Chuyen de Phuong phap giai phuong trinh vo ty

Trong bài tập lớn này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỷ”, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài [r]

Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A LỜI NÓI ĐẦU: Phương trình là mảng kiến thức quan trọng chương trình Toán phổ thông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh khá giỏi nhiều còn lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỷ Trong năm gần đây, phương trình vô tỷ thường xuyên xuất câu II các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải chúng là quan trọng Như chúng ta đã biết phương trình vô tỷ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác Trong bài tập lớn này, tôi xin trình bày “một số phương pháp giải phương trình vô tỷ”, phương pháp có bài tập minh họa giải rõ ràng, dễ hiểu; sau phương pháp có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi phương pháp Hy vọng nó góp phần giúp cho học sinh có thêm kĩ cần thiết để giải phương trình chứa thức nói riêng và các dạng phương trình nói chung Page NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ A BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: Giải phương trình:  x  x  x   x (*) (ĐHQG HN, khối A-2000) Giải: Điều kiện:  x   Cách 1: 2   (*)  1  x  x2   x   x   4  1 x  x  ( x  x )   x(1  x )    4( x  x )  x  x   x  x (2 x  x  3)   x  x2    x  x2   2 x  x    x  x   0( PTVN )  x  (thỏa điều kiện)  x   Vậy nghiệm phương trình là x  0; x   Cách 2: Nhận xét: x  x biểu diễn qua  x  1 x  x và  x nhờ vào đẳng thức: =1+2 x  x Đặt t  x   x (t  0) t 1  x x  2 Phương trình (*) trở thành: t  t2 1  t  t  3t     t  Với t  ta có phương trình: 1 x  (thỏa điều kiện) x   x   x  x   x  x2    x   Với t  ta có phương trình: Page Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A 9  x  x   0( PTVN ) 4 Vậy nghiệm phương trình là x  0; x  x   x   x  x2   x  x2   Cách 3: Nhận xét: x và  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  1 x  1 x   (*)  x  x   x  x      x x   x  (1) không thỏa mãn phương trình (1) x 3 (2) Do đó, (1)   x  x 3 3t  Đặt t  x (t  0), (2)   x  2t  x Ta có:  x  1 x  1  3t   t   1  2t    t (4t  12t  9)  9t  18t   4t  12t   4t  12t  14t  6t   t (2t  6t  7t  3)   t (t  1)(2t  4t  3)  t   t  Với t  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Với t  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là x  0; x   Cách 4: Nhận xét: x và  x có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể  x  Đặt a  x (a  0); b   x (b  0) Ta có hệ phương trình:  3  2ab  3(a  b) 2ab  3(a  b)  1  ab  a  b     2 (a  b)  2ab  (a  b)  3(a  b)   a  b   Page  NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ  a  b   2ab  3(a  b)   ab    a  b    a  b    a  b   ab     a   b   a, b là nghiệm phương trình X  X     a    b  a  b   (Trường hợp  loại vì   ) ab  a   x   x  (thỏa điều kiện) Với  ta có  b    x  a   x   x  (thỏa điều kiện) ta có  Với  b    x  Vậy nghiệm phương trình là x  0; x   Cách 5: Nhận xét: Từ Đặt  x  x  sin a,  a  1 x    , ta nghĩ đến đẳng thức: sin a  cos2 a    2sin a.cos a  3sin a  3cos a (vì cos a  0) Phương trình (*) trở thành:  sin a  sin a  sin a   sin a  (sin a  cos a )2  3(sin a  cos a)   sin a  cos a     sin a  cos a   sin( a  )  sin a  cos a      a    k 2   sin(a  )   ( k  )  a    3  k 2  4 a k a        k  (   )    (vì  a  )  a   k 2 a    Với a  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Page Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Với a  ta có x   x  (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là x  0; x  Qua bài toán mở đầu, ta thấy có nhiều cách khác để giải phương trình vô tỷ Tuy nhiên, các cách đó dựa trên sở là phá bỏ thức và đưa phương trình đơn giản mà ta đã biết cách giải Sau đây, tôi xin trình bày số phương pháp cụ thể để giải phương trình vô tỷ B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG  Hai phương trình gọi là tương đương chúng có cùng tập nghiệm  Một số phép biến đổi tương đương:  Cộng, trừ hai vế phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi tập nghiệm phương trình  Nhân, chia hai vế phương trình với cùng biểu thức khác mà không làm thay đổi điều kiện phương trình  Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế phương trình  Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế hai vế phương trình cùng dương Lũy thừa hai vế phương trình:  k 1 f ( x)  g ( x )  f ( x )  g k 1 ( x)     g ( x)  f ( x )  g ( x)   2k f ( x )  g ( x )  k 1 f ( x )  k 1 g ( x )  f ( x )  g ( x ) 2k 2k  g ( x)  f ( x)  k g ( x )    f ( x )  g ( x)  Thông thường ta gặp phương trình dạng : A  B  C  D , ta thường bình phương vế, điều đó nhiều gặp khó khăn  Với phương trình dạng: A  B  C và ta thường lập phương hai vế để đưa phương trình dạng: A  B  3 A.B A  B  C và ta sử dụng   phép : A  B  C ta phương trình hệ quả: A  B  3 A.B.C  C Bài 1: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x  1 x   x  10  x   x  (*) Page NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ (*)  x  11  x  11x  10  x   x  x  10   x  11x  10  x  x  10  x  11x  14  x  11x  10  x  x  10  x  11x  10   x   x    x  1    x  1 (thỏa điều kiện) 9 x    x  11x  10  x  x  Vậy nghiệm phương trình là: x  1 Bài 2: Giải phương trình: Giải: x   x   x   (*) (*)  x   x    x   x   3 ( x  1)( x  2)( x   x  2)   x   x   ( x  1)( x  2)( x   x  2)     x   ( x  1)( x  2)  x    ( x  1)( x  2)( x  3)  x   x  x  11x   x  x  12 x   x  2 Thử lại, x  2 thỏa mãn phương trình (*) Vậy nghiệm phương trình là: x  2 Bài 3: Giải phương trình: x   3x   x  x  Giải: Điều kiện: x  Bình phương vế không âm phương trình ta được:   x  3 x  1  x  x  x  1 , để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó phức tạp chút Phương trình giải đơn giản ta chuyển vế phương trình : 3x   x   x  x  Bình phương hai vế ta phương trình hệ : x  x   x  12 x  2( x  1)2   x  Thử lại, x  thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm phương trình là: x   Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  Page Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Mà có : f  x   h  x   g  x   k  x  , thì ta biến đổi phương trình dạng : f  x   h  x   k  x   g  x  sau đó bình phương hai vế, giải phương trình hệ và thử lại nghiệm Bài 4: Giải phương trình : x3   x   x2  x   x  x 3 (1) Giải: Điều kiện : x  1 Bình phương vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển nào? Ta có nhận xét : x3  x   x  x  x  , từ nhận xét này ta có lời giải x 3 sau : x3   x   x2  x   x  x 3 Bình phương vế ta phương trình hệ quả: x  1 x3   x2  x   x  x     x3  x   Thử lại : x   3, x   là nghiệm phương trình (1)   Nhận xét : Nếu phương trình : f  x   g  x   h  x   k  x  Mà có : f  x  h  x   k  x  g  x  thì ta biến đổi phương trình dạng: f  x   h  x   k  x   g  x  sau đó bình phương hai vế, giải phương trình hệ và thử lại nghiệm Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: x  x  x   3x  x  3x   x    x   x  5  x x  x  11  x  x  11  12  x  14  x  x   x   x  Trục thức: 2.1 Trục thức để xuất nhân tử chung: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm nghiệm x0 Như vậy, phương trình luôn đưa dạng tích  x  x0  A  x   ta có thể giải phương trình Page NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ A  x   chứng minh A  x   vô nghiệm , chú ý điều kiện nghiệm phương trình để ta có thể đánh giá A  x   vô nghiệm Bài 1: Giải phương trình: 3x  x   x    x  x  1  x  3x  Giải: x   Điều kiện:    x  Ta nhận thấy :  3x  x  1   x  x  3  2  x   và x  2   x  3x     x  2 pt  x  x    x  x  1  x   x  3x   2( x  2) 3x  x    x  x  1 2 3( x  2)  x   x  3x        ( x  2)  2  x   x  x   x  x    x  x  1     x  (thỏa) Dễ dàng chứng minh phương trình x   x  3x   3x  x    x  x  1  vô nghiệm vì 1   VT  0, x  ;     ;     Vậy x  là nghiệm phương trình  Bài 2: Giải phương trình: Giải: x  12   3x  x  5 Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm phương trình , phương trình có thể phân tích dạng  x   A  x   , để thực điều đó ta phải nhóm , tách sau : Để phương trình có nghiệm thì : x  12  x   x    x  pt  x  12   3x   x   Page Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ x2  NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A x2   3 x    x  12  x2     x2 x2   x  2    3  x2     x  12  x2 x2 x2 Dễ dàng chứng minh :    0, x  x  12  x2   Vậy x  là nghiệm phương trình  Bài 3: Giải phương trình : x   x  x3  Giải: Điều kiện: x  Nhận thấy x  là nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình: pt  x    x   x3     x 3    x  3  x  x     x  3 1   2 3 x3    x  1  x       x 3 x2  3x     ( x  3) 1   0 3   x  x  1  x     x   x  3x  x3 (*)  1   x    x2   x2 1     Phương trình (*) vô nghiệm vì: x  3x  x3 x 3 1  1   2 3 x2 1 x3    x   x   3     Vậy phương trình có nghiệm x  2.2 Đưa “hệ tạm”: Nếu phương trình vô tỉ có dạng A  B  C , mà : A  B   C đây C có thể là số, có thể là biểu thức x Ta có thể giải sau : Page NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A A B C A B Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ  A  B  C  A  C  A  