Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH). Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. Biết AN cắt OP tại K, PM[r]
(1)Dạng I: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Có chứa thức bậc hai I/ Biểu thức số học
Phương pháp:
Dùng Phương pháp biến đổi thức(đưa ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức
Bài tập: Thực phép tính: 1) 5 125 80 605; 2) 10 10
5
;
3) 15 216 33 12 6 ; 4) 12 27
18 48 30 162
;
5) 3
2 3
;
6) 16 27 75 ; 7) 27 75
3
;
8) 3 5 10
9) 32 25 124 192 ; 10) 2 3 5 2;
11) 3 3 5;
-
12) 4 10 5 4 10 5 ; 13) 5 6 49 20 6 6 ;
14) 1
2 2
;
15) 6
2 2
;
16)
2
5 5
;
17) 14 3 24 12 3 ;
18)
3 1 32 3 ; 19) 1 3 1 3
20) 3
1 1
(2)II/ Biểu thức đại số: Phương pháp:
- Phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; - Tìm ĐKXĐ (Nếu tốn chưa cho ĐKXĐ) - Rút gọn phân thức(nếu được)
- Thực phép biến đổi đồng như:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia
+ Bỏ ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dạng
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Chú ý: - Trong toán rút gọn thường có câu thuộc loại tốn: Tính giá trị biểu thức; giải Phương trình; bất Phương trình; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ ,lớn nhất…Do ta phải áp dụng Phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho loại
ví dụ: Cho biểu thức:
1
1 :
1 1
a a
a a
a a P
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị a để biểu thức P có giá trị nguyên Giải: a/ Rút gọn P:
- Phân tích:
2
) (
1 :
1 ) (
1
a a a
a a P
- ĐKXĐ:
1
1 ;
a a
a
- Quy đồng:
1 ) ( ) (
1
a a a
a a P
- Rút gọn:
a a
P
b/ Tìm giá trị a để P có giá trị nguyên: - Chia tử cho mẫu ta được:
a P1 - Lý luận: P nguyên
a
1
nguyên a ước là1
1
) (
a ktm a
Vậy với a = biểu thức P có giá trị ngun Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức A = x x x x x
2 x x x
a) Rút gọn biểu thức A;
(3)Bài 2: Cho biểu thức
x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4 2 x x 2 x 2
a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị x để A > Bài 3: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị x để C < Bài 4: Rút gọn biểu thức :
2
2
x x x x
D =
x x x x
Bài5: Cho biểu thức:
2x x 2 P =
x 2
3
x x 2x 2
Q =
x 2
a) Rút gọn biểu thức P Q; b) Tìm giá trị x để P = Q Bài 6: Cho biểu thức:
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với
c) Với giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
P nhận giá trị nguyên
Bài 7: Cho biểu thức:
3x 9x 3 1 1 1
P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P; b) Tìm số tự nhiên x để
P số tự nhiên; c) Tính giá trị P với x = –
Bài 8: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x x 6 2 x x 3 x 1
a) Rút gọn biểu thức P; b/Tìm x để
1 5
(4)Bài 9: Cho biểu thức : P = a a a a a a a a 1 1 a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<74
Bài 10: Cho biểu thức: P =
2 : 3 3 x x x x x x x x
a) Rút gọn P b) Tìm x để P <
2
c) Tìm giá trị nhỏ P
Bài 11: Cho biểu thức : P =
2 : x x x x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P<1 Bài 12: Cho biểu thức : P =
3 2 3 11 15 x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P= c) Chứng minh P
3
Bài 13: Cho biểu thức: P = 2
2 4 m x m m x x m x x
với m > a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P =
c) Xác định giá trị m để x tìm câu b thoả mãn điều kiện x >1 Bài 14: Cho biểu thức : P =
1 a a a a a a a
a) Rút gọn P b) Tìm a để P =
c) Tìm giá trị nhỏ P ?
Bài 15: Cho biểu thức P =
1 1 : 1 1 ab a ab ab a ab a ab ab a a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P a =2 b = 1
(5)Bài 16: Cho biểu thức : P = 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a
a) Rút gọn P
b) Với giá trị a P = c) Với giá trị a P >
Bài 17: Cho biểu thức: P =
1 1 2 a a a a a a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị a để P < c) Tìm giá trị a để P = -2 Bài 18: Cho biểu thức: P =
ab a b b a b a ab b a
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn P
c) Tính giá trị P a =2 b = Bài 19: Cho biểu thức : P =
2 : 1 1 x x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P > x 1
Bài 20: Cho biểu thức : P =
: 1 x x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính Pkhi x =52 Bài 21: Cho biểu thức: P =
x x
x x
x
1 : 4 : a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị x để P = 20
Bài 22: Cho biểu thức : P =
y x xy y x x y y x y x y x
3 3
: a) Rút gọn P
b) Chứng minh P 0 Bài 23: Cho biểu thức : P =
a ab b
b a b b a a ab b a b b a a ab b a :
a) Rút gọn P
(6)Bài 24: Cho biểu thức: P = 1 a a a a a a a a a a a a
a) Rút gọn P b) Cho P =
6
6
tìm giá trị a c) Chứng minh P >
3
Bài 25: Cho biểu thức: P =
5 15 25 : 25 x x x x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Với giá trị x P <
Bài 26: Cho biểu thức: P =
b ab a b a a b a b b a a a b ab a a 2 : 3 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị ngun a để P có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức: P =
2 : 1 a a a a a a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị a để P >
Bài 28: Cho biểu thức: P =
3 3 : 1 1 xy y x y y x x y x y x y x y x a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 29: Cho biểu thức :P =
x x y xy x x x y xy x 1 2 2
a) Rút gọn P
b) Tìm tất số nguyên dương x để y=625 P<0,2
Bài 30: Cho biểu thức: P =
1 1 1 :
1
