Bài 2 : Tìm một số có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục gấp đôI chữ số hàng đơn vị và tích của hai số đó chia hết cho tổng của chúng... còng bÞ nhèt.[r]
(1)Các bài toán số học và đại số PTCS Ch¬ng I Sè NGUY£N I KIÕN THøC C¥ B¶N Chia cã d vµ chia hÕt q ,r a , Cho hai sè nguyªn a vµ b (b ≠ ) tÊt cã nhÊt mét cÆp sè nguyªn ( ) cho a = bq + r ,ở đó 0≤ r < b , q gọi là thơng , r gọi là số d phép chia a cho b NÕu r = nghÜa lµ a = b q th× ta nãi a chia hÕt cho b hay a lµ béi cña b kÝ hiÖu a b Ta cßn nãi b chia hÕt cho a hay b lµ íc cña a b , Mét sè tÝnh chÊt cÇn lu ý : + NÕu a b vµ b a th× a ± b + NÕu a b vµ b c th× a c + NÕu a m vµ b m th× a ± b m c , Mét sè dÊu hiÖu chia hÕt : - Một số chia hết cho và chữ số tận cùng số đó là chẵn - Mét sè chia hÕt cho vµ chØ chì sè tËn cïng lµ hoÆc - Mét sè chia hÐt cho ( cho ) vµ chØ tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho ( cho 9) ¦íc chung lín nhÊt – Béi chung nhá nhÊt a ; a ; ; an lµ íc chung lín nhÊt cña n sè a , Sè lín nhÊt cña c¸c íc chung cña a ; a ; ; a n) KÝ hiÖu ( Ước chung lớn n số chia hết cho ớc số chung bất kì n số đó a ; a ; ; an gäi lµ béi chung nhá nhÊt cña n sè b , Sè d¬ng nhá nhÊt c¸c béi sè chung cña đó a ;a ; ;a n KÝ hiÖu Bội chung nhỏ n số là ớc bội chung bất kì n số đó a ; a ; ; a n gäi lµ c¸c sè nguyªn tè cïng nÕu íc chung lín nhÊt cña c , C¸c sè nguyªn chóng b»ng d , Mét sè kÕt qu¶ cÇn lu ý : + NÕu íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cña n sè b»ng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch thõa sè a + NÕu a.bc vµ ( ; c ) = th× b c + NÕu (a ; c ) = th× (ab; c ) = (b ; c) a a a a ; a ; ; an;c ) = Do đó ( ; c ) ; ( ; c ) ; … ; ( n ; c ) = thì ( a;b a;b ab Am ; Am ; ; Am n vµ + NÕu + Am m m n ( m ; n ) = ( mäi i ≠ j ) th× Sè nguyªn tè – Hîp sè a , Sè tù nhiªn lín h¬n cã hai íc lµ vµ chÝnh nã gäi lµ sè nguyªn tè Sè tù nhiªn lín h¬n kh«ng lµ sè nguyªn tè gäi lµ hîp sè b , Mọi số tự nhiên lớn phân tích đợc số nguyên tố và phân tích đó là nhÊt ( kh«ng kÓ thø tù c¸c thõa sè ) c , ¦íc nhá nhaq¸t lín h¬n cña mét sè tù nhiªn lín h¬n lµ mét sè nguyªn tè d , TÝch cña c¸c thõa sè chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× tÊt cã mét thõa sè chia hÕt cho sè p II Mét sè bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i : Chia hÕt vµ chia cã d : Bài toán : Một số chia hết cho thì d , chia cho d Hỏi số đó chia cho 56 thì d bao nhiªu ? Ph©n tÝch t×m lêi gi¶i : (2) §Ó t×m sè d r chia sè nguyªn a cho sè nguyªn b , ta t×m c¸ch biÓu diÔn b a = b.q + r víi ≤ r < Gi¶i : C¸ch : Gäi sè bÞ chia lµ a Tõ gi¶ thiÕt ta cã a = 7.q1 + vµ a = q2 + ( q1 ; q2 Z ) Do đó a = 56.q1 + 48 và a = 56 q2 + 35 Suy a = 56 (q1 - q2 ) + 13 VËy sè d lµ 13 C¸ch : Tõ a = 7.q1 + = q2 + ta cã q1 - q2 = q2 - VËy q2 - = 7.t ( t Z ) hay q2 = 7.t + Thay vào ta đợc a = 56.t + 13 Suy sè d lµ 13 Bµi to¸n : Khi chia sè nguyªn a cho d ; chia cho d Hái sè d chia sè a cho 48 ? Gi¶i : Theo gi¶ thiÕt ta cã : a = 3.q1 + = q2 + Do đó q2 - = q2 – q1 = 3.