De thi HSG cap truong toan 9

Suy ra  OIC vuông tại I suy ra I thuộc đường tròn đường kính OC.. Suy ra I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN ( GỬI PHÒNG ) : 2012-2013 15 x  11 x  2 x     x 0, x 1 x 3 Bài 1: ( điểm ) Cho biểu thức x  x   x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A A c) Chứng minh rằng d) Tìm giá trị lớn nhất của A 222 555 Bài ( điểm ) : Chứng minh rằng :  chia hết cho a b c a  b  c x  y  x    0 2 x y z Bài ( điểm) : Cho Chứng minh rằng : ax  by  cz 0 Bài ( điểm) : Cho a,b,c,d > và a.b.c.d = a  b  c  d  a b  c  b c  d  d c  a 10       Chứng minh rằng : Bài (8,0 điểm) Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R) C là điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I là trung điểm của AC, OI cắt tiếp tuyến A của đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đường tròn b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R) c) Chứng minh K là trung điểm của CH d) Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo R HẾT ĐÁP ÁN : Nội dung Điểm Bài : a) A   15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 15 x  11 x  2 x    x2 x  x1 x 3   0.5     15 x  11  x  x 3  x 3  x1 x 3      x1 0.5 x  5x    x1 x 3 0.5  0.5 2 x x 3 b) Để A 0.5 2 x   2 x  x 3 x 3   10 x  x   x  11  x 121   A c) Xét  0.25 0.25 0.25 0.25  2 x  x 3 3 0.25  x  17 x    x 3 3 x 3   Ta có :  17 x   ( vì x 0) và  17 x  Nên  b )A  x 3 Vậy A  x 3  ( vì x 0) 0.25 0.25 0.25 2 x x 3  d)  0  17  x   x 3 17   x 3  0.25 0.25 17 x  đạt giá trị lớn nhất, nên x  đạt GTNN suy x = A đạt GTLN Bài : 555 2(mod 7)  555222  2222(mod ) (1) 23 1(mod7)  (23)74 1(mod7)  555222 1(mod7) (2) 0.25 0.5 0.5 222 -2(mod7)  222555 (-2)222(mod7) Lại có (-2)3 -1(mod7)  [(-2)3]185 -1(mod7)  222555  -1(mod7) (3) Từ (1), (2) và (3) Suy 555222+222555 1-1(mod 7)  555222+222555 chia hết cho 0.5 0.5 Bài Ta có x + y+ z =  x2 = (y+z)2 ; y2 =(x+z)2; z2 = (y+x)2  ax2 +by2 +cz2 = a(y+z)2 +b(x+z)2+c(y+x)2 =(b+c)x2 +(a+c)y2+(a+b)z2 +2(ayz+bxz+cyz) (1) Từ a+b+c =  -a=b + c ; -b = a + c; -c = a + b( 2) 0.5 0.5 0.5 0.5 a b c ayz+bxz+cxy   0 0 xyz   ayz+bxz+cxy = 0(3) Từ x y z 2 2 2 2 Thay (2); (3) vào (1) ta được : ax +by +cz =-(ax +by +cz )  ax +by +cz = ( Hai số đối mà bằng chỉ có số 0) Bài 0.25 0.25 2 2 Ta có : a  b 2ab; c  d 2cd Do abcd = nên cd  ab   a  b  c  d 2  ab  cd  2  ab   4 (1) ab   Ta có a  b  c   b  c  d   d  c  a   ab  cd    ac  bd    bc  ad  Mặt khác : 2 0.5 0.5 0.5        ab     ac     bc   2   ab   ac   bc    a  b  c  d  a  b  c   b  c  d   d  c  a  10 0.25 0.5 0.25 M C I K A O H B 1) Chứng minh điểm C, H, O, I cùng thuộc đường tròn (2 điểm) Chứng minh OI  AC Suy  OIC vuông I suy I thuộc đường tròn đường kính OC CH  AB (gt)  CHO vuông H  H thuộc đường tròn đường kính OC Suy I, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC hay C, I, O, H cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) (2 điểm)   - Chứng minh AOM COM 0.75 0.25 0.75 0.25 0.75 - Chứng minh  AOM =  COM - Chứng minh MC  CO  MC là tiếp tuyến của (O; R) 3) Chứng minh K là trung điểm của CH ( điểm) KH HB AM.HB AM.HB   KH   AB 2R  MAB có KH//MA (cùng  AB)  AM AB (1)   Chứng minh cho CB // MO  AOM CBH (đồng vị) MA AO AM.HB AM.HB   CH   AO R C/m  MAO đồng dạng với  CHB  CH HB (2)   Từ (1) và (2) suy CH = KH CK = KH K là trung điểm của CH 4) Xác định vị trí của C để chu vi  ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó Chu vi tam giác ACB là PACB AB  AC  CB 2R  AC  CB 0.75 0.25 0.25 0.75 0.25 0.5 Ta lại có  AC  CB  0  AC  CB 2AC.CB  2AC  2CB AC  CB  2AC.CB     AC  CB  AC  CB   AC  CB  AC  CB  AC  CB  2AB go) (Pita 0.75 AC  CB  2.4R  AC  CB 2R Đẳng thức xảy AC = CB  M là điểm chính cung AB Suy AB  PACB 2R  2R 2R  Vậy max  PACB 2R   , dấu "=" xảy M là điểm chính cung  đạt được M là điểm chính cung AB 0.25 0.25 0.25