Một số phát triển và áp dụng của bất đẳng thức tích phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MỘT SỐ PHÁT TRIỂN VÀ ÁP DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LOAN THANH ĐẠO THÁI NGUYÊN 2016 i Mục lục Lời mở đầu 1 Tích phân Riemann-Stieltjes 1.1 Định nghĩa tồn tích phân Riemann–Stieltjes 1.2 Các lớp hàm khả tích Riemann–Stieltjes 1.3 Các tính chất tích phân Riemann–Stieltjes 1.4 Các phương pháp tính tích phân Riemann–Stieltjes 1.5 Các định lý giá trị trung bình 10 1.6 Một vài ví dụ 10 Một số bất đẳng thức 15 2.1 Bất đẳng thức Cauchy tổng quát bất đẳng thức Young 15 2.2 Bt ng thc Hăolder v bt ng thc Cauchy–Schwarz 17 2.3 Các bất đẳng thức Minkowski Chebyshev 19 2.4 Các bất đẳng thức Jensen Hermite–Hadamard 20 2.5 Cỏc bt ng thc Gră uss v Ostrowski 23 Một số toán áp dụng phát triển 28 3.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz 28 3.2 p dng cỏc bt ng thc Hăolder, Minkowski v Chebyshev 39 3.3 Về bất đẳng thức Qi Feng 42 3.4 Bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard 48 3.5 Bất ng thc dng Gră ussOstrowski 52 3.6 Một số toán khác 55 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 Lời mở đầu Trong chương trình tốn học phổ thơng, tốn liên quan đến tích phân Riemann quan tâm khía cạnh tính chất, phương pháp kỹ thuật tính tính phân Trong đó, tập bất đẳng thức với tích phân đa dạng phong phú Luận văn nhằm giới thiệu phân tích số bất đẳng thức tích phân, từ áp dụng phát triển cho loạt tốn khác Luận văn giới thiệu tích phân Riemann–Stieltjes tích phân tổng quát tích phân Riemann, áp dụng cho lớp hàm khả tích rộng lớp hàm khả tích Riemann, số tính chất Nội dung Luận văn trình bày chương: Chương trình bày tích phân Riemann-Stieltjes Chương giới thiệu bất đẳng thức tích phân Chương giới thiệu số toán áp dụng phát triển Một phần luận văn (Mục 3.3) báo cáo Hội thảo khoa học "Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi toán" tỉnh Lai Châu tháng 10 năm 2015 đăng Kỷ yếu Hội thảo Luận văn thành lao động nghiêm túc thân tác giả, hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Vũ Tiến Việt Tác giả biết ơn giúp đỡ nhiệt tình, có hiệu thày giáo hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến tập thể thày Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên giúp đỡ tác giả thời gian theo học chun đề hồn thành cơng việc học viên cao học Thái Nguyên, ngày 29 tháng năm 2016 Tác giả Loan Thanh Đạo Chương Tích phân Riemann-Stieltjes Chương giới thiệu tích phân Riemann–Stieltjes1 tích phân tổng quát tích phân Riemann học chương trình trung học phổ thơng Về phương diện hình học, tích phân tốn tìm cách tính lượng hình học: chiều dài, diện tích, thể tích Tư tưởng định nghĩa tích phân chia nhỏ (phân hoạch) cộng lại Thực ý tưởng có từ thời Archimedes (287-212 trước cơng ngun), ơng tính diện tích parabola Ở đây, ta nêu định nghĩa tính chất lớp hàm khả tích phương pháp tính tích phân Riemann–Stieltjes mà khơng nêu chứng minh (các chứng minh xem [4]) 1.1 Định nghĩa tồn tích phân Riemann– Stieltjes Trong sách giáo khoa phổ thơng, tính diện tích hình trịn người ta dùng phương pháp xấp xỉ (trên dưới) diện tích đa giác ngoại nội tiếp Đấy ý tưởng để định nghĩa diện tích hình phẳng Tích phân tích phân bắt nguồn từ trực giác hình học 1.1.1 Phân hoạch tổng Darboux Giả sử [a, b] đoạn