B   , đó ta có hệ:     A B  Bài 1: Giải phương trình sau : x  x   x  x   x  Giải: Ta thấy:  x  x     x  x  1   x   Phương trình đã cho có nghiệm  x    x  4 x  4 không phải là nghiệm phương trình Xét x  4 trục thức ta có : 2x   x   x2  x   x2  x   2 2x  x   x  x  Ta có hệ phương trình: x   x  x   x  x   2  2x  x   x     2 x   x  x   x  x   x   Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0; x= Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau : x  x    x   x   10  x  x  2 3 x   x 1  2x  x  16 x  18  x   x  x  15  x   x  8 x   3x   x  x  11x  21  3 x     x   x   x    x 10  x  2.3 Phương trình biến đổi tích: 2.3.1 Sử dụng đẳng thức: u  v   uv   u  1 v  1  au  bv  ab  vu   u  b  v  a   A2  B Bài 1: Giải phương trình : x   x    x  x  Giải: PT  x   x    x  x  x   x 1 1 x  1     x  1    Page 10 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Vậy nghiệm phương trình là: x  0; x  1 Bài 2: Giải phương trình : x   x  x  x  x Giải:  x  , không phải là nghiệm  x  , ta chia hai vế cho x : x 1 PT   x  1 x 1 x 3 x 1  x 1   3  1 x     x   x 1 x     x Vậy nghiệm phương trình là: x    Bài 3: Giải phương trình: x   x x   x  x  x  Giải: Điều kiện: x  1 PT  x   x x   x  ( x  3)( x  1)   x   2x   x   2x x 1 1     x     x  x 1   4 x  x     (thỏa) x   x 1   Vậy nghiệm phương trình là: x  0; x  4x Bài 4: Giải phương trình : x   4 x x3 Giải: Điều kiện: x  Chia hai vế cho  4x 4x 4x  x  ta được:  2  1   0 x3 x 3 x3   4x   x  x   x  (thỏa) x3 Vậy nghiệm phương trình là: x   2.3.2 Dùng đẳng thức: Biến đổi phương trình dạng : Ak  B k Page 11 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 3x  x Bài 1: Giải phương trình : Giải: Điều kiện:  x  Khi đó pt đã cho tương đương: 3x 3  10 10   x  3x  x     x  x (thỏa)   3 3  10  Vậy nghiệm phương trình là: x  Bài 2: Giải phương trình sau : x   x  x  Giải: Điều kiện: x  3  x    3x Phương trình đã cho tương đương :   x  x    x    3 x   x    x   9 x  x   (thỏa)    x  5  97    x   18    9 x  x   5  97 Vậy nghiệm phương trình là: x  1; x  18   Bài 3: Giải phương trình sau :  3 x  x    x  3 x  x   Giải: PT   x   3x    x   3 x  x   3x  x  Vậy nghiệm phương trình là: x  II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường: Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t  f  x  và chú ý điều kiện t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t và quan trọng ta có thể giải phương trình đó theo t thì việc đặt ẩn phụ xem “hoàn toàn ” Bài 1: Giải phương trình: Giải: x  x2 1  x  x2 1  Page 12 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Điều kiện: x  Nhận xét: x  x  x  x   Đặt t  x  x  1(t  0) thì phương trình trở thành: t    t  2t    (t  1)2   t  t Với t  ta có phương trình: x  x    x   x   x   x  (thỏa) Vậy nghiệm phương trình là: x  Bài 2: Giải phương trình: x  x   x  Giải: Điều kiện: x   t2  Đặt t  x  5(t  0) thì x  Thay vào ta có phương trình sau: t  10t  25 2  (t  5)   t  t  22t  8t  27  16 2  (t  2t  7)(t  2t  11)   t  1  2 t  1  2   (vì t  ) t   t   Với t  1  2 ta có: x   1  2  x  4(1  2)  x   Với t   ta có: x     x  4(2  3)  x   Vậy nghiệm phương trình là: x   2; x   Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế phương trình với điều kiện 2x2  6x 1  Ta được: x ( x  3)  ( x  1)  , từ đó ta tìm nghiệm tương ứng Đơn giản là ta đặt : y   x  và đưa hệ đối xứng(Xem phần dặt ẩn phụ đưa hệ) Bài 3: Giải phương trình: x   x   Điều kiện:  x  Đặt y  x  1(0  y  5) thì phương trình đã cho trở thành: y  y    y  10 y  y  20   ( y  y  4)( y  y  5)  Page 13 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ   21 y  1  17  y ( vì  y  )  1  17 y   1  17 1  17 11  17 Với y   x ta có phương trình x   (thỏa) 2 11  17 Vậy nghiệm phương trình là: x    Bài 4: Giải phương trình: x  2004  x   x  Giải: Điều kiện:  x  Đặt y   x (  y  ) phương trình trở thành: (1  y )  (2005  y )(1  y )2  (1  y ) (1  y )  (2005  y )(1  y ) y 1 2  y  ( vì  y  )  2(1  y ) ( y  y  1002)     y  1  4009  Với y  ta có phương trình  x   x  Vậy nghiệm phương trình là: x  Bài 5: Giải phương trình: x  x x   x  x Giải: Điều kiện: 1  x  Chia hai vế cho x ta phương trình: 1 1 x  x     x   x    (*) x x x x Đặt t  x  (t  0) phương trình (*) trở thành: x t  t  2t      t 1   t  Với t  ta có phương trình  1 x   x  1 x    x2  x     x  1 x   Page 14 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Vậy nghiệm phương trình là: x  NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A 1 Bài 6: Giải phương trình : x  x  x  x  Giải: x  không phải là nghiệm phương trình 