Định lý đếm polya

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC CHI ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC CHI ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm ví dụ nhóm 1.2 Định lý Lagrange 1.3 Tác động nhóm cơng thức lớp 10 Bổ đề Burnside 13 2.1 Bổ đề Burnside 13 2.2 Định lý Polya (Polya’s Baby Theorem) 15 2.3 Ví dụ 16 2.4 Bài tập đề nghị 21 Định lý đếm Polya 23 3.1 Bổ đề Burnside với trọng 23 3.2 Định lý đếm Polya (Polya’s Enumeration Theorem) 25 3.3 Ví dụ 27 3.4 Bài tập đề nghị 39 ii Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Họ tên Nguyễn Ngọc Chi iv Lời cảm ơn Sau năm nghiên cứu miệt mài luận văn thạc sỹ với chủ đề "Định lý đếm Polya" hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Những kết ban đầu mà luận văn thu nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy TS Đồn Trung Cường Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy, giáo khoa Tốn - Tin, Phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K7D bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Ngọc Chi Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Cấu trúc nhóm xuất cách tự nhiên Toán học Toán học phổ thơng Giải tích, Đại số, Số học, Tổ hợp Một ví dụ tiêu biểu Tổ hợp ứng dụng lý thuyết nhóm vào tốn tơ mầu thơng qua bổ đề Burnside Mục đích luận văn trình bày tốn tơ mầu, bổ đề Burnside, định lý Polya ứng dụng vào tập cho học sinh phổ thông Bổ đề Burnside kết lý thuyết nhóm vận dụng vào tốn tơ mầu với hệ định lý Polya Bài toán đặt tô mầu r mảnh vải khác n mầu Nếu ta gọi G nhóm nhóm Sr nhóm phép hốn vị r mảnh vải hai cách tơ mầu cách tô mầu nhận từ cách tơ mầu phép hốn vị mảnh vải G Hỏi có cách tơ mầu khác nhau? Nội dung luận văn số cách tơ mầu khác số quỹ đạo tác động nhóm G vào tập mảnh vải để đếm số quỹ đạo ta sử dụng bổ đề Burnside với hệ định lý Polya Trong thực tế với tốn tơ mầu ta thường gặp yêu cầu kỹ hơn, cụ thể cách thức tô mầu Cụ thể với mầu M = {M1 , M2 , , Mm } số nguyên t1 , t2 , , tn ≥ tô r mảnh vải m mầu toán kèm theo điều kiện mầu Mi xuất ti lần Hỏi có cách tơ mầu khác nhau? Để giải toán ta cần sử dụng đến khái niệm hàm sinh đa thức số xích để đến cơng cụ mạnh bổ đề Burnside định lý đếm Polya Trong luận văn tốn tơ mầu xuất việc tô đỉnh đa giác đều, tơ mầu vịng cổ, tơ mầu vng lưới vng, hay tơ mầu hình đa diện tứ diện đều, khối lập phương, bát diện Đồng thời luận văn đề cập đến việc ứng dụng tốn tơ mầu vào đếm số đồng phân phân tử hợp chất hóa học Đây tốn khó có nhiều ứng dụng việc tìm đặt tên hợp chất hóa học hữa Trên sở luận văn chia thành ba chương với nội dung sau: Chương 1: Trình bày số khái niệm nhóm, định lý Lagrange, tác