x x x x x x x x
(7)Dạng II:
ĐỒ THỊ ' '
( 0) & ( 0)
y axb a y a x a
VÀ TƯƠNG QUAN GIỮA CHÚNG
I/.Điểm thuộc đường – đường qua điểm
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)
Vớ dụ 1: Tìm hệ số a hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) Giải:
Do đồ thị hàm số qua điểm A(2;4) nên: = a.22 a =
Vớ dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) đường thẳng (d) có Phương trình: y = -2(x + 1) Đường thẳng (d) có qua A khơng?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = nên điểm A thuộc v đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm hai đường y = f(x) y = g(x)
Bước 1: Hoành độ giao điểm nghiệm Phương trình f(x) = g(x) (*)
Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai công thức y = f(x) y = g(x) để Tìm tung độ giao điểm
Chỳ ý: Số nghiệm Phương trình (*) số giao điểm hai đường III.Quan hệ hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng : (d1) : y= a1x + b1 (d2) : y= a2x + b2 a) (d1) cắt (d2) a1 a2
b) d1) // (d2) {
a1 = a2 b1 ≠ b2 c) d1) (d2) {
a1 = a2 b1 = b2 d) (d1) (d2) a1a2 = -1
IV.Tìm điều kiện để đường thẳng đồng qui
Bước 1: Giải hệ Phương trình gồm hai đường thẳng khơng chứa tham số để Tìm (x;y) Bước 2: Thay (x;y) vừa Tìm vào Phương trình cịn lại để Tìm tham số
V.Quan hệ (d): y = ax + b (P): y = a’x2 (a’ 0)
1.Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm nghiệm Phương trình:
a’x2 = ax + b (#) a’x2- ax – b =
Bước 2: Lấy nghiệm thay vào hai cụng thức y = ax +b y = ax2 để Tìm tung độ giao điểm
Chỳ ý: Số nghiệm Phương trình (#) số giao điểm (d) (P) 2.Tìm điều kiện để (d) (P) cắt;tiếp xúc; khơng cắt nhau:
Từ Phương trình (#) ta có: a'x2axb0(a)24a'.b
a) (d) (P) cắt Phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 0 b) (d) (P) tiếp xúc với Phương trình (#) cú nghiệm kép0 c) (d) (P) không giao Phương trình (#) vơ nghiệm 0 VI.Viết Phương trình đường thẳng y = ax + b :
(8)Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vng góc để Tìm hệ số a
Bước 2: Thay a vừa Tìm x0;y0 vào cụng thức y = ax + b để Tìm b 2.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2).
Do đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) nên ta có hệ Phương trình: {axax1+ b = y1
2+ b = y2 Giải hệ Phương trình Tìm a,b
3.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x0;y0) tiếp xúc với (P): y = a’x2 +) Do đường thẳng qua điểm A(x0;y0) nên có Phương trình :
y0 = ax0 + b
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x2 nên: Pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép Δ =
+) Giải hệ
0
0
0 ax b
y
để Tìm a,b
VII.Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định ( giả sử tham số m)
+) Giả sử A(x0;y0) điểm cố định mà đường thẳng qua với m, thay x0;y0 vào Phương trình đường thẳng chuyển Phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm với m
+) Đồng hệ số Phương trình với giải hệ Tìm x0;y0 VIII.Tìm khoảng cách hai điểm A; B
Gọi x1; x2 hoành độ A B; y1,y2 tung độ A B
Khi khoảng cách AB tính định lý Pi Ta Go tam giác vuông ABC:
2 2 2
2
) (
)
(x x y y
BC AC
AB
IX Một số ứng dụng đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào Phương trình
2.Ứng dụng vào toỏn cực trị
Bài tập hàm số Bài 1 cho parabol (p): y = 2x2
1 tìm giá trị a,b cho đường thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) qua A(0;-2) tìm Phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2)
3 Tìm giao điểm (p) với đường thẳng y = 2m +1 Bài 2: Cho (P)
2
x
y đường thẳng (d): y = ax + b
1 Xác định a b để đường thẳng (d) qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm
Bài 3: Cho (P)
x
(9)1 Vẽ (P)
2 Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 4: Cho (P)
4
2
x
y (d): y = x + m Vẽ (P)
2 Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
3 Xác định Phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4
4 Xác định Phương trình đường thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') (P) Bài 5: Cho hàm số (P):
x
y hàm số(d): y = x + m
1 Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B
2 Xác định Phương trình đường thẳng (d') vng góc với (d) tiếp xúc với (P) Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B
Bài 6: Cho điểm A(-2;2) đường thẳng (d1) y = -2(x+1)
1 Điểm A có thuộc (d1) khơng ? Vì ?
2 Tìm a để hàm số (P):
.x a
y qua A
3 Xác định Phương trình đường thẳng (d2) qua A vng góc với (d1)
4 Gọi A B giao điểm (P) (d2) ; C giao điểm (d1) với trục tung Tìm toạ độ
của B C Tính chu vi tam giác ABC? Bài 7: Cho (P)
4
x
y đường thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ
-2
1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số 2.Viết Phương trình đường thẳng (d)
3.Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x2;4 cho tam giác MAB có diện tích lớn
(Gợi ý: cung AB (P) tương ứng hồnh độ x2;4 có nghĩa A(-2;yA) B(4;yB) tính B
A y
y ;; ;SMAB có diện tích lớn nhấtM tiếp điểm đường thẳng (d1)với (P)và(d1)//(d)
Bài 8: Cho (P):
4
2
x
y điểm M (1;-2)
1 Viết Phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m
HD: Phương trình có dạng:y axbmà a = m thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2 PT:
mx m y
2 Chứng minh: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi Gọi xA;xB hoành độ A B Xác định m để
2
B A B Ax x x
x đạt giá trị nhỏ tính giá trị đó?
