Hình tứ diện đều: a Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b Chân đường cao trùng với tâm của đáy hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy c Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nha[r]
(1)KHỐI ĐA DIỆN CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12 I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AC AB A tan = (ĐỐI chia KỀ) cot = (KỀ chia ĐỐI) AB AC sin = II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH B H C 1 2 AH AB AC2 III ĐỊNH LÍ CÔSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC IV ĐỊNH LÍ SIN a b c 2R sin A sin B sin C V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC AM AN MN a) ; AB AC BC A b) AM AN MB NC VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG N M B C Tam giác thường: a) S = ah b) S = p(p a)(p b)(p c) (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a a2 a) Đường cao: h = ; b) S = c) Đường cao là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b là cạnh góc vuông) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S = a2 (2 cạnh góc vuông nhau) b) Cạnh huyền a 2 Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có góc 30o 60o a2 a b) BC = 2AB c) AC = d) S = Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) Lop12.net Trang A B 60 o 30 o C (2) b) Đường cao hạ từ đỉnh là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là đường chéo) Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: là trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi là trọng tâm A b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 N M G B P C Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi là trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hình tứ diện đều: a) Có mặt là các tam giác b) Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Hình chóp đều: a) Có đáy là đa giác b) Có các mặt bên là tam giác cân c) Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Đường thẳng d vuông góc với mp( ): d a; d b a) Đt d vuông góc với đt cắt cùng nằm trên mp( ) Tức là: a b d a,b ( ) () () b) () () a d ( ) a d () c) Đt d vuông góc với mp( ) thì d vuông góc với đt nằm mp( ) Lop12.net Trang (3) Góc đt d và mp( ): d cắt ( ) O và A d AH () ˆ = Nếu thì góc d và ( ) là hay AOH d H ( ) A O Góc mp( ) và mp( ): () () AB Nếu FM AB;EM AB EM (),FM () d' H F ˆ = thì góc ( ) và ( ) là hay EMF Khoảng cách từ điểm A đến mp( ): (hình mục 4) Nếu AH ( ) thì d(A, ( )) = AH (với H ( )) E B M A IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) Thể tích khối chóp: V = Bh (diện tích đáy là đa giác) VS.ABC SA SB SC Tỉ số thể tích khối chóp: VS.ABC SA SB SC Diện tích xq hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) Thể tích khối nón tròn xoay: V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) Thể tích khối trụ tròn xoay: V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) Diện tích mặt cầu: S = R (R: bk mặt cầu ) Thể tích khối nón tròn xoay: V = R (R: bán kính mặt cầu) Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a HD: * Đáy là BCD cạnh a H là trọng tâm đáy * Tất các cạnh đầu a A 1 a2 * Tính: V = Bh = SBCD AH * Tính: SBCD = ( BCD 3 cạnh a) * Tính AH: Trong V ABH H : AH2 = AB2 – BH2 D B a (biết AB = a; BH = BM với BM = ) a3 ĐS: V = 12 Lop12.net Trang H a C M (4) Bài 2: Tính thể tích khối chóp tứ giác cạnh a HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a H là giao điểm đường chéo * Tất các cạnh đầu a 1 Bh = SABCD SH * Tính: SABCD = a2 3 * Tính AH: Trong V SAH H: S * Tính: V = A D a SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = ) a H B a3 a ĐS: V = Suy thể tích khối bát diện cạnh a ĐS: V = C Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất các cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ A b) Tính thể tích khối tứ diện A’BB’C HD: a) * Đáy A’B’C’ là cạnh a AA’ là đường cao * Tất các cạnh a * VABC.ABC = Bh = SABC AA’ a2 ’ ’ ’ * Tính: SABC = (A B C là cạnh a) và AA’ = a a a3 ĐS: VABC.ABC = b) VABBC = VABC.ABC ĐS: 12 B C B' A' C' ( khối lăng trụ đứng có tất các cạnh chia thành tứ diện nhau) Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông A, AC = a, C = 600, đường chéo BC’ mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) góc 300 B' a) Tính độ dài cạnh AC’ b) Tính thể tích lăng trụ A' HD: a) * Xác định là góc cạnh BC’ và mp(ACC’A’) 30 + CM: BA ( ACC’A’) BA AC (vì ABC vuông A) BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) + = BC A = 300 * Tính AC’: Trong V BAC’ A (vì BA AC’) B AB AB = = AB AC’ = AC tan 300 A AB * Tính AB: Trong V ABC A, ta có: tan600 = AC ĐS: AC’ = 3a AB = AC tan60 = a (vì AC = a) 1 a2 ’ b) VABC.ABC = Bh = SABC CC * Tính: SABC = AB.AC = a a = 2 * Tính CC’: Trong V ACC’ C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2 CC’ = 2a tan300 ĐS: VABC.ABC = a3 Lop12.net Trang 60 C' C (5) Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cạnh a và điểm A’ cách các điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy góc 600 Tính thể tích lăng trụ HD: * Kẻ A’H (ABC) * A’ cách các điểm A, B, C nên H là trọng tâm ABC cạnh a * Góc cạnh AA’ và mp(ABC) là = A A H = 600 * Tính: VABC.ABC = Bh = SABC A’H a2 (Vì ABC cạnh a) * Tính A’H: Trong V AA’H H, ta có: AH tan600 = A’H = AH tan600 = AN = a AH 3 a ĐS: VABC.ABC = A' C' * Tính: SABC = B' 60 A C a H N B Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông A, AC = a, BC = 2a và AA’ = 3a Tính thể tích lăng trụ B' C' HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a * Tính: VABC.ABC = Bh = SABC AA’ * Tính: SABC = AB.AC (biết AC = a) * Tính AB: Trong V ABC A, ta có: AB2 = BC2 – AC2 ĐS: VABC.ABC = 4a2 – a2 = A' 3a 2a B 3a2 3a3 = C a A Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 600 Chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo đáy Cho BB’ = a a) Tính góc cạnh bên và đáy D' b) Tính thể tích hình hộp C' HD: a) Gọi O là giao điểm đướng chéo AC và BD * B’O (ABCD) (gt) B' A' * Góc cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là = B BO * Tính = B BO : Trong V BB’O O, ta có: OB OB cos = = BB a a D + ABD cạnh a (vì A = 600 và AB = a) DB = a a OB = DB = Suy ra: cos = = 600 2 C 60 A O a a2 a2 b) * Đáy ABCD là tổng ABD và BDC SABCD = = 2 a ’ * VABCD.ABCD = Bh = SABCD B’O = B O Lop12.net Trang B (6) * Tính B’O: B’O a 3a3 ’ = (vì B BO là nửa tam giác đều) ĐS: Bài 8: Cho tứ diện S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh: SA BC b) Tính thể tích hình chóp HD: a) Gọi M là trung điểm BC * CM: BC SH (SH mp( ABC)) BC AM BC mp(SAM) Suy ra: SA BC (đpcm) b) * Tất các cạnh a 1 a Bh = SABC SH * Tính: SABC = 3 2 * Tính SH: Trong V SAH H, ta có: SH = SA – AH * Tính: VS.ABC = S B A H M a C a a3 (biết SA = a; AH = AM mà AM = vì ABC cạnh a) ĐS: VS.ABC = 12 Bài 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc 600 Gọi D là giao điểm SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA a) Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC và S.ABC b) Tính thể tích khối chóp S.DBC HD: a) Hạ SH (ABC) H là trọng tâm ABC cạnh a Gọi E là trung điểm BC * Góc