Định lý đếm polya

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC CHI ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC CHI ĐỊNH LÝ ĐẾM POLYA Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐỒN TRUNG CƯỜNG Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm ví dụ nhóm 1.2 Định lý Lagrange 1.3 Tác động nhóm cơng thức lớp 10 Bổ đề Burnside 13 2.1 Bổ đề Burnside 13 2.2 Định lý Polya (Polya’s Baby Theorem) 15 2.3 Ví dụ 16 2.4 Bài tập đề nghị 21 Định lý đếm Polya 23 3.1 Bổ đề Burnside với trọng 23 3.2 Định lý đếm Polya (Polya’s Enumeration Theorem) 25 3.3 Ví dụ 27 3.4 Bài tập đề nghị 39 ii Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Họ tên Nguyễn Ngọc Chi iv Lời cảm ơn Sau năm nghiên cứu miệt mài luận văn thạc sỹ với chủ đề "Định lý đếm Polya" hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Những kết ban đầu mà luận văn thu nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy TS Đồn Trung Cường Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy, cô giáo khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, bạn học viên lớp Cao học Toán K7D bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích, động viên tác giả suốt trình học tập làm luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 2015 Nguyễn Ngọc Chi Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu Cấu trúc nhóm xuất cách tự nhiên Toán học Tốn học phổ thơng Giải tích, Đại số, Số học, Tổ hợp Một ví dụ tiêu biểu Tổ hợp ứng dụng lý thuyết nhóm vào tốn tơ mầu thơng qua bổ đề Burnside Mục đích luận văn trình bày tốn tơ mầu, bổ đề Burnside, định lý Polya ứng dụng vào tập cho học sinh phổ thông Bổ đề Burnside kết lý thuyết nhóm vận dụng vào tốn tơ mầu với hệ định lý Polya Bài toán đặt tô mầu r mảnh vải khác n mầu Nếu ta gọi G nhóm nhóm Sr nhóm phép hốn vị r mảnh vải hai cách tơ mầu cách tô mầu nhận từ cách tơ mầu phép hốn vị mảnh vải G Hỏi có cách tơ mầu khác nhau? Nội dung luận văn số cách tơ mầu khác số quỹ đạo tác động nhóm G vào tập mảnh vải để đếm số quỹ đạo ta sử dụng bổ đề Burnside với hệ định lý Polya Trong thực tế với tốn tơ mầu ta thường gặp yêu cầu kỹ hơn, cụ thể cách thức tô mầu Cụ thể với mầu M = {M1 , M2 , , Mm } số nguyên t1 , t2 , , tn ≥ tô r mảnh vải m mầu toán kèm theo điều kiện mầu Mi xuất ti lần Hỏi có cách tơ mầu khác nhau? Để giải toán ta cần sử dụng đến khái niệm hàm sinh đa thức số xích để đến cơng cụ mạnh bổ đề Burnside định lý đếm Polya Trong luận văn tốn tơ mầu xuất việc tô đỉnh đa giác đều, tơ mầu vịng cổ, tơ mầu vng lưới vng, hay tơ mầu hình đa diện tứ diện đều, khối lập phương, bát diện Đồng thời luận văn đề cập đến việc ứng dụng tốn tơ mầu vào đếm số đồng phân phân tử hợp chất hóa học Đây tốn khó có nhiều ứng dụng việc tìm đặt tên hợp chất hóa học hữa Trên sở luận văn chia thành ba chương với nội dung sau: Chương 1: Trình bày số khái niệm nhóm, định lý Lagrange, tác động nhóm cơng thức lớp Chương 2: Trình bày bổ đề Burnside, định lý Polya ví dụ Chương 3: Là nội dung luận văn, chương trình bày định lý đếm Polya ví dụ Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Nguyễn Ngọc Chi Email: ngocchigvt@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương nhắc lại số kiến thức nhóm, nêu chứng minh định lý Lagrange Đồng thời nêu định nghĩa tác động nhóm chứng minh công thức lớp Kiến thức cần thiết cho áp dụng vào việc chứng minh định lý chương sau 1.1 Khái niệm ví dụ nhóm Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm gồm tập hợp G = ∅ phép toán G × G → G, (a, b) → a ∗ b thỏa mãn tiên đề: (G1 ) Tính chất kết hợp: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), với a, b, c ∈ G (G2 ) Phần tử đơn vị: tồn e ∈ G cho e ∗ a = a ∗ e = a với a ∈ G Phần tử e gọi phần tử đơn vị G (G3 ) Phần tử nghịch đảo: với a ∈ G, có phần tử b ∈ G cho a ∗ b = b ∗ a = e Phần tử b gọi phần tử nghịch đảo a kí hiệu a−1 Một nhóm (G, ∗) gọi nhóm Abel nhóm giao hoán tiên đề sau thỏa mãn (G4 ) Tính chất giao hốn: a ∗ b = b ∗ a với a, b ∈ G Về mặt kí hiệu, bên cạnh kí hiệu tích dạng a ∗ b, người ta cịn sử dụng kí hiệu a + b, ab, a ◦ b, tùy vào trường hợp cụ thể Trong chương này, với nhóm Abel nói chung ta dùng kí hiệu + để phép toán, phần tử đơn vị kí hiệu gọi phần tử trung hòa Phần tử nghịch đảo phần tử a k�ùng với phép đồng |G| = 12 Trong 12 phần tử nhóm G có: phần tử có xích độ dài 1; phần tử có xích gồm xích độ dài xích độ dài 3; phần tử có xích độ dài ...nhóm, địnhlý Lagrange công thức lớp (2) Phát biểu chứng minh bổ đề Burnside, định lý Polya (3) Phát biểu chứng minh định lý đếm Polya (4) Vận dụng kết bổ đề Burnside, định lý Polya đính lý đếm Polya ... khái niệm nhóm, định lý Lagrange, tác động nhóm cơng thức lớp Chương 2: Trình bày bổ đề Burnside, định lý Polya ví dụ Chương 3: Là nội dung luận văn, chương trình bày định lý đếm Polya ví dụ Thái... 16 2.4 Bài tập đề nghị 21 Định lý đếm Polya 23 3.1 Bổ đề Burnside với trọng 23 3.2 Định lý đếm Polya (Polya? ??s Enumeration Theorem) 25 3.3 Ví dụ