(3 q2 - q1 ) VËy q2 - = t (( t Z) Hay q2 = t + Thay vào a ta đợc a = 24.t + 20 V× t Z nªn cã hai kh¶ n¨ng : t = 2.k hoÆc t = 2.k + Víi t = 2k th× a = 48 k + 20 Sè d lµ 20 Víi t = 2k + th× a = 48k + 44 Sè d lµ 44 VËy sè d lµ 20 hoÆc 44 Bài toán : Kí hiệu BSx là bội số nào đó số nguyên x a n = Bsb + r n 19931992 cho a , Chøng minh r»ng : a = Bsb th× (a;r Z) b , T×m sè d phÐp chia Gi¶i : a , V× a = BS b + r nªn a – r = Bs b Ta l¹i cã : a n - r n = (a r )(a n a n r n ) Bsb Hay a n Bsb r n b , Ta cã : 1993 Bs9 Theo ý a ta cã : 19931992 Bs9 41992 mµ 43 64 Bs9 1 664 Bs9 1664 1992 Bs9 1 Nªn (4 ) hay 1992 Bs9 1 Do đó 1993 VËy sè d cÇn t×m lµ Bài toán : Chia số 1993 cho số tự nhiên a ta đợc thơng là 30 T×m sè chi a vµ sè d phÐp chia nµy ? Giải : Gọi r là số d phép chia Theo giả thiết ta có : a = 30a + r đó 0<r<a Do đó : < 1993 – 30a < a nghĩa là 30a < 1993 và 1993 < 31a 1993 13 66 30 a < 30 1993 64 31 31 Hay vµ a > VËy a = 65 hoÆc 66 Khi a = 65 ta cã r = 43 Khi a = 66 ta cã r = 13 Bµi to¸n : Chøng minh r»ng nÕu hai sè nguyªn a vµ b chia cho sè nguyªn c mµ cïng cho mét sè d r th× hiÖu a – b chia hÕt cho c Gi¶i : V× a vµ b chia cho sè c cïng cã sè d r nªn ta cã : (3) a = c.q + r vµ b = c t + r đó a – b = c ( q – t ) c Bµi to¸n : Chøng minh r»ng tån t¹i sè chØ gåm ch÷ sè vµ chia hÕt cho 1993 1 Gi¶i : XÐt 1994 sè sau : 1;11;111; …; 1994so1 Trong 1994 số đó tất có hai số có hiệu chia hết cho 1993 Hiệu hai số đó gồm hai chữ và VËy tån t¹i sè chØ gåm hai ch÷ sè vµ chia hÕt cho 1993 Khai th¸c kÕt qu¶ : Ta thÊy hiÖu hai sè nãi trªn lµ sè cã d¹ng : 11 00 11.1 1.10k kchuso0 TÝch hai thõa sè 11…1 vµ 10 chia hÕt cho 1993 mµ (10 , 1993 ) = k k Nªn 11…1 1993 VËy ta cã kÕt qu¶ m¹nh h¬n : tån t¹i sè chØ toµn ch÷ sè chia hÕt cho 1993 Bµi to¸n : Thªm vµo bªn tr¸i cña sè 1986 mét ch÷ sè vµ thªm vµo bªn ph¶i sè Êy mét ch÷ số để đợc số chia hết cho 45 Gi¶i : Gäi ch÷ sè thªm vµo bªn ph¶i lµ x vµ sè thªm vµo bªn tr¸i lµ y , ta cã sè lµ : x1986 y 45 V× 45 = 5.9 vµ ¦CLN(5;9) = Nªn x1986 y 45 vµ chØ x1986 y 5 vµ x1986 y 9 §Ó x1986 y 5 ph¶i cã y =0 ho¨c y = Với y = để x1986 y 9 phải có : x + + + + + 9 đó ? VËy x = Với y = để x1986 y 9 phải có : x + + + + + 9 Vậy x = Do đó số cần tìm là 319860 và 719865 Bµi tËp t¬ng tù : Bài tập : Tổng hai số là 253 Chia số lớn cho số nhỏ đợc thơng là d Tìm hai số Bµi : Trong mét phÐp chia , sè bÞ chia b»ng 155 , vµ sè d b»ng 12 T×m sè chia