Các phép toán : + Khi cộng hay trừ một phân số bước đầu tiên phải đưa được các phân số về cùng mẫu số bằng cách : quy đồng mà thực chất chính là nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với mộ[r]
(1)CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q I KIẾN THỨC CẦN NHỚ : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất các phép toán: giao hoán; kết hợp; phân phối phép nhân phép cộng Từ các tính chất phép toán ta chứng suy các “Công thức ” sau : a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật : a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b) = a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b) * Các Công thức a,b,c) sau chứng minh Ta gọi là các đẳng thức đáng nhớ II DẠNG TOÁN : Dạng Các phép toán : + Khi cộng hay trừ phân số bước đầu tiên phải đưa các phân số cùng mẫu số cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân tử và mẫu phân số với giá trị thích hợp ) rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư cao Câu Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 1 + + + Tính tổng : P = + x + xy + xyz + y + yz + yzt + z + zt + ztx + t + tx + txy A.B B + Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( = ) A.C C ⎞ Câu Tính : A = ⎛⎜1 − ⎞⎟ ⎛⎜1 − ⎞⎟ ⎛⎜1 − ⎟ 1+ 1+ + + + + + 1986 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + Với bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý số công thức sau : 0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = ; a1 = a am 1) am.an = am + n 2) am : an = am – n hay : n = a m − n ) a m n m.n n n n 3) (a ) = a 4) (a.b) = a b n an ⎛a⎞ 6) a-n = n 5) ⎜ ⎟ = n a b ⎝b⎠ 19 27 + 15.4 Câu Rút gọn : 69.210 + 1210 Câu Rút gọn : A = + + 52 + 53 + … + 550 Dạng Chứng minh đẳng thức hữu tỉ : ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa ) Câu Cho ba số a , b ,c đôi khác và thoả mãn hệ thức : a b c + + = b−c c −a a −b a b c + + =0 2 (b − c) (c − a ) (a − b) Câu Chứng minh a,b,c khác thì : Chứng minh : b−c c−a a −b 2 + + = + + − − − − − − − − − a b a c b c b a c a c b a b b c c a ( )( ) ( )( ) ( )( ) (Các bài toán chọn lọc …) Dạng Toán tìm x : x + x + x + x +1 + = + 2000 2001 2002 2003 x-ab x − ac x − bc Câu Tìm x , biết : + + = a + b + c với a ≠ −b; b ≠ −c; c ≠ −a a+b a + c b+c Câu Tìm số hữu tỉ x , biết : doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (2) III BÀI TẬP −8 207207 1999 199 99 + Rút gọn phân số : (TQ : ) 201201 9995 99 995 1 + + + 1 1 2002 + + + + 2) Tính : M = 4.Rút gọn : A = 2001 2000 1999 1.2 2.3 3.4 2009.2010 + + + + 2001 1 1 5) Rút gọn : B = + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1 6) Rút gọn : N = + + + + 2.4 4.6 6.8 2006.2008 5 7) Biết xyz = Hãy tính tổng : A = + + x + xy + y + yz + z + zx + 1992x y