Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: ab+ c = ab + ac + Muốn nhân một số với một tổng , ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại.. * Điều ki[r]
(1)Chủ đề: Các phép toán N Tính chất giao hoán phép cộng và phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số tích thì tích không đổi Tính chất kết hợp phép cộng và phép nhân: (a+b) + c = a + (b+c); (a.b).c = a(b.c); + Muốn cộng tổng hai số với số thứ ba , ta có thể cộng số thứ với tổng hai số thứ hai và thứ ba + Muốn nhân tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ với tích số thứ hai và số thứ ba Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b+ c) = ab + ac + Muốn nhân số với tổng , ta có thể nhân số đó với số hạng tổng cộng các kết lại * Điều kiện để thực phép trừ là số bị trừ lớn số trừ * Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N; b≠ 0) là có số tự nhiên p cho a= b.p * Trong phép chia có dư: Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư ( a = b.p + r) số dư khác và nhỏ số chia Bài 1: a) Tính tổng các sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang , ta số 123….999 Tính tổng các chữ số số đó Bài 2:Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số đó thì số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu Bài 3: Cho số có chữ số abc ( a, b, c khác và khác ) Nếu đổi chỗ các chữ số cho ta số Hỏi có tất bao nhiêu số có chữ số ( Kể số ban đầu) Bài 4: Cho chữ số a, b, c và số ( a, b, c khác và khác 0) với cùng chữ số này, có thể lập bao nhiêu số có chữ số? Bài 5: Cho chữ số khác Với cùng chữ số này có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nhau? Bài 6: Tìm hai số biết tổng chúng là 176; số có hai chữ số khác và số này là số viết theo thứ tự ngược lại Bài 7: Từ 10 chữ số 0; 1; ; …; hãy ghép thành số có chữ số cộng chúng lại a) Tìm giá trị lớn tổng b) Tìm giá trị nhỏ tổng Bài 8: Cho chữ số khác và khác a) Chứng tỏ có thể lập 4! số có chữ số khác b) Có thể lập bao nhiêu số có hai chữ số khác chữ số đã cho Bài 9:Có số tự nhiên nào mà tích chúng 2003 và tổng chúng có tận cùng không? Bài 10:Tính giá trị biểu thức a) A = (10–1).(100–2).(100–3) … (100 – n) với n ∈N* và tích trên có đúng 100 thừa số b) B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100 Bài 11:Không tính giá trị cụ thể hãy so sánh: a)A=199.201 và B=200.200 b) C=35.53–18 và D=35+53.34 Doandanhtai@gmail.com - Lớp : Các phép toán N - Trang (2) c) E=1998.1998 và F= 1996.2000 Bài 12:Hãy viết các số sau dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp a) 12 b) 1122 ; 111222 Bài 13:Tìm các chữ số a, b, c, d biết a bcd abc = abcabc Bài 14: Cho a, b n ∈N* ; a > ; b > Chứng tỏ a + b < a.b Bài 15: a)Một số có chữ số là số tự nhiên liên tiếp Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì số số cũ là bao nhiêu? b)Hai số không chia hết cho 3, chia cho số dư khác Chứng tỏ tổng hai số đó chia hết