De tai - Phan tich DT thanh NT.DOC

Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ A/ đặt vấn đề. I/ Lí luận chung. Hiện nay trong các nhà trờng việc ôn tập và bồi dỡng cho học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi đã đợc quan tâm thích đáng và trở thành mũi nhọn của mục tiêu phấn đấu chất lợng. Đối với bộ môn Toán công việc này càng đợc sự quan tâm đặc biệt hơn. Việc bồi dỡng học sinh giỏi hiện nay có những thuận lợi nh : Giáo viên có trình độ chuyên môn, trách nhiệm, học sinh ham học , thông minh, sách tham khảo phong phú Bên cạnh những thuận lợi nêu trên vẫn còn bỏ ngỏ về mặt phơng pháp bồi dỡng, ôn luyện sao cho học sinh chủ động phát huy đợc những mặt tích cực nhằm nâng cao chất lợng dạy và học. Chất lợng học tập của học sinh phải đợc thể hiện trong kết quả bài làm. Do vậy việc giải một bài toán không chỉ dừng lại ở các yêu cầu cơ bản nh: chính xác về mặt kiến thức , logic, suy luận mà còn đòi hỏi có sự tìm tòi, khai thác bài toán ở nhiều mức độ khác nhau. Việc khai thác đó có tác dụng làm cho học sinh nắm vững, khắc sâu kiến thức hơn. Nắm đợc vấn đề có tính khái quát hơn. II/ Lí do chọn đề tài. Phân tích đa thức thành nhân tử chiếm một thời lợng kiến thức lớn trong nội dung chơng trình đại số bậc trung học cơ sở. Học sinh đợc bắt đầu làm quen với dạng toán này từ năm học lớp 8 và sử dụng nó trong suốt những năm học cuối cấp bậc trung học cơ sở và sau này. Giải bài toán "phân tích đa thức thành nhân tử" là việc làm có ích trong nội dung chơng trình nó đ- ợc ứng dụng vào việc: Giải phơng trình, bất phơng trình bậc cao, chứng minh đẳng thức,bất đẳng thức, Trong chơng trình đại số 8, học sinh đợc tiếp xúc một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử nh: Đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức, nhóm thích hợp các hạng tử Xong nhiều khi chỉ với các phơng pháp đó đợc trình bày trong sách giáo khoa thì học sinh khó có thể thực hiện đợc các bài toán nâng cao. Hơn nữa trong một số đề thi học sinh giỏi các cấp bậc trung học cơ sở thì nội dung kiến thức lại vợt quá nội dung sách giáo khoa. Mặt khác cha thoả mãn ham muốn khám phá của những học sinh giỏi toán . Mặt khác trong giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử nhiều khi học sinh cha có kĩ năng giải bài hoặc cha có sự phối hợp các phơng pháp vào bài làm cũng nh việc trình bày còn ít nhiều hạn chế trong những bài toán nâng cao. Vì những lí do trên tôi đã chọn đề tài " Một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng ". Với thời gian cha nhiều, tài liệu tham khảo cha thực sự phong phú, cho dù tác giả đă có sự cố gắng, đề tài này sẽ không tránh khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong