VHH PHÂN DẠNG câu hỏi số PHỨC TRONG đề THI THPTQG

Tài Liệu Luyện Thi THPTQG PHÂN DẠNG CÂU HỎI THEO CHỦ ĐỀ TRONG ĐỀ THI THPTQG 2017-2018-2019-2020 CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC Xác định yếu tố số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức z = − 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức z : A Phần thực bằ ng −3 và Phần ảo bằ ng −2i B Phần thực bằ ng −3 và Phần ảo bằ ng −2 C Phần thực bằ ng và Phần ảo bằ ng 2𝑖 D Phần thực bằ ng và Phần ảo bằ ng Lời giải Chọn D z = − 2i  z = + 2i Vậy phần thực bằ ng và Phần ảo bằ ng Câu 2: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD 2017) Kí hiệu 𝑎, 𝑏 phần thực phần ảo số phức − 2i Tìm a , b A 𝑎 = 3; 𝑏 = B 𝑎 = 3; 𝑏 = 2√2 C 𝑎 = 3; 𝑏 = √2 D 𝑎 = 3; 𝑏 = −2√2 Lời giải Chọn D Số phức − 2√2𝑖 có phần thực 𝑎 = phần ảo 𝑏 = −2√2 Câu 3: (Nhận biết) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Cho số phức 𝑧 = + 𝑖 Tính |𝑧| A |𝑧| = B |𝑧| = C |𝑧| = D |𝑧| = √5 Lời giải Chọn D Ta có |𝑧| = √22 + = √5 Câu 4: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Số phức −3 + 7𝑖 có phần ảo A B −7 C −3 D Lời giải Chọn D GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 5: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Số phức có phần thực phần ảo A 𝟑 + 𝟒𝒊 B 𝟒 − 𝟑𝒊 C 𝟑 − 𝟒𝒊 D 𝟒 + 𝟑𝒊 Hướng dẫn giải Chọn A Câu 6: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Số phức + 6𝑖 có phần thực A −5 B C −6 D Lời giải Chọn B Số phức + 6𝑖 có phần thực 5, phần ảo Câu 7: (Nhận biết) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Số phức có phần thực phần ảo A −1 − 3𝑖 B − 3𝑖 C −1 + 3𝑖 D + 3𝑖 Lời giải Chọn D Câu 8: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Số phức liên hợp số phức − 4𝑖 A −3 − 4𝑖 B −3 + 4𝑖 C + 4𝑖 D −4 + 3𝑖 Lời giải Chọn C Theo tính chất 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⇒ 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 Theo để − 4𝑖, suy số phức liên hợp + 4𝑖 Câu 9: (Nhận biết) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Số phức liên hợp số phức − 3𝑖 A −5 + 3𝑖 B −3 + 5𝑖 C −5 − 3𝑖 D + 3𝑖 Lời giải Chọn D Câu 10: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Số phức liên hợp số phức − 2𝑖 A −1 − 2𝑖 B + 2𝑖 C −2 + 𝑖 D −1 + 2𝑖 Lời giải Chọn B Số phức liên hợp số phức − 2𝑖 + 2𝑖 Câu 11: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Số phức liên hợp số phức − 2𝑖 là: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang A −3 + 2𝑖 B + 2𝑖 C −3 − 2𝑖 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D −2 + 3𝑖 Lời giải Chọn B Ta có 𝑧 = − 2𝑖 ⇔ 𝑧 = + 2𝑖 Câu 12: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Số phức số ảo A 𝑧 = −2 + 3𝑖 B 𝑧 = 3𝑖 C 𝑧 = √3 + 𝑖 D 𝑧 = −2 Lời giải Chọn B Số phức 𝑧 gọi số ảo phần thực Câu 13: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Tìm hai số thực 𝑥 𝑦 thỏa mãn (3𝑥 + 2𝑦𝑖 ) + (2 + 𝑖 ) = 2𝑥 − 3𝑖 với 𝑖 đơn vị ảo A 𝑥 = −2; 𝑦 = −2 B 𝑥 = −2; 𝑦 = −1 C 𝑥 = 2; 𝑦 = −2 D 𝑥 = 2; 𝑦 = −1 Lời giải: Đáp án A Ta có: (3𝑥 + 2𝑦𝑖 ) + (2 + 𝑖 ) = 2𝑥 − 3𝑖 ⇔ 𝑥 + + (2𝑦 + 4)𝑖 = 𝑥+2 =0 𝑥 = −2 ⇔{ ⇔{ 2𝑦 + = 𝑦 = −2 Câu 14: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Tìm hai số thực 𝑥 𝑦 thỏa mãn (3𝑥 + 𝑦𝑖 ) + (4 − 2𝑖 ) = 5𝑥 + 2𝑖 với 𝑖 đơn vị ảo A 𝑥 = −2; 𝑦 = B 𝑥 = 2; 𝑦 = C 𝑥 = −2; 𝑦 = D 𝑥 = 2; 𝑦 = Lời giải Chọn B 𝟐𝒙 − 𝟒 = 𝟎 𝒙=𝟐 (𝟑𝒙 + 𝒚𝒊) + (𝟒 − 𝟐𝒊) = 𝟓𝒙 + 𝟐𝒊 ⇔ 𝟐𝒙 − 𝟒 + (𝟒 − 𝒚)𝒊 = 𝟎  { { 𝟒−𝒚= 𝟎 𝒚=𝟒 Câu 15: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Cho hai số phức 𝑧1 = − 𝑖 𝑧2 = + 2𝑖 Trên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦, điểm biểu diễn số phức 3𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ A (4; −1) B (−1; 4) C (4; 1) D (1; 4) Lời giải Chọn A Ta có 3𝑧1 + 𝑧2 = 3(1 − 𝑖) + + 2𝑖) = − 𝑖 Câu 16: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn 3(𝑧̄ + 𝑖 ) − (2 − 𝑖 )𝑧 = + 10𝑖 Mô đun 𝑧 A B GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C √5 D √3 Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lời giải Chọn C Cách 1: Dùng máy tính cầm tay 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧̄ = 𝑐 𝑐 𝑎̄ − 𝑏𝑐̄ ⇒𝑧= |𝑎| − |𝑏|2 3(𝑧̄ + 𝑖 ) − (2 − 𝑖 )𝑧 = + 10𝑖 ⇔ −(2 − 𝑖 )𝑧 + 3𝑧̄ = + 7𝑖 𝑧 = − 𝑖 ⇒ |𝑧| = √5 Cách 2: Gọi 𝑧̄ 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖(𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) ⇒ 𝑧̄ = 𝑥 − 𝑦𝑖 