Chuyên đề 4: Chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa 1.. Ta xÐt hiÖu..[r]
(1)Chuyên đề 4: Chứng minh số bất đẳng thức đơn giản Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa KiÕn thøc: §Ó chøng minh A>B ta ®i chøng minhA-B>0 Lu ý dùng bất đẳng thức M 2> ∀ M C¸c vÝ dô: * VÝ dô 1: x,y, z chøng minh r»ng a, x y z xy yz xz b, x y z 2( x y z ) Gi¶i: a Ta xÐt hiÖu x y z ( xy xz yz ) x y z xy yz xz ( x y z ) 0 x y x 2 xy yz xz b.Ta xÐt hiÖu x + y 2+ x2 +3 −2( x+ y + z ) x −2 x +1+ y − y +1+ z − z +1 z −1 ¿2 ≥0 ¿ y −1 ¿2 +¿ x − 1¿ 2+ ¿ ¿ DÊu b»ng x¶y x=y=z=1 * VÝ dô 2: Chøng minh r»ng 2 a a +b ≥ a+ b b ( ) ( 2 2 a +b +c a+ b+c ≥ 3 ) c H·y tæng qu¸t bµi to¸n Gi¶i: a Ta xÐt hiÖu (2) 2 a +b a+b − 2 ¿ 2(a 2+ b2) a2 +b2 +2 ab − 4 ( ) (2 a2 +2 b2 −a − b2 − ab) a − b ¿2 ≥ ¿ 2 VËy a +b ≥ a+ b 2 ( ) DÊu b»ng x¶y a=b b Ta xÐt hiÖu a2+ b2 +c a+b+ c − 3 ( ) [ ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ a2 +b2 +c a+ b+c ≥ 3 ( VËy ) c.Tæng qu¸t 21 a + a2 + + an a + a + +a n ≥ n n 2 ( ) Tóm tắt các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H =A-B Bớc 2: Biến đổi H=( C+D) ❑2 (C+D) ❑2 +…+(E+F) ❑2 Bíc 3: KÕt luËn A B Bµi tËp n©ng cao Cho abc=1 vµ a>36 chøng minh r»ng a2 b c ab bc ca Chøng minh r»ng : Víi mäi sè thùc x,y,z ta cã 4 2 a x y z 2 x( xy x z 1) b x 2+5 y −4 xy +2 x −6 y +3> Gîi ý a.Ta xÐt hiÖu H=x ❑4 +y ❑4 +z ❑2 +1-2x ❑2 y ❑2 +2x ❑2 -2xz-2x =(x ❑2 -y ❑2 ) ❑2 +(x-z) ❑2 +(x-1) ❑2 H>0 ta cã ®pcm b.VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H=(x-2y +1) ❑2 +(y-1) ❑2 +1 (3) Suy H >0 ta cã ®pcm Phơng pháp 2: Dùng phép biến đổi tơng đơng Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng Chú ý các đẳng thức sau: (A ± B) ❑2 = A ❑2 ± 2AB +B ❑2 (A+B+C) ❑2 = A ❑2 +B ❑2 +C ❑2 +2AB +2AC +2BC (A ± B) ❑3 = A ❑3 ± 3A ❑2 B +3AB ❑2 ± B ❑3 A ❑3 ± B ❑3 =(A ± B)(A ❑2 +AB+B ❑2 ) 2.C¸c vÝ dô *VÝ dô1: Cho a,b, c d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: a a2 + b ≥ ab b a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b 2 2 c a b c d e a(b c d e) Gi¶i: a b2 ab 4a b 4ab 4a 4ab b 0 a2 (2a b) 0 ( Bất đẳng thức này luôn đúng) ( DÊu b»ng x¶y 2a=b suy a= b ) VËy a2 + b ≥ ab b 2 a +b +1 ≥ ab+ a+b ⇔ ( a2 +b2 +1 ) ≥ ( ab +a+b ) ⇔ a2 − 2ab+ b2 +a2 −2 a+1+b − 2b +1≥ ⇔ ( a −b )2+ ( a −1 )2 + ( b −1 )2 ≥ Bất đẳng thức cuối đúng VËy a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b DÊu b»ng x¶y a=b=1 c 2 2 a +b + c d +e ≥ a( b+c +d +e ) ⇔ ( a2 +b2 +c d 2+ e2 ) ≥ a(b+ c+ d+ e) ⇔ ( a2 − ab+4 b2 ) + ( a − ac +4 c 2) + ( a2 −4 ad+ d ) + ( a2 − ae+ e 2) ≥ 2 2 ⇔ ( a− b ) + ( a −2 c ) + ( a −2 d ) + ( a −2 e ) ≥ Bất đẳng thức đúng Vậy ta có điều phải chứng minh * VÝ dô 2: Chøng minh r»ng (a10 +b 10) ( a2 +b2 ) ≥ ( a 8+ b8 ) ( a +b ) Gi¶i (1) (4) ( ) ⇔a12 +b12 +a10 b2 +a b10 ≥ a12+ a8 b4 + a4 b 8+ b12 ⇔ a10 b − a8 b4 + a2 b10 − a4 b ≥ ⇔ a b ( a2 − b2 ) −a b ( a2 − b2 ) ≥ ⇔ ( a2 − b2 ) a2 b2 ( a6 −b ) ≥0 ⇔ a2 b ( a2 − b2 ) ( a4 + a2 b2 +b ) ≥0 Bất đăng thức cuối cùng đúng, ta có điều phải chứng minh * VÝ dô 3: Cho xy=1, x>y Chøng minh r»ng 2 x +y ≥ √2 x− y Gi¶i: x2 + y2 v× x>y nªn x-y>0 ≥ √2 x− y ⇔ x2 + y ≥2 √ ( x − y ) ⇔ x + y − √2 x+ √ y ≥ ⇔ x + y − xy+ √22 −2 √ x +2 √ y ≥0 ⇔ ( x − y −√ 2) ≥ V× xy=1 nªn 2xy=2 Điều này luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh Phơng pháp 3: Dùng bất đẳng thức đã biết 1.Một số bất đẳng thức hay dùng: x 2+ y ≥ xy x 2+ y ≥|xy| ( x+ y )2> xy x+ > x 2.C¸c vÝ dô * VÝ dô 1: Cho a,b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m, chøng minh r»ng: ( a+b ) ( b+c ) ( c+ a ) ≥ abc Gi¶i: Dùng bất đẳng thức phụ ( x+ y )2> xy Ta cã ( a+ b )2 ≥ ab ( b+ c )2 ≥ bc ( c+ a )2 ≥ ac 2 ⇔ ( a+b ) ( b+c ) ( c+ a ) ≥64 a2 b2 c2 ⇔ ( a+b )( b +c )( c+ a ) ≥8 abc VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh * VÝ dô 2: Cho a,b,c,d >0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng 2 2 a +b + c + d + a ( b+c ) +b(c+ d)+d ( c+ a)≥ 10 Gi¶i: (5) a 2+ b2 ≥ ab 2 c + d ≥ cd Do abcd=1 nªn cd= ab Ta cã ( Dïng x+ > ) >4 (1) ab a ( b+ c ) +b (c +d )+ d (c +a) ¿(ab+ cd)+(ac+ bd)+(bc +ad) MÆt kh¸c 1 ¿ ab+ + ac+ + bc + ≥ 2+2+2=6 ab ac bc a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b(c+ d)+d ( c+ a)≥ 10 ( ) )( )( a2 +b 2+ c 2+ d2 ≥ abcd=2 ab+ ( VËy x ) Ph¬ng ph¸p 4: sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu KiÕn thøc: A>B vµ B>C th× A>C 0<x<1 th× x ❑2 <x C¸c vÝ dô * VÝ dô : Cho a,b,c,d >0 tho¶ m·n a>c+d, b>c+d Chøng minh r»ng ab>ad+bc Gi¶i: Ta cã a> c+ d ¿ b>c + d ⇔ ¿ a− c ≥d >0 b − d ≥ c >0 ¿ ⇒(a− c)( b −d )> cd ¿ ⇔ab − ad − bc+ cd> cd { ¿ ¿¿ ¿ Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh * VÝ dô 2: Cho a,b,c >0 tho¶ m·n a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = Chøng minh + − < a b Gi¶i: c abc (6) ( a+b +c )2=a 2+ b2 +c 2+ 2(ab −ac − bc)> 2 ⇒ac + bc − ba< (a +b + c ) Ta cã ⇒ac +bc − ab< <1 (V× a ❑2 +b ❑2 +c ❑2 = ) 1 1 + − < Chia c¶ hai vÕ cho abc>0 ta cã (®pcm) a b c abc * VÝ dô 3: Cho 0< a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng: (1-a)(1-b)(1-c)(1-d) >1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a)(1-b)=1-a-b+ab Do a>0, b>0 nªn ab>0 Suy (1-a)(1-b) >1-a-b (1) Do c<1 nªn1-c >0 ta cã (1-a)(1-b)(1-c) >(1-a-b )(1-c) = 1-a-b-c+ca+cb Do a,b,c,d>0 nªn ca+cb>0 Suy (1-a)(1-b)(1-c) > (1-a-b-c) (2) ⇒ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> (1-a-b-c) (1-d) = 1-a-b-c-d +ad+bd+cd ⇒ (1-a)(1-b)(1-c)(1-d)> 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) * VÝ dô 4: Cho ≤ a , b , c ≤ Chøng minh r»ng a3 +2 b3 +2 c ≤ 3+a2 b+b c+ c2 a Gi¶i: Do a ≤ 1⇒ a2 ≤ vµ b2 ≤1 Ta cã ( 1− a2 ) ( −b ) ≥ (1) ⇒ 1+a2 b ≥ a2 +b Mµ ≤ a , b≤ ⇒a2 ≥ a3 ; b2 ≥ b (2) Tõ (1) vµ (2) suy a3 +b ≤ 1+a2 b 3 T¬ng tù ta cã b +c ≤1+b c 3 c +a ≤1+ c a Cộng các bất đẳng thức ta đợc 3 2 2 a +2 b +2 c ≤ 3+a b+b c+ c a (®iÒu ph¶i chøng minh) * VÝ dô : So s¸nh 31 ❑11 vµ 17 ❑14 Gi¶i : 11 Ta thÊy 3111 <3211 =( 25 ) =255<256 MÆt kh¸c 256=24 14=1614 <17 14 VËy 256< 1714 hay 31 ❑11 < 17 ❑14 Ph¬ng ph¸p 5: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè (7) KiÕn