Đang tải... (xem toàn văn)
Kẻ HL d thì HL//OE nên HL là đường trung bình của tam giác OEM, suy ra HL=1/2 OEkhông đổi + Do đó khi M di động trên d thì H luôn cách đều d một đoạn không đổi nên H chạy trên đường th[r]
(1)SỞ GD&ĐT TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC: 2011 – 2012 Môn: Toán (Thời gian làm bài 150’) Ngày thi 16 tháng năm 2012 a2 a 3a a a P a a 1 a a Bài (5đ) Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm GTNN P Bài (5đ) Giải các pt sau: 3 a) 2x x 2x 3x 3x x b) x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – = Bài (4đ) Cho (O; R) Đường thẳng d không qua O cắt (O) hai điểm A và B từ điểm tùy ý trên d và ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với (O), (M, N là hai tiếp điểm) a) Dựng vị trí điểm M trên d cho tứ giác MNOP là hình vuông b) Chứng minh tâm đường tròn qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định M di động trên d Bài (4đ) a) Tìm GTLN y x x2 2 3 b) Cho số a, b, c thỏa mãn: a b c 1;a b c 1;a b c 1 2009 b 2009 c2009 1 Chứng minh: a Bài (2đ) Cho ABC thay đổi, có AB = và CA = 2CB Tìm GTLN diện tích ABC - HẾT - Họ và tên:…………………………… SBD…………………………… Chữ kí GT 1:………………… ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2012 Bài 1: a) ĐK a > và a 2 P a2 a 3a a a a a 1 a a P a ( a 1)(a a 1) a a 1 a (3 a 2) ( a 2)( a 2) a a P a a b) Ta có P a a ( a 7 ) 4 với a TMĐK Vậy giá trị nhỏ P là a= Bài 2: 2 Coi PT là bậc hai với ẩn t = x2 ta tính PT có 9( y 2) từ đó ta có x2 = y2 + 5(1) và x2 = - y2 – 1(vô nghiệm) Với (1) ta thấy x phải lẻ nên đặt x = 2k+1 suy 2k2 + 2k - y2 = đó y phải chẵn nên đặt y = 2z suy k(k+1) – 2z = (vô nghiệm VT chia hết cho còn vế phải không chia hết cho Bài 3: a)Để MONP là hình vuông thì đường chéo OM=ON =R Dựng điểm M: ta dựng hình vuông OACD, dựng đường tròn tâm O qua điểm D, cắt (d) 2 M Chứng minh: Từ M vẽ tiếp tuyến MN và MP Ta có MN = MO ON R nên ta giác ONM vuông cân N Tương tự, tam giác ta giác OPM vuông cân P ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa (3) N E A M L B H F O I Q P đó MNOP là hình vuông Bài toán luôn có hai nghiệm hình vì OM = R >R b)Ta có: MN và MP là tiếp tuyến (O) nên MNOP là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM tâm là trung điểm H OM, suy tam giác cân MPQ nội tiếp đường tròn đường kính OM tâm H +) Kẻ OE vuông góc AB thì E là trung điểm AB ( cố định) Kẻ HL (d) thì HL//OE nên HL là đường trung bình tam giác OEM, suy HL=1/2 OE(không đổi) +) Do đó M di động trên (d) thì H luôn cách (d) đoạn không đổi nên H chạy trên đường thẳng (d’)//(d) và (d’) qua trung điểm đoạn OE +) Ta có : Om là phân giác góc NMP kẻ tia phân giác PNM cắt đường tròn (O) điểm F, đó NF FP => F trên OM, đó F là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP Vậy M di động trên (d) thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đường tròn (O) Chú ý: hình vẽ phức tạp nên dựng hình vuông OACD không vẽ trên trên hình vẽ Bài 4: a b2 a) áp dụng BĐT ab ĐK –x2 0 ta có y x x2 ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa (4) Vậy giá trị lớn y là 9/2 x= b) ta có a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) => 1-3abc=1-ab-bc-ca =>ab+bc+ca=3abc mà 12=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) => ab+bc+ca=0 => abc=0 => a=0 b=0 c=0 b c 1 2 b c 1 b3 c 1 Nếu a = => =>b2+c2+2bc=1 => 2bc=0 =>(a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(0,1,0) Nếu b = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(1,0,0) Nếu c = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) (a,b,c) =(1,0,0) Vậy mội trường hợp ta có P = Bài 5: Đặt BC =x > theo công thức He rông ta có S= p ( p a)( p b)( p c) với p 6x 3x x x 3x 2 2 => S2= 9 (36 x )( x 4) ( x 20) 256 256 144 16 16 => S2= 16 Vậy giá trị điện tích lơn là 12(đvđt) x= 20 (đvđd) ST: Phạm Văn Vượng – NBS – HH – Thanh Hóa (5)