Từ đề bài, ta có phương trình: 49 12 𝑧 = − 𝑖 ⇒ |𝑧| = √5 Câu 17: (Vận dụng) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn 3(𝑧̄ − 𝑖 ) − (2 + 3𝑖 )𝑧 = − 16𝑖 Môđun 𝑧 A √5 B C √3 D Lời giải Chọn A Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) ⇒ 𝑧̄ = 𝑥 − 𝑦𝑖 Ta có 3(𝑧̄ − 𝑖 ) − (2 + 3𝑖 )𝑧 = − 16𝑖 ⇔ 3(𝑥 − 𝑦𝑖 − 𝑖 ) − (2 + 3𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖 ) = − 16𝑖 𝑥 + 3𝑦 = 𝑥=1 ⇔ 3𝑥 − 3𝑦𝑖 − 3𝑖 − 2𝑥 − 2𝑦𝑖 − 3𝑥𝑖 + 3𝑦 = − 16𝑖 ⇔ { ⇔{ −5𝑦 − − 3𝑥 = −16 𝑦=2 Vậy 𝑧 = + 2𝑖 ⇒ |𝑧| = √5 Câu 18: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (2 + 𝑖 )𝑧 − 4(𝑧 − 𝑖 ) = −8 + 19𝑖 Môđun 𝑧 A 13 B C √𝟏𝟑 D √5 Lời giải Chọn C Đặt 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) (2 + 𝑖 )𝑧 − 4(𝑧 − 𝑖 ) = −8 + 19𝑖 ⇔ (2 + 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 ) − 4(𝑎 − 𝑏𝑖 − 𝑖 ) = −8 + 19𝑖 −2𝑎 − 𝑏 = −8 𝑎=3 ⇔ (−2𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 6𝑏 + 4)𝑖 = −8 + 19𝑖 ⇔ { ⇔{ 𝑎 + 6𝑏 + = 19 𝑏=2 ⇒ 𝑧 = + 2𝑖 ⇒ |𝑧| = √13 Câu 19: (Vận dụng) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (2 − 𝑖 )𝑧 + + 16𝑖 = 2(𝑧 + 𝑖 ) Môđun 𝑧 A √5 B 13 C √13 D Lời giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn C Đặt 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) (2 − 𝑖 )𝑧 + + 16𝑖 = 2(𝑧 + 𝑖 ) ⇔ (2 − 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 ) + + 16𝑖 = 2(𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑖 ) 2𝑎 + 𝑏 + = 2𝑎 𝑎=2 ⇔ (2𝑎 + 𝑏 + 3) + (2𝑏 − 𝑎 + 16)𝑖 = 2𝑎 + (2 − 2𝑏)𝑖 ⇔ { ⇔{ 𝑏 = −3 2𝑏 − 𝑎 + 16 = − 2𝑏 ⇒ 𝑧 = − 3𝑖 ⇒ |𝑧| = √13 Câu 20: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|2 = 2|𝑧 + 𝑧| + |𝑧 − − 𝑖| = |𝑧 − + 3𝑖|? A B C D Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi (𝑥; 𝑦 ∈ ℝ) 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 − = 0, 𝑥 ≥ 0 (1) |𝑧 |2 = |𝑧 + 𝑧 | + ⇔ 𝑥 + 𝑦 = | 𝑥 | + ⇔ [ 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − = 0, 𝑥 < 0 (2) |𝑧 − − 𝑖| = |𝑧 − + 3𝑖| ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 3)2 ⇔ 4𝑥 = 8𝑦 + 16  x = y + (3) + Thay (3) vào (1) ta được: 24 𝑦 = ⇒ 𝑥 = (𝑛 ) (2𝑦 + 4)2 + 𝑦 − 4(2𝑦 + 4) − = ⇔ 5𝑦 + 8𝑦 − = ⇔ [ 𝑦 = −2 ⇒ 𝑥 = 0(𝑛) + Thay (3) vào (2) ta được: 𝑦 = −2 ⇒ 𝑥 = 0(𝑙 ) (2𝑦 + 4)2 + 𝑦 + 4(2𝑦 + 4) − = ⇔ 5𝑦 + 24𝑦 + 28 = ⇔ [ 14 𝑦 = − ⇒ 𝑥 = − (𝑛 ) Vậy có số phức thỏa điều kiện Câu 21: (Nhận biết) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Số phức liên hợp số phức z = −2 + 5i A z = − 5i B z = + 5i C z = −2 + 5i Lời giải D z = −2 − 5i Ta có z = −2 − 5i Câu 22: (Nhận biết) [ĐỀ BGD 2020 L2-MĐ-102] Phần thực số phức z = − 4i A B C −3 Lời giải D −4 Ta có phần thực số phức z = − 4i GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Biểu diễn hình học số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Điểm 𝑀 hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức 𝑧 Tìm phần thực phần ảo số phức 𝑧 A Phần thực là−4và phần ảo B Phần thực phần ảo là−4𝑖 C Phần thực phần ảo −4 D Phần thực là−4và phần ảo 3𝑖 Lời giải Chọn C Nhắc lại:Trên mặt phẳng phức, số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 biểu diễn điểm 𝑀(𝑥; 𝑦) Điểm 𝑀 hệ trục 𝑂𝑥𝑦 có hoành độ 𝑥 = tung độ 𝑦 = −4 Vậy số phức 𝑧 có phần thực phần ảo −4 Câu 2: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho số phức 𝑧 = − 3𝑖 Tìm phần thực 𝑎 𝑧? A 𝑎 = B 𝑎 = C 𝑎 = −2 D 𝑎 = −3 Lời giải Chọn A Số phức 𝑧 = − 3𝑖 có phần thực 𝑎 = Câu 3: (Nhận biết) (THPT QG 2017 Mã 105) Cho hai số phức 𝑧1 = − 3𝑖 𝑧2 = −2 − 5𝑖 Tìm phần ảo 𝑏 số phức 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 A 𝑏 = −2 B 𝑏 = C 𝑏 = −3 D 𝑏 = Lời giải Chọn D Ta có 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 = + 2𝑖 ⇒ 𝑏 = Câu 4: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG A 𝑧 = −2 + 𝑖 B 𝑧 = − 2𝑖 C 𝑧 = −2 − 𝑖 D 𝑧 = + 2𝑖 Lời giải Chọn A Điểm 𝑀(−2; 1) biểu diễn số phức 𝑧 = −2 + 𝑖 Câu 5: (Nhận biết) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Số phức có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm 𝑀 hình bên A 𝑧1 = − 2𝑖 B 𝑧1 = + 2𝑖 C 𝑧1 = −2 + 𝑖 D 𝑧1 = + 𝑖 Lời giải Chọn C Điểm 𝑀(−2; 1) điểm biểu diễn số phức 𝑧1 = −2 + 𝑖 Câu 6: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Cho hai số phức 𝑧1 = + 𝑖 𝑧2 = + 𝑖 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 điểm biểu diễn số phức 𝑧1 + 2𝑧2 có tọa độ A (2; 5) B (3; 5) C (5; 2) D (5; 3) Lời