động nhóm cơng thức lớp Chương 2: Trình bày bổ đề Burnside, định lý Polya ví dụ Chương 3: Là nội dung luận văn, chương trình bày định lý đếm Polya ví dụ Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Nguyễn Ngọc Chi Email: ngocchigvt@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương nhắc lại số kiến thức nhóm, nêu chứng minh định lý Lagrange Đồng thời nêu định nghĩa tác động nhóm chứng minh công thức lớp Kiến thức cần thiết cho áp dụng vào việc chứng minh định lý chương sau 1.1 Khái niệm ví dụ nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm gồm tập hợp G = ∅ phép toán G × G → G, (a, b) → a ∗ b thỏa mãn tiên đề: (G1 ) Tính chất kết hợp: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), với a, b, c ∈ G (G2 ) Phần tử đơn vị: tồn e ∈ G cho e ∗ a = a ∗ e = a với a ∈ G Phần tử e gọi phần tử đơn vị G (G3 ) Phần tử nghịch đảo: với a ∈ G, có phần tử b ∈ G cho a ∗ b = b ∗ a = e Phần tử b gọi phần tử nghịch đảo a kí hiệu a−1 Một nhóm (G, ∗) gọi nhóm Abel nhóm giao hoán tiên đề sau thỏa mãn (G4 ) Tính chất giao hốn: a ∗ b = b ∗ a với a, b ∈ G Về mặt kí hiệu, bên cạnh kí hiệu tích dạng a ∗ b, người ta cịn sử dụng kí hiệu a + b, ab, a ◦ b, tùy vào trường hợp cụ thể Trong chương này, với nhóm Abel nói chung ta dùng kí hiệu + để phép toán, phần tử đơn vị kí hiệu gọi phần tử trung hòa Phần tử nghịch đảo phần tử a kí hiệu −a gọi phần tử đối Trong trường hợp tổng quát, tích thường kí hiệu ab, phần tử đơn vị đơi kí hiệu Để nhóm, ta dùng kí hiệu (G, ∗) đơn giản G Ví dụ 1.1.1 Sau số ví dụ nhóm a) Tập số ngun Z với phép + nhóm Abel Phần tử trung hòa 0, phần tử đối n ∈ Z −n Tương tự, tập số hữu tỷ Q, tập số thực R với phép cộng nhóm Abel b) Tập G = {1, −1} ⊂ R với phép nhân Chú ý (−1)−1 = −1 c) Tập có phần tử G = {e} với phép toán e ∗ e = e nhóm Nhóm kí hiệu e gọi nhóm tầm thường d) Tập R× := R\{0} với phép nhân Tương tự tập R+ := {x ∈ R : x > 0} e) Tập lớp đồng dư Z/nZ với n ∈ Z cho trước, phép tốn phép cộng (a + nZ) + (b + nZ) := a + b + nZ Chú ý lớp đồng dư a + nZ hay kí hiệu a cho gọn g) Nhóm đối xứng: Xét tập khác rỗng X đặt SX := {f : X → X song ánh} Trên SX có phép hợp thành ánh xạ (f • g)(x) = f (g(x)) kí hiệu ánh xạ đồng idX Khi (SX , •) nhóm với phần tử đơn vị idX Nhóm gọi nhóm đối xứng phần tử tập X Đặc biệt nhóm SX giao hoán |X| = 1, h) Nếu X tập hữu hạn có n phần tử tức X = {1, 2, , n} nhóm SX cịn kí hiệu nhóm Sn Một phần tử Sn song ánh ϕ : {1, 2, , n} → {1, 2, , n} Do hồn toàn xác định ảnh ϕ(1) = a1 , ϕ(2) = a2 , , ϕ(n) = an Từ ta biểu diễn ϕ dạng (a1 a2 an ) phép hoán vị n phần tử Ngồi ϕ biểu diễn 29 Như Ví dụ 2.3.3, kí hiệu τ i phép xoay hình thất giác