1  Chia hai vế cho x ta được:  x    x   (*) x x  phương trình (*) trở thành : t  t    t  x 1 Với t  ta có phương trình x    x  x    x  x Đặt t= x  Vậy nghiệm phương trình là x  1 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 15 x  x   x  15 x  11 n (1  x)  n  x  n (1  x)  ( x  5)(2  x)  x  x x  (2004  x )(1   x )2 (1  x)(2  x)   x  x ( x  x  2)( x  x  18)  168 x x  17  x  x 17  x  10 3x   x   x   x  x   x2   x2  x  x  11  31 Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ trên chúng ta giải lớp bài đơn giản, đôi phương trình t lại quá khó giải Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u   uv   v  (1) cách u u  Xét v  phương trình trở thành :          v v  v  thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1):  a A  x   bB  x   c A  x  B  x    u   v  mu  nv Page 15 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Nếu thay các biểu thức A(x) , B(x) các biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng này 2.1 Phương trình dạng : a A  x   bB  x   c A  x  B  x  Như phương trình Q  x    P  x  có thể giải phương pháp trên  P  x   A  x  B  x   Q  x   aA  x   bB  x  Chú ý số phân tích trước đặt ẩn phụ: x    x  1  x  x  1 x  x    x  x  1  x   x  x  1 x  x  1    x4   x2  2x  x2  2x  x    x  x  1 x  x  1 Bài 1: Giải phương trình :  x    x3  Giải: Điều kiện: x  1 Đặt u  x  1, v  x  x  u  2v Phương trình trở thành:  u  v   5uv   u  v  2 * Với u  2v ta có phương trình x   x  x   x  x   0( PTVN ) * Với u  v ta có phương trình   37 x  2 x 1  x  x   x2  5x     (thỏa)   37 x    37 Vậy nghiệm phương trình là x  Bài 2: Giải phương trình sau : x  x   x  Giải: Điều kiện: x  Nhận xét: Ta viết   x  1   x  x      x  1  x  x  1 Đồng ta  x  1   x  x  1   x  1  x  x  1 Page 16 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Đặt u  x   , v  x  x   , ta phương trình: v  9u 3u  2v  uv   v  u  Với v  9u ta có phương trình x  x   9( x  1)  x  x  10   x   4 Vậy nghiệm phương trình là x   Với v  u ta có phương trình x  x   ( x  1)  x  x   0( PTVN ) Bài 3: Giải phương trình : x  x   x  2  6x  Giải: Nhận xét: Đặt y  x  phương trình trở thành bậc x và y x  y x  x  y  x   x  xy  y     x  2 y x   x  x2  x      x x  x  x Với x  2 y ta có phương trình x       x  22  x  4x   Với x  y ta có phương trình Vậy nghiệm phương trình là x  2; x   2.2 Phương trình dạng :  u   v  mu  nv Phương trình cho dạng này thường khó “phát hiện” dạng trên , ta bình phương hai vế thì đưa dạng trên Bài 1: Giải phương trình : x  x   x  x  Giải: u  x (u  0) Ta đặt :  đó phương trình trở thành : v  x  ( v  0)  v  2 2 u  3v  u  v  (u  3v)  u  v  2v(5v  3u )     v   u (loại)  Với v  ta có phương trình x    x  1 Vậy nghiệm phương trình là x  1 Bài 2: Giải phương trình : Giải: x  x  x   3x  x  Page 17 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Bình phương vế ta có : Điều kiện: x  x  x   x  1  x   x  x   x  1   x  x    x  1 (*) u  x  x đó (*) trở thành : Ta có thể đặt :  v  x   1 v (loại) u  2 uv  u  v    1 v u   1 v ta có phương trình 1 x2  2x   x  1  x2  (2  5) x    (PTVN) Với u  Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài 3: Giải phương trình : Giải: Điều kiện: x  5 x  14 x   x  x  20  x  Chuyển vế bình phương ta được: x  x   x  x  20   x  1 Nhận xét : Không tồn số  ,  để : x  x     x  x  20     x  1 u  x  x  20 ta không thể đặt  v  x  Nhưng may mắn ta có :  x2  x  20   x  1   x   x  5 x  1   x    x  x  5 Ta viết lại phương trình:  x  x     x    ( x  x  5)( x  4) (*) Đến đây bài toán giải u  v u  x  x  Đặt  , đó phương trình (*) trở thành: 2u  3v  uv   u  v v  x    Page 18 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A - Với u  v ta có phương trình   61 x  x  x   x   x  5x       61 (loại) x   - Với u  v ta có phương trình x  2 x  x   ( x  4)  x  25 x  56      x  (loại)   61 Vậy nghiệm phương trình là x  8; x  Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Phương pháp giải: Đưa phương trình đã cho phương trình bậc hai dạng: f ( x).Q( x )  f ( x )  P ( x ) x với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn phương trình đã cho Đặt f ( x)  t , t  Phương trình đã cho trở thành t  t.Q( x)  P( x)  Sau đó, giải t theo x thay vào giải phương trình f ( x )  t và đưa kết luận   Bài 1: Giải phương trình : x   x  x   x  (*) Giải: Đặt t  x  phương trình (*) trở thành : t  t    x  t   3x    t  x  x2    x2   x   x  Với t  x  ta có phương trình x   x     x  x  1 Với t  ta có phương trình Vậy nghiệm phương trình là x   Bài 2: Giải phương trình :  x  1 x  x   x  