cho Bài 16:Chứng tỏ phép trừ , tổng số bị trừ, số trừ và hiệu chia hết cho Bài 17:Cho M = { 1; 13; 21; 29; 52 } Tìm x, y ∈M biết 30 < x – y < 40 Bài 18:Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 2003 – 1003 : (999 – x) với x ∈N Bài19: Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư, a ≥ b Chứng tỏ a–b chia hết cho m Bài 20: Trong phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12 Tìm số chia và thương Bài 21: Chia 129 cho số ta số dư là 10 Chia 61 cho số đó ta số dư là 10 Tìm số chia Bài 22: Cho tổng S = + 10 + 13 + … + 97 + 100 a) Tổng trên có bao nhiêu số hạng b) Tìm số hạng thứ 22 c) Tính S Bài 23: Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho dư 3; A = { x ∈N / x = 7.q + ; q ∈N ; x ≤ 150 } a) Hãy liệt kê các phần tử A thành dãy số từ nhỏ đến lớn b) Tính tổng các phần tử A Bài 24: Tính : 31 ;2 32 34 12 ;7 10 20 ; 2003 Bài 25: Tìm số tự nhiên x biết: a) 2x – 15 = 17 ; 2009 89 03 b) (x – 2)2 = c) x –105 :21 =15 d) (x- 105) :21 =15 e) ( x – 5)(x – 7) = f) 541 + (218 – x) = 735 g) 96 – 3(x + 1) = 42 h) (x – 47) – 115 = k) (x – 36):18 = 12 Bài 26: Tìm số tự nhiên n biết: a) 32 < 2n < 128 b) 2.16 > 2n > Bài 27: Tính giá trị biểu thức: A = (11.322.37 – 915) : (2 314)2 Bài 28: Hiệu hai số là 862, chia số lớn cho số nhỏ ta thương là 11 và dư 12 Tìm Bài 29: Một phép chia có tổng số bị chia và số chia 72 Biết thương là và số dư là Tìm số bị chia và số chia Bài 30: Tìm các số tự nhiên a , biết chia a cho thì thương là 15 Doandanhtai@gmail.com - Lớp : Các phép toán N - Trang (3) Chủ đề: Các phép toán N Tính chất giao hoán phép cộng và phép nhân a + b = b + a ; a.b = b.a Khi đổi chỗ các số hạng tổng thì tổng không đổi Khi đổi chõ các thừa số tích thì tích không đổi Tính chất kết hợp phép cộng và phép nhân: (a+b) + c = a + (b+c); (a.b).c = a(b.c); + Muốn cộng tổng hai số với số thứ ba , ta có thể cộng số thứ với tổng hai số thứ hai và thứ ba + Muốn nhân tích hai số với số thứ ba ,ta có thể nhân số thứ với tích số thứ hai và số thứ ba Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b+ c) = ab + ac + Muốn nhân số với tổng , ta có thể nhân số đó với số hạng tổng cộng các kết lại * Điều kiện để thực phép trừ là số bị trừ lớn số trừ * Điều kiện để a chia hết cho b ( a,b ∈ N; b≠ 0) là có số tự nhiên p cho a= b.p * Trong phép chia có dư: Số bị chia = Số chia x Thương + Số dư ( a = b.p + r) số dư khác và nhỏ số chia Bài 1: a) Tính tổng các sống tự nhiên từ đến 999; b) Viết liên tiếp các số tự nhiên từ đến 999 thành hang ngang , ta số 123….999 Tính tổng các chữ số số đó Giải a) Ta có + + + ……+ 997 + 998 + 999 = (1+ 999) + ( + 998 ) +(3 + 997 ) … + (409 + 501 ) = 1000.250 = 250000 b) số 999 có tổng các chữ số 27, vì tách riêng số 999 , kết hợp với 998; với 997 ; với 996;… thành cặp để có tổng 999, thì tổng có tổng các chữ số là 27.vì có 499 tổng ,cộng thêm với số 999 có tổng các chữ số 