Bài 9: Cho hàm số (P):
x y
1 Vẽ (P)
(10)Bài 10: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P)
4
x
y đường thẳng (d): ymx2m1 Vẽ (P)
2 Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm Chứng tỏ (d) qua điểm cố định
Bài 11: Cho (P):
4
x
y điểm I(0;-2) Gọi (d) đường thẳng qua I có hệ số góc m Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B với mR
2.Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 12: Cho (P):
4
2
x
y đường thẳng (d) qua điểm I( ;1
) có hệ số góc m Vẽ (P) viết Phương trình (d)
2 Tìm m cho (d) tiếp xúc (P)
3 Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 13: Cho (P):
4
2
x
y đường thẳng (d): 2 x
y
1 Vẽ (P) (d)
2 Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)
3 Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (d) Bài 14: Cho (P):
x y
1.Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ -1 Viết ph trình đường thẳng AB
2.Viết Phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) Bài 14: Cho (P):
2x y
1.Vẽ (P)
2.Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x = điểm B có hồnh độ x = Xác định giá trị m n để đường thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) song song với AB
Bài 15: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có Phương trình
1 :
) (
: ) (
2
y mx d
m y x d
cắt điểm (P)
(11)Dạng III:
Phương trình Hệ Phương trình - - A/ Phương trình bâc ẩn – giải biện luận:
+ Phương trình bậc ẩn có dạng axb0(a0) + Giải biện luận:
- Nếu a0;b0 Phương trình vơ số nghiệm
- Nếu a0;b0 Phương trình vơ nghiệm
- Nếu a0 Phương trình có nghiệm
a b x
ví dụ: Giải bịên luận Phương trình sau: 4m2(x1)x4m1
Giải: 4m2(x1)x4m14m2x4m2x4m1(4m21)x4m24m1
2 ) ( ) )( (
m m x m
Biện luận: + Nếu
2
m Phương trình có nghiệm:
1 2 m m x + Nếu
m Phương trình có dạng:0.x0 nên Phương trình vơ số nghiệm + Nếu
2
m Phương trình có dạng: ) (
0x nên Phương trình vô
nghiệm
Bài tập: Giải biện luận Phương trình sau:
Bài 1
3
)
(x mx m
Bài 2 0 1
1
1
2
a a a x a a x a a x
HD: Quy đồng- thu gọn- đưa dạng ax + b = Bài 3 ( ; ; ;0; 0)
c b a c b a c b a x a x c b b x c a c x b a HD: c b a x a x c b b x c a c x b a 1 c b a x a x c b b x c a c x b a
1 4
c b a x c b a a b c x c b a
( ) 1 4( ) ( ) 4( ) 0
c b a x c b a abc c b a x c b a ) ( c b a abc c b a x c b a ) ( ) ( ) ( c b a abc abc c b a x c b a
Nếu 0(abcx)0xabc
Nếu 0 Phương trình vơ số nghiệm b hệ Phương trình bậc có hai ẩn số:
+ Dạng tổng quát: 0 ' ' b x a b ax
+ Cách giải:
(12)- Phương pháp cộng đại số
+ Số nghiệm số:
- Nếu '
a
a Thì hệ Phương trình có nghiệm
- Nếu ' ' '
; ;b b c c a
a Thì hệ Phương trình có vô nghiệm
- Nếu ' ' '
; ;b b c c a
a Thì hệ Phương trình có vơ số nghiệm
+ Tập nghiệm Phương trình biểu diễn trênmặt phẳng toạ độ đồ thị hàm số dạng:
b ax y
Ví dụ: Giải HPT sau:
Bài1:
3
x y x y
Giải:
+ Dùng PP thế:
3
x y x y
2 3 2
3 10 2.2
y x y x x x
x x x y y
HPT cho có nghiệm là:
x y
+ Dùng PP cộng:
3
x y x y
5 10 2
3 3.2
x x x
x y y y
HPT cho có nghiệm là:
x y
Bài2:
5
x y
x y
Để giải loại HPT ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi
5
x y
x y
10 15 10 11 22 2
10 12 2.( 6)
x y y y x
x y x y x y
HPT có nghiệm 2
x y
Bài 3:
2
1
2
1
x y
x y
*Đối với HPT dạng ta sử dụng hai cách giải sau đây: + Cách 1: Sử dụng PP cộng ĐK: x 1,y0
2
1
2
1
x y
x y
2 1 1 1 3
1
2
2
2
1
1 1 1 1
1
y y
y x x
y y
x x
x y
(13)HPT có nghiệm
3
x
y
+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ ĐK: x 1,y0 Đặt
1 a
x ;
1
b
y HPT cho trở thành:
2 5.1
2 2 1
a b a b a a
a b b b b
1
2
1
2
1
x x
y y
(TMĐK)
HPT có nghiệm
3
x
y
Lưu ý: - Nhiều em thiếu ĐK cho HPT dạng
- Có thể thử lại nghiệm HPT vừa giải
Bài tập hệ Phương trình:
Bài 1: Giải hệ phương trình sau (bằng pp thế) 1.1: )
3
x y a
x y
7
)
4
x y
b
x y
1.2 ) 2
2
x y
a
x y
Bài 2: Giải hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
2.1 ) 3
2
x y a
x y
4
)
2
x y
b
x y
3 10
) 2 1
3
3
x y c
x y
2.2 )
2 2
x y
a
x y
5 2
)
6 2
x y
b
x y
Bài 3:
Giải hệ phương trình 23
( 1)
x y
m x y m
trường hợp sau
a) m = -1 b) m = c) m = Bài a) Xác định hệ số a b, biết hệ phương trình
5
x by bx ay
có nghiệm (1; -2) b) Cũng hỏi hệ phương trình có nghiệm 1; 2
Bài 5: Giải hệ phương trình sau: 2
3
x y x y
(14)a) Từ suy nghiệm hệ phương trình 2 1 1 m n m n m n m n Bài 6: Cho hệ Phương trình
by ax b ay x
a) Giải hệ a =3 ; b =-2
b) Tìm a;b để hệ có nghiệm (x;y) = ( 2; 3) Bài 7: Giải hệ Phương trình sau: (pp đặt ẩn phụ)
7.1) 2 y x y x y x y x 7.2) 2 y x y x 7.3) 2 y x y x
(đk x;y2 )
7.4) 3 3
2
x y x y
; 7.5)
( 1) 2( 2) 3( 1) ( 2)
x y
x y
; 7.6) ( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
7.7) ( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 3)( 1) ( 3)( 5)
x y x y
x y x y
; 7.8)
3( ) 5( ) 12 5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
;
7.9)
1 1 x y x y
; 7.10)
1
2
5
3
x y x y
x y x y
; 7.11)
1 5
2 3
3
2 3
x y x y
x y x y
; ………
c.Phương trình bậc hai - hệ thức vi - ét
1.Cách giải Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a 0) * Nếu > Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = -b - 2a
; x2 = -b + 2a
* Nếu = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b 2a * Nếu < Phương trình vơ nghiệm
Chú ý: Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải Phương trình cơng thức nghiệm thu gọn:
