Định lý đếm polya

Sr là nhóm các phép hoán vị r mảnh vải thì hai cách tô mầu là như nhau nếucách tô mầu này nhận được từ cách tô mầu kia bằng một phép hoán vị cácmảnh vải trong G.. Nội dung củaluận văn ch

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN NGỌC CHI

ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN NGỌC CHI

ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Khái niệm và ví dụ về nhóm 3

1.2 Định lý Lagrange 7

1.3 Tác động nhóm và công thức lớp 10

2 Bổ đề Burnside 13 2.1 Bổ đề Burnside 13

2.2 Định lý Polya con (Polya’s Baby Theorem) 15

2.3 Ví dụ 16

2.4 Bài tập đề nghị 21

3 Định lý đếm Polya 23 3.1 Bổ đề Burnside với trọng 23

3.2 Định lý đếm Polya (Polya’s Enumeration Theorem) 25

3.3 Ví dụ 27

3.4 Bài tập đề nghị 39

Kết luận 41

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan mọithông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Họ và tên

Nguyễn Ngọc Chi

Lời cảm ơn

Sau một năm nghiên cứu miệt mài luận văn thạc sỹ của tôi với chủ đề

"Định lý đếm Polya" đã được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Những kết quả ban đầu mà luận văn thu được là nhờ sựhướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy TS Đoàn Trung Cường Tôi xingửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin,Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao họcToán K7D và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tácgiả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luậnvăn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót

và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của cácthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Sr là nhóm các phép hoán vị r mảnh vải thì hai cách tô mầu là như nhau nếucách tô mầu này nhận được từ cách tô mầu kia bằng một phép hoán vị cácmảnh vải trong G Hỏi có bao nhiêu cách tô mầu khác nhau? Nội dung củaluận văn chỉ ra được số cách tô mầu khác nhau chính là số quỹ đạo của tácđộng nhóm G vào tập các mảnh vải và để đếm số quỹ đạo này ta sử dụng bổ

đề Burnside với hệ quả là định lý Polya

Trong thực tế với các bài toán tô mầu ta thường gặp những yêu cầu kỹ hơn,

cụ thể hơn trong cách thức tô mầu Cụ thể với bộ mầu M = {M1, M2, , Mm}

và bộ số nguyên t1, t2, , tn ≥ 0khi tô r mảnh vải bởi bộ m mầu ở bài toántrên kèm theo điều kiện mầu Mi xuất hiện đúng ti lần Hỏi có bao nhiêu cách

tô mầu khác nhau? Để giải bài toán này ta cần sử dụng đến khái niệm hàmsinh và đa thức chỉ số xích để đi đến một công cụ mạnh hơn bổ đề Burnside

Trên những cơ sở đó luận văn được chia thành ba chương với nội dungchính như sau:

Chương 1: Trình bày một số khái niệm cơ bản về nhóm, định lý Lagrange,tác động nhóm và công thức lớp

Chương 2: Trình bày bổ đề Burnside, định lý Polya con và các ví dụ.Chương 3: Là nội dung chính của luận văn, chương này trình bày định lýđếm Polya và các ví dụ

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015

Nguyễn Ngọc Chi

Email: ngocchigvt@gmail.com

a ∈ G Phần tử e như vậy được gọi là phần tử đơn vị của G.

(G3) Phần tử nghịch đảo: với mọi a ∈ G, có một phần tử b ∈ G sao cho

a ∗ b = b ∗ a = e Phần tử b được gọi là phần tử nghịch đảo của a và kí hiệu

là a−1

Một nhóm (G, ∗) được gọi là một nhóm Abel hoặc nhóm giao hoán nếutiên đề sau đây được thỏa mãn

