Đang tải... (xem toàn văn)
e Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp o thì chắn nửa đường tròn ACB 90 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn f Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây[r]
(1)PhÇn I: §¹i sè CHủ đề 1: C¨n thøc - rót gän biÓu thøc I c¨n thøc: KiÕn thøc c¬ b¶n: §iÒu kiÖn tån t¹i : √ A cã nghÜa ⇔ A ≥0 Hằng đẳng thức: √ A 2=| A| Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B ≥ 0) √ A B= √ A √ B A √A Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B>0) = B √B §a thõa sè ngoµi c¨n: ( B≥ 0) √ A B=| A| √ B §a thõa sè vµo c¨n: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=√ A B ( A<0 ; B ≥0) A √ B=− √ A B √ AB AB B B Khö c¨n thøc ë mÉu: ( AB 0; B 0) A √A.B = B √B Trôc c¨n thøc ë mÉu: (B>0) C( √ A ∓ √ B) C = A−B √ A ± √B Bµi tËp: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: 1) √ −2 x+3 5) √ x + 2) 6) √ 1+ x √ 2 x 3) 7) √ √ x +3 −2 x 8) 2 9) x 10) x x 11) 2x x Rút gọn biểu thức Bµi1 1) √ 12+5 √ − √ 48 2) √ 5+ √20 −3 √ 45 4) √ 12 − √ 27+5 √ 48 5) √ 12+ √ 75 − √ 27 7) √20 − √ 45+ √ 8) ( √ 2+ 2) √ 2− √ 1 + √ −2 √ 5+2 13) √ 28− √ 14+ √¿ ¿ ¿ 15) √ − √ ¿ − √ 120 ¿ 1− √ 2¿ ¿ 2+3 ¿2 17) √ ¿ ¿ √¿ 10) 4) 11) 2 − −3 √ 4+3 √ 12) −5 x +6 −3 x +5 x 3 5 x √ √ 3) √ 32+ √ −5 √18 6) √ 18 −7 √ 2+ √ 162 1 − 9) √5 −1 √5+1 12) 2+ √ 1+ √ 2 14) √ 14 −3 √ 2¿ + √28 ¿ 16) √ −3 √ ¿ +2 √ 6+ √ 24 √ 3− 2¿ 18) ¿ 3− √ 1¿ ¿ ¿ √¿ ¿ (2) √ 5− ¿2 ¿ 19) √ 5− ¿2 20) ( √ 19− 3)( √19+ 3) 21) 22) 23) ¿ ¿ √¿ x −12 ¿2 ¿ ¿ x+ √¿ x − xy+ y ¿2 ¿ ¿ x +2 y − √ ¿ Bµi2: 1) √ ( 3+ √ )2+ √ ( − √ ) 4) √ 8+2 √15 - √ −2 √ 15 √ 4+ √ 3+ √ −2 √3 − 8) 2) √ 7+ √ + √7 − √ √ − √5 √ 7+ √ 3) √ ( 5− )2 + √ ( √ 5+ )2 5) √ ( 5+2 √6 ) + √ −2 √15 6) √ ( 2− √3 ) − √( 2+ √3 ) 5 − √ −2 √2 √ 3+ √ 7) 6,5 12 6,5 12 546 84 42 253 63 9) A 2 B ta lµm nh sau x y A.(1) T×m x, y cho x, y lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh x y B.(2) vµ ®a vÒ biÓu thøc Lu ý : Khi khai c¨n d¹ng E = x y Giải phương trình: 1) √ x −1= √5 2) √ x −5=3 5) √ x − √ 12=0 9) 6) x − 3¿ ¿ ¿ √¿ 3) √ 9(x − 1)=21 7) √ x +4 x +1=6 19 x 45 x x 20 ; 10) 13) √ 8+ √ x+ √5 − √ x=5 1− x ¿ ¿ 4¿ √¿ 14) 4) √ x − √ 50=0 8) x −1 ¿ ¿ ¿ √¿ ; 11) x x 4 ; 12) √3 3− x=−2 √ 2− x2 + √ x 2+ 8=4 II c¸c bµi to¸n rót gän: A.c¸c bíc thùc hiªn: T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ t×m TX§ cña tõng ph©n thøc råi kÕt luËn l¹i *Lu ý: Trớc tìm ĐKXĐ ta phân tích mẫu thức thành nhân tử ( đợc) Sau đó rút gọn phân thức (nếu đợc) 2.Quy đồng, gồm các bớc: + Chän mÉu chung : - HÖ sè lµ BCLN cña c¸c hÖ sè - BiÓu thøc chøa ch÷: lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung 3.Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức 4.Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng 5.Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn) 6.Rót gän B.Bµi tËp luyÖn tËp: (3) x 2x x x x x với ( x >0 và x ≠ 1) Bài Cho biểu thức : A = 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 a4 a 4 a 2 Bài Cho biểu thức : P = 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + 4 a 2 a ( Với a ; a ) x 1 x x x x x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào x thì A< -1 Bµi 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - Bµi 5: Cho biÓu thøc : B = (1 x x x x )(1 ) x 1 x1 ( Với x 0; x 1 ) 1 x − + √ √ x − 2 √ x +2 − x a; T×m TX§ råi rót gän biÓu thøc B b; TÝnh gi¸ trÞ cña B víi x =3 c; Tìm giá trị x để | A|= Bµi 6: Cho biÓu thøc: P = a; T×m TX§ b; Rót gän P c; Tìm x để P = Bµi 7: Cho biÓu thøc: √ x+1 + √ x + 2+5 √ x √ x − √ x+ − x Q=( 1 a+1 √ a+2 − ¿ :( √ − ) √ a − √ a √a − √ a −1 a; T×m TX§ råi rót gän Q b; Tìm a để Q dơng c; TÝnh gi¸ trÞ cña BiÓu thøc biÕt a = 9- √ Bµi 8: Cho biÓu thøc: M = √ a − a − √ a − a+ √ a 2 √ a √ a+1 √ a −1 a/ T×m §KX§ cña M b/ Rót gän M Tìm giá trị a để M = - Bµi 9: Cho biÓu thøc: K = 15 √ x −11 + √ x − √ x+3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a Tìm x để K có nghĩa b Rót gän K c T×m x K= d T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña K ( )( ) (4) x −2 x+2 x − x +1 √ √ Bµi 10: Cho biÓu thøc: G= − x −1 x +2 √ x +1 Xác định x để G tồn Rót gän biÓu thøc G TÝnh sè trÞ cña G x = 0,16 T×m gÝa trÞ lín nhÊt cña G Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên x +2 x x −1 Bµi 11 : Cho biÓu thøc: P= + √ + :√ x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x a Rót gän biÓu thøc trªn b Chøng minh r»ng P > víi mäi x≥ vµ x ≠ ( ) ( Bµi 12 : cho biÓu thøc Q= ( ) Víi x ≥ ; x ≠ 1 a +1 + − 1+ a 2+ √ a 2− √a 1− a )( ) a T×m a dÓ Q tån t¹i b Chøng minh r»ng : Q kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña a Bµi 13: Cho biÓu thøc : A= √ x3 2x 1− x √ xy −2 y √ xy +2 √ y − x − √ x 1− √ x + a) Rót gän A b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2 ( a+2 ) a+ Bµi 14:XÐt biÓu thøc: P= √ a + √ a + : 1− √ (Víi a ≥0 ; a ≠ 16) 16 − a √ a+ √ a− √ a+ 1)Rót gän P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyªn tè [ ]( ) CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc I Hµm sè: Kh¸i niÖm hµm sè * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta luôn xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi là hàm số x và x đợc gọi là biến số * Hµm sè cã thÓ cho bëi c«ng thøc hoÆc cho bëi b¶ng II hµm sè bËc nhÊt: KiÕn thøc c¬ b¶n: §Þnh nghÜa: Hàm số bậc có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc là: a ≠ VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 - m) x - (1) Tìm các giá trị m để hàm số (1) là hàm số bậc Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ −m≠ ⇔ ⇔m≠ TÝnh chÊt: + TX§: ∀ x ∈ R + §ång biÕn a> NghÞch biÕn a< VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 - m) x - (2) Tìm các giá trị m để hàm số (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn ⇔ −m>0 ⇔ ⇔ m< + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ −m<0 ⇔0 ⇔ m> §å thÞ: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc là đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b (5) cắt trục hoành điểm có hoành độ − b a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b: Cho x = => y = b => điểm P(0; b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y = => x = -b/a => điểm Q(-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b Đờng thẳng qua hai điểm P(0;b) và Q (-b/a;0) là đồ thị H.Số y = ax + b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số: y = 2x + Gi¶i: Cho x= => y=1 => điểm P(0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Cho y=0 => x=-1/2 => điểm Q(-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Đờng thẳng qua hai điểm P(0;1) và Q(-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a≠ a , */ Để hai đờng thẳng cắt trên trục tung thì cần thêm điều kiện b=b' */ Để hai đờng thẳng vuông góc với thì : a a' =−1 + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a , ; b ≠ b' + Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a , ; b=b' VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x – m (d2) a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trên trục tung Gi¶i: ¿ −m=2 ≠ −m ⇔ a/ (d1)//(d2) ⇔ ¿ m=1 m ≠− ⇔ {m=1 ¿{ ¿ b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ −m≠ ⇔m ≠1 3 m 2 ⇔ m m 1 m m c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b là a + Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác tan a Trờng hợp: a > thì góc tạo đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn Trờng hợp: a < thì góc tạo đờng thẳng với trục Ox là góc tù Ví dụ 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox Gi¶i: 0 Ta cã: Tan 2 tan 63 63 (6) Vậy góc tạo đờng thẳng y = 2x + với trục Ox là: α =630 Ví dụ 2: Tính góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox 0 0 Ta cã: tan(180 ) 2 tan 63 (180 ) 63 117 Vậy góc tạo đờng thẳng y = - 2x + với trục Ox là: α =117 C¸c d¹ng bµi tËp thêng gÆp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến; hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng Ph¬ng ph¸p: Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn - Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính đợc giá trị y Cặp giá trị x và y là toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Tính chu diện tích các hình tạo các đường thẳng: Phơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Pytago để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác cách cộng các cạnh + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S - Dạng 3: Tính góc tạo đường thẳng y = ax + b và trục Ox Xem l¹i c¸c vÝ dô ë trªn - Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị kh«ng? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị - Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta đợc phơng trình đờng thẳng cần t×m - Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đờng thẳng: (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = - x +3 a) C/m m thay đổi thì d1 luôn qua điểm cố định b) C/m r»ng d1 //d3 th× d1 vu«ng gãc d2 c) Xác định m để đờng thẳng d1; d2 ; d3 đồng qui Gi¶i: a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 qua là A(x0; y0 ) thay vào PT đờng thẳng (d1) ta cã : y0 = (m2-1 ) x0 + m2 - Víi mäi m => m2(x0+1) - (x0 +y0 +5) = víi mäi m ; §iÒu nµy chØ x¶y : x0+ = x0+ y0+ = suy : x0 =-1 Y0 = - Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta t×m giao ®iÓm B(x;y) cña (d2) vµ (d3) : (7) Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 ta cã y = +1 =2 VËy B (1;2) *Hoặc toạ độ giao điểm B(x,y) (d2) và (d3) là nghiệm hệ phơng trình: y x 1 x x x 1 y x y x y 2 VËy B (1;2) Để đờng thẳng đồng qui thì (d1) phải qua điểm B (1;2) nên ta thay x =1 ; y = vào PT (d1) ta cã: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = , m = -2 Vậy với m = m = - thì đờng thẳng trên đồng qui Bµi tËp: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + và (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Xác định hàm số, biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + Xác định hàm số biết đồ thị qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ¿ và y = (2 - m)x + ; (m≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị nào m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt điểm trên trục tung.Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = −1 x và cắt trục hoành điểm có hoành độ 10 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng: (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) // (d2) b; Với giá trị nào m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = c; C/m m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax + b a; Xác định HS biết đồ thị nó song song với Đ thẳng y = 2x +3 và qua điểm A(1;-2) b; Vẽ đồ thị HS vừa xác định Rồi tính độ lớn góc tạo đờng thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2 (8) CHủ đề 3: hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn I c¸c kh¸I niÖm: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: +Dạng: ax + by = c đó a; b; c là các hệ số đã biết( a ≠ b ≠ ¿ + Mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ cÆp sè x0; y0 tháa m·n : ax0 + by0 = c + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm + Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c Nếu a ≠ ; b ≠ thì đờng thẳng (d) là đồ thị hàm số bậc nhất: y=− a x+ c b b HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: + D¹ng: ¿ ax+ by=c (1) a, x +b , y=c, (2) ¿{ ¿ + NghiÖm cña hÖ lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh + NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiÖm chung th× ta nãi hÖ v« nghiÖm + Quan hệ số nghiệm hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: - Phơng trình (1) đợc biểu diễn đờng thẳng (d) - Phơng trình (2) đợc biểu diễn đờng thẳng (d') a b a , b, *NÕu (d) c¾t (d') hÖ cã nghiÖm nhÊt a b c , , , a b c *NÕu (d) song song víi (d') th× hÖ v« nghiÖm a b c , , , a b c *NÕu (d) trïng (d') th× hÖ v« sè nghiÖm Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với chúng có cùng tập nghiệm Ii ph¬ng ph¸p gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ: a) Quy t¾c thÕ: + Bớc 1: Từ phơng trình hệ đã cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ còn ẩn) + Bớc 2: Dùng phơng trình này để thay cho phơng trình thứ hai hệ (phơng trình thứ thờng đợc thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có đợc bíc 1) VÝ dô: xÐt hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x −2 y=1 (1) x+2 y=3 (2) ¿{ ¿ + Bíc 1: Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta biÓu diÔn x theo y (gäi lµ rót x) ta cã: x=1+2 y (∗) Thay x=1+2 y (∗) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(1+2 y)+2 y=3 (**) + Bíc 2: ThÕ ph¬ng tr×nh (**) vµo ph¬ng tr×nh hai cña hÖ ta cã: ¿ x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ¿{ ¿ b) Gi¶i hÖ : (9) x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y 3+6 y +2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y ¿ y=0 ⇔ x=1 ¿ y=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm (x = 1; y = 0) Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số: a) Quy tắc cộng đại số: + Bớc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ hệ phơng trình đã cho để đợc mét ph¬ng tr×nh míi + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét hai ph¬ng tr×nh cña hÖ (vµ gi÷ nguyªn ph¬ng tr×nh kia) Lu ý: Khi các hệ số cùng ẩn đối thì ta cộng vế theo vế hệ Khi c¸c hÖ sè cña cïng mét Èn b»ng th× ta trõ vÕ theo vÕ cña hÖ Khi hệ số cùng ẩn không không đối thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa hệ số cùng ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) bµi tËp: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ ¿ x + y=2 x+3 y =5 ¿{ ¿ ¿ x −3 y =1 − x+ y=2 ¿{ ¿ ¿ x − y=m x + y =4 ¿{ ¿ 2 x y 5 5 x y 1 ¿ x+2 y=6 x − y=2 ¿{ ¿ 3x y 7 x y 0 Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số ¿ x −11 y =−7 10 x+11 y =31 ¿{ ¿ ¿ x +2 y=−2 x −2 y=− ¿{ ¿ ¿ x + y=3 x − y =7 ¿{ ¿ ¿ −5 x +2 y=4 x − y =−7 ¿{ ¿ §Æt Èn phô råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ¿ x+ y=8 x −3 y=0 ¿{ ¿ ¿ x −3 y=11 − x+ y=5 ¿{ ¿ (10) ¿ 2(x + y)+3 ( x − y )=4 (x+ y)+2(x − y )=5 ¿{ ¿ C¸c bµi tËp tù luyÖn Bµi Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: a) c) e) ¿ 1 + = x y 1 − = x y ¿{ ¿ ¿ x − y =−2 x − y=4 ¿{ ¿ ¿ x+ y =3 x −3 y=− ¿{ ¿ ¿ x +4 y =−2 x+ y+ 3=0 ¿{ ¿ Bµi 2: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : ¿ 1 + = x y 1 − = x y ¿{ ¿ ¿ − =2 x y −2 a) b) + − 1=0 x y −2 ¿{ ¿ ¿ ( m− ) x + y =5 Bµi 3: Cho hÖ ph¬ng tr×nh x − y=7 ¿{ ¿ ¿ 1 + =2 x−2 y−1 − =1 x −2 y −1 ¿{ ¿ ¿ x +5 y=1 b) −10 x − y=20 ¿{ ¿ ¿ x +3 y=− d) x+7 y=−9 ¿{ ¿ ¿ x y − =1 f) x y + =8 ¿{ ¿ c) ¿ − =1 x +2 y x − y 20 + =1 x+ y x −2 y ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh nhËn cÆp sè ( x= ; y =- 6) lµm nghiÖm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm đó Bµi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ ax − y=2 x+ ay=3 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a = b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm và tìm nghiệm đó c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ ax − y =a −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a = -2 (11) b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm nhất, đó tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn: x - y = d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x và y là các số nguyên Bµi 6: a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x +(m− 4) y=16 (4 −m) x − 50 y=80 ¿{ ¿ (I) b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm hãy tìm m để x+y lớn Chủ đề C¸c d¹ng to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai bµi mÉu: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®iÒn tiÕp vµo chç ( .) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x2 -27x = 3x(x-……) = 3x= (1) hoÆc (2) Gi¶i(1) x=………… Gi¶i(2) x=………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………… 2) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 5x2 - 45 = x2-…… = x2 = x1,2=……………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………… 3)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 - 2007x +2005= (a=… ;b=… ;c=……) Ta cã:a+b+c=………………………= Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm …………… ; …………… ??: Em hãy đề xuất bài toán tơng tự cùng nhóm bạn mình cùng giải Xem nhanh h¬n, tr×nh bµy ng¾n gän chÝnh x¸c 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 +7x -5= (a=… ;b=… ;c=……) Ta cã: ∆=………………….