Chứng minh rằng D là trung điểm của cạnh BC Giải: Vì D là giao điểm của đường trung trực của các cạnh AB và AC nên 2 tam giác A DAB và DAC là cân và các góc ở đáy của mỗi tam giác đó bằn[r]
(1)Bài 1: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M là trung điểm cạnh AC, AB Trên tia BN lấy điểm B/ cho N là trung điểm BB/ Trên tia CM lấy điểm C/ cho M là trung điểm CC/ Chứng minh: a B/C/ // BC b A là trung điểm B/C/ C/ Giải: a Xét hai tam giác AB/N và CBN M N ta có: AN = NC; NB = NB/ (gt); ANB/ = BNC (đối đỉnh) Vậy Δ AB❑ N =Δ CBN suy AB/ = BC B C và B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC Chứng minh tương tự ta có: AC/ = BC và AC/ // BC Từ nmột điểm A kẻ đường thẳng song song với BC Vậy AB / và AC/ trùng nên B/C/ // BC b Theo chứng minh trên AB/ = BC, AC/ = BC Suy AB/ = AC/ Hai điểm C/ và B/ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ là đường thẳng AC Vậy A nằm B/ và C/ nên A là trung điểm B/C/ Bài 2: Cho tam giác ADE có D = E Tia phân giác góc D cắt AE điểm M, tia phân giác góc E cắt AD điểm M So sánh các độ dài DN và EM Hướng dẫn: Chứng minh: Δ DEN=Δ EDM (g.c.g) Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng) Bài 3: Cho hình vẽ bên A B đó AB // HK; AH // BK Chứng minh: AB = HK; AH = BK Giải: Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K ⇒ A1 = K1 (so le trong) AH // BK ⇒ A2 = K2 (so le trong) Do đó: Δ ABK= Δ KHA (g.c.g) Suy ra: AB = HK; BK = HK Bài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BC F, Chứng minh a AD = EF (2) b Δ ADE=Δ EFC c AE = EC Giải: a.Nối D với F DE // BF A EF // BD nên Δ DEF= Δ FBD (g.c.g) Suy EF = DB Ta lại có: AD = DB suy AD = EF D E b.Ta có: AB // EF ⇒ A = E (đồng vị) AD // EF; DE = FC nên D1 = F1 (cùng B) Suy Δ ADE=Δ EFC (g.c.g) B F C c Δ ADE=Δ EFC (theo câu b) suy AE = EC (cặp cạnh tương ứng) Bài 4: Cho tam giác ABC D là trung điểm AB, E là trung điểm AC vẽ F cho E là trung điểm DF Chứng minh: A a DB = CF b ΔBDC=Δ FCD D F E c DE // BC và DE = BC Giải: a Δ AED=Δ CEF ⇒ AD = CF B C Do đó: DB = CF (= AD) b Δ AED=Δ CEF (câu a) suy ADE = F ⇒ AD // CF (hai góc vị trí so le) AB // CF ⇒ BDC = FCD (so le trong) Do đó: Δ BDC=ΔECD (c.g.c) c Δ BDC=ΔECD (câu b) Suy C1 = D1 ⇒ DE // BC (so le trong) ΔBDC=ΔFCD ⇒ BC = DF 1 Do đó: DE = DF nên DE = BC Bài 5: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn õ và Oy Kẻ Ot nằm Ox và Oy) Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy các điểm A, B, C, D cho OA = OC và OB = OD Chứng minh hai đường thẳng AD và BC vuông góc với Giải: Xét tam giác OAD và OCB có OA = OC, O1 = O3 (cùng phụ với O2) OD = OB (gt) Vậy Δ OAD= ΔOCB (c.g.c) (3) t ⇒ z A = C mà E1 = E2 (đối đỉnh) Vậy CFE = AOE = 900 ⇒ AD C Bc x A D O B Bài 6: Cho tam giác ABC trung điểm BC là M, kẻ AD // BM và AD = BM (M và D khác phía AB) Trung điểm AB là I a Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng b Chứng minh: AM // DB c Trên tia đối tia AD lấy điểm AE = AD Chứng minh EC // DB Giải: D A E a AD // Bm (gt) ⇒ DAB = ABM Δ IAD= ΔIBM có (AD = BM; DAM = ABM F y (IA = IB) Suy DIA = BIM mà DIA + DIB = 1800 nên BIM + DIB = 1800 B M C Suy DIM = 180 Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàng b Δ AIM= ΔBID (IA = IB, DIB = MIB) ID = IM ⇒ BDM = DMA ⇒ AM // BD c AE // MC ⇒ EAC = ACM; AE = MC (AC chung) Vậy Δ AEC=Δ CMA (c.g.c) Suy MAC = ACE ⇒ AM // CE mà AM // BD Vậy CE // BD Bài 7: Ở hình bên có A1 = C1; A2 = C2 So sánh B và D cặp đoạn thẳng Giải: B C Xét tam giác ABC và tam giác CDA chúng có: A2 = C2; C1 = A1 cạnh Ac chung Vậy Δ ABC=ΔCDA (g.c.g) A D Suy B = D; AB = CD Và BC = DA Bài 8: Cho tam giác ABC các tia phân giác các góc B và C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC Gọi giao điểm đường thẳng này với AB, AC theo thức tự là D và E Chứng minh DE = BD (4) Giải: A DI // DC ⇒ I1 = B1 (so le) BI là đường phân giác góc B ⇒ B1 = B2 Suy I1 = B2 Tam giác DBI có: I1 = B2 ⇒ Tam giác DBI cân BD = BI (1) Chứng minh tương tự CE = EI (2) Từ (1) và (2): BD + CE = DI + EI = DE D I E B C Bài 9: Cho tam giác ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC, CA cho AD = BE = CF Chứng minh tam giác DEF là tam giác Giải: A Ta có AB = BC = CA, AD = BE = CF Nên AB - AD = BC - BE = CA - CF D F Hay BD = CE = AF Tam giác ABC A = B = C = 600 B E C Δ ADF= Δ BED (c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tương ứng) ΔEBD=Δ FCE (c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tương ứng) Do đó: DF = DE = EF Vậy tam giác DEF là tam giác Bài 10: Trên hình vẽ bên cho biết AD DC; DC BC; AB = 13cm AC = 15cm; DC = 12cm A 13 B 15 Tính độ dài đoạn thẳng BC Giải: Vì AH BC (H BC) B H AH BC; DC BC (gt) ⇒ AH // DC mà HAC và DCA so le Do đó: HAC = DCA Chứng minh tương tự có: ACH = DAC Xét tam giác AHC và tam giác CDA có HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC Do đó: Δ AHC=ΔCDA (g.c.g) ⇒ AH = DC Mà DC = 12cm (gt) Do đó: AH = 12cm (1) Tam giác vuông HAB vuông H theo định lý Pitago ta có: AH2 +BH2 = AB2 ⇒ BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25 12 C (5) ⇒ BH = (cm) (2) Tam giác vuông HAC vuông H theo định lý Pitago ta có: AH2 + HC2 = AC2 ⇒ HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92 ⇒ HC = (cm) Do đó: BC = BH + HC = + = 14 (cm) Bài 11: Cho tam giác vuông cân đỉnh A MA = cm; MB = cm; góc AMC = 135 Tính độ dài đoạn thẳng MC A Giải: Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A M Ta có: AD = MA = cm AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 B C Xét tam giác ADC và AMB có: AD = AM D DAC = MAB (hai góc cùng phụ với A góc CAM); AC = AB (gt) Do đó: Δ ADC=Δ AMB (c.g.c) ⇒ DC = MB Tam giác vuông AMD vuông A D nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago) Do đó: MD2 = 22 + 22 = B C Tam giác MDC vuông M nên DC2 = MD2 + MC2 (Pitago) Do đó: 32 = + MC2 ⇒ MC2 = - = ⇒ MC = Bài 12: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không các cạnh AB; AC; BC tỉ lệ với a 9; 12 và 15 b 3; 2,4 và 1,8 c 4; và d ; √ và Giải: a AB AC BC = = =k ⇒ 12 