Dưới vi phân bậc hai và các điều kiện tối ưu cho lớp các bài toán tối ưu trơn c1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ NHINH DƢỚI VI PHÂN BẬC HAI VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU CHO LỚP CÁC BÀI TOÁN TỐI ƢU TRƠN C1 Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Dƣơng Thị Việt An THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Mở đầu Lời cảm ơn Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính khả vi khả vi chặt 1.2 Nón pháp tuyến Dưới vi phân bậc 10 1.2.1 Nón pháp tuyến 10 1.2.2 Dưới vi phân 12 1.3 Đối đạo hàm Dưới vi phân bậc hai 14 1.4 Một số kết bổ trợ 15 Điều kiện cần tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C 20 2.1 Điều kiện cần tối ưu 20 2.2 Ví dụ minh họa 24 Điều kiện đủ tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C 29 3.1 Điều kiện đủ tối ưu 29 3.2 Ví dụ minh họa 32 Kết luận 34 Danh mục ký hiệu R trường số thực R tập số thực suy rộng R+ tập số thực không âm ∅ tập rỗng ∀x với x ∃x tồn x M ∩N giao hai tập hợp M N |x| giá trị tuyệt đối x ||x|| chuẩn véctơ x Bγ (x) hình cầu mở tâm x, bán kính γ > int A phần tập A xk ↓ x¯ xk hội tụ đến x¯ xk > x¯ inf f (x) infimum tập số thực {f (x) | x ∈ K} x∈K epi f đồ thị hàm f dom f miền xác định hàm f ∇f (¯ x) đạo hàm Fréchet f x ¯ x∗ , x giá trị phiếm hàm x∗ x N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet Ω x ¯ ∂ϕ(x) vi phân Fréchet ϕ x F :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào Y ∂ ϕ(¯ x)(·) vi phân Fréchet bậc hai ϕ x ¯ dom F miền hữu hiệu ánh xạ đa trị F gph F đồ thị ánh xạ đa trị F D∗ F (¯ x, y¯)(·) đối đạo hàm Fréchet ánh xạ đa trị F (¯ x, y¯) Mở đầu Bài tốn quy hoạch tốn học khơng gian vô hạn chiều nghiên cứu từ kỉ trước, bắt đầu với mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính vơ hạn chiều Nhiều tốn tối ưu khơng gian hàm, có cấu trúc phức tạp, toán điều khiển tối ưu tốn biến phân đưa tốn quy hoạch tốn học khơng gian vơ hạn chiều Để giải toán quy hoạch toán học, người ta phải dựa vào điều kiện cần tối ưu bậc bậc hai Các điều kiện tối ưu bậc phát biểu thông qua đạo hàm bậc vi phân hàm mục tiêu, xấp xỉ tiếp tuyến bậc nón pháp tuyến tập ràng buộc Các điều kiện tối ưu bậc hai phát biểu thông qua đạo hàm bậc hai vi phân bậc hai hàm mục tiêu, tập tiếp xúc bậc hai tập ràng buộc đối đạo hàm ánh xạ nón pháp tuyến tập ràng buộc (cũng vi phân bậc hai hàm tập ràng buộc) Trong toán tối ưu, điều kiện tối ưu bậc (Quy tắc Fermat) thường đóng vai trị điều kiện cần cực trị Quy tắc Fermat cho ta tiêu chuẩn xác định điểm có khả đạt cực trị hàm số Một điểm thỏa mãn quy tắc Fermat gọi điểm dừng Đối với tốn tổng qt (khơng lồi) quy tắc Fermat không đủ để ta nhận biết điểm