Luận án Về đạo hàm suy rộng, điều kiện tối ưu và tính duy nhất nghiệm trong tối ưu không trơn

Chương ba dành cho việc sử dụng tập xấp xỉ cấp một và hai, được đưa ra bởi Jourani và Thibault 1993 và Allali và Amaroq 1997, như đạo hàm suy rộng, để thiết lập cả điều kiện cần và đủ ch[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Thanh Tùng VỀ ĐẠO HÀM SUY RỘNG, ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM TRONG TỐI ƯU KHÔNG TRƠN Chuyên nghành: Lý Thuyết Tối Ưu Mã số: 62 46 20 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC T.p Hồ Chí Minh năm 2012 Lop12.net Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh với tháng Trường Đại học Avignon và vùng Vaucluse, Pháp Người hướng dẫn khoa học : GS TSKH Phan Quốc Khánh Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS.TS Phạm Hoàng Quân Phản biện 3: TS Dương Đặng Xuân Thành Phản biện độc lập 1: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Phản biện độc lập 2: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM Thư viện trường Đại học Khoa học Tự Nhiên-HCM Lop12.net MỞ ĐẦU Điều kiện tối ưu cho tối ưu không trơn đã trở thành chủ đề quan trọng việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến tối ưu Nhiều khái niệm đạo hàm khác đã giới thiệu để thiết lập điều kiện tối ưu Ngoài thiết lập điều kiện tối ưu, đạo hàm suy rộng còn là công cụ quan trọng nghiên cứu tính nghiệm địa phương Trong ba thập niên vừa qua, chủ đề này đã phát triển, tổng quát hóa và ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học nhiều nhà toán học trên toàn giới Mục đích luận án này là khảo sát vấn đề trên Luận án gồm năm chương Trong Chương một, chúng tôi phát triển phép toán tập biến phân, giới thiệu Khánh và Tuấn (2008) Hầu hết các phép toán thường dùng từ phép cộng, phép tích ánh xạ đến phép toán hợp, giao, tích Đề các và các phép toán khác cho tập biến phân thiết lập Sau đó, chúng tôi ứng dụng các phép toán cộng để thiết lập công thức liên hệ cho tập biến phân ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân có tham số với tập biến phân liệu Thêm vào đó, phép toán cộng, tích ánh xạ và tích Đề các dùng để xây dựng điều kiện tối ưu cho nghiệm yếu số bài toán tối ưu véc tơ Trong Chương hai, chúng tôi đưa khái niệm đạo hàm radial và ngoài ánh xạ đa trị và thu phép toán chính Một số ứng dụng trực tiếp các phép toán này cho bài toán tối ưu đặc biệt trình bày Sau đó, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần và đủ cấp cao cho bài toán tối ưu véc tơ đa trị tổng quát với ràng buộc bất đẳng thức Chương ba dành cho việc sử dụng tập xấp xỉ cấp và hai, đưa Jourani và Thibault (1993) và Allali và Amaroq (1997), đạo hàm suy rộng, để thiết lập điều kiện cần và đủ cho nhiều loại nghiệm hữu hiệu bài toán cân véc tơ không trơn với ràng buộc hàm số Điều kiện tối ưu cấp chúng tôi có thể áp dụng nhiều trường hợp, kết đã có không thể áp dụng Điều kiện cấp hai là Trong Chương bốn, chúng tôi xét bài toán tối ưu phân số đa mục tiêu không trơn trên không gian định chuẩn Sử dụng tập xấp xỉ bậc và bậc hai, điều kiện tối ưu cấp và cấp hai thiết lập Với điều kiện đủ, giả thiết lồi không cần dùng Kết chúng tôi có thể áp dụng không gian vô hạn chiều và có hàm số không liên tục Chương năm thảo luận điều kiện đủ cho tính nghiệm bài toán cân véc tơ không trơn mạnh và yếu Cũng cách sử dụng tập xấp xỉ, kết chúng tôi thỏa trường hợp hàm gián đoạn điểm xét Lop12.net Chương Tập biến phân: phép toán và ứng dụng tối ưu không trơn Mở đầu Trong chương này, chúng tôi thiết lập các phép toán có thể áp dụng tập biến phân Hầu hết các phép toán từ phép cộng, phép tích ánh xạ đến nhiều phép toán khác giải tích khảo sát Điều này cho thấy các phép toán tập biến phân là khá và đầy đủ Mặc dù, tập biến phân không so sánh với đối đạo hàm Mordukhovich phong phú các phép toán, có lẽ chúng tốt xét tính chất cấp cao Chúng tôi chú ý đến liên hệ giữ việc thiết lập