15 2 AB=9 k ⇒ AB =81k 2 AC=12 k ⇒ AC =144 k 2 BC=15 k ⇒ BC =225 k ¿{{ AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2 Vậy tam giác ABC vuông A b AB AC BC = = =k ⇒ AB=4 k ⇒ AB2=16 k AC=6 k ⇒ AC2=36 k BC=7 k ⇒ BC 2=49 k ¿{{ (6) ⇒ AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2 49k2 = BC2 Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông c Tương tự tam giác ABC vuông C (C = 900) d Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900) Bài 13: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Giải: Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông Tam giác ABH có H = 900 ⇒ AB2 = AH2 + HB2 ⇒ AB2 - HB2 = AH2 Δ AHC có H = 900 ⇒ ⇒ ⇔ BC A ⇒ AC2 = AH2 + HC2 AC2 - HC2 = AH2 AB2 - HB2 = AC2 - HC2 B H C AB2 + CH2 = AC2 + BH2 Bài 14: Cho tam giác ABC có A là góc tù Trong các cạnh tam giác ABC thì cạnh nào là cạnh lớn nhất? A Giải: * Kẻ AD AB tia AD nằm tia AB và AC ⇒ BD < BC (1) Xét tam giác ABD vuông A BD2 = AB2 + AD2 ⇒ AB2 < BD2 ⇒ AB < BD (2) B E D C Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC * Kẻ AE AC tia AE nằm hai tia AB và AC ⇒ EC < BC (3) Xét tam giác AEC vuông A EC2 = AE2 + AC2 ⇒ AC2 < EC2 hay AC < EC (4) Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC Vậy cạnh lớn là BC Bài15: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ đường vuông góc với AC Hai đường này cắt M Chứng minh a Δ AMB=Δ AMC b AM là đường trung trực đoạn thẳng BC Giải: A a Hai tam giác vuông ABM và ACM vì cạnh huyền AM chung AB = AC (gt) (7) b Do Δ AMB=Δ AMC ⇒ A1 = A2 Gọi I là giao điểm AM và BC Xét hai tam giác AIB và AIC A1 = A2 (c/m trên); AB = AC B C M (Vì tam giác ABc cân A); AI chung nên Δ AIB=Δ AIC (c.c.c) Suy IB - IC; AIB = AIC mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau) Suy AIB = AIC = 900 Vậy AM BC trung điểm I đoạn thẳng BC nên AM là đường trung trực đoạn thẳng BC Bài 16: a Cho tam giác ABC cân A, kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh AD là tia phân giác góc A b Cho tam giác ABC cân A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB Gọi K là giao điểm BD và CE Chứng minh AK là tia phân giác góc A Giải: A a Xét hai tam giác vuông CDB và ADC có canh AD là cạnh chung; AB = AC ⇒ Δ ADB=Δ ADC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) ⇒ BAD = CAD (cặp góc tương ứng) Do đó: AD là tia phân giác góc A B b Hướng dẫn Chứng minh Δ ADB=Δ AEC (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AD = AE (cặp cạnh tương ứng) Δ ADK= ΔAEK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) D A E C D ⇒ A1 = A2 Do đó Ak là tia phan giác góc K B C Bài 17: Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt đường trung trực BC I Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC Chứng minh BH = CK A Giải: Gọi M là trung điểm BC ta có: K (8) (c.g.c) Vì BM = CM; IM chung; M1 = M2 ⇒ IB = IC (cặp góc tương ứng) Δ AHI=Δ AKI (cạnh huyền - góc nhọn) B Δ AMI= ΔCMI M H C I ⇒ IH - IK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) ⇒ BH = CK ΔIHB= ΔIKC AB Bài 18: Cho tam giác vuông ABC vuông A có AC = AC B Giải: Theo đề ta có: và BC = 15cm Tìm các độ dài AB; AB AC AB AC = ⇒ = 16 Theo tính chất dãy tỉ số và định lý Pitago ta có: A C AB AC2 AB2 + AC2 BC 152 = = = = =9 16 9+16 25 25 Suy ra: AB2 = 9.9 = 92 ⇒ AB = cm AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122 ⇒ AC = 12 cm Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm Bài 19: Chứng minh tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông hình bên là tam giác vuông cân Giải: B Gọi độ dài cạnh ô vuông là Theo định lý Pitago ta có: AB2 = 12 + 22 = + = C BC2 = 12 + 22 = + = A AC2 = 12 + 32 = + = 10 Do AB2 = BC2 nên AC = AB Do AB2 + BC2 = AC2 nên ABC = 900 Vậy tam giác ABC vuông cân B Bài 20: Cho tam giác vuông ABC (A = 900) Chứng minh a Nếu AB = BC thì C = 300 b Nếu C = 300 thì AB = BC Giải: Trên tia đối tia AB đặt AD = AB C (9) Nối CD thì ta có: Δ BAC=Δ DAC (c.g.c) ⇒ CB = CD (1) B A D a Nếu AB = BC và AB = AD = BD Thì BC = BD (2) Từ (1) và (2) suy CB = BD 1 0 Vậy tam giác BCD ⇒ BCA = ACD = BCD = 60 =30 b CB = CD ⇒ Tam giác CBD cân Nếu BCA = 300; BCD = 60=0 suy tam giác BCD ⇒ BD = BC ⇒ 2AB = BC ⇒ AB = BC Bài 21: Cho tam giác ABC, kẻ BE AC và CF AB Biết BE = CF = 8cm độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với và a Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân b Tính độ dài cạnh đáy BC c BE và CF cắt nhao O Nối OA và EF Chứng minh đường thẳng AO là trung trực đoạn thẳng EF A Giải: a Δ BFC=ΔCEB vì E = F = 900 BE = CF, Bc cạnh chung E F ⇒ FBC = ECB ⇒ tam giác ABC cân O b Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC B C tỉ lệ với và Ta có: BF BC BF BC2 BC2 −BF FC2 82 = ⇒ = = = = =4 25 25− 16 16 ⇒ BC =4 ⇔ BC2 =25 4=100⇒ BC=10 25 cm c Tam giác ABC cân ⇒ AB = AC mà BF = EC ( ΔBFC=ΔCEB ) ⇒ AF = AE Δ AFO= ΔAEO (cạnh huyền - cạnh góc vuông) ⇒ FAO = EAO ⇒ Δ FAI=Δ EAI (Vì AF = AE ; FAI = EAI) ⇒ IF = IE (1) và FIA = EIA mà FIA + EIA = 1800 nên FIA = EIA = 900 ⇒ AI EF (2) Từ (1) và (2) suy AO là trung trực đoạn thẳng EF Bài 22: a So sánh các góc tam giác PQR biết PQ = 7cm; QR = 7cm; PR = 5cm b So sánh các cạnh tam giác HIK biết H = 750; K = 350 (10) Giải: a Từ hình vẽ bên ta có: PQ = RP P ⇒ Δ PQR cân Q ⇒ R = P QR > PR ⇒ P > Q (quan hệ cạnh và góc đối diện) R = P > Q Q R b I = 1800 - (750 + 350) = 1800 - 1100 = 700 H > I > K ⇒ IK > HK > HI (quan hệ cạnh và góc đối diện) Bài 23: Cho tam giác ABC Chứng minh AB + AC > BC Giải: Trên tia đới tia AB lấy điểm D D cho AD = AC Ta có: AD = AC ⇒ Δ ADC cân đỉnh D ⇒ ADC = ACD (1) A Tia CA nằm hai tia CB và CD Do đó: BCD > ACD (2) Từ (1) và (2) ta có: BCD > ADC B C Xét tam giác DBC có BCD > BDC suy DB > BC (quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác) (3) mà DB = AB + AD = AB + AC (4) Từ (3) và (4) ta có: AB + AC > BC Bài 24: Cho tam giác ABC, A = 900 Trên tia đối tia AC lấy D cho AD < AC Nối B với D Chứng minh rằng: BC > BD B Giải: Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AD Ta có: AE < AC (Vì AD < AC) Nên E nằm A và C Mà BA DE và DA = AE D A E C ⇒ ΔBDE cân đỉnh B ⇒ BDE = BEA Ta có: BEA > BCE (BEA là góc ngoài tam giác BEC) Do đó: BDC > BCD Xét tam giác BDC có: BDC > BCD Suy ra: BC > BD (quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác) Bài 25: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm cạnh BC So sánh BAM và MAC A Giải: (11) Vẽ tia đối tia MA và trên đó lấy điểm D cho MD = MA Xét tam giác MAB và tam giác MDC có: B M C MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (M là TĐ cạnh BC) Do đó: Δ MAB= ΔMDC (c.g.c) D Suy ra: AB = CD; BAM = MDC Ta có: AB = CD; AB < AC ⇒ CD < CA Xét tam giác ADC có: CD < AC ⇒ MAC < MDC (quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác) Mà MAC < MDC và BAM = MDC Suy ra: MAC < BAM Bài 26: Cho tam giác ABC vuông A, tia phân giác góc B cắt AC D So sánh các độ dài AD, DC B Giải: Kẻ DH BC Δ ABD=Δ HBD ⇒ H (cạnh huyền - góc nhọn) A D C AD = DH ΔDHC vuông H ⇒ DH < DC ΔDHC (cạnh góc vuông nhỏ cạnh huyền) suy ra: AD < DC Bài 27: Chứng minh tam giác vuông có góc nhọn 30 thì cạnh góc vuông đối diện với nó nửa cạnh huyền Giải: Xét tam giác ABC có A = 900; B = 300 Cần chứng minh: AC = BC Trên BC lấy điểm D cho CD = CA Tam giác ACD còn có: C = 600, AD = AC = CD Tam giác ABD có B = 300; A2 = 300 nên là tam giác B suy AD = BE Do đó: AC = BC Bài 28: Cho tam giác ABC có A = 850, B = 400 a So sánh các cạnh tam giác ABC A AB < BC < AC C AB < AC < BC B BC < AC < AB D AC < AB < BC D A C (12) b Trên tia đối yia AB lấy điểm D cho AD = AC Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = BC So sánh độ dài các đoạn CD; CB; CE A CE < CB < CD C CD < CE < CB B CB < CE < CD D CD < CB < CE Giải: a Chọn D Vì C = 1800 - (A + B) = 1800 - (85 + 40) = 55 Khi đó nhận thấy B < C < A ⇔ Ac < AB < BC b Chọn D Bài 29: Cho tam giác ABC tia phân giác góc D cắt AC D So sánh độ dài AB và BC, biết BDC tù Giải: Để so sánh độ dài AB và BC ta cần so sánh hai góc C và A Theo giả thiết ta có: BDC tù D1 > 900 ⇔ 2D1 > 1800 Trong tam giác ABD ta có: D1 = A + B2 (1) B Trong tam giác BCD ta có: D1 + B1 + C1 = 1800 (2) Công theo vế (1) và (2) ta được: 2D1 + B1 + C = A + B2 + 1800 ⇔ A - C = 2D1 - 1800 > ⇒ A > C ⇔ BC > AB A D C Bài 30: Cho góc xOy = 600, điểm A nằm góc xOy Vẽ điểm D cho Ox là đường trung trực AB Vẽ điểm C cho Oy là đường trùng trực AC a Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? A Đúng B Sai b Tính số đo góc BOC A 600; B 900; C 1200; D 1500 Giải: a Chọn A Vì OA = OB (vì Ox là đường trung trực AB) OA = OC (vì Oy là đường trung trực AC) Do đó: OB = OC b Chọn C vì tam giác OAB cân O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 + O3) = 2(xOy) = 600 = 1200 Vậy ta có: BOC = 1200 Bài 31: a Cho tam giác ABC và tam giác A1B1C1 có AB = A1B1 AC = A1C1 và (13) BC > B1C1 So sánh số đo hai góc A và A1 Giải: Theo giả thiết ta có: AB = A1B1; AC = A1C1 và BC > B1C1 Thì A > A1 (quan hệ các cạnh đối diện tam giác) b Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có AB = A1B1 AC = A1C1 và A > A1 Chứng minh BC > B1C1 Giải: Xét tam giác ABC và tam giác A1B1C1 Có AB = A1B1; AC = A1C1 và A > A1 (gt) Suy ra: BC > B1C1 (quan hệ cạnh và góc đối diện tam giác) Bài 32: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Lấy điểm M bất kì trên tia đối tia MA So sánh độ dài CD và BD A Giải: Ta nhận thấy Với hai tam giác ABM và ACM có: MB = MC (vì M là trung điểm BC) M AM chung; AB < AC B C Do đó: M1 < M2 ⇔ M3 < M4 Với hai tam giác BDM và CDM có MB = MC (M là trung điểm BC) D DM chung; M3 < M4 Do đó: CD < BD Bài 33: Cho tam giác ABC với BC > AB Tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC D Chứng minh CD > DA Giải: Lấy K trên cạnh BC cho BK = BA Có ΔDKB và ΔDAB B Cạnh DB chung; B1 = B2 (Vì BD là tia phân giác ABC) BK = BA (theo cách lấy điểm K) K Vậy Δ DKB = Δ DAB (c.g.c) Suy ra: D1 = D2; DK = DA Mặt khác: CKD là góc ngoài tam A D C giác KDB nên CKD > D1 (1) D2 là góc ngoài tam giác DBC nên D2 > BCD (2) Vì D1 = D2 ; từ (1) và (2) suy CKD > BCD Trong tam giác KCD vì K > C nên CD > DK hay CD > DA Bài 34: Cho tam giác ABC (AC > AB) A tù, đường cao AH (đường AH BC) và trung tuyến AM (đường AM qua trung điểm M cạnh BC) Chứng minh: (14) a BAM > MAC b H nằm B và M Giải: A a Trên tia AM lấy điểm D cho M là trung điểm AD, dễ dàng chứng minh Δ AMB=Δ DMC (c.g.c) Suy BAM = D (1) AB = DC Trong Δ ACD có : AC > DC AC > AB (gt) B H M C Và AB = DC (c/m trên) Nên D > MAC (2) Từ (1) và (2) suy BAM > MAC D b AC > AB ⇒ HC > HB (H thuộc đoạn thẳng BC A là góc tù và MB = MC) suy ra: BM > BH Vậy H nằm hai điểm B và M Bài 35: Cho tam giác MNP biết MP > MN, MD là đường trung tuyến thuộc cạnh NP Trên tia MD lấy điểm E cho D là trung điểm ME Chứng minh MEP > EMP Giải: ΔMDN =ΔEDP (c.g.c) DN = DP Dm = DE MDN = EDP (đối đỉnh) Suy ra: MN = EP Mà MP > MN ⇒ MP > EP Trong tam giác MEP, MP đối diện với MEP EP đối diện với EMP Do đó: MEP > EMP M N D P E Bài 36: Tính chu vi tam giác cân ABC biết a AB = 5cm; AC = 12cm b AB = 7cm; AC = 13cm Giải: Tam giác ABC cân có AB = 5cm; AC = 12cm thì cạnh đáy là Ab (15) Thật cạnh bên AB = 5cm thì cạnh bên BC = 5cm Như ta có: AB + BC = 10cm < CA = 12cm đó là điều vô lí (trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba) Vậy chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = + 2.12 = 29 cm b Có thể xảy hai trường hợp - Nếu AB = 7cm là cạnh đáy thì AB = BC = 13cm là cạnh bên - Nếu chu vi tam giác ABC bằng: + 2.13 = 33 cm - Nếu AB = BC = 7cm là các cạnh bên thì AC = 13cm là cạnh đáy Chu vi tam giác ABC là: 13 + 2.7 = 27 cm Bài 37: Cho tam giác ABC biết C = B A = a Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông A và tính số đo góc B, góc C b Kẻ đường cao AH Chứng minh B = HAC; C = BAH Giải: a C B C A+ B+C 180 = = = = =300 (áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau) 1+2+3 A 0 Vậy =30 ⇒ A=90 nên tam giác ABC là tam giác vuông A b Vì AH BC nên H = 1v suy B + BAH = 1v Vì BAH + HAC = 1v suy B = HAC (2 góc phụ nhau) Tương tự ta chứng minh C = BAH Bài 38: Cho tam giác ABC có A = 90 Trên hai cạnh AB, AC lấy hai điểm D và E Chứng minh DE < BC Giải: B Nối D và C ta có: AE, AC là hình chiếu các hình xiên DE, DC trên D đường thẳng AC mà AE < AE (Vì E thuộc cạnh AC) Suy ra: DE < DC (quan hệ đường xiên A E C và hình chiếu nó) Mặt khác: AD; AB là hình chiếu các đường xiên DC, BC trên đường thẳng AB mà AD < AB (D thuộc cạnh AB) Suy ra: DC < BC (quan hệ đường xiên và hình chiếu nó) Ta có: DE < DC; DC < BC ⇒ DE < BC (16) Bài 39: Cho tam giác ABC (A = 900) vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) Chứng minh AH + BC > AB + AC B Giải: Trên tia BC lấy điểm D cho BD = AB Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AH (Vì AB < BC nên D nằm B và C, AH < AC nên E nằm A và C) Tam giác ABD cân đỉnh B (Vì BD = AB) ⇒ BAD = BDA ⇒ H D A E C Ta có: BAD + DAE = BAD + HAD = 900 Do đó: DAE = HAD Xét tam giác HAD và tam giác EAD có: AH = AE; HAD = DAE; Ad cạnh chung Do đó: Δ HAD =ΔEAD (c.g.c) ⇒ AHD = AED mà AHD = 900 nên AED = 900 Ta có: DE AC ⇒ DC > EC (quan hệ đường xiên và đường vuông góc) Do đó: AH + BD + DC > AE + AB + EC = AB + AC Vậy AH + BC > AB + AC Bài 40: Cho tam giác ABC, AB > AC vẽ BD AC; CE AB (D AC; E minh AB - AC > BD - CE Giải: A Trên cạnh BC lấy điểm F cho AF = AC, E Vì AB > AC nên E nằm A và B G Vẽ FG AC, FH BD (G Ac; H BD) F Ta có: FG AC; BD AC (gt) ⇒ FG // BD B Xét Δ GFD (FGD = 900); Δ HDF (DHF = 900) Có DF chung GFD = HDF (vì FG // BD) Do đó: Δ GFD=Δ HDF (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra: FG = HD; GD = FH Xét Δ GAF (AGF = 900); Δ EAC (AEC = 900) Có:AF = AC; GAF (cóc chung) Do đó: Δ GAF=Δ EAC (cạnh huyền - góc nhọn) AB) Chứng C (17) Suy ra: FG = CE Do vậy: FG = CE = HD Ta có: FH BD nên FB > BH (quan hệ đường xiên và đường vuông góc) Suy ra: AB - AC > BD - HD Hay AB - AC > BD - CE Bài 41: Cho tam giác cân ABC đỉnh A Từ điểm D trên cạnh AB vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC E Chứng minh BE > (DE + BC) Giải: Vẽ BH DE (H DE), EN BC (N BC) Xét Δ HBE (BHE = 900) và Δ NEB (ENB = 900) BE cạnh chung, HBE = NEB (vì DE // BC) A Do đó: Δ HBE=ΔNEB (cạnh huyền - góc nhọn) Suy ra: BH = EN H D E Mặt khác HBD + DBC = HBC = 900 NEC + ECN = 900 ( Δ NEC có N = 900) mà DBC = ECN ( Δ ABC cân đỉnh A) suy ra: HBD = NEC B N C Xét Δ HBD và Δ NEC có: DHB = CNE ( = 900); BH = EN (theo c/m trên) NBD = NEC (c/m trên) Do đó: Δ HBD=Δ NEC (g.c.g) ⇒ HD = NC Mà BH DE suy BE > HE (quan hệ đường xiên và đường vuông góc) Do đó: BE + BÊ > HE + MB Mà HE + BN = DE + HD + BN = DE + NC + BN = DE + BC Nên BE + BE > DE + BC ⇒ 2BE > BC + DE ⇒ BE > (DE + BC) Bài 42: Cho tam giác ABC cân A, điểm D nằm B và C Chứng minh độ dài AD nhỏ cạnh bêb tam giác ABC A Giải: Kẻ AH BC - Nếu D trùng H thì AD < AC vì AH < AC (đường vuông góc nhỏ đường xiên) - Nếu D không trùng H B H D C Giả sử D nằn H và C, ta có HD < HC Suy ra: AD < AC (hình chiếu nhỏ thì đường xiên nhỏ hơn) Vậy AD nhỏ cạnh bên tam giác ABC A Bài 43: a.Cho hình vẽ bên đó AB > AC E (H1) (18) Chứng minh EB > EC b Cho hình vé bên Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC Giải: a AB > AC ⇒ HB > HC(đường xiên lớn thì đường chếu lớn hơn) HB > HC ⇒ EB > EC ⇒ BD < AB b (H2) Tam giác ABD vuông D Tam giác ADE vuông E suy ra: CE < AC Suy ra: BD + CE < AB + AC B H C A E D (H2) B C Bài 44: Cho tam giác ABC, điểm D nằm A và C (BD không vuông góc với AC), gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ tùe A và C đến đường thẳng BD So sánh AC với AE + CF Giải: Hướng dẫn: Xét tam giác ADE vuông E AE < AD (1) Xét tam giác CDF vuông F CF < CD (2) Từ (1) và (2) AE + CF < AD + CD = AC A D F B Bài 45: Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Chứng minh rằng: AB + AC > 2AM Giải: Trên tia đối MA lấy điểm D cho MD = MA Xét Δ MAB và Δ MDC có: MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (gt) Do đó: Δ MAB= ΔMDC (c.g.c) ⇒ AB = DC C A Xét tam giác ADC có: B M C CD + AC > AD (bất đẳnh thức tam giác) Do đó: AB + AC > AD mà AD = 2AM Suy ra: AB + AC > 2AM D Bài 46: Cho tam giác ABC, M là điểm nằm tam giác Chứng minh rằng: MB + MC < AB + AC A Giải: D (19) Vẽ đường thẳng BM cắt AC D Vì M tam giác ABC nên D nằm A và C Suy ra: AC = AD + DC Xét tam giác ABD có: DB < AB + AD (bất đẳng thức tam giác) ⇒ MB + MD < AB + AD (1) B C Xét tam giác MDC có: MC < DC + MD (2) (bất đẳng thức tam giác) Công (1) với (2) vế với vế ta có: MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD ⇒ MB + MC < AB + (AD + DC) ⇒ MB + MC < AB + AC Bài 47: Cho tam giác ABC có AB > AC; AD là tia phân giác góc BAC (D BC) M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD Chứng minh MB - MC < AB - AC Giải: Trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AC A vì AB > AC, nên E nằm A và B Suy ra: AE + EB = AB E M ⇒ EB = AB - AE = AB - AC Xét Δ AEM và Δ ACM có: AE = AC B EAM = CAM (AD là tia phân giác BAC) AM cạnh chung Do đó: Δ AEM=Δ ACM (c.g.c) Suy ra: ME = MC Xét tam giác MEB có MB - ME < EB (bất đẳng thức tam giác) Do đó: MB - MC < AB - AC D C Bài 48: Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC Chứng minh rằng: a Nếu A = 900 thì AM = BC b Nếu A > 900 thì AM < BC c Nếu A < 900 thì AM > BC Tính chất: thừa nhận Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng từnmg đôi các góc xen chúng không và cạnh nào đối diện với góc lớn là cạnh lớn hơn, góc nào đối diện với cạnh lớn là góc lớn Giải: Vẽ tia đối tia MA trên tia đó lấy điểm D cho MD = MA Suy AD = 2AM (20) A Xét Δ MAB và Δ MDC có: MA = MD; AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC (gt) Do đó: Δ MAB = Δ MDC (c.g.c) B Suy ra: AB = DC; BAM = CDM Ta có: BAM = CDM mà BAM và CDM (so le trong) nên AB // CD ⇒ BAc + ACD = 1800 Vận dụng vào tính chất trên xét Δ ABC và Δ CDA có: AB = CD; AC cạnh chung Do đó: a BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nên M C ACD = 900 ⇒ BAC = ACD ⇒ BC = AD ⇒ AM = BC b BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nên ACD < 900 ⇒ BAC > ACD ⇒ BC > AD ⇒ AM < BC c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nên ACD > 900 ⇒ BAC < ACD Tom lại: ⇒ BC < AD ⇒ AM > BC Nếu A = 900 thì AM = BC Nêu A > 900 thì AM < BC Nếu A < 900 thì AM > BC Bài 49: Trong các trường hợp sau trường hợp nào là ba cạnh tam giác a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Giải: a Đúng vì: + 10 > 12 b Sai vì: + < 3,3 c Sai vì: 2,2 = 1,2 + Bài 50: Cho tam giác ABC có AB = 4cm; AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài này là số nguyên (cm) A Giải: Theo bất đẳng thức tam giác C B AB - AC < BC < AB + AC ⇒ - < BC < + (21) ⇒ < BC < Do đó độ dài cạnh BC số nguyên (cm) nên BC = 4cm Bài 51: a Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh 4m và 9m b Cho tam giác ABC điểm D nằn B và C Chứng minh AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC Giải: a.Cạnh 4m không thể là cạnh bên vì cạnh 4m là cạnh bên thì cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác Vậy cạnh 4m là cạnh đáy thoả mãn < + A Chu vi tam giác là: + + = 22m b Xét tam giác ABD có: AD < AB + BD (1) Xét tam giác ACD có AD < AC + DC (2) B D C Cộng vế (1) và (2) 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB+AC+ BC Bài 52: Độ dài hai cạnh tam giác là 7cm, 2cm Tính độ dài cạnh còn lại biết số đo nó theo xentimét là số tự nhiên lẻ Giải: Gọi độ dài cạnh còn lại là x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: - < x < + tức là < x < Do đó x là số tự nhiên lẻ nên x = Cạnh còn lại 7cm Bài 53: Cho tam giác ABC trung tuyến Am và góc B > C Hãy so sánh hai góc AMB và AMC A Giải: Trong tam giác ABc vì B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB và AMC có AM cạnh chung MB = MC AC > AB B M C Nên AMC > AMB Bài 54: Viết biểu thức đại số biểu diễn a Một số tự nhiên chẵn b Một số tự nhiên lẻ c Hai số lẻ liên tiếp d Hai số chẵn kiên tiếp Giải: (22) a 2k; b 2x + 1; c 2y + 1; 2y + 3; d 2z; 2z + (z N) Bài 55: Cho biểu thức 3x2 + 2x - Tính giá trị biểu thức x = 0; x = - 1; x = Giải: Tại x = ta có 3.0 + 2.0 - = - Tại x = - ta có - - = 1 2 Tại x = ta có + - = + − 1=0 Bài 56: Tính giá trị các biểu thức a+5 b y+ y − với y = a a− với a = - 1; c ( a −b )2 −1 a2 −1 1 với a = ; b = ; d ( y +2 )2 y + 2y y+ Giải: a Ta có: (− ) +5 = =− ; −3 −6 −9 b = - 9,5 Tương tự c d 379 84 Bài 57: a Với giá trị nào biến thì giá trị biểu thức x +1 2; - 2; 0; b Với giá trị nào biến thì giá trị biểu thức sau 0; x +1 x+3 x (x+ 1) x (x −5) ; ; ; 3x+4 x −7 Giải: a b x +1 = ⇔ 2x + = 10 ⇔ x = 4,5 x +1 = - ⇔ x = - 5,5 x +1 =0 ⇔ x= - x +1 = ⇔ x = 9,5 x +1 =0 ⇔ x +1=0 ⇔ x=−1 ; x +3 =0 ⇔ x =−1 x ( x+ 1) =0 ⇔ x =0 ; x=−1 ; x+4 x (5 − x ) =0 ⇔ x=0 x−5 Bài 58: Những biến thức sau, biến thức vào là đơn thức a 2,5xy3; x + x3 - 2y; x4; a + b b - 0,7x3y2; x3 x2; - x2yx3; 3,6 Giải: Những biến thức là đơn thức 2,5xy3; x4; - 0,7x3y2; x3 x2; - x2yx3; 3,6 với y = (23) Bài 59: Thu gọn các đơn thức a 5x3yy2 c 5xy2(-3)y b a2b3 2,5a3 d 1,5p.q.4p3.q2 Giải: a 5x3yy2 = 5(y3.y.y2) = 5y6 b a2b3 2,5a3 = ( 34 2,5) a2.a3.b2 = 15 a5.b6 c 5xy2(-3)y = - 15xy3 d 1,5p.q.4p3.q2 = 1,5 (P.P3.q.q2) = 6p4.q3 Bài 60: Thực các phép nhân phân thức a 5xy2 0,7y4z 40x2z3 b - 0,5ab(-1 a2bc) 5c2b3 c - 1,2ab.(- 10a2.b.c2) (- 1,5a2c); d - 0,32a7b4.(-3 a3b6) Giải: a 5xy2 0,7y4z 40x2z3= 0,7 40.x.x2.y2.y4.z.z3 = 196x3y6z4 Tương tự ta có: b 3a3c3b5; c - 1,8a3b2c3; d 0,04a10b10 Bài 61: Phân tích các biểu thức sau thành tích hai đơn thức đó có đơn thức là 20x5y2 a - 120x5y4 b 60x6y2 c -5x15y3 d 2x12y10 Giải: a - 120x5y4 = - 6y2 20x5y2 b 60x6y2 = 3x 20x5y2 c - 5x6y2 = - x 20x2y2 d 2x12y10 = 10 x7y8 20x5y2 Bài 62: Tính giá trị các đơn thức sau: a 15x3y3z3 x = 2; y = - 2; z = 1 b - x2y3z3 x = 1; y = - ; z = - 2 c ax3y6z x = - 3; y = - 1; z = Giải: a 15.23 (- 2)2 32 = 15 (- 8) = - 8640 b - 12 3 ( ) − (- 2)3 = - (24) 108 c a (- 3)3 (- 1)6 = - a Bài 63: Điền các đơn thức thích hợp vào dấu a 3x2y3 + = 5x2y3; b - 2x4 = - 7x4 c + + = x5y3 Giải: a 3x2y3 + 2x2y3 = 5x2y3 b - 5x4 - 2x4 = - 7x4 1 c x5y3 + x2y3 + x5y3 = x5y3 Bài 64: Hãy xếp các đơn thức sau thành nhóm các đơn thức đồng dạng 3a2b; 2ab3; 4a2b2; 5ab3; 11a2b2; - 6a2b; - ab3 Giải: Ta có: 3a2b; - 6a2b 2ab3; 5ab3; - ab3 4a2b2; 11a2b2 Bài 65: Tính tổng a 8a - 6a - 7a; b 6b2 - 4b2 + 3b2; c 6ab - 3ab - 2ab Giải: a 8a - 6a - 7a = - 5a; b 6b2 - 4b2 + 3b2 = 5b2; c 6ab - 3ab - 2ab = ab Bài 66: Thu gọn các đa thức a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 b 3xx4 + 4xx3 - 5x2x3 - 5x2x2 c 3a.4b2 - 0,8b 4b2 - 2ab 3b + b 3b2 - d 5x2y2 - 5x.3xy - x2y + 6xy2 Giải: a 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 = 2a2x3 - a2x3 - ax3 + ax3 - a4 + 2a4 = a2x3 + a4 b 3x5 - 5x5 + 4x4 - 5x4 = - 2x5 - x4 c 12ab2 - 6ab2 - 3,2b2 + 3b3 - = 6ab2 - 0,2b3 - d 10xy2 + 6xy - 15x2y - x2y = 16xy2 - 16x2y Bài 67: Tìm giá trị biểu thức a 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a với a = - b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y với x = 1; y = - Giải: Ta có: 6a3 - 8a3 + 4a3 - a10 + a10 + a = 2a3 + a a Với a = - giá trị biểu thức là: 2(- 2)3 + (- 2) = - 16 - = - 18 b 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y Với x = 1; y = - ta có: (25) - 3.