=……… >0 Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ……………… ; ………………… 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 7x2 +10 = 0(*) §Æt x2 = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=……… >0 => Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=…………… =………… Víi y1=………; y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Mµ x2 = y Nªn y1=………=> x2 =……… <=>…………… y2=………=> x2 =……… <=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………… 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ √ x − 6=0 (*) §Æt √ x = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=……… >0 =>Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=…………… =………… Víi y1=………;……… tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n => y1=………(lo¹i) y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n (12) Mµ x2 = y Nªn y2=………=> √ x =……… <=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………… Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 - 50 = c)54x2 = 27x e)y+ √ y -6=0 b) x +5 =x − d) y+ √ y =0 Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 3x2 -17x - 20 = b) 2x2 - 2007x + 2005 = f)y-5 √ y +4=0 c) x2 - 4x + 4= d) x2 + 3x - = Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng ph¬ng ph¸p Èn phô 1) x4 - 5x2 - = 6) ( x 2+ x )2 −2 ( x2 +2 x ) − 3=0 2) x + 7x - = 7) ( y +5 y )2 − y ( y +5 ) − 84=0 3) x4 + 9x2 + = 8) ( y − ) −5 √ y −5=6 2x =2+ 4) x +1 9) x 2+ √ x −2+2=0 x −1 x x +1 + =−2 5) x +1 x bài mẫu: Tìm giá trị m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = (1) cã mét nghiÖm b»ng 2.T×m nghiÖm cßn l¹i Gi¶i: §Ó ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 th×: 5.22 +m.2 -m2-12=0 8+m.2 -m2=0 m2-2m - = 0(*) Gi¶i (*)Ta cã: ∆'=…………… =…… > => √ Δ ' =…… => ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm m1=…………=…… ; m2=…………=…… +)Víi m1=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- m Mµ x1=2 ; m1=…… Nªn + x2 =- x2=……….=……… +)Víi m2=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 =- m Mµ x1=2 ; m2=…… Nªn + x2 =…… x2=……….=……… VËy……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… Bµi 4: Víi gi¸ trÞ cña b th× c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 + bx - 10 = cã mét nghiÖm b»ng T×m nghiÖm cßn l¹i b) b2x2 - 15x - = cã mét nghiÖm b»ng T×m nghiÖm cßn l¹i c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = cã mét nghiÖm b»ng T×m nghiÖm cßn l¹i Bài 5: Cho các phơng trình ẩn x Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép: a) x2 + 5x + k = c) x2 - (2k+3) + 4k + = b) x + kx + = d) (k-1) x2 + kx + = Bài 6: Xác định k để các phơng trình bài vô nghiệm Bài 7: Xác định k để các phơng trình bài có hai nghiệm phân biệt bµi mÉu: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m Gi¶i: ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= 0(*) ( a=…….; b=………; c=………) +) Xét a= hay m - = m =……… lúc đó phơng trình(*) trở thành: (13) 3x+1=0 x=………… => m = …… th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=…….(1) +) XÐt a ≠ hay m - ≠ m ≠…… Ta cã: ∆=………………………=………………………………= m2 - 4m + 12 = m2 - 2(….).m +(… )2-…… +12 = (… - ….)2 +……… NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + ≥…….>0 Víi mäi m ≠ Hay ∆>0 Víi mäi m≠ => ph¬ng tr×nh(*) cã hai nghiÖm Víi mäi m ≠ (2) Tõ (1); (2) => ph¬ng tr×nh(*) cã nghiÖm Víi mäi m Chó ý: Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta cÇn xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ Bµi 8: Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - = 2 c) -3x + 2(m-2)x+ 2m + = d) x + 4x - m2 + 4m - = e) (m+1)x2 + x - m = bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = có hai nghiệm tr¸i dÊu Gi¶i: ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = (1) §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu th× a.c < Hay 1.(30-5m) < 30-5m < 0 ……………….<=> m > VËy m………………………………………………………………………… Chó ý: Trong d¹ng to¸n nµy Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta kh«ng ph¶i xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu a) x2 + 2x + m - = b) x2 + mx + = c)-3x + 2(m-2)x+ 2m + = d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 = 2 e) (m + m +4)x + mx - = Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Chøng minh r»ng : x = m lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: mx2 - 2(m-2) x + m - = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm còn lại c) Gi¶i vµ biÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ a) vµ b) 3- √ vµ + √ 1 c) 3- √ vµ + √ d) vµ − 2√ 3+ √ 1 e) vµ víi a b a+b a− b bµi mÉu: LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ: 1- √ vµ + √ Gi¶i: §Æt x1=3- √ vµ x2= + √ Ta cã: x1+x2=………+………= x1.x2=(………….).(…………… )=………….= áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm phơng trình: ……………….= VËy ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ:……………………………… bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) phơng tr×nh a) 5x2 - 7x - = Gi¶i: cã: a.c = ………….=-5 < => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu b) 5x2 - 7x + = (14) Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 - 7x+2 = (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= > ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: ¿ = .= ¿{ ¿ => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d¬ng c) x2 + 11x + = Gi¶i: ph¬ng tr×nh: x2 +11x+5 = (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= … > ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: ¿ = .= ¿{ ¿ => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu ©m d) 5x2 + x + = Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 + x +2 = (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= … < => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bài 13: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 3x2 + 5x - = 3) 5x2 - 14x + = 2) 7x -3x + 1= 4) 2x2 - 4x - = 5) 4x - 3x +2 = 6) x2 +5x +1 = bài mẫu: Cho phơng trình: x2 - 2x + m-3 = (m là tham số) tìm m để phơng trình có hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng ? Gi¶i: ph¬ng tr×nh: x2 - 2x + m-3 = (*) (a=… ; b=…….; c=…….) §Ó ph¬ng tr×nh(*)cã hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng th×: ¿ .(1) .(2) (3) ¿{{ ¿ ¿ Δ' >0 x 1+ x >0 x1 x >0 ¿{{ ¿ hay Gi¶i(1): 4-m > …………….<=>……………… Giải(2): > luôn đúng Gi¶i(3): …… > …………….<=>……………… Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:…………………………………… (15) VËy m……………………………………………………………………………… Bài 14: Cho phơng trình : x2 - 2x + m = (m là tham số ) tìm m để phơng trình 1) cã nghiÖm tr¸i dÊu 4) Cã nghiÖm cïng dÊu d¬ng 2) cã nghiÖm cïng dÊu 5) Cã nghiÖm cïng ©m 3) Cã Ýt nhÊt nghiÖm d¬ng Bài 15: Tìm giá trị m để phơng trình: a) x2 - 2mx + (m-1)2 = Cã nghiÖm ph©n biÖt cïng d¬ng b) 2x2 - 2(m+1) x + m = Cã nghiÖm ph©n biÖt cïng ©m c) x2 - 2x + 2m -30 = Cã nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh : 5x - 6x - = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau(x1; x2lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) 1) S = x1 + x2 ; P = x1 x2 2) A = x12 + x22 ; B= 1 + x1 x2 ; C= x1 x2 + x2 x1 ; D = x13 + x23 E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13 - x23 Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh : x - 8x + n = (1) n lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi n = b) Tìm điều kiện n để phơng trình (1) có nghiệm c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả m·n 1) x1 - x2 = ; 3) 2x1 + 3x2 = 36 2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50 Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 - 4x + m = Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) NghiÖm nµy gÊp lÇn nghiÖm b) HiÖu hai nghiÖm b»ng Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-2)x - 6m = (Èn x) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại c) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m d) Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh H·y tÝnh A = x12 + x12 theo m từ đó tìm giá trị nhỏ A bµi mÉu: d¹ng to¸n vÒ t×m gi¸ trÞ lín, nhÊt nhá nhÊt cña mét biÓu thøc nghiÖm VÝ dô 1: Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn tìm giá trị Lớn đó Gi¶i: a) ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (Èn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………… = m2-8m+24 = m2-2m(… )+(….)2 -………+24 =(… -……)2 +……… NhËn thÊy: (… -……)2 ≥ víi mäi gi¸ trÞ cña m => (… -……)2 +………≥…… > víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay ∆'> víi mäi gi¸ trÞ cña m => ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Theo a) ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: ¿ = .