các phép toán và áp dụng số phép toán để xây dựng các phép toán khác Trong các ứng dụng các phép toán trên, chúng tôi cung cấp cách dùng trực tiếp phép toán cộng để thiết lập công thức cho tập biến phân ánh xạ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số Hơn nữa, phép toán cộng, tích ánh xạ và tích Đề các dùng để chứng minh điều kiện tối ưu cho nghiệm yếu số bài toán tối ưu véc tơ đặc biệt Cho X và Y là các không gian định chuẩn thực, C ⊆ Y là nón lồi đóng với phần khác trống và F : X → 2Y Với A ⊆ X, intA, clA (hoặc Ā), bdA ký hiệu tương ứng với phần trong, bao đóng, biên A X ∗ là không gian đối ngẫu X và BX là hình cầu đơn vị đóng X Với x0 ∈ X, U (x0 ) ký hiệu cho tập các lân cận x0 ∈ X Rk+ là tập véc tơ có các tọa không âm không gian k-chiều Chúng tôi thường dùng nón sau đây, với A ⊆ X, C trên và u ∈ X, coneA = {λa | λ ≥ 0, a ∈ A}, cone+ A = {λa | λ > 0, a ∈ A}, A(u) = cone(A + u), ∗ ∗ C = {y ∈ Y ∗ | hy ∗ , ci ≥ 0, ∀c ∈ C} (nón cực) Một tập S không gian tuyến tính gọi là có dạng hình x0 ∈ S nếu, với x ∈ S và α ∈ [0, 1], (1 − α)x0 + αx ∈ S Một ánh xạ đa trị H : X → 2Y hai không gian tuyến tính gọi là có dạng hình x0 ∈ S trên tập có dạng hình S ⊆ domH nếu, với x ∈ S và α ∈ [0, 1], (1 − α)H(x0 ) + αH(x) ⊆ H((1 − α)x0 + αx) Nếu C ⊆ Y là nón (không cần lồi) và ta có, với x ∈ S và α ∈ [0, 1], (1 − α)H(x0 ) + αH(x) ⊆ H((1 − α)x0 + αx) + C, Lop12.net ta nói H là C-hình x0 Khi X và Y là các không gian định chuẩn, F : X → 2Y gọi là tựa lồi (x0 , y0 ) ∈ grF epiF ⊆ (x0 , y0 ) + TepiF (x0 , y0 ) Tập biến phân Định nghĩa 2.1 (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại định nghĩa sau: V (F, x0 , y0 ) = Limsup F x→x0 , t→0+ V m (F, x0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) = Limsup F x→x0 , t→0+ (F (x) − y0 ), t (F (x) − y0 − tv1 − · · · tm−1 vm−1 ) tm Định nghĩa 2.2 (Khánh và Tuấn 2008) Tập biến phân loại định nghĩa sau: W (F, x0 , y0 ) = Limsup cone+ (F (x) − y0 ), , F x→x0 W m (F, x0 , y0 , v1 , · · · , vm−1 ) = Limsup F x→x0 t→0+ tm−1 (cone+ (F (x)−y0 )−v1 −· · ·−tm−2 vm−1 ) Bằng cách sử dụng các công thức tương đương cho giới hạn trên theo dãy Painlevé-Kuratowski, chúng tôi thu số định nghĩa tương đương hai loại tập biến phân Mệnh đề 2.1 và 2.2 Định nghĩa 2.3 Cho F : X → 2Y , (x0 , y0 ) ∈ grF và v1 , , vm−1 ∈ Y Nếu giới hạn trên định nghĩa V m (F, x0 , y0 , v1 , , vm−1 ) trùng với giới hạn thì tập này gọi là tập biến phân trùng cấp m loại F (x0 , y0 ) Nếu điều tương tự xảy cho W m , ta nói tập W m đó gọi là tập biến phân trùng cấp m loại F (x0 , y0 ) Phép toán hai loại tập biến phân Trong phần này, chúng tôi xây dựng các phép toán đại số phép toán tập hợp, phép toán tích ánh xạ tập biến phân các ánh xạ đa trị Mệnh đề 3.1 (Phép toán hợp) Cho Fi : X → 2Y , i = 1, , k, (x0 , y0 ) ∈ k S grFi , và I(x0 , y0 ) = {i | (x0 , y0 ) ∈ grFi } Khi đó, i=1 (i) V m( k [ i=1 [ Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ) = i∈I(x0 ,y0 ) Lop12.net V m (Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ); (ii) W m( k [ [ Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ) = i=1 W m (Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ) i∈I(x0 ,y0 ) Mệnh đề 3.2 (Phép toán giao) Cho Fi : X → 2Y , i = 1, , n, và (x0 , y0 ) ∈ n T grFi Khi đó, i=1 (i) V m( n \ Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ) ⊆ i=1 (i) W m( n \ n \ V m (Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ); i=1 Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ) ⊆ n T W m (Fi , x0 , y0 , v1 , , vm−1 ) i=1 i=1 Mệnh đề 3.3 (Phép cộng cho V m ) Cho Fi : X → 2Y , x0 ∈ domF1 T int k T domFi , yi ∈ Fi (x0 ) và vi,1 , , vi,m−1 ∈ Y với i = 1, , k i=2 Nếu Fi , i = 2, k có tập biến phân trùng V m (Fi , x0 , y0 , vi,1 , , vi,m−1 ), tương ứng, thì k X k k k k X X X X vi,m−1 ) vi,1 , , yi , Fi , x0 , V m (Fi , x0 , yi , vi,1 , , vi,m−1 ) ⊆ V m ( i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Mệnh đề 3.4 (Phép cộng cho W ) Cho Fi : X → 2Y , (x0 , yi ) ∈ grFi và Fi là compact x0 for i = 1, , k Khi đó, k X W (Fi , x0 , yi ) ⊇ W ( k X i=1 i=1 Fi , x0 , k X yi ) i=1 Mệnh đề 3.7 (Phép tích ánh xạ cho V m ) Cho F : X → 2Y , G : Y → 2Z , (x0 , y0 ) ∈ grF, (y0 , z0 ) ∈ grG và imF ⊆ domG (i) Nếu G là Lipschitz quanh y0 thì, với u1 ∈ V (F, x0 , y0 ), , um−1 ∈ V m−1 (F, x0 , y0 , u1 , , um−2 ) và v1 ∈ Db G(y0 , z0 )(u1 ), , vm−1 ∈ Db(m−1) G(y0 , z0 , v1 , , vm−2 )(um−1 ), ta có Dbm G(y0 , z0 , u1 , v1 , , um−1 , vm−1 )(V m (F, x0 , y0 , u1 , , um−1 )) ⊆ V m (G ◦ F, x0 , z0 , v1 , , vm−1 ) Lop12.net (ii) Nếu giả thiết thêm F có tập biến phân trùng loại cấp m (x0 , y0 ), thì Dm G(y0 , z0 , u1 , v1 , , um−1 , vm−1 )(V m (F, x0 , y0 , u1 , , um−1 )) ⊆ V m (G ◦ F, x0 , z0 , v1 , , vm−1 ) (iii) Nếu F là nửa liên tục (x0 , y0 ) thì V m (GF, x0 , z0 , v1 , , vm−1 ) ⊆ V m (G, y0 , z0 , v1 , , vm−1 ) Mệnh đề 3.8 (Phép tích ánh xạ cho W m ) Cho F : X → 2Y , G : Y → 2Z , (x0 , y0 ) ∈ grF, (y0 , z0 ) ∈ grG và imF ⊆ domG (i) Nếu F có dạng hình x0 và G là Lipschitz quanh y0 , thì Db G(y0 , z0 )[W (F, x0 , y0 )] ⊆ DG(y0 , z0 )[W (F, x0 , y0 )] ⊆ V (G◦F, x0 z0 ) (ii) Nếu F là nửa liên tục (x0 , y0 ) thì W m (GF, x0 , z0 , v1 , , vm−1 ) ⊆ W m (G, y0 , z0 , v1 , , vm−1 ) (iii) Nếu F −1 là nửa liên tục (y0 , x0 ) thì W (G, y0 , z0 ) ⊆ W (G ◦ F, x0 , z0 ) Các phép toán thiết lập cho các toán tử khác phép tích Đề các, phép tích với ánh xạ khả vi, tích với ánh xạ tuyến tính liên tục, tích trong, tích ngoài, phép chia, phép toán tìm max và Rất nhiều ví dụ đã trình bày để minh họa các phép toán trên Chẳng hạn, Ví dụ 3.1 cho thấy, phép toán giao không xảy dấu Ví dụ 3.3 khẳng định điều kiện k k T T T x0 ∈ domF1 int domFi không thể giảm nhẹ thành x0 ∈ domFi i=2 i=1 phép cộng Do phép toán tích ánh xạ có thể suy phép cộng trường hợp riêng, chúng tôi xét tổng M + N hai ánh xạ đa trị M, N : X → 2Y cách biểu diễn M + N phép tích ánh xạ sau Gọi F : X → 2X×Y và G : X × Y → 2Y , I là ánh xạ đồng trên X và (x, y) ∈ X × Y , F =I ×M và G(x, y) = y + N (x) Khi đó, dễ thấy M + N = G ◦ F Lop12.net Bây giờ, chúng tôi đưa số định nghĩa tập biến phân liên quan sau Định nghĩa 3.3 Cho ((x, z), y) ∈ grC, u1 , , um−1 ∈ Y và w, w1 , , wm−1 ∈ Z (i) Tập y-biến phân cấp m ánh xạ G ◦ F (x, z) là tập V m (G ◦y F, x, z, w1 , , wm−1 ) := {w ∈ Z : ∃tn → 0+ , ∃(xn , yn , wn ) → (x, y, w), ∀n ∈ N, yn ∈ C(xn , z + tn w1 + + tm−1 wm−1 + tm n n wn )}; (ii) Tập giả biến phân cấp m ánh xạ C (x, z) với w ∈ Z là tập V̂ m (C, (x, z[w]), y, w1 , , wm−1 ) := {y ∈ Y : ∃tn → 0+ , ∃(xn , y n , wn ) → (x, y, w), y + tn y n ∈ C(xn , z + tn w1 + + tm−1 wm−1 + tm n n wn )} Định nghĩa 3.4 Cho ((x, z), y) ∈ cl(grS) và v1 , , vm−1 ∈ Y , là tập y-biến phân M + N (x, z) là tập V m (M +y N, x, z, v1 , , vm−1 ) := {w ∈ Y : ∃tn → 0+ , ∃(xn , yn , wn ) → (x, y, w), vm−1 + tm yn ∈ S(xn , z + tn v1 + + tm−1 n wn } n Khi đó, dễ thấy V m (M +y N, x, z, v1 , , vm−1 ) = V m (G ◦y F, x, z, v1 , , vm−1 ) Sử dụng định nghĩa trên, chúng tôi thu phép toán tích ánh xạ cho G và F các Mệnh đề 3.14 và 3.15 Sau đó, chúng tôi áp dụng phép toán tích ánh xạ này để thiết lập phép cộng cho M, N : X → 2Y các Mệnh đề 3.18 và 3.19 Ứng dụng Trước hết, chúng tôi áp dụng phép cộng để tính tập biến phân ánh xạ nghiệm Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát Cho F : W × X → 2Z và N : X → 2Z là các ánh xạ đa trị các không gian định chuẩn và K là tập X Gọi M (w, z) := {x ∈ K : z ∈ F (w, x) + N (x)} Khi K lồi, N (x) là nón pháp tuyến K x và w là tham số, M là ánh xạ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số Cho NK : W × X → Lop12.net 2Z là ánh xạ đa trị xác định NK (w, x) := N (x) với (w, x) ∈ W × K, NK (w, x) := ∅ với (w, x) ∈ W × (X \ K) Khi đó, M liên hệ với ánh xạ tổng Q := F + NK x ∈ M (w, z) ⇐⇒ z ∈ Q(w, x) Do đó, x0 ∈ V̂ (M, (w, z[z ]), x) và z ∈ V̂ (Q, (w, x[x0 ]), z) với (x0 , z ) ∈ X × Z Cho S : W × X × Z → 2Z xác định S(w, x, z) := F (w, x) ∩ (z − NK (w, x)) Sử dụng phép cộng, ta có thể tính tập biến phân ánh xạ nghiệm Mệnh đề 4.1 Mệnh đề 4.1 Cho Z hữu hạn chiều ((w, z), x) ∈ gr(M ) và S là nửa compact theo hướng (w, x, z) Giả sử V̂ (M, (w, z[0]), x) = {0X } ; {0X } ∈ / V̂ (M, (w, z[z ]), x) with z 6= 0Z , thỏa ((w, z), x) và V̂ (S, (w, x[0], y[0]), y) = {0} thỏa với z ∈ clS(w, x, z), thì, với x0 ∈ X, V (M, (w, z), x) ⊆ [ {x0 ∈ X : (V̂ (F, (w, x[x0 ]), z) + V̂ (NK , (w, x[x0 ]), z − z)) 6= ∅} (1) z∈clS(w,x,z) Nếu, thêm vào đó, V̂ (F, (w, x[x0 ]), y) ∩ [y − V̂ (N, (w, x[x0 ]), y − y)] ⊂ V̂ (S, (w, x[x0 ], y[y ]), y) thỏa với z ∈ clS(w, x, z), đó (1) trở thành đẳng thức Tiếp theo, chúng tôi dùng các phép toán để xây dựng các điều kiện cần cho nghiệm yếu số bài toán tối ưu đặc biệt Cho X và Y là các không gian định chuẩn, Y thứ tự phần nón đóng và có đỉnh C với phần khác rỗng, F : X → 2Y và G : X → 2X Xét bài toán (P1 ) minF (x0 ) với ràng buộc x ∈ X và x0 ∈ G(x) Bài toán này có dạng tương đương là bài toán tối ưu không ràng buộc: min(F ◦ G)(x) Lop12.net Mệnh đề 4.2 Giả sử với (P1 ), domF ⊆ ImG và G−1 là nửa liên tục (z0 , x0 ) Nếu (x0 , y0 ) nghiệm hữu hiệu yếu (P1 ), thì W (F+ , z0 , y0 ) ∩ −intC = ∅ Để minh họa cho ứng dụng phép toán cộng, chúng tôi xét bài toán sau (P2 ) F (x) với ràng buộc g(x) ≤ 0, với X, Y (P1 ), F : X → 2Y và g : X → Y Ký hiệu S = {x ∈ X | g(x) ≤ 0Y } Định nghĩa G : X → Y cho  0, x ∈ S, G(x) = g(x), trường hợp khác Xét bài toán tối ưu đa trị không ràng buộc sau Với số dương s, (PC ) min(F + sG)(x) Trong trường hợp đặc biệt, Y = R và F đơn trị, (PC ) dùng để xấp xỉ (P2 ) phương pháp hàm phạt, xem Rockafellar và Wets (1997) Mệnh đề 4.3 Cho x0 ∈ S, y0 ∈ F (x0 ) và F+ G+ có tập biến phân trùng Nếu (x0 , y0 ) là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (PC ) thì (V (F+ , x0 , y0 ) + sV (G+ , x0 , 0)) ∩ −intC = ∅ Các Ví dụ 4.1 và 4.2 Mệnh đề 4.2 và 4.3 có thể áp dụng phép toán trên đạo hàm contingent Jahn và Khan (2002) không thể áp dụng Chương Đạo hàm radial cấp cao và điều kiện tối ưu tối ưu không trơn Mở đầu Với tập A không gian định chuẩn X, nón contingent A x̄ ∈ clA là TA (x̄) = {u ∈ X : ∃tn → 0+ , ∃un → u, ∀n, x̄ + tn un ∈ A} Nón contingent mô tả tính chất địa phương tập và các ánh xạ và thường thích hợp xét bài toán có giả thiết lồi Nón radial (đóng) A x̄ ∈ clA định nghĩa RA (x̄) = cone(A − x̄) = {u ∈ X : ∃tn > 0, ∃un → u, ∀n, x̄ + tn un ∈ A} Lop12.net và có chứa thông tin toàn cục A Ta có TA (x̄) ⊆ RA (x̄) và dấu xảy A là lồi (thực ra, cần A có dạng hình x̄) Do đó, đạo hàm radial tương ứng, trình bày lần đầu Taa (1997), có thể áp dụng cho bài toán không lồi và nghiệm tối ưu toàn cục Trên đạo hàm radial giới thiệu Flores-Bazan (2001), có số lợi so với các loại trên đạo hàm khác Trong Chương này, chúng tôi đưa khái niệm đạo hàm radial và ngoài cấp cao ánh xạ đa trị và thu các phép toán chính và ứng dụng chúng Đạo hàm radial cấp cao và các phép toán chúng Định nghĩa 2.1 Cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị và u ∈ X (i) Đạo hàm radial ngoài cấp m F (x0 , y0 ) ∈ grF là m DR F (x0 , y0 )(u) = {v ∈ Y : ∃tn > , ∃(un , ) → (u, v), ∀n, y0 + tm n ∈ F (x0 + tn un )} (ii) Đạo hàm radial cấp m F (x0 , y0 ) ∈ grF là Dm R F (x0 , y0 )(u) = {v ∈ Y : ∀tn > , ∀un → u, ∃vn → v, ∀n, y0 + tm n ∈ F (x0 + tn un )} Ví dụ 2.1 làm rõ chi tiết khác đạo hàm radial ngoài cấp hai và đạo hàm contingent cấp hai m Định nghĩa 2.2 Cho F : X → 2Y , (x0 , y0 ) ∈ grF Nếu DR F (x0 , y0 )(u) = m m Dm R F (x0 , y0 )(u) với u ∈ dom[D R F (x0 , y0 )], đó ta gọi D R F (x0 , y0 ) là đạo hàm radial trùng cấp m F (x0 , y0 ) Chúng tôi thu số phép toán chính đạo hàm radial cấp m Mệnh đề 2.1 Cho F1 , F2 : X → 2Y , x0 ∈ int(domF1 ) ∩ domF2 , và yi ∈ Fi (x0 ) với i = 1, Giả sử F1 có đạo hàm radial trùng cấp m (x0 , y1 ) Khi đó, với u ∈ X, m m m DR F1 (x0 , y1 )(u) + DR F2 (x0 , y2 )(u) ⊆ DR (F1 + F2 )(x0 , y1 + y2 )(u) Mệnh đề 2.2 Cho F : X → 2Y , G : Y → 2Z với ImF ⊆ domG, (x0 , y0 ) ∈ grF và (y0 , z0 ) ∈ grG (i) Giả sử G có đạo hàm radial trùng cấp m (y0 , z0 ) Khi đó, với u ∈ X, m m DR G(y0 , z0 )(DR F (x0 , y0 )(u)) ⊆ DR (G ◦ F )(x0 , z0 )(u) Lop12.net (ii) Giả sử G có đạo hàm radial trùng cấp (y0 , z0 ) Khi đó, với u ∈ X, m m DR G(y0 , z0 )(DR F (x0 , y0 )(u)) ⊆ DR (G ◦ F )(x0 , z0 )(u) Chúng tôi nhận các phép toán cộng khác các Mệnh đề 2.5 2.7 rút từ các phép toán tích ánh xạ tương ứng Áp dụng các phép toán trên chúng tôi thu số điều kiện tối ưu cho nghiệm Q-cực tiểu, định nghĩa Định nghĩa 2.3 đây, số bài toán tối ưu đặc biệt (P1 ) và (PC ), đã định nghĩa Chương một, Mệnh đề 2.9 và 2.10 Định nghĩa 2.3 (Hà 2010) Cho x0 ∈ A, y0 ∈ F (x0 ), và Q ⊆ Y là nón mở tùy ý khác rỗng, khác với Y Chúng ta nói (x0 , y0 ) là nghiệm Q-cực tiểu (P ) nếu, với x ∈ A, (F (x) − y0 ) ∩ (−Q) = ∅ Mệnh đề 2.9 Cho ImG ⊆ domF , (x0 , z0 ) ∈ grG, và (z0 , y0 ) ∈ grF Giả sử (x0 , y0 ) là nghiệm Q-cực tiểu (P1 ) (i) Nếu F có đạo hàm radial trùng cấp m (z0 , y0 ), thì, với u ∈ X, m DR F (z0 , y0 )(DR G(x0 , z0 )(u)) ∩ (−Q) = ∅ (ii) Nếu F có đạo hàm radial trùng cấp (z0 , y0 ), thì, với u ∈ X, m DR F (z0 , y0 )(DR G(x0 , z0 )(u)) ∩ (−Q) = ∅ Mệnh đề 2.10 Cho domF ⊆ domG, x0 ∈ S, y0 ∈ F (x0 ) và F G có đạo hàm radial trùng cấp m (x0 , y0 ) (x0 , 0), tương ứng Nếu (x0 , y0 ) là nghiệm Q-cực tiểu (PC ), đó, với u ∈ X, m m (DR F (x0 , y0 )(u) + sDR G(x0 , 0)(u)) ∩ −Q = ∅ Các Ví dụ 2.6 và 2.7 cho thấy Mệnh đề 2.9 và 2.10 có thể áp dụng các phép toán trên đạo hàm contingent Jahn và Khan (2002) không dùng Các điều kiện tối ưu 10 Lop12.net Cho X và Y là các không gian định chuẩn thứ tự phần tương ứng các nón lồi đóng có đỉnh C và D với phần khác rỗng Cho S ⊆ X, F : X → 2Y và G : X → 2Z Trong phần này, chúng tôi khảo sát điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vec tơ đa trị với ràng buộc bất đẳng thức sau: (P ) F (x), với ràng buộc x ∈ S, G(x) ∩ (−D) 6= ∅ S Gọi A := {x ∈ S : G(x) ∩ (−D) 6= ∅} và F (A) := F (x) Giả sử x∈A F (x) 6= ∅ với x ∈ X Mệnh đề 3.1 Cho domF ∪ domG ⊆ S và (x0 , y0 ) là nghiệm Q-cực tiểu (P ) Khi đó, với z0 ∈ G(x0 ) ∩ (−D) và x ∈ X, m DR (F, G)(x0 , y0 )(x) ∩ (−Q × −intD) = ∅ Mệnh đề 3.2 Cho domF ∪ domG ⊆ S, x0 ∈ A, y0 ∈ F (x0 ) và z0 ∈ G(x0 ) ∩ (−D) Khi đó, (x0 , y0 ) là nghiệm Q-cực tiểu (P ) điều kiện sau thỏa m DR (F, G)(x0 , y0 )(A − x0 ) ∩ −(Q × D(z0 )) = ∅ Nhiều loại nghiệm hữu hiệu khác (P) thực chất là nghiệm Q-cực tiểu với nón Q chọn thích hợp Do đó, điều kiện tối ưu cho nghiệm Q-cực tiểu có thể suy điều kiện tối ưu cho nhiều loại nghiệm hữu hiệu khác Định lý 3.2 và 3.4 Ví dụ 3.1 cho thấy điều kiện cần dùng đạo hàm radial cấp hai có thể áp dụng điều kiện cần dùng đạo hàm radial cấp không áp dụng Ví dụ 3.3 không thể thay D D(z0 ) điều kiện cần Mệnh đề 3.1 để thu khác biệt nhỏ với điều kiện đủ Mệnh đề 3.3 Một số thuận lợi điều kiện đủ dùng đạo hàm radial cấp m thay vì sử dụng tập biến phân hay trên đạo hàm contingent minh họa Ví dụ 3.4 Chương Các điều kiện tối ưu cấp và cấp hai sử dụng tập xấp xỉ cho bài toán cân véc tơ có ràng buộc Mở đầu Bắt đầu từ năm 1994, Blum và Oettli đưa khái niệm bài toán cân là bài toán tổng quát bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu, bài toán tổng quát này đã nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên, các kết chủ yếu tập trung vào tồn nghiệm, ổn định nghiệm, tính 11 Lop12.net đạt chỉnh tập nghiệm và các phương pháp số để tính gần đúng nghiệm Rất ít kết trước đây khảo sát điều kiện tối ưu cho các loại nghiệm bài toán cân Mặc dù có số phần tương tự bài toán tối ưu hóa và bài toán cân bằng, việc khảo sát chi tiết điều kiện tối ưu cho bài toán cân có điểm khác biệt và đáng lưu ý Sử dụng, tập xấp xỉ bậc và bậc hai là đạo hàm tổng quát, chúng tôi thiết lập điều