Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz vuông góc đôi một tạo nên hệ tọa độ Oxyz với Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao.. Trên Ox, Oy và Oz lần lượt có các vectơ đơn vị.[r]
(1)Ba trục tọa độ x’Ox, y’Oy và z’Oz vuông góc đôi tạo nên hệ tọa độ Oxyz với Ox là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao Trên Ox, Oy và Oz có các vectơ đơn vị PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I.VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN : 1.Định nghĩa: AB là đoạn thẳng định hướng Hai véctơ nhau: có cùng hướng và cùng độ dài 3.Hai véctơ đối nhau: ngược hướng và có cùng độ dài x: hoành độ; y: tung độ; z: cao độ M OM 4.Các kết quả: Trong hệ tọa độ Oxyz cho A(xA; yA; zA;) và a, b ngược hướng k a cùng phương b kR: b =k a Tính chất: m(a b) ma mb ; (m n)a ma na m( na ) ( mn ) a ; 1.a a ; 1.a a 10.Định lý: a) Với M là trung điểm AB, G là trọng tâm ABC, O tùy ý thì: GA GB GC CM CA CB | a | = x 12 y 12 z 12 2 2 2 OG (OA OB OC) b) G là trọng tâm tứ giác, tứ diện ABCD OG (OA OB OC OD) II.HỆ TOẠ ĐỘ ĐÊCAC TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ VÀ CỦA ĐIỂM x y z k R : b k a x y2 z f) Tọa độ vectơ: AB = (xBxA; yByA; zBzA) g) Khoảng cách: AB (x B - x A ) (y B - y A ) (z B - z A ) h) Điểm M chia AB theo tỉ số k ( k1) MA = k MB OA K OB ( k1) Khi đó tọa độ M là: OM 1 k x A kx B x M k y A ky B y M 1 k z A kz B z M 1 k AB, AC AB, AD AA ' IV PT TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG a , b cùngphương a, b a b sin(a, b) Tứ diện: V AB, AC AD ABCD 4.Điều kiện véctơ đồng phẳng: a, b, c đồng phẳng a , b c A, B, C, D đồng phẳng AB, AC AD d) a = b x1=x2; y1=y2 và z1=z2 e) y1 y2 2 a b x1 x2+ y1 y2+ z1z2 = x1 x1 ; x2 x2 a cùng phương b a, b a, b a và a, b b ABCD A ' B 'C ' D ' x x y1 y z z 2 cos(a; b) = z1 z1 ; z2 z2 Diện tích tam giác: S ABC 3.Thể tích: Hình hộp: V c) Tích vô hướng: a b = x1 x2+ y1 y2+ z1z2 Hệ quả: x y z x y z số thực x1 , x2 , x3 : a = x1 e1 x e2 x e3 MA MB b) k a = (kx1; ky1; kz1) (k là số thực) Các tính chất: 7.Tích vô hướng: a.b | a | | b | cos(a, b) 8.Véctơ đồng phẳng: vectơ đồng phẳng giá chúng cùng song song với mặt phẳng a, b, c đồng phẳng m, n R : c ma nb 9.Phân tích véctơ theo véctơ không đồng phẳng: Với e1 , e2 , e3 không đồng phẳng và véctơ a , có y a, b y2 a) a b = (x1 x2; y1 y2; z1 z2) b k a vàø a, b cùng hướng k Định nghiã: Cho a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) B(xB;yB; zB) và a = (x1; y1; z1) và b = (x2; y2; z2) Ta có: 5.Trừ véctơ: OA OB BA 6.Tích số thực với véctơ: 1.Tích có hướng véctơ: 3.Tọa độ điểm: M(x; y; z) OM (x; y;z) 4.Cộng véctơ: A, B , C ta coù: AC AB BC Nếu ABCD là hình bình hành, thì AB AD AC Tính chất: a b b a ; ( a b ) c a (b c) a a a ; a ( a ) b ka i (1;0;0), j (0;1;0) vaø k (0;0;1) 2.Tọa độ véctơ: u (x; y; z) u xi yj zk III TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA VÉCTƠ VÀ ÁP DỤNG xA xB x M yA yB M là trung điểm AB y M zA z B z M 1.Hệ toạ độ Đêcác vuông góc không gian: 1 Véctơ pháp tuyến mặt phẳng: a) Định nghĩa: n là VTPT mặt phẳng ( ) n ( ) b) Chú ý: véctơ a ( x1 ; y 1; z1 ); b ( x ; y 2; z ) không cùng phương và cùng song song nằm (), gọi là cặp véctơ phương () Khi đó véctơ pháp tuyến (): y1 n a, b y2 z1 z1 ; z2 z2 x1 x1 ; x2 x2 y1 y2 Phương trình tổng quát mặt phẳng: a) Định nghĩa: Phương trình dạng: Ax By Cz D 0, A B2 C2 gọi là phương trình tổng quát mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D=0 có véctơ pháp tuyến n ( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng qua điểm M0 (x0; y0; z0) và có véctơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A(x - x0 ) B(y - y0 ) C(z - z0 ) (2) b) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng qua điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) có phương trình là: x y z (a,b,c khác 0) a b c V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG CHÙM MẶÊT PHẲNG: 1.Vị trí tương đối mặt phẳng: Cho mp (1 ): A1x+B1 y+C 1z+D1=0, (2): A2x+B 2y+C2z+D 2=0 có các VTPT n =(A1; B1 ; C1) và n 2=(A2; B2; C 2) Trang (1 ) caét (2 ) A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 Ta có: A B C D (1 ) // (2 ) A2 B2 C2 D2 A B C D (1 ) (2 ) A2 B2 C2 D2 2.Chùm mặt phẳng: Cho mp (1): A1 x+B 1y+C1z+D1 =0, (2): A2x+B 2y+C2z+D2=0 cắt theo giao tuyến () Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến () có phương trình dạng: m(A1x+B 1y+C1z+D1)+ n(A2x+B2y+C2 z+D2) = (m2+n20) VI.PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG: Phương trình tổng quát đường thẳng: Nếu đường thẳng () là giao tuyến mặt phẳng thì phương trình tổng quát là: A1x B1y C1z D1 , Với A :B :C A :B :C 1 2 A 2x B2y C2z D2 VT phương () là u ( B1 C1 ; C1 A1 ; A1 B1 ) B2 C C2 A2 x x0 at y y0 bt z z ct 2 x x0 y y0 z z0 (*) ( a b c 0) a b c Chú ý: Từ (*) có thể suy mặt phẳng chứa () song song Oz, Oy Ox Từ đây có thể tìm hình chiếu vuông góc () lên (Oxy):z=0; lên (Oxz):y=0 lên (Oyz): x=0 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng () qua điểm M0 và có VTCP phương u là: M M , u d ( M1 , ) u VII VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG: 1.Vị trí tương đối đường thẳng: Cho đường thẳng: (1) qua M1 (x1; y1 ; z1) có vectơ phương u =(a1;b1 ;c1) và Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: (1) qua M1 và có VTCP u và (2) qua M2 và có véctơ (2) qua M2(x2; y2; z2) có vectơ phương v =(a2;b2 ;c2) Tacó: phương v Khoảng cách (1) và (2) là: (1 ) //( ) a1 : b1 : c1 a2 : b2 : c2 ( x2 x1 ) : ( y2 y1 ) : ( z2 z1 ) ( 1 ) Tài ( )liệu a1dành : b1 : c1cho a2 học : b2 : csinh ) : (–HK2 y2 y1 ) : ( z2 z1 ) ( xlớp x112 (1 ), ( ) caét a1 : b1 : c1 a2 : b2 : c2 vaø u , v M 1M (1 ), ( ) cheùo u , v M 1M (1 ), ( ) đồng phẳng u , v M 1M 2.Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng : d ( 1 , ) 1.Góc đường thẳng: Cho (1) có VTCP u =(a1 ; b1 ; c1 ) và (2) có VTCP (): Ax+By+Cz+D=0 có VTPT n =(A; B; C) Ta có: () caét ( ) Aa Bb Cc Aa Bb Cc () //( ) Ax0 By0 Cz0 D Aa Bb Cc () ( ) Ax0 By0 Cz0 D v = (a2; b2; c2) Gọi là góc (1) và (2) Ta có: u.v cos Cho () qua M0 (x0;y0;z0) và có VTCP u =(a; b; c) và Đặc biệt: d ( ) a : b : c A : B : C VIII KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mp ( ) : Ax By Cz D là: u , v M M u , v IX.GÓC: A2 B C M0(x0; y0; z0) và có VTCP u (a; b; c) là: Phương trình tham số đường thẳng: a) Véctơ phương đường thẳng: Một véctơ u ( a; b; c ) M0(x0;y0; z0) và có VTCP u (a; b; c) là: Ax0 By0 Cz0 D Phương trình chính tắc: đường thẳng () qua điểm A B2 khác nằm trên đường thẳng song song hay trùng với (), gọi là VTCP đường thẳng () b) Phương trình tham số: đường thẳng () qua điểm d M ,( ) ( a b c 0) | u | | v | a1a2 b1b2 c1c2 a b12 c12 a22 b22 c22 Đặc biệt: ( 1 ) ( ) a 1a b1 b c1c 2.Góc đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng () có VTCP u =(a; b; c) và () có VTPT n =(A; B; C) Nếu là góc () và () thì: n u sin (00 900) Aa Bb Cc 2 2 2 A B C a b c | n |.| u | Đặc biệt: //( ) ( ) Aa Bb Cc (3) 3.Góc mặt thẳng: Cho mp(1) có VTPT n 1=(A1; B 1; C1) và mp(1) có VTPT n =(A2; B2 ; C2) Nếu là góc (1) và (2) thì: n1 n2 cos | n1 | | n2 | A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22 Đặc biệt: (1) (2 ) A1A2 +B1B 2+C1C2=0 Nguồn: TỔNG HỢP X.PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (xa)2 + (yb)2 + (zc)2 = R2 Đặc biệt: Phương trình mặt cầu S(O,R) x2 + y2 + z2 = R A2 B2 C D là phương trình mặt cầu tâm I(A;B;C), bán kính : R A2 B C D Giao mặt phẳng và mặt cầu: Cho mặt cầu (S): (xa)2+(yb)2+(zc)2=R2 có tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng ():Ax+By+Cz+D=0 Gọi H là hình chiếu vuông góc tâm I(a; b; c) lên mặt phẳng () ta có: IH là khoảng cách từ I đến (): Aa Bb Cc D IH d ( I , ) A2 B C Khi đó: ()(S)= IH>R ()(S)=H IH=R: H là tiếp điểm và () là tiếp diện (S) ()(S)= C(H,r) IH<R: Đường tròn (C) là giao () và (S), có tâm H là hình chiếu vuông góc I lên (), bán kính r= R IH và có phương trình: (x a) (y b)2 (z c)2 R Ax By Cz D Diendankienthuc.net Phương trình: x y z Ax By 2Cz D với: (4)