vµ th¬ng ? Bµi : ¦íc chung lín nhÊt – Béi chung nhá nhÊt : Bµi to¸n : Mét xÝ nghiÖp cã ph©n xëng Ph©n xëng thø nhÊt cã 99 c«ng nh©n , ph©n xëng thứ hai có 63 công nhân , phân xởng thứ có 72 công nhân Trong đợt học tập chính trị toàn xí nghiệp , công nhân đợc chia thành tổ cho ngời phân xởng đợc chia cho tổ Có thể chia đợc bao nhiêu tổ ? Giải: Vì số ngời phân xởng đợc chia cho tổ , nên số ngời phân xởng chia hết cho số tổ Do đó số tổ là ƯC (99;63 và 72 ) , Số tổ nhiều tơng ứng với ¦CLN(99;63 vµ 72 ) Ta cã : 99 = 32.11 ; 63 = 32.7 ; 72 = 23 32 VËy ¦CLN( 63 ; 72 ; 99 ) = Do đó ta có thể chia đợc nhiều là tổ Bµi to¸n : Cã ba chiÕc thuyÒn , thuyÒn thøa nhÊt cø ngµy cÆp bÕn mét lÇn , thuyÒn thø hai cø ngµy cÆp bÕn mét lÇn vµ thuyÒn thø ba 10 ngµy NÕu ba thuyÒn cïng cÆp bÕn mét lÇn th× sau mÊy ngµy thuyÒn thø nhÊt cïng cÆp bÕn víi thuyÒn thø hai , thuyÒn thø nhÊt víi thuyÒn thø ba , thuyÒn thø hai víi thuyÒn thø ba vµ c¶ ba thuyÒn cïng cÆp bÕn mét lÇn n÷a ? Giải: Vì thuyền thứ ngày cặp bến lần nên số ngày để thuyền thứ cặp bến lµ B(6) T¬ng tù thuyÒn thø hai lµ B(5) , thuyÒn thø ba lµ B( 10) Do đó số ngày thuyền thứ và thuyền thứ hai lại cùng cặp bến là BCNN(6;5) = 30 (4) Sè ngµy cña thuyÒn thø hai vµ thuyÒn thø ba l¹i cïng cÆp bÕn lµ BCNN( 5;10) = 10 Sè ngµy thuyÒn thø nhÊt víi thuyÒn thø ba l¹i cïng cÆp bÕn lµ BCNN( 6; 10 ) = 30 Sè ngµy c¶ ba thuyÒn cïng cÆp bÕn l¹i lÇn n÷a lµ BCNN( 5;6 Vµ 10 ) = 30 Bài toán 10 : Tìm số tự nhiên nhỏ , biết chia số đó cho d , chia cho d , chia cho d Gi¶i : Gäi sè cÇn t×m lµ x , th× x + chia hÕt cho ; vµ V× x lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt nªn x + lµ BCNN ( 3; vµ ) = 60 VËy sè x cÇn t×m lµ 60 – = 59 Bµi to¸n 11 : Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè nguyªn a ; b ; q ; r tho¶ m·n a = b q + r th× ¦CLN(a;b) = ¦CLN ( b ; r ) Gi¶i : Gäi d = ¦CLN(a ; b ) vµ d’ = ¦CLN (b ; r ) Ta cã a d vµ b d mµ a = b q + r nªn r = a – b q Suy r d ( v× a d vµ b q d ) Do đó d là ớc chung b và r Suy d’ tơng đơng d Tơng tự ta có d’ là ớc chung a và b Suy d tơng đơng với d’ Suy d = d’ Hay ¦CLN( a ; b ) = ¦CLN ( b ; r ) TA Cã THÓ Sö DôNG BµI TO¸N TR£N §Ó GI¶I BµI TO¸N SAU : T×m ¦CLN cña hai sè a vµ b theo thuËt to¸n ¥clit : =b Víi a ; b lµ c¸c sè nguyªn nÕu mét hai sè lµ íc cña sè ch¼ng h¹n a b th× ¦¥LN ( a;b) NÕu trêng hîp trªn kh«ng x¶y , ta thùc hiªn mét d·y c¸c phÐp chia cã d a b.q0 r10 r1 b b r1.q1 r2 r2 r1 rn rn rn rn rn rn rn.qn ( sau mét sè h÷u h¹n phÐp chia , sè d rn1 0 ) r ;r r Ta cã ¦CLN (a ; b ) = ¦CLN ( b ; r ) = …= ¦CLN( n n ) = n Bµi to¸n 12 : T×m ¦CLN cña hai sè a = 2n + 3n vµ b = 2n+1 + 3n+1 víi n lµ sè tù nhiªn Gi¶i: Gäi d = ¦CLN ( a ; b ) ta cã a d vµ b d nªn b – 2a = 2n+1 + 3n+1 – (2n + 3n ) = 3n d T¬ng tù ta cã 2n d Từ đó suy d là ớc chung 2n và 3n mà ƯCLN( 2n ; 3n ) = VËy d = hay ¦CLN ( a ; b ) = Bµi to¸n 13 : T×m hai sè nguyªn d¬ng a vµ b biÕt r»ng ¦CLN (a ; b ) = BCNN ( a ;b ) = 36 Gi¶i : Do ¦CLN (a ; b ) = nªn ta cã a m ; b = n víi m , n lµ cc¸c sè nguyªn d¬ng vµ ¦CLN( m , n ) =1 Mà a b = ƯCLN ( a ; b ) BCNN (a ; b ) đó 6m 6n = 36 Suy m.n =6 ( bµi to¸n ®a vÒ t×m hai sè nguyªn tè cïng biÕt tÝch cña chóng b»ng 1) Ta cã = = Bëi vËy , víi m < n th× m = ; n = hoÆc m = ; n = VËy hai sè cÇn t×m lµ vµ 36 hoÆc 12 vµ 18 Sè nguyªn tè : Bµi to¸n 14 : Sè nµo gåm ch÷ sè gièng mµ chØ cã hai íc nguyªn tè Gi¶i : Gäi sè cã ch÷ sè gièng cã d¹ng lµ Mµ aaaa aaaa (1 a ) = a 1111 = a 101 11 V× 11 vµ 101 lµ hai sè nguyªn tè lín h¬n nªn sè chØ a = VËy sè cÇn t×m lµ 1111 Bµi to¸n 15 : T×m tÊt c¶ c¸c íc sè cña 100 aaaa chØ cã hai íc sè nguyªn tè vµ (5) Giải : Phân tích số 100 thành tích các thừa số nguyên tố , ta đợc 100 = 2.2.5.5 = 22.52 C¸c íc cña luü thõa cña lµ 1;2;22 C¸c íc cña luü thõa cña lµ ; ; 52 Lần lợt lấy tích các số 1;5;25 với các số 1;2;4 ta đợc ớc số 100 là ; ; ; ; 10 ; 20 ; 25 ; 50 ; 100 Bµi to¸n 16 : TÝmè nguyªn tè p cho p+ ; p + 10 còng lµ sè nguyªn tè Giải : Với p = ta có p + = ; p + 10 = 13 là các số nguyên tố VËy p = lµ mét nghiÖm Víi p vµ p lµ sè nguyªn tè nªn p kh«ng chia hÕt cho VËy p chia cho d1 hoÆc NÕu p cho d th× p + chia hÕt cho mµ p+ > nªn p + kh«ng lµ sè nguyªn tè ( tr¸I víi ®iÒu kiÖn gi¶ thiÕt ) Nếu p chia cho d thì p + chia hết cho đó p + 10 chia hết cho và p + 10 > nên p + 10 kh«ng lµ sè nguyªn tè , kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn VËy bµi to¸n cã mét nghiÖm nhÊt lµ p = Bµi to¸n 17 : Chøng minh r»ng víi n lµ sè tù nhiªn lín h¬n th× sè n4 + lµ hîp sè Gi¶i : Ta cã : n4 + = ( n4 + 4.n2 + ) – (2.n)2 = ( n2 + )2 – ( 2n)2 = ( n2 – n + )( n2 + 2n + ) Víi n > th× n2 + 2n + > n2 – 2n + > 1` Do đó n4 + có nhiều hai ớc số ( dơng ) VËy n4 + lµ hîp sè Bµi to¸n 18 : T×m sè nguyªn tè p cho 2p + lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn Giải: Gỉa sử có số nguyên tố p thoả mãn 2p + = n3 ( n N ) đó : 2p = n3 – = ( n – )( n2 + n + ) chia hÕt cho Nếu n chẵn thì n – lẻ và n + n + lẻ đó 2p = ( n – )( n2 + n + ) lẻ ( vô lí ) VËy n lÎ Suy ( n – ) chia hÕt cho n Tứ đó ta có p = cã hai íc sè lµ vµ n V× n2 + n + > vµ p lµ s nguyªn tè nªn ph¶i cã = vµ ( n )(n n 1) n2 + n + p = n2 + n + Hay n = vµ p = 13 Víi p = 13 ta cã 2p + = 33 VËy sè nguªn tè cÇn t×m lµ 13 Ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm nguyªn : Bµi to¸n 19 :T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 2x + 5y = 48 Gi¶i: C¸ch : Dùa vµo ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ nghiÖm nguyªn d¬ng Do x , y nguyªn d¬ng vµ 2x + 5y = 48 Suy 0< y < 10 (1) MÆt kh¸c 5y = 48 – 2x = ( 24 – x ) Mµ ¦CLN (2 ; ) = nªn y chia hÕt cho KÕt hîp víi (1) th× y chØ cã thÓ lµ ; ; ; Với y = thì 2x + 10 = 48 , ta đợc x = 19 Với y = thì 2x + 20 = 48 , ta đợc x = 14 Với y = thì 2x + 30 = 48 , ta đợc x = Với y = thì 2x + 40 = 48 , ta đợc x = VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x ; y ) lµ (19 ; ) ; ( 14 ; ) ; ( ; ); ( ; ) Cách : Tìm nghiệm nguyên sau đó lấy nghiệm nguyên dơng Phơng trình trên tơng đơng với 2x = 48 – 5y 48 y x x y 24 y (6) y để x nguyên dơng phải có = t víi t nguyªn , hay y = 2t Thay vµo x ta cã : x = -4t + 24 – t hay x = 24 -5t x 24 5t (t Z ) y 2t Ta đợc nghiệm nguyên phơng trình là 24 5t 0 24 hay t 0 2t 0 Để đợc nghiệm nguyên dơng phải có VËy t = 1; ; ; T¬ng øng víi nghiÖm lµ (19 ; ) ; ( 14 ; ) ; ( ; ); ( ; ) Bµi to¸n 20 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : x2 + = xy – y Gi¶i : x2 + = xy – y ( x 1) y( x 1) ( x 1)( y x 1) 7 Vì là số nguyên tố nên các ớc là -1 ; ; - ; Do đó có trờng hợp xảy : x 11 1, y x 17 x 1 3, y x 1 x 1 2, y x 1 x 17 4, y x 11 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh trªnta cã nghiÖm : ( ; 10 ) ; ( 10 ; -6 ) ; ( ; 10 ) ; ( -6 ; -6 ) Bµi to¸n 21 : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh : 4x2 + 5y2 = 145 Gi¶i: Tõ ph¬ng tr×nh ban ®Çu ta cã : 4x2 = 145 – 5y2 =5( 29 – y2 ) chia hÕt cho Mà CLN( ; ) = đó x2 chia hết cho vì là số nguyên tố nên x chia hết cho VËy x = 5t ( t Z ) Thay vào phơng trình ban đầu ta đợc 100t2 + 5y = 145 Suy 100t2 145 đó t2 VËy t2 =0 hoÆc t2 = Víi t2 = th× 5y2 = 145 hay y = 29 ph¬ngtr×nh nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn Với t = thì ta đợc x = - và ; y = -3 và Ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm nguyªn : ( ; ) ; ( ; - ) ; ( -5 ; ) ; ( -5 ; - ) Bµi to¸n 22 : T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ ph¬ng tr×nh : x y 2(1) (2) xy z 1 Gi¶i: Tõ (2) ta cã xy = 1+ z2 > Suy x ; y cïng dÊu Mµ x + y = > nªn x > ; y > Do đó x = y = Thay vào (2) ta đợc z2 = hay z = VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt x = ; y = ; z = Bài toán 23 : Tră m trâu trăm cỏ ;Trâu đứng ăn năm trâu nằm ăn ba ; lụ khụ trâu già ba ăn mét bã Hái sè tr©u mçi lo¹i ? Giải: Gọi x ; y ; z tơng ứng là số trâu nằm , trău đứng , trâu già ( x ; y ;z là nguyên dơng ) , ta cã hÖ ph¬ng tr×nh sau : (7) x y z 100(1) x y z 100(1) z x y 100(2) (2) 15 x y z 300 100 Từ (1) ta có z = 100 – x – y , vào (1) ta đợc : 14x + 8y = 200 hay 7x + 4y = (3) Bµi to¸n ®a vÒ ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh (3) Tõ (3) ta cã 7x = 100 – 4y = 4( 25 – y) V× ¦CLN (7 ; ) = hay x = 4t ( víi t nguyª