z 8*) Cho x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992 Chứng minh : + + =1 xy +1992x +1992 yz + y +1992 xz + z +1 ⎡ ⎛ −1 ⎞3 ⎛ −1 ⎞ ⎤ ⎛ −1 ⎞ b) ( 63 + 3.62 + 33 ) :13 9) Tính : a) ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 1⎥ : ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎠ 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x 1 1 1 1 c) − − − − − − − − − 10) Tìm x,biết : + + + +4=0 101 103 105 107 10 90 72 56 42 30 20 12 a ) x − x − 10 = 12 1) Tính : ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 11) Tìm x , biết : b) ⎜ x − ⎟ ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ a b c c) x = = = b+c c+a a+b a) A = + − − + + − − + − 1999 − 2000 + 2001 + 2002 − 2003 12) TÍnh : ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b) B = ⎜ − 1⎟⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 121 ⎠ 1 2 + − + − 2003 2004 2005 − 2002 2003 2004 13) a)Tính : 5 3 + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004 3 b) Biết : + + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 2 c) Cho A = x − 3x +2 0, 25 xy − TÌm giá trị A, biết x= và y là số nguyên âm lớn x +y 14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + = 117 111 ⎛ 2⎞ − ⎜1,5 − ⎟ 14 ⎞ 31 ⎝ 19 ⎠ ⎛ 15) Thực phép tính : −1: ⎟ ⎜ 1⎛ 1⎞ 93 ⎠ ⎝ + ⎜12 − ⎟ 6⎝ 3⎠ 1 16) Thực phép tính : + + a (a − b) ( a − c ) b ( b − a )( b − c ) c ( c − b )( c − a ) ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n : ⎜1 − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ n + ⎠ doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (3) CÁC PHÉP TOÁN TRONG Q I KIẾN THỨC CẦN NHỚ : HS cần nắm vững kiến thức sau trước nghiên cứu nội dung chuyên đề : +Các phép toán : cộng ;trừ ;nhân ;chia ;luỹ thừa Q; +Quy tắc dấu ngoặc; +Quy tắc chuyển vế; +Tính chất các phép toán : giao hoán; kết hợp; phân phối phép nhân phép cộng … Từ các tính chất phép toán ta chứng suy các “Công thức ” sau : a) a2 + 2a.b + b2 = (a + b)2 ; b) a2 - 2a.b + b2 = (a - b)2 ; c) (a - b).(a + b) = a2 - b2 Thật : a) a2 + 2ab + b2 = (a.a + a.b) + (a.b + b.b) = a.(a + b) + b.(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)(a + b) ( T/C phân phối phép nhân với phép cộng) = (a + b)2 * Các Công thức b)c) HS tự chứng minh Ta gọi các công thức trên là các đẳng thức đáng nhớ II DẠNG TOÁN : Dạng Các phép toán : + Khi cộng hay trừ phân số bước đầu tiên phải đưa các phân số cùng mẫu số cách : quy đồng ( mà thực chất chính là nhân tử và mẫu phân số với giá trị thích hợp ) rút gọn phân số , đây là bước quan trọng và đòi hỏi tư cao Qua số bài tập sau đây chúng ta tìm hiểu kĩ giải vấn đề này cách làm “đặc biệt “ Câu Cho các số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 1 Tính tổng : P = + + + + x + xy + xyz + y + yz + yzt + z + zt + ztx + t + tx + txy (HSG T.p HP – 1997) + Hướng dẫn giải : 1 1 - Ta có : P = + + + + x + xy + xyz + y + yz + yzt + z + zt + ztx + t + tx + txy x xy xyz ( nhân vào tử và mẫu = + + + + x + xy + xyz x + xy + xyz + xy + xyz + + x xyz + + x + xy phân số với 1;x;xy;xyz và nhớ xyzt = ) + x + xy + xyz = = 1 + x + xy + xyz * Có thể làm theo cách khác sau : a b c d - Vì xyzt = nên ta có thể đặt x = ; y = ; z = ; t = với a,b,c,d là các số thực khác Khi đó b c d a ta có : Biểu thức P biến đổi thành : 1 1 + + + a a b a b c b b c b c d c c d c d a d d a d a b 1+ + + 1+ + + 1+ + + 1+ + + b b c b c d c c d c d a d d a d a b a a b a b c 1 1 = + + + a a a b b b c c c d d d 1+ + + 1+ + + 1+ + + 1+ + + b c d c d a d a b a b c doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (4) bcd acd abd abc + + + bcd + acd + abd + abc acd + abd + abc + bcd abd + abc + bcd + acd abc + bcd + acd + abd bcd + acd + abd + abc = bcd + acd + abd + abc = Vậy P = * Chú ý : bài toán mà giả thiết cho các biến số có tích , ta có thể biến đổi a b c d cách làm trên (đặt x = ; y = ; z = ; t = ) b c d a A.B B + Khi nhân ; chia các phân số ta luôn phải chú ý rút gọn “tử - mẫu “ ( = ) Kĩ tưởng A.C C đơn giản này giúp ích lớn việc giải nhiều bài toán khó Thật vây : ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ (BD HSG toán 8- T.77) Câu Tính : A = ⎜ − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ + ⎠ ⎝ + + ⎠ ⎝ + + + + 1986 ⎠ + Hướng dẫn giải : n ( n + 1) - Ta có : ( nhớ + + + + n = ) ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ A = ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ + ⎠ ⎝ + + ⎠ ⎝ + + + + 1986 ⎠ = ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 = ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜ ( + 1) ⎟ ⎜ ( + 1) ⎟ ⎜ 1986 (1986 + 1) ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ = ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ 2.3 ⎠ ⎝ 3.4 ⎠ ⎝ 1986.1987 ⎠ 1987.1986 − = 10 1987.1986 10 27 1987.1986 − = ;(1) 12 20 1987.1986 Mặt khác : 1986.1987 – = 1986(1988 – 1) + 1986 – 1988 = 1986.1988 – 1988 = 1988.(1986 – 1) = 1988.1985 ;(2) Từ (1) và (2) ta có : 4.1 5.2 6.3 1988.1985 A= 2.3 3.4 4.5 1986.1987 ( 4.5.6 1988) (1.2.3 1985) = (2.3.4 1986) (3.4.5 1987) 1987.1988 1.2 = 2.3 1986.1987 1988 994 = = 1986.3 2979 * Lưu ý : Bài toán tổng quát là : ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ A = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ với n là số tự nhiên lớn ⎝ + ⎠⎝ + + ⎠ ⎝ + + + + n ⎠ doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (5) + Với bài toán có chứa luỹ thừa , cần chú ý số công thức sau : 0) am = a.a.a…a (m thừa số );a0 = ; a1 = a 1) am.an = am + n am m n m–n ( hay : n = a