + b + c ab bc ca Đến ta chứng minh P  30 cách sau + Cách Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 + +  = 2 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca ( a + b + c )2 Bất đẳng thức chứng minh ta Tuy nhiên, dễ thấy (a + +b + c )  21 ab + bc + ca  ab + bc + ca  ab + bc + ca   21 ab + bc + ca Do ta Vậy bất đẳng thức chứng minh + Cách Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 1 1 16 + + +  2 2 3ab 3bc 3ca a + b + c + ( ab + bc + ca ) a +b +c  16 = 12 2 (a + b + c ) + (a + b + c ) Bất đẳng thức chứng minh ta 2 1  + +   18   ab bc ca  Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2 1  6 + +   = 18   ab bc ca  ab + bc + ca (a + b + c ) Vậy bất đẳng thức chứng minh + Cách Theo đánh giá quen thuộc ta có Do ta có bất đẳng thức 1 + +  ab bc ca ab + bc + ca 1 1 + + +  + 2 2 a + b + c ab bc ca a + b + c ab + bc + ca Áp dụng tiếp đánh giá ta  1  + + a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca    2  a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca  ( Hay )  21 +  Mặt khác ta lại có 2 ab + bc + ca a + b + c ab + bc + ca Cộng theo vế bất đẳng thức ta Vậy bất đẳng thức chứng minh 1 1 + + +  30 2 a + b + c ab bc ca Vậy giá trị nhỏ P 30 Đẳng thức xẩy a = b = c = Bài 78 Cho số a, b, c thỏa mãn  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức:  1  A = (a + b + c + 3)  + +   a +1 b+1 c +1 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2012 – 2013 Lời giải Đặt x = + c, y = + b, z = + a Từ  a  b  c  ta  x  y  z  1 1 x x y y z z Ta viết lại biểu thức A A = ( x + y + z )  + +  = + + + + + + y z x z x y x y z  x  y  x y x.y x y x   +  +1 1− 1−    1− − + z y z y.z y z z  y   z  y  z y z.y z y z   +  +1 1− 1−    1− − + x y x y.x y x x  y  x y z y x z x x y y z z x z  + + +  + +  + + + + +  2 +  + y z y x z x y z x z x y z x Đặt t = x   t  Do ta z x z t + 2t − 5t + ( 2t − 1)( t − ) + =t+ = = + = + z x t t 2t 2t Do ( 2t − 1)( t − ) suy x + z   t  nên ta có 2t z x Từ ta A  + + = 10 Vậy giá trị lớn A 10 Đẳng thức xẩy a = 1; b = c = hoán vị Bài 79 Cho a, b, c ,d số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a + b4 + c + d4 a + b3 + c + d3 Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Tỉnh Nam Định năm học 2012 – 2013 Lời giải + Cách Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a = b = c = d = 3 Ta chứng minh P  4 Điều tương đương với chứng minh a + b4 + c + d4  a + b3 + c + d3 Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta có (  (a  (a ) ( ) + d )  (a + b + c + d ) (a + b + c + d ) + d )  a ( b + c + d ) + b (a + c + d ) + c (a + b + d ) + d (a + b + c ) a + b4 + c + d4  a + b3 + c + d +b +c + b4 + c 4 4 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a4 + a4 + a4 + b4 = 4a3 b; a4 + a4 + a4 + c4 = 4a3c; a + a + a + d4 = 4a 3d ( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta 9a + b4 + c + d4  4a ( b + c + d ) Hoàn toàn tương tự ta ( ) 9c + ( a + b + d )  4c ( a + b + d ) 9d + ( a + b + c )  4d ( a + b + c ) 9b4 + a + c + d4  4b3 ( a + c + d ) 4 4 4 4 Do ta ( ) ( ) 12 a + b4 + c + d4  4a ( b + c + d ) + 4b3 ( a + c + d ) + 4c (a + b + d ) + 4d (a + b + c ) Hay a + b4 + c + d4  a ( b + c + d ) + b3 ( a + c + d ) + c ( a + b + d ) + d3 ( a + b + c ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Suy giá trị nhỏ P 3 , đạt a = b = c = d = 4 + Cách Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta ( ) ( )(a + b ) )  (a a + b4 + c + d4  a + b2 + c + d2 (a + b4 + c + d4 2 + c + d2 + b3 + c + d3 ) Nhân theo vế bất đẳng thức ta ( a + b4 + c + d4 ( Hay 16 a + b4 + c + d4 ) )  (a ( + b3 + c + d3  a + b3 + c + d3 ) (a 2 ) (a ( ) + b2 + c + d2 + b2 + c + d2 Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a + b2 + c + d2  ( a + b + c + d ) = ) ) ( a + b3 + c + d3 Do ) (a 2 ) ( + b2 + c + d2  a + b3 + c + d ( ) ( ) ( ( Suy ta 16 a + b4 + c + d4 Hay a + b4 + c + d  a + b + c + d P= Do ta  a + b3 + c + d3 ) ) 2 ) a + b4 + c + d4  a + b3 + c + d3 Bài 80 Chứng minh với số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = , ta a + b + c  ab + bc + ca có bất đẳng thức: Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2012 – 2013 Lời giải Lời giải Trước hết ta chứng minh y4 − 3y2 + 2y  với số thực y khơng âm Thật vậy, ta có y − 3y + 2y = y ( y + )( y − 1)  Do ta có a − 3a + a  Áp dụng tương tự kết hợp với giả thiết ta a + b2 + c − ( a + b + c ) + ( ) a+ b+ c 0  a + b2 + c + ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) +  (a + b + c ) − + 2 2 ( ) ( ) ( ) a + b + c  ( ab + bc + ca ) a + b + c  ( ab + bc + ca ) a + b + c  ( ab + bc + ca )  a + b + c  ab + bc + ca Bài toán giải Bất đẳng thức xảy a = b = c = Lời giải Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với ( (  (a ) a + b + c  ( ab + bc + ca ) ) ( ) + 2(  a + b2 + c + 2 + b2 + c a+ b+ Vậy ta cần chứng minh: a + b2 + c2 + Hay (a ) ) ( c )  (a + b + c )  a + b + c  a + b + c + ( ab + bc + ca ) ) ( ( ) a+ b+ c 9 ) ( ) + a + a + b2 + b + b + c + c + c  Điều hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy ba số ta có a + a + a  3 a a a = 3a b + b + b  3 b b b = 3b c + c + c  3 c c c = 3c Bài toán giải Bất đẳng thức xảy a = b = c = (x Bài 81 Cho x; y  Chứng minh rằng: ) ( + y3 − x2 + y2 ( x − 1)( y − 1) ) 8 Lời giải Ta có (x ) ( + y3 − x2 + y2 ) = x ( x − 1) + y ( y − ) = 2 ( x − 1)( y − 1) ( x − 1)( y − 1) ( x − 1) + ( x − ) + + ( y − ) + ( y − ) + = y2 x2 + y −1 x −1 y −1 x −1  ( x − 1) ( y − 1) = + x −1  y −1  2   ( y − 1) ( x − 1)   1  + + + +  y −   y − x −    x −  Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ( x − 1) + ( y − ) y −1 x −1 ( y − 1) x −1 + 2 ( x − 1) y −1 ( x − 1) ( y − 1)  y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) =2 ( y − 1) ( x − 1) =4 x −1 y −1 1 1 + 2 y −1 x −1 y −1 x −1  1 2 +  y − x −  ( x − 1)( y − 1)   2.2  1 y −1 x −1 ( x − 1)( y − 1) = Cộng theo vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức cần chứng minh Bài 82 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: (a b + b c + c a )(ab 2 2 ) ( )( )( + bc + ca  abc + a + abc b + abc c + abc ) Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2011-2012 Lời giải + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   + + + +  + + +   +   c a b  c a b      bc  ca  ab  Đặt x = a b c ; y = ; z =  x; y; z  0; xyz = b c a Khi bất đẳng thức trở thành ( xy + yz + zx )( x + y + z )  + Đặt t = 3   x  y  z  z + 1  x + 1  y + 1     ( x + y )( y + z )( z + x )  ( x + y )( y + z )( z + x ) + xyz  +  ( x + y )( y + z )( z + x ) +  + ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) suy t  Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành t +  + t  t +  + 2t + t  t ( t − )( t + 1)  Bất đẳng