quanh tâm với góc quay τ = id, i2π với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, Như τ = (1234567), τ = (1357246), τ = (152637), τ = (1642753), τ = (147362) τ = (1765432) Phép lấy đối xứng qua trục δj tương ứng với trục đường nối đỉnh j trung điểm cạnh đối diện với j = 1, 2, , Như δ1 = (27)(36)(45), δ2 = (13)(74)(56), δ3 = (24)(15)(67), δ4 = (35)(26)(17), δ5 = (46)(37)(12), δ6 = (57)(14)(23), δ7 = (16)(25)(34) Ta có tập G = {id, τ , τ , τ , τ , τ , τ , δ1 , δ2 , δ3 , δ4 , δ5 , δ6 , δ7 } nhóm có cấp |G| = 14 Trong 14 phần tử nhóm G có: phần tử có xích độ dài 1; phần tử có xích gồm xích độ dài xích độ dài 1; phần tử có xích độ dài Áp dụng định lý đếm Polya, ta có FG (x, y) = ZG (x + y, x2 + y , x3 + y , x4 + y , x5 + y , x6 + y , x7 + y ) = 14 (x + y)7 + 7(x + y)(x2 + y )3 + 6(x7 + y ) = x7 + x6 y + 3x5 y + 4x4 y + 4x3 y + 3x2 y + xy + y Như vậy, số cách tơ màu để có bốn đỉnh tơ màu x tổng hệ số 30 số hạng chứa x4 Vậy có cách xếp chỗ ngồi khác Ví dụ 3.3.3 Dùng hai màu xanh đỏ tơ vng lưới vng kích thước × Hỏi có cách tơ màu khác cho vng có ô tô màu đỏ Hai cách tô màu cách nhận từ cách qua phép xoay hình vng quanh tâm Giải Giả sử ô vuông đánh số từ đến hình vẽ Mỗi phép quay bảng ô vuông mơ tả thơng qua phép hốn vị vng sau: Khi xoay hình vng quanh tâm góc quay iπ , với i = 0, 1, 2, 3, ta có: τ = id; τ = (1397)(2684); τ = (19)(37)(28)(46); τ = (1793)(2486) Vậy G = {id, τ , τ , τ } nhóm với |G| = Trong phần tử nhóm G có: phần tử có xích độ dài 1; phần tử có xích gồm xích độ dài xích độ dài 1; phần tử có gồm xích độ dài xích độ dài Theo định lý đếm Polya, ta có FG (x, y) = ZG (x + y, x2 + y , , x9 + y ) = (x + y)9 + 2(x + y)(x2 + y )4 + (x4 + y )2 (x + y) = x9 + 3x8 y + 11x7 y + 23x6 y + 35x5 y + 35x4 y + 23x3 y + 11x2 y + y Như vậy, số cách tơ màu khác mà có tơ màu đỏ hệ số x4 Ta có 35 cách tơ khác 31 Ví dụ 3.3.4 Dùng màu xanh, đỏ vàng để tô đỉnh tứ diện Trong có đỉnh tơ màu xanh Hỏi có cách tơ khác Biết hai cách tô cách nhận từ cách thông qua phép xoay khối tứ diện không gian Giải Khi xoay khối tứ diện đều, ta có hai phép xoay sau đây: Mỗi phép xoay đỉnh tứ diện mơ tả thơng qua phép hốn vị đỉnh tứ diện sau: Phép quay quanh đường thẳng nối đỉnh tâm mặt đáy Ta có trục xoay với góc xoay (234); (243); i2π với i = 1, Như vậy, ta có kết sau: (134); (143); (124); (142); (123); (132) Phép quay quanh đường thẳng nối trung điểm cạnh đối diện, ta có trục xoay với góc quay π Như vậy, ta có kết sau: (12)(43); (14)(23); (12)(34) Ta có nhóm G tập hợp tất phép xoay trình bày với phép đồng |G| = 12 Trong 12 phần tử nhóm G có: phần tử có xích độ dài 1; phần tử có xích gồm xích độ dài