Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho 1 ; sin ax ; cos ax thành tổng của các hàm số có một trong các dạng : ax b rồi áp dụng các công th[r]
(1)ĐẠO HÀM A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa đạo hàm điểm y f x 1.1 Định nghĩa : Cho hàm số f ' x0 lim x điểm là : 1.2 Chú ý : x x0 xác định trên khoảng x0 a ; b , đạo hàm hàm số f x f x0 x x0 x x x0 ; y f x0 x f x0 Nếu kí hiệu a ; b và f ' x0 lim thì : f x0 x f x0 x x0 x x0 y x x lim y f x x Nếu hàm số có đạo hàm thì nó liên tục điểm đó Ý nghĩa đạo hàm y f x C 2.1 Ý nghĩa hình học: Cho hàm số f ' x0 có đồ thị là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C hàm số y f x M x0 , y0 C y f x M x , y C điểm 0 là : y f ' x0 x x0 y0 2.2 Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : v t0 s ' t0 s s t t thời điểm là Q Q t I t0 Q ' t0 t Cường độ tức thời điện lượng thời điểm là : Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm u u x ; v v x ; C : 3.1 Các quy tắc : Cho là số u v ' u 'v ' C.u C.u u.v ' u '.v v '.u C.u u u '.v v '.u C , v 2 v u u v y f u , u u x yx yu u x Nếu 3.2 Các công thức : C 0 ; x 1 x n.x x 2 x sin x cos x sin u u.cos u cos x sin x cos u u.sin u tan u n tan x n , x 0 cos x cot x sin x u n.u u , n , n 2 u 2uu , u 0 n n u cos u u cot u sin u (2) Vi phân 4.1 Định nghĩa : y f x Cho hàm số y f x x x có đạo hàm vi phân hàm số điểm là : df x0 f x0 x Cho hàm số y f x y f x Kí hiệu : 4.2 Công thức tính gần đúng : có đạo hàm f x thì tích f x x df x f x x f x dx gọi là vi phân hàm số hay dy y dx f x0 x f x0 f x0 x Đạo hàm cấp cao 5.1 Đạo hàm cấp : f x f x Định nghĩa : Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s f t a t0 f t0 t thời điểm là n n f x f x , n , n 2 5.2 Đạo hàm cấp cao : B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : Tìm đạo hàm theo định nghĩa 1.1 Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có cách sau : Cách : Theo quy tắc o Bước : Cho x số gia x và tìm số gia y tìm o y Bước : Tìm giới hạn x x y f x x f x y Lập tỉ số x lim f ' x0 lim f x f x0 x x0 x x0 Cách : Áp dụng công thức: 1.2 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau theo định nghĩa các điểm đã ra: f x x3 x f x x 2 2x x x0 1 a) ; b) Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau theo định nghĩa các điểm đã ra: x x x 2 f x 3x f x 10 x 16 b) x 3 a) ; Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau theo định nghĩa : a) y x x ; b) x x 2 y f x x2 3x 1.3 Bài tập áp dụng : Bài Tìm đạo hàm các hàm số sau theo định nghĩa các điểm đã : a) c) f x x2 3x f x x 3 x 3x x 4 x2 ; ; b) f x 2x x2 d) f x cos x x 1 ; x0 ; (3) Bài Xét tính liên tục và tồn đạo hàm và tính đạo hàm các hàm số sau đây trên x2 x x 2 x a x 0 f x x f x 3 x x 1 x bx x ; a) ; b) f x x 3x Bài c) ; d) Tìm đạo hàm các hàm số sau theo định nghĩa : a) f x x3 3x2 x ; f x 3 x b) x f x x 1 c) Bài a) f x x 4x c) Có bao nhiêu tiếp tuyến C : y x sin x ; ; ; d) sin x cos x x f x x 0 2 x b) ; f x x 3x ; f x ; d) Tìm đạo hàm các hàm số sau theo định nghĩa : Bài f x x f x tan x 1 3x x có hệ số góc âm ? 