d¬ng ) Thay vào (3) ta đợc 28t + 4y = 100 hay y = 25 -7t §Ó y nguyªn d¬ng th× t =1 ; t = ; t = T¬ng øng cã nghiªm ( x ; y ;z ) lµ ( ; 18 ; 78 ) ; ( ; 11 ; 81 ) ; ( 12 ; ; 84 ) Mét ph¬ng ph¸p ®¨c biÖt : 5.1 Ph¬ng ph¸p gi¶ thiÕt t¹m : Bµi to¸n 24 : Võa gµ võa chã , bã l¹i cho trßn : ba m¬i s¸u , mét tr¨m ch©n ch½n TÝnh sè gµ , sè chã ? Gi¶i: Cách : Gỉa sử tất ba mơi sáu là gà thì số chân là 36 = 72 (chân ) Sè ch©n bÞ thiÕu hôt lµ 100 – 72 = 28 (ch©n ) Sè ch©n nµy lµ cña chã , mçi cßn thiÕu ch©n VËy sè chã lµ 28 : = 14 (con ) vµ sè gµ lµ 36 – 14 = 22 (con ) Cách : Gỉa sử tất 36 là chó Th× sè ch©n cña 36 lµ 36 = 144 ( ch©n ) Sè ch©n thõa lµ 144 – 100 = 44 (ch©n) Sè ch©n thõa lµ cña gµ , v× mçi tÝnh thõa ch©n VËy sè gµ lµ 44 : = 22 ( ) vµ sè chã lµ 36 – 22 = 14 ( ) Bµi to¸n 25 : Cã 40 tê giÊy b¹c gåm lo¹i : 10 ngh×n ; 5ngh×n ; ngh×n ; ngh×n ; víi tæng sè tiền là 110 nghìn đồng Tính số tờ loại ? Biết số tiền loại 10 nghìn đồng gấp đôi loại nghì đồng , còn số tiền loại nghìn đồng số tiền loại nghìn đồng Giải: Vì số tiền loai 10 nghìn đồng gấp số tiền loại nghìn đồng nên số tiền loại nghìn gấp lần loại 10 nghìn Dođó ta có các nhóm , nhóm gồm tờ 1nghìn và tờ 10 nghìn ta gọi là nhãm I T¬ng tù cã cc¸ nhãm , mçi nhãm gåm tê ngh×n vµ tê ngh×n gäi lµ nhãm II Mçi nhãm I cã tê gåm 15 ngh×n vµ nhãm II Cã tê gåm 20 ngh×n trung b×nh mçi tê nhãm I lµ 16 5 ngh×n Ta gi¶ sö mçi tê nhãm II lµ 40 100 ngh×n ngh×n , thÕ th× 40 tê øng víi sè tiÒn lµ Sè tiÒn thiÕu hôt lµ 1100 ngh×n – 100 ngh×n = 10 ngh×n Sè thiÕu nµy lµ cña nhãm II Mỗi nhóm đợc yính = 35 ngh×n VËy thiÕu mçi nhãm lµ 20 ngh×n - 35 ngh×n = Do đó số nhóm II là 10 nghìn : ngh×n = tê Từ đó số tờ loại nghìn là = tờ Sè tê lo¹i ngh×n lµ = 20 tê Sè tiÒn nhãm II lµ 20 = 80 ngh×n Sè tiÒn nhãm I lµ 30 ngh×n ngh×n (8) 20 Suy sè tiÒn lo¹i 10 ngh×n lµ 20 ngh×n vµ cña ngh×n lµ 10 ngh×n Nªn sè tê lo¹i 10 ngh×n lµ , sè tê ngh×n lµ 10 , sè tê lo¹i ngh×n lµ , sè tê lo¹i ngh×n lµ Bµi tËp t¬ng tù : Bµi : Khèi häc sinh líp gåm 480 em ®I tham quan thuû ®iÖn S«ng §µ ,cã hai lo¹i xe «t« : loại 1chở đợc 50 ngời và loại chở đợc 40 ngời Các em xếp vào 10 xe ôtô thì vừa đủ Hỏi có bao nhiªu xe «t« mÊy lo¹i ? Bµi : To¸n cæ : Quýt ngon mçi qu¶ chia ba Cam ngon mçi qu¶ chia lµm mêi Mçi ngêi mét miÕng tr¨m ngêi Có mời bảy không nhiều đủ chia Hái cã bao nhiªu cam ? cã bao nhiªu quýt ? Bài : Cùng lúc ôtô từ A và xe máy từ B ngợc chiều đến địa điểm C ë gi÷a AB C c¸ch A 300 km vµ c¸ch B 260 km VËn tèc cña «t« lµ 60 km/h ;vËn tèc cña xe m¸y lµ 35 km/h Hái sau bao l©u th× : a , ¤t« vµ xe m¸y cïng c¸ch C mét kho¶ng nh ? b , Khoảng cách từ xe máy đến C gấp đôI khoảng cáh từ ôtô đến C ? Bài : Một xe ôtô chở 2180 kg gạo đựnh 37 bao Có ba loại bao : 62 kg ; 60 kg ;và 50 kg Số bao 62 kg nhiều gấp đôI số bao 60 kg Hỏi số bao loại ? 