treân moät maët caàu: Cách 1: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cách đều một điểm O cố định cho trước Cách 2: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuô[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (Ôn thi đại học) A MỘT SỐ DẠNG TOÁN 01 Tìm giao tuyeán cuûa hai maët phaúng: (α) vaø (β) Caùch 1: Tìm hai ñieåm chung Caùch 2: * Tìm moät ñieåm chung * Chứng minh hai mặt phẳng ( ) và ( ) chứa hai đường thẳng song song hay mặt này chứa đường thẳng song song với mặt 02 Tìm giao điểm đường thẳng d với mặt phaúng (α) Cách 1: Mở rộng mp ( ) để tìm giao điểm đường thẳng d với mp ( ) Caùch 2: * Chọn mp phụ ( ) chứa d * Tìm giao tuyeán a cuûa hai mp ( ) vaø ( ) Gọi O=d a Khi đó O là giao điểm cần tìm 03 Chứng minh các điểm A, B, C thẳng hàng Cách 1: Ta chứng minh các điểm A, B, C cùng thuoäc hai mp ( ) vaø ( ) Caùch 2(GT): → Ta coù: → AC AB=( a1 ; a2 ) → AC=( b1 ; b2) ⇒ a1 a2 = b1 b2 ⇒ → AB , cuøng phöông ⇒ caùc ñieåm A, B, C thaúng haøng 05 Tìm thieát dieän cuûa maêt phaúng (α) hình Lưu ý: Nếu bài toán có giả thiết hai mp song song thì ta có thể chuyển giả thiết đường thẳng song song với mp để tìm giao tuyến theo cách hai Ví dụ: mp ( ) song song với mp(SAB) mp ( ) song song với SA, SB, AB Cách 3(GT): Lập PTTS đường thẳng d; PTTQ cuûa maët phaúng ( ) vaø giaûi heä 04 Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui Cách 1: Gọi I = a b Ta chứng minh c qua I cách chứng minh c là giao tuyến và I là ñieåm chung cuûa hai mp ( ) vaø ( ) Cách 2: Sử dụng định lí: Nếu ba mp cắt theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó song song hay đồng qui Caùch 3(GT): Lập phương trình đường thẳng a, b, c Tìm giao ñieåm I cuûa a vaø b Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng c Caùch 2(GT): (2) choùp Ta mở rộng mp ( ) để tìm các đoạn giao tuyến mp ( ) với các mặt hình chóp Thiết diện cần tìm là đa giác nối các đoạn giao tuyến 06 Chứng minh song song a) Cách chứng minh hai đường thẳng a, b song song: Cách 1: Sử dụng tính chất bắc cầu, tính chất đường trung bình, tính chất hình thang, tính chất hình bình haønh, keát quaû cuûa ñònh lí b) Cách chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) : Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng mp ( ) Caùch 2(GT): * Ta thaáy: a mp ( ) → * Tìm VTCP a đường thẳng a và tìm → VTPT cuûa mp ( ) * Ta thaáy: a b → * Tìm VTCP a đường thẳng a, tìm VTCP → b đường thẳng b → → * Chứng minh a và b cùng phương Caùch 2(GT): * Ta thaáy: mp ( ) mp ( ) → → * Tìm VTPT n1 cuûa mp ( ) , tìm VTPT n2 cuûa mp ( ) → → * Chứng minh n1 và n2 cùng phương n → → * Chứng minh: a n ⇒ đường thẳng a song song với mp ( ) c) Cách chứng minh hai mp (α) , (β) song song: Cách 1: Ta chứng minh mp ( ) chứa hai đường thẳng a, b cắt và song song với mp ( ) 07 Chứng minh vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông goùc: Cách1: Sử dụng kiến thức hình học phẳng, kiến thức góc, kết số định lí hình hoïc khoâng gian Caùch 2(GT): → * Tìm VTCP a đường thẳng a, tìm VTCP → b đường thẳng b → → * Chứng minh a và b vuông góc Caùch 2(GT): → * Tìm VTCP a đường thẳng , tìm VTPT → cuûa mp ( ) n → → * Chứng minh: a và n cùng phương c) Chứng minh hai mp (α) và (β) vuông góc: Cách1: Ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Caùch 2(GT): → → * Tìm VTPT