Tài liệu Môn học điều khiển bền vững-(phần 2) pptx

Chương 3 : Điều khiển bền vững Hình 3.15: Biểu đồ Bode Biên Độ hệ thống SISO Mặc khác, hình 3.14 là các giá trị trị suy biến của hệ đa biến. Chú ý rằng, theo đồ thị này không thể dễ dàng bằng trực quan tức thời nhận thấy cách liên kết hệ SISO .Những đường bao bảo đảm sự bền vững đựơc đưa ra trong hệ thống hệ MIMO dưới dạng giá trị trị suy biến cực tiểu là lớn tại tần số thấp ( cho chất lượng bền vững) và giá trị trị suy biến cực đại là nhỏ tại tần số cao (cho ổn định bền vững ) Hình 3.16:Các giá trị trị suy biến của hệ thống 3.3.2 Hàm nhạy và hàm bù nhạy Trang 174 Chương 3 : Điều khiển bền vững Khảo sát đặc tính của hệ thống hồi tiếp điển hình, từ đó đưa ra ý tưởng thiết kế thỏa hiệp giữa mục tiêu chất lượng và điều khiển bền vững nhằm thỏa mãn các yêu cầu thiết kế. Xét hệ thống hồi tiếp âm như hình 3.17, trong đó i d là nhiễu đầu vào, d là nhiễu đầu ra, n là nhiễu đo. Hình 3.17: Sơ đồ hệ thống hồi tiếp âm Lưu ý: Để liên hệ với phần lý thuyết điều khiển kinh điển, trong mục này ta phân tích sơ đồ điều khiển hồi tiếp âm, với bộ điều khiển là K ˆ ( K ˆ = -K ở mô hình hồi tiếp dương) Các quan hệ truyền đạt của hệ thống vòng kín được thể hiện qua các biểu thức sau: y = d KG d KG G n KG KG r KG KG i ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ + + + + + − + u = d KG K d KG KG n KG K r KG K i ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ + − + − + − + G u = d KG K d KG n KG K r KG K i ˆ 1 ˆ ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ + − + + + − + e = d KG d KG G n KG r KG i ˆ 1 1 ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ 1 1 + − + − + − + Định nghĩa các hàm nhạy, hàm bù nhạy và độ lợi vòng như sau: Trang 175 n y G u ue r - + + + G d i d Chương 3 : Điều khiển bền vững - Hàm nhạy : KG S ˆ 1 1 + = - Hàm bù nhạy : KG KG T ˆ 1 ˆ + = - Độ lợi vòng: KGL ˆ = Các đẳng thức trên được viết gọn lại: SdGSdTnTry i ++−= (3.156) SdKTdSnKSrKu i ˆˆˆ −−−= (3.157) ˆ ˆ ˆ G i u KSr KSn Sd KSd= − + − (3.158) SdGSdSnSre i −−−= (3.159) Từ (3.156) – (3.159), ta có thể rút ra các mục tiêu chất lượng của hệ thống vòng kín.Từ phương trình (3.156) ta thấy rằng: - Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đầu ra d lên đầu ra y, hàm nhạy S cần phải nhỏ. - Để giảm ảnh hưởng của nhiễu đo n lên đầu ra y, hàm bù nhạy T cần phải nhỏ. Tương tự, từ phương trình (3.158), để làm giảm ảnh hưởng của nhiễu đầu vào d i , hàm nhạy S cần phải nhỏ. Nhưng từ định nghĩa ,hàm nhạy và hàm bù nhạy có quan hệ ràng buộc như sau: S + T = 1 (3.160) Do đó, S và T không thể đồng thời nhỏ. Để giải quyết mâu thuẫn này, người ta dựa vào đặc tính tần số của các tín hiệu nhiễu. Nhiễu tải d, d i tập trung chủ yếu ở vùng