Chứng minh rằng: Số với mọi n là số nguyên dương có thể viết được thành tổng các bình phương của ba số nguyên dương lẻ liên tiếp.. Gọi E là giao điểm của tia CN và tia DA.[r]
(1)UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG Năm học: 2012-2013 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi này gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu ( 3.0 điểm) Cho a, b là các số dương thỏa mãn: a = b + 4024 và x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = a; x2 + y2 + z2 = b a Tính giá trị biểu thức: P = xy + yz + zx b Chứng minh giá trị biểu thức Q sau đây không phụ thuộc vào x, y, z : (2012 y )(2012 z ) (2012 z )(2012 x ) (2012 y )(2012 x ) y z 2012 x 2012 y 2012 z 2 Tìm giá trị các số x, y, biết: Q x x 32 x y 0 và x 32 x y 24 0 Câu ( 3.0 điểm) A 12 ( n -1)n n 1 n 23 a Chứng minh rằng: Số với n là số nguyên dương có thể viết thành tổng các bình phương ba số nguyên dương lẻ liên tiếp b Cho đa thức bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a là số nguyên dương, biết f(5) − f(4) = 2012 Chứng minh rằng: f(7) − f(2) là hợp số c Biểu diễn số 20122012 = a1 + a2 + + an , đó n, ( i = 1; 2; ; n) là các số nguyên 3 dương Tìm số dư chia tổng S = a1 a2 an cho ? Câu (2.5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh là a Lấy điểm N bất kì trên cạnh AB ( N không trùng A và B) Gọi E là giao điểm tia CN và tia DA Kẻ tia Cx vuông góc với tia CE C cắt tia AB F, gọi M là trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh N di chuyển trên cạnh AB thì: 1 CN không đổi a) CE b) Điểm M di chuyển trên đường cố định Đặt BN = x Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x Câu ( 1.5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc Tìm giá trị lớn biểu thức: S a bc(1 a ) b ca(1 b ) c ab(1 c ) HẾT Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh SBD: (2)