n cuûa mp ( ) , tìm VTPT n b) Chứng minh đường thẳng Δ và mp (α) vuoâng goùc: Cách1: Ta chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt mp ( ) (3) cuûa mp ( ) → → * Chứng minh n1 và n2 vuông góc 08 Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm Mo đến đt Δ : * Trong maët phaúng: Tìm ñieåm Mo(xo; yo) vaø laäp phöông trình ñt : Ax+By+C = Ta coù: d(Mo; )= 09 Goùc a) Góc hai đường thẳng a, b chéo nhau: Cách 1: Ta chuyển tính góc hai đường thẳng cắt cách thay đường thẳng đó đường thẳng khác song song với nó |Axo +By o +C| chuyeån veà √ A + B2 * Trong khoâng gian: → Đường thẳng qua M1 và có VTCP a → [ → → ⇒ M M ⇒ a, M M ] → → |[ a, M M ]| ⇒ d ( M , Δ)= o cheùo caét Caùch 2(GT): → * Tìm VTCP a đường thẳng a, tìm → VTCP b đường thẳng b * Gọi ϕ là góc hai đường thẳng Tacoù: cos ϕ = ❑ → |a| →→ |a b| |a||b| → → b) Khoảng cách từ điểm M đến mp (α) : Caùch 1: Kẻ MH mp ( ) Khi đó: b) Góc (a; (α) ) với a cắt mp (α) A: Caùch 1: Kẻ MH mp ( ) Khi đó: (a; ( )d(M; ) = (a; MAH (AH) ))== MH Caùch 2(GT): → * Tìm VTCP a đường thẳng a, tìm Löu yù: d(a; ( ) ) với a// ( ) và d( ( ) ; ( ) ) với ( ) // ( ) → VTPT n cuûa mp ( ) * Gọi ϕ là góc đường thẳng a và mp ( ) (4) chuyển khoảng cách từ điểm đến mp Caùch 2(GT): Tìm ñieåm Mo(xo; yo; zo) vaø laäp phöông trình mp ( ) : Ax +By + Cz +D = Ta coù: d(Mo; ( ) )= |Axo +By o +Czo + D| √ A 2+ B2 +C c) Khoảng cách hai đường thẳng a và b ( ( ) ; ( ) ) = (a;b) cheùo nhau: Caùch 1: Ta thường tính dựa vào các tính chất sau: * d(a;b) = d(a; ( ) ) với mp ( ) chứa a và song song với b * d(a;b) = d( ( ) ; ( ) ) với mp ( ) , mp ( ) chứa a, b và mp ( ) song song với mp ( ) Caùch 2(GT): → Đường thẳng a qua M1 và có VTCP a , → đường thẳng b qua M2 và có VTCP b → →→ [ ] ⇒ M M vaø a, b →→ → |[ a, b ] M M | ( ( ) ; ( ) ) = (a;b) ⇒ d (a,b)= |[ a, b ]| Tacoù: sin ϕ = →→ |a n| |a||n| → → c) Góc ( (α) ; (β) ) với mp (α) và (β) cắt theo giao tuyeán Δ : Caùch 1: * Laáy O treân , mp ( ) keû a qua O vaø vuoâng goùc , mp ( ) keû b qua O vaø vuông góc với * Khi đó: Lưu ýù: Trong trường hợp tổng quát góc ( ) và ( ) xác định sau: * Keû mp(R) , tìm giao tuyeán a và b mp(R) với hai mp ( ) và ( ) * Khi đó: ❑ →→ Caùch 2(GT): → → * Tìm VTPT n1 cuûa mp ( ) , tìm VTPT n2 cuûa mp ( ) * Gọi ϕ là góc hai mp ( ) và ( ) Tacoù: cos ϕ = →→ |n n | |n |.|n | → d) Chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nằm Caùch 2(GT): → (5) treân moät maët caàu: Cách 1: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cách điểm O cố định cho trước Cách 2: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nhìn đoạn AB cố định góc vuông e) Xaùc ñònh taâm vaø tính baùn kính cuûa maët caàu ngoại tiếp hình chóp: Caùch 1: * Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy * Xác định tâm mặt cầu: là giao điểm trục với mp trung trực cạnh bên Lưu ý: Một số bài toán có giả thiết mặt bên vuông góc với mặt đáy thì ta nên tìm tâm mặt cầu là giao điểm trục với trục đường tròn ngoại tiếp mặt bên đó 10 Các công thức tính diện tích và thể tích i) VKhối hộp chữ nhật = abc Với a, b, c là ba kích thước hình hộp chữ nhaät VKhoái laäp phöông = a ⇒ * Lập phương trình trục Δ đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và lập phương trình mặt phẳng trung trực ( ) cạnh bên * Tìm taâm I cuûa maët caàu laø giao ñieåm cuûa Δ vaø ( ) ii) VKhoái choùp = Bh Với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao ⇒ VKhoái noùn = π R2)h ( Với R là bán kính đáy và h là độ dài đường cao Với a là cạnh hình lâïp phương iii) Vkhoái laêng truï = Bh Với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao VKhoái ⇒ = ( π R )h Với R là bán kính đáy và h là độ dài đường cao v) VKhoái caàu = iv) V Khoái Choùp cuït = h(B1+B2+ √ B1 B ) với B1, B2 là diện tích hai đáy và h là độ dài đường cao ⇒ V Khoái noùn cuït = π h( R12+R22 + R1R2) π R3 Với R làbán kính hình cầu Với R1, R2 là hai bán kính hai đáy và h là độ dài đường cao vi) S xq(hình truïï) = (2 π R)L Với R là bán kính đáy, L là đường sinh vii) S xq(hình noùn) = ( π R)L Với R là bán kính đáy, L là đường sinh viii) S xq(noùn cuït) = π ( R1+R2)L Với R1, R2 là hai bán kính hai đáy, L là đường sinh Trong hình hoïc giaûi tích, ta coù: a) Dieän tích tam giaùc ABC: S= → → AB ; AC |[ ]| ix) S mặt cầu = π R với R là bán kính cuûa maët caàu (6) → → → AB, AC AD ] | c) Theå tích hình hoäp ABCD.A’B’C’D’: V= |[ AB, AD ] AA'| b) Thể tích tứ diện ABCD: V= |[ → → → BAØI TAÄP Bài 01: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a cho SA = a và tam giác SAB vuông A Trên cạnh AD lấy điểm M với DM = x(0 < x < a) Qua M dựng mp ( ) song song với CD vaø SA caét BC, SC, SD taïi N, P, Q a) Thieát dieän MNPQ laø hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm x theo a để diện tích thiết diện là lớn nhất? c) Gọi I là giao điểm MQ và NP CMR: M di động trên đoạn AD, điểm I luôn nằm trên đường thẳng cố định Baøi 02: Cho hình laäp phöông ABCD A’B’C’D’ caïnh baèng a a) Chứng minh D’B vuông góc với mp(A’C’D) b) Tính khoảng cách hai đường thẳng B’D’ và A’B Bài 03: Cho hình chóp OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với đôi O và OA=a, OB=b, OC=c a) Tính chiều cao hình chóp kẻ từ O b) Tính khoảng cách hai đường thẳng OA và BC Bài 04: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh AB = a, đường cao SA = a a) CMR: tam giaùc SBC vuoâng b) Lấy điểm M thuộc cạnh AB với AM = x(0 < x < a), gọi ( ) là mp qua M và vuông góc với AB Tìm thiết diện mp ( ) với hình chóp c) Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm x theo a để diện tích thiết diện đó lớn Bài 05: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C với AB=a √ Trọng tâm G tam giác ABC là hình chiếu đỉnh S; SG=h Tính h theo a để mp(SAC) và mp(SBC) tạo với góc 60o Bài 06: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, đường cao SA =2a a) Keû BK AC(K thuoäc AC) CMR: BK SC b) Gọi ( ) là mp qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện mp ( ) với hình choùp vaø tính dieän tích thieát dieän theo a Bài 07: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao SA = a Gọi ( ) là mp chứa AB và vuông góc với mp(SCD) a) Tìm thiết diện mp ( ) với hình chóp b) Tính dieän tích thieát dieän theo a (7) Bài 08: Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy là tam giác đều; cạnh bên a và hai đường thẳng AB’, BC’ vuông góc với Tính thể tích khối lăng trụ đó Bài 09: Cho hình chóp S.ABCD Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp các trường hợp sau: a) Cạnh đáy a, cạnh bên b b) Góc cạnh bên và mặt đáy 300, cạnh đáy a c) Góc mặt bên và mặt đáy 600, cạnh đáy a d) Góc cạnh bên và mặt đáy 300, cạnh bên b e) Góc măït