kiện cần và đủ cho các loại nghiệm bài toán cân Điều kiện tối ưu cấp chúng tôi có thể áp dụng nhiều trường hợp các kết trước đây không áp dụng Điều kiện tối ưu cấp hai là Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 2.1 (i) Một tập Af (x0 ) ⊆ L(X, Y ) gọi là xấp xỉ bậc (Jourani và Thibault 1993) f : X → Y x0 ∈ X tồn lân cận U x0 cho, với x ∈ U , f (x) − f (x0 ) ∈ Af (x0 )(x − x0 ) + o(kx − x0 k) (ii) Một tập (Af (x0 ), Bf (x0 )) ⊆ L(X, Y ) × L(X, X, Y ) gọi là xấp xỉ bậc hai (Allali và Amaroq 1998) f : X → Y x0 ∈ X (a) Af (x0 ) là xấp xỉ bậc f x0 ; (b) f (x) − f (x0 ) ∈ Af (x0 )(x − x0 ) + Bf (x0 )(x − x0 , x − x0 ) + o(kx − x0 k2 ) Cho X, Y và Z là các không gian định chuẩn, S ⊆ X là tập khác rỗng và F : X × X → Y, g : X → Z là các ánh xạ Cho C ⊆ Y và K ⊆ Z là nón lồi đóng có đỉnh Gọi Ω = {x ∈ S : g(x) ∈ −K} (tập các nghiệm chấp nhận S được), F (x, Ω) = F (x, y) Ký hiệu Fx0 : X → Y Fx0 (y) = F (x0 , y) với y∈Ω y ∈ X và giả sử, không tổng quát, Fx0 (x0 ) = Bài toán cân véc tơ với ràng buộc (EP) xét dựa vào các loại nghiệm sau Định nghĩa 2.2 (i) Nếu intC 6= ∅, véc tơ x0 ∈ Ω là nghiệm hữu hiệu yếu (EP), tồn lân cận U x0 cho F (x0 , U ∩ Ω) 6⊆ −intC (ii) Một véc tơ x0 ∈ Ω gọi là nghiệm hữu hiệu Henig (EP) tồn lân cận U x0 và nón lồi đóng có đỉnh H ⊆ Y với C \ {0} ⊆ intH cho F (x0 , U ∩ Ω) ∩ (−H \ {0}) = ∅ 12 Lop12.net (iii) Một véc tơ x0 ∈ Ω gọi là nghiệm hữu hiệu Benson (EP) tồn lân cận U x0 cho clcone(F (x0 , U ∩ Ω) + C) ∩ (−C) = {0} (iv) Với m ≥ 1, véc tơ x0 ∈ Ω gọi là nghiệm hữu hiệu chặt cấp m (EP) tồn lân cận U x0 và γ > cho, với x ∈ U ∩ Ω \ {x0 }, (F (x0 , x) + C) ∩ BY (0, γkx − x0 km ) = ∅ Các điều kiện tối ưu cấp Bây giờ, chúng tôi thiết lập các điều kiện cần cấp cho nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (EP) và điều kiện đủ cấp cho nghiệm hữu hiệu Henig, Benson và chặt cấp địa phương (EP) Định lý 3.1 Giả sử C và K có phần khác rỗng, AFx0 (x0 ) và Ag (x0 ) là tập xấp xỉ bậc p-compact tiệm cận Fx0 và g, tương ứng, x0 Nếu x0 là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (EP), thì, ∀u ∈ X, ∃P ∈ p−AFx0 (x0 ), ∃Q ∈ Ag (x0 ), ∃(c∗ , d∗ ) ∈ C ∗ × D∗ \ {(0, 0)} cho hc∗ , P (u)i + hd∗ , Q(u)i ≥ 0, hd∗ , g(x0 )i = Hơn nữa, với u thỏa ∈ int(Q(u) + g(x0 ) + K) với Q ∈ Ag (x0 ), ta có c∗ 6= Định lý 3.2 Cho AFx0 (x0 ) và Ag (x0 ) là tập xấp xỉ bậc p-compact tiệm cận Fx0 và g, tương ứng, x0 Giả sử tồn nón có đỉnh H ⊆ Y với C \ {0} ⊆ intH Khi đó, x0 là nghiệm hữu hiệu Henig địa phương (tương ứng với H) (EP) các điều kiện đây thỏa (i) (Fx0 , g) : X → Y × Z là C × K-liên thông đường x0 ; với x ∈ Ω và (P, Q) ∈ p−A(Fx0 ,g) (x0 )∞ \ {0} ta có (P, Q)(L0x0 ,x (0+ )) 6∈ −(C × K) và, với (c∗ , d∗ ) ∈ H ∗ × K ∗ \ {(0, 0)}, hc∗ , yi + hd∗ , zi > 0, hd∗ , g(x0 )i = 0, ∀(y, z) ∈ p − clA(Fx0 ,g) (x0 )(L0x0 ,x (0+ )) (ii) (Fx0 , g) tựa lồi x0 ; với x ∈ Ω và (P, Q) ∈ p−A(Fx0 ,g) (x0 )∞ \ {0} ta có (P, Q)(x − x0 ) 6∈ −(C × K) và, với (c∗ , d∗ ) ∈ H ∗ × K ∗ \ {(0, 0)}, hc∗ , yi + hd∗ , zi > 0, hd∗ , g(x0 )i = 0, ∀(y, z) ∈ p − clA(Fx0 ,g) (x0 )(x − x0 ) Định lý 3.5 Nếu x0 ∈ Ω, AFx0 (x0 ) và Ag (x0 ) là tập xấp xỉ bậc p-compact tiệm cận Fx0 và g, tương ứng, x0 Khi đó, x0 là nghiệm hữu hiệu Benson địa phương (EP) các điều kiện sau thỏa 13 Lop12.net (i) (Fx0 , g) : X → Y × Z là C × K-liên thông đường x0 ; với x ∈ Ω và (P, Q) ∈ p−A(Fx0 ,g) (x0 )∞ \ {0} ta có (P, Q)(L0x0 ,x (0+ )) 6∈ −(C × K) và, với (c∗ , d∗ ) ∈ H ∗ × K ∗ \ {(0, 0)}, hc∗ , yi+hd∗ , zi ≥ hd∗ , g(x0 )i = 0, ∀(y, z) ∈ p − clA(Fx0 ,g) (x0 )(L0x0 ,x (0+ )) (ii) (Fx0 , g) tựa lồi x0 ; với x ∈ Ω và (P, Q) ∈ p−A(Fx0 ,g) (x0 )∞ \ {0} ta có (P, Q)(x − x0 ) 6∈ −(C × K) và, với (c∗ , d∗ ) ∈ H ∗ × K ∗ \ {(0, 0)}, hc∗ , yi+hd∗ , zi ≥ 0, hd∗ , g(x0 )i = 0, ∀(y, z) ∈ p − clA(Fx0 ,g) (x0 )(x−x0 ) Định lý 3.6 Giả sử X có số chiều hữu hạn, x0 ∈ Ω, AFx0 (x0 ) và Ag (x0 ) là tập xấp xỉ bậc p-compact tiệm cận Fx0 và g, tương ứng, x0 Giả sử rằng, với