thức cuối t  Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   + + + +  + + +   +   c a b  c a b      bc  ca  ab  3+ Hay Đặt x =  a2  b2  c  bc ca ab a b2 c  + + + + +  + + +   +  2 bc ca ab a b c  bc  ca  ab  a2 b2 c2 ; y= ; z= , ta có xyz = bc ca ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 3+x+y+z+ Hay 1 + +  + (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x y z + x + y + z + xy + yz + zx  + + x + y + z + xy + yz + zx Đặt t = + x + y + z + xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x + y + z + xy + yz + zx  Do ta có t  + = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t +  + t  t +  t + 2t +  t ( t + 1)( t − )  Đánh giá cuối với t  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài 83 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012 Lời giải + Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a + b3 ab ( a + b ) ab ( a + b ) ab ( a + b ) a + b   = = 2 abc c Từ ta có c3 + a + b3 a+b  c3 +  2c a + b c Tương tự ta có a3 + c3 a+c  b3 +  2b a + c b b3 + c b+c a3 +  a3 +  2a b + c a b3 + Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Bài toán chứng minh xong + Cách Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( a b+c +b a+c +c a+b  ) (  (a + b + c ) a + b2 + c ( ( ( a + b + c ) a + b2 + c = abc ( a + b + c ) a + b + c Theo bất đẳng thức quen thuộc ta có Từ ta ) ) abc ( a + b + c )  ab + bc + ca ) ( ) ( ) ( ) abc ( a + b + c ) a + b2 + c  a + b2 + c ( ab + bc + ca ) (a  (a Do ta có + b2 + c + ab + bc + ca + ab + bc + ca 34 b+c +b a+c +c a+b Hay a b + c + b a + c + c (a + b + c ) a+b  ) = (a + b + c ) 34 ) (a + b + c )  34 32 (a Dễ dàng chứng minh +b +c 3 ) (a + b + c )  Từ ta bất đẳng thức sau a + b3 + c  a b + c + b a + c + c a + b Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 84 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc biểu thức: Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Bắc Ninh năm 2011-2012 Lời giải Ta có a + abc = a ( a + b + c ) + abc = a ( a + b )( a + c ) Do ta a + abc = a ( a + b )( a + c )  a (a + b + a + c ) = a ( a + 1) Chứng minh tương tự ta b + abc  b ( b + 1) ; c + abc  c ( c + 1) Do ta a ( a + 1) a + abc + b + abc + c + abc  + b ( b + 1) + c ( c + 1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có a ( a + 1)  a +1 b+c   a + b+ c +1 + abc  a  + = a  = a     Chứng minh tương tự ta b ( b + 1) Như ta có + abc  b; c ( c + 1) + abc  c P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc  a + b + c + abc Mà ta có a+b+c a + b + c  ( a + b + c ) = 3; abc   =  3   Nên ta suy P  + = Vậy giá trị lớn P = Đẳng thức xẩy a = b = c = 3 Bài 85 Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , ad − bc = Chứng minh rằng: P  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải + Cách Ta có ( ac + bd ) + ( ad − bc ) 2 = a c + 2abcd + b 2d + a 2d − 2abcd + b c ( ) ( )( ( ) ( )( = a c + d2 + b2 d2 + c = a + b2 c + d2 Vì ad − bc = nên + ( ac + bd ) = a + b2 c + d2 ) ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P = a + b2 + c + d2 + ac + bd  (a )( ) + b2 c + d2 + ac + bd Suy ta P  + ( ac + bd ) + ac + bd Rõ ràng P  + ( ac + bd )  ac + bd 2 Đặt x = ac + bd , ta ( ) ( ) P  + x + x  P  + x + 4x + x + x = + x + 4x + x + 4x + Hay P  ( ) + x + 2x +  Do ta P  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ad − bc =  2a = 