tạo cạnh bên SA với đáy (ABC) là = SA E = 600 * Tính: S VS.DBC SD SB SC SD VS.ABC SA SB SC SA * Tính SD: SD = SA – AD * Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là nửa tam giác đều) D a 60 A AE mà AE = vì ABC cạnh a H 2a Suy ra: SA = B AE a * Tính AD: AD = ( vì ADE là nửa tam giác đều) Suy ra: AD = V SD 5a * Suy ra: SD = ĐS: S.DBC VS.ABC SA 12 và AH = b) Cách 1: * Tính VS.ABC = 1 Bh = SABC.SH 3 * Tính SH: Trong V SAH H, ta có: sin600 = a3 Suy ra: VS.ABC = 12 5a 3 VS.DBC Suy ra: VS.DBC = * Từ 96 VS.ABC 1 Cách 2: * Tính: VS.DBC = Bh = SDBC.SD 3 * Tính: SABC = Lop12.net Trang a E a2 (vì ABC cạnh a) SH SH = SA.sin600 = a SA * Tính: SDBC = C DE.BC (7) * Tính DE: Trong V ADE D, ta có: sin600 = DE 3a DE = AE.sin600 = AE 3a Suy ra: SDBC = Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm AB S a) Chứng minh rằng: SH (ABCD) b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD) * (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB) * SH AB ( là đường cao SAB đều) Suy ra: SH (ABCD) (đpcm) b) * Tính: VS.ABCD = 1 Bh = SABCD.SH 3 * Tính: SABCD = a2 ĐS: VS.ABCD * Tính: SH = A D a (vì SAB cạnh a) B H C a a3 = Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp đó HD: * Hạ SH (ABC) và kẻ HM AB, HN BC, HP AC S * Góc tạo mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là = SM H = 600 * Ta có: Các vuông SMH, SNH, SPH (vì có chung cạnh góc vuông và góc nhọn 600) * Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC * Tính: VS.ABC = * Tính: SABC = 1 Bh = SABC SH 3 p(p a)(p b)(p c) P A Suy ra: SH = 2a ĐS: VS.ABC = 8a 3 Lop12.net Trang C 60 p(p AB)(p BC)(p CA) (công thức Hê-rông) M 5a 5a 6a 7a 9a Suy ra: SABC = 6a2 * Tính: p = SH * Tính SH: Trong V SMH H, ta có: tan600 = SH = MH tan600 MH 2a S * Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH MH = ABC = p = 7a 6a H N B (8) a3 Bài 12: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a và thể tích a Tính độ dài cạnh bên hình chóp ĐS: SA = 3a Bài 13: Một hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao và thể tích a3 Tính cạnh đáy hình chóp ĐS: AB = a Bài 14: Cho hình chóp tam giác S.ABC có thể tích 3a3/8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) góc 600 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu Bài 1: Khái niệm mặt tròn xoay (2 tiết) Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB O có OA = 4, OB = Khi quay tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình A nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Sxq = Rl = OB.AB = 15 Tính: AB = ( AOB O) * Stp = Sxq + Sđáy = 15 + = 24 1 b) V = R h = .OB2 OA = .32.4 = 12 3 O Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh 2a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Sxq = Rl = OB.SB = a2 * Stp = Sxq + Sđáy = a2 + a2 = 23 a2 B S a3 2 b) V = R h = .OB SO = .a a 3 3 A 2a Tính: SO = a (vì SO là đường cao SAB cạnh 2a) 2a O B Bài 3: Một hình nón có chiều cao a và thiết diện qua trục là tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón S HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân S nên A = B = 450 * Sxq = Rl = OA.SA = a2 Tính: SA = a ; OA = a ( SOA O) * Stp = Sxq + Sđáy = a2 + a2 = (1 + ) a2 a3 2 b) V = R h = .OA SO = .a a 3 3 45 A O Bài 4: Một hình nón có đường sinh l và thiết diện qua trục là tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân S nên A = B = 450 Lop12.net Trang B (9) l l * Sxq = Rl = OA.SA = l = 2 l Tính: OA = ( SOA O) l l 1 l * Stp = Sxq + Sđáy = + = 2 2 l l l3 2 b) V = R h = .OA SO = 2 3 