GIAI HINH HOC KHONG GIAN BANG PHUONG PHAP TOA DO

Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A[r]

1 CHUYÊN ĐỀ

GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan

(có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :

 Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ)

 Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

 Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng  Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán

Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng

 Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện

 Chứng minh quan hệ song song , vng góc  Bài tốn cực trị, quỹ tích

Bổ sung kiến thức :

1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin góc giữa mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu

S' S.cos

2) Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta ln có:

SC SC SB SB SA SA V

V ABC S

C B A S

' ' '

' ' '

 Ta thường gặp dạng sau

1 Hình chóp tam giác a Dạng tam diện vng

Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] =  zM =

Tương tự  M(1; 2; 3) pt(ABC): x y z

a  b c M (ABC)

a b c

     (1)

O.ABC

1 V abc

6

 (2)

3

1 3

(1)

a b c a b c

    

1abc 27

6

 

(2)

1 V 27

a b c

     

Ví dụ:

1) Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vng A, AD = a, AC = b, AB = c

Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh : 2S abc a b c   

(Dự bị – Đại học khối D – 2003) Giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

       

    

 

 

   

 

     

     



   

 

2 2 2 BCD

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

BC c; b; , BD c; 0; a , BC, BD ab; ac; bc

1

S BC,BD a b a c b c

2

ñpcm a b a c b c abc(a b c)

a b a c b c abc(a b c)

Theo BĐT Cauchy ta : a b +b c 2ab c

b c +c a

 

      



  

2 2 2 2

2 2 2

2bc a Coäng veá : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b

b Dạng khác

Ví dụ Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vng C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M

Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]

Hướng dẫn giải z

y

x A

B

3 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:

A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0)

mp(P) qua H vng góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy

[H, SB, C] = IH, IK  (1)

SB   ( 1; 3; 4), SC (0; 3; 4) suy ra:

ptts SB:

x t y 3t z 4t            , SC: x y 3t z 4t          

và (P): x + 3y – 4z – = 5 15 3  51 32

I ; ; , K 0; ; 8 25 25



IH.IK cos[H, SB, C]

IH.IK

 

  = …

Chú ý: Nếu C H đối xứng qua AB C thuộc (P), ta khơng cần phải tìm K

Ví dụ (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC)

Hướng dẫn giải Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O

là trọng tâm ABC Gọi I trung điểm BC, ta có:

3 a

AI BC

2

 

a a

OA , OI

3

  

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được:

O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a 3; 0;

3         a I ; 0;

6

 



  , B a a; ;

6

 

 

 

 ,

a a C ; ;

6

 

  

 

 ,

a a h M ; ;

12

 

 

 

 

và N a 3; a h;

12

 

  

 

 

2

(AMN) ah 5a

n AM, AN ; 0; 24                 ,

(SBC) a

n SB, SC ah; 0;               2

(AMN) (SBC) 5a AMN a 10

(AMN) (SBC) n n h S AM, AN

12    16

           

2 Hình chóp tứ giác

a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vuông

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b SAD cạnh a vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:

H(0; 0; 0), Aa; 0; , B a; b; 0

2    

a a a

, C ; b; , D ; 0; , S 0; 0;

2 2

 



   

3 Hình lăng trụ đứng

Tùy theo hình dạng đáy ta chọn hệ trục cỏc dng trờn

Vớ d: Cho hình lập phơng ABCD A'B'C'D' CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD)

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A; B  Ox; D  Oy A'  Oz Giả sử hình lập phơng ABCD A'B'C'D' có cạnh a đơn vị

 A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phơng trình đoạn chắn mặt phẳng (A'BD):

A'

D'

C'

C

B A

D B'

I O I'

Z

Y

5 x + y + z = a hay x + y + z –a =

Pháp tuyến mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1)

Vậy AC' vuông gãc (A'BC)

2 Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đơi vng góc với nhau; AB = 3; AC = AD= Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