u ∈ T (Ω, x0 ) với chuẩn đơn vị, P ∈ p − clAFx0 (x0 ) ∪ (p−AFx0 (x0 )∞ \{0}) và Q ∈ p − clAg (x0 )∪(p−Ag (x0 )∞ \{0}), tồn (c∗ , d∗ ) ∈ C ∗ × K ∗ \ {(0, 0)} cho hc∗ , P ui + hd∗ , Qui > 0, hd∗ , g(x0 )i = Khi đó„ x0 là nghiệm hữu hiệu chặt địa phương cấp (EP) Các Ví dụ 3.1-3.3 cho thấy các kết chúng tôi có thể áp dụng các kết trước đây không áp dụng Các điều kiện tối ưu cấp hai Trong phần này, chúng tôi thiết lập điều kiện cần cấp hai cho nghiệm hữu hiệu yếu và điều kiện đủ cấp hai cho nghiệm hữu hiệu chặt cấp hai hai trường hợp : Fx0 và g khả vi không khả vi Fréchet cấp x0 Định lý 4.1 Cho C là đa diện, x0 ∈ Ω và d∗ ∈ K ∗ với hd∗ , g(x0 )i = Giả sử (Fx0 (x0 ), BFx0 (x0 )) và (g (x0 ), Bg (x0 )) tập xấp xỉ bậc hai pcompact tiệm cận Fx0 và g, tương ứng, x0 với Bg (x0 ) bị chặn theo chuẩn Nếu x0 là nghiệm hữu hiệu yếu (EP) thì, với v ∈ T (G(d∗ ), x0 ), tồn c∗ ∈ B, với B hữu hạn và cone(coB) = C ∗ , cho hc∗ , Fx0 (x0 )vi + hd∗ , g (x0 )vi ≥ Nếu, thêm vào đó, c∗ ◦ Fx0 (x0 ) + d∗ ◦ g (x0 ) = 0, thì hoặc, với M ∈ p − clBFx0 (x0 ) và N ∈ p − clBg (x0 ), hc∗ , M (v, v)i + hd∗ , N (v, v)i ≥ hoặc, với M ∈ p−BFx0 (x0 )∞ \ {0}, hc∗ , M (v, v)i ≥ 14 Lop12.net Định lý 4.2 Giả sử X hữu hạn chiều, x0 ∈ Ω và (g (x0 ), Bg (x0 )) là tập xấp xỉ bậc hai p-compact tiệm cận Fx0 và g, tương ứng, x0 với Bg (x0 ) bị chặn theo chuẩn Giả sử tồn (c∗ , d∗ ) ∈ C0∗ × K0∗ cho, với v ∈ T (Ω, x0 ) với kvk = và hc∗ , Fx0 (x0 )vi = hd∗ , g (x0 )vi = 0, (i) với M ∈ p − clBFx0 (x0 ) và N ∈ p − clBg (x0 ), ta có hc∗ , M (v, v)i + hd∗ , N (v, v)i > 0; (ii) với M ∈ p−BFx0 (x0 )∞ \ {0}, ta có hc∗ , M (v, v)i > Khi đó, x0 là nghiệm hữu hiệu chặt cấp hai (EP) Khi Fx0 và g không khả vi Fréchet cấp x0 , sử dụng tập xấp xỉ bậc Fx0 và g thay cho Fx0 và g (x0 ), chúng tôi thu điều kiện tối ưu cấp hai các Định lý 4.3 và 4.4 Các ví dụ áp dụng điều kiện tối ưu cấp hai minh họa các Ví dụ 4.1-4.4 Chương Các điều kiện tối ưu cấp và cấp hai cho bài toán tối ưu phân số đa mục tiêu Mở đầu Tối ưu phân số là chủ đề tối ưu đã nghiên cứu tương đối nhiều Cùng với nhiều đóng góp với tối ưu vec tơ, lĩnh vực quan trọng với ứng dụng thực tế có ý nghĩa xuất nhiều tiêu chí các mô hình khoa học, kinh tế và kỹ thuật, tối ưu phân số đa mục tiêu trở nên hấp dẫn với nhiều nhà nghiên cứu Những nỗ lực không ngừng để giải với bài toán không trơn, dựa vào nhiều loại đạo hàm tổng quát khác nhau, có thể tìm thấy các công trình trước đây cho tối ưu phân số Nhiều giả thiết lồi chặt, đặc biệt là điều kiện đủ, đã giảm nhẹ dần các khái niệm lồi yếu Chúng tôi nhận thấy hầu hết các kết trước đây tối ưu phân số xét không gian hữu hạn chiều và ít kết cho điều kiện tối ưu cấp hai Giả thiết lồi chưa có thể giảm bớt hoàn toàn Đó là lý thúc đẩy chúng tôi khảo sát chương này bài toán tối ưu phân số đa mục tiêu Để tránh hoàn toàn giả thiết lồi chặt, chúng tôi dùng tập xấp xỉ bậc và bậc hai là đạo hàm suy rộng Kiến thức chuẩn bị Cho X, Y là các không gian định chuẩn, K ⊆ Y và C ⊆ Rm là các nón lồi đóng có đỉnh với phần khác rỗng Chúng tôi xét bài toán tối ưu phân số đa 15 Lop12.net mục tiêu sau:  (P ) ϕ(x) = f1 (x) fm (x) , , g1 (x) gm (x)  s.c h(x) ∈ −K, với fi , gi : X → R, i = 1, 2, , m, h : X → Y và tất gi liên tục Với m ∈ N, f : X → Y gọi là m−calm x0 tồn L > và lân cận U x0 cho, với x ∈ U , kf (x) − f (x0 )k ≤ Lkx − x0 km Khi đó, L gọi là hệ số calm f (1-calm gọi đơn giản là calm.) Tính chất và phép toán tập xấp xỉ Trong Mệnh đề sau, số phép toán cần thiết cho điều kiện tối ưu (P), trình bày Mệnh đề 3.1 Cho fi : X → Y and λi ∈ R, với i = 1, 2, , k Cho Afi (x0 ) là các xấp xỉ bậc fi x0 , tương ứng Khi đó, các khẳng định sau thỏa (i) k P λi Afi (x0 ) là xấp xỉ bậc i=1 k P λi fi x0 i=1 (ii) Cho Yi là các không gian định chuẩn, fi : X → Yi , i = 1, k, f = (f1 , f2 , , fk ) và Af1 (x0 ), , Afk (x0 ) là các xấp xỉ bậc f1 , , fk , tương ứng, x0 Khi đó, Af1 (x0 ) × × Afk (x0 ) là