(G4) Tính chất giao hoán: a ∗ b = b ∗ a với mọi a, b ∈ G

Về mặt kí hiệu, bên cạnh kí hiệu tích dạng a ∗ b, người ta còn sử dụng các

kí hiệu a + b, ab, a ◦ b, tùy vào từng trường hợp cụ thể Trong chương này,

với nhóm Abel nói chung ta sẽ dùng kí hiệu + để chỉ phép toán, phần tử đơn

vị được kí hiệu là 0 và gọi là phần tử trung hòa Phần tử nghịch đảo của phần

tử a khi đó sẽ được kí hiệu là −a và gọi là phần tử đối Trong trường hợp tổng

quát, tích sẽ thường được kí hiệu là ab, phần tử đơn vị đôi khi cũng được kíhiệu là 1 Để chỉ một nhóm, ta dùng kí hiệu (G, ∗) hoặc đơn giản là G

Ví dụ 1.1.1 Sau đây là một số ví dụ về nhóm.

a) Tập các số nguyên Z với phép + là một nhóm Abel Phần tử trung hòa

là 0, phần tử đối của n ∈ Z là −n Tương tự, tập các số hữu tỷ Q, tập các sốthực R với phép cộng đều là những nhóm Abel

h) Nếu X là tập hữu hạn có n phần tử tức là X = {1, 2, , n} thìnhóm SX còn được kí hiệu là nhóm Sn Một phần tử của Sn là song ánh

ϕ : {1, 2, , n} → {1, 2, , n} Do đó hoàn toàn xác định ảnh ϕ(1) =

a1, ϕ(2) = a2, , ϕ(n) = an Từ đó ta có thể biểu diễn ϕ dưới dạng(a1a2 an) là phép hoán vị n phần tử Ngoài ra ϕ cũng có thể biểu diễn

Định nghĩa 1.1.2 Cho G là một nhóm Một tập con H 6= ∅ của G là một

nhóm con nếu H với các phép toán trên G hạn chế trên tập đó là một nhóm.Như vậy, nếu H là một nhóm con của G thì e ∈ H, với mọi a, b ∈ H thì

a−1 ∈ H, ab ∈ H Ta có tiêu chuẩn hữu ích sau

Bổ đề 1.1.1 Cho tập H khác rỗng là tập con của G Những khẳng định sau

Với a ∈ H, ta có e = aa−1 ∈ H, suy ra a−1 = e.a−1 ∈ H Với mọi

a, b ∈ H, b−1 ∈ H nên ab = a(b−1)−1 ∈ H Như vậy H đóng với phép toántrong G H thỏa mãn các tiên đề của nhóm (G1), (G2) như vừa được chứngminh Tiên đề (G3)về tính kết hợp luôn thỏa mãn trên G nên đương nhiên sẽthỏa mãn trên tập con H Vậy H là một nhóm con của G

Định nghĩa 1.1.3 Cho G là một nhóm Cấp của một phần tử a ∈ G, kí hiệu

là ord(a) là lực lượng của nhóm xyclic hai

Ví dụ, xét nhóm G := {1, −1} với phép nhân thông thường Khi đó G làmột nhom xyclic sinh bởi phần tử −1.Vậy ord(−1) = 2 Chú ý rằng cấp củamột phần tử có thể không hữu hạn và được kí hiệu trong trường hợp đó là ∞

Ví dụ 1.1.2 a) Xét nhóm Sn Vì mỗi phần tử ϕ ∈ Sn hoàn toàn được xácđịnh khi biết dãy hoán vị (a1a2 an) Ta có n! các hoán vị như vậy cấp củanhóm Sn là n!.

Như vậy S3 có cấp 3! = 6 Về mặt hình học của nhóm S3, kí hiệu ba đỉnh củamột tam giác đều là 1,2,3 Khi quay quanh tâm của tam giác phép quay τ vớigóc quay 1200 theo chiều kim đồng hồ và ba phép đối xứng µ1, µ2, µ3 qua cáctrục là đường thẳng nối đỉnh 1, 2, 3 với trung điểm cạnh đối diện thì ta có

ta có một xích (i, ϕ(i), , ϕp−1(i)) Một cách tương đương ta cũng có thểđịnh nghĩa một xích (i, j, k, , l) có nghĩa là ϕ chuyển i tới j, j chuyển tới

Một k - xích hay một xích độ dài k là một xích gồm k phần tử 1 - xíchthường được bỏ đi trong kí hiệu xích Chẳng hạn trong ví dụ trên thay vì viết(123)(4)(5)ta chỉ viết (123).

