đường tròn – võ tiến trình

Bất kì đường thẳng nào đi qua tâm (chứa đường kính) cũng là trục đối xứng của đường tròn đó... Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H.. Cho hình vuông ABCD, gọi M là m[r]

ĐƯỜNG TRỊN

I Đường trịn.

1.Nhắc lại đường tròn.

+ Đường tròn tâm O có bán kính R0là hình gồm điểm cách điểm O

một khoảng R

Kí hiệu đường trịn tâm O bán kính R0 kí hiệu



O R;



 

O

+Vị trí tương đối điểm M đường tròn



O R;



Vị trí tương đối Liên hệ OM R

Điểm M nằm đường tròn OM = R Điểm M nằm bên đường tròn OM < R Điểm M nằm bên ngồi đường trịn OM > R 2.Cách xác định đường tròn.

+ Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Đường tròn (O) qua đỉnh tam giác ABC ta nói đường trịn (O) ngoại tiếp tam giác ABC hay tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O)

+Định lí Tập hợp điểm M cho AMB900 AB đoạn

thẳng cố định cho trước đường tròn đường kính AB II Tính chất đối xứng đường trịn.

+ Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường trịn

A.Các ví dụ.

Ví dụ Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF đồng qui H Chứng minh bốn điểm A, E, H, F B, F, E, C nằm đường tròn, xác định tâm bán kính đường trịn

Giải.

- Vì BE CF đường cao nên ta có

 900

HEA  E thuộc đường trịn đường kính AH.

 900

HFA  F thuộc đường trịn đường kính AH. , , ,

E F A H

 nằm đường tròn đường kính AH

Gọi I trung điểm AH ta có bốn điểm E, F, A, H nằm đường trịn tâm I,

bán kính AH

 900

CEB  E thuộc đường trịn đường kính BC.

 900

CFB  F thuộc đường trịn đường kính BC. , , ,

E F B C

 nằm đường trịn đường kính BC

Gọi J trung điểm BC ta có bốn điểm E, F, B, C nằm đường tròn tâm J,

bán kính BC

Ví dụ Cho hình thang cân ABCD có ABC 600 BC2AD Chứng minh

bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn, xác định tâm đường trịn

Giải.

Gọi O trung điểm BC

1

CO BC AD

  

CO/ /AD ADCO

 hình bình hành

 

/ / 60

AO CD AOB DCB

   

AOB

  (tam giác có góc 60 )0

OB OA

  .

 OA OB OC OD    O cách điểm A, B, C, D

 4 điểm A, B, C, D nằm đường trịn tâm O.

Ví dụ Cho hình vng ABCD, gọi M điểm cạnh BC Đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng AM H cắt đường thẳng AB K Đường thẳng KM cắt đường chéo AC P

a) Chứng minh H thuộc đường tròn qua điểm A, B, C, D b) Chứng minh điểm C, H, M, P nằm đường trịn

Giải.

a)Vì ABCD hình vng nên ta có:

 900

ABC   B thuộc đường trịn đường kính AC.

 900

ADC   D thuộc đường trịn đường kính AC.  A, B, C, D nằm đường trịn đường kính AC. Và AHC 900 H thuộc đường trịn đường kính AC

b)Trong tam giác ACK ta có CBAK AH, CK  M trực tâm tam giác ACK KP

 đường cao tam giác ACK  900

MPC P

   thuộc đường tròn đường kính MC.

vàMHC 900 H thuộc đường trịn đường kính MC

 4 điểm P, C, H, M nằm đường trịn đường kính MC.

B Bài tập.

Bài Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt F, E BE cắt CF H

a) Chứng minh AH vng góc với BC

b) Chứng minh điểm A, E, H, F nằm đường tròn Xác đinh tâm I đường trịn

c) Chứng minh OE vng góc với IE, OF vng góc với IF d) Chứng minh OI đường trung trực EF

e) AH cắt BC D Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC2

Bài Cho đường tròn



O R;



có đường kính AB Gọi I trung điểm OA, qua I vẽ đướng thẳng vng góc với OA cắt đường tròn (O) C D

a) Tính độ dài CD theo R chứng minh tam giác BCD

b) Gọi d đường thẳng vng góc với OC C, d cắt đường thẳng AB E Chứng minh DE vng góc với OD điểm O, C, E, D nằm đường tròn

c) Chứng minh A tâm đường tròn nội tiếp tam giác ECD d) Chứng minh BE AI AE BI

Bài Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E cạnh DC lấy điểm F cho EAF 450 Gọi FP EQ hai đường cao tam giác AEF (P thuộc

AE Q thuộc AF) Gọi H giao điểm FP EQ

b) Gọi K giao điểm AH EF Chứng minh điểm A, P, K, F, D nằm đường tròn

c) Chứng tỏ điểm P, Q, E, F nằm đường tròn

Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm C, D (C, D khác AB) cho điểm nằm theo thứ tự A, D, C, B nửa đường tròn Gọi H giao điểm AC BD Gọi E hình chiếu vng góc H lên AB

a) Chứng minh AH AC AE AB 

b) Chứng minh AH AC BH BD  AB2

c) Gọi F giao điểm AD BC kéo dài Chứng minh E, H, F thẳng hàng d) Chứng minh điểm H, D, F, C nằm đường trịn, xác

định tâm I đường trịn

e) Chứng minh ID vơng góc với OD, IC vng góc với OC Từ suy điểm I, D, E, O, C nằm đường trịn Xác định tâm J đường trịn

Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) Các đường cao BE CF cắt H (E thuộc AC, F thuộc AB) Gọi M trung điểm BC, D điểm đối xứng với H qua M

a) Chứng minh BHCD hình bình hành

b) Chứng minh D thuộc (O) A, O, D thẳng hàng

c) Chứng minh điểm A, E, H, F nằm đường tròn, xác định tâm I đường trịn

d) Chứng minh IM đường trung trực EF e) Cho OM R Tính độ dài cạnh BC theo R.

Bài Cho tam giác ABC vng A Bên ngồi tam giác vẽ nửa đường trịn đường kính AB nửa đường trịn đường kính AC Qua A vẽ đường thẳng xy cắt nửa đường trịn đường kính AB D nửa đường trịn đường kính AC E a/ Chứng minh BDEC hình thang vng

c/Gọi N trung điểm DE Chứng minh điểm M, P, A, N, Q đường tròn

d/ Đường thẳng xy vị trí đoạn thẳng DE có độ dài lớn ? Vì sao? Bài Cho nửa đường trịn (O,R) có đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy C cho AC = R đường thẳng Bx vng góc với AB B Tia phân giác góc BAC cắt OC E, cắt BC F, cắt Bx D, cắt nửa đường trịn (O) H (H khơng trùng với A)

a) Chứng minh BD2 AD DH

b) Chứng minh bốn điểm B, D, E, O thuộc đường tròn, xác định tâm đường tròn

c) Chứng minh BH tia phân giác góc CBD d) Đường thẳng AC cắt Bx M Chứng minh

1

DB