giải Chọn D Ta có: 𝑧1 + 2𝑧2 = + 𝑖 + 2(2 + 𝑖 ) = + 3𝑖 Điểm biểu diễn số phức 𝑧1 + 2𝑧2 có tọa độ (5; 3) Câu 7: (Nhận biết) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Cho hai số phức 𝑧1 = − 𝑖 𝑧2 = + 𝑖 Trên mặt phẳng toạ độ 𝑂𝑥𝑦, điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có toạ độ A (5; −1) B (−1; 5) C (5; 0) D (0; 5) Lời giải Chọn A Ta có 2𝑧1 = − 2𝑖 } ⇒ 2𝑧1 + 𝑧2 = − 𝑖, số phức điểm biểu diễn có toạ độ (5; −1) 𝑧2 = + 𝑖 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 8: (Nhận biết) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Điểm hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức 𝑧 = −1 + 2𝑖? y Q N −2 −1 O −1 x M P A 𝑁 B 𝑃 C 𝑀 D 𝑄 Lời giải Chọn D Số phức 𝑧 = −1 + 2𝑖 có điểm biểu diễn điểm 𝑄 (−1; 2) Câu 9: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phước 𝑧 = − 2𝑖 Điểm điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 𝑖𝑧 mặt phẳng tọa độ A 𝑁(2; 1) B 𝑃(−2; 1) C 𝑀(1; −2) D 𝑄 (1; 2) Lời giải Chọn A 𝑤 = 𝑖𝑧 = 𝑖 (1 − 2𝑖 ) = + 𝑖 Câu 10: (Thông hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M điểm biểu diễn củasố phức z (như hình vẽ bên) Điểm hình vẽ điểm biểu diễn số phức 2𝑧? A Điểm N B Điểm Q C Điểm E D Điểm P y Q M E x O N P Lời giải Chọn C Gọi z = a + bi ( a, b  ) Điểm biểu diễn z điểm M ( a; b )  z = a + 2bi có điểm biểu diễn mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 M ( 2a; 2b ) Ta có OM = 2OM suy M  E GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 11: (Thông hiểu) (THPT QG 2017 Mã 105) Tìm tất số thực 𝑥, 𝑦 cho 𝑥 − + 𝑦𝑖 = −1 + 2𝑖 A 𝑥 = √2, 𝑦 = B 𝑥 = −√2, 𝑦 = C 𝑥 = 0, 𝑦 = D 𝑥 = √2, 𝑦 = −2 Lời giải Chọn C 𝑥=0 𝑥 − = −1 Từ 𝑥 − + 𝑦𝑖 = −1 + 2𝑖 ⇒ { ⇔{ 𝑦=2 𝑦=2 Câu 12: (Thông hiểu) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Cho hai số phức 𝑧1 = −2 + 𝑖 𝑧2 = + 𝑖 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ A (3; −3) B (2; −3) C (−3; 3) D (−3; 2) Lời giải Chọn C 2𝑧1 + 𝑧2 = 2(−2 + 𝑖 ) + + 𝑖 = −3 + 3𝑖 Vậy điểm biểu diễn số phức 2𝑧1 + 𝑧2 có tọa độ (−3; 3) Câu 13: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Trên mặt phẳng tọa độ, biết M ( −1;3 ) điểm biểu diễn số phức z Phần thực z B −1 C −3 Lời giải Ta có: M ( −1;3) điểm biểu diễn số phức z Phần thực A D z −1 Câu 14: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = −3 + 4i ? : A N (3; 4) C P ( −3; 4) D Q (4; −3) Lời giải Ta có z = −3 + 4i có phần thực −3 , phần ảo  P ( −3; 4) biểu diễn số phức z B M (4;3) Câu 15: (Thông hiểu) [Đề-BGD-2020-Mã-101] Gọi z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z + z + 13 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức − z A N ( −2; ) C P ( 4; −2 ) B M ( 4; ) D Q ( 2; −2 ) Lời giải  z = −3 + 2i  z0 = −3 + 2i Ta có z + z + 13 =    z = − − 2i  − z0 = − ( −3 + 2i ) = − 2i Vậy điểm biểu diễn số phức − z0 P ( 4; −2 ) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Thực phép tính cộng, trừ, nhân số phức Câu 1: (Nhận biết) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 = + 5𝑖 Tìm số phức 𝑤 = 𝑖𝑧 + 𝑧 A 𝑤 = − 3𝑖 B 𝑤 = −3 − 3𝑖 C 𝑤 = + 7𝑖 D 𝑤 = −7 − 7𝑖 Lời giải Chọn B Ta có 𝑤 = 𝑖𝑧 + 𝑧 = 𝑖(2 + 5𝑖) + (2 − 5𝑖) = 2𝑖 − + − 5𝑖 = −3 − 3𝑖 Câu 2: (Nhận biết) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Cho hai số phức 𝑧1 = − 3𝑖 𝑧2 = + 3𝑖 Tìm số phức 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 A 𝑧 = + 6𝑖 B 𝑧 = 11 C 𝑧 = −1 − 10𝑖 D 𝑧 = −3 − 6𝑖 Lời giải Chọn D Ta có 𝑧 = 𝑧1 − 𝑧2 = (4 − 3𝑖 ) − (7 + 3𝑖 ) = −3 − 6𝑖 Câu 3: (Nhận biết) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phức 𝑧1 = − 7𝑖 𝑧2 = + 3𝑖 Tìm số phức 𝑧 = 𝑧1 + 𝑧2 A 𝑧 = − 4𝑖 B 𝑧 = + 5𝑖 C 𝑧 = − 10𝑖 D 14 Lời giải Chọn A 𝑧 = − 7𝑖 + + 3𝑖 = − 4𝑖 Câu 4: (Thông hiểu) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Kí hiệu 𝑧0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình 4𝑧 − 16𝑧 + 17 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 𝑖𝑧0 ? 