đợc các thầy cô đóng góp cũng nh những ý kiến của đồng nghiệp để đề tài này đợc hoàn thiện hơn. 2 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông B/nội dung . i. Các kiến thức liên quan. 1.1 Đa thức phân tích đ ợc và đa thức không phân tích đ ợc. Trong vành đa thức R[x] với R là trờng số thực,đa thức bậc dơng f(x,y z) gọi là phân tích đợc nếu nó có ớc không tầm thờng với hệ số trong trờng đó. Ngợc lại đa thức chỉ có ớc tầm thờng thì gọi là đa thức bất khả quy(hay còn gọi là đa thức nguyên tố) Ví dụ Ví dụ 1: Các đa thức bậc nhất đều không phân tích đợc. Ví dụ 2: Đa thức x 2 +1 không phân tích đợc trên trờng số thực nhng phân tích đợc trên trờng số phức bởi vì : x 2 + 1 = x 2 - (-1) = x 2 -i 2 = (x-i)(x+i) Ví dụ 3: Đa thức x 2 -2 không phân tích đợc trên trờng số hữu tỉ nhng lại phân tích đợc trên trờng số thực, vì: 3 )2)(x2-(x2-x 2-x 22 +== Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông Định lý: Đa thức f(x) trên trờng số k cho trớc có thể biểu diễn đợc dới dạng tích các đa thức không phân tích đợc trong trờng số đó và sự phân tích đó là duy nhất tức là : f(x) = f 1 (x)f 2 (x) f k (x) (Trong đó f i (x) (i=1,k) là không phân tích đ- ợc). * Chú ý: Các đa thức bất khả quy quy ớc gọi là đa thức không phân tích đợc. Ví dụ : Ta coi sự phân tích đa thức:3x 2 -5x-2 là nh nhau trong các cách: Việc phân tích đa thức thành nhân tử nhiều khi cần áp dụng việc tìm nghiệm của đa thức . 1 .2 Nghiệm của đa thức . Định nghĩa: Cho f(x) k[x], k là một trờng. Số a (a k) gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)=0. Từ định nghĩa trên ta có các tính chất sau: Định lí 1: ( định lí BơZu) Giả sử K là một trờng, f(x) K[x], cK. Khi đó f(c) là d trong phép chia f(x) cho (x-c) Hệ quả 1: Đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x-a khi và chỉ khi f(a)=0 Hệ quả 2: Nếu đa thức f(x) ( bậc lớn hơn 1) có nghiệm x=a trong trờng K thì nó phân tích đợc trong trờng đó. : Định lí 2: ( Định lý cơ bản của đại số học cổ điển ). Mọi đa thức với hệ số phức có ít nhất một nghiệm số phức. *Trong đề tài này trờng K đợc xét là trờng số thực vậy ta có một số tính chất sau: Định lý 3: Trong vành R[x] chỉ có đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 có dạng : ax 2 +bx+c với =b 2 -4ac<0 là không phân tích đợc. Hệ quả: Mọi đa thức bậc lẻ với hệ số thực đều có nghiệm thực . Nghĩa là: Mọi đa thức bậc lẻ hệ số thực đều phân tích đợc trên trờng số thực. *Chú ý: Đa thức bậc nhất có sự phân tích là chính nó. 1.3 Các hằng đẳng thức đáng nhớ. a. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 4 1)- 2 x 1)(2(3x 2-5x-3x 2)-1)(x(3x 2-5x-3x 2)-)(x 3 1 3(x 2-5x-3x 2 2 2 += += += Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông b. (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 c. a 2 -b 2 =(a-b)(a+b). d. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2 ). e. a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b+ +ab n-2 +b n-1 ). g. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2 ). h. a n +b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+ ab n-2 +b n-1 ). i. (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3. k. (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 . . II. Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1. Ph ơng pháp đặt nhân tử chung Phơng pháp này dựa trực tiếp vào luật phân phối : a(b+c)=ab+ac 1.1Ví dụ a. 2x 2 +x=x(2x+1): Đặt x làm nhân tử chung. b. A= 2ax 2 +4bx 2 y+2x 2 (ax-by). Đặt 2x 2 làm nhân tử chung ta có : A= 2x 2 (ax+2by+ax-by)=2x 2 (2ax+by). 1.2 Bài tập vận dụng. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. 12x 2 -18xy 2 -30y 3 . b. 16x 2 (x-y)-10y(y-x). 2. Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức. áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi tổng, hiệu thành tích. 2.1 Ví dụ : a. x 2 -4 =x 2 -2 2 =(x-2)(x+2). b. x 2 +2xy+y 2 -25=(x+y) 2 -5 2 =(x+y+5)(x+y-5). 2.2 Bài tập vận dụng. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. (x-y) 2 -(y-z) 2 . b. x 3 -36x 2 y+54xy 2 -27y 3 . C. 4a 2 b 2 -(a 2 +b 2 -c 2 ) 2 . 3. Ph ơng pháp nhóm các hạng tử . Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoăc biến đổi sơ bộ rồi nhó3m lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung 3.1 Ví dụ : a. xy-yz-y+z= (xy-xz)- (y-z )= x(y-z)- (y-z) = (y-z)(x-1) b. x 2 + y 2 -z 2 +2xy+2z-1= (x 2 +2xy+y 2 )-(z 2 -2z+1) 5 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông = (x+y) 2 - (z-1) 2 = (x+y-z+1)(x+y+z-1). 3.1 Bài tập vận dụng. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. 5x 2 -5xy-10x+10y. b.x 3 -x 2 y-x 2 z-xyz. c.2x 2 +2y 2 -x 2 z+z-y 2 z-2. d.(a 2 +b 2 )xy+(x 2 +y 2 )ab. 4.Ph ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm bớt cùng hạng tử . Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức: 4.1 Ví dụ: a. 5x 2 +6xy+y 2 . Cách 1: tách 6xy thành 5xy +xy có: 5x 2 + 6xy + y 2 = (5x 2 + 5xy)+ (xy + y 2 ) = 5x( x+y)+ y( x+y) = (5x+y)(x+y). Cách 2: Thêm 4x 2 vào 5x 2 rồi bớt 4x 2 ta có : 5x 2 + 6xy + y 2 = 9x 2 + 6xy+y 2 - 4x 2 = (9x 2 + 6xy+y 2 )- 4x 2 = 3x+y) 2 -(2x) 2 = (5x+y)(x+y). 4.2 Bài tập vận dụng. 1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. P = ab(a-b)+bc(b-c)+ac(a-c). b. x 3 +3x 2 -4. c. x 5 +x+1. d.x 7 +x 2 +1. 2. Tìm số tự nhiên n để biểu sau là số nguyên tố: a. n 3 -4n 2 +4n-1. b. n 3 +6n 2 +9n-2. 