1.2 Định lý Lagrange

Trong phần này ta nghiên cứu về lớp kề, từ đó đi định nghĩa nhóm thương

và áp dụng vào chứng minh định lý Lagrange

Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một nhóm con của nhóm G Lấy một phần tử

Mệnh đề 1.2.1 Cho H là một nhóm con của nhóm G.

a) Với mọi a, b ∈ G hoặc aH = bH hoặc aH ∩ bH = ∅ Trường hợp thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi a−1b ∈ H.

b) Tương tự với lớp kề phải, hoặc Ha = Hb hoặc aH ∩ Hb = ∅ Trường hợp thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi ab−1 ∈ H.

Chứng minh. Do chứng minh cho a) và b) tương tự nhau nên ta chỉ trình bàychứng minh cho khẳng định a)

Trước hết, nếu aH = bH thì b = ac ∈ aH với c ∈ H Do đó c = a−1b ∈

H Ngược lại, nếu a−1b ∈ H thì b ∈ aH Do đó, theo lập luận trước thì

aH = bH

Bây giờ, giả sử aH ∩ bH 6= ∅ Lấy một phần tử ah1 = bh2 ∈ aH ∩ bHvới h1, h2 ∈ H nào đó Khi đó b = a(h1h−12 ) ∈ aH Sử dụng lại kết quả đãchứng minh trước ta suy ra aH = bH.

Theo Mệnh đề 1.2.1, các lớp kề trái (tương tự kề phải) của H lập thànhmột phân hoạch trên G Phân hoạch này khá đều theo nghĩa: Giả sử aH làmột lớp kề trái của H Xét ánh xạ f : H → aH, b 7→ ab Rõ ràng f là toànánh Luật giản ước suy ra f là đơn ánh, do đó là song ánh Nói cách khác, mọilớp kề trái (tương tự kề phải) đều có cùng lực lượng và bằng lực lượng của H

Định nghĩa 1.2.2 Cho H là một nhóm con của nhóm G Chỉ số của H trong

G, kí hiệu là [G : H] là số lớp kề trái của H trong G

Giữa lớp kề trái và kề phải có song ánh aH 7→ (aH)−1 = Ha−1 Do đó

số lớp kề trái và số lớp kề phải là như nhau, ta có thể dùng lớp kề phải để địnhnghĩa chỉ số [G : H]

Một nhóm G có hữu hạn phần tử được gọi là một nhóm hữu hạn Khi đó,

số phần tử của nhóm được gọi là cấp của G và kí hiệu là |G| Định lý sau đâycủa Lagrange cho một quan hệ giữa cấp của G với cấp của nhóm con của nó

Định lí 1.2.1 (Lagrange) Cho H là một nhóm con của nhóm hữu hạn G, ta

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.1, nhóm G được phân hoạch thành các lớp

kề rời nhau có cùng lực lượng với H Tức là G = Fr

i=1

aiH Với H = |aiH|như lập luận ngay sau chứng minh của Mệnh đề 1.2.1 ta có

|G| =

= |a1H| + |a2H| + · · · + |arH|,

suy ra |G| = r|H|, suy ra r = |G|

|H|hay [G : H] = |G|

|H|

Hệ quả 1.2.1 Nếu |G| = n và a ∈ G thì an = e.

Hệ quả 1.2.2 Nếu |G| là một số nguyên tố thì G là một nhóm xyclic.

