Bài tập hình học 12 (có lời giải)

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Hình tứ diện đều: a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy) c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau 2. Hình chóp đều: a) Có đáy là đa giác đều b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

Trang 1

KHỐI ĐA DIỆN CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN 12

I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 sin = AB

BC (ĐỐI chia HUYỀN) 2 cos =

AC

BC (KỀ chia HUYỀN)

3 tan = AB

AC (ĐỐI chia KỀ) 4 cot =

AC

AB (KỀ chia ĐỐI)

II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1 BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)

2 AB2 = BH.BC 3 AC2 = CH.BC

4 AH2 = BH.CH 5 AB.AC = BC.AH 6 1 2 1 2 12

AH  AB  AC

III ĐỊNH LÍ CÔSIN

1 a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2 b2 = a2 + c2 – 2accosB 3 c2 = a2 + b2 – 2abcosC

IV ĐỊNH LÍ SIN

sin A sin B sin C   

V ĐỊNH LÍ TALET

MN // BC

AB  AC  BC ; b)

MB  NC

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1 ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c)    (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a:

a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

a 3 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông:

a) S = 1

2 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2 a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 3 8

6 Tam giác cân: a) S = 1 ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)



B

A

N M

C B

A

C B

A

Trang 2

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

8 Hình thoi: S = 1

2 d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11 Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn)

b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) * BG = 2

3 BN; * BG = 2GN; * GN =

1

3 BN

2 Đường cao:

Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực:

Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác:

Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Hình tứ diện đều:

a) Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

b) Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)

c) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều:

a) Có đáy là đa giác đều

b) Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau

c) Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

d) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3 Đường thẳng d vuông góc với mp():

a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp() Tức là:

d a; d b

a b a,b









  



 d

()

b)

( ) ( )

( ) ( ) a

a d ( )

  





   



   



 d ()

G P

N M

C B

A

Trang 3

a H M

D

C B

A

4 Góc  giữa đt d và mp(): d cắt () tại O và Ad

Nếu AH ( )

H ( )

 





 

 thì góc giữa d và () là  hay ˆ AOH = 

5 Góc giữa 2 mp() và mp():

Nếu

( ) ( ) AB

EM ( ),FM ( )

   









thì góc giữa () và () là  hay EMFˆ = 

6 Khoảng cách từ điểm A đến mp():

(hình ở mục 4)

Nếu AH () thì d(A, ()) = AH

(với H ())

IX KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1 Bh

3 (diện tích đáy là đa giác)

3 Tỉ số thể tích của khối chóp: S.A B C

S.ABC



4 Diện tích xq của hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường

sinh)

5 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 1 Bh

3 (diện tích đáy là đường tròn)

6 Diện tích xq của hình trụ tròn xoay: Sxq = 2Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)

7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh = R2h ( h: chiều cao khối trụ)

8 Diện tích của mặt cầu: S = 4R2 (R: bk mặt cầu )

9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 4 3

R

3  (R: bán kính mặt cầu)

Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

HD: * Đáy là BCD đều cạnh a H là trọng tâm của đáy

* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

* Tính: V = 1

3Bh =

1

3SBCD AH * Tính: SBCD =

4

a (

BCD đều cạnh a)

* Tính AH: Trong VABH tại H :

AH2 = AB2 – BH2 (biết AB = a; BH = 2

3BM với BM =

3 2

ĐS: V =

12 a







F

E

M

B

A

H

A

d' d



Trang 4

Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều cạnh a

HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a H là giao điểm của 2 đường chéo

* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a

* Tính: V = 1

3Bh =

1

3SABCD SH * Tính: SABCD = a

2

* Tính AH: Trong VSAH tại H:

SH2 = SA2 – AH2 (biết SA = a; AH = 2

2

ĐS: V =

6

a Suy ra thể tích của khối bát diện đều cạnh a ĐS: V = 3 2

3

a

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’ B ’ C ’ có tất cả các cạnh đều bằng a

a) Tính thể tích của khối lăng trụ

b) Tính thể tích khối tứ diện A ’ BB ’ C

HD: a) * Đáy A’B’C’ là  đều cạnh a AA’ là đường cao

* Tất cả các cạnh đều bằng a

* VABC.A B C   = Bh = SA B C  .AA’