hữu hạn đường thẳng thực R G.F.B Riemann (1826-1886), nhà toán học người Đức; T.I Stieltjes (1856-1894), nhà toán học thiên văn học người Hà Lan Định nghĩa 1.1.1 Phân hoạch P [a, b] tập hữu hạn điểm x0 , x1 , , xn cho a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b Ta viết đơn giản P = {x0 , x1 , , xn } Ký hiệu P tập hợp tất phân hoạch [a, b] Ta nói phân hoạch P ∗ mịn phân hoạch P P ∗ ⊃ P , tức điểm P điểm P ∗ Trong trường hợp đó, ta viết P ≪ P ∗ P ∗ ≫ P Cho trước hai phân hoạch P1 P2 rõ ràng P1 ∪ P2 ≫ P1 , P1 ∪ P2 ≫ P2 Độ mịn phân hoạch P thường tính số sau |P | = max{xi − xi−1 , Dễ dàng thấy rằng, P ∗ ≫ P |P ∗ | i n} |P | Giả sử α hàm không giảm [a, b] Tương ứng với phân hoạch P ta đặt ∆αi = α(xi ) − α(xi−1 ) Cho hàm thực f bị chặn [a, b] Các tổng Darboux2 ứng với phân hoạch P f xác định sau: n n U (P, f, α) = Mi ∆αi ; L(P, f, α) = i=1 mi ∆αi , i=1 Mi = sup{f (x) : xi−1 x xi }; mi = inf{f (x) : xi−1 x xi } Chú ý rằng, với phân hoạch P bất kỳ, ta ln ln có m[α(b) − α(a)] M = sup{f (x) : a L(P, f, α) x U (P, f, α) b}, m = inf{f (x) : a J G Darboux (1842-1917), nhà toán học người Pháp M [α(b) − α(a)], x b} 1.1.2 Tích phân Riemann–Stieltjes Định nghĩa 1.1.2 Ta định nghĩa tích phân (dưới) f α [a, b] số hữu hạn cho công thức sau b f dα = inf{U (P, f, α) : P ∈ P}, a b a f dα = sup{L(P, f, α) : P ∈ P} Ta có b m[α(b) − α(a)] b f dα a f dα a M [α(b) − α(a)] Định nghĩa 1.1.3 Ta nói f khả tích α [a, b] tích phân tích phân f Giá trị chung chúng gọi tích phân R-S (Riemann–Stieltjes) f α [a, b] ký hiệu b b f dα a f (x)dα(x) a Ta ký hiệu R(α) tập hợp tất hàm f khả tích α [a, b] Nếu α(x) ≡ x ta viết R = R(α) gọi f ∈ R hàm R-khả tích (hay khả tích theo nghĩa Riemann [a, b]) Lúc tích phân tương ứng f gọi tích phân Riemann Mệnh đề 1.1.4 (xem [4]) Nếu P ∗ ≫ P L(P, f, α) L(P ∗ , f, α) (1.1) U (P, f, α) U (P ∗ , f, α) (1.2) Mệnh đề 1.1.5 (xem [4]) Ta ln ln có b b (1.3) f dα f dα a a 1.1.3 Điều kiện cần đủ hàm khả tích Riemann–Stieltjes Định lý 1.1.6 (Riemann, xem [4]) Cho f : [a, b] → R hàm bị chặn α hàm khơng giảm đoạn [a, b] Khi đó, f ∈ R(α) [a, b] với ε > tồn P ∈ P cho U (P, f, α) − L(P, f, α) ε (1.4) Mệnh đề 1.1.7 (xem [4]) (i) Nếu (1.4) với P ε (1.4) với P ∗ ≫ P (ii) Nếu (1.4) với P = {x0 , x1 , , xn } si , ti ∈ [xi−1 , xi ] n i=1 |f (si ) − f (ti )|∆αi < ε (iii) Nếu f ∈ R(α) giả thiết (ii) thực n i=1 b f (ti )∆αi − f dα < ε a Chú ý 1.1.8 Khi xét tích phân Riemann ta bỏ chữ α tổng Darboux tích phân (dưới) Người ta biết rằng: (1) Nếu f : [a, b] → R hàm bị chặn ∀ε > tồn δ > cho b a b f (x)dx − L(P, f ) < ε , U (P, f ) − f (x)dx < ε a với phân hoạch P thoả mãn |P | < δ (2) Nếu f : [a, b] → R khả tích Riemann, (Pn ) dãy phân hoạch với lim |Pn | = n→∞ b lim L(Pn , f ) = n→∞ f (x)dx = lim U (Pn , f ) n→∞ a (3) Giả sử f : [a, b] → R hàm bị chặn, P = {x0 , x1 , , xn } phân hoạch [a, b] Lấy tùy ý ci ∈ [mi , Mi ] Ta gọi n σ(P, f, C) = i=1 ci (xi − xi−1 ) tổng Riemann f ứng với P C = {c1 , , cn } Khi ci = f (ti ) ti ∈ [xi−1 , xi ] ta đặt T = {t1 , , tn } σ(P, f, T ) = σ(P, f, C) Khi ta có L(P, f ) = inf σ(P, f, C) = inf σ(P, f, T ), C T U (P, f ) = sup σ(P, f, C) = sup σ(P, f, T ) C T (4) f khả tích Riemann [a, b] tồn số I hữu hạn có tính chất sau: với ε > tồn δ > cho |I − σ(P, f, T )| < ε , ∀T |I − σ(P, f, C)| < ε , ∀C với phân hoạch P