dừng có điểm cực trị tốn hay khơng Điều kiện tối ưu bậc hai làm mịn điều kiện cần cực trị bậc mà bổ sung cho điều kiện việc đưa điều kiện đủ cho điểm dừng điểm cực trị hàm số Hơn nữa, cịn giúp ta xây dựng thuật tốn tìm nghiệm tối ưu đánh giá tốc độ hội tụ thuật toán Xét toán tối ưu tổng quát min{ϕ(x) | x ∈ X}, (P) ϕ : X → R khả vi liên tục (hàm thuộc lớp C ) Trong trường hợp hàm ϕ khả vi liên tục đến cấp hai, có nhiều kết nghiên cứu điều kiện cần đủ tối ưu bậc hai thơng qua tính chất nửa xác định dương xác định dương ma trận Hessian ∇2 ϕ(·) Trong trường hợp ma trận Hessian ∇2 ϕ(·) không tồn tại, tác giả N.H Chieu, G.M Lee N.D Yen [3] thiết lập điều kiện cần đủ tối ưu bậc hai cho lớp toán với hàm mục tiêu trơn C cách dùng vi phân bậc hai Fréchet vi phân qua giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich) Mục đích luận văn trình bày kết điều kiện cần đủ tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C cách sử dụng vi phân Fréchet bậc hai Nội dung luận văn biên dịch, xếp trình bày lại cách có hệ thống từ kết báo tác giả N.H Chieu, G.M Lee N.D Yen [3] Phần cuối chương có ví dụ minh họa cho kết giải cách chi tiết Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, ba chương có nội dung sau: Chương " Kiến thức chuẩn bị " trình bày kiến thức tính khả vi khả vi chặt, nón pháp tuyến vi phân bậc nhất, đối đạo hàm vi phân bậc hai, với số kết bổ trợ Chương "Điều kiện cần tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C ", chương này, chúng tơi trình bày có hệ thống kết điều kiện cần tối ưu cho toán (P) trường hợp X không gian hữu hạn chiều trường hợp X khơng gian Banach Chúng tơi tính tốn chi tiết hai ví dụ minh họa cho kết chương Chương "Điều kiện đủ tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C ", chương này, kết điều kiện đủ tối ưu thiết lập không gian Asplund Trong trường hợp X không gian Hilbert, chúng tơi trình bày kết điều kiện đủ tối ưu theo nghĩa nghiệm cực tiểu địa phương ổn định nghiêng cho tốn tối ưu (P) Ví dụ minh họa tính tốn chi tiết đưa cuối chương Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Dương Thị Việt An Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Cơ hướng dẫn hiệu truyền cho em kinh nghiệm nghiên cứu q trình em học tập hồn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình em học tập trường Thái Nguyên, ngày 16 tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Nhinh Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau, khái niệm tính chất nón pháp tuyến, vi phân bậc nhất, đối đạo hàm vi phân bậc hai Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4] [5] 1.1 Tính khả vi khả vi chặt Cho X, Y không gian Banach Ánh xạ f : X → Y gọi khả vi Fréchet (Fréchet differentiable) x ¯ ∈ X tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục ∇f (¯ x) : X → Y , gọi đạo hàm Fréchet (Fréchet derivative) f x ¯, cho f (x) − f (¯ x) − ∇f (¯ x)(x − x¯) = x→¯ x ||x − x¯|| lim Đạo hàm Fréchet khái niệm giải tích Khái niệm sau quen thuộc Định nghĩa 1.1 (Xem [5, Vol I, tr 19]) Ánh xạ f : X → Y gọi khả vi chặt (strict differentiable) x ¯ f có đạo hàm Fréchet ∇f (¯ x) x¯ f (x) − f (u) − ∇f (¯ x)(x − u) = x→¯ x ||x − u|| u→¯ x lim (1.1) Nhận xét 1.1 Do định nghĩa, f khả vi chặt điểm đó, f phải khả vi Fréchet điểm Điều ngược lại khơng đúng, tức có hàm số khả vi Fréchet mà khơng khả vi chặt Ví dụ 1.1 Cho f : R → R cho công thức    x2 x số hữu tỉ, f (x) =   0 x số vô tỉ Xét x ¯ = 0, hàm f khả vi Fréchet không khả vi chặt Thật vậy, dễ thấy ∇f (¯ x) = đạo hàm Fréchet x¯ Để chứng minh f không khả vi chặt x¯ = 0, ta lấy hai dãy √ xk = , uk = + , k = 1, 2, 3, k k k Khi đó, (1.1) nghiệm ta phải có f (xk ) − f (uk ) = lim = lim k√ = √ , k→∞ k→∞ − ||xk − uk || k2 mâu thuẫn Vậy f không khả vi chặt x ¯ = Nhắc lại hàm f gọi thuộc lớp C f khả vi liên tục Khi ta có kết sau: Mệnh đề 1.1 (Xem [5, Vol I, tr 19]) Nếu f ∈ C , tức f khả vi Fréchet lân cận x ¯, ∇f (·) liên tục lân cận ấy, f khả vi chặt x ¯ không nửa xác định dương Khi đó, tồn u ∈ R z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) cho zu < Từ định nghĩa vi phân Fréchet bậc hai ta có: z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) ⇔ z ∈ D∗ ∇ϕ(·)(¯ x)(u) ⇔ (z, −u) ∈ N ((¯ x, ∇ϕ(¯ x)); gph ▽ϕ(·)) ⇔ lim sup x→ x ¯ (z, −u), (x, ▽ϕ(x)) − (¯ x, ∇ϕ(¯ x)) ≤ |x − x¯| + |∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x)| Thay ∇ϕ(¯ x) = vào bất đẳng thức cuối thu gọn lại, ta lim sup x→ x ¯ z(x − x¯) − u∇ϕ(x) ≤ |x − x¯| + |∇ϕ(x)| (2.1) Vì zu < 0, xảy trường hợp sau: Trường hợp : z > u < Lấy dãy xk ↓ x ¯ Vì x¯ nghiệm địa phương (P1), nên theo định lý giá trị trung bình cổ điển, với k đủ lớn, ta tìm ξk ∈ (¯ x, xk ), cho ≤ ϕ(xk ) − ϕ(¯ x) = ∇ϕ(ξk )(xk − x¯) Vì xk − x ¯ > 0, nên ∇ϕ(ξk ) (2.2) Trong (2.1), thay x ξk , ta lim sup k→ ∞ z(ξk − x¯) − u∇ϕ(ξk ) ≤ |ξk − x¯| + |∇ϕ(ξk )| Đặt r := min{z, −u}, r > Từ (2.2), ta có z(ξk − x¯) − u∇ϕ(ξk ) |ξk − x¯| + |∇ϕ(ξk )| z(ξk − x¯) − u∇ϕ(ξk ) = ξk − x¯ + ∇ϕ(ξk ) r(ξk − x¯) + r∇ϕ(ξk ) ξk − x¯ + ∇ϕ(ξk ) ∆k := =r>0 21 (2.3) Do lim sup ∆k > Điều mâu thuẫn với (2.3) k→∞ Trường hợp 2: z < u > Ta lấy dãy xk ↑ x ¯ Với k đủ lớn, từ định lý giá trị trung bình cổ điển, tồn ξk ∈ (xk , x ¯) cho ≤ ϕ(xk ) − ϕ(¯ x) = ∇ϕ(ξk )(xk − x¯) Do xk − x ¯ < 0, nên (2.4) ∇ϕ(ξk ) ≤ Do (2.1) nên bất đẳng thức (2.3) Đặt r := max{z, −u}, r < Do đó, từ (2.4), ta có z(ξk − x¯) − u∇ϕ(ξk ) |ξk − x¯| + |∇ϕ(ξk )| z(ξk − x¯) − u∇ϕ(ξk ) =− ξk − x¯ + ∇ϕ(ξk ) −r(ξk − x¯) − r∇ϕ(ξk ) ξk − x¯ + ∇ϕ(ξk ) ∆k := = −r > Điều mâu thuẫn với (2.3) Định lý chứng minh xong Tiếp theo, nghiên cứu điều kiện cần cho toán tối ưu với hàm ϕ xác định không gian tổng quát Cho X khơng gian Banach Xét tốn (P2) min{ϕ(x) | x ∈ X}, với ϕ : X → R hàm thuộc lớp C , xác định X Định lý 2.2 Giả sử x ¯ nghiệm địa phương (P2) Khi ∇ϕ(¯ x) = Nếu tồn số l > cho ∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x) ≤ l 22 x − x¯ , (2.5) với x nằm lân cận x ¯ vi phân bậc hai Fréchet ∂ ϕ(¯ x) : X ⇒ X ∗ , X nhúng tắc vào X ∗∗ , nửa xác định dương Chứng minh Giả sử x ¯ nghiệm địa phương (P2) Khi ấy, theo quy tắc Fermat ta có ∇ϕ(¯ x) = Để chứng minh ∂ ϕ(¯ x) nửa xác định dương ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại, tồn u ∈ X z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) với z, u < (2.6) Khi đó, theo định nghĩa z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) z ∈ D∗ ∇ϕ(·)(¯ x)(u) tương đương với (z, −u) ∈ N ((¯ x, 0); gph ∇ϕ(·)) Nhắc lại X nhúng vào X ∗∗ ∇ϕ(·) : X → X ∗ Do lim sup x→ x ¯ (z, −u), (x, ▽ϕ(x)) − (¯ x, 0) ≤ x − x¯ + ∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x) (2.7) Với xk := x ¯ − k1 u, k = 1, 2, , ta có xk → x¯ k → ∞ Vì x¯ nghiệm địa phương (P2), với k đủ lớn, theo định lý giá trị trung bình cổ điển tồn ξk ∈ (¯ x, xk ) := {(1 − t)¯ x + txk | t ∈ (0, 1)} cho ≤ ϕ(xk ) − ϕ(¯ x) = ∇ϕ(ξk ), xk − x¯ Chú ý xk − x ¯ = − u, từ ta có k ∇ϕ(ξk ), u ≤ (2.8) Từ (2.7) ý ξk = x ¯ − tk u với tk ∈ (0, k1 ), ta có lim sup k→∞ Theo giả thiết, với k đủ lớn, z, −tk u − u, ∇ϕ(ξk ) ≤ tk u + ∇ϕ(ξk ) ∇ϕ(ξk ) = ∇ϕ(ξk ) − ∇ϕ(¯ x) ≤ l ξk − x¯ = ltk u 23 (2.9) Vậy, từ (2.6) (2.8) ta có z, −tk u − u, ∇ϕ(ξk ) tk u + ∇ϕ(ξk ) z, −u ≥ u + t−1 ∇ϕ(ξk ) k z, −u > ≥ u +l u ∆k = Khi lim sup ∆k > 0, điều mâu thuẫn (2.9) Định lý k→∞ chứng minh xong 2.2 Ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tơi trình bày ví dụ minh họa cho kết Định lý 2.1 Định lý 2.2 Ví dụ 2.1 Cho hàm ϕ : R → R xác định     x2 x ≤ 0, ϕ(x) =   x x > Ta thấy x ¯ = nghiệm tối ưu tốn (P1) (Hình 1) Tính tốn trực tiếp ta thu    x x < 0,     ∇ϕ(x) = x = 0,       √x x > Ta thấy đạo hàm ∇ϕ hàm liên tục (Hình 2) Do hàm ϕ thuộc lớp hàm trơn C Khi x ¯ = 0, điều kiện ∇ϕ(¯ x) = thỏa mãn Bây ta kiểm tra tính nửa xác định dương vi phân bậc hai 24 Hình 1: Đồ thị hàm ϕ Hình 2: Đồ thị hàm ψ := ∇ϕ 25 ∂ ϕ(¯ x) Từ định nghĩa vi phân Fréchet bậc hai ta có: z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) ⇔ z ∈ D∗ ∇ϕ(·)(¯ x)(u) ⇔ (z, −u) ∈ N ((¯ x, ∇ϕ(¯ x)); gph ▽ϕ(·)) ⇔ lim sup x→ x ¯ (z, −u), (x, ∇ϕ(x)) − (¯ x, ∇ϕ(¯ x)) ≤ |x − x¯| + |∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x)| Thay