Giải: Đặt t  x  x  3, t  Khi đó phương trình trở thành :  x  1 t  x   x    x  1 t  Page 19 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Bây ta thêm bớt, để phương trình bậc theo t có  là số chính phương: t  x  x    x  1 t   x  1   t   x  1 t   x  1    t  x  x2  x    x  x    x   x  Với t  x  ta có phương trình x  x   x     x  0 x  Với t  ta có phương trình Vậy nghiệm phương trình là x    Từ phương trình đơn giản : 1 x  1 x    x    x  , khai triển ta pt sau: Bài 3: Giải phương trình: x    x   x   x Giải: Điều kiện: 1  x  Nhận xét: Đặt t   x , phương trình trở thành:  x   x  2t  t  x (1) Từ đó x   t thay vào (1) ta phương trình: 3t    x t   x       Nhưng không có may mắn để giải phương trình theo t     1 x   48   x   không có dạng bình phương Muốn đạt mục đích trên thì ta phải tách 3x theo    1 x , 1 x  Cụ thể sau : x    1  x   1  x  thay vào pt (1) ta được: x   t  2(1  x)  2t  t  x  t  (2   x )t   x  2(1  x)  (*)   (3  x  2) t   x (*)   t    x 1  x  3  x x    Với t   x ta có phương trình  x   x   Với t    x ta có phương trình  x   x    (1  x)(1  x )    x   x  3 Vậy nghiệm phương trình là x  ; x  Page 20 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Bài 4: Giải phương trình: 2 x    x  x  16 (1) Giải: Điều kiện: x  (1)  4(2 x  4)  16 2(4  x )  16(2  x )  x  16  8(4  x )  16 2(4  x )  x  x Đặt t  2(4  x ); t  x  t1   Phương trình trở thành 4t  16t  x  x    t   x   2 Vì x  nên t2  không thỏa điều kiện t  x  x (thỏa đk x  )  x 2 8(4  x )  x Vậy nghiệm phương trình là x  Với t  x thì 2(4  x )  Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: 4.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường:  Đặt u    x  , v    x  và tìm mối quan hệ   x  và   x  Từ đó tìm hệ theo u,v   Bài 1: Giải phương trình: x 25  x3 x  25  x  30 Giải: Đặt y  35  x  x  y  35  xy ( x  y )  30 Khi đó ta có hệ phương trình:  3  x  y  35 Giải hệ này ta nghiệm ( x; y )  (2;3);( x; y )  (3;2) Vậy nghiệm phương trình là x  2; x  Bài 2: Giải phương trình sau: x   x   Giải: Điều kiện: x  Đặt a  x  1, b   x  1( a  0, b  0) ta hệ phương trình: a  b  (1)  b  a  (2) Page 21 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Lấy (1)-(2) vế theo vế ta phương trình: a  b  (a  b)(a  b  1)     a  b (loại) Với a  b  ta có 11  17  x  x 1 1   x 1  x 1   x   x  x  11x  26  Vậy nghiệm phương trình là x  11  17 4.2 Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại I: Bài 1: Giải phương trình:  x   x   (2  x )(3  x ) Giải: Điều kiện: 2  x  Đặt a   x (a  0); b   x (b  0) Ta có hệ phương trình: a  b   ab a  b   ab a  b   ab    2 2 a  b  (a  b)  2ab  (1  ab)  2ab   a  b   ab a  b   ab a  b       ab  ab  (ab)   a   b   a, b laø nghieäm cuûa phöông trình X  X     a    b      a  ta có  Với  b   a  ta có b  Với  2 x 1  x  1 3 x  2 x   x  3 x 1 Vậy nghiệm phương trình là x  1; x  Bài 2: Giải phương trình: x  17  x  Giải: Điều kiện:  x  17 Đặt a  x (a  0); b  17  x (b  0) Page 22 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Ta có hệ phương trình   (a  b)2  2ab   2(ab)  17 a  b  17 (a  b )  2a 2b  17      a  b  a  b    a  b  (9  2ab)  2(ab)  17 2(ab)2  36ab  64    a  b  a  b   a  b   ab    a  b   (loại vì 32  4.16  0)  ab  16  a   b   a, b laø nghieäm cuûa phöông trình X  X     a    b   x   x  4  17  x  a   x   x  16 Với  ta có hệ phương trình  b   17  x  Vậy nghiệm phương trình là x  1; x  16 a  Với  ta có hệ phương trình b  Bài 3: Giải phương trình:  x   x  (5  x)(2  x)  1 Giải: Đặt a   x ; b   x ta có hệ phương trình: a  b  ab  1 ab  1  (a  b) (a  b)  1  (a  b) (a  b)      3 ab  1  (a  b) a  b  (a  b)  3ab(a  b)   (a  b)3  3(a  b)  3(a  b)   (a  b  1) (a  b)  4(a  b)       ab  1  (a  b)  ab  1  (a  b) a  b  (vì (a  b)2  4(a  b)   0)  ab  1  (a  b)  a  1  b  2  a, b laø nghieäm cuûa phöông trình X  X      a    b  1 Page 23 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ   x  1  x  6 3  x     x  a  Với  ta có hệ phương trình   x  b  1   x  1 Vậy nghiệm phương trình là x  6; x   a  1 ta có hệ phương trình b   Với  Bài 4: Giải phương trình  x  (2  x ) Giải: Điều kiện:  x  Đặt a  x (a  0); b   x (2   b  2) b   a a  b  (*)  a  b  a  b  ( a  b) (a  b )  vaø a  b   Ta có a  b  2 a  Do đó, (*)   b  Ta có hệ phương trình:   x   x 1  2  x  Vậy nghiệm phương trình là x  a  ta có hệ phương trình b  Với  4.3 Đặt ẩn phụ đưa hệ đối xứng loại II: 4.3.1 Dạng 1: Giải phương trình x n  b  a n ax  b  x n  b  at Cách giải: Đặt t  ax  b ta có hệ phương trình đối xứng loại II:  n t  b  ax Bài 1: Giải phương trình