5. Ph ơng pháp dùng phép chia đa thức. Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là thơng của phép chia: f(x): g(x) ) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x-a <=> f(a) = 0 Xét ví dụ ở trên : Phân tích đa thức 5x 2 + 6xy + y 2 thành nhân tử (sử dụng phép chia đa thức) . Coi đa thức trên là đa thức biến x (y là tham số). Xét f(-y) = 5y 2 +6y 2 +y 2 = 0 . Vậy f(-y) = 0 nên đa thức f(x) chia hết cho (x+y) . Thực hiện chia đa thức : 5x 2 + 6xy + y 2 cho x+y đợc thơng là : 5x+y. Vậy 5x 2 + 6xy + y 2 = (5x+y)(x+y) . * Đối với đa thức f(x)= a n x n +a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 nếu có nghiệm hữu tỉ p/q thì p là ớc của a 0 ,q là ớc của a n . 5.1 Ví dụ : 6 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x 4 -2x 3 +x 2 -4. Đa thức trên nếu có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm sẽ là ớc của 4. Ư(4) = - + 4; - + 2; - + 1. Thấy x=-1 là nghiệm nên : x 4 -2x 3 +x 2 -4= (x+1)(x 3 -3x 2 +4x-4). Mà g(x) = x 3 -3x 2 +4x-4 có x=2 là nghiệm . Do vậy g(x) = (x-2)(x 2 -x+2). Với đa thức : x 2 -x+2 có = 1-8 = -7 < 0 nên đa thức này không phân tích đợc trên R. Do vậy: x 4 -2x 3 +x 2 -4 = (x+1)(x-2)(x 2 -x+2). 5.2 Bài tập vận dụng. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. 2x 3 -5x 2 +8x-3. b. 2x 3 +5x 2 +5x+2. c.1+6x-6x 2 -x 3 . 6.Ph ơng pháp dùng ẩn số phụ Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 . 6.1 Ví dụ Ví dụ a: f(x) = (2x 2 +3x+5) 2 +5(2x 2 +3x+5)+6. Đặt : 2x 2 +3x+5 = t ta có f(t) = t 2 +5t+6. Dễ dàng phân tích đợc f(t) = (t+2)(t+3) từ đó ta có : f(x) = (2x 2 +3x+7) (2x 2 +3x+8) Ví dụ b: f(x) =(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 =(x+1)(x+7)(x+5)(x+3)-9 = (x 2 +8x+7) (x 2 +8x+15) - 9 Đặt : (x 2 +8x+11) = t ta có f(t) = (t-4)(t+4) -9. Suy ra f(t) = t 2 -16-9 = t 2 -25 = (t-5)(t+5) Do vậy : f(x) = (x 2 +8x-16) (x 2 +8x-6). 6.2 Bài tập vận dụng. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. (x 2 +x) 2 +4x 2 +4x=12. b. 6x 4 -11x 2 =3. c. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-24. Giải phơng trình: a. (x 2 +2x+3) 2 -9(x 2 +2x+3) +18 = 0. b. (x-1)(x+1)(x+3)(x+5) = 9. 7. Ph ơng pháp hệ số bất định . Phơng pháp hệ số bất định thờng đợc sử dụng để xác định một đa thức khi biết một số điều kiện nhất định. Phơng pháp này là sự vận dụng trực tiếp tính hẳng đẳng của hai đa thức : 7 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông Ta cho các hệ số của các đơn thức đồng dạng trong hai đa thức hằng đẳng bằng nhau để biết đợc những phơng trình mà ẩn số là các hệ số cần xác định . Giải hệ thống các phơng trình đó ta tìm đợc các hệ số của đa thức cần xác định . 