Chứng minh. Lấy một phần tử a ∈ G, a 6= e và đặt H = hai Ta có |H| > 1

và |H| là ước của |G| Do G có cấp là một số nguyên tố nên H = G hay G làmột nhóm xyclic

Hệ quả 1.2.3 Cho G là một nhóm hữu hạn và K ⊆ H là các nhóm con của

Ví dụ 1.2.1 a) [Z : 2Z] = 2.

b) Xét G = GL(2, R), H = SL(2, R) Hai ma trận A, B ∈ G nằm trongcùng lớp kề trái đối với H khi và chỉ khi A−1B ∈ H Điều này tương đươngvới det(A) = det(B) Do đó có tương ứng 1-1 giữa tập các lớp kề của H và

R× Ví dụ một tập đại diện của các lớp kề là

1.3 Tác động nhóm và công thức lớp

Bản chất của bài toán tô màu xét trong các chương sau là bài toán đếm sốquỹ đạo của một tác động của một nhóm lên một tập hợp hữu hạn Trong mụcnày chúng tôi trình bày một số kiến thức về tác động nhóm Kết quả chính củamục này cũng như của chương 1 là công thức lớp Đây là công cụ để chứngminh các bổ đề và định lý ở chương sau

Định nghĩa 1.3.1 Một tác động của một nhóm G lên một tập X là một đồng

cấu nhóm G → SX Người ta cũng gọi một tác động là một biểu diễn đốixứng của nhóm G

Một tác động nhóm xác định một ánh xạ G × X → X sao cho qua ánh

xạ này, mỗi phần tử nhóm g ∈ G ứng với một song ánh, ta cũng kí hiệu là

Định nghĩa 1.3.2 Cố định một tác động của một nhóm G lên một tập X Với

mỗi x ∈ X, tập Ox := {g.x : g ∈ G} ⊆ X được gọi là quỹ đạo của X TậpStabG(x) := {g ∈ G : g(x) = x} được gọi là nhóm dừng của x dưới tácđộng của nhóm G hay nhóm con ổn định của phần tử x

Tập StabG(x)trong định nghĩa là một nhóm con của G Thật vậy, rõ ràng

eG ∈ StabG(x) Nếu f, g ∈ StabG(x)thì (f ◦ g−1)x = f (g−1x) = f (x) = xhay f ◦ g−1 ∈ StabG(x)

Chú ý: Với mỗi x ∈ X có một tác động của G hạn chế trên Ox Tác động nàychỉ có một quỹ đạo là Ox

Mệnh đề 1.3.1 Cho một tác động của một nhóm G lên một tập X Với mỗi

phần tử x ∈ X, có một song ánh giữa tập các lớp kề trái của nhóm con

StabG(x) và quỹ đạo Ox.

Chứng minh. Giả sử g, g0 ∈ G thỏa mãn gx = g0x Tương đương, ta có(g−1g0)x = x hay g−1g0 ∈ StabG(x) Nói cách khác gx = g0x khi và chỉ khi

g, g0 thuộc cùng một lớp kề trái của StabG(x)trong nhóm G Ta thu được mộtđơn ánh G/ StabG(x) → Ox, g 7→ gx, trong đó nhắc lại G/ StabG(x) là tậpcác lớp kề của StabG(x) Từ định nghĩa của quỹ đạo ta suy ra ánh xạ trên làmột song ánh

Theo Mệnh đề 1.2.1 dưới ngôn ngữ tác động ta có mệnh đề tiếp theo làmệnh đề mở rộng của Mệnh đề 1.2.1

Mệnh đề 1.3.2 Cho một tác động từ nhóm G lên tập X Với mọi x, y ∈ X

thì hoặc Ox∩ Oy = ∅ hoặc Ox = Oy.

Chứng minh. Giả sử Ox∩ Oy 6= ∅, tức là tồn tại z ∈ Ox∩ Oy, ta có gz = x

và hz = y với mỗi h, g ∈ G nào đó, suy ra y = hz = h(g−1x) = hg−1x.Như vậy, mỗi phần tử ky của Oy được biểu diễn như sau: ky = k(hg−1x) =(khg−1)x ∈ Ox hay Oy ⊆ Ox Tương tự, ta có Ox ⊆ Oy Vậy Ox = Oy.Tương tự như các lớp kề thì tập X được phân hoạch thành các quỹ đạo rờinhau {Ox1, Ox2, , OxN} Tức là X = FN

x∈X

1

|Ox|.