1 A 𝑀1 (2 ; 2) B 𝑀2 (− ; 2) C 𝑀3 (− ; 1) D 𝑀4 (4 ; 1) Lời giải Chọn B Xét phương trình 4𝑧 − 16𝑧 + 17 = có 𝛥′ = 64 − 4.17 = −4 = (2𝑖 )2 Phương trình có hai nghiệm 𝑧1 = 8−2𝑖 = − 𝑖, 𝑧2 = 8+2𝑖 = + 𝑖 Do 𝑧0 nghiệm phức có phần ảo dương nên 𝑧0 = + 𝑖 Ta có 𝑤 = 𝑖𝑧0 = − + 2𝑖 Vậy điểm biểu diễn 𝑤 = 𝑖𝑧0 𝑀2 (− ; 2) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 10 A 𝟐 B 𝟑 C 𝟒 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG D 𝟎 Lời giải Chọn C Giả sử 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⇒ 𝑧 = 𝑎2 − 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑖 Vì |𝑧 − 𝑖| = 𝑧 số ảo ta có hệ phương trình 𝑎=𝑏 𝑎=𝑏=4 { { 𝑏 + (𝑏 − 1)2 = 25 𝑎 + (𝑏 − 1) = 25 ⇒{ ⇔[ ⇔ [ 𝑎 = 𝑏 = −3 𝑎 = −𝑏 𝑏 = −𝑎 = 𝑎 −𝑏 =0 { { 2 𝑏 + (𝑏 − 1) = 25 𝑏 = −𝑎 = −3 Câu 11: (Vận dụng) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ)thỏa mãn 𝑧 + + 3𝑖 − |𝑧|𝑖 = 0.Tính 𝑆 = 𝑎 + 3𝑏 A 𝑆 = B 𝑆 = C 𝑆 = −5 D 𝑆 = − Lời giải Chọn C 𝑎+1 =0 Ta có: 𝑧 + + 3𝑖 − |𝑧|𝑖 = ⇔ 𝑎 + 𝑏𝑖 + + 3𝑖 − √𝑎2 + 𝑏2 𝑖 = ⇔ { ⇔ 𝑏 + − √𝑎2 + 𝑏2 = 𝑎 = −1 {𝑏 = − ⇒ 𝑆 = 𝑎 + 3𝑏 = −5 Câu 12: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (4 − 𝑖 )𝑧? A B C D Lời giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (4 − 𝑖 )𝑧 ⇔ 𝑧(5 − |𝑧| − 𝑖 ) = −4|𝑧| + (2 − |𝑧|)𝑖 Đặt |𝑧| = 𝑡 ≥ 0, 𝑡 ∈ ℝ Lấy môđun hai vế ta được: 𝑡|5 − 𝑡 − 𝑖| = |−4𝑡 + (2 − 𝑡)𝑖| ⇔ 𝑡√(5 − 𝑡)2 + = √16𝑡 + (2 − 𝑡)2 𝑡=1 𝑡 ≈ 8,95 ⇔ 𝑡 − 10𝑡 + 9𝑡 + 4𝑡 − = ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 − 9𝑡 + 4) = ⇔ [ 𝑡 ≈ 0,69 𝑡 ≈ −0,64 Do 𝑡 ≥ nên 𝑡 có giá trị thỏa mãn Ứng với 𝑡 ≥ ta 𝑧 = −4𝑡+(2−𝑡)𝑖 5−𝑡−𝑖 nên có số phức thỏa mãn Vậy có ba số phức thỏa mãn GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 14 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Câu 13: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Có số phức thỏa mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 − 𝑖 )𝑧? A B C D Lời giải Chọn B Đặt |𝑧| = 𝑎 ≥ 0, 𝑎 ∈ ℝ, ta có |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 − 𝑖 )𝑧 ⇔ 𝑎(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (7 − 𝑖 )𝑧 ⇔ (𝑎 − + 𝑖 )𝑧 = 6𝑎 + 𝑎𝑖 − 2𝑖 ⇔ (𝑎 − + 𝑖 )𝑧 = 6𝑎 + (𝑎 − 2)𝑖 ⇔ |(𝑎 − + 𝑖 )||𝑧| = |6𝑎 + (𝑎 − 2)𝑖| ⇔ [(𝑎 − 7)2 + 1]𝑎2 = 36𝑎2 + (𝑎 − 2)2 ⇔ 𝑎4 − 14𝑎3 + 13𝑎2 + 4𝑎 − = 𝑎=1 ⇔ (𝑎 − 1)(𝑎3 − 13𝑎2 + 4) = ⇔ [ 𝑎 − 12𝑎2 + = Xét hàm số 𝑓 (𝑎) = 𝑎3 − 13𝑎2 (𝑎 ≥ 0), có bảng biến thiên Đường thẳng 𝑦 = −4 cắt đồ thị hàm số 𝑓(𝑎) hai điểm nên phương trình 𝑎3 − 12𝑎2 + = có hai nghiệm khác (do 𝑓 (1) ≠ 0) Thay giá trị môđun 𝑧 vào kiểm tra kết Vậy có số phức thỏa mãn điều kiện Bài tốn quy giải phương trình, hệ phương trình nghiệm thực Câu 1: (Thơng hiểu) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Tìm hai số thực 𝑥 𝑦 thỏa mãn (2𝑥 − 3𝑦𝑖 ) + (3 − 𝑖 ) = 5𝑥 − 4𝑖 với 𝑖 đơn vị ảo A 𝑥 = −1; 𝑦 = −1 B 𝑥 = −1; 𝑦 = C 𝑥 = 1; 𝑦 = −1 D 𝑥 = 1; 𝑦 = Lời giải Chọn D 2𝑥 + = 5𝑥 𝑥=1 (2𝑥 − 3𝑦𝑖 ) + (3 − 𝑖 ) = 5𝑥 − 4𝑖 ⇔ (2𝑥 + 3) − (3𝑦 + 1)𝑖 = 5𝑥 − 4𝑖 ⇔ { ⇔{ 3𝑦 + = 𝑦=1 Câu 2: (Vận dụng) (Đề thử nghiệm THPTQG 2017) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (1 + 2𝑖 )|𝑧| = √10 − + 𝑖 Mệnh đề đúng? 𝑧 A < |𝑧| < 2 B |𝑧| > C |𝑧| < 2 D < |𝑧| < Lời giải Chọn D GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 15 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Ta có z −1 = z z √10 √10 Vậy (1 + 2𝑖)|𝑧| = 𝑧 − + 𝑖 ⇔ (|𝑧| + 2) + (2|𝑧| − 1)𝑖 = ( |𝑧|2) 𝑧 ⇒ |(|𝑧| + 2) + (2|𝑧| − 1)𝑖| = |(√102 ) 𝑧| |𝑧| ⇒ (|𝑧| + )2 10 ⇒ (𝑎 + 2)2 + (2𝑎 − 1)2 = ( Câu 3: 10 + (2|𝑧| − 1)2 = (|𝑧|4) |𝑧|2 = |𝑧|2 Đặt |𝑧| = 𝑎 > 10 𝑎2 = ⇒ 𝑎 = ⇒ |𝑧| = ) ⇔ 𝑎 + 𝑎 − = ⇔ [ 𝑎2 𝑎2 = −2 (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn | z |= | z + |=| z + − 10i | Tìm số phức w = z − + 3i A 𝒘 = −𝟑 + 𝟖𝒊 B 𝒘 = 𝟏 + 𝟑𝒊 C 𝒘 = −𝟏 + 𝟕𝒊 D 𝒘 = −𝟒 + 𝟖𝒊 Lời giải Chọn D 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) Theo đề ta có 𝑥 + 𝑦 = 25 (𝑥 + 3)2 + 𝑦 = (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 10)2 Giải hệ phương trình ta 𝑥 = 0; 𝑦 = Vậy 𝑧 = 5𝑖 Từ ta có 𝑤 = −4 + 8𝑖 Câu 4: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) thoả mãn 𝑧 + + 𝑖 = |𝑧| Tính 𝑆 = 4𝑎 + 𝑏 A 𝑆 = B 𝑆 = C 𝑆 = −2 D 𝑆 = −4 Lời giải Chọn D 2 Ta có 𝑧 + + 𝑖 = |𝑧| ⇔ (𝑎 + 2) + (𝑏 + 1)𝑖 = √𝑎2 + 𝑏2 ⇔ {𝑎 + = √𝑎 + 𝑏 , 𝑎 ≥ −2 𝑏+1 =0 𝑏 = −1 𝑎 = −4 ⇔ {( ⇔{ ⇒ 𝑆 = 4𝑎 + 𝑏 = −4 𝑎 + )2 = 𝑎 + 𝑏 = −1 Câu 5: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧 + − 𝑖| = 2√2 (𝑧 − 1)2 số ảo A B C D Lời giải Chọn D Gọi số phức 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 với (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ), (𝑧 − 1)2 = (𝑥 − 1)2 − 𝑦 + 2(𝑥 − 1)𝑦𝑖 số ảo nên theo đề ta có HPT { (𝑥 + )2 + (𝑦 − )2 = (𝑥 − )2 = 𝑦 Với 𝑦 = 𝑥 − 1, thay vào phương trình đầu, ta (𝑥 + 2)2 + (𝑥 − 2)2 = ⇔ 𝑥 = ⇔ 𝑥 = Với 𝑥 = 3√2, thay vào phương trình đầu, GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 