1.4 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau : y 2 x x 2 x y 2x 1 3x y b) y ( x 2)(1 x ) ; a) Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau : x 3x x ; a) ; b) Ví dụ Chứng minh các công thức tổng quát sau a) ax bx c a1x b1x c1 x x2 y x x2 c) a b a c b c x 2 x a1 b1 a1 c1 b1 c1 a x b1x c1 b c a.a1x 2a.b1 x ax bx c a1 b1 a1x b1 a1x b1 b) ; ( a , b , c , a1 , b1 , c1 là số) ; ( a , b , c , a1 , b1 là số) Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau : a) y ( x x 1) ; b) Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau : a) y x x ; y ( x 1)2 ( x 1) b) y ( x 2) x y ; c) ( x x 5)2 ; c) y x Ví dụ Tìm đạo hàm các hàm số sau : a) y sin x cos x y ; b) sin x cos x sin x cos x tan x y tan x ; c) Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp có thể ta hãy rút gọn hàm số hãy tính đạo hàm , đặc biệt là các hàm số có chứa các hàm số lượng giác (4) Tìm đạo hàm các hàm số sau : Ví dụ a) y (sin x cos x ) ; b) y tan x cot x ; y tan x tan3 x tan x y tan sin cos3 x c) ; d) y f x x3 x mx Ví dụ Cho hàm số : Tìm m để : f x 0 x f x , x 0; a) c) ; f x , x 0; f x Ví dụ Cho hàm số : a) f x , x ; d) ; b) f x 0 , x ; m m x x m x 5m Tìm m để : f x 0 ; b) có hai nghiệm cùng dấu Bài Tìm đạo hàm các hàm số sau : 3 y x x x x 4x a) ; x y 4 c) x 3 x 2 x ; x b a2 y c x a x e) Bài 1 y x x 0,5 x b) ; b d) y x x x x ; ( a , b , c là số) Tìm đạo hàm các hàm số sau : a) y (2 x 3)( x x) y ; d) ; b) y x (2 x 1)(3 x 2) ; 2x x ; e) y x 1 1 x y c) 2x ; y x x x ; y 2x 4x g) 2x 1 y x ; h) x ; i) y 5x x x 1 ; k) y Bài x x 1 x2 x Tìm đạo hàm các hàm số sau : a) y (2 x x x 1) c) ; y ( x x 1)3 ( x x 1) ; e) y x x g) y 2x y 3 x 3 i) b) ( x x 1) d) y x x y x x x 2 ; x2 ; ; f) y x ; h) y x x ; ; k) y x x2 f) (5) Bài Tìm đạo hàm các hàm số sau : y sin x x a) c) y x y sin x sin x cos x sin x cos x y b) ; d) y 4sin x cos x.sin x ; y sin x cos x x 1 y tan g) tan x y tan x i) sin x cos x ; ; sin x cos x e) sin x cos3 x ; f) sin x x cos x cos x x sin x ; h) y tan x cot x ; ; k) y cot ; x2 ; l) y cos x sin x ; m) y (sin x cos x) ; 3 n) y sin x cos x ; o) y sin cos3 x ; x 2 y cot cos y sin cos cos3 x x p) ; q) cos x π π ;f ' f ( x )= Bài 10 a) Cho hàm số Tính f ' ( ) ; f ' ( π ) ; f ' 1+sin x cos x f f ' 3 y=f ( x ) = 3 b) Cho hàm số 1+sin x Chứng minh: () () Bài 11 Tìm đạo hàm các hàm số sau : a) y 3 sin x cos x sin x cos6 x ; y cos x 2cos x 3 sin x 2sin x 3 d) y ; ; sin x 3cos x sin x cos6 x 3cos x ; 2 2 y cos x cos x cos x e) sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos3 x cos x g) ; y x sin x Bài 12 Cho hàm số chứng minh : y a) b) y 3 sin x cos x cos x 2sin x 6sin x c) xy y ' sin x x 2cos x y 0 x tan sin x 2 y sin x ; f) ; y 2cos x , x ; h) ; y' x tan x b) cos x Bài 13 Cho các hàm số : f ( x )=sin x+cos x , g ( x ) =sin x+ cos6 x Chứng minh : f ' ( x ) − g ' ( x )=0 Bài 14 a) Cho hàm số y=√ x + √1+ x Chứng minh : √1+ x y '= y b) Cho hàm số y cot x Chứng minh : y ' y Bài 15 Giải phương trình y ' 0 biết : a) y sin x cos x c) y 3sin x cos x 10 x ; ; d) b) y cos x sin x ; y m 1 sin x 2cos x 2mx (6) y x3 2m 1 x mx Bài 16 Cho hàm số Tìm m để : a) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt ; b) y ' có thể viết thành bình phương nhị thức ; c) y ' 0 , x ; d) y ' , x ; ; e) y ' , x Bài 17 Cho hàm số y mx m 1 x mx 3 Xác định m để : a) y ' 0 , x b) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm ; c) y ' 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12 x22 3 mx x ; x2 Bài 18 Cho hàm số Xác định m để hàm số có y ' 0, x Bài 19 Tìm các giá trị tham số m để hàm số: y x x mx m y Bài 20 có y ' 0 trên đoạn có độ dài y mx m x 10 1 m laø tham soá Cho hàm số nghiệm phân biệt Xác định m để hàm số có y ' 0 có Viết phương trình tiếp tuyến đường cong 2.1 Phương pháp : Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến đồ thị y f ' x0 x x0 y0 C : y f x M x0 ; y0 , có phương trình là : (1) Khi biết hệ số góc tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến đồ thị M x0 ; y0 f ' x0 k là tiếp điểm C : y f x có hệ số góc là k thì ta gọi (1) x Giải phương trình (1) tìm suy y0 f x0 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : Chú ý : y k x x0 y0 M x0 , y0 C k f x0 tan Hệ số góc tiếp tuyến là Trong đó là góc chiều dương trục hoành và tiếp tuyến Hai đường thẳng song song với thì hệ số góc chúng Hai đường thẳng vuông góc tích hệ số góc chúng Biết tiếp tuyến qua điểm A x1 ; y1 Viết phương trình tiếp tuyến Vì tiếp tuyến qua : y f x M x0 ; y0 : y f ' x0 x x0 y0 1 A x1 ; y1 y1 f ' x0 x1 x0 f x0 * Giải phương trình(*) tìm x0 vào (1) suy phương trình tiếp tuyến 2.2 Các ví dụ minh họa : Cho đường cong Ví dụ C : y f x x3 3x Viết phương trình tiếp tuyến C sau : a) Tại điểm M 1 ; 2 b) Tại điểm thuộc ; C và có hoành độ x0 ; các trường hợp (7) C với trục hoành A ; 4 d) Biết tiếp tuyến qua điểm c) Tại giao điểm Ví dụ Cho đường cong C : y 3x 1 x C d : x y 21 0 ; C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : x y 0 ; b) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : c) Viết phương trình tiếp tuyến a) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x y 0 góc 300 y x3 x x C Trong tất các tiếp tuyến đồ thị C , hãy tìm tiếp Ví dụ Cho hàm số tuyến có hệ số góc nhỏ y x2 2x 1 Ví dụ Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc tọa độ O (Khối A – 2009) Ví dụ Cho hàm số y x x C tiếp tuyến với đồ thị Tìm các điểm thuộc đồ thị C mà qua đó kẻ và C (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999) C Ví dụ Cho là đồ thị hàm số y x x Chứng minh tiếp tuyến điểm bất kì trục tung điểm cách gốc tọa độ và tiếp điểm 2.3 Bài 21 C cắt Bài tập áp dụng: Cho hàm số C : y x2 2x Viết phương trình tiếp với C : x 2 ; a) Tại điểm có hoành độ b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : x y 0 ; c) Vuông góc với đường thẳng : x y 2011 0 ; d) Biết tiếp tuyến qua điểm 3x y 1 x Bài 22 Cho hàm số : A ; 0 C C điểm M ; 1 ; C giao điểm C với trục hoành; b) Vết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C với trục tung ; c) Viết phương trình tiếp tuyến C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 0 ; d) Viết phương trình tiếp tuyến C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : x y 0 e) Viết phương trình tiếp tuyến a) Viết phương trình tiếp tuyến Bài 23 Cho hàm số : y x3 x C a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C điểm b) Chứng minh các tiếp tuyến khác đồ thị I ; 2 C không qua I (8) Bài 24 Cho hàm số y x x2 a) Tại điểm có hoành độ C Tìm phương trình tiếp tuyến với C : x0 ; d : x y 0 b) Song song với đường thẳng : y x 3mx m 1 x 1 m Cho hàm số , là tham số thực Tìm các giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ x qua A 1 ; 2 điểm (Dự bị A1 - 2008) 3x 1 y 1 x 1 Bài 26 Cho hàm số Tính diện tích tam giác tạo các trục tọa độ và tiếp tuyến Bài 25 đồ thị hàm số (1) điểm M ; 5 (Dự bị D1 - 2008) Bài 27 Cho hàm số thẳng Bài 28 d : y 3x C y x 0 y x x x C 2x x C biết tiếp tuyến tạo với đường góc 30 Cho hàm số có hệ số góc lớn y Bài 29 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C Cho hàm số Gọi vuông góc với đường thẳng IM Trong tất các tiếp tuyến đồ thị I ; 2 Tìm điểm M C C , hãy tìm tiếp tuyến cho tiếp tuyến C M (Dự bị B2 - 2003) 2x y C M C C M cắt hai trục x 1 Bài 30 (*) Cho hàm số Tìm điểm , biết tiếp tuyến tọa độ A , B và tam giác OAB có diện tích (Khối D - 2007) x C C cho và hai x Bài 31 (*) Cho hàm số : Viết phương trình tiếp tuyến d : x 1 ; d : y 1 cắt tạo thành tam giác cân đường (Dự bị D2 - 2007) y x C A 1; 1 C và hai x 1 Bài 32 Cho hàm số Chứng minh qua điểm kẻ hai tiếp tuyến với y tiếp tuyến đó vuông góc với 4 A ; y x3 x x C Bài 33 (*) Cho hàm số Qua điểm có thể kẻ tiếp tuyến đến đồ thị C Viết phương trình các tiếp tuyến Bài 34 (*) Cho hàm số C y x2 x (C ) I ; 0 x 1 Gọi Chứng minh không có tiếp tuyến nào qua điểm I (Dự bị B2 - 2005) Bài 35 (*) Cho hàm số y x x C thể kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị C Tìm tất các điểm thuộc trục tung cho từ đó có (9) Tìm vi phân hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân 3.1 Phương pháp : Dựa theo định nghĩa và công thức sau : Cho hàm số y f x Kí hiệu : y f x có đạo hàm f x thì tích f x x gọi là vi phân hàm số df x f x x f x dx hay dy y dx f x0 x f x0 f x0 x 3.2 Các ví dụ minh họa : Ví dụ Tìm vi phân các hàm số sau : y x 3x x a) ; Ví dụ Tìm vi phân các hàm số sau : b) y x sin x x x sin x 1 x3 x cot x a) ; b) Ví dụ Tính gần đúng các giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) : y a) y tan x 8,99 ; b) cos 46 c) tan 59 45' ; Bài tập áp dụng: 3.3 Tìm vi phân các hàm số sau : 2x y x 5x a) Bài 36 b) y ( x x ) ; cos x y cos x ; d) c) ; f) y sin(cos x ) cos(sin x ) ; 2 y 32 ; x 1 x y cot (2 x ) e) sin x cos3 x sin x.cos x Bài 37 Cho hàm số Chứng minh đẳng thức : y.dy cos x.dx 0 Bài 38 Tính gần đúng các giá trị sau (lấy chữ số thập phân kết quả) : a) 4,02 ; b) tan 44 30' ; c) 7,97 y Đạo hàm cấp cao 4.1 Phương pháp : Dựa theo các định nghĩa sau : Đạo hàm cấp : f x f x n n f x f x , n , n 2 Đạo hàm cấp cao : Chú ý : Để tìm công thức tính đạo hàm cấp n hàm số ta tìm đạo hàm cấp , , … sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp n và chứng minh công thức đó phương pháp quy nạp 4.2 Các ví dụ minh họa : (10) Ví dụ Tìm đạo hàm các cấp đã các hàm số sau : y x x 5x x a) Tìm y , y ; b) y x 4 x Tìm y , y, y ; c) y x x Tìm y Ví dụ Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số ra: a) y y 0 y x x 2 x y x y ; y 0 y x.tan x b) * Ví dụ Chứng minh quy nạp các công thức sau đúng n : sin ax n a) ax b n a n sin ax n cos ax ; b) n n cos ax ; n 1 a n n! n 1 ax b c) Ví dụ Tìm các đạo hàm cấp n các hàm số sau : y x 1 2x a) Ví dụ Tìm các đạo hàm cấp n các hàm số sau : 4 a) y sin x cos x 4.3 ; ; b) y x 3x x 1 b) y 8sin x.cos3x.cos x Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n hàm số , ta hãy biến đổi hàm số đã cho ; sin ax ; cos ax thành tổng các hàm số có các dạng : ax b áp dụng các công thức ví dụ trên , dự đoán công thức đạo hàm cấp n hàm số đã cho và chứng minh lại quy nạp (nếu cần) Bài tập áp dụng: Tìm đạo hàm các cấp đã các hàm số sau : a) y x.cos x tìm y ; b) y sin x tìm y ; Bài 39 x 1 5 tìm y ; Bài 40 Chứng minh các đẳng thức sau : xy y ' sin x xy " 0 a) y=x sin x ; ¿ b) 18 ( y −1 ) + y =0\} \{ y=cos x ; ¿ ¿ sin x +cos3 x c) y +y=0\} \{ y= ; 1− sin x cos x ¿ c) y x2 3x y 4 x d) tìm y 4 xy y 40 y x2 y d) ; ¿ x−3 e) y ' 2=( y − ) y \} \{ y= ; x+ ¿ ¿ f) ( x +1 ) y +4x y' - y=0\} \{ y=√ x + √1+ x ; ¿ 2 x y " xy ' k y 0 y=( x+ √ x 2+ )k , k g) Bài 41 Tìm đạo hàm cấp n các hàm số sau : (11) a) b) y y y 2x x2 x x ; x2 x2 2x ; d) y 8sin x.sin x.sin x c) ; d) y x2 5x x 3x ; 6 e) y sin x cos x ; n 2n y 1 32 n y f) Cho y cos3x Chứng minh ; (12)