x ¯ = 0, ∇ϕ(¯ x) = thu gọn lại, bất đẳng thức cuối tương đương với lim sup x→0 zx − u∇ϕ(x) ≤ |x| + |∇ϕ(x)| (2.10) Trường hợp 1: x > Khi từ (2.10), ta có √ √ zx − u 32 x z x − u 23 = −u, ≥ lim sup √ = lim sup √ x + 23 x x + 23 x→0 x→0 hay u ≥ (2.11) Trường hợp 2: x < Khi từ (2.10), ta có ≥ lim sup x→0 hay zx − ux z−u = lim sup , −x − x −2 x→0 −z + u ≤ (2.12) Kết hợp (2.11) (2.12), ta z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) u ≥ 0, z ≥ −z + u ≤ Do với z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u), ta có z.u ≥ Hay nói cách khác, vi phân bậc hai Fréchet nửa xác định dương Ví dụ 2.2 Xét hàm ϕ : R → R xác định     x2 x ≤ 0, ϕ(x) =   3x2 x > 26 Đầu tiên, ta thấy ϕ ∈ C x ¯ = cực tiểu hàm ϕ (Hình 3) Hình 3: Đồ thị hàm ϕ Bằng tính tốn đơn giản, ta thu    x x < 0,     ∇ϕ(x) = x = 0,      6x x > Ta thấy đạo hàm hàm ϕ hàm liên tục Do ϕ ∈ C Khi x¯ = 0, ta có ∇ϕ(¯ x) = |∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x)| =    |x| x ≤ 0,   |6x| x > Do ta ln tìm l > cho điều kiện (2.5) thỏa mãn Khi    x x < 0,     ∇ϕ(x) = x = 0,      4x x > 27 Từ định nghĩa vi phân Fréchet bậc hai ta có: z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) ⇔ z ∈ D∗ ∇ϕ(.)(¯ x)(u) ⇔ (z, −u) ∈ N ((¯ x, ∇ϕ(¯ x)); gph ∇ϕ(.)) ⇔ lim sup x→ x ¯ (z, −u), (x, ∇ϕ(x)) − (¯ x, ∇ϕ(¯ x)) ≤ |x − x¯| + |∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x)| Thay x ¯ = 0, ∇ϕ(¯ x) = thu gọn lại, bất đẳng thức cuối tương đương với lim sup x→0 zx − u∇ϕ(x) ≤ |x| + |∇ϕ(x)| (2.13) Trường hợp 1: x > Khi từ (2.13), ta có ≥ lim sup x→0 z − 6u z − 6u zx − u6x = lim sup = , x + 6x 7 x→0 hay (2.14) z − 6u ≤ Trường hợp 2: x < Khi từ (3.7), ta có ≥ lim sup x→0 hay zx − ux z−u = lim sup , −x − x −2 x→0 (2.15) z − u ≥ Kết hợp (2.14) (2.15), ta z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) u ≥ 0, z ≥ z − u ≥ Do đó, với z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) ta có z.u ≥ Nhận xét 2.1 Trong Ví dụ 2.1, ∇ϕ(x) = 3√ x với x > 0, điều kiện (2.5) khơng thỏa mãn Do Định lý 2.2 không áp dụng cho trường hợp Tuy nhiên khả vi liên tục ϕ, Định lý 2.1 áp dụng cho ví dụ 28 Chương Điều kiện đủ tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C Trong chương chúng tơi trình bày kết điều kiện đủ tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C Nội dung chương tham khảo từ Section báo [3] 3.1 Điều kiện đủ tối ưu Đầu tiên kết điều kiện đủ tối ưu tốn (P2), với X khơng gian Asplund Định lý 3.1 (Điều kiện tối ưu I) Cho X không gian Asplund x¯ ∈ X Giả sử ϕ : X → R hàm C , ∇ϕ(¯ x) = Nếu tồn δ > thỏa mãn, với x ∈ Bδ (¯ x) z, u ≥ 0, ∀u ∈ X, ∀z ∈ ∂ ϕ(x)(u), (3.1) hay nói cách khác, ∂ ϕ(x) nửa xác định dương với x ∈ Bδ (¯ x) Khi x ¯ nghiệm