16 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG (𝑥 + 2)2 + (−𝑥 )2 = ⇔ 2𝑥 + 4𝑥 − = ⇔ 𝑥 = −1 ± √3 Vậy có số phức thỏa mãn Câu 6: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Có số phức 𝑧 thoả mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (5 − 𝑖 )𝑧 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (5 − 𝑖 )𝑧 ⇔ 𝑧(|𝑧| − + 𝑖 ) = 4|𝑧| + (|𝑧| − 2)𝑖 Lấy mơđun vế phương trình ta |𝑧|√(|𝑧| − 5)2 + = √(4|𝑧|)2 + (|𝑧| − 2)2 Đặt 𝑡 = |𝑧|, 𝑡 ≥ ta 𝑡√(𝑡 − 5)2 + = √(4𝑡)2 + (𝑡 − 2)2 ⇔ (𝑡 − 1)(𝑡 − 9𝑡 + 4) = Phương trình có nghiệm phân biệt 𝑡 ≥ có số phức z thoả mãn Câu 7: (Vận dụng cao) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (6 − 𝑖 )𝑧? A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Ta có |𝑧|(𝑧 − − 𝑖 ) + 2𝑖 = (6 − 𝑖 )𝑧 ⇔ (|𝑧| − + 𝑖 )𝑧 = 5|𝑧| + (|𝑧| − 2)𝑖 (1) Lây môđun hai vế (1) ta có: √(|𝑧| − 6)2 + |𝑧| = √25|𝑧|2 + (|𝑧| − 2)2 Bình phương rút gọn ta được: |𝑧|4 − 12|𝑧|3 + 11|𝑧|2 + 4|𝑧| − = ⇔ (|𝑧| − 1)(|𝑧|3 − 11|𝑧|2 + 4) = |𝑧| = |𝑧| = |𝑧| = 10,9667 ⇔[ ⇔[ |𝑧| = 0,62 |𝑧| − 11|𝑧| + = |𝑧| = −0,587 Do |𝑧| ≥ 0, nên ta có |𝑧| = 1, |𝑧| = 10,9667 , |𝑧| = 0,62 Thay vào (1) ta có số phức thỏa mãn đề GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 17 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Bài toán tập hợp điểm số phức Câu 1: (Vận dụng) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn|𝑧| = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức𝑤 = (3 + 4𝑖)𝑧 + 𝑖 đường trịn Tính bán kính 𝑟 đường trịn A 𝒓 = 𝟒 B 𝒓 = 𝟓 C 𝒓 = 𝟐𝟎 D 𝒓 = 𝟐𝟐 Lời giải Chọn C Giả sử z = a + bi ; w = x + yi ; ( a , b, x, y  ) Theo đề w = ( + 4i ) z + i  x + yi = ( + 4i )( a + bi ) + i  x = 3a − 4b  x = 3a − 4b Ta có  x + yi = ( 3a − 4b ) + ( 3b + 4a + 1) i     y = 3b + 4a +  y − = 3b + a ( x + ( y − 1) = ( 3a − 4b ) + ( a + 3b ) = 25a + 25b = 25 a + b 2 2 ) Mà z =  a + b = 16 Vậy x + ( y − 1) = 25.16 = 400 Bán kính đườ ng tròn là r = 400 = 20 Câu 2: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 101) Xét điểm số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo Trên mặt phẳng tạo độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính 𝟓 A 𝟏 B 𝟒 C √𝟓 𝟐 D √𝟑 𝟐 Lời giải Chọn C Gọi z = a + bi (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) Ta có: (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) = (𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 + 2) = (𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 − 𝑏) + (𝑎 − 2𝑏 + 2)𝑖 Vì (𝑧 + 𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo nên ta có: 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 − 𝑏 = ⇔ (𝑎 + 1)2 + (𝑏 − 2) = Trên mặt phẳng tạo độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính Câu 3: √𝟓 𝟐 (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 102) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 3𝑖 )(𝑧 − 3) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính A B 3√2 C D 3√2 Lời giải Chọn D GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 18 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ⇒ 𝑧̄ = 𝑥 − 𝑦𝑖 Ta có: (𝑧 + 3𝑖)(𝑧 − 3) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 3𝑦 + (3𝑥 + 3𝑦 − 9)𝑖 3 Để (𝑧 + 3𝑖 )(𝑧 − 3) số ảo 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 3𝑦 = ⇔ (𝑥 − 2) + (𝑦 − 2) = Vậy tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 thoả mãn điều kiện đường trịn có bán kính Câu 4: 3√2 (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧̄ + 2𝑖 )(𝑧 − 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính A B 2√2 C D √2 Lời giải Chọn D Giả sử 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 với 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Vì ( z + 2i )( z − ) =  x + ( − y ) i  ( x − ) + yi  = [𝑥(𝑥 − 2) − 𝑦(2 − 𝑦)] + [𝑥𝑦 + (𝑥 − 2)(2 − 𝑦)]𝑖 số ảo nên có phần thực khơng 𝑥(𝑥 − 2) − 𝑦(2 − 𝑦) = ⇔ (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 = Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính √2 Câu 5: (Vận dụng) (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 − 2𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính bằng? A 2√2 B √2 C D Lời giải Chọn B Gọi 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ Ta có: (𝑧 − 2𝑖)(𝑧 + 2) = (𝑎 − 𝑏𝑖 − 2𝑖 )(𝑎 + 𝑏𝑖 + 2) = 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 + 2𝑏 − 