ac b24
b’= b
2
(15)
* Nếu ' > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b' - '
a
; x2 = -b' + ' a
* Nếu ' = Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b' a * Nếu ' < Phương trình vơ nghiệm
2.Định lý Vi ét: Nếu x1 , x2 nghiệm Phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thỡ S = x1 + x2 = -
a b
p = x1x2 =
a c
Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu có )
Phương trình bậc 2: x2 – S x + p = 3 Toán ứng dụng định lý Viét
I Tính nhẩm nghiệm
Xét Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)
Nếu a + b + c = Phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 =
a c
Nếu a – b + c = Phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -
a c
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn 0 Phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n ( x1 = n , x2 = m)
II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Lập Phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x1;
Vớ dụ : Cho x13; x2 2 lập Phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trờn Theo hệ thức VI-ẫT ta cú
1
5
S x x
P x x
x x1; 2là nghiệm Phương trình cú dạng:
2
0
x Sx P x x
Bài tập áp dụng:
1 x1 = x2 = -3 x1 = 3a x2 = a x1 = 36 x2 = -104 x1 = 1 x2 = 1
2 Lập Phương trình bậc hai cú hai nghiệm thoả biểu thức chứa hai nghiệm Phương trình cho trước:
V dụ: Cho Phương trình : cú nghiệm phõn biệt Không giải Phương trình
trờn, hóy lập Phương trình bậc cú ẩn y thoả : Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú:
2
3
x x x x1; 2
1
1
1
y x x
2 1
2
1
y x x
(16)1
1 2 1 2
1 2
1 1
( ) ( )
2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
1 2 1
1 2
1 1
( )( ) 1 1
2
P y y x x x x
x x x x
Vậy Phương trình cần lập có dạng:
0
y Sy P
hay 9
0 9
2
y y y y
Bài tập áp dụng:
1/ Cho Phương trình cú nghiệm phân biệt Khơng giải Phương trình, Hãy lập Phương trình bậc hai có nghiệm
(Đáp số:
0
6
y y hay
6y 5y 3 0)
2/ Cho Phương trình : có nghiệm Hãy lập Phương trình bậc có ẩn y thoả (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm Phương trình cho)
(Đáp số : )
3/ Cho Phương trình bậc hai: cú cỏc nghiệm Hóy lập Phương trình bậc hai cú cỏc nghiệm cho :
a) b)
(Đáp số a) b) )
III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm Phương trình :
2
0
x Sx P (Điều kiện để có hai số S2 4P ) Vớ dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 tích P = ab = 4
Vỡ a + b = 3 ab = 4 nên a, b nghiệm Phương trình :
3
x x
giải Phương trình ta x1 1 x2 4
Vậy a = b = 4 a = 4 b =
Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P =
2 S = 3 P = S = P = 20 S = 2x P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết
1 a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30
2
3x 5x 6 x x1;
1
2
1
y x x
2
1
1
y x x
2
5
x x x x1;
1
y x y2 x24
727
y y
2
2
x x m x x1; 2
1;
y y
1
y x y2 x23 y1 2x11 y2 2x21
2
4
(17)Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần Tìm tích a b
T
2
2 2 2 81
9 81 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
Suy : a, b nghiệm Phương trình có dạng : 2
4 20
5
x
x x
x
Vậy: Nếu a = b =
nếu a = b =
2)Biết tích: ab = 36 cần Tìm tổng : a + b Cách 1: Đặt c = b ta cú : a + c = a.c = 36
Suy a,c nghiệm Phương trình : 2
4 36
9
x
x x
x
Do a = 4 c = nên b = 9
nếu a = c = 4 nên b =
Cỏch 2: Từ a b 2 a b 24aba b 2 a b 2 4ab169
2 13
13
13
a b a b
a b
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm Phương trình : 2
4 13 36
9
x
x x
x
Vậy a =4 b = 9
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm Phương trình : 2
4 13 36
9
x
x x
x
Vậy a = thỡ b =
3) Đó biết ab = 30, cần Tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 2 2 2 2
2 61 2.30 121 11
a b a b ab
11
11
a b a b
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm Phương trình: 2
5 11 30
6
x
x x
x
Vậy a =5thì b = 6 ; a =6 b = 5
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm Phương trình :
2
5 11 30
6
x
x x
x
Vậy a = b = ; a = b =
IV Tìm điều kiện tham số để Phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước
.Tìm nghiệm thứ Cách giải:
Tìm điều kiện để Phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm:
+) Cách 1:- Lập điều kiện để Phương trình bậc cho có nghiệm:0 (hoặc / 0) (*) - Thay x = x1 vào Phương trình cho, tìm giá trị tham số
(18)+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện0 (hoặc / 0) mà ta thay ln x = x1 vào Phương trình cho, tìm giá trị tham số
- Sau thay giá trị tìm tham số vào Phương trình giải Phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào Phương trình , mà Phương trình bậc hai có
< kết luận khơng có giá trị tham số để Phương trình có nghiệm x1 cho trước Để tìm nghiệm thứ ta có cách làm:
+) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào Phương trình giải Phương trình (như cách trình bầy trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tổng nghiệm tìm nghiệm thứ
+) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào cơng thức tích hai nghiệm,từ tìm nghiệm thứ2
V TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối toán dạng điều quan trọng em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức cú chứa tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi
tính giá trị biểu thức
1.Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất : (x1x2) x x1 2