tần số thấp, còn nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Như vậy, để hệ ít bị ảnh hưởng bởi d, thì S và GS cần phải nhỏ trong vùng tần số mà d tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Tương tự, điều kiện để hệ ít nhạy đối với nhiễu d i là |S| và | ˆ | SK nhỏ trong vùng tần số mà d i tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Trang 176 Chương 3 : Điều khiển bền vững Ta có: 1| ˆ || ˆ 1|1| ˆ | +≤+≤− KGKGKG Suy ra: 1| ˆ | 1 ˆ 1 1 1| ˆ | 1 − ≤ + ≤ + KGKGKG , nếu | KG ˆ |>1 hay: 1 1 1 1 − ≤≤ + L S L ,nếu L >1 Từ đó, ta thấy: S <<1 ⇔ L >>1 Hơn nữa, nếu L >> 1, thì: GS | ˆ | 1 ˆ 1 KKG G ≈ + = | ˆ | SK G KG K 1 ˆ 1 ˆ ≈ + = Như vậy, đối với đầu ra y: - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, độ lợi vòng L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng tần số mà d tập trung; - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d i , biên độ bộ điều khiển phải đủ lớn K ˆ 1 >> trong vùng tần số mà d i tập trung. Tương tự, đối với đầu vào (u G ) - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d i , L phải lớn (nghĩa là |L|>> 1) trong vùng tần số mà d i tập trung. - Để giảm thiểu ảnh hưởng của d, biên độ đối tượng (không thay đổi được trong thiết kế điều khiển) phải đủ lớn (|G|>> 1) trong vùng tần số mà d tập trung. Tóm lại, một trong những mục tiêu thiết kế là độ lợi vòng (và cả độ lợi của bộ điều khiển, nếu được) phải lớn trong vùng tần số mà d và d i tập trung, cụ thể là vùng tần số thấp. Trang 177 Chương 3 : Điều khiển bền vững Sau đây, ta xét ảnh hưởng của sai lệch mô hình lên hệ thống hồi tiếp. Giả sử mô hình đối tượng có sai số nhân là (I + ∆ )G, với ∆ ổn định, và hệ thống kín ổn định danh định (ổn định khi ∆ =0). Hệ thống kín có sai số mô hình sẽ ổn định nếu: det ( ) KG ˆ 1(1 ∆++ )=det                 + ∆ ++ KG KG KG ˆ 1 ˆ 1) ˆ 1( =det(1+ KG ˆ )det(1+ )T ∆ không có nghiệm ở nửa phải mặt phẳng phức. Ta thấy rằng, điều này sẽ được thỏa nếu như T ∆ đủ nhỏ, hay |T| phải nhỏ ở vùng tần số mà ∆ tập trung, cụ thể là vùng tần số cao. Để ý rằng, nếu |L| rất lớn thì |T| ≈ 1 và |S| ≈ 0. Do đó, từ (3.156) ta thấy nếu như ( )L j ω lớn ở trong một dải tần số rộng, thì nhiễu đo n cũng sẽ truyền qua hệ thống trong vùng tần số đó, nghĩa là: y= SdGSdTnTr i ++− ≈ (r - n) vì rằng nhiễu đo n tập trung chủ yếu ở vùng tần số cao. Hơn nữa, nếu độ lợi vòng lớn ở ngoài vùng băng thông của G, nghĩa là ( )L j ω >>1 trong khi ( )G j ω <<1, thì có thể làm cho tín hiệu điều khiển quá lớn, gây bão hòa ở cơ cấu chấp hành. Điều này có thể được lý giải từ (3.157) như sau: u= ≈−−− i TddnrSK )( ˆ i ddnr G −−− )( || 1 Phương trình trên cho thấy nhiễu tải và nhiễu đo sẽ được khuyếch đại lên khi mà vùng tần số mà nó tập trung vượt ra