5.2 Ph¬ng ph¸p lùa chän : Bài toán 26 : Tìm số có hai chữ số , biết chữ số hàng đơn vị gấp đôI chữ số hàng chục và lấy chữ số đó cộng với thì đợc số có hai chữ số giống Giải : Số có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục gồm số : 12 ; 24 ; 36 ; 48 Đem số đó cộng với ta đợc : 12 + = 21 ; 24 + = 31 ; 36 + = 43 ; 48 + = 55 VËy sè cÇn t×m lµ 48 Bµi to¸n 27 : §iÒn ch÷ sè thÝch hîp vµo dÊu * c¸c phÐp tÝnh sau : 1* * = **1 Giải: Vì tích có chữ số tận cùng là nên các chữ số đơn vị hai thừa số có thể lµ vµ hoÆc lµ vµ hoÆc lµ vµ øng víi mçi trêng hîp ta cã : 11 = 11 ; 13 = 91 ; 17 = 51 ; 19 = 171 Do tÝch lµ mét sè cã ba ch÷ sè nªn chØ cã trêng hîp cuèi lµ thÝch hîp Bài toán 28 : Có 30 tờ giấy bạc gồm loại : loại tờ 10 nghìn đồng ; loại tờ nghìn đồng ; loại tờ nghìn đồng ; loại tờ nghìn đồng Biết số tờ loại nghìn đồng gấp đôI số tờ loại nghìn đồng ; số tờ loại nghìn đồng gấp loại tờ nghìn đồng ; và số tờ loại 10 nghìn đồng không nhiều loại nghìn đồng Hỏi số tờ loại ? Giải: Theo giả thiết ta có số tờ loại nghìn đồng gấp lần loại nghìn đồng Do đó tổng số tờ nghìn đồng , nghìn đồng , nghìn đồng gấp 10 lần số tờ nghìn đồng ; số này nhỏ 30 Suy số tờ nghìn đồng là Nếu số tờ nghìn đồng là thì số tờ nghìn đồng là ; số tờ loại nghìn đồng là là ; số tờ 10 nghìn đồng là 30 – ( + + ) = 20 nhiều số tờ nghìn đồng ( không thoả mãn ) Nếu số tờ nghìn đồng là thì số tờ nghìn đồng là và số tờ nghìn đồng là 12 ; số tờ 10 nghìn đồng là 30 – ( + + 12 ) = 10 ( kết này thoả mãn đầu bài ) Vậy : loại nghìn đồng là 12 tờ ; loại nghìn đồng là tờ ; loại nghìn đồng là tờ ; loại 10 nghìn đồng là 10 tờ Bµi tËp t¬ng tù : Bài : Cho số có hai chữ số Nếu viết thêm hai chữ số vào bên phải số đó thì đợc số lớn số đã cho 1995 đơn vị Hãy tính số đã cho và hai chữ số viết thêm đó ? Bài : Tìm số có hai chữ số đó chữ số hàng chục gấp đôI chữ số hàng đơn vị và tích hai số đó chia hết cho tổng chúng Ph¬ng ph¸p vËn dông nguyªn t¾c §i - rÝch - lª : Bài toán 29 : Chứng minh số nguyên bất kì tất có số đôi có hiệu chia hÕt cho Gi¶i: Xem sè nguyªn lµ ‘ chó thá ’ XÐt c¸i lång : lồng { } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho d (9) còng bÞ nhèt lồng { } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho d lồng { } : dùng để nhốt các chú thỏ chia cho d V× mét sè nguyªn chia cho th× sè d lµ mét ba sè : ; ; nªn chó thá nµo Cã chó ®em chia vµo lång ph¶i cã Ýt nhÊt lång chøa chó thá t¬ng øng cã Ýt nhÊt ba sè chia cho cïng cã sè d Ba số đôi chia hết cho Bµi to¸n 30 : Chøng minh r»ng : 52 sè nguyªn bÊt k× tÊt c¶ cã sè cã hiÖu hoÆc tæng chia hÕt cho 100 Gi¶i: Xem 52 sè lµ 52 