bên và mặt đáy 300, cạnh bên b Tính thêm thể tích khối chóp, khối cầu và giải bài toán trên trường hợp cho hình chóp S ABC Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao SA = b Keû: AB’ SB(B’ thuoäc SB), AD’ SD(D’ thuoäc SD) a) CMR: mp(AB’D’) SC b) Tính b theo a để B’AD’ = 450 c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(B’A D’) Bài 11: Cho tam giác OAB vuông cân O với OA=OA=a(a>0) M là trung điểm AB Từ O và M kẻ các tia Oz và Mm cùng phía mp(OAB) và vuông góc với mp(OAB) Trên tia Oz lấy ñieåm N, treân tia Mm laáy ñieåm I cho 2MI=ON=a Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O treân AN Chứng minh OH vuông góc với NI Bài 12: (ĐH KB.2003) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy ϕ (0o < ϕ <90o) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ và tính theå tích cuûa khoái choùp S.ABCD theo a vaø ϕ Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A Tìm điểm M không gian thỏa mãn bất đẳng thức: MB2 + MC2 MA2 Baøi 14: (ÑH KA.2003) Cho hình laäp phöông ABCD A’B’C’D’ Tính soá ño goùc phaúng nhò dieän [B, A’C, D] Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cạnh a và nằm mp vuông góc với đáy Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình choùp Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy 2, cạnh bên Gọi M, N là trung điểm cuûa caïnh AB, AC a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Dựng thiết diện hình chóp với mp ( ) qua MN và vuông góc với mp(SBC) c) Tính dieän tích thieát dieän Bài 17: (ĐH KA 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N là trung điểm các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Cạnh SB vuông góc với đáy ABC Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC Chứng minh SC vuông góc với mn(BHK) vaø dieän tích tam giaùc BKH bieát AC=a, BC=a √ , SB=a √ (a>0) (8) BAØI 19: Cho hình chóp S.ABCD với S(0;0;4), A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;0;2) a) Xác định toạ độ tâm O và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính: cos((ABCD);(OBC)) Baøi 20: (ÑH KB 2002) Cho hình laäp phöông ABCD A’B’C’D’ coù caïnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B và B’D b) Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh A’B, CD, A’D’ Tính góc hai đường thaúng MP vaø C’N Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA là đường cao và SA=a √ Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và SA=SB=SC= a √3 Goïi là mặt phẳng qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Gọi I là trung ñieåm cuûa BC a) Maët phaúng ( α ) caét hình choùp theo thieát dieän laø hình gì? b) Tính góc AB và mặt phẳng ( α ) BAØI 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác cạnh a và nằm mp vuông góc với đáy Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tieáp hình choùp (α ) BAØI 24: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy 2, cạnh bên Gọi M, N là trung ñieåm cuûa caïnh AB, AC a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) b) Dựng thiết diện hình chóp với mp ( ) qua MN và vuông góc với mp(SBC) c) Tính dieän tích thieát dieän Baøi 25: (ÑH KA 2006) Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M, N là trung điểm AB, CD a) Tính khoảng cách hai đường thẳng A’C và MN b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(0xy) góc biết cos (9)