ngoài phạm vi băng thông của G, vì đối với dải tần số mà ( )G j ω <<1 thì ( ) ω jG 1 >>1. Tương tự, biên độ của bộ điều khiển, | K ˆ |, không được quá lớn trong vùng tần số mà độ lợi vòng nhỏ nhằm tránh làm bão hòa cơ cấu chấp hành. Vì lẽ khi độ lợi vòng nhỏ ( ( )L j ω <<1), thì u= ii dTdnrSK −−− )( ˆ = ˆ ( )K r n d− − Do đó, một điều cần lưu ý khi thiết kế là | K ˆ | không được lớn quá khi độ lợi vòng nhỏ. Trang 178 Chương 3 : Điều khiển bền vững Từ những điều trình bày ở trên, ta tổng kết lại các ý tưởng thiết kế sau đây: - Để đảm bảo mục tiêu chất lượng trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là vùng tần số thấp (0, l ω ), hệ thống cần phải có: 1| ˆ | >> KG , | ˆ | K >>1 - Để đảm bảo tính bền vững và có khả năng triệt nhiễu đo tốt trong một vùng tần số nào đó, cụ thể là vùng tần số cao ( ∞ , h ω ),hệ thống cần phải có : 1| ˆ | << KG , ≤ | ˆ | K M trong đó M có trị số không quá lớn. Những ý tưởng thiết kế này được minh họa trong hình 3.18. Những tần số hl ωω , được xác định tùy thuộc vào từng ứng dụng cụ thể, và những thông tin về đặc tính của nhiễu tải, nhiễu đo, sai lệch mô hình. Hình 3.18: Độ lợi vòng và các ràng buộc tần số thấp và tần số cao. Những điều phân tích trên đây là cơ sở cho một kỹ thuật thiết kế điều khiển: đó là nắn dạng vòng (loop shaping). Mục tiêu nắn dạng vòng là tìm ra một bộ điều khiển sao cho độ lợi vòng |L| tránh được các vùng giới hạn (xem hình 3.18) chỉ định bởi các điều kiện về chất lượng và bền vững. 3.3.3 Thiết kế bền vững H ∞ Trang 179 l ω h ω c ω log Chương 3 : Điều khiển bền vững 3.3.3.1 Mô tả không gian H ∞ và RH ∞ Không gian vector Hardy có chuẩn vô cùng, ký hiệu là H ∞ , là không gian các hàm phức G(s) của biến phức s (s ∈C) mà trong nửa hở mặt phẳng phức bên phải (miền có phần thực của biến s lớn hơn 0) thỏa mãn: - là hàm giải tích (phân tích được thành chuỗi lũy thừa), và - bị chặn, tức tồn tại giá trị M dương nào đó để ( )s M≤G có phần thực dương. Tập con đặc biệt của H ∞ mà trong điều khiển bền vững rất được quan tâm là tập hợp gồm các hàm G(s) thực - hữu tỷ (real-rational) thuộc H ∞ , tức là các hàm hữu tỷ phức G(s)∈ H ∞ với các hệ số là những số thực dạng 0 1 1 ( ) 1 m m n n b b s b s s a s a s + + + = + + + G L L trong đó a i ,b j ∈ R, ký hiệu là RH ∞ . Trong lý thuyết hàm phức, người ta chỉ ra được rằng: một hàm thực – hữu tỷ G(s) bất kỳ sẽ thuộc RH ∞ khi và chỉ khi - lim ( ) s s →∞ < ∞G , hay ( )∞G bị chặn (khi m≤n),được gọi là hàm hợp thức và - G(s) không có cực trên nửa kín mặt phẳng phức bên phải. Nói cách khác G(s) không có điểm cực với Re(s) ≥ 0.Một hàm G(s) có tính chất như vậy gọi là hàm bền. Nếu hàm truyền hợp thức G(s) không những ở nửa hở bên phải mặt phẳng phức bị chặn khi s ∞→ mà còn thỏa mãn (khi m<n) 0|)(|lim = ∞→ sG s Chuẩn H ∞ của một hệ thống SISO G(s) ∈ RH ∞ được định nghĩa như sau: { } sup ( )G j ω ω ∞ = G (3.161) Như vậy, chuẩn vô cùng G ∞ chính là khoảng cách lớn nhất từ tâm tọa độ mặt phẳng phức tới một điểm trên đường đặc tính tần biên – pha của G(j ω ). Trang 180 Chương 3 : Điều khiển bền vững 3.3.3.2 Sai số mô hình phân tích coprime Phần này trình bày một số kết quả về phân tích coprime bên trái LCF (Left Coprime Factorization). Ta cũng có thể suy ra kết quả tương tự đối với phân tích coprime bên phải nhờ vào tính đối ngẫu. Định nghĩa 1: Các ma trận hàm truyền đạt N % , M % ∈ RH ∞ tạo thành một phân tích coprime bên trái của G nếu và chỉ nếu: a. M % vuông, và det( ) 0≠M % (3.162) b. 1− =G M N % % (3.163) c.∃ V, U ∈ RH ∞ sao cho: + =MV NU I % % (3.164) Định nghĩa 2: Nếu N % , M % là phân tích coprime bên trái của G đồng thời thỏa: ∗ ∗ + =NN MM I % % (3.165) thì được gọi là phân tích coprime bên trái chuẩn. Một đối tượng G có thể có vô số phân tích coprime bên trái, nhưng chỉ có một phân tích coprime bên trái chuẩn Xác định phân tích coprime bên trái chuẩn Phân tích coprime bên trái chuẩn có thể được xác định từ mô hình trạng thái của G và nghiệm của phương trình Riccati. Giả sử A, B, C, D là mô hình trạng thái của G, ký hiệu là:       = DC BA G (3.166) trong đó: 1 ( ) ( )s sI − = − +G C A B D . Để xác định phân tích coprime bên trái, trước tiên ta cần phải tìm nghiệm của phương trình Riccati sau: 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 ∗ − ∗ − ∗ ∗ − ∗ − ∗ − + − − + − =A BD R C Z Z A BD R C ZC S CZ B I D R D B (3.167) trong đó * DDIR +≡ . Phương trình này có tên là Phương trình Riccati lọc tổng quát (GFARE – Generalized Filter Algebraic Riccati Equation). Sau đó áp dụng định lí 3.3 để tính N % , M % . Trang 181 Chương 3 : Điều khiển bền vững Định lý 3.3: Cho   =     A B G C D . Phân tích coprime bên trái chuẩn của G được xác định như sau: 1 2 1 2− − + +   =     A HC B HD N R C R D % ; 1 2 1 2− − +   =     A HC H M R C R % (3.168) trong đó Z là nghiệm xác định dương duy nhất của GFARE, ∗ = +R I DD , và 1 ( ) ∗ ∗ − = − +H ZC BD R . Sai số mô hình phân tích coprime bên trái Sau đây, ta định nghĩa sai số mô hình phân tích coprime bên trái. Giả sử G là mô hình đối tượng, ( N % , M % ) là một phân tích coprime bên trái của G. Hệ có sai số mô hình phân tích coprime bên trái chuẩn được định nghĩa như sau: 1 ( ) ( ) M N − ∆ = + ∆ + ∆G M N % % (3.169) trong đó ∆ N , ∆ M ∈ RH ∞ là các hàm truyền chưa biết thể hiện phần sai số trong mô hình danh định. Họ mô hình có sai số là một tập ε G định nghĩa như sau: [ ] { } 1 ( ) ( ) : , M N M N ε ε − ∞ = + ∆ + ∆ ∆ ∆ <M N % % G (3.170) Hình 3.19: Biểu diễn sai số mô hình