7.1 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x 3 -5x 2 +8x-3 bằng phơng pháp hệ số bất định . Giả sử : 2x 3 -5x 2 +8x-3 phân tích đợc dới dạng : (ax+b)(cx 2 +dx+e). Thực hiện phép nhân : (ax+b)(cx 2 +dx+e) = acx 3 +(ad+bc)x 2 +(ae+bd)x+be. Đồng nhất các hệ số đồng dạng ta đợc : ac = 2 ad+bc = -5 ae+bd = 8 be = -3 Giải ra ta đợc : a=2;b=-1 ;c=1 ,d=-2 ;e=3 Vậy : 2x 3 -5x 2 +8x-3 = (2x-1)(x 2 -2x+3). 7.2 Bài tập vận dụng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định. a. 3x 2 -22xy-4x+8y+7y 2 +1. b. x 4 +6x 3 +11x+6x=1. c. 12x 2 +5x-12y 2 +12y-10xy-3. 8 Ph ơng pháp xét giá trị riêng 8.1 ví dụ. Ta xét bài toán sau: Phân tích đa thức thành nhân tử : P = ab(a-b)+bc(b-c)+ac(a-c). Nếu thay a bởi b ta có: P = 0+bc(b-c)-bc(b-c) =0. Do vậy P chia hết cho a-b. Do vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức P nên P chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a). Đa thức P và đa thức (a-b)(b-c)(c-a) có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên : P =k (a-b)(b-c)(c-a). (k là hằng số). Ta cho các biến nhận giá trị riêng: a=2; b=1; c=0 ta đợc: 2.1.1+0+0= k.1.1(-2) => k=-1 Vậy P=(a-b)(b-c)(c-a). 8.2 Bài tập vận dụng Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng phơng pháp xét giá trị riêng. a. a(b 2 -c 2 )+b(c 2 -a 2 )+c(a 2 -b 2 ). b. (a+b+c) 3 -a 3 -b 3 -c 3 . 8 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông III ./ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán 1. Giải ph ơng trình bậc cao. Xét đa thức: f(x)= a n x n +a n-1 x n-1 + + a 1 x+a 0 (n 3) Để tìm nghiệm của đa thức f(x) ta giải phơng trình : a n x n +a n-1 x n-1 + + a 1 x+a 0 =0. Đối với phơng trình bậc lớn hơn 2 ta không có công thức tìm nghiệm ở chơng trình phổ thông Vậy ta phân tích đa thức f(x) thành nhân tử có bậc nhất hoặc bậc 2 mà ta có thể tìm nghiệm bằng công thức: f(x) = f 1 (x).f 2 (x) f k (x) có f(x)=0 khi f i (x)=0 (i=1,2, ,k) 1.1 Ví dụ Ví dụ a: Giải phơng trình: x 3 +3x 2 -4=0. Đa thức: x 3 +3x 2 -4 tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm x=1 tức là đa thức x 3 +3x 2 -4 chia hết cho x-1. Thực hiện phép chia: x 3 +3x 2 -4 cho x-1 ta đợc thơng là x 2 +4x+4 hay (x+2) 2 . Nên phơng trình: x 3 +3x 2 -4=0 (x-1) (x+2) 2 =0 x-1=0 x=1 x+2=0 x=-2. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x 1 =1; x 2 =-2 , Ví dụ b : Giải phơng trình : (x 2 +x) 2 +4x 2 +4x-12=0 Đặt: x 2 +x= t ta có phơng trình: t 2 +4t-12=0. Phân tích đa thức t 2 +4t-12 thành nhân tử ta đợc: t 2 +4t-12=(t+6)(t-2) ta có phơng trình : (x 2 +x+6)( x 2 +x-2)=0. Tiếp tục phân tích đa thức x 2 +x-2thành nhân tử ta đợc: x 2 +x-2=(x-1)(x+2). Vậy phơng trình cho đợc viết nh sau: (x-1)(x+2)(x 2 +x+6)=0 x=1 hoặc x=-2. 