Lêi gi¶i:

+ Chän hƯ trơc Oxyz cho A  O D Ox; C  Oy vµ B  Oz

A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)

Phơng trình đoạn chắn (BCD) là:

1 43

x y z

 3x + 3y + 4z 12 = Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:

Nhn mnh cho hc sinh:

II Phương pháp giải:

Để giải tốn hình học khơng gian phương pháp sử dụng tọa độ Đề không gian ta làm sau:

* Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ suy tọa độ điểm cần thiết

* Bước 2: Chuyển hẳn tốn sang hình học giải tích khơng gian Bằng cách:

+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định

+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy kết cần chứng minh

+ Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm cực trị + Thiết lập biểu thức cho đối tượng cần tìm quỹ tích

v.v… III Lun tËp

Bài 1: Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm SO

z

O

B

y C

x D

1 Mặt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC H chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB CMR: IH qua trọng tâm G cđa SAC Lêi gi¶i:

Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa độ AOx, S Oz, BC//Oy

Tọa độ điểm: ( 3;0; 0)

A ; ( 3; 1; 0)

6

 

B ; ( 1; ; 0)

6 

C ; (0;0 6)

3

S ; (0; 0; 6) I

Ta có: BC (0;1; 0); ( 1; ; 6)

6

  



IC ; , ( 6; 0; 3)

6

 

 BC IC  Phơng trình mặt phẳng (IBC) là:

6

( 0) 0( 0) ( )

6 6

 x  y  z 

Hay: 6

  z  mà ta lại có: ( 3; 0; 6) // (1; 0; 2)

3

   

  

SA

SA SA u

Phơng trình đờng thẳng SA: ;

 

x t y0;z  2t

+ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:

3

(1)

0 (2)

2 (3)

2 (4)



 

 

   

   

   

 

x t

y

y t

x z

Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:

3 6

; 0; ( ; 0; )

12 12

 x y  z  M ; ( 3; 0; 6)

12 12

SM  SA SM M nằm đoạn SA

4  SM

SA

( )

( )

 SBCM  SABC V

V

2 Do G lµ träng tâm ASC SG qua trung điểm N cña AC

 GI  (SNB)  GI SB đồng phẳng (1) Ta lại có tọa độ G ( 1; ; 6)

18

3

( ; ; )

18 18 GI  

3

( ; ; )

18 18

GI    GI SB 0GI SB (2)

7

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a AA1 = 2a vng góc với mặt

phẳng (ABC) Gọi D trung điểm BB1; M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích MC1D

Lêi gi¶i:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O; B  Oy; A1  Oz Khi đó.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)

1

( ; ; ) 2

a a

C a vµ D(0;a;a)

Do M di động AA1, tọa độ M (0;0;t)với t  [0;2a] Ta có :

1

1

,

   

 

DC M

S DC DM

Ta có:

3

( ; ; )

2

(0; ; )

 

  

 

a a

DC a

DM a t a

,

 

 DG DM  ( ; 3( ); 3)



 a t a ta a

2 2

, ( ) 3( )

 

     

 

  a

DG DM t a t a a

1

2

2

4 12 15

2

12 15 2



  

  

DC M a

t at a

a

S t at a

z

x

y I

O B

A

C S

M

z

x

y I

O H

A

C S

G N

z

x C

C1 M

A

A1 B1

Giá trị lớn hay nhá nhÊt cña

1

DC M

S tùy thuộc vào giá trị hàm số Xét f(t) = 4t2 – 12at + 15a2

f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a]) f'(t) = 8t – 12a

3 '( )

2

   a

f t t

Lập BBT giá trị lớn

1

2 15  DC M

a

S t =0 hay M A

Chú ý

+ Hình chóp tam giác có đáy tam giác cạnh bên nhau, không thiết phải đáy Chân đường cao trọng tâm đáy