có |P | < δ Trong trường hợp b I= f (x)dx a (5) Nếu f : [a, b] → R khả tích Riemann, (Pn ) dãy phân hoạch với lim |Pn | = n→∞ b lim σ(Pn , f, Cn ) = n→∞ f (x)dx = lim σ(Pn , f, Tn ), n→∞ a Cn , Tn tập chọn theo Pn Ví dụ 1.1.9 Cho hàm f : [0, 1] → R xác định sau   x = , n ∈ N, n f (x) =  trường hợp khác Chứng tỏ f (x)dx = 0 Lời giải Với ε > cho trước, tồn n0 ∈ N cho n hoạch P đoạn [0, 1] sau < 2ε , ∀n n0 Chọn phân 1 < x < x3 < · · · < x k = < xk+1 < n0 + n0 1 < xm+1 < · · · < xp = < xp+1 < · · · < xq = < xm = n0 − = x < x1 = cho ∆xi = xi − xi−1 < ε , 4n0 ∀i = 2, 3, , k, , m, , p, , q Khi U (f, P ) − L(f, P ) = U (f, P ) < ε ε ε + 2n0 < + = ε n0 + 4n0 2 (chú ý L(f, P ) = tính U (f, P ) ta cần xét (2n0 + 1) đoạn chia [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], [xk−1 , xk ], [xk , xk+1 ], , [xp−1 , xp ], [xp , xp+1 ], [xq−1 , xq ] thơi) 1.2 Các lớp hàm khả tích Riemann–Stieltjes Trong mục ta trình bày tính khả tích hàm liên tục, đơn điệu, gián đoạn hàm hợp Mệnh đề 1.2.1 (xem [4]) Nếu f hàm liên tục [a, b] α hàm không giảm [a, b] f ∈ R(α) [a, b] Mệnh đề 1.2.2 (xem [4]) Nếu f đơn điệu [a, b] cịn α liên tục khơng giảm [a, b] f ∈ R(α) Mệnh đề 1.2.3 (xem [4]) Nếu hàm f bị chặn [a, b], f có nhiều số hữu hạn điểm gián đoạn (liên tục khúc) [a, b] hàm α không giảm, liên tục điểm gián đoạn f f ∈ R(α) Mệnh đề 1.2.4 (xem [4]) Giả sử f ∈ R(α) [a, b], m f (x) M với x ∈ [a, b] g hàm liên tục [m, M ] Khi h = g ◦ f ∈ R(α) [a, b] 1.3 Các tính chất tích phân Riemann–Stieltjes Mệnh đề 1.3.1 (xem [4]) (i) Tập hợp R(α) khơng gian tuyến tính (trên trường số thực) tích phân R-S phiếm hàm tuyến tính, tức f, g ∈ R(α) c, d số thực cf + dg ∈ R(α) b b (cf + dg)dα = c a b f dα + d a gdα a b (ii) Rõ ràng a dα = α(b) − α(a) (iii) Tích phân R-S bảo toàn thứ tự, tức f (x) b g(x) với x ∈ [a, b] b f dα a gdα a (iv) Nếu f ∈ R(α) [a, b] a < c < b f ∈ R(α) [a, c] [c, b] c b f dα + a b f dα = c f dα a (v) Nếu f ∈ R(α) [a, b] |f (x)| M [a, b] b f dα M [α(b) − α(a)] a (vi) Nếu f ∈ R(α1 ) f ∈ R(α2 ) f ∈ R(α1 + α2 ) b b f d(α1 + α2 ) = a b f dα1 + a f dα2 a (vii) Nếu f ∈ R(α) c số dương f ∈ R(cα) b b f d(cα) = c a f dα a Mệnh đề 1.3.2 (xem [4]) Nếu f ∈ R(α) g ∈ R(α) [a, b] (i) f g ∈ R(α), b (ii) |f | ∈ R(α) b f dα a a |f |dα Mệnh đề 1.3.3 (xem [4]) Giả sử (i) α hàm đơn điệu tăng đạo hàm α′ ∈ R [a, b], (ii) f hàm bị chặn [a, b] Khi f ∈ R(α) f α′ ∈ R Trong trường hợp ta có b b f (x)α′ (x)dx f dα = a 1.4 a Các phương pháp tính tích phân Riemann–Stieltjes Mệnh đề 1.4.1 (xem [4]) Cho α hàm đơn điệu tăng [a, b] f ∈ R(α) [a, b] Giả sử ϕ hàm đơn điệu tăng thực sự, liên tục, ánh xạ từ [A, B] lên [a, b] Đặt β(y) = α(ϕ(y)) , g(y) = f (ϕ(y)) , y ∈ [A, B] Khi g ∈ R(β) b B f dα = a gdβ A ... + g−h 2 15 Chương Một số bất đẳng thức 2.1 Bất đẳng thức Cauchy tổng quát bất đẳng thức Young Bất đẳng thức 2.1.1 (Bất đẳng thức Cauchy1 tổng quát (xem [1])) Cho số trọng số µ1 , µ2 , , µn... thức tích phân, từ áp dụng phát triển cho loạt toán khác Luận văn giới thiệu tích phân Riemann–Stieltjes tích phân tổng quát tích phân Riemann, áp dụng cho lớp hàm khả tích rộng lớp hàm khả tích. .. trình bầy bất đẳng thức tích phân phát triển sau ny: Hermite-Hadamard, Gră uss-Ostrowski Tip theo lun nờu loạt toán áp dụng bất đẳng thức tích phân đa dạng phong phú Luận văn giới thiệu số tập dành