Dạng 1 2 2
1 ( 2 2) 2 ( 2) 2
x x x x x x x x x x x x
Dạng 2. 3 2 2
1 2 1 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
Dạng 3 4 2 2 22 2 2 2
1 ( 1) ( 2) 2 ( 2) 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
Dạng 4
1 2
1 x x
x x x x
Dạng 5 x1x2 ? Ta biết x1x2 2 x1x224x x1 2 x1 x2 x1x224x x1 2
Dạng 6 2
1
x x x1x2x1x2= ( ) 2.( 2)
2
1 x x x x x
x
Dạng 7 3
1
x x = x1x2x12x x1 2x22x1x2 x1x22x x1 2 =……
Dạng 8 4
1
x x = 2 2
1 2
x x x x =…… Dạng 9 6
1
x x = 3 2 2 4
1 2 1 2
(x ) (x ) x x x x x x = ……
Dạng 10 6
1
x x ( ) ( ) ( )( ) ( 22)2
2 2 2 2 2
1
x x x x x x x x
Dạng 11 5
1
x x =( )( ) ( 2)
2 2 2 3
1 x x x x x x x
x
Dạng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
Dạng13 2
2
2
1
2 )
)( (
2
1
a aS p
a S a
x a x
a x x a x a
x
2 Bài tập áp dụng: Khơng giải Phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho Phương trình : Khơng giải Phương trình, tính
1 (34)
2
8 15
x x
2
1
x x 1
x x
(19)
1
1
1
x x
e) Cho Phương trình có nghiệm x1 ; x2, khơng giải Phương trình, tính
HD:
VI TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm toán loại này,các em làm theo bước sau:
1- Đặt điều kiện cho tham số để Phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0)
2- Áp dụng hệ thức VI-ET:
a c x x a
b x
x1 ;
3- Sau dựa vào hệ thức VI-ET rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Đó hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m
Vớ dụ 1: Cho Phương trình : (1) cú nghiệm Lập hệ thức liên hệ giữa cho không phụ thuộc vào m
(Bài cho PT có hai nghiệm x1 ;x2 nên ta không biện luận bước 1)
1
2
x x x x
34 15
2
1
x x
1
1
x x
9
2
1
x x
2
14 29
x x
1
1
x x
14 29
2
1
x x
2
2x 3x 1
1
1
x x
1
1
1 x x
x x
2
1
x x
2 1
x x
x x
2
4
x x
2
1 2
3
1 2
6 10
Q
5
x x x x
x x x x
2 2
1 2 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
1
m x mx m x x1; 2
1;
x x
3
b) Cho Phương trình : 8x272x640 Khơng giải Phương trình, tính:
1
c) Cho Phương trình : Khơng giải Phương trình, tính:
1
d) Cho Phương trình : Khơng giải Phương trình, tính:
1
3 (1)
(20)Giải:
Bước2: Theo hệ th ức VI- ET ta có :
1 2
1 2
2
2 (1)
1
4
(2)
1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
Bước2: Rút m từ (1) ta có :
1
1
2
2
1 x x m
m x x (3)
Rút m từ (2) ta có :
1
1
3
1
1 x x m
m x x (4)
Bước 3: Đồng vế (3) (4) ta có:
2 2
1 2
2
2 3
2 x x x x x x x x
x x x x
Vớ dụ 2: Gọi nghiệm Phương trình : Chứng minh biểu thức không phụ thuộc giá trị m
Theo hệ thức VI- ET ta có :
1
1
2
1
m
x x
m m x x
m
ĐK:(m10m1) ;Thay vào A ta có:
2
2 8( 1)
3 8
1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
Vậy A = với m1 Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng:
s1 Cho Phương trình : Hãy lập hệ thức liên hệ cho độc lập m
Hướng dẫn:
B1: Dễ thấy 2 2
2 4
m m m m m
Do Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2
B2: Theo hệ thức VI- ET ta có
1
1
1 2
2(1)
1
(2)
m x x x x m
x x
x x m m
1;
x x m1x22mx m 4
2
3
A x x x x
2
2
x m x m x x1; 2
1;
(21)B3: Từ (1) (2) ta có:
1
1 2
1
2
2
x x
x x x x x x
Cho Phương trình :
Tìm hệ thức liên hệ cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy 2
(4m 1) 4.2(m 4) 16m 33
Do Phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2
Theo hệ thức VI-ET ta có
1 2
1 2
(4 1) ( ) 1(1)
2( 4) 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
Từ (1) (2) ta có:
1 2 2
(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17
VII TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với toán dạng em làm sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để Phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0)
- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ET để giải Phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần Tìm
Ví dụ 1: Cho Phương trình :
Tìm giá trị tham số m để nghiệm thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để Phương trình có nghiệm x1 x2 l :
0 0 0
' 9 27 ' 1
' 21 9( 3)
m m m m
m m m m m
m m m
Theo hệ thức VI- ET ta có:
1
6( 1)
9( 3)
m
x x
m m x x
m
từ giả thiết: x1x2 x x1 2 Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 27 21
m m
m m m m m m
m m
(thỏa mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = Phương trình cho có nghiệm thoả mãn hệ thức :
Vớ dụ 2: Cho Phương trình :
Tìm m để nghiệm thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để Phương trình có nghiệm x1&x2 :
2 4 1 2 4 0
x m x m
1
x x2
2
6
mx m x m
1
x x2 x1x2 x x1 2
1
x x2 x1x2 x x1 2
2
2
x m x m
1
(22)2
' (2m 1) 4(m 2)
2
4m 4m 4m
7
4
4
m m
Theo hệ thức VI-ET ta có: 2
2
x x m
x x m
từ giả thiết Suy
2
2
3( 2) 5(2 1)
3 10
2( )
3 10 4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
Vậy với m = Phương trình cú nghiệm thỏa mãn hệ thức : Bài tập áp dụng
1 Cho Phương trình :
Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức : Cho Phương trình :
Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức: Cho Phương trình :
Tìm m để nghiệm thỏa mãn hệ thức : Hướng dẫn cách giải:
Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ:
+ Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 2nên ta có
thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để Tìm tham số m
+ Cũng tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2
và tích nghiệm x x1 2rồi từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ
BT1: - ĐKX Đ: & 16 15
m m
-Theo VI-ET:
1
1
( 4) (1)
m
x x
m m x x
m
- Từ Suy ra: 2
1 2
1
3
2( )
2( )
x x x
x x x x
x x x
(2)
1 2
3x x 5 x x 7
1
x x2 3x x1 25x1x2 7
2
2
mx m x m
1
x x2 x12x2 0
2
1
x m x m
1
x x2 4x13x2 1
2
3x 3m2 x 3m 1
1
x x2 3x15x2 6
1 2
(23)BT2: - ĐKXĐ:
22 25 11 96 11 96
m m m
- Theo VI-ET:
1
1 (1)
5
x x m
x x m
- Từ : Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
1 3( )
1 3( ) 4( )
4( )
7( ) 12( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta có Phương trình : 12 ( 1) 0
m m m
m
(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì 2
(3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4)
với số thực m nên Phương trình ln có nghiệm phân biệt
- -Theo VI-ET:
1
1
3
3 (1) (3 1)
3
m
x x
m x x
- Từ giả thiết: Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
8 5( )
64 5( ) 3( )
8 3( )
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta Phương trình:
0
(45 96) 32
15
m m m
m
(thoả mãn )
VIII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho Phương trình: (a 0) Hãy Tìm điều kiện để Phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm …
Ta lập bảng xột dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 S x1 x2 Px x1 Điều kiện chung
trỏi dấu P < ; P <
cựng dấu, P > ; P >
cùng dương, + + S > P > ; P > ; S >
cựng õm S < P > ; P > ; S <
Vớ dụ: Xác định tham số m cho Phương trình:
2
2x 3m1 x m m cú nghiệm trỏi dấu Để Phương trình có nghiệm trái dấu
2
2
(3 1) 4.2.( 6)
0 ( 7)
2
6
0 ( 3)( 2)
2
m m m
m m
m m m
P P P m m
1
4x 3x 1
1
3x 5x 6
2
0
(24)Vậy với 2 m Phương trình cú nghiệm trái dấu Bài tập tham khảo:
1 có nghiệm dấu
2 có nghiệm âm
3 có nghiệm khơng âm
IX TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được:
A m C
k B
(trong A, B biểu thức không âm ; m, k số) (*) Thì ta thấy : Cm (vì A0) minC m A
Ck (vìB0) maxC k B Ví dụ 1: Cho Phương trình :
Gọi nghiệm Phương trình Tìm m để : có giá trị nhỏ
Bài giải: Theo VI-ET: 2
(2 1)
x x m
x x m
Theo đ ề b ài :
2
2
1 2
Ax x x x x x x x
2
2
2
4 12
(2 3) 8
m m
m m
m
Suy ra: minA 8 2m 3 hay
2
m
Ví dụ 2: Cho Phương trình :
Gọi nghiệm Phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau:
Ta có: Theo hệ thức VI-ET :
1
x x m
x x m
2
2
mx m x m
2
3mx 2 2m1 x m 0
1
m x x m
2
2
x m x m
1
x x2
2
1
Ax x x x
2
1
x mx m
1
x x2
1
2
1 2
2
2
x x B
x x x x
(25)
1 2
2 2 2
1 2
2 3 2( 1)
2 ( ) 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau:
2
2
2
2 1
1
2
m m m m
B
m m
Vì
2
2
1
1 0
2
m
m B
m
Vậy max B=1 m = Với cách thêm bớt khác ta lại có:
2 2 2
2 2
1 1
2 4 2
1
2 2
2 2 2
m m m m m m m
B
m m m
Vì
2
2
2
2 0
2
2
m
m B
m
Vậy
2
B m
Cỏch 2: Đưa giải Phương trình bậc với ẩn m B là tham số, ta Tìm điều kiện cho tham số B để Phương trình cho ln có nghiệm với m
2
2
2
2
m
B Bm m B
m
(Với m ẩn, B tham số) (**)
Ta có:
1 B(2B 1) 2B B
Để Phương trình (**) ln có nghiệm với m
hay 2
2B B 2B B 2B B
1
2 2
1 1
1
2 1
2
1
B B
B B
B B
B B
B
Vậy: max B=1 m =
1
min
2
B m
Bài tập áp dụng
1 Cho Phương trình : Tìm m để biểu thức có giỏ trị nhỏ
2 Cho Phương trình
2( 1)
x m x m Tìm m cho nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều kiện
2
1 10
x x
2
4
(26)3 Cho Phương trình : 2
2( 4)
x m x m xác định m để Phương trình có nghiệm x x1; 2 thỏa mãn
a) A x1 x2 3x x1 2 đạt giá trị lớn b) 2
1 2
Bx x x x đạt giá trị nhỏ Cho Phương trình : 2
( 1)
x m x m m Với giá trị m, biểu thức Cx12x22 dạt giá trị nhỏ
5 Cho Phương trình
( 1)
x m m Xác định m để biểu thức Ex12x22 đạt giá trị nhỏ
Bài tập Bài tập 1:
Biến đổi Phương trình sau thành Phương trình bậc hai giải
a) 10x2 + 17x + = 2(2x - 1) – 15 b) x2 + 7x - = x(x - 1) - c) 2x2 - 5x - = (x+ 1)(x - 1) + d) 5x2 - x - = 2x(x - 1) - + x2 e) -6x2 + x - = -3x(x - 1) – 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - = x(x +3) + g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) – h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) -
Bài tập 2: Cho Phương trình: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + = a) Giải Phương trình với m = - 2;
b) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm x = -1 c) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm kép
Bài tập Cho Phương trình: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + = a) Giải Phương trình với m = 3;
b) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm x = - 4; c) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm kép
Bài tập 4:
Cho Phương trình: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = a) Giải Phương trình với m = -2;
b) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm x = -3 c) Tìm giá trị m để Phương trình có nghiệm kép Bài tập 5: Cho Phương trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + = a) Giải Phương trình với m = -1và m =
b) Tìm m để Phương trình có nghiệm x = c) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = x2 Bài tập 6:
Cho Phương trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - = a) Giải Phương trình với m = -2
b) Với giá trị m Phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2 Bài tập 7:
Cho Phương trình : 2x2 - 6x + (m +7) = a) Giải Phương trình với m = -3
(27)c) Với giá trị m Phương trình cho vơ nghiệm
d) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2 Bài tập 8:
Cho Phương trình : x2 - 2(m - ) x + m + = a) Giải Phương trình với m = -
b) Với giá trị m Phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = 3x2 Bài tập 9:
Biết Phương trình : x2 - 2(m + )x + m2 + 5m - = ( Với m tham số ) có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại
Bài tập 10:
Biết Phương trình : x2 - 2(3m + )x + 2m2 - 2m - = ( Với m tham số ) có nghiệm
x = -1 Tìm nghiệm cịn lại x = -1 Tìm nghiệm cịn lại
Bài tập 11: Cho Phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Tìm m để Phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm trái dấu
c)Tìm hệ thức hai nghiệm Phương trình khơng phụ thuộc vào m Bài tập 12: Cho Phương trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) =
a) Tìm m để Phương trình có nghiệm x = -
b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Khi Phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm cịn lại Bài tập 13:Cho Phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m =
a) Tìm m để Phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để Phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = c) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22
Bài tập 14: Cho Phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để Phương trình có hiệu hai nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 khơng phụ thuộc m Bài tập 15: Cho Phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - =
a) Chứng minh Phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x12 + x22 Bài tập 16: Cho Phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = a) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ b) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn c) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài tập 17: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 Phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện 1
2
1 x
x
(28)Cho Phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để Phương trình có nghiệm x 1, x2 phân biệt thoả mãn
5
1
2
x x x x
Bài tập 19:
Cho Phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số)
a) Xác định m để nghiệm x1; x2 Phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = b) Tìm hệ thức x1; x2 mà khơng phụ thuộc vào m
Bài tập 20:
a) Với giá trị m hai Phương trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó? x2 - (m + 4)x + m + = (1)
x2 - (m + 2)x + m + = (2)
b) Tìm giá trị m để nghiệm Phương trình (1) nghiệm Phương trình (2) ngược lại
- d Một số Phương trình thường gặp:
1 Phương trình tích: Dạng: 0
A A B
B
Ví dụ: Giải Phương trình:2x3x213x60 Phân tích vế trái thành nhân tử Phương pháp nhẩm nghiệm.( nghiệm thuộc ước 6)ta được:
3 2
) )( (
3 2
x x x
x x x
Bài tập:
Bài 1: x4 2x3x2 8x120 Bài 2: 2x33x2 11x60 2.Phương trình chứa ẩn mẫu:
Ví du: Giải biện luận Phương trình sau: x mx
x
1
1
(*) ĐKXĐ: 1 0 (m0)
m x mx
Khi Phương trình (*) 1x2 (1x)(1mx)x2mx2 xmx0 (1m)x2(1m)x0x(1m)x1m0
1 )
1 (
) (
0
m x m m
(29)Nếu m1; Phương trình có nghiệm :
1
1
m m x x
Nếu m = 1 Phương trình có nghiệm: x = Bài tập:
Bài 1:
) (
10
2
2
2
2
x x x x
x x
Bài 2:
3
4
5
2
x x
x
3 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyêt đối Ví dụ: Giải Phương trình: 3x2 3x13
Ta giải sau: Lập bảng xét vế trái: x
3
3 2
3x 3x2 3x2 3x2
1
3x 3x1 3x1 3x1
Vế trái cộng
lại
x 0x1 6x3
Vậy: + Với
x Phương trình (1)6x336x0x0 ( thoả mãn) + Với
3
1
x Phương trình (1) 0x13 Phương trình vơ nghiệm + Với
3
x Phươngtrình (1) 6x336x6x1 thoả mãn Bài tập:
Bài 1: x2 2x1 5 Bài 2: x 32x4 4 Phương trình vơ tỉ:
Ví dụ: a) Giải Phương trình: x4 x1 12x PP: + ĐKXĐ:
2
2
1
1
4
4
x x
x x
x x
2 4
x
+ Bình Phương hai vế để làm
b) Giải Phương trình: x 2x1 x 2x1 2 PP: + ĐKXĐ:
2
1
2x x
+ Tạo bình Phương tổng noặc hiệu biểu thức để đưa
(30)+ Xét xem biểu thức dương hay không để đặt dấu gía trị tuyệt đối giải Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập:
Bài 1: x2 4x4 x2 2x13
Bài 2: x2 x32 x2 x32 3
(31)Dạng IV
Giải tốn cách lập Phương trình I, Lí thuyết cần nhớ:
* Bước 1: + Lập PT hệ Phương trình; (nên lập bảng để timPhương trình) - Chọn ẩn, tìm đơn vị ĐK cho ẩn
- Biểu diễn mối quan hệ lại qua ẩn đại lượng biết - Lập HPT
* Bước 2: Giải PT HPT
* Bước 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời II, Bài tập hướng dẫn:
1) Toán chuyển động:
Bài 1. Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngược chiều gặp sau Tìm vận tốc tơ biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B
Bài 2: Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi từ B A người đường khác dài km, với vận tốc 12km/h nên thời gian thời gian đI 20 phút Tính quãng đường AB?
Bài 3 Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km , ngược chiều gặp sau 40 phút.Tính vận tốc riêng ca nô biết vận tốc ca nô xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dịng km/h (có vận tốc dịng nước) vận tốc dòng nước km/h
2) Toán thêm bớt lượng
Bài 5. Hai lớp 9A 9B có tổng cộng 70 HS chuyển HS từ lớp 9A sang lớp 9B số HS hai lớp Tính số HS lớp
Bài 6: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít Sau kấy thùng thứ nhát lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy thùng thứ hai, lượng dầu cịn lại thùng thứ hai gấp đơi lượng dầu cịn lại thùng thứ Hỏi lấy lít dầu thùng?