m − n ) 2) a : a = a a 3) (am)n = am.n 4) (a.b)n = an.bn n an ⎛a⎞ 5) ⎜ ⎟ = n b ⎝b⎠ 6) a-n = n a ( Với các điều kiện tương ứng có nghĩa ) 219.27 + 15.49.94 Câu Rút gọn : 69.210 + 1210 + Hướng dẫn giải : ( HSG quốc gia – 1971) 18 219.27 + 15.49.94 219.33 + 5.218.39 ( 2.1 + 5.1.3 ) + 5.36 734 367 - Ta có : = 19 10 20 = 18 = = = 10 10 + 12 + 2 ( 2.1 + 3.2 ) ( + 3.4 ) 10206 5103 (NC&PT toán 7/T11) Câu Rút gọn : A = + + 52 + 53 + … + 550 + Hướng dẫn giải : - Ta có : 5.A = + 52 + 53 + 54 + … + 551 551 − Do đó : 5.A - A = 551 - Vậy A = * NX : Với biểu thức A trên người ta còn thường bài toán : Chứng minh A là số chẵn hay chứng minh A chia hết cho chứng minh A không là số nguyên Các em hãy thử tìm lời ? Dạng Chứng minh đẳng thức hữu tỉ : a b c Câu Cho ba số a , b ,c đôi khác và thoả mãn hệ thức : + + = b−c c −a a −b a b c Chứng minh : ( HSG toán – 1999 – A ) + + =0 2 (b − c) (c − a ) (a − b) + Hướng dẫn giải : a b −c ab − b − ac + c , nhân hai vế với ta : - Từ giả thiết suy : = − = b−c b−c a −c a −b ( a − c )( a − b ) a ab − b − ac + c = (b − c) ( a − c )( a − b )( b − c ) Tương tự : (c − a) (a − b) = cb − c − ab + a ( a − c )( b − c )( a − b ) = ca − a − cb + b ( a − c )( b − c )( a − b ) Cộng theo cột hai vế ba đẳng thức trên ta có ĐPCM Câu Chứng minh a,b,c khác thì : b−c c−a a −b 2 + + = + + ( a − b )( a − c ) ( b − c )( b − a ) ( c − a )( c − b ) a − b b − c c − a + Hướng dẫn giải : (Các bài toán chọn lọc …) doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (6) - Ta có : ( a − c ) + (b − a ) = − ; b−c = ( a − b )( a − c ) ( a − b )( a − c ) a − b a − c a −b 1 c−a 1 ; = − = − ( c − a )( c − b ) c − a c − b ( b − c )( b − a ) b − c b − a Cộng theo vế các kết vừa tìm , suy ĐPCM Tương tự : Dạng Toán tìm x : Câu Tìm số hữu tỉ x , biết : x + x + x + x +1 + = + 2000 2001 2002 2003 ( NC&PT toán -tập 1) + Hướng dẫn giải : - Ta cộng vào hai vế đẳng thức với cùng giá trị là , : x + x + x + x +1 + = + 2000 2001 2002 2003 x+4 x+3 x+2 x +1 +1+ +1 = +1+ +1 2000 2001 2002 2003 x + 2004 x + 2004 x + 2004 x + 2004 + − − =0 2000 2001 2002 2003 1 1 ⎞ + − − ( x + 2004 ) ⎛⎜ ⎟=0 ⎝ 2000 2001 2002 2003 ⎠ 1 1 Vì + − − ≠ ( hiển nhiên) nên x + 2004 = hay x = -2004 2000 2001 2002 2003 * Nhận xét : Với hệ thức chứa các phân số có quy luật trên ( + 2000 = + 2001 = + 2002 = + 2003 = 2004 ) thì kĩ biến đổi trên là công cụ hữu hiệu để giải bài toán x-ab x − ac x − bc Câu Tìm x , biết : + + = a + b + c với a ≠ −b; b ≠ −c; c ≠ −a a+b a + c b+c + Hướng dẫn giải : Đẳng thức đã cho tương đương với : ⎛ x-ab ⎞ ⎛ x − ac ⎞ ⎛ x − bc ⎞ − a⎟+⎜ −b⎟ + ⎜ −c⎟ = ⎜ ⎝ a+b ⎠ ⎝ a+c ⎠ ⎝ b+c ⎠ Quy đồng mẫu số dấu ngoặc đặt thừa số chung ta : 1 ⎞ + + ( x-ab-ac-bc ) ⎛⎜ ⎟=0 ⎝ a+b b+c c+a ⎠ 1 Từ đó + + ≠ thì x = ab + bc + ca ; a+b b+c c+a 1 Nếu + + = thì có vô số giá trị x thoả mãn bài toán a+b b+c c+a III BÀI TẬP −8 207207 8) Tính : + 201201 1999 199 99 ( TQ : ) (BD HSG toán 8- trang 73) 9) Rút gọn phân số : 9995 99 995 1 + + + 2002 10) Tính : M = (HSG toán T.p HP– 2002 2001 2000 1999 + + + + 2001 – A) doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (7) 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 12) Rút gọn : B = + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1 1 + + + + 13) Rút gọn : N = 2.4 4.6 6.8 2006.2008 14) Biết xyz = Hãy tính tổng : 5 + + A= x + xy + y + yz + z + zx + * ) Cho ba số x ,y ,z thoả mãn xyz = 1992 Chứng minh : 1992 x y z + + =1 xy + 1992 x + 1992 yz + y + 1992 xz + z + ⎡ ⎛ −1 ⎞3 ⎛ −1 ⎞ ⎤ ⎛ −1 ⎞ 9) Tính : a) ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 1⎥ : ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠ b) ( 63 + 3.62 + 33 ) :13 11) Rút gọn : A = 1 1 1 1 − − − − − − − − − 10 90 72 56 42 30 20 12 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x 10) Tìm x,biết : + + + +4=0 101 103 105 107 11) Tìm x , biết : a ) x − x − 10 = 12 c) ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ b) ⎜ x − ⎟ ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ a b c c) x = = = b+c c+a a+b 12) TÍnh : a) A = + − − + + − − + − 1999 − 2000 + 2001 + 2002 − 2003 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b) B = ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 121 ⎠ 1 2 + − + − 13) a)Tính : 2003 2004 2005 − 2002 2003 2004 5 3 + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 x3 − x + 0, 25 xy − c) Cho A = TÌm giá trị A , biết x = và y là số nguyên âm lớn 2 x +y 14) Tìm x , biết : 3x + 3x +1 + 3x + = 117 15) Thực phép tính : doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (8) 111 ⎛ 2⎞ − ⎜1,5 − ⎟ 14 ⎞ 31 ⎝ 19 ⎠ ⎛ −1: ⎟ ⎜ 1⎛ 1⎞ 93 ⎠ ⎝ + ⎜12 − ⎟ 6⎝ 3⎠ 16) Thực phép tính : 1 + + a (a − b) ( a − c ) b ( b − a )( b − c ) c ( c − b )( c − a ) 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đay theo n : ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎜1 − ⎟⎜ − ⎟⎜ − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ n + ⎠ 18) Cho a,b,c là các số thực có tích Chứng minh : 1 a) + + = 1; + a + ab + b + bc + c + ca ⎞⎛ ⎞⎛ 1⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ 1⎞ ⎛ b) ⎜ a − + ⎟ ⎜ b − + ⎟ ⎜ c − + ⎟ = ⎜ a + − ⎟⎜ b + − ⎟ ⎜ c + − ⎟ b ⎠⎝ c ⎠⎝ a⎠ ⎝ b ⎠⎝ c ⎠⎝ a⎠ ⎝ 19) TÌm tất các số thực dương a,b,c thoả mãn đẳng thức : b c a + + = a+b b+c c+a a+b− x a+c− x b+c− x 4x 20) Cho abc ≠ và a + b + c ≠ TÌm x , biết : + + + =1 c b a a+b+c 1 21) Cho x,y,z là các số khác không và x + = y + = z + Chứng minh : y z x 2 Hoặc x = y = z x y z = IV HƯỚNG DẪN GIẢI : −8 207207 −8 207 −8 69 + = + = + = 