xích độ dài 3; phần tử có xích độ dài 32 Theo định lý đếm Polya, ta có FG (x, y, z) = ZG (x + y + z, x2 + y + z , x3 + y + z , x4 + y + z ) = 12 (x + y + z)4 + 8(x + y + z)(x3 + y + z ) + 3(x2 + y + z )2 = x4 + x3 y + x2 y + xy + y + x3 z + x2 yz + xy z + y z + x2 z + xyz + y z + xz + yz + z Như vậy, số cách tơ màu thỏa mãn tổng hệ số biểu thức chứa x2 , có + + = cách tô mầu thỏa mãn có hai đỉnh tơ mầu xanh Ví dụ 3.3.5 Tơ 12 cạnh hình lập phương hai màu đỏ đen, ta có cách tơ màu khác cho có nửa số cạnh tô màu đỏ? Hai cách tô màu cách nhận từ cách qua phép xoay khối lập phương Giải Ta đánh số cạnh khối lập phương hình vẽ phân tích Ví dụ 2.3.5 Khi xoay khối lập phương khơng gian ta có phép xoay mô tả cụ thể thông qua phép hoán vị cạnh khối lập phương sau: a) Phép xoay quanh trục đường thẳng nối tâm hai mặt đối diện góc quay iπ với i = 1, 2, Ta có trục vậy, cụ thể 33 (1234)(5678)(9 10 11 12); (1432)(5876)(9 12 11 10); (13)(24)(57)(68)(9 11)(10 12); (184 12)(263 10)(57 11 9); (1 12 48)(2 10 36)(59 11 7); (14)(23)(5 11)(6 10)(79)(8 12); (1925)(374 11)(68 12 10); (1526)(3 11 47)(6 10 12 8); (12)(34)(59)(6 12)(7 11)(8 10) b) Phép xoay quay quanh đường nối hai đỉnh đối diện góc quay j2π 1, Ta có trục vậy, cụ thể (185)(2 12 7)(3 10 11)(469); (158)(27 12)(3 11 10)(496); (17 10)(256)(398)(4 11 12); (1 10 7)(265)(389)(4 12 11); (1 12 9)(28 11)(367)(4 10 5); (19 12)(2 11 8)(376)(45 10); (16 11)(2 10 9)(3 12 5)(487); (1 11 6)(29 10)(35 12)(478) , j= c) Phép xoay quanh đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện góc quay π Ta có trục vậy, cụ thể ta có (24)(5 12)(6 11)(7 10)(89); (13)(5 10)(69)(7 12)(8 11); (1 11)(27)(35)(49)(8 10); (17)( 11)(39)(45)(6 12); (1 10)(2 12)(38)(46)(5 11); (16)(28)(3 12)(4 10)(79) Như vậy, ta xác định nhóm G tập hợp 23 phép xoay phép đối xứng với phép đồng id |G| = 24 Trong nhóm G có: phần tử có 12 xích độ dài 1; phần tử có xích gồm xích độ dài xích độ dài 2; phần tử có xích độ dài 2; phần tử có xích độ dài 3; phần tử có xích độ dài Theo định lý đếm Polya, ta có FG (x, y) = ZG (x + y, x2 + y , , x12 + y 12 ) = 24 [(x + y)12 + 6(x + y)2 (x2 + y )5 + 3(x2 + y )6 34 + 8(x3 + y )4 + 6(x4 + y )3 ] = x12 + x11 y + 5x10 y + 13x9 y + 27x8 y + 38x7 y + 48x6 y + 38x5 y + 27x4 y + 13x3 y + 5x2 y 10 + xy 11 + y 12 Như vậy, số cách tơ màu khác để nửa số cạnh tô màu đỏ tổng hệ số số hạng xa y b mà a ≥ Vậy có 48 + 38 + 27 + 13 + + + = 133 cách Trong hóa học, định lý Polya dùng để xác định số lượng đồng phân phân tử hợp chất Hai phân tử gọi đồng phân chúng cấu tạo loại nguyên tử có câu trúc khác Để minh họa điều này, quan sát hai đồng phân tử C5 H12 hình vẽ Ví dụ 3.3.6 