Theo Mệnh đề 1.3.1 và định lý Lagrange thì

|Ox| = [G : StabG(x)] =

|G|

| StabG(x)|.Nếu tập X là hữu hạn và G là nhóm hữu hạn thì

|X| =

Định lí 1.3.1 (Công thức lớp) Cho G là một nhóm hữu hạn với một tác động

lên một tập hữu hạn X Giả sử Ox 1, Ox2, , OxN là tất cả các quỹ đạo dưới tác động này với x1, x2, , xN ∈ X nào đó Khi đó

Chương 2

Bổ đề Burnside

Trong chương này chúng ta sẽ vận dụng định lý Lagrange và công thứclớp vào xây dựng và chứng minh bổ đề Burnside và định lý Polya con Kếtquả của chương sẽ cho chúng ta lời giải hay trong các bài toán xác định sốlượng quỹ đạo của tác động nhóm mà cụ thể trong các bài toán tô màu

2.1 Bổ đề Burnside

Xét một nhóm G cùng với một tác động lên tập hữu hạn X Công thứclớp cho ta một cách để đếm số quỹ đạo của tác động của nhóm G thông quacấp của một số nhóm con dừng Ta cũng có thể tính số quỹ đạo này bằng mộtcách khác thông qua bổ đề Burnside

Bổ đề Burnside là một kết quả cơ bản của lý thuyết nhóm với nhiều ứngdụng trong tổ hợp Một trong những ứng dụng tiêu biểu là bài toán tô màu

Bổ đề Burnside được chứng minh bằng phương pháp cổ điển trong tổ hợp làđếm bằng hai cách

Với mỗi g ∈ G kí hiệu

Fix(g) := {x ∈ X : gx = x}

Z = {(g, x) ∈ G × X : x ∈ Fix(g)}

| StabG(x)| =

|G|

|Ox|.Vậy

là số quỹ đạo Từ đó, ta có kết quả sau chính là bổ đề Burnside

Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề Burnside) Số quỹ đạo của tác động nhóm G lên tập X là

2.2 Định lý Polya con (Polya’s Baby Theorem)

Bài toán tô màu: Tô r mảnh vải bởi một bộ n màu Nếu ta gọi G ⊆ Sr làmột nhóm những phép hoán vị các mảnh vải thì hai cách tô màu là như nhaunếu cách tô này nhận được từ cách tô kia bằng một phép hoán vị trong G Hỏi

có bao nhiêu cách tô màu khác nhau?

Bài toán tô mầu được phát biểu theo nhiều cách với những tình huốngkhác nhau như ta sẽ thấy trong các mục sau Bằng ngôn ngữ toán học bài toánđược phát biểu lại như sau:

Tô r mảnh vải bởi bộ n mầu, ta kí hiệu số mảnh vải là v1, v2, , vrvà cácmàu là c1, c2, , cn

Xét tập hợp các ánh xạ: X = {f : {v1, v2, , vr} → {c1, c2, , cn}}.Mỗi cách tô màu tương ứng 1-1 với một hàm f ∈ X Nhóm G ⊆ Sr

tác động lên tập {v1, v2, , vr} nên có tác động tự nhiên lên tập X cho bởi(g, f ) ∈ G × X 7→ f ◦ g ∈ X Hai cách tô màu là như nhau khi và chỉ khiánh xạ tương ứng nằm trong cùng một quỹ đạo Do đó số cách tô màu khácnhau là số các quỹ đạo của tác động này Theo bổ đề Burnside số quỹ đạo củatác động này là

Gọi chu trình của δ là V1, V2, , Vt Khi đó f ∈ Fix(δ) khi và chỉ khi f

là ánh xạ hằng khi hạn chế lên từng chu trình V1, V2, , Vt hay có thể hiểunếu δ có chu trình là k thì nk là số ánh xạ f được cố định bởi δ

Như vậy | Fix(δ)| = nc(δ) với c(δ) = t là số chu trình của δ Từ đó, ta điđến kết quả quan trọng sau đây chính là nội dung định lý Polya con