27.do đó tổng các chữ số nêu trên là 27.50= 13500 Bài 2:Tìm số có hai chữ số,biế viêt chữ số xen hai chữ số đó thì số có ba chữ số gấp lần số có hai chữ số ban đầu Giải : gọi số có hai chữ số phải tìm là ab đó a ,b là các số tự nhiên từ đến 9.theo đề bài ,ta có: a0b = ab hay 100a + b = 9( 10a + b ) hay 100a + b = 90a + 9b Do đó 5a = 4b phép thử trực tiếp ta thấy các số tự nhiên từ đến có a= ,b = thỏa mãn 4a = 5b Số có hai chữ số phải tìm là 54 Bài 3: Cho số có chữ số abc ( a, b, c khác và khác ) Nếu đổi chỗ các chữ số cho ta số Hỏi có tất bao nhiêu số có chữ số ( Kể số ban đầu) HD: Có cách chọn chữ số hàng trăm; cách chọn chữ số hàng chục; cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất : 3.2.1 = (số ) Bài 4: Cho chữ số a, b, c và số ( a, b, c khác và khác 0) với cùng chữ số này, có thể lập bao nhiêu số có chữ số? HD: Có cách chọn chữ số hàng nghìn; cách chọn chữ số hàng trăm; cách chọn chữ số hàng chục; cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất : 3.3.2.1 = 18 ( số) Doandanhtai@gmail.com - Lớp : Các phép toán N - Trang (4) Bài 5: Cho chữ số khác Với cùng chữ số này có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nhau? HD:Trường hợp không có chữ số thì có 5.4.3.2.1 = 120 ( số) Trường hợp có chữ số thì có 4.4.3.2.1 = 96 ( số) Bài 6: Tìm hai số biết tổng chúng là 176; số có hai chữ số khác và số này là số viết theo thứ tự ngược lại HD: Gọi số thứ là ab thì số thứ hai là ba ( < a,b ≤ ; a ≠ b) Theo đề ta có : + ab ba 176 Từ cột hàng chục ta thấy : a + b > 10 , từ cột hàng đơn vị ta suy b + a = 16 Vì a ≠ b nên a = ; b = a = ; b = Vậy hai số cần tìm là 97 và 79 Bài 7: Từ 10 chữ số 0; 1; ; …; hãy ghép thành số có chữ số cộng chúng lại c) Tìm giá trị lớn tổng d) Tìm giá trị nhỏ tổng HD: a) Muốn có tổng lớn thì các chữ số hàng chục số hạng phải lớn Ta chọn 9;8;7;6;5 làm chữ số hàng chục , còn chữ số còn lại là các chữ số hàng đơn vị Khi đó ta có tổng số là 90 + 81 +72 + 63 + 54 = 360 Vậy giá trị lớn tổng là 360 ( các chữ số hàng đơn vị có thể đổi chỗ cho cách tùy ý) b)Tương tự ta có tổng số là : 19 + 28 + 37 + + 50= 180 Bài 8: Cho chữ số khác và khác c) Chứng tỏ có thể lập 4! số có chữ số khác d) Có thể lập bao nhiêu số có hai chữ số khác chữ số đã cho HD:a) có cách chọn chữ số hàng nghìn; cách chọn chữ số hàng trăm; cách chọn chữ số hàng chục; cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất : 4.3.2.1 = 4! ( số) b)Có cách chọn chữ số hàng chục; cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 4.3 = 12 ( số) Bài 9:Có số tự nhiên nào mà tích chúng 2003 và tổng chúng có tận cùng không? HD: Giả sử có số tự nhiên có tích 2003; tích là số lẻ nên số là số lẻ, đó tổng chúng là phải là số lẻ nên không thể có chữ số tận cùng Vậy không tồn số tự nhiên nào Bài 10:Tính giá trị biểu thức c) A = ( 10 – 1).(100 – 2) (100 – 3) … (100 – n) với n ∈N* và tích trên có đúng 100 thừa số d) B = 13a + 19b + 4a – 2b với a + b = 100 ĐS: a) A = ( 10 – 1).