phân tích coprime bên trái Mục tiêu của điều khiển bền vững là tìm bộ điều khiển K ổn định hóa không chỉ mô hình danh định G, mà cả họ mô hình ε G . Trang 182 N % ∆ N + - 1 − M % + ∆ M + + Chương 3 : Điều khiển bền vững Ưu điểm của cách biểu diễn sai số mô hình trên đây so với biểu diễn sai số cộng và sai số nhân là số cực không ổn định có thể thay đổi do tác động của sai số mô hình 3.3.3.3 Bài toán ổn định bền vững H ∞ : Xét hệ hồi tiếp hình 3.20 Hình 3.20: Sơ đồ phân tích ổn định bền vững với mô hình có sai số LCF Định lý 3.4: 1− =G M N % % là mô hình danh định; 1 ( ) ( ) M N − ∆ = + ∆ + ∆G M N % % là mô hình có sai số; ( M % , N % ) là phân tích coprime bên trái của G; M % , N % , M ∆ , N ∆ ∈ RH ∞ . Hệ ổn định bền vững với mọi [ ] M N ∆ ∆Δ @ thỏa [ ] 1 M N γ ∞ ∆ ∆ < nếu và chỉ nếu: a.Hệ (G, K) ổn định nội, và b. 1 1 ( ) γ − − ∞   − ≤     K I GK M I % (3.171) Định lý 3.4 có thể phát biểu một cách tương đương dưới dạng một bài toán tối ưu như sau: Định lý 3.5: Trang 183 N % K w u y d + + + 1 − M % N ∆ M ∆ + + + [...]... đồ điều khiển khác nhau Hình 3.23 là sơ đồ điều khiển với bộ điều khiển thiết kế theo thủ tục LSDP Ta có thể thay đổi sơ đồ này một chút như hình 3.24, mà không làm thay đổi dạng vòng L + r W2 - K∞ W1 G y Hình 3.23: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị với bộ điều khiển đạt được từ LDSP Trang 190 Chương 3 : Điều khiển bền vững + W1 G K∞ K ∞ (0)W2 (0) r W2 y Hình 3.24: Sơ đồ điều khiển cải tiến với bộ điều. .. chất lượng điều khiển vẫn thể hiện trong thủ tục thiết kế quả giá trị của γ min 3.3.4.2 Sơ đồ điều khiển: Trên đây ta chỉ quan tâm đến vòng điều khiển, không quan tâm đến vị trí tín hiệu đặt được đưa vào vòng điều khiển như thế nào Thông thường, tín hiệu đặt đưa vào vòng điều khiển như hình 3.22 với hồi tiếp đơn vị + r K y G - Hình 3.22: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị Nếu bộ điều khiển K đạt được...Chương 3 : Điều khiển bền vững −1 % % Đối tượng G∆ = ( M + ∆ M ) ( N + ∆ N ) , với [ ∆M ∆N ] ∞ < 1 γ , ổn định hóa bền vững được nếu và chỉ nếu: K  % inf   ( I − GK ) −1 M −1 K I ≤γ (3.1 72) ∞ trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển K ổn định hóa G Bài toán ổn định bền vững Cho trước giá trị γ, tìm bộ điều khiển K (nếu tồn tại) ổn định hóa đối... sai số (lý tưởng bằng 0)(z và u trong hình (3.25)).Thêm vào đó u là ngõ vào điều khiển và y là ngõ ra quan sát G là đối tượng tổng quát và C e là bộ điều khiển v u G G z y Ce Hình 3.26: Vấn đề chuẩn H2 Trang 194 Chương 3 : Điều khiển bền vững 3.4.3 Vấn đề chuẩn H2 và lời giải của nó Vấn đề tối ưu chuẩn H2 là lựa chọn bộ điều khiển K ở hình (3.26) để : a Ổn định với hệ thống vòng kín và b Cực tiểu hoá... lấy mẫu: T=0.4(s) Khảo sát hệ thống