3) Toán phần trăm:
Bài 7. Hai trường A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi trường có HS lớp dự thi vào lớp 10
4)Toán làm chung làm riêng:
Bài 8. Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ cần thời gian vịi thứ hai Tính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể
Bài 9 Hai tổ làm chung cơng việc hồn thành sau 15 tổ làm giờ, tổ hai làm 30% cơng việc Hỏi làm riêng tổ hồn thành
5) Toán nồng độ dung dịch:
Kiến thức: Biết m lít chất tan M lít dung dịchthì nồng độ phàn trăm là 100%
(32)Bài 10: Khi thêm 200g Axít vào dung dịch Axít dung dịch có nồng độ A xít 50% Lại thêm 300gam nước vào dung dịch ,ta dung dịch A xít có nồng độ là40%.Tính nồng độ A xít dung dịch
HD: Khối lượng nước dung dịch x gam, khối lượng A xít dung dịch y gam Sau thêm, 200 gam A xít vào dung dịch A xít ta cólượng A xít là: ( y + 200) gam nồng độ 50% Do tacó:
2 200
200
x y
y
200
x y (1)
Sau thêm 300 gam nước vào dung dịch khối lượng nước là: (x + 300) gam nồng độ 40%(=2/5) nên ta có:
5 300 200
200
x y
y
0
x y (2)
Giải hệ (1) (2) ta x = 600; y = 400 Vậy nơng độ A xít là: 40% 400
600
400
6)Toán nhiệt lượng:
Kiến thức: Biết răng: + m Kg nước giảm t0C toả nhiệt lượng Q = m.t (Kcal)
+ m Kg nước tăng t0C thu vào nhiệt lượng Q = m.t (Kcal)
Bài 11: Phải dùng lít nước sơi 1000C lít nước lạnh 200C để có hỗn hợp 100lít nước nhiệt độ 400C
HD: Gọi khối lượng nước sơi x Kg khối lượng nước lạnh là: 100 – x (kg) Nhiệt lương nước sôi toả hạ xuống đến 400C là: x(100 – 40) = 60x (Kcal) Nhiệt lượng nước lạnh tăng từ 200C -đến 400C là: (100 – x).20 (Kcal)
Vì nhiệt lượng thu vào nhiệt lượng toả nên ta có : 60x = (100 – x).20
Giải ta có: x = 25.Vậy khơí lượng nước sơi 25Kg; nước lạnh 75 Kg tương đương với 25lít 75 lít.
7)Các dạng toán khác:
Bài 12 Một ruộng có chu vi 200m tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng 5m diện tích giảm 75
m Tính diện tích ruộng
Bài 13 Một phịng họp có 360 ghế xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến họp 400 nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế
-&&&& -
(33)Dạng V
Bài tập Hình tổng hợp
Bài 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt
H cắt đường tròn (O) M,N,P Xét tứ giác CEHD ta có: C/M:
1 Tứ giác CEHD, nội tiếp
2 Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn
3 AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC
4 H M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội
tiếp tam giác DEF
Bài 2 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHE
1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp
2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Chứng minh ED =
2
BC
4 Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm
Bài 3 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N
1 Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 900 Chứng minh AC BD =
4
2
AB
Chứng minh OC // BM
5 Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD Chứng minh MN AB
7 Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường trịn bàng tiếp góc
A , O trung điểm IK
1. Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn 2. Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O)
3. Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm
Bài 5 Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB
1 Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp
2 Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2
(34)5 Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng
6 Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d
Bài 6 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường trịn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E
1 Chứng minh tam giác BEC cân
2 Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE
Bài 7 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P
cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M
1 Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn Chứng minh BM // OP
3 Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành
4 Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Bài 8 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường trịn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K
1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB
3) Chứng minh BAF tam giác cân
4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi
5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn
Bài 9 Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F (F B E)
1 Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB
3 Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp
Bài 10 Cho đường trịn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường trịn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đương
vng góc từ S đến AB
1 Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn
2 Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn
Bài 11. Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh :
1. Tam giác DEF có ba góc nhọn
2. DF // BC 3 Tứ giác BDFC nội tiếp 4
CF BM CB BD
(35)Bài 12 Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến
tại N đường tròn P Chứng minh : 1. Tứ giác OMNP nội tiếp
2. Tứ giác CMPO hình bình hành
3. CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M
4. Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định
Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
1 Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp
3 AE AB = AF AC
4 Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K
Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường trịn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA,
EB với nửa đường tròn (I), (K) Chứng minh EC = MN
2 Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường trịn (I), (K) Tính MN
4 Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường trịn
Bài 15 Cho tam giác ABC vng A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S
1 Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh CA tia phân giác góc SCB
3 Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
4 Chứng minh DM tia phân giác góc ADE
5 Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
Bài 17. Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC
1 Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác
2 Chứng minh MP + MQ = AH
Bài 18 Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B) ; đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC
1 Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I
(36)Bài 19. Cho đường trịn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB Nối CD, Kẻ BI vng góc với CD
1 Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD
4 Chứng minh I, B, E thẳng hàng
5 Chứng minh MI tiếp tuyến (O’)
Bài 20. Cho đường tròn (O; R) (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngồi C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O’) F, BD cắt (O’) G Chứng minh rằng:
1 Tứ giác MDGC nội tiếp
2 Bốn điểm M, D, B, F nằm đường tròn Tứ giác ADBE hình thoi
4 B, E, F thẳng hàng DF, EG, AB đồng quy MF = 1/2 DE
7 MF tiếp tuyến (O’)
Bài 21. Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đường tron tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q
1 Chứng minh đường tròn (I) (O) tiếp xúc A Chứng minh IP // OQ
3 Chứng minh AP = PQ
4 Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn
Bài 22. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K
1 Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp Tính góc CHK
3 Chứng minh KC KD = KH.KB
4 Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường
Bài 23. Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vng ABHK, ACDE
1 Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng
2 Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, chứng minh FBC tam giác vuông cân
3 Cho biết ABC > 450 ; gọi M giao điểm BF ED, Chứng minh điểm b, k, e, m, c nằm đường tròn
4 Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 24. Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đường trịn đường kính AC có tâm O, đường tròn cắt BA BC D E
1 Chứng minh AE = EB
2 Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đường trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH
(37)Bài 25. Cho đường trịn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q
1 Chứng minh tam giác ABC cân 2 Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp 3 Chứng minh MI2 = MH.MK 4 Chứng minh PQ MI
Bài 26. Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M điểm cung CB, I giao điểm CB OM K giao điểm AM CB Chứng minh :
1
AB AC KB KC
2 AM tia phân giác CMD 3 Tứ giác OHCI nội tiếp
4 Chứng minh đường vng góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường tròn M Bài 27 Cho đường trịn (O) điểm A ngồi đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB Chứng minh :
Tứ giác ABOC nội tiếp 2 BAO = BCO 3 MIH MHK 4 MI.MK = MH2
Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC
1 Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đường tròn (O)
3 Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân
4 Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 29 BC dây cung đường tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H
1 Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A’ trung điểm BC, Chứng minh AH = 2OA’
3 Gọi A1 trung điểm EF, Chứng minh R.AA1 = AA’ OA’
4 Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn
Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đường cao AH bán kính OA
1 Chứng minh AM phân giác góc OAH Giả sử B > C Chứng minh OAH = B - C
3 Cho BAC = 600 OAH = 200 Tính: B C tam giác ABC