Gäi I lµ trung ®iÓm cña PN th× IC lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng PAC nªn IPC cân tại I... Do đó IC là tiếp tuyến tại C của đờng tròn..[r]
(1)Phòng giáo dục và đào tạo PHÚC THỌ đề thi chính thức Câu 1: (4,0 điểm) Cho biÓu thøc : P = kú thi chän häc sinh giái líp THCS n¨m häc 2007 - 2008 M«n: To¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 2x + x-2 x - 5x + − x-3 a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa và rút gọn biểu thức P b) Tìm tất các giá trị x để P nguyên Câu 2: (5,0 điểm) y lµ cm 3x vµ Trên mặt phẳng tọa độ cho các đờng thẳng (d): (d') : y = - 3x c¾t t¹i C vµ lÇn lît c¾t trôc Ox t¹i A, B a) Tìm tọa độ các điểm A, B, C b) Tìm diện tích và chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trên các trục Câu 3: (4,0 điểm) a, Cho sè d¬ng a,b,c tho¶ m·n a b2 c 1 1 Chứng minh bất đẳng thức: a b c abc b, T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 25 y ( y 6) Câu 4: (5,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A và B ta vẽ hai dây cung AC và BD cắt N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đờng tròn cắt M Gọi P là giao điểm hai đờng thẳng AD và BC a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB b, Chøng minh P,M,N th¼ng hµng C©u 5: (2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 2000 3 Hết - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu gì C¸n bé coi thi kh«ng giải thÝch g× thªm Phßng gi¸o dôc vµ đào tạo PHÚC THỌ kú thi chän häc sinh giái líp THCS n¨m häc 2008 - 2009 §¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm M«n: To¸n Híng dÉn chÊm nµy cã trang (2) C©u C©u ý Néi dung c¬ b¶n ¿ x≠2 ; x≠ §iÒu kiÖn : x - 5x + ≠ x vµ x ¿{ ¿ a) 2x P = + − x-2 x x - 5x + 2x (x - 3)+ −(x - 2) = = 2x - 7x + (x - 2)(x -3) ( x - 2)( x −3) (2x - 3)(x - ) 2x - = = x −3 ( x - 2)(x −3) 2x - VËy : P = víi x , x x −3 2x - 3 (2x - 6)+ Ta cã P = = =2 + x −3 x −3 x −3 nªn P nguyªn nguyªn x - lµ íc cña x −3 b) x =6 x-3=3 ¿ ¿ x =4 x-3=1 ¿ ¿ x =0 x - = -3 ¿ ¿ x = ( lo¹i ) x - = -1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ VËy c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m lµ x = ; x = ; x = ý a) b) Néi dung c¬ b¶n C là giao điểm d và d/ nên tọa độ C thỏa mãn hệ : ¿ ¿ ¿ 2y = 3x + 2y = 3x + x=1 y=3 VËy C(1 ; 3) 2y = - 3x 4y = 12 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ Phơng trình trục Ox là y = nên tọa độ A thỏa mãn hệ : ¿ ¿ 2y = 3x + x=-1 y=0 VËy A(- 1; 0) y=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ tọa độ B thỏa mãn hệ : ¿ ¿ 2y = - 3x x=3 y=0 VËy B(3 ; 0) y=0 ¿{ ¿{ ¿ ¿ Gäi H lµ h×nh chiÕu cña C trªn trục Ox thì CH là đờng cao tam gi¸c CAB vµ CH = cm ( tung độ điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = + = (cm) dt(ABC) = AB.CH = 4.3 = (cm2) §iÓm 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 1,0 §iÓm 1,0 0,5 0,5 1,5 y y= 3x+3 C -1 A O H x B y= 9-3x 1,5 (3) C©u a b HA = HO + OA = + = (cm) HB = AB - AH = (cm) HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân C (CH vừa là đờng cao vừa là trung tuyÕn) ; tam gi¸c vu«ng HCA cã : CA =√ AH2 + HC2= √22 + 32 = √ 13 (cm) chu vi ABC lµ : AB + BC + CA = 13 (cm) Ta cã a b c 0 a b c 2(ac bc ab) 0 1 ac bc ab (a b c ) 2 ac bc ab (do a, b, c > 0) abc abc 1 1 a b c abc Tõ x 25 y ( y 6) Ta cã : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Để ý phơng trình chứa ẩn số x với số mũ , đó ta có thể h¹n chÕ gi¶i víi x lµ sè tù nhiªn Khi đó: y+3+x y+3-x Ta cã ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) lµ sè ch½n Suy sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) cïng tÝnh ch½n lÎ Ta l¹i cã tÝch cña chóng lµ sè ch½n , vËy sè sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) lµ sè ch½n Ta chØ cã c¸ch ph©n tÝch - 16 tÝch cña sè ch½n sau ®©y - 16 = (-2) = (-4) = (-8) đó thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 5, ; 5, ; 4, 3 Vì phơng trình đã cho có các nghiệm ( x,y) = ( 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 C©u a b Trong tam gi¸c PAB ta cã AC vµ BD lµ c¸c đờng cao nên N là trực tâm tam giác Do đó PN là đờng cao còn lại nên vuông gãc víi c¹nh AB Gäi I lµ trung ®iÓm cña PN th× IC lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c vu«ng PAC nªn IPC cân I Do đó : IPC ICP Tam gi¸c OAC c©n t¹i O nªn : CAO ACO MÆt kh¸c CAO IPC (do cã c¸c c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) nªn ACO ICP 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 (4) Ta có AC PC nên OC IC Do đó IC là tiếp tuyến C đờng tròn 0.5 Tơng tự , ID là tiếp tuyến D đờng tròn Chøng tá I trïng víi M nªn P,M,A th¼ng hµng C©u 5 2000 1999.2001 1998 2000 1,0 1998.2000 1997 1999 1,0 1997.1999 2.4 Hết (5)