= ¿{ ¿ L¹i cã: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……) (I) (16) Thay (I)vào A ta đợc : A= -2(m-3)(… -……) =……………………………………………… = - 4m2+ 42m - 90 -A = 4m2- 42m - 90 = (2m)2-2.2m(… )+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -……… NhËn thÊy: (… -……)2 ≥ víi mäi gi¸ trÞ cña m <=> (… -……)2 -………≥…… víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay -4A ………… víi mäi gi¸ trÞ cña m A…………… víi mäi gi¸ trÞ cña m DÊu "=" x¶y ……………=0 m=……… VËy gi¸ trÞ ……………………………………………………………………………… VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 - 17 = (1) (Èn x) Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ đó(x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) ) Gi¶i: ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………= 6m+18 §Ó Ph¬ng tr×nh (1)cã nghiÖm th× ∆'≥ hay……………………… m ≥ …… Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =………………… mµ m …….=> 6m……… 6m+ Hay A……… DÊu "=" x¶y m = VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ m= B¹n h·y tù ph©n chia c¸c bíc cña bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt mét biÓu thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh x2 + (m+1)x + m = (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m b) H·y tÝnh x21x2 + x22x1 theo m c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :E = x21x2 + x22x1 d)Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt đó nghiệm gấp đôi nghiệm Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh: x2 + mx + m - = (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng Ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1) Bµi 22: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1)x + k = (1) Èn x tham sè k a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi k b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh biÓu thøc A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A Bµi 23: Cho ph¬ng tr×nh: : x2 + 2mx + m2 + 4m + = (1) (Èn x) a)Tìm giá trị m để phơng trình (1)có nghiệm b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :A=x1+x2 c)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :B=x1+x2+x1.x2+2007 Bµi 24 *: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m+1)x + m2 -2m + = (Èn x) a) Tìm giá trị m để phơng trình vô nghiệm b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm đó c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm phân biệt Viết nghiệm đó theo m d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn e) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x1 + x2 Bµi 25: Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (Èn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi 26: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k-3)x + 2k + = (1) (Èn x) a) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm b) Víi ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm h·y tÝnh P = x1 + x2 ; S = x1 x2 (17) c) Viết hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với k Bài 27 : Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với m phơng trình sau a) x2 - (2m+5)x + m + = b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = d) (m-1)x2 - 2mx + m + = 2 Bµi 28: Cho ph¬ng tr×nh: x - (2m-1)x+ m - m - = (1) (m lµ tham sè) a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có nghiệm phân biệt Tìm nghiệm đó b) TÝnh A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m c) Tìm m để A Bµi 29: Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + x + m = vµ x2 + mx + = a)Với giá trị nào m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó b) Với giá trị nào m thì hai phơng trình trên tơng đơng Mét sè bµi to¸n tæng hîp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 30: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m+1) x +m-4 = (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh m=1 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt c) Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1) CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m d)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M= x12 +x22 Bµi 31: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1) x +k = (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh k = 2004 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm c)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh TÝnh B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k Từ đó tìm giá trị nhỏ B d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5 e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó Bµi 32:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (a-1) x - a2 +a - = (1) 1) CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n lu«n cã nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi a 2)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh TÝnh S= x12 + x22 theo a Từ đó tìm giá trị nhỏ S 3)lập hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với a 4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn 1 + nhËn gi¸ trÞ d¬ng x1 x2 Bµi 33: Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m+1)x2 + x +m2 - 1= a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =-1 b)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu c)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu đó có nghiệm Bµi 34: Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - = (1) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh a=1 CMR ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi a kh¸c -1 Tìm a để phơng trình có nghiệm trái dấu Tìm a để phơng trình có nghiệm cùng dấu và nghiệm gấp đôi nghiệm 5.Tìm a để phơng trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn nghiệm lớn và nghiÖm nhá h¬n Bµi 35: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 + 2m x +2m-1 = (1) 1)CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n cã nghiÖm víi mäi m 2)Gi¶ sö x1,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) a.Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 là độc lập với m b Tìm m để x1- x2 = c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A== x12 x2 + x22 x1 3)Tìm m để phơng trình có nghiệm đó có nghiệm lớn 4)Tìm m để phơng trình có nghiệm đó có nghiệm nhỏ 5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3 (18) Chủ đề V gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh I Dạng toán chuyển động Bài 1: Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Bài 2: Hai ngời hai địa điểm cách 3,6 km và khởi hành cùng lúc, ngợc chiều nhau, gặp vị trí cách hai địa điểm khởi hành km Nếu vận tốc không đổi nhng ngời chậm xuất phát trớc ngời phút thì họ gặp chính quãng đờng Tính vận tốc ngời Bài 3: Quãng đờng AB dài 320 km Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 16 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 40 phút Tính vận tèc cña mçi xe Bài 4: ngời xe đạp từ A đến B cách 50 km sau đó 1h30’ ngời xe máy từ A đến B và đến B sớm ngời xe đạp Tính vận tốc xe Biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bµi 5: Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc giê tõ hai tØnh A vµ B c¸ch 44 km vµ ®i ngîc chiÒu hä gÆp lóc giê 20 phót TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi biÕt r»ng vËn tèc ngêi ®i tõ A h¬n vËn tèc ngêi ®i tõ B lµ km/h Bµi 6: Hai tØnh A vµ B c¸ch 150 km Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i ngîc chiều nhau, gặp C cách A 90 km Nếu vận tốc không đổi nhng ô tô từ B trớc ô tô từ A 50 phút thì hai xe gặp chính quãng đờng Tính vận tốc mçi « t« Bµi 7: Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A sau giê 20 phót mét ca n« ch¹y tõ bÕn A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km Hái vËn tèc cña thuyÒn BiÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn lµ 12 km mét giê Bµi Mét ca n« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km, råi ngîc vÒ 36 km BiÕt thêi gian xu«i nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ giê, vËn tèc xu«i dßng h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ km/h Hái vËn tèc cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng Bài 9: Một ca nô từ A đến B với thời gian đã định Nếu vận tốc ca nô tăng km/h thì đến sớm giờ, ca nô giảm vận tốc km/h thì đến chậm Tính thời gian dự định và vận tốc dự định Bài 10: Một ca nô xuôi trên khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở từ B đến A tÝnh vËn tèc thùc cu¶ ca n« BiÕt tæng thêi gian ca n« xu«i vµ ngîc hÕt giê 20 phót vµ vËn tèc cña dßng níc lµ km/h Bµi 11: Trªn mét khóc s«ng mét ca n« xu«i dßng hÕt giê vµ ch¹y ngîc dßng hÕt giê BiÕt vËn tèc cña dßng níc lµ km/h TÝnh chiÒu dµi khóc