thøc: * Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng th× a NÕu a ≥ th× a ≥ a+c b NÕu b a ≤ th× b b b+c a a+c ≤ b b+c a c ≤ th× b d a a+ c c ≤ ≤ * NÕu a,b,c,d >0 vµ b b +d d C¸c vÝ dô * VÝ dô 1: Cho a,b,c,d >0 chøng minh r»ng 1< a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b Gi¶i: Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a+ d <1 ⇒ < (1) a+b+ c a+b+c a+b+ c+ d a a MÆt kh¸c > (2) a+b+ c a+b+ c+ d a a a+ d Tõ (1) vµ (2) ta cã < < a+b+ c+ d a+b+ c a+ b+c +d T¬ng tù ta cã (3) b b a+ b < < b+c +d +a b+c +d b+c +d +a (4) c c c+ b < < a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+d (5) d d d+ c < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d (6) Céng vÕ víi vÕ cña (3), (4), (5),(6) ta cã 1< a b c d + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b (§iÒu phaØ chøng minh) * VÝ dô 2: Cho a < c Gi¶i: vµ b,d >0 chøng minh r»ng b d a ab+cd c < < b b 2+ d d ab cd a ab+cd c a c ⇒ 2< ⇒ < < < b b 2+ d d b d b d a ab+cd c < < VËy (§ã lµ ®iÒu cÇn chøng minh) b b 2+ d d Tõ *VÝ dô 3: Cho a,b,c,d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n a+b=c+d=1000 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a + b c d (8) Gi¶i Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö a ≤ b c Tõ a b ≤ c d a a+b b a ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤1 c c+ d d c d V× a+b=c+d + Trêng hîp 1: NÕu b ≤ 998 th× b ≤ 998⇒ a + b ≤ 999 d c d + Trêng hîp 2: NÕu b=999 th× a=1 a b 999 ⇒ + = + c d c d §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d=1 , c= 99 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña a + b =999+ c d 999 đạt đợc a=d=1; c=b=999 Phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức tam giác KiÕn thøc: NÕu a,b,c lµ sè ®o c¹nh cña tam gi¸c th× a,b,c>0 vµ |b − c|<a<b +c C¸c vÝ dô * VÝ dô 1: Cho a,b,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng a a2 +b 2+ c 2<2 ( ab+ bc+ ca ) b abc> ( a+b − c )( b+ c − a ) ( c +a −b ) Gi¶i: a V× a,b,c lµ sè ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã ¿ 0<a< b+c 0<b< a+c 0<c <b+ a ⇒ ¿ a2 <a (b+ c) b 2< b(a+c) c 2< c(a+b) ¿{{ ¿ Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có a2 +b 2+ c 2<2(ab+ bc+ac) (§iÒu ph¶i chøng minh) b Ta cã (9) b − c ¿ 2> ¿ a − c ¿ 2> ¿ a − b ¿2> ¿ a>|b −c|⇒a 2> a2 − ¿ Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc a2 b2 c 2> [ a2 − ( b − c )2 ][ b2 − ( c − a )2 ] 2 ⇒ a b2 c > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c+ a −b ) ⇒abc > ( a+ b −c ) ( b+c −a )( c + a− b ) §ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh Ph¬ng ph¸p 7: §æi biÕn sè VÝ dô: Cho a,b,c >0 Chøng minh r»ng: a + b + c ≥ b+c c +a a+b Gi¶i: §Æt x=b+c; y=c+a ; z=a+b ta cã: y+z − x z+x − y x+ y −z ; b= ; c= 2 y + z − x z + x − y x+ y − z ⇔ + + ≥ 2x 2y 2z y z x z x y Ta cã (1) ⇔ + −1+ + − 1+ + − 1≥ x x y y z z y x z x z y ⇔ + + + + + ≥6 x y x z y z Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì x + y ≥ y x a= ( )( )( VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ) (1) (10)