3d − c  2b = − 3c − d + Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  ( ad − bc ) a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a Hay ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a ( ) 3d − c  a ( ( + ) b − 3c − d  b2 + 3d − c ( ) = a2 + − 3c − d ) 3d − 3cd + c = b2 + 3d + 3cd + c Cộng theo hai bất đẳng thức ta a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Bài toán chứng minh xong Bài 86 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x y z 2x + 2y + 2z + +  a b2 c a + b2 + c Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải + Cách Vì a2 + b2 + c2  nên ta có (  x2 y2 z2  a + b2 + c  + +  b c  a  b2 + c − a  a + c − b2   a + b2 − c  2 = x2  + + y + + z +      a2 b2 c2       2 2 2 2  b +c −a  2a +c −b  a +b −c  = 2x + 2y + 2z + x  + y + z      a2 b2 c2       ) Giả sử a  b  c, c2 − a2  0; c2 − b2  Với c cạnh lớn góc nhọn nên c2  a2 + b2 Do ta có b2 + c2 − a2  0; a2 + c2 − b2  0; a + b2 − c  Suy  b2 + c − a   a + c − b2   a + b2 − c  2 2x2 + 2y2 + 2z2 + x2  +y  +z    2x + 2y + 2z 2 a b c       Hay (  x2 y2 z2 a + b2 + c  + + b c a )  2   2x + 2y + 2z  x y z 2x + 2y + 2z Hay + +  Bài toán chứng minh xong a b c a + b2 + c + Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với y2 2y x2 2x z2 2z − + − + − 0 a a + b2 + c b2 a + b2 + c c a + b2 + c x2 b2 + c − a y a + c − b2 z2 a + b2 − c  2 + 2 + 2 0 a a + b2 + c b a + b2 + c c a + b2 + c ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên a2 + b2  c2 ; b2 + c2  a2 ; c2 + a2  b2 Nên ta b2 + c2 − a2  0; a2 + c2 − b2  0; a + b2 − c  Do bất đẳng thức ln Bài tốn chứng minh xong Bài 87 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x + y + z = Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M = x + y + z + 12 (1 − x )(1 − y )(1 − z ) Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Đặt a = x − 1; b = y − 1; c = z − , ta −1  a; b; c  a + b + c = Biểu thức M viết lại thành ( ) ( ) M = a + b4 + c + a + b3 + c + a + b2 + c + ( a + b + c ) + − 12abc Để ý a + b + c = a3 + b3 + c3 − 3abc = nên biểu thức thử thành ( ) M = a + b4 + c + a + b2 + c + Theo đánh giá quen thuộc a + b + c  abc ( a + b + c ) = a + b2 + c  a + b + c) = ( Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = y = z = Mặt khác −1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có a  a  a ; b4  b2  b ; c  c  c ( ) ( ) Suy M = a + b4 + c + a + b2 + c +  a + b + c + Mà ta lại có a + b + c = nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Không tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta b + c = b+c = a Đến ta có M  14 a +  17 hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a = 1; b = −1; c = hoán vị hay x = 2; y = 0; z = hoán vị ...  ab + xy  a + x2 )( b 2 ) + y  ( ab + xy ) Bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Do bổ đề chứng minh Trở lại toán Áp dụng bất đẳng thức ta M = x − 6x + 25 + y − 6y + 25 + z − 6z... a+b+c ( ) Bất đẳng thức cuối đánh giá quen thuộc Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c a3 b3 a − b3 − = = a − b Áp dụng tương tự ta a + ab + b2 a + ab + b2 a + ab + b + Cách Ta... + a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a3 b3 c3 a+b+c + +  2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ac + a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c a3 b3 c3 a+b+c + +  Như từ lời giải ta 2