SKKN phan tich dt thanh nhan tu

Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa ra cho học si[r]

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRỰC NINH TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN CỔ LỄ SÁNG KIẾN DỰ THI CẤP TỈNH BÁO CÁO SÁNG KIẾN “MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” TÁC GIẢ: NGUYỄN XUÂN TƯỜNG TRÌNH ĐỘ CHUYÊN MÔN: ĐẠI HỌC TOÁN – TIN CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN NƠI CÔNG TÁC: TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN CỔ LỄ THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “Một số kinh nghiệm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày tháng năm 2010 đến 30 tháng năm 2012 Tác giả: Họ và tên: Nguyễn Xuân Tường Năm sinh: 1983 Nơi sinh: Thị Trấn Cổ Lễ - Trực Ninh – Nam Định Nơi thường trú: Thị Trấn Cổ Lễ - Trực Ninh – Nam Định Trình độ chuyên môn: Đại học Toán – Tin Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THCS Thị Trấn Cổ Lễ - Trực Ninh – Nam Định Địa liên hệ: Trường THCS Thị Trấn Cổ Lễ - Trực Ninh – Nam Định Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS Thị Trấn Cổ Lễ - Trực Ninh – Nam Định Địa chỉ: Thị Trấn Cổ Lễ - Trực Ninh – Nam Định I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến Trong trường phổ thông môn Toán có vị trí quan trọng, nó là sở để bổ trợ cho các môn học khác, đặc biệt là các môn học tự nhiên Nội dung chương trình và phương pháp dạy học môn là yếu tố định hiệu giáo dục đào tạo phổ thông Vì môn Toán đã Bộ giáo dục soạn thảo, xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan đến tư trừu tượng để học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức đã biết, đã tiếp thu trường phổ thông Trong chương trình toán nói chung và phân môn Đại số nói riêng thì phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức bản, cần thiết giảng dạy toán phổ thông Phần này chiếm vị trí quan trọng, là nội dung lớn chương trình Đại số, xuyên suốt chương trình toán phổ thông Vì để có thể nâng cao và phát triển khả giải loại toán này cho các em học sinh, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu viết vấn đề này và tôi thấy việc cần thiết phải có cách tư và phương pháp giải thích hợp giúp học sinh phần nào đó có sở để tìm tìm lời giải không mình loại toán này mà cho nhiều loại toán khác có liên quan Với đề tài này tôi muốn giới thiệu về: “Một số kinh nghiệm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Trong việc học toán để các em tự tìm tòi lời giải để đưa phương án giải bài toán đúng thì đa số các em thường “bí” trước vấn đề mới, phần ít các em giỏi có thể tự mình tìm đường lối đúng, vì việc tìm phương pháp chung cho dạng toán nào đó thực là cần thiết, và công việc này người thầy đóng vai trò là chủ đạo, học sinh chủ động tìm tòi kiến thức Với đề tài này tôi góp phần nhỏ kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh THCS II Thực trạng vấn đề cần nguyên cứu Năm học 2010 - 2011 và 2011 – 2012 tôi nhà trường phân công giảng môn toán lớp Qua thực tế dạy học kết hợp với dự thăm lớp các giáo viên trường, thông qua các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ vì lý đó để giải các loại bài tập này cần phải có kỹ phân tích các đa thức thành nhân tử Nếu các em học sinh lớp không có thủ thuật và kỹ phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức quá trình học toán là vấn đề khó khăn Trong việc giảng dạy môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi kiến thức mới, phương pháp làm toán dạng các phương pháp thông thường mà còn phải dùng số phương pháp khó đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy lực sáng tạo gặp các dạng toán khó Người thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh mình với khả sáng tạo, ham thích học môn toán và giải các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt các kỳ thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số kinh nghiệm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát phương pháp giải phù hợp với bài cụ thể các dạng khác III Các giải pháp A Các giải pháp thực sáng kiến kinh nghiệm này: - Giáo viên phải trang bị cho học sinh mình các đơn vị kiến thức - Giáo viên cho học sinh nắm vững chất việc phân tích đa thức thành nhân tử thông qua: + Các phương pháp thông thường + Một số phương pháp phân tích đa thức khác + Một số bài tập áp dụng B Các biện pháp thực sáng kiến kinh nghiệm này: 1) Biện pháp thứ Giáo viên phải trang bị cho học sinh mình các đơn vị kiến thức các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các đẳng thức đáng nhớ 2) Biện pháp thứ hai Giáo viên cho học sinh nắm vững chất việc phân tích đa thức thành nhân tử Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích nhiều đơn thức và đa thức khác Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1) 2.1) Các phương pháp thông thường + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thước thành nhân tử Ví dụ1: M1 Phân tích thành nhân tử = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm các hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt nhân tử chung và dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: M2 Phân tích thành nhân tử = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm các hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức và đặt nhân tử chung) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt nhân tử chung) Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bước sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức có thể từ đó làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức nào không ?