2(𝑎 + 𝑏 + 2)𝑖 Vì (𝑧 − 2𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo nên ta có 𝑎2 + 2𝑎 + 𝑏2 + 2𝑏 = ⇔ (𝑎 + 1)2 + (𝑏 + 1)2 = Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức 𝑧 đường trịn có bán kính √2 Câu 6: (Vận dụng) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn (𝑧 + 2𝑖 )(𝑧 + 2) số ảo Biết tập hợp tất điểm biễu diễn 𝑧 đường tròn, tâm đường tròn có tọa độ A (1; −1) B (1; 1) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C (−1; 1) D (−1; −1) Trang 19 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lời giải Chọn D Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) Điểm biểu diễn cho 𝑧 𝑀(𝑥; 𝑦) Ta có: (𝑧 + 2𝑖)(𝑧 + 2) = (𝑥 + 𝑦𝑖 + 2𝑖 )(𝑥 − 𝑦𝑖 + 2) = 𝑥(𝑥 + 2) + 𝑦(𝑦 + 2) + 𝑖 [(𝑥 − 2)(𝑦 + 2) − 𝑥𝑦]là số ảo ⇔ 𝑥 (𝑥 + ) + 𝑦 (𝑦 + ) = ⇔ (𝑥 + 1)2 + (𝑦 + 1)2 = Vậy tập hợp tất điểm biễu diễn 𝑧 đường trịn có tâm 𝐼(−1; −1) Câu 7: (Vận dụng cao) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Xét số phức 𝑧thỏa mãn |𝑧| = √2 Trên mặt phẳng tọa độ Ox𝑦, tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 3+𝑖𝑧 1+𝑧 đường trịn có bán kính A 2√3 B 12 C 20 D 2√5 Lời giải Chọn D Ta có 𝑤 = 3+𝑖𝑧 1+𝑧 ⇔ 𝑤 (1 + 𝑧) = + 𝑖𝑧 ⇔ 𝑤 − = (𝑖 − 𝑤)𝑧 ⇔ 𝑧 = 𝑤−3 𝑖−𝑤 (do 𝑤 = 𝑖không thỏa mãn) Thay 𝑧 = 𝑤−3 | 𝑖−𝑤 𝑤−3 𝑖−𝑤 vào |𝑧| = √2 ta được: | = ⇔ |𝑤 − 3| = 2|𝑖 − 𝑤|(∗) Đặt 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖, ta được: (∗) ⇔ (𝑥 − 3)2 + 𝑦 = 2[𝑥 + (1 − 𝑦)2 ] ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 6𝑥 − 4𝑦 − = Đây đường trịn có Tâm 𝐼(−3; 2), bán kính 𝑅 = √20 = 2√5 Câu 8: (Vận dụng cao) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧| = √2 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 5+𝑖𝑧 1+𝑧 đường trịn có bán kính A 52 B 2√13 C 2√11 D 44 Lời giải Chọn B Gọi 𝑤 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Ta có: 𝑤 = 5+𝑖𝑧 1+𝑧 5−𝑤 ⇔𝑧= 5−𝑤 𝑤−𝑖 nên: |𝑧| = | 𝑤−𝑖 | = √2  |5 − 𝑤| = √2|𝑤 − 𝑖| ⇔ (5 − 𝑥 )2 + 𝑦 = 2[𝑥 + (𝑦 − 1)2 ] ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 10𝑥 − 4𝑦 − 23 = Vậy bán kính đường tròn biểu diễn cho 𝑤 là: 𝑟 = √25 + + 23 = 2√13 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 20 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Phép chia số phức Câu 1: (Thông hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Cho số phức 𝑧 thỏa mãn (1 + 𝑖)𝑧 = − 𝑖 Hỏi điểm biểu diễn của𝑧là điểm điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄 hình bên? A Điểm 𝑃 B Điểm 𝑄 C Điểm 𝑀 D Điểm 𝑁 Lời giải Chọn B (1 + i ) z = − i  z = Câu 2: − i ( − i )(1 − i ) − 4i = = = − 2i Vậy điểm biểu diễn của z là Q (1; −2 ) + i (1 + i )(1 − i ) (Vận dụng cao) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Có số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧 − 3𝑖| = 𝑧 𝑧−4 số ảo? A B C Vô số D Lời giải Chọn D Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) Điều kiện 𝑧 ≠ |𝑧 − 3𝑖| = ⇔ |𝑥 + (𝑦 − 3)𝑖| = ⇔ 𝑥 + (𝑦 − 3)2 = 25 ⇒ 𝑥 + 𝑦 − 6𝑦 = 16(1) Do 𝑧 𝑥+𝑦𝑖 = (𝑥−4)+𝑦𝑖 số ảo nên phần thực 𝑧−4 𝑥(𝑥−4)+𝑦 (𝑥−4)2 +𝑦 = ⇒ 𝑥 + 𝑦 − 4𝑥 = 0(2) Từ (1)và (2)suy 4𝑥 − 6𝑦 = 16 ⇒ 𝑥 = + 𝑦, thay vào (1)ta được: (4 + 𝑦) + 𝑦 − 6𝑦 − 16 = ⇔ 𝑦 = 𝑦 = − 24 13 Với 𝑦 = ta 𝑥 = 4, suy 𝑧 = 4(loại) 24 16 16 24 Với 𝑦 = − 13ta 𝑥 = 13và 𝑧 = 13 − 13 𝑖(thỏa mãn) 16 24 Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán 𝑧 = 13 − 13 𝑖 Câu 3: (Vận dụng) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Gọi 𝑆 tập hợp tất giá trị thực tham số 𝑚 để tồn số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧 𝑧 = |𝑧 − √3 + 𝑖| = 𝑚 Tìm số phần tử 𝑆 A B 𝟒 C 𝟏 D 𝟑 Lời giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 21 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn A Gọi 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ), ta có hệ { 𝑥 + 𝑦 = (1) (𝑥 − √3) + (𝑦 + 1)2 = 𝑚2 (𝑚 ≥ 0) Ta thấy 𝑚 = ⇒ 𝑧 = √3 − 𝑖 không thỏa mãn 𝑧 𝑧 = suy 𝑚 > Xét hệ tọa độ 𝑂𝑥𝑦 tập hợp điểm thỏa mãn (1) đường trịn (𝐶1 ) có 𝑂(0; 0), 𝑅1 = 1, tập hợp điểm thỏa mãn (2) đường tròn (𝐶2 ) tâm 𝐼(√3; −1), 𝑅2 = 𝑚, ta thấy 𝑂𝐼 = > 𝑅1 suy 𝐼 nằm (𝐶1 ) Để có số phức 𝑧 hệ có nghiệm tương đương với (𝐶1 ), (𝐶2 ) tiếp xúc tiếp xúc trong, điều xảy 𝑂𝐼 = 𝑅1 + 𝑅2 ⇔ 𝑚 + = ⇔ 𝑚 = 𝑅2 = 𝑅1 + 𝑂𝐼 ⇔ 𝑚 = + = Phương trình bậc hai với hệ số thực Câu 1: (Nhận biết) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Gọi 𝑧1 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 