Xét phân tử Benzen C6 H6 có cấu trúc hình vẽ sau: Bây ta thay nguyên tử H gốc OH, hỏi ta thu đồng phân khác 35 Giải Do cấu tạo phân tử Benzen nên ta coi nguyên tử H nằm đỉnh lục giác nên hai phần tử đồng phân nến cấu tao phân tử nhận từ cấu tạo phân tử thông qua phép xoay lục giác quanh tâm đối xứng qua trục đối xứng lục giác Đánh số đỉnh lục giác 1, 2, 3, 4, 5, Khi đó, ta có phép quay đối xứng mơ tả qua phép hốn vị đỉnh lục giác sau: τ = id, τ = (123456), τ = (14)(25)(37), iπ với i = 0, 1, 2, 3, 4, Cụ thể τ = (135)(246), Gọi τ i phép quay quanh tâm góc quay τ = (153)(264), τ = (165432) Gọi δj phép đối xứng qua đường thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện với j = 1, 2, Ta có trục loại này, cụ thể δ1 = (12)(36)(45), δ2 = (23)(14)(56), δ3 = (34)(25)(16) Gọi µk phép đối xứng qua đường thẳng nối hai đỉnh đối diện với k = 1, 2, Ta có trục loại này, cụ thể µ1 = (26)(35), µ2 = (13)(46), µ3 = (15)(24) Ta có nhóm G = {id, τ , τ , τ , τ , τ , τ , δ1 , δ2 , δ3 , µ1 , µ2 , µ3 } với |G| = 12 Trong nhóm G có: phần tử có xích độ dài 1; phần tử có xích gồm xích độ dài xích độ dài 2; phần tử có xích độ dài 2; phần tử có xích độ dài 3; phần tử có xích độ dài Theo định lý đếm Polya, ta có: FG (x, y) = ZG (x + y, x2 + y , , x6 + y ) 36 = 12 (x + y)6 + 4(x2 + y )3 + 2(x3 + y )2 + 3(x + y)2 (x2 + y )2 + 2(x6 + y ) = x6 + x5 y + 3x4 y + 3x3 y + 3x2 y + xy + y Bây giờ, ta muốn tìm số đồng phân hợp chất thay ngun tử hyđrơ gốc OH ta tìm hệ số x3 y Vậy có đồng phân khác Ví dụ 3.3.7 Naphthalene hợp chất hữu có cơng thức hóa học C10 H8 sử dụng nhiều thuốc trừ sâu, thay nguyên tử H gốc OH ta thu hợp chất Naphthol dùng để tạo hiệu ứng đặc biệt mô vụ nổ khói đen Hãy tìm số đồng phân Naphthol thay nguyên tử H Naphthalene bởi gốc OH Giải Ta có cấu trúc hợp chất C10 H8 gồm 10 nguyên tử Cacbon xếp đỉnh hình lục giác đôi liên kết với nguyên tử Hydro hình vẽ mơ Ta đánh số đỉnh hình lục giác đơi sau 37 Như vậy, ta có phép quay theo trục x góc π hay trục y góc π hay thực đồng thời x y Cụ thể, ta mơ tả thơng qua phép hốn vị đỉnh sau: x = (18)(27)(36)(45); y = (23)(14)(58)(67); xy = (15)(26)(37)(48) Cùng với id, ta có nhóm G = {id, x, y, xy}, suy |G|=4 Trong x, y, xy có xích độ dài 3; id có xích độ dài Theo định lý đếm Polya ta có FG (x, y) = ZG (x + y, x2 + y , , x8 + y ) = (x + y)8 + 3(x2 + y )4 = x8 + 2x7 y + 10x6 y + 14x5 y + 22x4 y + 14x3 y + 10x2 y + 2xy + y Như vậy, thay nguyên tử Hydro gốc Hydroxyl (OH) số đồng phân hệ số đơn thức x7 y Vậy ta có đồng phân tương ứng Trong thực tế hình bát diện hình có cấu trúc đẹp sử dụng nhiều chế tác đá quý, kim cương Trong hóa học hai hợp chất (phổ biến) có cấu trúc phân tử hình bát diện SF6 - Sulphur Hexafluoride (chất sử dụng để cách nhiệt cách điện máy biến áp điện) KCL(SO4 )2 - Chrome alum (chất sử dụng thuộc da mạ kim loại) Bây ta xét ví dụ cụ thể sau để xét nhóm phép quay bát diện Ví dụ 3.3.8 Ta có viên kim cương chế tác thơ dạng hình bát diện Để tăng vẻ đẹp cho ta tơ mặt viên kim cương màu đen, hồng tím Hỏi có viên kim cương có màu sắc khác nhau, biết viên có mặt tơ màu đen, mặt tơ màu hồng mặt cịn lại tơ màu tím Lưu ý hai viên kim cương viên nhận từ viên thông qua phép xoay viên kim cương không gian 38 Giải Giả sử ta có khối bát diện đánh dấu mặt hình vẽ Khi xoay khối bát diện không gian phép xoay mô tả thơng qua phép hốn vị mặt khối bát diện sau: + Ta có phép đồng id +Với trục quay x trục nối đỉnh đối diện góc quay iπ (i = 1, 2, 3) Ta có trục loại Cụ thể, ta có kết sau (1234)(5678); (13)(24)(57)(68); (1432)(5876) (1256)(3478); (15)(26)(37)(48); (1652)(3874) (1485)(2376); (18)(45)(27)(36); (1584)(2675) +Với trục xoay y trục nối trung điểm cạnh đối diện góc quay π Ta có trục loại Cụ thể ta có kết sau: (15)(28)(37)(46); (17)(26)(35)(48); (12)(78)(35)(46) (17)(34)(28)(56); (14)(67)(28)(35); (23)(58)(17)(26) +Với trục xoay z trục nối tâm hai mặt đối diện góc xoay j2π (i = 1, 2) Ta có trục loại Cụ thể, ta có kết sau: (254)(368); (245)(386); (136)(475); (163)(457) (247)(186); (274)(168); (183)(257); (138)(275) Như tập G gồm 23 phép xoay id lập thành nhóm có |G| = 24 39 Trong 24 phần tử nhóm G có: phần tử có xích độ dài 1; phần tử có xích gồm xích độ dài xích độ dài 1; phần tử có xích độ dài 4; phần tử có xích độ dài Theo định lý đếm Polya ta có FG (x, y, z) = ZG (x + y + z, x2 + y + z , , x8 + y + z ) = 24 ((x + y + z)8 + 6(x4 + y + z )2 + 9(x2 + y + z ) + 8(x + y + z)2 (x3 + y + z )2 ) = x8 + x7 y + 3x6 y + 3x5 y + 7x4 y + 3x3 y + 3x2 y + xy + y + x7 z + 3x6 yz + 7x5 y z + 13x4 y z + 13x3 y z + 7x2 y z + 3xy z + y z + 3x6 z + 7x5 yz + 22x4 y z + 24x3 y z + 22x2 y z + 7xy z + 3y z + 3x5 z + 13x4 yz + 24x3 y z + 24x2 y z + 13xy z + 3y z + 7x4 z + 13x3 yz + 22x2 y z + 13xy z + 7y z + 3x3 z + 7x2 yz + 7x2 yz + 7xy z + 3y z + 3x2 z + 3xyz + 3y z + xz + yz + z Ta coi biến màu x đen; y hồng z tím Vậy số cách tơ màu thỏa mãn hệ số x2 y z Vậy có 24 viên kim cương tô màu khác với mặt tơ màu đen, mặt tơ màu tím mặt tô màu hồng 3.4 Bài tập đề nghị Như chương giải tốn tơ mầu với nhiều tình khác yêu cầu khác nhờ định lý đếm Polya Bài tốn tơ mầu khơng dừng lại tơ mầu đỉnh, cạnh hình đa giác đều, vịng cổ, lưới vng mà cịn tô mầu đỉnh, cạnh, mặt khối đa diện Hơn cịn ứng dụng sang lĩnh 40 vực khác ví dụ đếm đồng phân phân tử hợp chất hóa