* Tính: SA B C   =

4

a (A’B’C’ là

 đều cạnh a) và AA’ = a

ĐS: VABC.A B C   =

4

a b)

A BB C

V   = 1

3 VABC.A B C   ĐS:

12

a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau)

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C = 60 0 ,

đường chéo BC ’

của mặt bên (BCC ’ B ’ ) hợp với mặt bên (ACC ’ A ’ ) một góc 30 0

a) Tính độ dài cạnh AC ’ b) Tính thể tích lăng trụ

HD: a) * Xác định là góc giữa cạnh BC’ và mp(ACC’A’)

+ CM: BA ( ACC’A’)

 BA AC (vì ABC vuông tại A)

 BA AA’ (ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng) +  = BC A = 300 * Tính AC’: Trong VBAC’ tại A (vì BA AC’)

tan300 = AB

AC  AC’ = 300

AB tan = AB 3

* Tính AB: Trong VABC tại A, ta có: tan600 = AB

AC

 AB = AC tan600 = a 3 (vì AC = a) ĐS: AC’ = 3a

b) VABC.A B C   = Bh = SABC.CC’ * Tính: SABC = 1

2AB.AC =

1

2.a 3.a =

2

a

* Tính CC’: Trong VACC’ tại C, ta có: CC’2 = AC’2 – AC2 = 8a2  CC’ = 2 a 2

ĐS: VABC.A B C   = a3 6

S

D

C B

A

C'

B' A'

C

B A

60

30

C' B'

A'

C B

A

Trang 5

Bài 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’ B ’ C ’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A ’

cách đều các

điểm A, B, C Cạnh bên AA ’ tạo với mp đáy một góc 60 0 Tính thể tích của lăng trụ.

HD: * Kẻ A’H (ABC)

* A’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ABC đều cạnh a

* Góc giữa cạnh AA’ và mp(ABC) là  = A A H  = 600

* Tính: VABC.A B C   = Bh = SABC.A’H

* Tính: SABC =

4

a (Vì

ABC đều cạnh a)

* Tính A’H: Trong VAA’H tại H, ta có:

tan600 = A H

AH



 A’H = AH tan600 = 2

3 AN. 3 = a

4

a

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và

AA ’ = 3a

Tính thể tích của lăng trụ

HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a

* Tính: VABC.A B C   = Bh = SABC.AA’

* Tính: SABC = 1

2 AB.AC (biết AC = a)

* Tính AB: Trong VABC tại A, ta có:

AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2

3

2

a

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’ B ’ C ’ D ’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 60 0 Chân đường vuông góc hạ từ

B ’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB ’ = a.

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy

b) Tính thể tích hình hộp

HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD

* B’O (ABCD) (gt)

* Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là  = B BO 

* Tính  = B BO  : Trong VBB’O tại O, ta có:

cos = OB

BB =

OB a

+ ABD đều cạnh a (vì A = 600 và AB = a)  DB = a

 OB = 1

2DB = 2

a

Suy ra: cos = 1

2   = 60

0

b) * Đáy ABCD là tổng của 2 đều ABD và BDC  SABCD= 2

4

a = 2 3

2 a

* VABCD.A B C D    = Bh = SABCD.B’O =

2

a .B’O

* Tính B’O: B’O = 3

2

a (vì

B’BO là nửa tam giác đều) ĐS:

3

3 4 a

a 60

N H

C'

B' A'

C

B A

2a 3a

a

C' B'

A'

C B

A



a

60

a O

B' A'

B A

a

S

Trang 6

Bài 8: Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH

a) Chứng minh: SABC

b) Tính thể tích của hình chóp

HD: a) Gọi M là trung điểm của BC

* CM: BCSH (SHmp( ABC))