x3   x  Giải: Đặt t  x  ta có hệ phương trình  x3   2t  x3   2t  x   2t   3 3 2 t   x x  t  2( t  x )   ( x  t )( x  t  tx  2)  n   x  t   x  t x  t      x  x    ( x  1)( x  x  1)   x            x t x t 1     (VN )   x   2  2 2   x  t  tx    ( x  t )  x  t   Page 24 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Vậy nghiệm phương trình là x  NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A 1  ; x 1 4.3.2 Dạng 2: Giải phương trình x  a  a  x  x  a  t Cách giải: Đặt t  a  x ta có hệ phương trình đối xứng loại II:  t  a  x Bài 1: Giải phương trình x  2007  2007  x Giải: Điều kiện: x  Đặt t  2007  x ta hệ  x  2007  t  x  2007  t  x  2007  t    t  2007  x  x  t  t  x ( t  x )( t  x  1)   8030  8029  x     x  2007  t  x  x  2007      8030  8029 (loại) t  x  t  x  x    t  x 8030  8029  xt  8030  8029 Vậy nghiệm phương trình là x  4.3.3 Dạng 3: Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược Bài 1: Giải phương trình: x  x  2 x  Giải: Điều kiện x  Đặt x   ay  b  x  x  2(ay  b) ( x  1)  2ay  (2b  1) Chọn a, b để hệ  là hệ đối xứng  2 (ay  b)  x  (ay  b)  x  đối xứng loại II Page 25 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Chọn a  1; b  1 ta hệ 2  x  x  2( y  1)  x  x  2( y  1)  x  x  2( y  1)      ( x  y )( x  y )   y  y  2( x  1)  x  y    x  x    x    y x         x   (loại)  x  y      x  2 (VN ) yx    y   x  Vậy nghiệm phương trình là x   4.3.4 Dạng 4: Cho phương trình d  ac   với các hệ số thỏa mãn  (*)    e bc  Cách giải: Đặt dy  e  n ax  b n ax  b  c( dx  e)n   x   4x   x2  x 28 Bài 1: Giải phương trình Giải: Điều kiện x  9 4x  1  PT   7 x    28 2  Kiểm tra a  ; b  ; c  7; d  1; e  ;  0;    thỏa mãn (*).Đặt 28 1 4x  y  ( y  ) ta có hệ 2 28 Page 26 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A   1   7  x    y  1 2   7  x    y    2  1   7( x  y )( x  y  1)  ( x  y )   7  y    x      14 x  12 x   (I )    1  y  x 7 x    y    98 x  112 x      2   ( x  y )(7 x  y  8)   ( II )   y   x    6   x  14   6  ( I )   x y 6  14 (loạ i ) x   14   y  x  8  46 x  14  8  46   x    8  46 14   y   14  ( II )    x  8  46     14  46    x   1 14  (loại vì y  )  y  x     8  46  y  14   6  8  46 Vậy nghiệm hệ phương trình là x  ;x  14 14 4.4 Đặt ẩn phụ đưa hệ gần đối xứng: Bài 1: Giải phương trình: x   13 x  x   Nhận xét: Nếu chúng ta nhóm phương trình trước: 13  33   x    3x   4  13 Đặt y   x  thì chúng ta không thu hệ phương trình mà chúng ta có thể giải Page 27 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Để thu hệ (1) ta đặt :  y    3x  , chọn  ,  cho hệ có thể giải (đối xứng gần đối xứng )  y   2  3x   y  2 y  x     (1)  (*) Ta có hệ :  (2) 4 x  13 x    y    x  13 x   y     Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) và mong muốn chúng ta là có nghiệm x  y  2    Nên ta phải có : , ta chọn   2;       13   Ta có lời giải sau : Điều kiện: x   , 3 Đặt 3x   (2 y  3), ( y  ) (2 x  3)  y  x   ( x  y )(2 x  y  5)  Ta có hệ phương trình sau:     y x (2 3)  15  97 Với x  y  x  11  73 Với x  y    x  15  97 11  73 Vậy nghiệm phương trình là: x  ;x  8  Chú ý : Chúng ta có thể tìm  ;  cách ta viết lại phương trình sau: (2 x  3)   3x   x  Khi đó đặt 3x   2 y  , đặt y   x  thì chúng ta không thu hệ mong muốn, ta thấy dấu  cùng dấu với dấu trước Một số phương trình xây dựng từ hệ: Giải các phương trình sau: x  13 x   x   x  13 x   x   3 81x   x  x  x  Page 28 x   x3  x  15 30 x  x   2004    30060 x   Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Phương pháp: 1,1 Dùng đẳng thức :   f ( x)  f ( x)  g ( x)     g ( x)  1.2 Dùng bất đẳng thức:  f ( x)  m , x  D    g ( x)  m  f ( x)  m , x  D  g ( x)  m Nếu f ( x )  g ( x), x  D (1) thì phương trình f ( x)  g ( x ) tương đương với dấu đẳng thức (1) xảy Khi đó, phương trình f ( x)  g ( x ) với x  D    Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x  x x  x  16  x  x  20  (1) Giải: (1)   x  x x  x  16  ( x  x  16)   ( x  x  4)      x  x  x  16  ( x  2) 2 0  x  x  x  16   x2 x    Vậy nghiệm phương trình là x  Bài 2: Giải phương trình:  2011x   2011x  x   Giải: 1 x 2011 2011 Ta có  2011x   2011x   2011x   2011x  1 Mặt khác x    x   x 1 x 1   2011x   2011x  Do đó, (*)    x  x    x 1  Vậy nghiệm phương trình là x  Điều kiện: Page 29 (*) x 1 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ 2  x  x  (*) x 1 Bài 3: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x   2  Ta có :   x   2   x 1     2   x      x9  x 1     x   x        2  x  x  (1) x 1 2 1 (*)   x x 1 x 1 Do đó Vậy nghiệm phương trình