Định lí 2.2.1 (Định lý Polya con) Ta luôn có số phép tô màu khác nhau là

Ví dụ 2.3.1 (Đề thi HSGQG 2010) Người ta dùng n màu để tô các ô vuông

con của bảng ô vuông 3 × 3 Mỗi ô được tô bởi một màu Hai cách tô màu làgiống nhau nếu cách tô này nhận được từ cách tô kia nhờ một phép quay tâmhình vuông Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khác nhau

Giải.Giả sử các ô vuông được đánh số từ 1 đến 9 như hình vẽ

Mỗi phép quay của bảng ô vuông có thể được mô tả thông qua các phép hoán

vị các ô vuông như sau:

Gọi τi là phép quay quanh tâm của hình vuông theo chiều kim đồng hồgóc iπ

Ví dụ 2.3.2 Ta tô màu 4 đỉnh của một hình vuông bởi n màu sao cho mỗi

đỉnh tô một màu trong n màu Hai cách tô màu là như nhau nếu cách tô này

có được từ cách tô kia thông qua phép quay quanh tâm hoặc phép đối xứngqua trục đối xứng của hình vuông đó Hỏi có bao nhiêu cách tô màu khácnhau

Giải.Ta kí hiệu 4 đỉnh hình vuông là 1,2,3,4 như hình vẽ Mỗi phép quay haylấy đối xứng các đỉnh của hình vuông có thể được mô tả thông qua các phéphoán vị các đỉnh của vuông như sau:

Gọi τi là phép quay quanh tâm hình vuông góc iπ

2 với i = 0, 1, 2, 3.Gọi δj là phép đối xứng qua trục là đường nối trung điểm cạnh đối diệnvới j = 1, 2

Gọi µk là phép đối xứng qua trục là đường chéo với k = 1, 2

Như vậy τ0 = id, τ1 = (1234), τ2 = (13)(24), τ3 = (1432),

δ1 = (12)(34), δ2 = (14)(23), µ1 = (24), µ2 = (13)

Xét tập G = {id, τ1, τ2, τ3, δ1, δ2, µ1, µ2} Ta có bảng nhân các phần tử

của tập G như sau:

Từ bảng nhân ta thấy G đóng với phép nhân và phép lấy nghịch đảo, theo

Bổ đề 1.1.1 thì G là một nhóm với |G| = 8 Số phép quay và đối xứng có 1chu trình là 2, có 2 chu trình là 3, có 3 chu trình là 2 và có 4 chu trình là 1.Như vậy, theo định lý Polya con số cách tô màu 4 mảnh vải khác nhau là:

N =

1

8[n

4 + 2n3 + 3n2 + 2n]

Ví dụ 2.3.3 Ta có một vòng cổ gồm 7 hạt cườm và có n màu khác nhau.

Người ta trang trí chiếc vòng cổ bằng cách tô mỗi hạt cườm bởi một màu Haichiếc vòng cổ là giống nhau nếu cách tô màu này nhận được từ cách tô màukia thông qua phép xoay hoặc lấy đối xứng qua trục chiếc vòng cổ Hỏi cóbao nhiêu chiếc vòng cổ khác nhau?

Giải. Ta có thể mô phỏng chiếc vòng cổ gồm 7 hạt cườm như là 7 đỉnh củamột thất giác đều và đánh số từ 1 đến 7 (như hình vẽ) Mỗi phép quay hay lấyđối xứng các đỉnh của thất giác đều có thể được mô tả thông qua các phéphoán vị các đỉnh của thất giác đều như sau:

Gọi τilà phép quay quanh tâm thất giác đều góc i2π

7 với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

... Burnside

Trong chương vận dụng định lý Lagrange công thứclớp vào xây dựng chứng minh bổ đề Burnside định lý Polya Kếtquả chương cho lời giải hay toán xác định sốlượng quỹ đạo tác động nhóm... class="text_page_counter">Trang 21

2.2 Định lý Polya (Polya? ??s Baby Theorem)

Bài tốn tơ màu: Tơ r mảnh vải n màu Nếu ta gọi G ⊆... nk số ánh xạ f cố định δ

Như | Fix(δ)| = nc(δ) với c(δ) = t số chu trình δ Từ đó, ta điđến kết quan trọng sau nội dung định lý Polya