BC AM

 BCmp(SAM) Suy ra: SABC (đpcm)

b) * Tất cả các cạnh đều bằng a

* Tính: VS.ABC = 1

3Bh =

1

3SABC .SH * Tính: SABC =

2

a 3 4

* Tính SH: Trong VSAH tại H, ta có: SH2 = SA2 – AH2

(biết SA = a; AH = 2

3AM mà AM =

a 3

2 vì ABC đều cạnh a) ĐS: VS.ABC =

3

a 2 12

Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo

với đáy một

góc 60 0 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC

b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC

HD: a) Hạ SH (ABC)  H là trọng tâm của ABC đều cạnh a

Gọi E là trung điểm của BC

* Góc tạo bởi cạnh bên SA với đáy (ABC) là  = SAE = 600

* Tính: S.DBC

S.ABC

.

V  SA SB SC SA 

* Tính SD: SD = SA – AD

* Tính SA: SA = 2AH (vì SAH là nửa tam giác đều)

và AH = 2

3AE mà AE =

a 3

2 vì ABC đều cạnh a

Suy ra: SA = 2a 3

3

* Tính AD: AD = AE

2 ( vì ADE là nửa tam giác đều) Suy ra: AD =

a 3 4

* Suy ra: SD = 5a 3

12 ĐS:

S.DBC

S.ABC

V  SA 8 

b) Cách 1: * Tính VS.ABC = 1

3Bh =

1

3SABC.SH * Tính: SABC =

2

a 3

4 (vì ABC đều cạnh a)

* Tính SH: Trong VSAH tại H, ta có: sin600 = SH

SA  SH = SA.sin60

0 = a

Suy ra: VS.ABC =

3

a 3 12

* Từ S.DBC

S.ABC

V  8 Suy ra: VS.DBC =

3

5a 3 96

Cách 2: * Tính: VS.DBC = 1

3Bh =

1

3SDBC.SD * Tính: SDBC =

1

2 DE.BC

* Tính DE: Trong VADE tại D, ta có: sin600 = DE

AE  DE = AE.sin60

0 =3a

4

60

E

D

a H

C

B A

S

Trang 7

Suy ra: SDBC =

2

3a 8

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam

giác đều và

vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB

a) Chứng minh rằng: SH (ABCD)

b) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

HD: a) * Ta có: mp(SAB) (ABCD)

* (SAB) (ABCD) = AB; * SH (SAB)

* SH AB ( là đường cao của SAB đều)

Suy ra: SH (ABCD) (đpcm)

b) * Tính: VS.ABCD = 1

3Bh =

1

3SABCD.SH

* Tính: SABCD = a2 * Tính: SH = a 3

2 (vì SAB đều cạnh a)

ĐS: VS.ABCD =

3

a 3 6

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a Các mặt bên (SAB), (SBC),

(SCA) tạo với đáy

một góc 60 0 Tính thể tích của khối chóp đó.

HD: * Hạ SH (ABC) và kẻ HM AB, HNBC, HP AC

* Góc tạo bởi mặt bên (SAB) với đáy (ABC) là  = SMH = 600

* Ta có: Các vuông SMH, SNH, SPH bằng nhau (vì có chung 1 cạnh

góc vuông và 1 góc nhọn bằng 600)

* Suy ra: HM = HN = HP = r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC

* Tính: VS.ABC = 1

3Bh =

1

3SABC .SH

* Tính: SABC = p(p a)(p b)(p c)   

= p(p AB)(p BC)(p CA)    (công thức Hê-rông)

