Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho mặt phẳng qua M và vuông góc với d cắt mặt cầu S theo một đường tròn có chu vi 8.. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb.[r]
(1)www.VNMATH.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, NĂM 2011 MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x x Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình ( x 2) m x 1 Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình 34 x 32 x 1 1 4.32 x x 1 Tính các góc tam giác ABC biết sin B sin C (1 cos A) sin B sin 2C cos( A B) cos C Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I sin x cos x sin x cos x dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD), AB = 2CD = 4a, BC a 10 Gọi O là giao điểm AC và BD Biết SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt bên SAB là tam giác Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính cosin góc hai đường thẳng SD và BC Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab bc ca P a b c b c 4a c a 16b II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a, b) a Theo chương trình Chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x y x y 20 và điểm A(5; 6) Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) với B, C là các tiếp điểm Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC x y z 1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt cầu 2 ( S ) : x y z x y z 19 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt phẳng qua M và vuông góc với d cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi 8 z 2i là số ảo Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z z 2i và z2 b Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (1; 1); đường cao từ đỉnh A có phương trình x y và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x y Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC x y 1 z 1 x 1 y 1 z , 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1 : 1 1 1 và điểm A(1; 1; 2) Tìm tọa độ điểm B, C thuộc 1 , cho đường thẳng BC thuộc mặt phẳng qua điểm A và đường thẳng 1 đồng thời đường thẳng BC vuông góc với Câu VIIb (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn z 2i có acgumen acgumen z cộng với Tìm giá trị lớn biểu thức T | z | | z i | Hết Ghi chú: BTC trả bài vào các ngày 20, 21/06/2011 Văn phòng Trường THPT Chuyên – Đại học Vinh Để nhận bài thi, thí sinh phải nộp lại Phiếu dự thi cho BTC Chúc các em học sinh đạt kết cao kỳ thi Đại học năm 2011 ! (2) www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, NĂM 2011 MÔN: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu I (2,0 điểm) Đáp án Điểm (1,0 điểm) a Tập xác định: D b Sự biến thiên: * Chiều biến thiên: Ta có y ' x x x 2 x y' ; y ' 2 x và y ' x x 2 Suy hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2) và (0 ; ) , hàm nghịch biến trên (2; 0) * Cực trị: Hàm số đạt cực đại x 2 , yCĐ và đạt cực tiểu x , yCT 4 * Giới hạn: lim y ; lim y x x * BBT y x 2 y' 0,5 2 O x y 0,5 4 c Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số cắt trục hoành A(1; 0) 4 (1,0 điểm) Ta có ( x 2) m x ( x x 4) m, x x 1 x x x Xét hàm số f ( x) x ( x x 4) ( x x 4) x Suy đồ thị hàm số y f (x) gồm phần đồ thị (C) với x và đối xứng phần đồ thị (C) với x qua Ox y Dựa vào đồ thị ta suy * m 0, phương trình vô nghiệm * m 0, phương trình có nghiệm * m 4, phương trình có nghiệm * m 4, phương trình có nghiệm * m 4, phương trình có nghiệm 0,5 2 II (2,0 điểm) 0,5 O x (1,0 điểm) Điều kiện: x 1 Pt đã cho 3.32 3.32( x 1 x x 1 x ) 4.3 4.3 x 1 x x 1 x 1 t Đặt t x 12 x , t Khi đó pt trở thành 3t 4t t x 1 17 x x 2x x 2x x 4x 1 * Với t , ta có x 1 x x x 1 x x 3 * Với t 1, ta có x 1 x 0,5 (3) www.VNMATH.com 0,5 2 x x x 2 x (2 x 1) 4 x x 17 Vậy nghiệm pt là x và