+ Nếu không có nhân tử chung, không có đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung các nhóm xuất đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thấy M3 không có dạng đẳng thức, các hạng tử không có nhân tử chung, làm gì để phân tích Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a - 5b2 có nhân tử chung Vì ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đó đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm là (a + b): M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 M3 đã có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a – 2b) Như M3 đã phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ? Ta thấy các hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nhân tử chung M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có hạng tử hãy xét xem có đẳng thức nào không? + Nhóm hạng tử: M4 = xyx2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2 + Dùng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 đã phân tích các đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tích rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích nữa) 2.2 Một số phương pháp phân tích đa thức khác Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường (đã học SGK) và kết hợp các phương pháp sau để làm các bài toán khó + Phương pháp tách hạng tử + Phương pháp thêm, bớt cùng hạng tử + Phương pháp đặt ẩn phụ + Phương pháp tìm nghiệm đa thức + Phương pháp dùng hệ số bất định + Phương pháp xét giá trị riêng Cụ thể: 2.2.1: Phương pháp tách hạng tử Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: N = a2 - 6a + Cách 1: a2 - 4a - 2a + (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử) = a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử đó có thể kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với các hạng tử còn lại Cách 2: N = a2 - 6a + - (Tách = - 1) = (a2 - 6a + 9) - (nhóm hạng tử - xuất đẳng thức) = (a - 3)2 - (Sử dụng đẳng thức) = (a - 2) (a + 2) (Dùng đẳng thức và đặt nhân tử chung) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt nhân tử chung) Cách 3: N = a2 - 4a + - 2a + (Tách = + 4, - 6x = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử) = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng đẳng thức và đặt nhân tử chung) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt nhân tử chung - biến thàng nhân tử) Ta thấy có để tách hạng tử thành hạng tử khác đó cách tách sau là thông dụng nhất; - Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự thành hạng tử cho đa thức đưa hiệu hai bình phương (cách 2) làm xuất đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3) - Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung (cách 1) Ví dụ 6: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c thừa số nguyên với cách + Chọn thừa số mà tổng b Ngoài có thể tách đồng thời hai hạng tử (hạng tử tự và hạng tử bậc nhất) (như cách 3) 2.2.2) Phương pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ 6: Phân tích đa thức P1 = x4 + thành nhân tử P1 = x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Như vây việc thêm bớt cùng hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? Để xuất đẳng thức nào? Bình phương tổng hay hiệu hai bình phương thì phân tích triệt để 2.2.3) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất nhân tử chung) Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi đó ta có: D1 = y2 + 4y - 12 Ta có thể dùng phương pháp tách thêm bớt D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung) D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung) Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp đã nêu trên Chú ý có tam thức không thể phân tích tiếp : x2 + x + = (x + )2 + Do không phân tích tiếp Còn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) 2.2.4) Phương pháp tìm nghiệm đa thức Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du ta có: Nếu m là nghiệm (1) thì m chứa nhân tử (x - m), đó dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp dựa vào các phương pháp nêu trên Các phương pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = đa thức có nghiệm x =  đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) + Nếu tổng các hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1  đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét tổng các hệ số trên thì ta xét các ước hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ước nào d làm cho đa thức có giá trị thì ước đó là nghiệm đa thức Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử E1 = x3 + 3x2 - xét tổng các hệ số ta thấy a + b + c = + + (-4) =  x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 Cho (x - 1)  Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + Ta thấy tổng và hiệu các hệ số E2  đó loại x =  Xét các Ư(2) =  