địa phương toán (P2) Chứng minh Đầu tiên ta nhận thấy, (3.1) đúng, theo Định lý 1.2, hàm ϕ lồi Bδ (¯ x) Vì ϕ hàm lồi, nên theo Định lý 1.1, 29 ta có ϕ(x) − ϕ(¯ x) ≥ ∇ϕ(¯ x), x − x¯ , ∀x ∈ Bδ (¯ x) Hơn nữa, ∇ϕ(¯ x) = 0, nên từ bất đẳng thức suy ϕ(x) − ϕ(¯ x) ≥ 0, ∀x ∈ Bδ (¯ x), hay ϕ(x) ≥ ϕ(¯ x), ∀x ∈ Bδ (¯ x) Vậy x ¯ nghiệm địa phương (P2) Định lý sau đưa điều kiện đủ để biết điểm cực tiểu địa phương ổn định nghiêng hàm trơn C , ta xét toán (P2) với X không gian Hilbert Định lý 3.2 (Điều kiện tối ưu II) Cho ϕ : X → R hàm trơn C , X không gian Hilbert Nếu ∇ϕ(¯ x) = 0, tồn δ, r > cho x ∈ Bδ (¯ x) , z, u r u , ∀u ∈ X, ∀z ∈ ∂ ϕ(x)(u) (3.2) Khi x ¯ cực tiểu địa phương ổn định nghiêng (P2) Chứng minh Giả sử ∇ϕ(¯ x) = (3.2) Theo Định lý 1.3, tồn γ > cho ϕ lồi mạnh Bγ (¯ x) Vì ∇ϕ(¯ x) = ϕ lồi mạnh Bγ (¯ x), ta có Mγ (0) = {¯ x} Mγ (x∗ ) đơn trị, tức Mγ (x∗ ) = {v(x∗ )}, với x∗ ∈ X ∗ Ta khẳng định rằng, tồn lân cận U ∗ ∈ X ∗ tôpô chuẩn cho v(x∗ ) ∈ int Bγ (¯ x) với x∗ ∈ U ∗ Thật vậy, điều sai, ta tìm x∗k → xk ∈ X với xk − x ¯ = γ cho xk = v(x∗k ) với k Do đó, theo 30 tính lồi mạnh ϕ ϕ(¯ x) = ϕ(¯ x) − 0, x¯ − x¯ > ϕ(xk ) − x∗k , xk − x¯ , ∀k (3.3) Vì X khơng gian Hilbert xk − x ¯ = γ với k , tồn dãy {xkj } {xk } hội tụ yếu đến x ∈ Bγ (¯ x) Vì ϕ lồi liên tục Bγ (¯ x), nên nửa liên tục yếu Bγ (¯ x) Lấy liminf hai ¯ = 0, ta có vế (3.3) theo dãy {xkj }, lưu ý lim x∗kj , xkj − x j→∞ ϕ(¯ x) > ϕ(x) Điều mâu thuẫn với Mγ (0) = {¯ x} Khẳng định chứng minh Với x∗ ∈ U ∗ , v(x∗ ) ∈ intBγ (¯ x), theo quy tắc Fermat, ∇ϕ(v(x∗ )) − x∗ = hay ∇ϕ(v(x∗ )) = x∗ Ta có v(x∗1 ) − v(x∗2 ) x∗1 − x∗2 = v(x∗1 )−v(x∗2 ) ∇ϕ(v(x∗1 ))−∇ϕ(v(x∗2 )) ≥ ∇ϕ(v(x∗1 )) − ∇ϕ(v(x∗2 )), v(x∗1 ) − v(x∗2 ) (3.4) Theo tính lồi mạnh ϕ Bγ (¯ x), tồn l > cho ∇ϕ(v(x∗1 )) − ∇ϕ(v(x∗2 )), v(x∗1 ) − v(x∗2 ) ≥ l v(x∗1 ) − v(x∗2 ) , ∀x∗1 , x∗2 ∈ U ∗ (3.5) Từ (3.4) (3.5), suy v(x∗1 ) − v(x∗2 ) x∗1 − x∗2 ≥ l v(x∗1 ) − v(x∗2 ) , ∀x∗1 , x∗2 ∈ U ∗ , hay v(x∗1 ) − v(x∗2 ) ≤ κ x∗1 − x∗2 với x∗1 , x∗2 ∈ U ∗ , κ := η −1 Như vậy, x ¯ cực tiểu địa phương ổn định nghiêng ϕ 31 3.2 Ví dụ minh họa Cho ϕ : R → R hàm xác định     x2 x ≤ 0, ϕ(x) =   2x2 x > Khi    x x < 0,     ∇ϕ(x) = x = 0,      4x x > Dễ nhận thấy ϕ ∈ C Xét x ¯ = 0, ∇ϕ(¯ x) = 0, ta kiểm tra tính Lipschitz ∇ϕ(·), tức ta tồn l > cho |∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x)| ≤ l|x − x¯| Thật từ     (3.6) |x| ≤ l|x|,   |4x| ≤ l|x|, suy tồn l = thỏa mãn (3.6) Vậy ∇ϕ(·) Lipschitz x ¯ Từ định nghĩa vi phân Fréchet bậc hai ta có: z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) ⇔ z ∈ D∗ ∇ϕ(·)(¯ x)(u) ⇔ (z, −u) ∈ N ((¯ x, ∇ϕ(¯ x)); gph ∇ϕ(·)) ⇔ lim sup x→ x ¯ (z, −u), (x, ∇ϕ(x)) − (¯ x, ∇ϕ(¯ x)) ≤ |x − x¯| + |∇ϕ(x) − ∇ϕ(¯ x)| Thay x ¯ = 0, ∇ϕ(¯ x) = thu gọn lại, bất đẳng thức cuối tương đương với lim sup x→0 zx − u∇ϕ(x) ≤ |x| + |∇ϕ(x)| 32 (3.7) Trường hợp 1: x > Khi từ (3.7), ta có ≥ lim sup x→0 z − 4u z − 4u zx − u4x = lim sup = , x + 4x 5 x→0 hay z − 4u ≤ (3.8) Trường hợp 2: x < Khi từ (3.7), ta có ≥ lim sup x→0 z−u zx − ux = lim sup , −x − x −2 x→0 hay z − u ≥ (3.9) Kết hợp (3.8) (3.9), ta z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u) u ≥ 0, z ≥ z − u ≥ Do đó, với z ∈ ∂ ϕ(¯ x)(u), z, u ≥ r u , với r = Từ ta có x ¯ nghiệm địa phương (P1) 33 Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau: Chương nhắc lại số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc chứng minh kết hai chương sau Nội dung luận văn nằm Chương Chương Cụ thể Chương 2, trình bày kết điều kiện cần cực trị cho lớp toán tối ưu với hàm mục tiêu khả vi liên tục (thuộc lớp C ) không gian hữu hạn chiều R không gian Banach X Điều kiên đủ tối ưu nghiên cứu Chương 3, điều kiện đủ tối ưu thiết lập cho không gian Asplund (nói riêng, khơng gian Banach phản xạ) Trong trường hợp X khơng gian Hilbert, chúng tơi trình bày kết điều kiện đủ để điểm cực tiểu địa phương ổn định nghiêng Cuối chương có ví dụ minh họa cho kết Nội dung luận văn trình bày xếp lại cách có hệ thống từ kết báo [3] 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đông Yên, Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội, 2007 Tiếng Anh [2] N.H Chieu, N.Q Huy (2011), Second-order subdifferentials and convexity of real-valued functions, Nonlinear Analysis 74, 353–365 [3] N.H Chieu, G.M Lee and N.D Yen (2017), Second-order subdifferentials and optimality conditions for C -smooth optimization problems, Applied Analysis and Optimization 1, 461–476 [4] D Drusvyatskiy, B.S Mordukhovich and T.T.A Nghia (2014), Second-order growth, tilt stability, and metric regularity of the subdifferential, Journal of Convex Analysis 21, 1165–1192 [5] B.S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation, Vol I: Basic Theory, Vol II: Applications, Springer, Berlin, 2006 35 ... lập điều kiện cần đủ tối ưu bậc hai cho lớp toán với hàm mục tiêu trơn C cách dùng vi phân bậc hai Fréchet vi phân qua giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich) Mục đích luận văn trình bày kết điều kiện. .. vi phân bậc nhất, đối đạo hàm vi phân bậc hai, với số kết bổ trợ Chương "Điều kiện cần tối ưu cho lớp toán tối ưu trơn C ", chương này, chúng tơi trình bày có hệ thống kết điều kiện cần tối ưu. .. toán điều khiển tối ưu tốn biến phân đưa tốn quy hoạch tốn học khơng gian vơ hạn chiều Để giải toán quy hoạch toán học, người ta phải dựa vào điều kiện cần tối ưu bậc bậc hai Các điều kiện tối ưu