201201 201 67 1⎞ ⎛ ⎜103 − ⎟ 1999 2.10 − 2⎠ 2) = = ⎝ = = ⎞ 10 9995 10 − ⎛ 10 ⎜103 − ⎟ 2⎠ ⎝ 1 + + + 2002 3) M = 2001 2000 1999 + + + + 2001 1 Đặt A = + + + ; 2002 2001 2000 1999 B= , ta có : + + + + 2001 1) doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (9) 2000 1999 2002 + 1) + ( + 1) + + ( + 1) + 2001 2002 2002 2002 2002 2002 = + + + + 2001 2002 ⎞ ⎛1 = 2002 ⎜ + + + ⎟ 2002 ⎠ ⎝2 A Vậy M = = B 2002 * Tương tự ta có bài toán sau : Bài toán : Tính giá trị biểu thức: 1 1 1+ + +L + + 97 99 a) A = 1 1 + + +L + + 1.99 3.97 5.99 97.3 99.1 1 1 + + +L + + 99 100 b) B = 99 98 97 + + +L + 99 Hướng dẫn: 1 1 1 100 100 100 100 a) Biến đổi số bị chia: (1 + ) + ( + ) + ( + ) + L + ( + ) = + + +L + 99 97 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia Vậy A = 50 100 − 100 − 100 − 100 − 99 + + +L + = 99 100 ⎞ ⎛ 99 ⎞ ⎛ 100 100 100 + + +L + b) Biến đổi số chia: = ⎜ ⎟ − ⎜ + + +L + ⎟ = 99 ⎠ ⎝ 99 ⎠ ⎝ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 = 100 + 100 ⎜ + + L + ⎟ − 99 = + 100 ⎜ + + L + + ⎟ 99 ⎠ 99 100 ⎠ ⎝2 ⎝2 Biểu thức này 100 lần số bị chia Vậy B = 100 1 = ( a ≠ 0), ta có : 4) Áp dụng đẳng thức : − a a + a (a + 1) 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 2009.2010 1 1 1 1 2009 = − + − + − + + − = 1− = 2010 2009 2010 2010 ⎞ 1⎛ 1 5) Áp dụng kết : ⎜ , ta có : − ⎟= ⎝ a(a + 1) (a + 1)(a + 2) ⎠ a (a + 1)(a + 2) 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1998.1999.2000 1⎛ 1 1 1 ⎞ = ⎜ − + − + + − ⎟ ⎝ 1.2 2.3 2.3 3.4 1998.1999 1999.2000 ⎠ 1⎛1 ⎞ 1999.2000 − = ⎜ − ⎟= ⎝ 1999.2000 ⎠ 2.1999.2000 B=( doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang (10) 6) Hãy điền vào ô trống để có đẳng thức đúng : 1 = − , sau đó áp dụng kết nhận a(a + 2) vào giải bài toán * Chú ý : Từ kết các bài 4,5,6 trên ta rút số quy luật ( Công thức ) sau đây : 1 1) = − n(n + 1) n n + k ⎞ ⎛1 = k ⋅⎜ − 2) ⎟ n(n + 1) ⎝ n n +1⎠ 1 ⎛1 ⎞ = ⋅⎜ − 3) ⎟ n( n + k ) k ⎝ n n + k ⎠ k ⎞ ⎛1 4) =⎜ − ⎟ n( n + k ) ⎝ n n + k ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 5) = = ⋅⎜ − ⎟ = ⋅⎜ − ⎟ 2n(2n + 2) 4n(n + 1) ⎝ 2n 2n + ⎠ ⎝ n n + ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ = ⋅⎜ − 6) ⎟ (2n + 1)(2n + 3) ⎝ 2n + 2n + ⎠ 1 7) < 2< n.(n + 1) n (n − 1).n ⎞ 1⎛ 1 − 8) ⎜ ⎟= ⎝ a(a + 1) (a + 1)(a + 2) ⎠ a (a + 1)(a + 2) (Trong đó: n, k ∈ N∗ , n > ) 7) Nhân tử và mẫu phân số với 1; x ; xy với chú ý xyz = , ta : (1 + x + xy ) 5 5 5x 5xy + + = + + = = A= x + xy + y + yz + z + zx + x + xy + xy + + x + x + xy x + xy + * Chú ý : Cũng có thể đặt phần ví dụ mẫu 1992 8) Từ giả thiết xyz = 1992 (1) suy : xy = (2) , thay (1) và (2) vào vế trái đẳng thức : z 1992 x y z + + VT = xy + 1992 x + 1992 yz + y + 1992 xz + z + y z 1992 x = + + 1992 + 1992 x + 1992 yz + y + xyz xz + z + z