+ Tứ diện hình chóp tam giác có cạnh bên đáy

+ Hình hộp có đáy hình bình hành khơng thiết phải hình chữ nhật

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC

Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2002) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD)

Bài Cho ABC vng A có đường cao AD AB = 2, AC = Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A lấy điểm S cho SA = Gọi E, F trung điểm SB, SC H hình chiếu A EF

1 Chứng minh H trung điểm SD

2 Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (ACE) Tính thể tích hình chóp A.BCFE

Bài Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA = OB = OC = 3cm vng góc với đơi Gọi H hình chiếu điểm O lên (ABC) điểm A’, B’, C’ hình chiếu H lên (OBC), (OCA), (OAB)

1 Tính thể tích tứ diện HA’B’C’

2 Gọi S điểm đối xứng H qua O Chứng tỏ S.ABC tứ diện

Bài Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi   , , góc nhị diện cạnh AB, BC, CA Gọi H hình chiếu đỉnh O (ABC)

1 Chứng minh H trực tâm ABC Chứng minh 12 2 12 12

OH  OA OB OC

3 Chứng minh cos2 cos2 cos2 1 Chứng minh cos cos cos 

Bài Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với đơi Gọi M, N, P lần lượt trung điểm BC, CA, AB

1 Tính góc  (OMN) (OAB)

2 Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu O (ABC) trọng tâm ANP

3 Chứng minh góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vng 12 12 12

a  b  c

Bài Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân A, SA vng góc với đáy Biết AB = 2,



(ABC),(SBC)  60 Tính độ dài SA

2 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC) Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C]

9 Tính bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài (trích đề thi Đại học khối D – 2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, giao tuyến đường thẳng (d) Trên (d) lấy hai điểm A B với AB = a Trong (P) lấy điểm C, (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với (d) AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a

Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC

1 Tính diện tích MAB theo a

2 Tính khoảng cách MB AC theo a Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]

Bài 10 Cho tứ diện S.ABC có ABC vng cân B, AB = SA = Cạnh SA vng góc với đáy Vẽ AH vng góc với SB H, AK vng góc với SC K

1 Chứng minh HK vng góc với CS

2 Gọi I giao điểm HK BC Chứng minh B trung điểm CI Tính sin góc SB (AHK)

4 Xác định tâm J bán kính R mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông C, AC = 2, BC = Cạnh bên SA = vng góc với đáy Gọi D trung điểm cạnh AB

1 Tính cosin góc hai đường thẳng AC SD Tính khoảng cách BC SD

3 Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C]

Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a SA vng góc với đáy SA a Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC)

2 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC

Bài 13 Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng ( ) qua AB vng góc với SC

1 Tìm điều kiện h theo a để ( ) cắt cạnh SC K Tính diện tích ABK

3 Tính h theo a để ( ) chia hình chóp thành hai phần tích Chứng tỏ tâm mặt cầu nội tiếp ngoại tiếp trùng

2 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC

Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD

1 Tính diện tích SBE

2 Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE)

3 (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần

Bài 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD)

2 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]

Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy

SA  2cm Mp( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD

2 Chứng minh BD song song với ( )

3 Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC Tính thể tích hình khối ABCDKMH

Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD

1 Tính khoảng cách từ A đến (BCN) Tính khoảng cách SB CN

4 Tìm điều kiện a b để cosCMN

3

 Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM

Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD

1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD)

2 Mặt phẳng ( ) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ ( ) cắt cạnh SB, SD Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]

Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O SO vng góc với đáy SO  2a 3, AC = 4a, BD = 2a Mặt phẳng ( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD B', C', D'

1 Chứng minh B ' C ' D '

2 Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD

Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)

1 Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ Cho m a

3

 , gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B] 3 CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG

Bài 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, K, M, N trung điểm A’D’, BB’, CD, BC

1 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng Tính khoảng cách IK AD Tính diện tích tứ giác IKNM

Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]

Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M cạnh AA’ cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ

Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’) Tính góc (DA’C) (ABB’A’)

3 Trên cạnh AD’, DB lấy điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2) a Chứng minh MN song song (A’D’BC)

b Tìm k để MN nhỏ Chứng tỏ MN đoạn vng góc chung AD’ DB Bài 25 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = Các điểm M, N thỏa

AM  mAD, BN  mBB' (0 m 1)

   

Gọi I, K trung điểm AB, C’D’ Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD)

2 Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng

3 Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp A ' BD Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ

Bài 26 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh 2cm Gọi M trung điểm AB, N tâm hình vng ADD’A’

1 Tính bán kính R mặt cầu (S) qua C, D’, M, N

2 Tính bán kính r đường trịn (C) giao (S) mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D Tính diện tích thiết diện tạo (CMN) hình lập phương

Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, BAD  60 Gọi M, N trung điểm cạnh AA’, CC’

1 Chứng minh B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Tính AA’ theo a để B’MDN hình vng

Bài 28 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A Cho AB = a, AC = b, AA’ = c Mặt phẳng ( ) qua B vng góc với B’C

11 a Xác định tính diện tích thiết diện b Tính góc phẳng nhị diện thiết diện đáy

Bài tập :

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=a vng góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vng ABCD đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600

1) Tính MN SO

2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD)

Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH(ABCD) với SH=a

1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Baøi 4: Cho góc tam diện Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A,B,C

1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c

2) Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi ln thỏa mãn OA=OB+OC Hãy xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn

Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA,OB,OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc ,, Chứng minh rằng:

1) cos2cos2  cos2 2

2) 2 2

ABC OCA

OBC

OAB S S S

S      

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, sa vng góc với đáy Gọi M,N hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC cho

4 ,

2

a DN a

BM   CMR hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với

Bài 7: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) D lấy điểm S cho

2 a

SD , CMR hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với

Bài 8: Trong không gian cho điểm A,B,C theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz vng góc với đôi cho OA=a , OB=a OC=c (a,c>0) Gọi D điểm đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm đọan BC (P) mặt phẳng qua A,M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vng góc với AM

a) Gọi E giao điểm (P) với OC , tính độ dài đọan OE

b) Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P)

c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P)

Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=a 2, SC (ABC), ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM=CN=t (0<t<2a)

1) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để MN ngắn

2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi có AC=4, BD=2 tâm O.SO=1 vng góc với đáy Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)

cạnh AD,CD Lấy ' BB

P cho BP=3PB' Tính diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập phương

Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a 1) Tính theo a khoảng cách AD' B'C

2) Gọi M điểm chia đọan AD theo tỷ số 3 MD AM

Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C)

3) Tính thể tích tứ diện AB'D'C

Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M, N trung điểm BC vaø DD' 1) CMR AC' (A'BD)

2) CMR MN //(A'BD)

3) Tính khoảng cách BD nà MN theo a

Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, góc A=600 B'O vng góc với đáy ABCD, cho BB'=a

1) Tính góc cạnh bên đáy

2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD')

Bài 15: Cho hình vng ABCD cạnh a tâm I Trên hai tia Ax, By chiều vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M,N Đặt AM=x, CN=y

1) Tính thể tích hình chóp ABCMN

2) CMR điều kiện cần đủ để góc MIN=900 2xy=a2

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = Cạnh bên SC(ABC) SC = Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB 1) Tính góc hai đường thẳng SM CN

2) Tính độ dài đọan vng góc chung SM CN Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh

1) Gọi M, N trung điểm AD, BB' Chứng minh '

A CMN Tính độ dài đọan MN

2) Gọi P tâm mặt CDD'C' Tính diện tích MNP

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA=a

2

Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đơi vng góc Gọi   ; ; góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC);(OCA) (OAB).Chứng minh :

cos cos cos 

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA=a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a góc