là x  Bài 4: Giải phương trình : 13 x  x  x  x  16 (*) Giải: Điều kiện: 1  x   Biến đổi phương trình ta có : x 13  x   x   256 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  13  x   x 2    13 13  x  3  x   13  27  13  13 x   x   40 16  10 x   16  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16  10 x      64  2 Do đó  x 13  x   x  2  40 x (16  x )  4.64  256   x  x2   1 x  (*)     10 x  16  10 x x   Vậy nghiệm phương trình là x   Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 16 x   x  x x   4  x  x  Page 30 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ x  x  x  40  4 x    x  64  x  x  x  28  x2   NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A x  1 x  x  1 x    2x   2x   2x  2x   2x  2x 1   4x  x x  IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ: Phương pháp:  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu (tăng giảm) trên khoảng (a; b) thì phương trình f ( x)  k (k  const ) có không quá nghiệm thuộc (a; b)  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu (tăng giảm) trên D thì u , v  D ta có f (u )  f (v)  u  v  Nếu hàm số y  f ( x ) đơn điệu tăng và g ( x) là hàm đơn điệu giảm trên (a; b) thì phương trình f ( x)  g ( x ) có không quá nghiệm thuộc (a; b) Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x3   x   x  Giải: Điều kiện: x   Xét hàm số f ( x)  x3   x   x D    5;  f '( x)   3x x 5  3 (2 x  1)   0, x   Suy f ( x ) đồng biến trên D Do đó, phương trình f ( x )  có nghiệm thì có nghiệm Dễ thấy f (1)  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  1 Bài 2: Giải phương trình: ( x  1)2  x   Giải: Điều kiện: x  1 Xét hàm số f (t )  t  2t treân D   1;   f '(t )  2(t  1)  0, t  1 Do đó, f (t ) đồng biến trên D Page 31   x   x  (*) NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A (*)  f    x2 1  f Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ  x   x   x   ( x  1)  ( x  1)3 x   x  x  x  3x   x( x  1)( x  x  3)    x  1(thoûa)  x  Vậy nghiệm phương trình là x  1; x  0; x  2 Bài 3: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x  Xét hàm số f ( x)  x  x    x  x  17 D f  1;    0, x  x 1 Suy f ( x ) đồng biến trên 1;   f '( x)  Đồ thị hàm số g ( x )   x  x  17 là parabol ( P) có đỉnh I (1;18) và bề lõm hướng xuống nên g ( x) nghịch biến trên 1;   Do đó, phương trình f ( x)  g ( x ) có nghiệm thì có nghiệm Dễ thấy, f (5)  g (5) Vậy phương trình có nghiệm x  Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: x   x   x   x x   x  x2  x3 x 1  x   x   x2    x 3x   x  x   x   x2   x    x3  x  x    x  x2 (2 x  1)  x  x   x  x      V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA:     Nếu x  a thì có thể đặt x  a sin t ; t   ;  x  acost ; t   0;     2 Bài 1: Giải phương trình:   x  x   x Giải: Điều kiện x  Page 32   Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A     ;  phương trình trở thành  2 t  cos t  sin t 1  cos t   2cos    sin t  sin 2t 2 t  3t  t  t   3t    2cos    2sin   cos    cos    sin    1  2 2 2 2 2  Đặt x  sin t ; t    t t   2k  1   cos      (k  )    t   k 4   3t   sin     2 Kết hợp với điều kiện t suy t     Vậy phương trình có nghiệm x  sin        x  1  x    Bài 2: Giải phương trình:  x2 3    (*) 1 x    3 Giải: Điều kiện: x  Khi đó VP>0 - Nếu x   1; 0 thì - Nếu x  0;1 thì 1  x  1  x  3   1  x  1  x   nên phương trình (*) vô nghiệm 0   Đặt x  cos t , t   0;  ta có:  2  t  t   t  t  sin    cos     cos3    sin      sin t    2    2    6cos   sin t    sin t     cos t  1  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình là x  Bài 3: Giải phương trình:  x   x  Giải: Page 33  2x  2x  1 2x  2x NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Đặt x  cos t ; t   0;   phương trình trở thành Điều kiện x   t  t  t t sin    cos     tan    cot    2(1  sin t )  sin t           sin t  sin t    cos t  Vậy nghiệm phương trình là x  Bài 4: Giải phương trình: x  x  x  (1) Giải: Điều kiện: x  2 - Nếu x  thì x  3x  x  x ( x  4)  x  x  Vậy để giải PT(1) ta cần xét x   2; 2 Đặt x  cos t; t   0;   đó phương trình đã cho trở thành t  k 4  k 2 t   ( k  ) k 4 t  t  k 2   4 t  Kết hợp với điều kiện t ta  t  4  4 4 Vậy nghiệm phương trình là x  cos ; x  cos  3t  t cos 3t  cos      2 3t   Nếu x  a thì ta có thể đặt: a a      ; t   0;   ; t  ;t  ;  ; t  x  cost sin t  2   Bài 1: Giải phương trình: x    1 x2    x Giải: Điều kiện x  Đặt x      ;t   ;  phương trình trở thành: sin t  2 Page 34 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A  cos t     (1  cot t )   cos t  cot