1.2 Bài tập đề nghị. Giải các phơng trình sau. a. 5x 2 -4(x 2 -2x+1)-5=0. b. x 4 -4x 3 4x-1. 9 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông c. (x+1) 4 +(x+3) 4 =16. 2. Giải bất ph ơng trình bậc cao . Giả sử giải bất phơng trình : a n x n +a n-1 x n-1 + + a 1 x+a 0 0 (n 2) Ta phân tích đa thức f(x)= a n x n +a n-1 x n-1 + + a 1 x+a 0 thành các nhân tử : f 1 (x);f 2 (x); ;f k (x) ta có bất phơng trình f 1 (x).f 2 (x) f k (x) 0 Đa về giải bất phơng trình dạng tích bằng cách xét dấu . Ta xét một số ví dụ sau : 2.1 Ví dụ Ví dụ a: Giải bất phơng trình : x 2 +5x+6. Ta phân tích đa thức x 2 +5x+6 thành nhân tử x 2 +5x+6 = (x 2 +2x)+(3x+6)= x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3). Ta có bất phơng trình : (x+2)(x+3)>0. Bất phơng trình tơng đơng với : x+2>0 x>-2 x+3>0 x>-3 x>-2 x+2<0 x<-2 x<-3 x+3<0 x<-3 Vậy bất phơng trình có nghiệm x>-2 hoặc x<-3 Ví dụ b: Giải bất phơng trình : x 4 -5x 3 +7x 2 -5x+6<0 Ta có : x 4 -5x 3 +7x 2 -5x+6 = x 4 -5x 3 +6x 2 +x 2 -5x+6 = x 2 (x 2 -5x+6)+ (x 2 -5x+6) = (x 2 -5x+6)(x 2 +1). Phân tích đa thức x 2 -5x+6 thành nhân tử ta đợc : (x 2 -5x+6) = (x-2)(x-3) Vậy bất phơng trình đã cho tơng đơng với bất phơng trình sau: (x-2)(x-3)(x 2 +1) < 0 ( x-2)(x-3) < 0 (vì x 2 +1>0x) x-2>0 x>2 x-3<0 x<3 2<x<3. x-2<0 x<2 x-3>0 x>3 Vậy bất phơng trình đã cho có nghiệm là : 2<x<3. 2.2 Bài tập đề nghị. Giải bất phơng trình. a. x 2 -7x+10<0. b. x 4 -5x+1>0. 10 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông 3. Các bài toán chứng minh đẳng thức ,biểu thức . Nhiều khi trong việc giải bài toán chứng minh đẳng thức , chứng minh một biểu thức có một tính chất nào đó ta sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi đẳng thức hoặc biểu thức . Ta xét một số ví dụ sau : 3.1 Ví dụ Ví dụ a: Chứng minh rằng : (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 )=3(a+b)(b+c)(a+c). Ta biến đổi vế trái bằng cách phân tích đa thức sau thành nhân tử : (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 ) = (a+b) 3 +c 3 +3(a+b)c (a+b+c)- a 3 -b 3 -c 3 = a 3 +b 3 +c 3 +3ab(b+a)+3 (a+b)(a+b+c)c- a 3 -b 3 -c 3 = 3(a+b)(ab+bc+ac+c 2 ) = 3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] =3(a+b)(b+c)(a+c). Vậy: (a+b+c) 3 -(a 3 +b 3 +c 3 )=3(a+b)(b+c)(a+c) Ví dụ b: Chứng minh nếu a+b+c=0 thì: a 3 +b 3 +c 3 =3abc. Giải Do a+b+c=0 => c= -(a+b) nên a 3 +b 3 +c 3 = a 3 +b 3 - (a+b) 3 Ta phân tích đa thức a 3 +b 3 - (a+b) 3 thành nhân tử . Ta có a 3 +b 3 - (a+b) 3 = a 3 +b 3 -a 3 -3a 2 b -3ab 2 -b 3 = -3ab(a+b) = -3ab(-c) = 3abc Vậy : a 3 +b 3 +c 3 = 3abc với a+b+c = 0. Ví dụ b: Chứng minh rằng x Z thì biểu thức : P = (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 