Tài liệu quy nạp toán học

§2 §3 §4 §1 Xét hai mệnh đề chứa biến : P(n) : “ 3 n < n + 100 ” và Q(n) : “ 2 n > n ” với n∈N * a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ? b) ∀n∈N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai ? • P(n) : “ 3 n < n + 100 ” • Q(n) : “ 2 n > n ” a) n = 1 : 2 > 1 (Đ) n = 2 : 4 > 2 (Đ) n = 3 : 8 > 3 (Đ) n = 4 : 16 > 4 (Đ) n = 5 : 32 > 5 (Đ) a) n = 1 : 3 < 101 (Đ) n = 2 : 9 < 102 (Đ) n = 3 : 27 < 103 (Đ) n = 4 : 81 < 104 (Đ) n = 5 : 243 < 105 (S) b) ∀ n ∈ N* thì P(n) sai, vì khi n = 5 thì P(5) sai. b) Q(n) có đúng với ∀n ∈ N* hay không vẫn chưa kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi n. §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1 Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1. I. Phương pháp quy nạp toán học Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. II. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Chứng minh rằng với n ∈ N * thì 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n 2 (1) Giải Bước 1. Khi n = 1, VT chỉ có một số hạng bằng 1, VP = 1 2 . Vậy hệ thức (1) đúng. Bước 2. Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 1 + 3 + 5 + … + (2k -1) = k 2 (giả thiết qui nạp). Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là 1 + 3 + 5 + … +(2k – 1)+[2(k + 1)-1]=(k + 1) 2 . Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k + 1) -1] = k 2 + [2(k + 1) -1] = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2 . Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n ∈ N*. Ví dụ 2. Chứng minh rằng với n ∈ N * thì n 3 – n chia hết cho 3. Giải Đặt A n = n 3 – n. Bước 1. Với n = 1, ta có A 1 = 0 nên A 1 chia hết cho 3. Bước 2. Giả sử với n = k ta có A k = k 3 – k chia hết cho 3 (giả thiết qui nạp). Ta phải chứng minh A k+1 chia hết cho 3. Thật vậy, ta có A k+1 = (k + 1) 3 – (k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 – k – 1 = (k 3 - k) + (3k 2 + 3k) = A k + 3(k 2 + k). Theo giả thiết qui nạp ta có A k chia hết cho 3, hơn nữa, 3(k 2 + k) chia hết cho 3 nên A k+1 chia hết cho 3. Vậy A n = n 3 – n chia hết cho 3.  Chú ý Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì : • Ở bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. • Ở bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p, chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1. Ví dụ 3. Cho hai số 3 n và 8n với n ∈N * a) So sánh 3 n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5. b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp. n 3 n ? 8n 1 3 8 2 9 16 3 27 24 4 81 32 5 243 40 Ví dụ 3. Cho hai số 3 n và 8n với n ∈N * a) So sánh 3 n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5. b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp. n 3 n ? 8n 1 3 < 8 2 9 < 16 3 27 > 24 4 81 > 32 5 243 > 40 Chứng minh rằng 3 n > 8n với mọi n ≥ 3. Giải Bước 1. Khi n = 3 ta có 3 3 = 27 > 24 = 8.3 Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là 3 k > 8k. Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là 3 k+1 > 8(k+1). Thật vậy, ta có 3 k+1 = 3.3 k . Mà theo giả thiết qui nạp ta có 3 k > 8k nên 3 k+1 > 3.8k = 24k = 8k + 16k. Vì k ≥ 3 nên 16k ≥ 48. Do đó 3 k+1 > 8k + 16k > 8k + 48 > 8k + 8 = 8(k + 1). Vậy 3 n > 8n với mọi n ≥ 3. . n. §1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bước 1 Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh. giả thiết quy nạp), chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1. I. Phương pháp quy nạp toán học Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. II. Ví dụ áp dụng