quy nap toan hoc

Phương pháp qui nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N... Các dạng toán Dạng 1 : Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh một đẳ[r]

Trường THPT Trần Quang Khải Nhthinh7@ QUI NẠP TOÁN HỌC Phương pháp qui nạp thực có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N Phương pháp giải Để chứng minh mệnh đề Q(n) đúng với n  p , ta thực bước theo thứ tự: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n  p Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n  k  p , ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n  k  Các dạng toán Dạng : Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh đẳng thức VD1: CMR: n   , n  ,ta có: an – bn = (a – b)(a n – + a n – 2.b +… +a.b n -2 +b n– ) VD2: CMR: n   , n  1, ta có: VD3:  n(n  1)  13  23   n3     u1   b)  un 1   un , n  u  Tìm SHTQ dãy số sau: a )  un 1  2un , n  u1   u1  a d)  c)  un 1  a  bun , n  u n 1  u n  2n  n  1 n 2n  VD4: CMR: n   , n  1, ta có :    n   32 4 n   2n      VD5: CMR: n   , n  1, ta có:  1         1        25   (2n  1)   2n a  b VD6: CMR: n   , n  1, và với cặp số (a; b): n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b   Cnk a n  k b k   Cnnb n VD8: CMR: n   , n  1, ta có: n(n  1)     (2n  1)  n VD9: CMR: n   , n  1, ta có: 12  2    n  1  n  VD7: CMR: n   , n  1, ta có: VD10: CMR: n   , n  1, ta có: VD11: CMR: n   , n  1, ta có: VD12: CMR: n   , n  1, ta có:    n  nn  12n  1 1 n     1.2 2.3 n.(n  1) n  1 1 n     1.3 3.5  2n  1 (2n  1) 2n  n  n  3 1     1.2.3 2.3.4 n.(n  1)  n    n  1 n   VD13: CMR: n   , n  1, ta có: d) 1.1!  2.2!   n.n!  (n  1)!  n  N * VD14: Xét tính bị chặn, bị chặn trên, bị chặn các dãy số sau: 2n  a) u n  n ; 1 2005n b) u n  n ; 1 Chuyên đề: Qui nạp toán học c) u n  n 2n d) u n  2n   1 n 3n   1 n ;  e)  u1  u n 1  u n  n  Trường THPT Trần Quang Khải Nhthinh7@ Dạng 2: Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh bất đẳng thức VD1: CM BĐT Bec-nu-li(Bernoulli) Nếu h >0 , n   , n  2: (1  h) n   nh VD2 : CMR: Dãy số sau là giảm và bị chặn u1  2, un 1  un  , n   , n  n  1 VD3: CMR: 1    n, n  N , n   n VD4: CMR: n   , n  , ta có: VD5: Cho     4(n  1) 1.3.5  2n  1  2.4.6 2n 2n  CMR: n   , n  2, ta có: tan n  n tan  VD6 : CMR: n n 1  (n  1) n , n  N , n  VD7: Cho a  CMR: n   , n  1, ta có: a  a   a   4a  ( n dấu căn) VD8: CMR: n   , n  1, ta có: 1  1  1   1    13 VD9: CMR: n   , n  1, ta có: 1 VD10: CMR: n   , n  1, ta có: 2n  n  3n  n  4n  VD11: CMR: n   , n  3, ta có: 21 22 23 2n 2n1 1     n 1 n n VD12: CMR: n   , n  1, ta có: an  bn  a  b    , a, b     VD13: Cho dãy số xác định công thức:  u1  u n 1  u n  n  CMR: d·y sè t¨ng Dạng : Dùng qui nạp toán học để CM biểu thức dạng Un chia hết cho số tự nhiên VD1: CMR: n  N * , an  ( n  3n  5n)  VD2: CMR: n  , an = [ n  1 n   (2n)] 2n VD3: CMR: n  N * , an  (33 n   26 n  27)  676 VD4: CMR: n  N * , an  (52 n 12 n 1  3n 12 n 1 )  38 VD5: CMR: n  1, (3n  14 n  21n  10 n )  24 VD6: CMR n  N * : (16 n  15n  1)  225 VD7: CMR n  N , U n  (13n  1)  VD8: CMR n  N , (122n   11n  ) 133 VD9: CMR n  N : (4.32 n   32 n  36)  64 VD10: CMR VD11: CMR [ n  1 n   (2n)]1.3.5 (2n  1) , n  Chuyên đề: Qui nạp toán học n  N : ( n  n ) 