4𝑧 − 4𝑧 + = Giá trị biểu thức |𝑧1 | + |𝑧2 | A 3√2 B 2√3 C 𝟑 D √3 Lời giải Chọn D √2 𝑧1 = + 𝑖 Ta có: 4𝑧 − 4𝑧 + = ⇔ [ √2 𝑧2 = − 𝑖 √2 2 √2 Khi đó: |𝑧1 | + |𝑧2 | = √(2) + ( ) + √(2) + (− ) = √3 Câu 2: (Thông hiểu) (Đề tham khảo BGD 2017) Kí hiệu 𝑧1 ; 𝑧2 hai nghiệm phương trình 𝑧 + 𝑧 + = Tính 𝑃 = 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧1 𝑧2 A 𝑃 = B 𝑃 = GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C 𝑃 = −1 D 𝑃 = Trang 22 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Lời giải Chọn D Cách 1 √3 𝑧=− + 𝑖 2 𝑧 +𝑧+1 =0⇔ √3 𝑧 = − − 𝑖 [ 2 𝑃= 𝑧12 + 𝑧22 √3 √3 √3 √3 + 𝑧1 𝑧2 = (− + 𝑖) + (− − 𝑖) + (− + 𝑖) (− − 𝑖) = 2 2 2 2 Cách 2: Theo định lí Vi-et: 𝑧1 + 𝑧2 = −1; 𝑧1 𝑧2 = Khi 𝑃 = 𝑧12 + 𝑧22 + 𝑧1 𝑧2 = (𝑧1 + 𝑧2 )2 − 2𝑧1 𝑧2 + 𝑧1 𝑧2 = 12 − = Câu 3: (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 104) Kí hiệu z1 , 𝑧2 hai nghiệm phương trình z + = Gọi M , N điểm biểu diễn z1 , 𝑧2 mặt phẳng tọa độ Tính T = OM + ON với O gốc tọa độ A T = B T = C T = D Lời giải Chọn D Ta có: 𝑧 + = ⇔ [ 𝑧1 = −2𝑖 𝑧2 = 2𝑖 Suy 𝑀(0; −2); N ( 0; ) nên T = OM + ON = ( −2 )2 + 22 = Câu 4: (Thơng hiểu) (Đề thức BGD 2017 mã đề 110) Kí hiệu 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 3𝑧 − 𝑧 + = Tính 𝑃 = |𝑧1 | + |𝑧2 | A 𝑃 = √14 B 𝑃 = C 𝑃 = √3 D 𝑃 = 2√3 Lời giải Chọn D Xét phương trình 3𝑧 − 𝑧 + = có 𝛥 = (−1)2 − 4.3.1 = −11 < Căn bậc hai 𝛥 ±𝑖√11 Phương trình cho có nghiệm phức phân biệt z1 = + i 11 11 = + i ; 𝑧2 = 6 1−𝑖√11 = 6− √11 𝑖 Từ suy ra: GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 23 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG √11 6 P = z1 + z2 = | + 𝑖| + |6 − √11 𝑖| = √(6) + ( √11 2 ) + √(6) + (− √11 ) = √3 + √3 = 2√3 Cách khác: Sử dụng máy tính Casio FX 570ES Plus hỗ trợ tìm nghiệm phương trình bậc sau vào mơi trường số phức (Mode CMPLX) tính tổng mơđun nghiệm vừa tìm Câu 5: (Thơng hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 101) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 – 6𝑧 + 10 = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 16 B 56 C 20 D 26 Lời giải Chọn A Phương trình 𝑧 – 6𝑧 + 10 = 0có hai nghiệm phức 𝑧1 = + 𝑖 𝑧2 = − 𝑖 Khi đó: 𝑧12 + 𝑧22 = (3 + 𝑖 )2 + (3 − 𝑖 )2 = 16 Câu 6: (Thông hiểu) (THPTQG 2019 Mã đề 102) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 6𝑧 + 14 = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 12√2𝜋 B C 28 D ∫0 𝑥𝑓(5𝑥)𝑑𝑥 = Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có: 𝑧 − 6𝑧 + 14 = có nghiệm 𝑧1,2 = ± √5𝑖 2 Do 𝑧12 + 𝑧22 = (3 − √5𝑖) + (3 + √5𝑖) = Cách 2: Áp dụng định lý Vi ét ta có 𝑧12 + 𝑧22 = (𝑧1 + 𝑧2 )2 − 2𝑧1 𝑧2 = 62 − 2.14 = Câu 7: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 4𝑧 + = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 𝟔 B 𝟖 C 𝟏𝟔 D 𝟐𝟔 Lời giải Chọn A 𝑧 = 2+𝑖 Ta có 𝑧 − 4𝑧 + = ⇔ [ 𝑧2 = − 𝑖 Do 𝑧12 + 𝑧22 = (2 + 𝑖 )2 + (2 − 𝑖 )2 = Câu 8: (Thông hiểu) (THPT QG 2019 Mã đề 104) Gọi 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 4𝑧 + = Giá trị 𝑧12 + 𝑧22 A 10 B C 16 D Lời giải GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 24 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Chọn D Phương trình 𝑧 − 4𝑧 + = có hai nghiệm phức 𝑧1 = + √3𝑖, 𝑧2 = − √3𝑖 2 Vậy 𝑧12 + 𝑧22 = (2 + √3𝑖) + (2 − √3𝑖) = Câu 9: (Thông hiểu) (Đề tham khảo THPTQG 2019) Kí hiệu 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phức phương trình 𝑧 − 3𝑧 + = Giá trị |𝑧1 | + |𝑧2 | A 2√5 B √5 C D 10 Lời giải Chọn A 3+√11𝑖 𝑧1 = Ta có : 𝑧 − 3𝑧 + = ⇔ [ Suy |𝑧1 | = |𝑧2 | = √5 ⇒ |𝑧1 | + |𝑧2 | = 2√5 3−√11𝑖 𝑧2 = 2 Câu 10: (Thông hiểu) (Đề THPTQG 2017 Mã 123) Phương trình nhận hai số phức + √2𝑖 − √2𝑖 nghiệm A 𝑧 − 2𝑧 − = B 𝑧 + 2𝑧 + = C 𝑧 − 2𝑧 + = D 𝑧 + 2𝑧 − = Lời giải Chọn C 𝑧 + 𝑧2 = Theo định lý Viet ta có { , 𝑧1 , 𝑧2 hai nghiệm phương trình 𝑧1 𝑧2 = 𝑧 − 2𝑧 + = Câu 11: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L1-MĐ 102] Gọi z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + 13 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn − z0 là: A M ( −2; ) B Q ( 4; −2 ) C N ( 4; ) D P ( −2; −2 ) Lời giải Xét phương trình z − z + 13 = Ta có  = − 13 = −4 = ( 2i )  z = + 2i Suy phương trình (1) có nghiệm phức phân biệt   z = − 2i z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − z + 13 = nên zo = + 2i − z0 = − ( + 2i ) = −2 − 