(100 – 2) (100 – 3) … (100 – 100) = 99.98….0 = b) B = (13a + 4a )+ (19b – 2b) = 17a + 17b = 17(a + b) = 17 100 = 1700 Bài 11:Không tính giá trị cụ thể hãy so sánh: Doandanhtai@gmail.com - Lớp : Các phép toán N - Trang (5) a) A = 199 201 và B = 200.200 b) C = 35.53 – 18 và 35 + 53.34 c) E = 1998.1998 và F = 1996.2000 HD: a) A = 199 201 = 199.( 200 + 1) = 199.200 + 199 và B = 200.200 (199 + 1).200 = 199.200 + 200 Vì 199.200 + 199 < 199.200 + 200 nên A < B b)C = D c)E < F Bài 12:Hãy viết các số sau dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp a) 12 b) 1122 ; 111222 HD: a) 12 = 3.4 b)1122 = 1100 + 22 = 11.100 + 2.11 = 11(100 + 2) = 11 102 = 11 34 = 33 34 c)111222 = 111000 + 222 = 111.1000 + 2.111 = 111(1000 + 2) = 111 1002 = 111.3 334 = 333 334 Bài 13:Tìm các chữ số a, b, c, d biết a bcd abc = abcabc Ta có abcabc = abc.1000 + abc = 1001.abc = 7.143.abc Vậy a bcd abc = 7.143.abc Suy a = 7; b = ; c = ; d = Bài 14: Cho a, b n ∈N* ; a > ; b > Chứng tỏ a + b < a.b HD: Vì a > ; b >2 nên a = + m ; b = + n ( m, n ∈N* ) Ta có a + b = ( + m ) + ( + n) = + ( m + n) (1) a.b = (2 + m) (2 + n) = (2 + m) + (2 + m) n = + 2m + 2n + mn = + 2(m + n) + m.n (2) Vì m, n ∈N* nên 2( m + n) > m + n và m.n > Do đó từ (1) và (2) a + b = a.b Bài 15:a)Một số có chữ số là số tự nhiên liên tiếp Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì số số cũ là bao nhiêu? b)Hai số không chia hết cho 3, chia cho số dư khác Chứng tỏ tổng hai số đó chia hết cho HD: a) Gọi số có chữ số là abc , đó a, b, c là số tự nhiên liên tiếp Suy : c – a = Số viết theo thứ tự ngược lại là cba Ta có cba - abc = (100c + 10b + a) – (100a + 10b + a) = 100c + 10b + a – 100a - 10b – a = 99c – 99a = 99( c- a) = 99.2 = 198 b)Gọi hai số là a và b Giả a chia dư 1; b chia dư Suy a = 3q1 + 1; b = 3q2 + Khi đó a + b = 3q1 + 1+ 3q2 + = 3q1 + 3q2 + = 3(q1 + q2 + 1) M Bài 16:Chứng tỏ phép trừ , tổng số bị trừ, số trừ và hiệu chia hết cho HD: Gọi a là số bị trừ, b là số trừ ; c là hiệu a – b Khi đó ta có : c = a – b Ta có tổng số bị trừ, số trừ và hiệu là a + b + c = a + b + a – b = 2a M Doandanhtai@gmail.com - Lớp : Các phép toán N - Trang (6) Bài 17:Cho M = { 1; 13; 21; 29; 52 } Tìm x, y ∈M biết 30 < x – y < 40 Vì x – y > 30 nên x > 30 ⇒ x = 52 Từ x – y > 30 ⇒ 52 – y > 30 ⇒ y < 22 (1) Từ x – y < 40 ⇒ 52 – y < 40 ⇒ y > 12 (1) Từ (1) và (2) suy 12 < y < 22 Do y ∈{ 1; 13; 21; 29; 52 } nên y = 13 y = 22 Bài 18:Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 2003 – 1003 : (999 – x) với x ∈N HD: B có giá trị nhỏ ⇔ 1003 : (999 – x) có giá trị lớn ⇔ 999 – x có giá trị nhỏ ⇔ 999 – x = (Vì số chia phải khác 0) ⇔ x = 988; lúc đó B = 1000 Bài 19: Hai số tự nhiên a và b chia cho m có cùng số dư , a ≥ b Chứng tỏ a – b chia hết cho m HD: Gọi số dư là r, ta cò a = mq1 + r; b = mq2 + r Suy a – b = (mq1 + r) – ( mq2 + r) = mq1 + r – mq2 – r = m ( q1 – q2) M m Bài 20: Trong phép chia có số bị chia là 155; số dư là 12 Tìm số chia và thương HD: Gọi sô bị chia , số chia và số dư là a, b, q, r Ta có a = b.q + r ( b ≠ ; r < b) Suy : b q = a – r = 155 – 12 = 143 = 143.1 = 13.11 Vì b > 12 nên ta chọn b = 143 , q = b = 13; q = 11 Bài 21: Chia 129 cho số ta số dư là 10 Chia 61 cho số đó ta số dư là 10 Tìm số chia HD: Gọi số chia là b, theo đầu bài ta có ; 129 = b.q1 + 10 ⇒ b.q1 = 119 = 119 = 17.7 61 = b.q2 ⇒ b.q2 = 51 = 51 = 17.3 Vì b > 10 và q1 ≠ q2 nên ta chọn b = 17 Bài 22: Cho tổng S = + 10 + 13 + … + 97 + 100 a)Tổng trên có bao nhiêu số hạng b)Tìm số hạng thứ 22 HD: a)Số số hạng tổng là (100 – 7) : + = 32 ( số hạng) b)Gọi số hạng thứ 22 là x , ta có : (x – 7) : + = 22 ⇒ 70 c)Ta có S = (7 + 100) 32 : = 1712 c)Tính S Bài 23: Cho A là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 150, chia cho dư 3; A = { x ∈N / x = 7.q + ; q ∈N ; x ≤ 150 } a) Hãy liệt kê các phần tử A thành dãy số từ nhỏ đến lớn b)Tính tổng các phần tử A HD:a)A = {3; 10; 17; 24; …; 143; 150} b)Dễ thấy dãy số 3; 10; 17; 24; …; 143; 150 là dãy số cộng với u1= ; d = Số hạng dãy là n = (un – u1) : d + = (150 – 3): + = 22( số hạng) Tổng các số hạng dãy là Sn = (u1 + un).n : = (3 + 150).22:2 = 1683 Doandanhtai@gmail.com - Lớp : Các phép toán N - Trang (7) Bài 24: Tính : 31 ;2 32 34 12 ;7 10 20 ; 2003 389 ; 20090 Bài 25: Tìm số tự nhiên x biết: a) 2x – 15 = 17 c) x –105 :21 =15 d) (x- 105) :21 =15 ⇔ x-105 =21.15 ⇔ x-5 = 15 ⇔ b) (x – 2)2 = ⇔ x-105 =315 x = 20 ⇔ x = 420 e( x – 5)(x – 7) = (§S:x=5; x = 7) f/ 541 + (218 – x) = 735 (§S: x = 24) g/ 96 – 3(x + 1) = 42(§S: x = 17) h/ ( x – 47) – 115 = (§S: x = 162) g/ (x – 36):18 = 12 (§S: x = 252) Bài 26: Tìm số tự nhiên n biết: a) 32 < 2n < 128 b) 2.16 > 2n > Bài 27: Tính giá trị biểu thức: A = (11.322.37 – 915) : (2 314)2 Bài 28: Hiệu hai số là 862, chia số lớn cho số nhỏ ta thương là 11 và dư 12 Tìm hai số đó HD: Goïi hai soá caàn tìm laø a vaø b (a,b ∈N, a > b >0 ) Theo đề bài ta có : a – b = 862 Mặt khác , theo ñònh nghóa pheùp chia coù dö, ta coù: a = 11b + 12 ⇒ a – 11b = 12 ⇒ a – b – 10b = 12 ⇒ (a – b) – 10b = 12 ⇒ 862 – 10b = 12 ⇒ b = 85 Suy : a = 862 + 85 = 947 Bài 29: Một phép chia có tổng số bị chia và số chia 72 Biết thương là và số dư là Tìm số bị chia và số chia HD: Gọi số bị chia và số chia là a và b (a,b ∈N,a > b >0) Theo đề ta có : a + b = 72 và a = b.3 + Suy b.3 + + b = 72 ⇒ 4b = 64 ⇒ b = 16 Do đó a = 72 – 16 = 56 Vậy số bị chia là 56 và số chia là 16 Bài 30: Tìm các số tự nhiên a , biết chia a cho thì thương là 15 HD: Khi chia a cho thì thương là 15 thì ta có hệ thức : a = 3.15 + r ( ≤ r < ) *Nếu r = thì a = 3.15 = 45 *Nếu r = thì a = 3.15 + = 46 *Nếu r = thì a = 3.15 + = 47 Vậy a có thể là các số 45; 46; 47 ĐS : Số lớn :8250 ; số nhỏ : 40 Doandanhtai@gmail.com - Lớp : Các phép toán N - Trang (8)