s«ng vµ vËn tèc ca n« lóc níc yªn lÆng Bµi 12: Hai ca n« khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch 85 km vµ ®i ngîc chiÒu Sau giê 40 phót ca n« gÆp TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« BiÕt vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ngîc dßng lµ km/h Vµ vËn tèc dßng níc lµ km/h II D¹ng to¸n chung - riªng Bài 1: Hai đội xây dựng cùng làm chung công việc và dự định làm xong 12 ngày, họ cùng làm với đợc ngày thì đội đợc điều động làm việc khác, đội tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, suất tăng gấp đôi lên đội đã làm xong phần việc còn lại 3,5 ngày Hỏi đội làm mình thì bao ngày xong công việc trên (với n¨ng suÊt b×nh thêng) (19) Bµi 2: An vµ B×nh cïng lµm chung mét c«ng viÖc giê 20 phót th× xong NÕu An làm và Bình làm thì hai ngời làm đợc công việc Hỏi ngời làm mình làm công việc đó thì xong Bµi 3: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau giê 20 th× bÓ ®Çy NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y 10 phót vµ vßi thø ch¶y 12 phót th× ®Çy bÓ Hái mçi vßi ch¶y 15 mét m×nh th× bao nhiªu l©u míi ®Çy bÓ Bµi 4: Hai vßi níc nÕu cïng ch¶y th× sau giê ®Çy bÓ NÕu vßi thø nhÊt ch¶y 10 giê th× ®Çy bÓ Hái nÕu vßi thø hai ch¶y mét m×nh th× bao l©u ®Çy bÓ Bµi 5: Hai líp 9A vµ 9B cïng tu söa khu vên thùc nghiÖm cña nhµ trêng ngµy xong NÕu mçi líp tu söa mét m×nh muèn hµnh thµnh c«ng viÖc Êy th× líp 9A cÇn Ýt thêi gian h¬n líp 9B lµ ngµy Hái mçi líp lµm mét m×nh th× bao l©u hoµn thµnh c«ng viÖc Bµi 6: Hai tæ s¶n xuÊt nhËn chung mét c«ng viÖc.NÕu lµm chung giê th× hoµn thành công việc Nếu để tổ làm riêng thì tổ làm xong công việc tr ớc tổ là giê Hái mçi tæ lµm mét m×nh th× bao l©u xong c«ng viÖc Bài 7: Hai tổ cùng đợc giao làm việc Nếu cùng làm chung thì hoàn thành 15 Nếu tổ làm giờ, tổ làm thì làm đợc 30% công việc Hỏi lµm mét m×nh mçi tæ cÇn lµm bao l©u míi hoµn thµnh c«ng viÖc Bài 8: Hai ngời làm chung công việc thì xong 50’ Sau làm đợc giê Ngêi thø nhÊt ph¶i ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c, nªn ngêi lµm tiÕp giê n÷a míi xong c«ng viÖc Hái nÕu lµm mét m×nh mçi ngêi lµm bao l©u th× xong Bµi : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 4 giê ®Èy bÓ, m«Ü giê lîng níc cña vßi ch¶y b»ng 1 lîng níc ë vßi Hái mçi vßi ch¶y riªng th× bao l©u ®Çy bÓ Bµi 10 : Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thứ làm giờ, ngời thứ hai làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc đó mình thì bao lâu xong công việc III d¹ng to¸n t¨ng n¨ng xuÊt: Bµi : Mét tæ c«ng nh©n ph¶i lµm 144 dông cô c«ng nh©n chuyÓn ®i lµm viÖc kh¸c nªn mçi ngêi cßn l¹i ph¶i lµm thªm dông cô TÝnh sè c«ng nh©n cña tæ lóc ®Çu (n¨ng suÊt mçi ngêi nh nhau) Bài : Hai đội thuỷ lợi gồm ngời đào đắp mơng Đội đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 Biết công nhân đội đào đợc nhiều công nhân đội là 1m3 Tính số đất công nhân đội đào đợc Bài : Một máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày đội máy kéo cày đợc 52 Vì đội không đã cày xong trớc thời hạn ngày mà còn cày thêm đợc Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định Bµi : Mét tæ dÖt kh¨n mÆt, mçi ngµy theo kÕ ho¹ch ph¶i dÖt 500 chiÕc, nhng thùc tÕ ngày đã dệt thêm đợc 60 chiếc, cho nên đã hoàn thành kế hoạch trớc ngày mà còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch Tìm số khăn mặt phải dệt theo kÕ ho¹ch lóc ®Çu Bµi : Mét tæ s¶n xuÊt cã kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 720 s¶n phÈm theo n¨ng suÊt dù kiÕn Thêi gian lµm theo n¨ng suÊt t¨ng 10 s¶n phÈm mçi ngµy kÐm ngµy so víi thêi gian lµm theo n¨ng suÊt gi¶m ®i 20 s¶n phÈm mçi ngµy ( t¨ng, gi¶m so víi n¨ng suÊt dù kiÕn) TÝnh n¨ng suÊt dù kÕn theo kÕ ho¹ch (20) Bài : tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng 2, tổ vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy Bài : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ sản xuất vợt mức 15%, tổ sản xuất vợt mức 20%, đó cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiªu chi tiÕt m¸y ? IV d¹ng to¸n cã liªn quan h×nh häc: Bµi : C¹nh huyÒn cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 10 m Hai c¹nh gãc vu«ng h¬n kÐm 2m T×m c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c Bµi : Mét khu vên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 280m, ngêi ta lµm mét lèi ®i xung quanh vờn ( thuộc đất vờn) rộng 2m Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m TÝnh c¸c kÝch thíc cña vên Bµi : TØ sè gi÷a c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ 13/12 c¹nh cßn l¹i b»ng 15m TÝnh c¹nh huyÒn Bài : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu chiều rộng tăng thêm m và chiÒu dµi t¨ng thªm m th× diÖn tÝch sÏ t¨ng thªm 195 m TÝnh c¸c kÝch thíc cña miÕng đất Bài 5: Một hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dµi 10 m Th× diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt t¨ng thªm 200m2 TÝnh chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lóc ®Çu phÇn thø hai : h×nh häc A.Lý thuyÕt I hÖ thøc tam gi¸c vu«ng: Hệ thức cạnh và đờng cao: + b2=a b , ; c 2=a c , + h2=b, c , + a h=b c + 1 = + h2 b , c, HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: Tû sè lîng gi¸c: Sin= D K D K ; Cos= ; Tg= ; Cotg= H H K D + a2=b2 +c + a=b, +c , + , , b b c c = ; = c c , b2 b, (21) TÝnh chÊt cña tû sè lîng gi¸c: Sin α=Cos β 1/ NÕu α + β=900 Th×: Cos α =Sin β 2/Víi α nhọn thì < sin α *sin2 α + cos2 = *cotg α = cos α /sin α Tg α =Cotg β Cotg α =Tg β < 1, < cos α < *tg α = sin α /cos α *tg α cotg α =1 HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc: + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Sin góc đối: b=a SinB ; c=a SinC + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n Cos gãc kÒ: b=a CosC.; c =a CosB + Cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân tan góc đối: b c.tan B.; c b.tan gC + C¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh gãc vu«ng nh©n Cotg gãc kÒ: b=c CotgC ; c=b CotgB II §êng trßn: Sự xác định đờng tròn: Muốn xác định đợc đờng tròn cần biết: + T©m vµ b¸n kÝnh,hoÆc + Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm đờng kính; bán kính 1/2 đờng kính) , hoÆc + Đờng tròn đó qua điểm ( Khi đó tâm là giao điểm hai đờng trung trực hai đoạn thẳng nối hai ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến điểm đó) Tính chất đối xứng: + Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm đờng tròn + Bất kì đờng kính vào là trục đối xứng đờng tròn C¸c mèi quan hÖ: Quan hệ đờng kính và dây: + §êng kÝnh (hoÆc b¸n kÝnh) D©y ⇔ §i qua trung ®iÓm cña d©y Êy Quan hệ dây và khoảng cách từ tâm đến dây: + Hai dây ⇔ Chúng cách tâm + D©y lín h¬n ⇔ D©y gÇn t©m h¬n Vị trí tơng đối đờng thẳng với đờng tròn: + Đờng thẳng không cắt đờng tròn ⇔ Không có điểm chung ⇔ d > R (d là khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng; R là bán kính đờng tròn) + Đờng thẳng cắt đờng tròn ⇔ Có điểm chung ⇔ d < R + Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn ⇔ Có điểm chung ⇔ d = R Tiếp tuyến đờng tròn: Định nghĩa: Tiếp tuyến đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó Tính chất: Tiếp tuyến đờng tròn thì vuông góc với bán kính đầu mút bán kÝnh (tiÕp ®iÓm) 3.DÊu hiÖu nhhËn biÕt tiÕp tuyÕn: §êng th¼ng vu«ng gãc t¹i ®Çu mót cña b¸n kÝnh cña đờng tròn là tiếp tuyến đờng tròn đó III.QUAN HỆ CUNG VÀ DÂY GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN Với hai cung nhỏ đường tròn, hai dây căng hai cung nhau, AB CD AB CD hai cung căng hai dây nhau: Đường kính qua điểm chính cung thì qua trung điểm dây căng cung MB IA IB MA o Đường kính qua điểm chính cung thì vuông góc A I M B (22) MA MB OM AB với dây căng cung và ngược lại Đường kính qua trung điểm dây không qua tâm thì vuông góc với dây và chia cung bị căng hai phần MB IA IB OI AB ; MA Đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây và chia cung bị căng hai phần OI AB IA IB ; MA MB o C D A B Hai cung chắn hai dây song song thì AB / / CD AC BD BOC sd BC A Số đo góc tâm số đo cung bị chắn BAC sd BC Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Số đo góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung nửa số đo cung bị chắn BAx sd AB o B C B x o A 10 Trong đường tròn : a) Các góc nội tiếp chắn các cung ACB DFE AB DE M AMB ACB AB b) Các góc nội tiếp cùng chắn cung thì (cùng chắn ) c) Các góc nội tiếp chắn các cung thì AB DE ACB DFE C d) Góc nội tiếp nhỏ 90o có số đo o C nửa số đo góc tâm cùng chắn cung ACB AOB (cùng chắn cung AB ) F C o E D A B B o A B A e) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp o thì chắn nửa đường tròn ACB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) f) Góc tạo tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung thì B BAx BCA x o ( cùng chắn cung AB) 11.Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo A A hai cung bị chắn C AC ) BED sd ( BD (góc có đỉnh bên đường tròn) E B 12 Số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn AB) CED sd (CD (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn) D C A E o IV TỨ GIÁC NỘI TIẾP a) Tính chất: Tổng hai góc đối tứ giác 1800 b) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có đỉnh cách điểm o B D C (23) - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới góc v Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn: - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n b¸n kÝnh R : Rn l 180 IV DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn: - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cung n0: S R n lR 360 VI CÁC CÔNG THỨC TÍNH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hình trụ: Sxq = Cđáy.h (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), Sxq=2 r.h (r: bán kính đáy) V= Sđáy.h (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), V= r2.h (r: bán kính đáy) 1 Hình nón: Sxq = rl (l: đường sinh), V= Sđáy.h , V= r2.h Hình cầu: Sxq =4 r2 , V= r3 B mét sè bµi to¸n tæng hîp h×nh häc líp I Mét sè bµi to¸n vÝ dô cã lêi gi¶i Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H là giao điểm AC và BD, I là giao điểm OM và AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đường tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB là hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường thẳng d Lời giải: (HS tự làm) Vì K là trung điểm NP nên OK NP ( quan hệ đường kính và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900 K, A, B cùng nhìn OM góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đường tròn (24) Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực AB => OM AB I Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông A có AI là đường cao Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao => OI.OM = OA hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2 Ta có OB MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi Theo trên OAHB là hình thoi => OH AB; theo trên OM AB => O, H, M thẳng hàng(Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H và cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đường cao => BE AC => BEC = 900 (25) CF là đường cao => CF AB => BFC = 900 Như E và F cùng nhìn BC góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 900 ;  là góc chung AE AH BE BC => AEH ADC => AD = AC => AE.AC = AH.AD * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 900 ; C là góc chung => BEC ADC => AD = AC => AD.BC = BE.AC Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 = C2 => CB là tia phân giác góc HCM; lại có CB HM => CHM cân C => CB là đương trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn => C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E1 = E2 => EB là tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC là tia phân giác góc DFE mà BE và CF cắt H đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE C minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đường tròn Chứng minh ED Chứng = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm (26) Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE là đường cao => BE AC => BEA = 900 AD là đường cao => AD BC => BDA = 900 Như E và D cùng nhìn AB góc 90 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD là đường cao nên là đường trung tuyến => D là trung điểm BC Theo trên ta có BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED là trung tuyến => DE = BC 4.Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => E1 = A1 (1) Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân D => E3 = B1 (2) Mà B1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE E Vậy DE là tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn Chứng minh BM // OP Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN và OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Lời giải: (HS tự làm) 2.Ta có góc ABM nội tiếp chắn cung AM; é AOM là góc tâm (27) AOM chắn cung AM => ABM = (1) OP là tia phân giác AOM ( t/c hai tiếp AOM tuyến cắt ) => AOP = (2) Từ (1) và (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) 3.Xét hai tam giác AOP và OBN ta có : PAO=900 (vì PA là tiếp tuyến ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = góc NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và nhau) Tứ giác OBNP là hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON AB => ON PJ Ta có PM OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt I nên I là trực tâm tam giác POJ (6) Dễ thấy tứ giác AONP là hình chữ nhật vì có góc PAO = góc AON = góc ONP = 900 => K là trung điểm PO ( t/c đường chéo hình chữ nhật) (6) AONP là hình chữ nhật => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt Ta có PO là tia phân giác APM => APO = MPO (8) Từ (7) và (8) => IPO cân I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK PO (9) Từ (6) và (9) => I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K ) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF là tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH là hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Lời giải: Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => KMF = 900 (vì là hai góc kề bù) AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => góc KEF = 900 (vì là hai góc kề bù) => KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK là tứ giác nội tiếp (28) Ta cÓ IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM IB ( theo trên) Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao => AI2 = IM IB Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí ……) => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1) Theo trên ta có éAEB = 900 => BE AF hay BE là đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân B BAF là tam giác cân B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm AF (3) Từ BE AF => AF HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác éHAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường) (HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân AKFI là hình thang cân M là trung điểm cung AB Thật vậy: M là trung điểm cung AB => ABM =MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) Tam giác ABI vuông A có ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M là trung điểm cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) các điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Lời giải: Tam giác DEF có ba góc nhọn (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt 2.DF // BC ta có AD = AF => tam giác ADF Tứ giác BDFC nội tiếp cân A => ADF = AFD < 900 => BD BM sđ cung DF < 1800 => DEF < 900 ( vì = CB CF góc DEF nội tiếp chắn cung DE) Chứng minh tương tự ta có DFE < 900; EDF < 900 Như tam giác DEF có ba góc nhọn Ta có AB = AC (gt); AD = AF AD AF (theo trên) => AB AC => DF // BC DF // BC => BDFC là hình thang lại có B = C (vì tam giác ABC cân) => BDFC là hình thang cân đó BDFC nội tiếp đường tròn (29) Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (nội tiếp cùng chắn cung DI); CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF BD BM => BDM CBF => CB =CF Bài Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : 1.Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD 2.Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp AC // FG.4 Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc chung => DEB CAB Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( vì ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 F và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le nên suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài Cho tam giác ABC có đường cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với các cạnh AB AC Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó 2.Chứng minh MP + MQ = AH 3.Chứng minh OH PQ (30) Lời giải: Ta có MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 P và Q cùng nhìn BC góc 900 nên P và Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM => APMQ là tứ giác nội tiếp * Vì AM là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là trung điểm AM Tam giác ABC có AH là đường cao = BC.AH => SABC Tam giác ABM có MP là đường cao => SABM = AB.MP Tam giác ACM có MQ là đường cao => SACM = AC.MQ Ta có SABM + SACM = SABC => AB.MP 1 + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH là đường cao nên là đường phân giác => HAP = HAQ => HP HQ ( tính chất góc nội tiếp ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH là tia phân giác góc POQ Mà tam giác POQ cân O ( vì OP và OQ cùng là bán kính) nên suy OH là đường cao => OH PQ II Mét sè bµi tËp luyÖn tËp Bµi Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H và cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chøng minh r»ng: C¸c tø gi¸c AEHF; BEHD néi tiÕp Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC 10.Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam gi¸c DEF Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trên đờng tròn Chøng minh ED = BC Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (O) 10.Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung ®iÓm cña IK Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trên đờng tròn Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài Cho đờng tròn (O; R), từ ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất kì ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng trßn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 10.Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi 11.Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng 12.T×m quü tÝch cña ®iÓm H M di chuyển trên đờng thẳng d Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng trßn t¹i D c¾t CA ë E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n (31) Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB KÎ tiÕp tuyÕn Ax vµ lÊy trªn tiÕp tuyến đó điểm P cho AP > R, từ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chøng minh BM // OP §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyÕn Ax Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E, c¾t tia BM t¹i F; tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng trßn cho AM < MB Gäi M’ lµ ®iÓm đối xứng M qua AB và S là giao ®iÓm cña hai tia BM, M’A Gäi P lµ ch©n đơng vuông góc từ S đến AB Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cùng nằm trên đờng tròn Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (0) Bài Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyến N đờng tròn P Chứng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh CM CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè định nào Bµi 10 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung hai nửa đờng tròn Bài 11 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi I là trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I qua A, trên (I) lấy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chứng minh các đờng tròn (I) vµ (O) tiÕp xóc ngoµi t¹i A Chøng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB cã diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 12 Cho h×nh vu«ng ABCD, ®iÓm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự H vµ K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyÓn trªn c¹nh BC th× H di chuyển trên đờng nào? Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O) Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC; E là điểm đối xứng H qua BC; F là điểm đối xứng H qua trung điểm I cña BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F nằm trên đờng tròn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Bài 14 BC là dây cung đờng trßn (O; R) (BC 2R) §iÓm A di động trên cung lớn BC cho O luôn nằm tam giác ABC Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy t¹i H (32) Chứng minh tam giác AEF đồng d¹ng víi tam gi¸c ABC Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát Bài 15 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = 2/3 AO KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi Ac c¾t MN t¹i E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh tam giác AME đồng d¹ng víi tam gi¸c ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt Bµi 16 Cho tam gi¸c nhän ABC , KÎ các đờng cao AD, BE, CF Gọi H là trực t©m cña tam gi¸c Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC Chøng minh : C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp Hai tam giác HNP và HCB đồng d¹ng Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng Bài 17 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC, B (O), C (O’) tiÕp tuyÕn chung t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp Chøng minh BAC = 900 TÝnh sè ®o gãc OIO’ Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm Bài 18 Cho hai đờng tròn (O) ; (O’) tiếp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi, B(O), C (O’) TiÕp tuyÕn chung t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC Chøng minh : Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt ME.MO = MF.MO’ OO’ là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC BC là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính OO’ Bài 19 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) C Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp Chøng minh NE AB Gọi F là điểm đối xứng với E qua M Chøng minh FA lµ tiÕp tuyÕn cña (O) Chøng minh FN lµ tiÕp tuyÕn cña đờng tròn (B; BA) Bµi 20 : Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhọn Đờng tròn (O) đờng kính BC cắt AB; AC t¹i E vµ D BD c¾t CE t¹i H; AH c¾t BC t¹i I VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AM vµ AN cña (O) Chøng minh: C¸c tø gi¸c ADHE; ADIB néi tiÕp đợc CD.CA + BE BA = BC2 M; H; N th¼ng hµng Tính chu vi đờng tròn ngoại tiếp tø gi¸c ADHE nÕu tam gi¸c ABCD là tam giác có cạnh b»ng 2a Bài 21.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C n»m ngoµi (O) , C thuéc tia AB P lµ điểm nằm chính cung lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB D ,tia CP cắt đờng ròn I , AB cắt QI K Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp Chøng minh QB2 = QK.QI Chøng minh CI.CP = CK.CD Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c gãc ngoài đỉnh I tam giác AIB chøng minh CK.CD = CA.CB Bµi 22 Cho (O;R) tiÕp xóc ngoµi (O'; r) (R > r) C AC,BC là hai đờng kính cña (O) vµ (O') DE lµ d©y cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB; đờng thẳng DC cắt (O') F Chứng minh r»ng: Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? ®iÓm B,E,F th¼ng hµng Tø gi¸c MDBF néi tiÕp DB c¾t (O') t¹i G Chøng minh DF,EG,AD đồng quy Bµi 23 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O) ,P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB kh«ng chøa C vµ D Hai d©y PC ,PD c¾t d©y AB t¹i E,F ; c¸c d©y AD, PC kÐo dµi (33) c¾t t¹i I C¸c d©y BC, PD kÐo dµi c¾t t¹i K So s¸nh hai gãc CID vµ CKD Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp Chøng minh IK song song víi AB Chứng minh AP là tiếp tuyến đờng tròn qua điểm A,F,D c KÎ MH vu«ng gãc víi AB (H thuéc AB) Gäi K lµ giao ®iÓm cña MH vµ EB So s¸nh MK víi KH C©u (1 §iÓm) TÝnh tæng S = 1 1 100 99 99 100 ( gîi ý c©u 5: NhËn ThÊy: (n 1) n n n 1 = (n 1) n n n 1 (n 1) n n n 1 2 (n 1) n n (n 1) (n 1)n n PhÇn III Một số đề tự luyện §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 01 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) Cho hµm sè bËc nhÊt y = - x + b (1) a Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biÕn trªn R? Gi¶i thÝch? b Biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A(1;-2) Tìm b và vẽ đồ thị hµm sè (1) C©u 2: (2®iÓm) Cho biÓu thøc B = √a − : √a + (Víi √ a− a − √a √ a −1 a − √ a a>0, a ±1 ) a Rót gän biÓu thøc B b TÝnh gi¸ trÞ cña B a = + 2 c T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho B < C©u (2®iÓm) ( )( ) mx y 1 x y 334 Cho HÖ ph¬ng tr×nh =1 a Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh cho m b Tìm các giá trị m để hệ vô nghiÖm C©u ( ®iÓm) Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax vµ By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn nµy, kÎ tiÕp tuyÕn thø ba c¾t c¸c tiÕp tuyÕn Ax vµ By lÇn lît ë E cµ F a Chøng minh AEMO lµ tø gi¸c néi tiÕp b AM C¾t 0E t¹i P, BM c¾t OF t¹i Q Tø gi¸c MPOQ lµ h×nh g×? T¹i sao? n 1 Do đó tổng S đã cho đợc viết thành S= ( 1 1 )( ) ( 2 99 ) 1 100 ) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 02 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: x- = 2x + x2 – 3x + = x x 5 9x x x 0 C©u 2: (2®iÓm) cho biÓu thøc: x 8x x : 2 x 4 x x x x P= ( Víi x ; x ≠ ) d Rót gän biÓu thøc P e Tìm các giá trị x để P = -1 f Tìm m để với giá trị x > ta cã m ( x )P> x +1 C©u (2,5®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Theo kÕ ho¹ch hai tæ s¶n xuÊt 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I đã vợt møc 18% vµ tæ hai vît møc 21% V× vËy thời gian quy định họ đã hoàn thµnh vît møc 120 s¶n phÈm Hái sè s¶n phẩm đợc giao tổ theo kế hoạch C©u ( 3,5 ®iÓm) Cho đờng tròn (0), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = AO KÎ d©y MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung 10 (34) lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi AC c¾t MN t¹i E a Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh AME đồng dạng víi ACM vµ AM2 = AE AC c Chøng minh AE.AC – AI.IB = AC2 d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CME lµ nhá nhÊt HÕt (35) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 03 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau: 4x - = 2x + 2x2 +5x + = 3 x y 5 5 x y 23 x y 2 1 x y C©u 2: (1,5 ®iÓm) Rót gän c¸c biÓu thøc: a A = b B = 546 84 42 253 63 C©u (2,0 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong gìơ Nếu đội làm mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm mình công việc bao lâu C©u ( 3,0 ®iÓm) Cho tam giác ABC có các góc nhọn, A 45 Vẽ các đờng cao BD và CE tam gi¸c ABC Gäi H lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE a Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đợc đờng tròn b Chøng minh: HD = DC DE c TÝnh tû sè: BC C©u (1,0 ®iÓm) 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P ( x 1995) ( x 1996) ( Gîi ý c©u 5: ta cã P = -x - 1995+x +1996 x +1996 – x - 1995= Vậy P 1, đẳng thức xẩy và khi: (x+1996)(- x – 1995) 0 -1996 x - 1995 đo đó P đạt giá trị nhỏ là -1996 x - 1995) HÕt (36) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 04 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giá trị x để các biểu thức sau tồn tại: 2x a x x 10 x b c x ; ; d 2x 3x C©u 2: ( 2, ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – 2x – 3m - = a Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -1 b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu C©u (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = m x2 a Xác định m, biết đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = -3x + điểm M có hoành độ b Với m vừa tìm đợc câu a, chứng minh đó đồ thị hàm số và đờng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh y = kx – lu«n c¾t t¹i ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi mäi gi¸ trÞ cña k gọi x1, x2 tơng ứng là hoành độ A và B, chứng minh x1 – x2 C©u ( 3,0 ®iÓm) Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (0), gọi D là điểm chính cung nhỏ BC Hai tiÕp tuyÕn t¹i C vµ D víi dêng trßn (0) c¾t t¹i E Gäi P, Q lÇn lît lµ giao điểm các cặp đờng thẳng AB và CD; AD và CE a Chøng minh BC // DE b Chứng minh các tứ giác CODE; APQC nội tiếp đợc c Tø gi¸c BCQP lµ h×nh g×? C©u (1,0 ®iÓm) 1 4 Chøng minh r»ng: NÕu x,y, z >0 tho¶ m·n x y z th× 1 1 x y z x y z x y 2Z 1 x y x y ( Với x, y là các số đơng) ( Gîi ý c©u 5: Ta cã Thất áp dụng bất đẳng thức cối cho hai số dơng ta có: x y 2 xy vµ 1 2 x y xy nªn 1 1 ( )( x y ) 2 x y xy xy 1 x y xy 1 1 ( ) x y z ( x y ) ( x z ) x y x z áp dụng bắt đẳng thức trên ta có HÕt §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 05 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giá trị x để các biểu thức sau tồn tại: 1 x a x Câu 2: ( 2,0 điểm) b 3x 3x x 2x ; c x ; d x2 (37) Cho phương trình ẩn x: x2 -2(m + 1) x + 2m + = (1) a) Giải phương trình m = - b) Chứng minh với giá trị m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt c) Không giải phương trình hãy tìm m để A = x12 + x22 có giá trị C©u (2,0 ®iÓm) Cho hµm sè y = 4x - a Xác định tập xác định hàm số Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập xác định? Vì sao? b Trên mặt phẳng toạ độ, điểm A(1;2) có thuộc đồ thị hàm số không? Vì sao? c Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d): y = 4x -2 C©u : (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao AD, CE cắt H a Chứng minh : Tứ giác BDHE, ACDE nội tiếp b Kéo dài AD và CE cắt đường tròn (O) F và I Chứng minh : IF // DE c Đường kính BK đường tròn (O) cắt AF J Đường thẳng BK và AI cắt M Chứng minh : KM.BJ = BM.KJ d Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh : Ba điểm H, G, O thẳng hàng C©u (0,5 ®iÓm) 3 Cho A = 26 15 26 15 Chóng Minh r»ng: A = 3 (Gîi ý c©u 5: §Æt m= 26 15 , n = 26 15 Ta cã: m3+ n3 = 26 15 26 15 52 2 m.n = 26 (15 3) = 676 675 1 VËy A3=(m+n)3= m3+n3+3mn(m+n) = 52 +3A 3 (38) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 06 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2,0 ®iÓm) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a x2 - b x y y x x y Hái x = cã ph¶i lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 3x3- 4x2+2x-1 = kh«ng? Câu 2: ( điểm) x x x x1 x 1 Cho biÓu thøc P = a.Rót gän biªñ thøc P Víi x 0 ; x 1 b Tìm x để P < C©u (2,0 ®iÓm) Tæng sè tuæi cña t«i vµ em t«i n¨m b»ng 26 Khi tæng sè tuæi cña chóng t«i gấp lần tuổi tôi thì tuổi tôi đó gấp lần tuổi em tôi H·y tÝnh tuæi hiÖn cña mçi ngõ¬i chóng t«i Câu : (3,5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AC<AB) Đờng tròn đờng kính BC c¾t AB, AC theo thø tù t¹i E vµ F BiÕt BF c¾t CE t¹i H vµ AH c¾t BC t¹i D Chøng minh r»ng tø gi¸c BEFC néi tiÕp vµ AH vu«ng gãc víi BC Chøng minh AE AB = AF AC Goị là tâm đờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm BC Tính OK tû sè BC tø gi¸c BHOC néi tiÕp C©u (0,5 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= (2x-x2) (y – 2y2) (Gäi ý: v× víi x 2,0 y x 2 nªn 2-x 0 , ¸p dung B§T Cauchy ta cã x2 x (2 x x ) x( x 2) 1 (1) 1 y 1 y 1 ( y y ) y (1 y ) y 2 ta cã T¬ng tù víi Tõ (1) vµ (2) ta cãA DÊu = sÈy x= 2-x vµ 2y = 1-2y, ………….vËy…… ) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 07 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2,0 ®iÓm) Rót gän: 2 (2) (39) x y 2.CÆp sè (x;y) = (1;2) cã lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh: x y 3 kh«ng? Câu 2: ( điểm) 1 x : 1 x2 Cho biÓu thøc P = x Víi -1< x <1 a.Rót gän biªñ thøc P b Tìm x để P =3 C©u (2®) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh: Trong mét phßng häc cã mét sè ghÕ dµi NÕu xÕp mçi ghÕ ba häc sinh th× s¸u häc sinh kh«ng cã chç NÕu xÕp mçi ghÕ bèn häc sinh th× thõa mét ghÕ Hái líp cã bao nhiªu ghÕ vµ bao nhiªu häc sinh Câu (3,5đ) Cho đờng tròn (0,R) Đờng thẳng d cắt (0) A,B C thuộc d ngoài (0) Từ điểm chính P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D, CP cắt (0) điểm thø hai I, AB c¾t IQ t¹i K a Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b Chøng minh: CI.CP = CK.CD c Chøng minh IC lµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c AIB d A,B,C cố định, (0) thay đổi nhng luôn qua A,B Chứng minh IQ luôn qua điểm cố định C©u (0,5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4+ 2x3+ 5x2 + 4x - = 2 ( gîi ý c©u 5: ( x x 4) 2( x 2) x x 0 ( x x )2 0 HÕt (40) §Ò thi thö vµo líp 10 THPT §Ò sè 08 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) (Së GD §T Hµ TÜnh - §Ò thi TS vµo 10 – N¨m häc 2011 – 2012) C©u 1: ® a) Tìm m để đờng thẳng y = (2m – 1)x + song song với đờng thẳng y = 3x -1 b) Gi¶i hÖ pt: {2xx+2− 3y=4 y=1 C©u 2: 1,5 ® Cho biÓu thøc: P = ( 2−1√ a − 2+1√ a )( √2a +1) víi a> , vµ a 4 a) Rót gän P b) Tìm a để P > /2 C©u 3: (2 ®) a) Tìm tọa độ giao điểm y = x2 và y = -x + b) Xác định m để pt: x2 – x + – m = có hai nghiệm x1,2 thỏa mãn 4( 1 ) x1 x2 0 x1 x2 Câu 4: (3,5 đ) Trên nửa đờng tròn đờng kính BC, lấy hai điểm M, N cho M thuộc cung BN Gäi A lµ giao ®iÓm cña BM vµ CN H lµ giao ®iÓm cña BN vµ CM a) CMR: tø gi¸c AMHN néi tiÕp b) CM : Δ ABN đồng dạng Δ HCN c) TÝnh gÝ trÞ cña S = BM.BA + CN.CA C©u 5: ( ®) Cho a, b, c > 9/4 T×m GTNN cña a b c + + Q= √ b −3 √ c −3 √ a −3 Gîi ý lêi gi¶i c©u khã vµ biÓu ®iÓm: Ta cã : a +2 √ b− ≥ √b (BDT Co si) √ b −3 Tơng tự ta CM đợc Q a = b =c = §Ò thi nµy chØ cÇn chó ý ®iÒu kiÖn ë c©u 2b) vµ c©u 3b) (41)