có x = -2 là nghiệm E2  E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 Các ví dụ trên đây là số phương pháp để phối kết hợp với các phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức giải phương trình 3) Một số bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 1a x2 - 4x + cách (phương pháp tách) Gợi ý cách làm C1: Tách - 4x = - 3x + (-x) C2: Tách = - C3: Tách = 12 - C4: Tách -4x = -2x + (-2x) và = + Sau đó có thể nhóm làm xuất đẳng thức nhân tử chung 1b 81a4 + (thêm bớt hạng tử) Gợi ý:Thêm lần tích 9a2 và  Hằng đẳng thức Cụ thể: 36x2 1c: (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phương pháp đổi biến) Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y 1d: x3 - 2x2 - x + (phương pháp tìm nghiệm) Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = Ngoài có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức M= a3 − a2 − a+ a3 − a+14 a− với a = 102 Gợi ý: + Phân tích tử thức phương pháp nhóm đẳng thức đưa tử thành nhân tử + Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử + Rút gọn nhân tử chung tử thứcvà mẫu thức + Thay a = 102 vào M đã rút gọn Bài tập 3: Giải các phương trình sau: 3.a) y2 - 5y + = Gợi ý: Phân tích vế trái thành các nhân tử  phương trình trở phương trình tích 3b: y ❑3 - 2y2 - 9y + 18 = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương trình tích  giải phương trình tích Bài tập 4: Chứng minh đa thức sau 4a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hết cho 24 với a là số tự nhiên Gợi ý: + Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương) A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) * Lập luận: + A đã cho là tích số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hết cho vậy: A  + Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên mộc hai số đó chia hết cho và số còn lại chia hết cho Vậy A  + Nhưng (3 ; 8) = nên tích số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24 4b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24 với n là số nguyên dương tuỳ ý Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gợi ý: + Trước hết sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (tách 12 = + + 1) A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhóm hạng tử) A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + * Lập luận Vì (x - 2)  o và (y + 1)2  0, dấu " = "xảy a = và y = - nên A = (x 2)2 + (y + 1)2 +  Vậy AMin = x = 2; y = -1 IV Hiệu sáng kiến đem lại: Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy trường THCS Thị trấn Cổ Lễ năm học 2010 - 2011 và năm học 2011 – 2012 đã thu các kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua các học, qua kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt Hầu hết các em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích thông thường cách thành thạo, 80% các em học sinh có kỹ nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã nêu sáng kiến kinh nghiệm Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức việc hình thành số kỹ quá trình học tập và giải toán học môn toán V Đề xuất, kiến nghị: Với cấp Sở và Phòng giáo dục- đào tạo : Tăng cường việc bồi dưỡng phương pháp nghiệp vụ cần thiết cho GV cho phù hợp với yêu cầu đổi Nên tổ chức nhiều buổi hội thảo các chuyên đề việc giảng dạy để GV chúng tôi giao lưu, học hỏi kinh nghiệm, bài học quý báu để cùng nâng cao tay nghề, cùng đưa phong trào giáo dục huyện tỉnh nhà lên Với cấp trường : - Cần quan tâm đến việc xây dựng chuyện đề, làm sáng kiến kinh nghiệm GV Cần tạo nhiều điều kiện việc giảng dạy và trao đổi phương pháp - Tạo điều kiện thuận lợi để giáo viên thực sáng kiến thực tiễn giảng dạy Đối với giáo viên: Tham khảo và nhiệt tình đóng góp ý kiến bổ sung để sáng kiến hoàn chỉnh và có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh trường VI Kết luận: Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết hữu hiệu cho việc học tập và giải toán Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài chưa có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết tốt từ việc giải toán rút các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Vì lẽ đó vơí giáo viên chung và thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu bài các đối tượng học sinh để từ đó đưa bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán Từ đó nâng cao từ dễ đến khó, có thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, đưa cho học sinh cùng làm, cùng phát các cách giải khác cách giải hay, tính tự giác học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ phát các cách giải toán nhanh, có kỹ phát các cách giải: Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử trên đây giúp học sinh nhiều quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử Các kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã viết trên đây có lẽ còn nhiều hạn chế Mong tổ chuyên môn trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt phục vụ tích cực cho việc giảng dạy nhằm thực tốt chương trình THCS Cổ Lễ, ngày 20 tháng 10 năm 2012 Người thực Nguyễn Xuân Tường CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại) PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ( Xác nhận, đánh giá, xếp loại)