9 là số chính phơng . Giải. Ta phân tích đa thức P thành nhân tử P= (x-1)(x-6)(x-3)(x-4) + 9. = (x 2 -7x+6) (x 2 -7x+12) + 9. = [(x 2 -7x+9)-3][ (x 2 -7x+9)+3]+9. = (x 2 -7x+9) 2 -9+9 = (x 2 -7x+9) 2 Do xZ nên (x 2 -7x+9)Z => (x 2 -7x+9) 2 là bình phơng của một số nguyên Vậy P là số chính phơngxZ. Ví dụ c: Chứng minh rằng với x,ynguyên biểu thức: M=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y 4 là số chính phơng. Giải: M= x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y 4 = (x 2 +5xy+4y 2 )(x 2 +5xy+6y 2 )+y 4 = [(x 2 +5xy+5y 2 )-y 2 ][(x 2 +5xy+5y 2 )+y 2 ] +y 4 = (x 2 +5xy+5y 2 ) 2 -y 4 +y 4 = (x 2 +5xy+5y 2 ) 2 . Do x,yZ nên x 2 +5xy+5y 2 Z Suy ra M = (x 2 +5xy+5y 2 ) 2 .là số chính phơng. 11 [...]... A=a 4-6 a3+27a 2-5 4a+32 a phân tích đa thức A thành nhân tử b Chứng minh rằng A luôn là một số chẵn ( a Z) Hớng dẫn: a A= a 4-6 a3+27a 2-5 4a+32 = a4-a 3-5 a3+22a2+5a 2-2 2a-32a-32 = a3(a-1 )-5 a2(a-1)+22a(a-1 )-3 2(a-1) = (a-1)(a 3-5 a2+22a-32) 16 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông Mà a -5 a +22a-32= a -2 a -3 a +6a+16a-32 = a2(a-2 )-3 a(a-2)+16a(a-2) = (a-2)(a 2-3 a+16) Xét a 2-3 a+16 có = 9-4 .6 =-1 50 A< 0 (ĐPCM) b+c-a >0 b+c+a>0 Ví dụ... =n3-n chia hết cho 3 n Z Giải: Ta có n3-n = n(n 2-1 ) = n(n-1)(n+1) do n Z nên A là tích của 3 số nguyên liên tiếp do đó A chia hết cho 3 Ví dụ b: Chứng minh M = m3(m 2-7 ) 2-3 6m chia hết cho 5040 với m là số nguyên Giải : Ta có M = m3(m 2-7 ) 2-3 6m = m {[m(m 2-7 )] 2-6 2} = m[m(m 2-7 )-6 ] [m(m 2-7 )+6] = m(m 3-7 m-6) (m 3-7 m+6) 3-7 m-6)= m 3-9 m+2m-6 = m(m 2-9 )+2(m-3) = (m-3)[m(m+3)+2] Ta có (m =( m-3)(m2+3m+2)=(m-3)[m(m+2)+(m+2)]... các mẫu thành nhân tử: a2+ac-b2-bc=(a2-b2)+(ac-bc)=(a-b)(a+b)+c(a-b)= (a-b)(a+b+c) Tơng tự: b2+ab-c2-ac= (b-c)(a+b+c) c2+bc-a2-ab = (c-a)(a+b+c) Do đó mẫu chung là : MC=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) Vậy : A= (c a ) + (a b) + (b c) 0 = =0 MC MC 8.2 Bài tập đề nghị Bài 1: cho a,b,c 0 và : 1 1 1 + + =0 a b c Hãy tính: M= bc ac ab + + a 2 b2 c2 Bài 2 :chứng minh rằng: c2+2(ab-ac-ac)=0 ,b 0, a+c 0 thì : a... Nguyễn Văn Đông Ta có xy=x+y xy-x-y+1=1 x(y-1 )-( y-1)=1 (x-1)(y-1)=1 Do x,y nguyên nên ta có : x-1=1 hoặc x-1 =-1 y-1=1 y-1 =-1 Suy ra (x=2;y=2) hoặc (x=0;y=0) Vậy cặp số nguyên (x,y) cần tìm là (2;2) và (0;0) 7.2 Bài tập đề nghị Bài 1 Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn các phơng trình sau; a x2=y2+2 b xy-3x-2y-7=0 c xy+2x+y= -2 Bài 2 Giải phơng trình nghiệm nguyên: {{x+2 }-3 }=1 8 Rút gọn biểu thức : Xét... Đông Chứng minh rằng : P= (x-1)(x-3)(x-4)(x-6)+9 luôn không âm x R Giải : Ta có : P= (x-1)(x-6)(x-4)(x-3)+9 = (x 2-7 x + 6) (x 2-7 