học, xếp chỗ ngồi bàn tròn Để kết thúc trọn vẹn cho mục xin giới thiệu số tập đề nghị sau: Bài Chúng ta tô mặt khối lập phương mầu xanh đỏ Hỏi có cách tơ màu khác ta tô mặt màu xanh mặt màu đỏ Biết hai cách tô mầu sai khác phép xoay khối lập phương khơng gian Bài (AIME 1996) Hai hình vng kích thước × tơ màu vàng, cịn lại tơ màu đỏ Hai cách tơ màu giống chúng thu từ phép quay quanh tâm hình vng Hỏi có tất cách tơ màu khác Bài Dùng màu xanh, đỏ, tím vàng để tơ hạt cườm vịng cổ có hạt, hạt tơ mầu ta thu cách tô màu khác mà có hạt tơ màu xanh, hạt tơ màu tím hạt tơ màu vàng Biết hai cách tô mầu sai khác phép xoay chuỗi hạt quanh tâm qua phép đối xứng qua trục Bài Xác định số đồng phân hợp chất C4 H8 (Xyclobutan) ta thay nguyên tử Hydro (H) gốc Hydroxyl (OH) nguyên tử Nitơ (N) Biết cấu trúc hợp chất C4 H8 gồm nguyên tử Cacbon nằm tâm khối lập phương, nguyên tử Hydro nằm đỉnh khối lập phương 41 Kết luận Trong luận văn tơi trình bày kết sau: (1) Phát biểu chứng minh số kết nhóm, địnhlý Lagrange cơng thức lớp (2) Phát biểu chứng minh bổ đề Burnside, định lý Polya (3) Phát biểu chứng minh định lý đếm Polya (4) Vận dụng kết bổ đề Burnside, định lý Polya đính lý đếm Polya vào tốn tơ màu cụ thể với nhiều đòi hỏi khác cách thức tơ màu (5) Đặt tốn đếm số đồng phân phân tử hợp chất hóa học định lý đếm Polya Việc áp dụng định lý đếm Polya vào toán tổ hợp tác giả tiếp tục nghiên cứu 42 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đoàn Trung Cường (2011), "Cấu trúc nhóm số tốn sơ cấp I” Thơng tin Tốn học Tập 15(3), trang 21 - 27 [2] Đồn Trung Cường (2011), "Cấu trúc nhóm số tốn sơ cấp II" Thơng tin Tốn học Tập 15(4), trang 19 - 24 [3] Đoàn Trung Cường (2012), Bài giảng Đại số Tiếng Anh [4] Williams E C (2005), "A Study of Pólya’s Enumeration Theorem" Master thesis Auburn University, US (2005) [5] Yuan Qiaochu, The Polya Enumeration Theorem and application, https://qchu.wordpress.com/2009/06/13/gila [6] Phần mềm tính tốn CoCoA-4.7.5 (Computations in Commutative Algebra), http://cocoa.dima.unige.it ... nhóm, địnhlý Lagrange công thức lớp (2) Phát biểu chứng minh bổ đề Burnside, định lý Polya (3) Phát biểu chứng minh định lý đếm Polya (4) Vận dụng kết bổ đề Burnside, định lý Polya đính lý đếm Polya. .. + xn ) Kết định lý đếm Polya số cách tô màu khác cho màu Mi tô ti lần hệ số đơn thức chứa xt11 xt22 xtnn đa thức Chú ý, x1 = x2 = · · · = xn = ta có định lý Polya Kết định lý đếm Polya áp dụng... + · · · + x2n ; ; xm + · · · + xn ) Kết tốn nội dung định lý đếm Polya (Polya? ??s Enumeration Theorem) Định lí 3.2.1 Định lý đếm Polya (Polya? ??s Enumeration Theorem) Cho tập màu M gồm n màu tập