xz y z = + + + xz + z y ( z + + xz ) xz + z + xz z = + + + xz + z z + + xz xz + z + 1 + xz + z = + xz + z = = VP ⎡ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎤ ⎛ −1 ⎞ ⎡ −1 ⎤ −4 ⎛ −2 ⎞ −4 16 −3 −4 = ⎜ + 2⎟ : = = 9) a) ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + 1⎥ : ⎜ − 1⎟ = ⎢6 + + 1⎥ : ⎝ ⎠ ⎦⎥ ⎝ ⎠ ⎣ 27 ⎦ ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎝ ⎠ b) ( 63 + 3.62 + 33 ) :13 = ⎡⎣ 62 ( + 3) + 33 ⎤⎦ :13 = ( 22.32.32 + 33 ) :13 = 33 ( 3.22 + 1) :13 = 33.13 :13 = 33 = 27 c) doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang 10 (11) 1 1 1 1 − − − − − − − − − 10 90 72 56 42 30 20 12 ⎡1 1 1 1 ⎛ 1 ⎞⎤ = −⎢ + + + + + + +⎜ + ⎟ 10 ⎣ 90 72 56 42 30 20 12 ⎝ ⎠ ⎥⎦ = ⎡1 1 1 ⎛ ⎞⎤ −⎢ + + + + + +⎜ + ⎟ 10 ⎣ 90 72 56 42 30 20 ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦ = ⎡1 1 1 ⎛ ⎞⎤ − ⎢ + + + + + ⎜ + ⎟⎥ 10 ⎣ 90 72 56 42 30 ⎝ 20 ⎠ ⎦ = ⎡1 1 ⎛ ⎞⎤ − ⎢ + + + + ⎜ + ⎟⎥ 10 ⎣ 90 72 56 42 ⎝ 30 ⎠ ⎦ = 9 = − 10 10 =0 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x + + + + = ( HSG quận Hoàn Kiếm HN – 2004) 101 103 105 107 + Làm tương tự Câu : 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x + + + +4=0 101 103 105 107 315 − x 313 − x 311 − x 309 − x ⇔ +1+ +1+ +1+ =0 101 103 105 107 416 − x 416 − x 416 − x 416 − x ⇔ + + + =0 101 103 105 107 1 ⎞ ⎛ ⇔ ( 416 − x ) ⎜ + + + ⎟=0 ⎝ 101 103 105 107 ⎠ 1 ⎞ ⎛ + + + Vì ⎜ ⎟ > nên dẫn đến 416 – x = hay x = 416 ⎝ 101 103 105 107 ⎠ 11) Tìm x , biết : a) Kết : x = 48 ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ b) ⎜ x − ⎟ ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 10) Tìm x , biết : ⎛ 1⎞ ⇔ x − = ⎜− ⎟ ⎝ 8⎠ ⎛ 1⎞ :⎜− ⎟ ⎝ 8⎠ ⎛ 1⎞ ⇔ x − = ⎜− ⎟ ⎝ 8⎠ 1 ⇔ x = + 64 ⇔ x = 64 −9 ⇔ x = ;x = 64 64 a b c c) x = = = b+c c+a a+b doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang 11 (12) + Theo tính chất dãy tỉ số , ta có : a b c a+b+c = = = = b + c c + a a + b 2(a + b + c) 12) TÍnh : a) A = + − − + + − − + − 1999 − 2000 + 2001 + 2002 − 2003 Vậy x = ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b) B = ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 121 ⎠ a) b) Từ đến 121 có các số chính phương là : 4;9;16;25;36;49;64;81;100;121 nên : ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ B = ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 121 ⎠ −3 −8 −15 −24 −35 −48 −63 −80 −99 −120 ).( ).( ).( ) = ( ).( 16 25 36 49 64 81 100 121 20 35 54 25 54 54 = ( ).