trên dùng phương pháp LQG Sơ đồ khối của một bộ điều khiển LQG như sau: Từ sơ đồ khối trên, ta thấy rằng cấu trúc của bộ điều khiển LQG chính là bộ điều khiển LQR kết hợp với bộ ước lượng Kalman và có xét đến nhiễu quá trình w(k) và nhiễu đo lường v(k) Trang 199 Chương 3 : Điều khiển bền vững Phương trình Biến Trạng Thái của hệ rời rạc khi có xét đến nhiễu như sau:... tục LSDP thiết kế bộ điều khiển Sơ đồ mô phỏng: Trang 203 Chương 3 : Điều khiển bền vững Chú thích các khối trong sơ đồ: Step Gain W1, W2 Kinf Khối tạo tín hiệu đặt là hàm nấc thang đơn vị Bộ tiền xử lý, hệ số khuếch đại = - K ∞ (0)W2 (0) Các hàm nắn dạng chỉ định trong thủ tục LSDP Bộ điều khiển K ∞ đạt được sau bước 3 của thủ tục Flexible Link LSDP Khối giả lập đối tượng điều khiển Lẽ ra khối này... (s + 10) 2 ( s + 2) Kết quả thiết kế: Giá trị γ nhỏ nhất: γ min = 3.68 Chọn γ = 1.05 γ min = 3.86 Trang 208 Chương 3 : Điều khiển bền vững Bộ điều khiển đạt được: K∞ = -131.7524 (s+10.17) (s+9.817) (s+2.146) (s 2 + 1.103s + 0.4046) (s+35.13) (s+16.61) (s 2 + 1.799s + 0.8091) (s 2 + 11.61s + 96. 32) Đáp ứng của hệ thống: r(t) là tín hiệu đặt, y(t) vị trí đầu mút, u(t) là điện áp điều khiển, q(t) là độ... rạc khi có xét đến nhiễu như sau:  x (k + 1) = Φx(k ) + Γu (k ) + w(k )   y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) + v(k ) với luật điều khiển: ˆ u (k ) = − Kx(k ) Sơ đồ mô phỏng hệ thống: KẾT QUẢ: Đáp ứng của hệ thống Trang 200 Chương 3 : Điều khiển bền vững Trang 201 Chương 3 : Điều khiển bền vững 3.5.3 Thiết kế H∞ cánh tay mềm dẻo Xét thanh đồng chất, khối lượng phân bố đều, chiều dài là L Thanh được chia thành... đối tượng: G 0 ( s) = C ( sI − A) −1 B + D G0 ( s ) = 990679.4792 (s+598 .2) (s-598 .2) (s+167 .2) (s-167 .2) s (s + 1.309e004) (s 2 + 1.215e005) (s 2 + 93.16s + 8.678e005) 2 2 Thông thường ,trước khi đưa mô hình vào sử dụng ,cần phải sửa đổi mô hình dựa trên biểu đồ Bode G ( s) = 990679.4792 (s+598 .2) (s-598 .2) (s+167 .2) (s-167 .2) 2 2 2 2 (s+1e-006) (s + 11.44s + 1.309e004) (s + 34.86s + 1.215e005) (s... bước 1 (Thông thường 1< γ min γ min , tổng hợp bộ điều khiển ~ K ∞  − 1 − 1  I ( I − G s K ∞ ) M s   (Việc xác định K ∞sao cho ≤γ ∞ K ∞đã được trình bày ở phần 3.3) Bước 4: Bộ điều khiển K cần tìm được tính theo công thức: K = W1 K ∞W2 Trang 188 Chương 3 : Điều khiển bền vững Thủ tục thiết kế được minh họa trong hình 3.21 W1 G W2 Gs W1 G W2 K∞ G W1 K∞ W2 . 3.23: Sơ đồ điều khiển hồi tiếp đơn vị với bộ điều khiển đạt được từ LDSP Trang 190 G K y r - + y W 2 r - + ∞ K W 1 G Chương 3 : Điều khiển bền vững Hình. (3.1 72) trong đó infimum được thực hiện trong tất cả các bộ điều khiển K ổn định hóa G. Bài toán ổn định bền vững Cho trước giá trị γ, tìm bộ điều khiển