x (1,0 điểm) * Ta có sin B sin C (1 cos A) cos B cos 2C cos A cos A 2 (cos B cos 2C ) 2 cos A cos A cos( B C ) cos( B C ) 2 cos A cos A 0,5 cos A cos( B C ) cos A cos A (do cos( B C ) 1 cos A 2) A 90 * Ta có sin B sin 2C cos( A B) cos C sin( B C ) cos( B C ) cos( A B ) cos( A B ) sin A cos( B C ) 2 sin A sin( B ) cos( B C ) sin B cos B cos C sin B sin C sin B 0,5 cos B sin B sin B cos B sin B (do B C 90 ) cos B B 60 Suy A 90 , B 60 , C 30 III (1,0 điểm) Ta có I sin x tan x dx dx 2 2 cos x sin x cos x ( tan ) tan cos x x x Đặt t tan x Khi đó dt I dx Khi x thì t 0, x thì t Suy cos x 0,5 t t dt dt ( t )(t 2) 2t 5t IV (1,0 điểm 1 2 1 d t ln t ln t (ln ln 2) ln ln ln t 2t 6 0 +) Gọi H là hình chiếu C trên AB; M, N là trung AB CD a điểm AB, CD Ta có HB CH 3a OM 2a, ON a nên OAB S 0,5 vuông cân Suy OA OB 2a Do đó SO OB 2a Suy VS ABCD SO.S ABCD 6a +) BC // DM nên ( SD, BC ) ( SD, DM ) [0, V (1,0 điểm M A ] Ta có DM BC a 10 , SD SO OD 0,5 H B O D N C 2 a 10 , SM 2a Suy cos SDM Vậy cos 5 Đặt x a b c, y b c 4a, z c a 16b Khi đó x, y, z và 21x y z yx zx ,b ,c a 15 15 0,5 0,5 (4) www.VNMATH.com y x z x z x 21x y z 21x y z y x 15 15 15 15 Suy P x y z x y z 20 x y 16 x z y z x 16 x 15 x 15 y 15 z x 15 x y 15 z x z x 1 y 16 16 y 15 x z 3 x 15 15 2 y 2x y x Dấu đẳng thức xảy và z 16 x z 4x b c 4a 2( a b c) a c, b c c a 16 b ( a b c ) 7 16 , đạt a c, b c Vậy giá trị nhỏ P là 15 7 0,5 (1,0 điểm) VIa (2,0 điểm) B (C) có tâm I (1; 2), bán kính R = 5, BC cắt IA H Ta có AI = 10 IB 1 Do đó IH IA H ( ; 0); cos AIB 2 IA 0 AIB 60 ABC 60 nên ABC là tam giác IH A G H I C Suy tâm đường tròn nội tiếp ABC trùng với trọng tâm Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có AG AH G (2; 2) Bán kính đường tròn nội tiếp là r GH 25 Suy phương trình đường tròn nội tiếp ABC là ( x 2) ( y 2) (1,0 điểm) Mặt cầu (S) có tâm I (1; 1; 2), bán kính R Từ giả thiết suy mặt phẳng qua M vuông góc với d cắt (S) theo đường tròn có bán kính r Đường thẳng d có vectơ phương u (2; 1; 2); M d M (3 2t; t ; 2t ) Phương trình ( P) : 2( x 2t ) ( y t ) 2( z 2t ) x y z 9t Ta có d ( I , ( P)) R r 9t Suy M (3; 2; 1), M ( 1; 0; 5) VIIa (1,0 điểm) Đặt z x yi Khi đó t 3 t 2 0,5 0,5 0,5 z z 2i x yi x ( y 2)i 0,5 x y ( x 2) ( y 2) x y y x Ta có 0,5 (1) z 2i x ( y 2)i [ x ( y 2)i ].[( x 2) yi] z ( x 2) yi ( x 2) y x( x 2) ( y 2) y ( x 2)( y 2) xy x( x 2) ( y 2) y i là số ảo và 0 2 2 ( x 2) y ( x 2) y ( x 2) y x y 2( x y ) ( x 2) y (2) ( x 1) Thay (1) vào (2) ta x 0,5 x Suy y Vậy z 2i (1,0 điểm) VIb (2,0 điểm) Tọa độ chân đường cao H ( ; ) Đường thẳng d qua G và song song BC có pt 5 d : x y d AH I I ( ; ) Ta có HA 3HI A(1; 3) 5 0,5 (5) www.VNMATH.com d ( A, BC ) Suy BC S ABC d ( A, BC ) Gọi M là trung điểm BC Khi đó MA 3MG M (1; 0) Gọi B ( x1 ; x x1 ) Khi đó MB ( x1 1) x1 1 +) Với x1 B(3; 1) C (1; 1) +) Với x1 1 B (1;1) C (3; 1) Suy A(1; 3), B(3; 1), C (1; 1) A(1; 3), B (1; 1), C (3; 1) (1,0 điểm) 0,5 Ta có 1 qua D(0; 1; 1), có vectơ phương u1 (2; 1; 1) AD (1; 2; 1) [u1 , AD] (3; 1; 5) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và đường thẳng 1 Suy phương trình ( P) : 3 x y z cắt (P) C C (1; 3; 0) B 1 B (2t; t ; t ), có vectơ phương u (1; 1; 1), BC (1 2t ; t; t ) 0,5 BC BC.u t 2 Suy B (4; 1; 1) VIIb (1,0 điểm) Đặt z x yi Khi đó z 2i có acgumen acgumen z cộng với z 2i r (cos i sin ) , với r 4 z z 2i x ( y )i [ x ( y )i ].[( x ) yi] Ta có z ( x ) yi (x )2 y nên 0,5 x( x ) y ( y ) (x )2 y ( x )( y ) xy (x )2 y 0,5 i x2 y x( x ) y ( y ) ( x )( y ) xy Suy ( x 2) y 2 2 (x 2) y (x 2) y x y Ta có T | z | | z i | | ( x 1) yi | | x ( y 1)i | ( x 1) y x ( y 1) 2x y Áp dụng BĐT Côsi ta có T 2(6 x y ) 2(6 2( x y ) ) 20 Suy T , dấu đẳng thức xảy và x y Vậy giá trị lớn T là , đạt z i 0,5 (6)