xấp xỉ bậc f điểm đó (iii) Cho Y là không gian Hilbert và f, g : X → Y , hf, gi(x) = hf (x), g(x)i Nếu Af (x0 ), Ag (x0 ) là các xấp xỉ bậc f và g x0 và f, g là calm x0 , đó hg(x0 ), Af (x0 )i + hf (x0 ), Ag (x0 )i là xấp xỉ bậc hf, gi x0 (iv) Cho f : X → Y và g : Y → Z Nếu f là calm x0 , thì Ag (f (x0 )) ◦ Af (x0 ) là xấp xỉ bậc f ◦ g x0 Mệnh đề 3.2 Cho f, g : X → R và Af (x0 ), Ag (x0 ) là các xấp xỉ bậc f và g, tương ứng, x0 Khi đó, các khẳng định sau thỏa (i) Nếu f g là calm x0 và ít hai f (x0 ) g(x0 ) là khác không Ag (x0 ) và Af (x0 ) không bị chặn, đó g(x0 )Af (x0 )+ f (x0 )Ag (x0 ) là xấp xỉ bậc f.g x0 16 Lop12.net (ii) Nếu g là calm x0 và g(x0 ) 6= 0, đó g(x0 )Af (x0 ) − f (x0 )Ag (x0 ) g (x0 ) là xấp xỉ bậc f /g x0 Khi X hữu hạn chiều, tính calm có thể giảm nhẹ thành tính liên tục Với các giả thiết và ký hiệu tương tự, chúng tôi thu phép cộng, tích Đề các, tích cho tập xấp xỉ bậc hai Mệnh đề 3.5 Mệnh đề 3.6 Cho f, g : X → R, g là 2-calm x0 và (Af (x0 ), Bf (x0 )), (0, Bg (x0 )) là các xấp xỉ bậc hai f và g, tương ứng, x0 Khi đó, (i) (g(x0 )Af (x0 ), g(x0 )Bf (x0 ) + f (x0 )Bg (x0 )) là xấp xỉ bậc hai f.g x0 ; (ii) g(x0 ) 6= 0, thì Af (x0 ) g(x0 )Bf (x0 ) − f (x0 )Bg (x0 )
, g(x0 ) g (x0 ) là xấp xỉ bậc hai f /g x0 Giả thiết tính 2-calm g Mệnh đề 3.6 là chặt Nhưng, Ví dụ 3.1, chúng tôi giả thiết này không thể giảm nhẹ thành giả thiết calm Các điều kiện tối ưu cấp Mệnh đề 4.1 (Điều kiện cần) Với bài toán (P), cho gi (x0 ) 6= và Afi (x0 ), Agi (x0 ), Ah (x0 ) là các tập xấp xỉ bậc p-compact tiệm cận fi , gi và h, tương ứng, x0 , với Agi (x0 ) bị chặn, i = 1, m Ký hiệu Aϕ (x0 ) := m Y gi (x0 )Afi (x0 ) − fi (x0 )Agi (x0 ) gi2 (x0 ) i=1 Nếu x0 là nghiệm hữu hiệu yếu (P), thì, ∀u ∈ X, ∃P ∈ p − clAϕ (x0 ) ∪ (p−Aϕ (x0 )∞ \ {0}), ∃Q ∈ clAh (x0 ), ∃(c∗ , d∗ ) ∈ C ∗ × D∗ \ {(0, 0)}, hc∗ , P ui + hd∗ , Qui ≥ 0, hd∗ , h(x0 )i = Hơn nữa, với u thỏa ∈ int(Q(u) + h(x0 ) + K), với Q ∈ Ah (x0 ), ta có c∗ 6= Mệnh đề 4.2 (Điều kiện đủ) Cho X = Rn , x0 ∈ h−1 (−K) Giả sử rằng, với i = 1, , m, Afi (x0 ), Agi (x0 ) và Ah (x0 ) là các tập xấp xỉ bậc tương 17 Lop12.net ứng fi , gi và h x0 , với tất Agi (x0 ) bị chặn Ký hiệu Aϕ (x0 ) = m Y gi (x0 )Afi (x0 ) − fi (x0 )Agi (x0 ) Giả sử thêm rằng, với u ∈ T (h−1 (K), x0 ) (x ) g i i=1 với chuẩn đơn vị, tất P ∈ clAϕ (x0 ) ∪ (Aϕ (x0 )∞ \ {0}) và tất Q ∈ p − clAh (x0 ) ∪ (p−Ah (x0 )∞ \ {0}), tồn (y ∗ , z ∗ ) ∈ C ∗ × K ∗ \ {(0, 0)} cho hy ∗ , P ui + hz ∗ , Qui > 0, hz ∗ , h(x0 )i = Khi đó, x0 là nghiệm hữu hiệu chặt cấp địa phương (P) Chú ý hầu hết các kết trước đây điều kiện tối ưu cho tối ưu phân số, X giả sử là không gian hữu hạn chiều Hơn nữa, áp dụng không gian hữu hạn chiều, Định lý 4.1 có lợi hơn, f không cần giả thiết liên tục Các Ví dụ 4.1, 4.2 cho thấy điều kiện tối ưu cho tối ưu phân số dùng tập xấp xỉ có thể áp dụng các kết trước đây sử dụng các loại đạo hàm khác không thể Các điều kiện tối ưu cấp hai Mệnh đề 5.1 Giả sử C là đa diện, gi (x0 ) 6= 0, gi là 2-calm x0 , với i = 1, , m, và z ∗ ∈ K ∗ với hz ∗ , g(x0 )i = Giả sử thêm (fi0 (x0 ), Bfi (x0 )), (0, Bgi (x0 )) và (h0 (x0 ), Bh (x0 )) là các xấp xỉ bậc hai p-compact tiệm cận fi , gi và h, tương ứng, x0 với Bgi (x0 ) và Bh (x0 ) bị chặn, với i = 1, , m Đặt Aϕ (x0 ) = m Y f (x0 ) i i=1 gi (x0 ) , Bϕ (x0 ) = m Y gi (x0 )Bfi (x0 ) − fi (x0 )Bgi (x0 ) gi2 (x0 ) i=1 Nếu x0 là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (P), đó, với v ∈ T (H(z ∗ ), x0 ), tồn y ∗ ∈ B, với B hữu hạn và cone(coB) = C ∗ , cho hy ∗ , Aϕ (x0 )vi+hz ∗ , h0 (x0 )vi ≥ Nếu, thêm vào đó, y ∗ ◦Aϕ (x0 )+z ∗ ◦h0 (x0 ) = 0, ta có M ∈ p − clBϕ (x0 ) và N ∈ p − clBh (x0 ) cho hy ∗ , M (v, v)i + hz ∗ , N (v, v)i ≥ 0, M ∈ p−Bϕ (x0 )∞ \ {0} cho hy ∗ , M (v, v)i ≥ Mệnh đề 5.2 Giả sử X là hữu hạn chiều, (x0 ) ∈ h−1 (−K), gi (x0 ) 6= 0, gi là 2-calm x0 và (fi0 (x0 ), Bfi (x0 )), (0, Bgi (x0 )) và (h0 (x0 ), Bh (x0 )) là các 18 Lop12.net