l Tính: SO = ( SOA O) S l 45 A B O Bài 5: Một hình nón có đường cao a, thiết diện qua trục có góc đỉnh 1200 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân S nên A = B = 300 hay A SO = BSO = 600 * Sxq = Rl = OA.SA = a 2a = 2a2 Tính: OA = a ; SA = 2a ( SOA O) S 120 * Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = a2 b) V = a 1 R h = .OA SO = .3a2 a a3 3 A B O Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh l và góc đường sinh và mặt đáy a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón S HD: a) * Góc đường sinh và mặt đáy là A = B = * Sxq = Rl = OA.SA = lcos l = l cos Tính: OA = lcos ( SOA O) * Stp = Sxq + Sđáy = l cos + l2cos2 = 1 cos l cos R h = .OA SO 3 l3cos2 sin 2 = .l cos lsin = 3 Tính: SO = lsin ( SOA O) b) V = l A B O Bài 7: Một hình nón có đường sinh 2a và diện tích xung quanh mặt nón a2 Tính thể tích hình nón HD: * Sxq = Rl Rl = a2 2a2 2a2 R = a l 2a S * Tính: SO = a ( SOA O) 2a a R h = .OA SO = .a2 a 3 3 *V= Lop12.net Trang A O B (10) Bài 8: Một hình nón có góc đỉnh 600 và diện tích đáy Tính thể tích hình nón HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB * Sđáy = R2 = R2 R2 = R = S AB 2R * SO = 3 2 1 * V = R h = .OA SO = .32.3 9 3 3 60 A B O Bài 9: Thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nó c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy góc 600 Tính diện tích thiết diện này HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân S nên A = B = 450 a a2 * Sxq = Rl = OA.SA = a = 2 a Tính: OA = ( SOA O) a2 a2 1 a * Stp = Sxq + Sđáy = + = 2 2 a a a3 2 b) V = R h = .OA SO = 2 3 a Tính: SO = ( SOA O) S a A 45 c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy góc 600: SM O = 600 M B O C 1 a 2a a2 * SSAC = SM.AC = = 2 3 a 2a * Tính: SM = ( SMO O) * Tính: AC = 2AM = 3 a a * Tính: AM = OA OM = * Tính: OM = ( SMO O) Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích thiết diện đó Lop12.net Trang 10 (11) S HD: a) * Sxq = Rl = OA.SA = 25.SA = 25 1025 (cm2) Tính: SA = 1025 ( SOA O) * Stp = Sxq + Sđáy = 25 1025 + 625 1 R h = .OA SO = .252.202 (cm3) 3 c) * Gọi I là trung điểm AB và kẻ OH SI OH = 12cm 1 * SSAB = AB.SI = 40.25 = 500(cm2) 2 OS.OI 20.OI * Tính: SI = = = 25(cm) ( SOI O) 12 OH 1 * Tính: = OI = 15(cm) ( SOI O) OI OH OS2 l b) V = h H A O I B * Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm) * Tính: AI = OA OI 20 (cm) ( AOI I) Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón c) Cho dây cung BC đường tròn đáy hình nón cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SBC HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân S nên A = B = 450 a a2 * Sxq = Rl = OA.SA = a = S 2 AB a Tính: OA = = ; Tính: SA = a ( SOA O) 2 a2 a2 ( 1)a2 * Stp = Sxq + Sđáy = + = 2 2 a a a3 1 b) V = R h = .OA SO = O A 2 12 3 a2 M a C Tính: SO = ( SOA O) 1 a 2a a2 c) * Kẻ OM BC SM O = 60 ; * SSBC = SM.BC = = 3 a a * Tính: SM = ( SOM O) * Tính: BM = ( SMB M) 3 Lop12.net Trang 11 B (12) Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ B b) Tính thể tích khối trụ O A HD: a) * Sxq = Rl = OA.AA’ = R.2R = R2 * OA =R; AA’ = 2R h * Stp = Sxq + 2Sđáy = R2 + R2 = R2 l 2 b) * V = R h = .OA OO = .R 2R 2R A' O' B' Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách hai đáy 7cm a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ c) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên HD: a) * Sxq = Rl = OA.AA’ = 5.7 = 70 (cm2) B O * OA = 5cm; AA’ = 7cm I r * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120 (cm2) A b) * V = R h = .OA OO = 52.7 = 175 (cm3) c) * Gọi I là trung điểm AB OI = 3cm l h * SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) * AA’ = * Tính: AB = 2AI = 2.4 = O' B' * Tính: AI = 4(cm) ( OAI I) Bài 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r A' a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ đã cho c) Cho hai điểm A và B nằm trên hai đường tròn đáy cho góc đường thẳng AB và trục hình trụ 300 Tính khoảng cách đường thẳng AB và trục hình trụ A r O HD: a) * Sxq = Rl = OA.AA’ = r r = r2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = r2 + r2 = ( 1) r2 b) * V = R h = .OA OO = .r r r 3 c) * OO’//AA’ BA A = 300 * Kẻ O’H A’B O’H là khoảng cách đường thẳng AB và trục OO’ hình trụ * Tính: O’H = r (vì BA’O’ cạnh r) * C/m: cạnh r * Tính: ’ ’ ’ * Tính: A B = r ( AA B A ) BA’O’ Cách khác: * Tính * Tính: A’H = O’H = AB r = 2 A ’B OA AH = 2 r3 A' O' H B = A ’O ’ = BO’ =r r2 r r ( A’O’H H) 2 * Tính: A’B = r ( AA’B A’) Bài 4: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ HD: a) * Sxq = Rl = OA.AA’ = R R = 2 R2 Lop12.net Trang 12 (13) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 R2 + R2 = ( 1) R2 b) * V = R h = .OA OO = .R R R A R O R2 Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm và có chiều cao h = 50cm O' A' a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình trụ b) Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ đã cho c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ ( Cách giải và hình vẽ bài 14) ĐS: a) * Sxq = Rl = 5000 (cm2) * Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000 + 5000 = 10000 (cm2) b) * V = R h = 125000 (cm3) c) * O’H = 25(cm) Bài 1: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vuông góc với mp(ABC), ABC vuông B và AB = 3a, BC = 4a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D b) Tính bán kính mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích mặt cầu HD: a) * Gọi O là trung điểm CD * Chứng minh: OA = OB = OC = OD; * Chứng minh: DAC vuông A OA = OC = OD = CD (T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh ấy) * Chứng minh: DBC vuông B OB = CD D CD CD A, B, C, D thuộc mặt cầu S(O; ) 2 CD 1 b) * Bán kính R = = AD AC2 = AD AB2 BC2 2 5a = 25a2 9a2 16a2 A 2 * OA = OB = OC = OD = 5a * S = 4 50a ; 4 5a 125 2a3 * V = R = 3 O C B Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích mặt cầu HD: a) Gọi O là tâm hình vuông (đáy) Chứng minh: OA = OB = OC = OD = OS a3 a 2 b) R = OA = ; S = 2a ; V = Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh a SA = 2a và vuông góc với mp(ABCD) a) Xác định mặt cầu qua điểm A, B, C, D, S b) Tính bán kính mặt cầu nói trên Tính diện tích và thể tích mặt cầu Lop12.net Trang 13 (14) HD: a) * Gọi O là trung điểm SC * Chứng minh: Các SAC, SCD, SBC vuông A, D, B SC SC ) S(O; 2 SC a b) * R = = SA AB2 BC2 = 2 2 a 6 a * S = 4 6a ; * V = a S * OA = OB = OC = OD = OS = O 2a A D B a C Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đỉnh nằm trên mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi vuông góc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu đó HD: * Gọi I là trung điểm AB Kẻ vuông góc với mp(SAB) I * Dựng mp trung trực SC cắt O OC = OS (1) * I là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB (vì SAB vuông S) OA = OB = OS (2) * Từ (1) và (2) OA = OB = OC = OS Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA) SC AB OI AI = * R = OA = 2 a b c2 C a b c2 * S = 4 2 (a b c ) c O S a b c2 * V = 2 2 2 (a b c ) a b c Lop12.net Trang 14 B b a I A (15)