(1)6 (- 1)3 + 12 (- 1)2 - = + - =- Bài 68: a Tại x = 5; y = - giá trị đa thức x3 - y3 là: A - B 16; C 34; D 52 b Giá trị đa thức 3ab2 - 3a2b a = - 2; b = là: A 306; b 54; C - 54; D 52 Giải: a Ta có x = 5; y = - thì giá trị đa thức là 52 - (- 3)2 = 25 + 27 = 52 Vậy chọn D b Tương tự câu a Chọn D Bài 69: a Bậc đa thức 3x3y + 4xy5 - 3x6y7 + x3y - 3xy5 + 3x6y7 là A 4; b 6; C 13; D b Đa thức 5,7x2y - 3,1xy + 8y5 - 6,9xy + 2,3x2y - 8y5 có bậc là: A 3; B 2; C 5; D Giải: a Chọn B; B.Chọn A Bài 70: Tính hiệu a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) b (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3) c (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3) Giải: a (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z b Làm giống câu a c 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy Bài 71: Cho đa thức A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + B = - 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C xác định bậc đa thức đó Giải: A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y = 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: có bậc hai A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + + 3x2 - 4xy + 7y2 - 6x + 4y + = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: có bậc hai A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: có bậc hai Bài 72: Cho các đa thức A = 4x2 - 5xy + 3y2; B = 3x + 2xy + y2 C = - x2 + 3xy + 2y2 (26) Tính A + B + C; B - C - A; C - A - B Giải: A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2) = 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2 B - C - A = (3x + 2xy + y2) - (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) = 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2 C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2) = - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 - 3x2 - 2xy - y2 = - 8x2 + 6xy - 2y2 Bài 73: Gọi AM là trung tuyến tam giác ABC, A /M/ là đường trung tuyến tam giác A/B/C/ biết AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chứng minh hai tam giác ABC và A/B/C/ A Giải: Xét Δ ABC và Δ A/B/C/ có: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ (Có AM là trung tuyến BC và A/M/ là trung tuyến B/C/) AM = A/M/ (gt) Δ ABM=Δ A/B/M/ (c.c.c) B M C A/ Suy B = B/ B/ M/ C/ Vì có AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trên) Suy ra: Δ ABC=Δ A/B/C/ Bài 74: Cho tam giác ABC (A = 90 0) trung tuyến AM, tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a Tính số đo ABM b Chứng minh Δ ABC=Δ BAD c So sánh: AM và BC Giải: a Xét hai tam giác AMC và DMB có: B D MA = MD; MC = MB (gt) M1 = M2 (đối đỉnh) M Suy Δ AMC= Δ DMB (c.g.c) ⇒ MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mà BA AC (A = 900) ⇒ BA BD ⇒ ABD = 900 b Hai tam giác vuông ABC và BAD có: AB = BD (do Δ AMC= Δ DMB c/m trên) A C (27) AB chung nên Δ ABC=Δ BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông nhau) c Δ ABC=Δ BAD ⇒ BC = AD mà AM = AD (gt) Suy AM = BC Bài 75: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM và CN là hai đường trung tuyến tam giác ABC Chứng minh CN > BM Giải: Gọi G là giao điểm BM và CN A Xét Δ ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến cắt G N M Do đó: G là tâm tam giác ABC G 2 Suy Gb = BM; GC = CN B C Vẽ đường trung tuyến AI Δ ABC Ta có: A; G; I thẳng hàng Xét Δ AIB và Δ AIC có: AI cạnh chung, BI = IC I AB < AC (gt) ⇒ AIB < AIC Xét Δ GIB và Δ GIC có: GI cạnh chung; BI = IC AIC > AIB ⇒ GC > GB ⇒ CN > BM Bài 76: Cho tam giác ABC có BM và CN là hai đường trung tuyến và CN > BM Chứng minh AB < AC Giải: A Gọi G là giao điểm BM và CN Δ ABC có: BM và CN là hai đường trung tuyến N M Do đó: G là tâm tam giác ABC G Suy GB = BM; GC = CN Vẽ đường trung tuyến AI tam giác ABC thì I qua G (Tính chất ba đường trung tuyến) Ta có: CN > BM mà GB = BM; GC = B I CN nên GB < GC Xét Δ GIB= ΔGIC có: GI cạnh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC Xét Δ AIB và Δ AIC có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Bài 77: Trên hình bên có AC là tia phân giác góc BAD và CB = CD Chứng minh: ABC = ADC B Giải: H C (28) Vẽ CH AB (H AD) A CK AD (K AD) C thuộc tia phân giác BAD Do đó: CH = CK Xét Δ CHB (CHB = 900 ) Và tam giác CKD (CKD = 900) Có CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: Δ CHB= ΔCKD (cạnh huyền - góc vuông) ⇒ HBC = KDC ⇒ ABC = ADC C K D Bài 78: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đường thẳng song song với tia Ax, nó cắt tiâ đối tia AB D Chứng minh: xAB = ACD = ADC Giải: D Vì Ax là tia phân giác góc BAC Nên xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt đường thẳng AC A hai góc xAC và ACD là góc so le nên xAC = ACD (2) x hai góc xAB và ADC là góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So sánh (1); (2); (3) ta có: xAB = ACD = ADC Bài 79: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt BC N Từ N kẻ tia NY // Bx Chứng minh: a xAB = BMN b Tia Ny là tia phân giác góc MNC Giải: A a.Trong tam giác ABC đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx là tia phân giác góc B) N BMN = ABx (2 góc so le vì MN // BA) Vậy xBC = BMN A M C x y b BMN = MNy (2 góc so le vì Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị vì Ny // Bx) Vậy MNy = yNC mà tia Ny là tia nằm hai tia NM và NC Do đó: Ny là tia phân giác MNC Bài 80: Cho tam giác ABC Gọi I là giao điểm hai tia phân giác hai góc A và B Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: (29) Ba phân giác củam tam giác cùng qua điểm nên CI là tia phân giác góc C Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 góc so le trong) A C1 = C2 nên C2 = I2 Do đó: Δ NIC cân và NC = NI (1) M N Chứng minh tương tự ta có: MB = MI (2) Từ (1) và (2) ta có: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Bài 81: Cho tam giác ABC (A = 90 0) các đường trung trực các cạnh AB, AC cắt D Chứng minh D là trung điểm cạnh BC Giải: Vì D là giao điểm đường trung trực các cạnh AB và AC nên tam giác A DAB và DAC là cân và các góc đáy tam giác đó DBA = DAB và DAC = DCA Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do đó: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800 Từ đó suy ba điểm B, D, C thẳng hàng Hơn vì DB = DC nên D là trung điểm BC Bài 82: Cho hai điểm A và D nằm trên đường trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A và I, I là điểm nằm trên BC Chứng minh: a AD là tia phân giác góc BAC b ABD = ACD A Giải: a Xét hai tam giác ABI và ACI chúng có: AI cạnh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI là đường trung trực đoạn thẳng BC) B I C Vậy Δ ABI=Δ ACI (c.g.c) ⇒ BAI = CAI Mặt khác I là trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB và AC Suy ra: AD là tia phân giác góc BAC b Xét hai tam giác ABD và ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI là đường trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trên) (30) Vậy Δ ABD=Δ ACD (c.g.c) ⇒ ABD = ACD (cặp góc tương ứng) Bài 83: Hai điểm M và N nằm trên đường trung trực đoạn thẳng AB, N là trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM a Chứng minh: AB là ssường trung trực đoạn thẳng MM/ b M/A = MB = M/B = MA Giải: a Ta có: AB MM/ (vì MN là đường trung trực đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N là trung điểm MM/ (vì M/ nằm trên tia đối tia NM và NM = NM/) A N B / Vậy AB là đường trung trực đoạn MM b Theo gả thiết ta có: MM/ là đường trung trực đoạn thẳng AB nên MA = MB; M/B = M/A M/ Ta lại có: AB là đường trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Từ đó suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bài 84: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D trên cạnh AC cho : DA + DB = AC Giải: Vẽ đường trung trực đoạn thẳng BC cắt cạnh AC D D là điểm cần xác định A Thật Ta có: DB = DC (vì D thuộc đường trung D trực đoạn thẳng BC) Do đó: DA + DB = DA + DC Mà AC = DA + DC (vì D nằm A và C) B C Suy ra: DA + DB = AC Bài 85: a Gọi AH và BK là các đường cao tam giác ABc Chứng minh CKB = CAH b Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH và BK là các đường cao Chứng minh CBK = BAH Giải: a Trong tam giác AHC và BKC có: K CBK và CAH là góc nhọn Và có các cạnh tương ứng vuông góc với A CB AH và BK CA Vậy CBK = CAH B H C (31) b Trong tam giác cân đã cho thì đường cao AH là đường phân giác góc A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH và CBK là hai góc nhọn và có các cạnh tương ứng vuông góc nên CAH = CBK Như BAH = CBK A K B H C Bài 86: Hai đường cao AH và BK tam giác nhọn ABC cắt D a Tính HDK C = 500 b Chứng minh DA = DB thì tam giác ABC là tam giác cân Giải: A Vì hai góc C và ADK là nhọn và có các K cạnh tương ứng vuông góc nên C = ADK Nhưng HDK kề bù với ADK nênhai góc C và HDK là bù Như HDK = 1800 - C = 1300 b Nếu DA = DB thì DAB = DBA B H C Do đó hai tam giác vuông HAB và KBA Vì có cạnh huyền và có góc nhọn Từ đó suy KAB = HBA hai góc này cùng kề với đáy AB tam giác ABC Suy tam giác ABC cân với CA = CB Bài 87: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đường cao BN cắt AM H a Khẳng định CN AB là đúng hay sai? A Đúng B Sai b Tính số đo các góc: BHM và MHN biết C = 390 A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390 B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410 Giải: A a Chọn A vì AM BC tam giác ABC câb A N Suy H là trực tâm tam giác ABC H Do đó CH AB b Chọn D B M C Ta có: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (32) MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc và góc nhọn, góc tù) Vậy ta tìm BHM = 390; MHN = 1410 Bài 88: Cho góc xOy = 600 điểm A nằm góc xOy vẽ điểm B cho Ox là đường trung trực AC, vẽ điểm C cho Oy là đường trung trực AC a Khẳng định OB = OC là đúng hay sai? b Tính số đo góc BOC A 600; B 900; C 1200; D 1500 Giải: a Chọn A B Nhận xét là: x OA = OB vì Ox là đường trung trực AB OA = OC vì Oy là đường trung trực AC Do đó: OB = OC b Chọn C O A Nhận xét là: Tam giác OAB cân O nên O1 = O2 Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 y Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 C Vậy ta có: BOC = 120 Bài 89: Chứng minh tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn thì nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ Giải: Xét tam giác ABC các đường trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần chứng minh CP > BN G Thật Với hai tam giác ABM và ACM B M C Ta có: MB = MC (vì M là trung điểm BC) AM chung: AB < AC đó: M1 < M2 Với hai tam giác GBM và GCM ta có: MB = MC (M là TĐ BC); GM chung Do đó: GB < GC ⇔ GB < Bài 90: Tìm bậc đa thức sau: a 5x6 - 2x5 + x4 - 3x3 - 5x6 + x2 + b 15 - 2x2 + x3 + 2x2 - x3 + x GC ⇔ BN < CP (33) c 3x7 + x4 - 3x7 + x5 + x + d - 2004 Giải: a - 2x5 + x4 - 3x3 + x2 + có bậc là b 15 + x có bậc là c x5 + x4 + x + có bậc là d - 2004 có bậc là Bài 91: a Viết các đa thức sau theo luỹ thừa tăng biến và tìm bậc chúng f(x) = - 6x4 + 2x3 + x + 5x4 + x2 + 3x3 g(x) = x5 + x4 - 3x + - 2x4 - x5 b Viết các đa thức sau theo luỹ thừa giảm dần biến và tìm hệ số bậc cao nhất, hệ số tự chúng h(x) = 5x2 + 9x5 - 7x4 - x2 - 6x5 + x3 + 75 - x g(x) = 2x3 + - 7x4 - 6x3 + 3x2 - x5 Giải: a Ta có: f(x) = + x + x2 + 5x3 - x4 có bậc là g(x) = - 3x - x4 có bậc là b Ta có: h(x) = 3x5 - 7x4 + x3 + 4x2 - x + 75 Hệ số bậc cao h(x) là 3, hệ số tự là 75 g(x) = - x5 - 7x4 - 4x3 + 3x2 + Hệ số bậc cao g(x) là - 1, hệ số tự là Bài 92: Đơn giản biểu thức sau: a (a2 - 0,45a + 1,2) + (0,8a2 - 1,2a) - (1,6a2 - 2a) b (y2 - 1,75y - 3,2) - (0,3y2 + 4) - (2y - 7,2) c 6x2 - 2x2 - (7x2 + 4x + 1) - (x - 2x2 - 1) d -(2a3 - a2 + a) + 3a3 - 4a - (5a2 - a3) Giải: a a2 + 0,8a2 - 1,6a2 - 0,45a - 1,2a + 2a + 1,2 = 0,2a2 + 0,35a + 1,2 b y2 - 0,3y2 - 1,75y - 2y - 3,2 + 7,2 = 0,7y2 - 3,75y + c 4x2 - 7x2 + 2x2 - 4x - x - + = - x2 - 5x d - 2a3 + 3a3 + a3 + a2 - 5a2 - a - 4a = 2a3 - 4a2 - 5a Bài 93: a Chứng minh hiệu hai đa thức 0,7x4 + 0,2x2 - và - 0,3x4 + x2 - luôn luôn dương với giá trị thực x b Tính giá trị biểu thức (7a3 - 6a3 + 5a2 + 1) + (5a3 + 7a2 + 3a) - (10a3 + a2 + 8a) với a = - 0,25 (34) Giải: a Ta có: (0,7x4 + 0,2x2 - ) - (0,3x4 + x2 - 8) = 0,7x4 + 0,2x2 - + 0,3x4 - x2 + = x4 + 3 ∀ x ∈ R b 7a3 - 6a3 + 5a2 + + 5a3 + 7a2 + 3a - 10a3 - a2 - 8a = - 4a3 + 11a2 - 5a + Với a = - 0,25 thì giá trị biểu thức là: 4(- 0,25)3 + 11 (- 0,25)2 - 5.