t  cos t  cos t  1 0  sin t sin t  sin 2t    t  12  k ( k  ) Kết hợp với điều kiện t suy t    12 Vậy phương trình có nghiệm x    1    sin    12    TỔNG QUÁT: Giải phương trình x  a    a x 1   3x 2 Bài 2: Giải phương trình: x  x 9   Giải: Điều kiện x   ; t   0;   , t  phương trình trở thành: cos t 1    2   sin 2t  2sin 2t  sin 2t   t  cos t sin t x  (thỏa ĐK)   cos   4 Vậy phương trình có nghiệm x  Đặt x  TỔNG QUÁT: Giải phương trình x  ax x2  a2  b với a,b là các số cho trước     Đặt x  tan t , t   ,  để đưa phương trình lượng giác đơn giản  2 Bài 1: Giải phương trình: x3  3x  x   1 Giải: 3x  x3  2 không là nghiệm phương trình nên 1   3x2  k     Đặt x  tan t , t   ,  Khi đó, PT(2) trở thành tan 3t   t    k     2    4   7  Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x  tan   , x  tan   , x  tan   9     Do x   Page 35 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ Bài 2: Giải phương trình: x   x  1 x 1   2x x 1  x  Giải: Điều kiện x  0; x  1      Đặt x  tan t , t   ,  , t  0, t   phương trình trở thành:  2  1 1      1  0 cos t sin 2t sin 4t cos t  2sin t 2sin t cos 2t   sin t cos 2t  cos2t    2sin t 1  2sin t   2sin t     sin t  t   k 2   sin t 1  sin t  2sin t    sin t  1   k      t   k 2  sin t   Kết hợp với điều kiện suy t     Vậy phương trình có nghiệm x  tan      Mặc định điều kiện là x  a Sau tìm số nghiệm chính là số nghiệm tối đa phương trình và kết luận Bài 1: Giải phương trình: x   x 1 Giải: PT (1)  x3  x   2 Đặt x  cos t , t  0;   phương trình (2) trở thành: cos3t   2 t  k  k   Suy phương trình (2) có tập nghiệm     5   7   S  cos   ; cos   ; cos    9     Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1  x  x  x   x  x   x x   x   x  x  x  x2   x2  Page 36  Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ x  x x2 1  NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A 35 12 VI PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ Phương pháp:      ab  a  b  Dấu “=” xảy  a cùng hướng với  b      a  b  ab  Dấu “=” xảy  a cùng hướng với  b x2   x  ( x  1)2  2x x (1  x )     a b  a  b  Dấu“=” xảy  a ngược hướng với b     a.b  a b  Dấu “=” xảy  a cùng hướng với  b  Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: x  x   x  10 x  50  (*) Giải:     Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn a( x  2;1); b( x  5;5)  a  b(3; 4)  Khi đó a  ( x  2)2   x  x   b  ( x  5)2  25  x  10 x  50   a  b   16    a  b  x  x   x  10 x  50     Ta có a  b  a  b (1)   Do đó, (*)  (1) xảy dấu “=”  a cùng hướng với b   x   k ( x  5) x       a  kb (k  0)  1  5k   k  k   5 Vậy nghiệm phương trình là x  Bài 2: Giải phương trình: x  x  816  x  10 x  267  2003 (*) Giải:     Trong mặt phẳng Oxy chọn a(4  x; 20 2); b(5  x;11 2)  a  b  (9;31 2)  Khi đó a  (4  x )2  800  x  x  816 Page 37 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ  b  (5  x )2  242  x  10 x  267   a  b  x  x  816  x  10 x  267   a  b  81  1922  2003     Ta có a  b  a  b (1)   Do đó, (*)  (1) xảy dấu “=”  a cùng hướng với b 56    x  k (5  x ) x      31  a  kb (k  0)   20  11 2k   k  k  20   11 56 Vậy nghiệm phương trình là x  31 Bài 3: Giải phương trình: x  18 x  36 x  x3   x Giải: 9 x  18 x  9 x  18  x  Điều kiện:      x    36 x  x 36  x  x    Trong mặt phẳng Oxy chọn a x  18 x ; 36 x  x ; b(1;1)  Khi đó, a.b  x  18 x  36 x  x   a b  18 x  x    Từ phương trình ta có  x  a.b  a b  x  ( x  3)   x    Thử lại ta x  là nghiệm phương trình Bài tập áp dụng: x  x   x  12 x  13  13 x  12 x   x  12 x   29 x2  x   x  10  x  x  18  x  x  77   1 x   2x2  Page 38   1 x 1  Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Nguyễn Quốc Hoàn, Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình vô tỷ [2] Nguyễn Phi Hùng – Võ Thành Văn, Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ [3] Nguyễn Đức Thắng, chuyên đề: Phương trình – Bất phương trình vô tỷ [4] SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất giáo dục [5] Http://vnmath.com [6] Http://violet.vn Page 39 NguyÔn V¨n Rin – To¸n 3A Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ KẾT LUẬN: Trên đây là số phương pháp giải phương trình vô tỷ khuôn khổ chương trình phổ thông Sau đã đọc xong phương pháp giải và bài tập minh họa, không các bạn có thể giải các bài tập áp dụng sau phương pháp mà có thể giải các bài tập chứa thức khác Trong quá trình làm bài tập lớn này, chắn không thể tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý các bạn Xin trân trọng cảm ơn Huế, ngày 15 tháng 04 năm 2012 NguyÔn V¨n Rin Page 40