x + 12) +9 Đặt: (x 2-7 x + 9)= t Ta có P= (t-3)(t+3)+9= t 2-9 +9=t20 t Vậy:P= (x 2-7 x + 9)2 0 với x (ĐPCM) 5.2 Bài tập đề nghị: a Chứng minh rằng: y/xz(x+z)+1/y(x+y)(x+z)(1/x+1/y) b Chứng minh rằng : a4+b4 a3b+ab3 c Chứng minh rằng : (ac-bc)2 (a2-b2)(c2-d2) 6 Tìm giá trị lớn nhất... : (n 5-5 n3+4n) chia hết cho 120 n Z Hớng dẫn: Ta có: n 5-5 n3+4n = n(n 4-5 n2+4n) = n[(n4 4n2 )-( n 2-4 )] = n[n2(n 2-4 )-( n 2-4 )] = n(n 2-4 )(n 2-1 ) = n(n-1)(n-2)(n+1)(n+2) Do nZ n(n-1)(n-2)(n+1)(n+2) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3.4.5=120 Vậy: n 5-5 n3+4n chia hết cho 120 Bài 6 Chứng minh rằng: nếu a+b+c+d =0 thì : a3+b3+c3+d3=3(ac-bd)(b+d) Hớng dẫn Từ giả thiết : a+b+c+d =0 a+c =- (b+d)(a+c)3=... R Vậy A=(a-1)(a-2)(a 2-3 a+16) b Do aZ nên (a-1)(a-2) là tích hai số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 2 Suy ra A chia hết cho 2 A=2k (kZ) Vậy A là số chẵn với aZ Bài 2: Chứng minh rằng với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: N= 2a2b2+2b2c2 +2a2c2-a4-b4-c4 luôn dơng Hớng dẫn : Có N= 4a2b 2-( a4+2a2b2+b4)+2b2c2+2a2c2-c4 =4a2b 2-( a2+b2)2+2c2(b2+a2)-c4 =(2ab) 2-( a2+b2-c2)2=(2ab- a2-b2+c2)(2ab+... vế trái bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử: (a+b+c) 3- (a3+b3+c3)= ( a+b )3+c3+3(a+b)c (a+b+c)-a3-b3-c3 = a3+b3+c3+3ab(a+b)+3(a+b)(a+b+c)c- a3-b3-c3 = 3(a+b)(ab+bc+ac+c2) = 3(a+b)[a(b+c)+c(b+c)] =3(a+b)(b+c)(a+c) Vậy (a+b+c) 3- (a3+b3+c3)= 3(a+b)(b+c)(a+c) 3.2 Bài tập đề nghị 1 Giả sử a,b,c Z chứng minh rằng: [(a-c)2+(b-d)2](a2+b2 )-( ad-bc)2 là số chính phơng 2 Chứng minh rằng nếu: 1 1 1 1 + +... cho 120 Bài 6 Chứng minh rằng: nếu a+b+c+d =0 thì : a3+b3+c3+d3=3(ac-bd)(b+d) Hớng dẫn Từ giả thiết : a+b+c+d =0 a+c =- (b+d)(a+c)3= -( b+d)3 a3+c3+3(a+c)ac=-b3-c 3-3 (b+d)bd thay a+c =-( b+d) ta đợc: a3+b 3-3 (b+d)ac=-b3-c 3-3 (b+d)bd Hay: a3+b3+c3+d3= 3ac(b+d )-3 (b+d)bd= 3(b+d)(ac-bd).(ĐPCM) C/ Kết luận Trong đề tài này tôi đã chứng tỏ khả năng vận dụng quan điểm hoạt động vào một lĩnh vực cụ thể là: Phân tích . m 3 (m 2 -7 ) 2 -3 6m = m {[m(m 2 -7 )] 2 -6 2 } = m[m(m 2 -7 )-6 ] [m(m 2 -7 )+6] = m(m 3 -7 m-6) (m 3 -7 m+6). Ta có (m 3 -7 m-6)= m 3 -9 m+2m-6 = m(m 2 -9 )+2(m-3) = (m-3)[m(m+3)+2] =( m-3)(m 2 +3m+2)=(m-3)[m(m+2)+(m+2)]. xy-yz-y+z= (xy-xz )- (y-z )= x(y-z )- (y-z) = (y-z)(x-1) b. x 2 + y 2 -z 2 +2xy+2z-1= (x 2 +2xy+y 2 )-( z 2 -2 z+1) 5 Phân tích đa thức thành nhân tử Nguyễn Văn Đông = (x+y) 2 - (z-1) 2 = (x+y-z+1)(x+y+z-1). 3.1. a 3 -5 a 2 +22a-32= a 3 -2 a 2 -3 a 2 +6a+16a-32 = a 2 (a-2 )-3 a(a-2)+16a(a-2) = (a-2)(a 2 -3 a+16) Xét a 2 -3 a+16 có = 9-4 .6 =-1 5<0 do đó a 2 -3 a+16 không phân tích đợc trên R. Vậy A=(a-1)(a-2)(a 2 -3 a+16).