2i Vậy điểm biểu diễn số phức − z0 điểm P ( −2; −2 ) Câu 12: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-L2-MĐ 101] Gọi z1 z hai nghiệm phức phương trình z + z + = Khi z1 + z2 A B 2 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu C Lời giải D Trang 25 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Phương trình z + z + = , có  = − 4.1.2 = −7  Suy phương trình có hai nghiệm phức z1,2 = Do z1 + z2 = −1  i −1 + i −1 − i + = 2+ =2 2 Vậy z1 + z = 2 Câu 12: (Thông hiểu) [ĐỀ BGD 2020-MH2] Gọi z nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z2 2z Môđun số phức z0 A B i C 10 Lời giải 2 ' Xét phương trình: z z có Phương trình có hai nghiệm phức z 2i z z nghiệm phức có phần ảo âm nên z0 D 10 2i 2i nên z0 i i z0 i Phương trình quy bậc hai Câu 1: (Thơng hiểu) (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu z1 , z2 , z3 z bốn nghiệm phức phương trình z − z − 12 = Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 B T = A T = C T = + D T = + Lời giải Chọn C  z = −3  z = i z − z − 12 =     z = 2  z = 4 T = z1 + z2 + z3 + z4 = i + i + −2 + = + Phương pháp hình học Câu 1: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo BGD 2017) Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z − + i Tính P = m + M A P = 13 + 73 B P = + 73 C P = + 73 D P = + 73 Lời giải Chọn B Gọi A điểm biểu diễn số phức z , F1 ( −2;1) , F2 ( 4; ) N (1; −1) GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 26 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Từ z + − i + z − − 7i = F1 F2 = nên ta có A đoạn thẳng F1 F2 Gọi H  3 hình chiếu N lên F1 F2 , ta có H  − ;  Suy P = NH + NF2 = 2   + 73 Phương pháp đại số Câu 1: (Vận dụng) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho số phức 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) thỏa mãn 𝑧 + + 𝑖 − |𝑧|(1 + 𝑖 ) = |𝑧| > Tính 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 A 𝑃 = −1 B 𝑃 = −5 C 𝑃 = D 𝑃 = Lời giải Chọn D 𝑧 + + 𝑖 − |𝑧|(1 + 𝑖 ) = ⇔ (𝑎 + 2) + (𝑏 + 1)𝑖 = |𝑧| + 𝑖|𝑧| ⇔{ 𝑎 + = |𝑧| 𝑎 + = √𝑎2 + 𝑏2 (1) ⇔{ 𝑏 + = |𝑧| 𝑏 + = √𝑎2 + 𝑏2 (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 𝑎 − 𝑏 + = ⇔ 𝑏 = 𝑎 + Thay vào (1) ta 𝑎 + > 1(do|𝑧| > 1) ⇔ 𝑎 = Suy 𝑏 = 𝑎2 − 2𝑎 − = Do 𝑧 = + 4𝑖 có |𝑧| = > (thỏa điều kiện |𝑧| > 1) 𝑎 + = √𝑎2 + (𝑎 + 1)2 ⇔ { Vậy 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 = + = Câu 2: (Vận dụng cao) (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Xét số phức z = a + bi (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ) thỏa mãn |𝑧 − − 3𝑖| = √5 Tính 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 |𝑧 + − 3𝑖| + |𝑧 − + 𝑖| đạt giá trị lớn A 𝑷 = 𝟏𝟎 B 𝑷 = 𝟒 C 𝑷 = 𝟔 D 𝑷 = 𝟖 Lời giải Chọn A Ta có: |𝑧 − − 3𝑖| = √5 ⇔ (𝑎 − 4)2 + (𝑏 − 3)2 = ⇔ 𝑎2 + 𝑏2 = 8𝑎 + 6𝑏 − 20 Đặt 𝐴 = |𝑧 + − 3𝑖| + |𝑧 − + 𝑖| ta có: 𝐴 = √(𝑎 + 1)2 + (𝑏 − 3)2 + √(𝑎 − 1)2 + (𝑏 + 1)2 𝐴2 ≤ (12 + 12 )((𝑎 + 1)2 + (𝑏 − 3)2 + (𝑎 − 1)2 + (𝑏 + 1)2 ) = 2(2(𝑎2 + 𝑏2 ) − 4𝑏 + 12) = 2(16𝑎 + 8𝑏 − 28) = 8(4𝑎 + 2𝑏 − 7) (1) Mặt khác ta có: 4𝑎 + 2𝑏 − = 4(𝑎 − 4) + 2(𝑏 − 3) + 15 ≤ √(42 + 22 )((𝑎 − 4)2 + (𝑏 − 3)2 ) + 15 = 25 (2) Từ (1) (2) ta được: 𝐴2 ≤ 200 4𝑎 + 2𝑏 − = 25 𝑎=6 Để 𝐴max = 10√2 ⇔ {𝑎−4 𝑏−3 ⇔{ = 𝑏=4 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 27 Tài Liệu Luyện Thi THPTQG Vậy 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 = 10 Câu 3: (Vận dụng cao) (THPT QG 2019 Mã đề 103) Xét số phức 𝑧 thỏa mãn |𝑧| = √2 Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦, tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 = 2+𝑖𝑧 1+𝑧 đường trịn có bán kính A 10 B √2 C D √10 Lời giải Chọn D Gọi 𝑤 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Ta có: 𝑤 = 2+𝑖𝑧 1+𝑧 2−𝑤 ⇔𝑧= 2−𝑤 𝑤−𝑖 nên: |𝑧| = | 𝑤−𝑖 | = √2  |2 − 𝑤| = √2|𝑤 − 𝑖| ⇔ (2 − 𝑥 )2 + 𝑦 = 2[𝑥 + (𝑦 − 1)2 ] ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 4𝑥 − 4𝑦 − = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 đường trịn có bán kính: 𝑟 = √4 + + = √10 Cách 2: + 𝑖𝑧 (2 + 𝑖𝑧)(𝑧 − 1) = = (2 − 𝑖)𝑧 + 2𝑖 − 1+𝑧 𝑧2 − 𝑤 + − 2𝑖 |𝑤 + − 2𝑖| ⇒𝑧= ⇒ |𝑧| = ⇔ |𝑤 + − 2𝑖| = √10 2−𝑖 |2 − 𝑖| 𝑤= Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức 𝑤 đường tròn có bán kính: 𝑟 = √10 GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT: 0907.102.655 Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu Trang 28 ... 4