* Tính: p = 5 6 7

9 2

a  a  a a

 Suy ra: SABC = 6 6a2

* Tính SH: Trong VSMH tại H, ta có: tan600 = SH

MH  SH = MH tan600

* Tính MH: Theo công thức SABC = p.r = p.MH  MH = SABC

p = 2 a 3 6

Suy ra: SH = 2 a 2

ĐS: VS.ABC = 8 a3 3

S

H C

7a

6a 5a

N

P

C

B

A

60

S

Trang 8

Bài 12: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và thể tích bằng

6

a

Tính độ dài cạnh bên của hình chóp ĐS: SA = 5

2 a

Bài 13: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 3

2

a

và thể tích bằng a 3

Tính cạnh đáy của hình chóp ĐS: AB = a 2

Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích bằng 3a3 /8, các mặt bên tạo với đáy (ABC) một góc 60 0 Tính độ dài cạng đáy AB ĐS: AB = a 3

Mặt nón Mặt trụ Mặt cầu

Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay (2 tiết)

Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA = 4, OB = 3 Khi quay

tam giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

HD: a) * Sxq = Rl = .OB.AB = 15

Tính: AB = 5 ( AOB tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 15 + 9 = 24

b) V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OB OA = 1 2

3 4

3  = 12

Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

HD: a) * Sxq = Rl = .OB.SB = 2a2

* Stp = Sxq + Sđáy = 2a2 + a2 = 23a2

b) V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OB SO =

3 2

3

a

Tính: SO = 2 3

3 2

 (vì SO là đường cao của SAB đều cạnh 2a)

Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân tại S nên A = B = 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = a2 2

Tính: SA = a 2; OA = a ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = a2 2 + a2 = (1 + 2) a2

b) V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OA SO =

3 2

1

a a a 

Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vuông.

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450

2a

S

O

3 4 A

B O

45 S

B A

O

Trang 9

* Sxq = Rl = .OA.SA = .

2

l

.l =

2

l



Tính: OA =

2

l

( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

l



+

2

l



= 1 1 2

2

b) V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OA SO =

1

Tính: SO =

2

l

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên A = B = 300

hay ASO = BSO = 600

* Sxq = Rl = .OA.SA = .a 3.2a = 2  a2 3

Tính: OA = a 3; SA = 2a ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = 2  a2 3 + 3a2 =  2 3 3    a2

b) V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OA SO = 1 2 3

3

3  a a  a

Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy

bằng .

HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là A = B = 

* Sxq = Rl = .OA.SA =  lcos.l = l cos2 

Tính: OA = lcos ( SOA tại O)

* Stp = Sxq + Sđáy = l cos2  + l2cos2 =  1  cos    l cos2 

b) V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OA SO

= 1 2

3

2

.l cos lsin

3

2

l cos sin

Tính: SO = lsin ( SOA tại O)

Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng

2a 2

Tính thể tích của hình nón

HD: * Sxq = Rl  Rl = 2a2  R =

2



* Tính: SO = a 3 ( SOA tại O)

* V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OA SO =

3 2

3

a

l

45

S

B A

O

120

a S

B A

O

 l

S

B A

O

2a

S

B A

O

Trang 10

Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 600 và diện tích đáy bằng 9 Tính thể tích của hình nón

HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều

* Sđáy = R2  9 = R2  R2 = 9  R = 3

* SO = 3 2 3

3 3

* V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OA SO = 1 2

3   

Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông

bằng a.

b) Tính thể tích của khối nó

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 0 Tính diện tích của thiết diện này

HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450

* Sxq = Rl = .OA.SA = 

2

a

.a =

2

a



Tính: OA =

2

a

* Stp = Sxq + Sđáy =

2

a



+

2

a



= 1 1 2

2

b) V = 1 2

3  R h = 1 2

3  OA SO =

1

Tính: SO =

2

a

( SOA tại O) c) * Thiết diện (SAC) qua trục tạo với đáy 1 góc 600: SMO = 600

* SSAC = 1

2 SM.AC =

1

2.

6 3

3

a = 2 2

3 a

* Tính: SM = 6

3

a

( SMO tại O) * Tính: AC = 2AM = 2 3

3 a

* Tính: AM = OA2  OM2 = 3

3

a * Tính: OM = 6

6

a (



 SMO tại O)

Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt

C M

45 a

S

B

60 S

B A

O

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,23 MB