chó thá vµ xÐt 51 c¸i lång:{0};{1;99};{2;98};…;{49;51};{50} Đem nhốt chú thỏ vào cáI lồng có số số d chú thỏ đó chia cho 100 VÝ dô : lßng {0} chøa c¸c sè chia hÕt cho 100 ; {1;99} cha c¸c sè chia hÕt cho 100 d 99 …Ta thấy số đợc nhốt vào lồng V× cã 52 chó thá mµ chØ cã 51 c¸i lång nªn ph¶i cã Ýt nhÊt chó thá bÞ nhèt cïng mét lång Hai chó thá bÞ nhèt mét lång hay lµ hai sè nguyªn t¬ng øng chia cho 100 cã cïng sè d hoÆc tæng cña hai sè d b»ng 100 Vậy tổng và hiệu hai số đó chia hết cho 100 Bµi tËp t¬ng tù : Bµi : N¨m trêng cã 1200 sinh viªn Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt b¹n cïng mét ngµy sinh Bài : Chứng minh tồn số nguyên dơng 2n – chia hết cho 1991 Bµi : ViÕt n¨m sè nguyªn bÊt k× th¼ng hµng Chøng minh r»ng cã mét sè ho¨c hai sè lion cã tæng chia hÕt cho Bµi : Chøng minh r»ng tån t¹i sè cã ch÷ sè tËn cïng lµ 1992 chia hÕt cho 1993 Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c : Bài toán 31 : Tìm số nguyên dơng cho tổng các số nghịch đảo chúng Gi¶i : GoÞ sè cÇn t×m lµ x ; y ; z ; sè lín nhÊt lµ x ; sè nhá nhÊt lµ z Ta cã : x y z (1) 1 2 Theo gi¶ thiÕt : x y z (2) 1 2 x y z x Do (1) nªn VËy x = 1 1 y z y Thay vào (2) ta đợc : Vậy y = từ đó z = Ba sè cÇn t×m lµ ; ; Bµi to¸n 32 : Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh : x2 + y2 =3 ( z2 + t2 ) kh«ng cã nghiÖm Giải : Gỉa sử phơng trình có nghiệm nguyên dơng đó tồn nghiệm mà có giá trị x2 + y lµ nhá nhÊt Ta gọi nghiệm đó là V× x0 ; y0; z0;t0 ( x02 y02 ) 3( z02 t02 )(1) Ta thÊy nÕu x0 hay y0 x02 y02 3 x20 kh«ng chia hÕt cho th× hay nªn y 20 x02 y02 Do đó chia cho d hoÆc ( kh«ng chia hÕt cho ) x y02 x y VËy th× vµ chia cho d (10) đặt x0 3x1 ; y0 3 y1 thay vào (1) ta đợc : x21 y21 3( z20 t 20 )hayz 20 t 20 3( x2 1 y 21) Do đó Nhng z0 ;t0 ; x1; y1 lµ nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh z 21 t 20 3( x21 y 21) 9( x21 y 21) x20 y 20 ) x0 ; y0 ; z0 ;t0 x 2y này mâu thuẫn với nhá nhÊt nghiÖm cã Suy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn d¬ng Bµi to¸n 33 : Gäi a lµ tæng c¸c ch÷ sè cña sè 91993 , b lµ tæng c¸c ch÷ sè cña a vµ c lµ tæng c¸c ch÷ sè cña b T×m c ? Gi¶i : Ta cã 91993 < 101993 nªn 91993 cã Ýt h¬n 1994 ch÷ sè Mçi ch÷ sè kh«ng vît qu¸ nªn : a 1993 = 17937 V× a 17937 < 19999 nªn tæng c¸c ch÷ sè cña a lµ b < + hay b < 37 Các số nhỏ 37 có tổng các chữ số nhỏ + = 12 đó c < 12 Vì 91993 nên a đó b kéo theo c Kết hợp với < c < 12 ta đợc c = Bµi tËp t¬ng tù : Bµi : Cho mét bµn cê cã nh÷ng « vu«ng b»ng , c¸c « vu«ng ngêi ta viÕt mét sè tù nhiên cho số trung bình cộng số lân cận đợc viết ô vuông phía trên , dới , bên phảI , bên tráI Chứng minh tất các số Bµi : T×m sè tù nhiªn cho tæng cña chóng b»ng tÝch cña chóng (11)