(- 0,25) + = 4(- 0,015625) + 11 (- 0,0625) - 1,25 + = 0,0625 - 0,6875 - 0,25 = - 0,875 Bài 94: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến a ( 35 x − 0,4 x − 0,5) − (1 − 25 x +0,6 x ) 2 b 1,7 - 12a2 - (2 - 5a2 + 7a) + (2,3 + 7a2 + 7a) c - b2 - (5b - 3b2) + (1 + 5b - 2b2) Giải: Ta có: a x - 0,4x - 0,5 - + x - 0,6x2 = - 1,5 b 1,7 - 12a2 - + 5a2 - 7a + 2,3 + 7a2 + 7a = (- 12a2 + 5a2 + 7a2) - 7a + 7a + 1,7 - + 2,3 = c - b2 - 5b + 3b2 + + 5b - 2b2 = - b2 + 3b2 - 2b2 - 5b + 5b + + = Bài 95: Cho các đa thức f(x) = + 3x - + 3x4; g(x) = - x3 + x2 - x + - x4 Tính f(x) + g(x); f(x) - g(x) Giải: f(x) + g(x) = + 3x - + 3x4 + (- x3 + x2 - x + - x4) = 2x4 + x2 + 2x - Tương tự: f(x) - g(x) = 4x4 + 2x3 - x2 + 4x - Bài 96: tính tổng f(x) + g(x) và hiệu f(x) - g(x) với a f(x) = 10x5 - 8x4 + 6x3 - 4x2 + 2x + + 3x6 g(x) = - 5x5 + 2x4 - 4x3 + 6x2 - 8x + 10 + 2x6 b f(x) = 15x3 + 7x2 + 3x - + 3x4 g(x) = - 15x3 - 7x2 - 3x + + 2x4 Giải: a Ta có f(x) + g(x) = 6x6 + 5x5 - 6x4 + 2x3 + 2x2 - 6x + 11 (35) f(x) - g(x) = x6 + 15x5 - 10x4 + 10x3 - 10x2 + 10x - b f(x) + g(x) = 5x4 f(x) - g(x) = x4 + 30x3 + 14x2 + 6x - Bài 97: Cho các đa thức f(x) = 2x4 - x3 + x - + 5x5 g(x) = - x3 + 5x2 + 4x + + 3x5 h(x) = x2 + x + + x3 + 3x4 Hãy tính: f(x) + g(x) + h(x); f(x) - g(x) - h(x) Giải: f(x) + g(x) + h(x) = 8x5 + 5x4 + 6x2 + 6x f(x) - g(x) - h(x) = 2x5 - x4 - 2x3 - 6x2 - 4x - Bài 98: Đơn giản biểu thức: a (0,5a - 0,6b + 5,5) - (- 0,5a + 0,4b) + (1,3b - 4,5) b (1 - x + 4x2 - 8x3) + (2x3 + x2 - 6x - 3) - (5x3 + 8x2) Giải: a 0,5a - 0,6b + 5,5 + 0,5a - 0,4b + 1,3b - 4,5 = a + 0,3b + b - x + 4x2 - 8x3 + 2x3 + x2 - 6x - - 5x3 - 8x2 = - 11x3 - 3x2 - x - Bài 99: Chứng minh rằng: A + B - C = C - B - A Nếu A = 2x - 1; B = 3x + và C = 5x Giải: A + B - C = 2x - + 3x + - 5x = 5x - - + = C - B - A = 5x - 3x + - 2x - = 5x - 3x - 2x + - = Vậy A + B - C = C - B - A Bài 100: Chứng minh hiệu hai đa thức 4 x − x −1 x + x + và 0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - luôn nhận giá trị dương Giải: 2 Ta có: ( x − x −1 x + x + ) - (0,75x4 - 0,125x3 - 2,25x2 + 0,4x - )= = x4 + x2 + 1 ∀ x Bài 101: Cho các đa thức P(x) = x2 + 5x4 - 3x3 + x2 + 4x4 + 3x3 - x + Q(x) = x - 5x3 - x2 - x4 + 4x3 - x2 + 3x - a Thu gọn và xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm biến b Tính P(x) + Q(x); P(x) - Q(x) Giải: a P(x) = - x + 2x2 + 9x4 Q(x) = - + 4x - 2x2 - x3 - x4 (36) b P(x) + Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) + (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) = 10x4 - x3 + 3x + P(x) - Q(x) = (9x4 + 2x2 - x + 5) - (x4 - x3 - 2x2 + 4x - 1) = = 9x4 + 2x2 - x + - x4 + x3 + 2x2 - 4x + = 8x4 + x3 + 4x2 - 5x + Bài 102: Cho hai đa thức; chọn kết đúng P = 3x3 - 3x2 + 8x - và Q = 5x2 - 3x + a Tính P + Q A 3x3 - 2x2 + 5x - 3; C 3x3 - 2x2 - 5x - B 3x3 + 2x2 + 5x - 3; D 3x2 + 2x2 - 5x - b Tính P - Q A 3x3 - 8x2 - 11x - 7; C 3x3 - 8x2 + 11x - B 3x3 - 8x2 + 11x + 7; D 3x2 + 8x2 + 11x - Giải: a Chọn C; B.Chọn B Bài 103: Tìm đa thức A chọn kết đúng a 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2 A A = 2x2 - 3y2 + x2y2; C A = 2x2 - 3y2 - x2y2 B A = 2x2 - 3y2 + 5x2y2; D 2x2 - 3y2 - x2y2 b 2A - (xy + 3x2 - 2y2) = x2 - 8y2 + xy A A = x2 - 5y2 + 2xy; C A = 2x2 - 5y2 + 2xy B A = x2 - 5y2 + xy; D A = 2x2 - 5y2 + xy Giải: a Chọn C Ta có: 2A + (2x2 + y2) = 6x2 - 5y2 - 2x2y2 ⇔ 2A = (6x2 - 5y2 - 2x2y2) - (2x2 + y2) = 4x2 - 6y2 - 2x2y2 ⇔ A = 2x2 - 3y2 - x2y2 Vậy đa thức cần tìm là: A = 2x2 - 3y2 - x2y2 b Chọn D Ta có 2A - (xy + 3x2 - 2y2) = x2 - 8y2 + xy ⇔ 2A = (x2 - 8y2 + xy) + (xy + 3x2 - 2y2) = 4x2 - 10y2 + 2xy ⇔ A = 2x2 - 5y2 + xy Vậy đa thức cần tìm là A = 2x2 - 5y2 + xy Bài 104: Cho hai đa thức sau: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn a Tính f(x) + g(x) A f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn B f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an - bn C f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x + an + bn D f(x) + g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x - an + bn b Tính f(x) - g(x) (37) A f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn B f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)+ an - bn C f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)x + an + bn D f(x) - g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an - bn Giải: a Chọn A Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn f(x) + g(x) = (a0 + b0)xn + (a1 + b1)xn-1 + + (an-1+ bn-1)x + an + bn b.Chọn B Ta có: f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an g(x) = b0 xn + b1 xn-1 +b2xn-2 +,,,, + bn-1x + bn f(x) - g(x) = (a0 - b0)xn + (a1 - b1)xn-1 + + (an-1- bn-1)+ an - bn Bài 105: Tìm nghiệm đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3) A x = ± 1; ± √3 ; D x = ± Giải: Chọn C Nghiệm đa thức: (x2 + 2) (x2 - 3) thoả mãn (x2 + 2) (x2 - 3) = ⇔ B, x = ± √ ; C x = B x = 1; D vô nghiệm C x = B x = 0; D vô nghiệm C x = B x = - 1; D vô nghiệm C x = x +2=0 ¿ 2 x −2=0 ⇔ x =3 ⇔ x=± √ ¿ ¿ ¿ ¿ Bài 106: Tìm nghiệm đa thức x2 - 4x + A x = 0; 2; b Tìm nghiệm đa thức x2 + A x = - 1; 1; c Tìm nghiệm đa thức x2 + x + A x = - 3; 1; Giải: a Chọn D Vì x2 - 4x + = (x - 2)2 + +1>1 Do đó đa thức x2 - 4x + không có nghiệm b Chọn D vì x2 + 0+1>1 Do đó đa thức x2 + không có nghiệm (38) c Chọn D vì x2 + x + = 3 + ≥ 0+ > 4 ( ) x+ Do đó đ thức x2 + x + không có nghiệm Bài 107: a Trong hợp số { 1; − 1; ; −5 } số nào là nghiệm đa thức, số nào không là nghiệm đa thức P(x) = x4 + 2x3 - 2x2 - 6x + b Trong tập hợp số {1 ; −1 ; ; −3 ; ; −7 ; 12 ; − 12 } số nào là nghiệm đa thức, số nào không là nghiệm đa thức Giải: a Ta có: P(1) = + - - + = P(-1) = - - + + = P(5) = 625 + 250 - 50 - 30 + = 800 P(- 5) = 625 - 250 - 50 + 30 + = 360 Vậy x = là nghiệm đa thức P(x), còn các số 5; - 5; - không là nghiệm đa thức b Làm tương tự câu a Ta có: - 3; là nghiệm đa thức Q(x) Bài 108: Tìm nghiệm đa thức sau: f(x) = x3 - 1; g(x) = + x3 f(x) = x3 + 3x2 + 3x + Giải: Ta có: f(1) = 13 - = - = 0, x = là nghiệm đa thức f(x) g(- 1) = + (- 1)3 = - 1, x = - là nghiệm đa thức g(x) g(- 1) = (- 1)3 + 3.(- 1)2 + (- 1) + = - + - + = Vậy x = là nghiệm đa thức f(x) Bài 109: a Chứng tỏ đa thức f(x) = x4 + 3x2 + không có nghiệm b Chứng minh đa thức P(x) = - x8 + x5 - x2 + x + không có nghiệm Giải: a Đa thức f(x) không có nghiệm vì x = a bất kì f(a) = a4 + 3a2 + luôn dương b Ta có: P(x) = x5(1 - x3) + x(1 - x) Nếu x thì - x3 0; - x nên P(x) < Nếu x thì P(x) = - x + x (x3 - 1) + (x - 1) < Nếu x < thì P(x) < Vậy P(x) không có nghiệm (39) (40)