( ) = ( ) = = 10 21 36 55 27 55 55 11 1 2 + − + − −7 13) a) Ta có : 2003 2004 2005 − 2002 2003 2004 = − = 5 3 15 + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) Biết : 13 + 23 + 33 + … + 103 = 3025 TÍnh : S = 23 + 43 + 63 + … + 203 + Ta có : S = 23(13 + 23 + 33 + …+ 103) = 8.3025 = 24200 x3 − x + 0, 25 xy − c) Cho A = TÌm giá trị A , biết x = và y là số nguyên âm lớn x +y ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) + Vì y là số nguyên âm lớn nên y = -1 cùng với x = thay vào biểu thức A , : 2 ⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 − + −4 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ( −1) − −9 −3 −9 −4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8 A= : = = = = 2 ⎛1⎞ −1 ⎜ ⎟ −1 ⎝2⎠ x x +1 x+2 14) Tìm x , biết : + +3 = 117 ( HSG - quận Tân Phú – T.p HCM – 2004 ) 3x + 3x +1 + 3x + = 117 Ù 3x(1 + + 32) = 117 Ù 13.3x = 117 Ù 3x = 117 : 13 Ù 3x = 32 Ù x = 15) Thực phép tính : 111 ⎛ 2⎞ − ⎜1,5 − ⎟ 14 ⎞ 31 ⎝ 19 ⎠ ⎛ ( HSG – Hà Tây – 2003 ) −1: ⎟ = = ⎜ 1⎛ 1⎞ 93 ⎠ ⎝ + ⎜12 − ⎟ 6⎝ 3⎠ 1 16) Thực phép tính : + + a (a − b) ( a − c ) b ( b − a )( b − c ) c ( c − b )( c − a ) doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang 12 (13) ( HSG quốc gia – 1963) + 17) Gọi n là số tự nhiên , tính tích sau đây theo n : ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ( HSG quốc gia – 1978) ⎜1 − ⎟⎜ − ⎟⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ n + ⎠ + Ta có : ⎞ n ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ = ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ n +1 ⎠ n +1 n +1 x y z 18) Vì abc = nên ta có thể đặt : a = ; b = ; c = với x,y,z là các số khác Khi đó ta có : y z x a) Vế trái đẳng thức a) biến đổi thành : 1 yz zx xy yz + zx + xy + + = + + = = 1; x x y y z z xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx 1+ + 1+ + 1+ + y z z x x y Vậy ta có ĐPCM b) Vế trái đẳng thức b) biến đổi thành : ⎛x z ⎞⎛ y x ⎞⎛ z y ⎞ x − y + z y − z + x z − x + y ( x − y + z ) ( y − z + x ) ( z − x + y ) ;(*) = ⎜ −1+ ⎟ ⎜ −1+ ⎟ ⎜ −1+ ⎟ = y ⎠⎝ z z ⎠⎝ x x⎠ y z x xyz ⎝y Tương tự ta biến đổi vế phải đẳng thức b) biểu thức (*) suy ĐPCM 1 19) Đẳng thức đã cho tương đương với : + + = ;(*) a b c +1 +1 +1 b c a a b c Đặt x = ; y = ; z = ta có x,y,z là các số dương thoả mãn xyz = Khi đó ta có : b c a 1 + + = ( *) ⇔ x +1 y +1 z +1 (quy đồng mẫu số,khai triển các tích và rút gọn với chú ý xyz = ) ⇔ ( xy + yz + zx ) − ( x + y + z ) = Ù xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - = Ù (x -1)(y - 1)(z - 1) = Ùx=1 y =1 z = ⎡a = b ⇔ ⎢⎢b = c ⎢⎣ c = a ⎛1 1 ⎞ 20) Biến đổi đẳng thức đã cho tương đương với : ( a + b + c − x ) ⎜ + + − ⎟=0 ⎝ a b c a+b+c ⎠ 1 Nếu : + + − ≠ thì x = a + b + c a b c a+b+c 1 = thì có vô số giá trị x thoả mãn Nếu + + − a b c a+b+c 1 y−z y−x z−x Tương tự : x − z = ;y−z = 21) Từ giả thiết ta có : x − y = − = z y yz zx yx ( x − y )( x − z )( y − z ) Nhân theo vế ba đẳng thức trên : ( x − y )( x − z )( y − z ) = x2 y2 z Đẳng thức này xảy x2y2z2 = x = y = z doandanhtai@gmail.com Các phép toán Q - Trang 13 (14)