Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp ABC.[r]
(1)TRƯỜNG THPT THẠNH ĐÔNG TỔ TOÁN - TIN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN : TOÁN 11_NÂNG CAO A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN Chứng minh dãy số (un) có giới hạn Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim = thì limun = lim 1 0 lim 0 0 lim n n n n , , , lim q 0 với |q| < - Sử dụng số dãy số có giới hạn 0: Tìm giới hạn dãy số, hàm số Phương pháp: Vận dụng các định lí giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực dãy số: lim +) Nếu limun = + thì - un 0 limun limvn = L limun=L limvn L >0 lim(unvn) Dấu L<0 L >0 L<0 L >0 L>0 L<0 L<0 + + - un lim Các quy tắc tìm giới hạn vô cực hàm số: +) Nếu lim f x x x0 lim f ( x ) x → x0 +∞ -∞ +∞ - ∞ lim thì lim g ( x) x → x0 L>0 L<0 x x0 f x 0 lim f (x ) g ( x) x → x0 lim f ( x ) x → x0 +∞ -∞ -∞ +∞ L>0 L<0 lim g (x)Dấu g(x) + + - x → x0 f (x ) x → x g(x ) +∞ -∞ -∞ +∞ lim ; ; ;0. - Chú ý gặp các dạng vô định: ta phải khử các dạng vô định đó cách: chia tử và mẫu cho n x mũ lớn nhất; phân tích tử mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân tử và mẫu với lượng liên hợp;… Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cho CSN (un) lùi vô hạn (với |q|<1 ), ta có : u S u1 u1q u1q n 1 q Xét tính liên tục hàm số Phương pháp: Xét tính liên tục hsố f(x) x0: +) Tính f(x0) (2) +) Tìm lim f x x x0 (nếu có) lim f x - Nếu không tồn tại f(x) gián đoạn x0 lim f x L f x0 - Nếu x x0 f(x) gián đoạn x0 lim f x L f x0 - Nếu x x0 f(x) liên tục x0 x x0 Chứng minh tồn nghiệm phương trình Phương pháp: Vận dụng hệ định lí giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < thì phương trình f(x) = có ít nghiệm nằm (a ; b) CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM Tìm đạo hàm hàm số Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm +) Các quy tắc tính đạo hàm: (u v) ' u 'v ' (u.v) ' u '.v v '.u c ' 0 ; x ' 1 x ' n.x n ( k u ) ' k u ' ' n u ' n.u n ' u u '.v v '.u v2 v ' v' 1 v v 1 x x x ' x g ( x) f [u ( x)] .u ' ' +) Đạo hàm hàm hợp: Nếu n u' 1 u2 u u' u ' u ' ' ' g x fu u x thì +) Đạo hàm các hàm số lượng giác: sin x ' cos x cos x ' sin x cos x (cot x) ' sin x tan x ' sin u ' u '.cos u cos u ' u '.sin u u' cos u u' (cot u ) ' sin u tan u ' Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Phương pháp:pt tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) Vi phân - Vi phân hàm số nột điểm: df ( x0 ) f '( x0 ).x - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0 x) f ( x0 ) f '( x0 )x - Vi phân hàm số: df ( x) f '( x)dx hay dy y ' dx Đạo hàm cấp cao - Đạo hàm cấp hai hàm số: f’’= (f’)’ - Đạo hàm cấp n hàm số: f(n) = [f(n-1)]’ (3) II BÀI TẬP CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0: n sin 2n 1 n cos 3n b) un a ) un c ) un n 1 2n n n n n 1 1 2n f ) un n e) un n 1 g ) un n 1 n 1 1 3 d ) un cos n n n 1 h ) un n n Bài 2: Tìm các giới hạn sau: 2n 3n3 a ) lim n3 n 4n n e) lim 2n n3 3n b) lim 2n 3n c) lim n 2n d ) lim 3n 2.5n 3n 4n g ) lim 3.5n 4n 2.4n n 1 1 un 1.2 2.3 3.4 n n 1 h) lim f ) lim i ) lim un với ĐS: a) -3 b) + c) d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 2n 3n5 (n 2)3 (5n 1) 4n 9n 2 n i) Bài : Tính các giới hạn sau: a ) lim(3n n 1) e) lim 2.3n 5.4n i ) lim 3n 6n 1 7n ĐS: a) + b) - c) + b) lim( 2n4 n2 n 3) c) lim 3n n sin 2n f ) lim 3n 2n g ) lim n n k ) lim n n 1 n d) + e) - f) - l ) lim g) d ) lim 3n n m) lim b) 3/2 Bài 5: Tìm giới hạn các hàm số sau: (Dạng ): x3 x x3 lim lim a) x x x b) x x x3 x c) x 3x x x2 x x2 1 lim 5x f) x lim x5 x3 x 5x2 e ) lim x x 3x d) x x x ĐS: a) -1/2 b) - c) - d) - e) f) -1/5 lim Bài 6: Tìm giới hạn các hàm số sau: (Dạng: a.): a) lim ( x x 3x 1) x lim lim x 3x d) ĐS: a) + x b) - b) lim ( x x3 x 3) x c) + 3x x x e) d) + e) - f) + x Bài 7: Tìm giới hạn các hàm số sau: (Giới hạn bên): lim x x c) x f) x lim 2x2 x x n3 n n k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3 Bài 4: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn sau: n n 1 1 1 1 1 1, , , , , , 1, , , , , , 2 3 a) b) 27 ĐS: a) 2/3 n2 n n h) lim n 3n n h) + i) - (4) 1 x x x x 1 2x x 1 lim lim lim lim x x 4 a) x x b) c) x x d) x x e) x x x ĐS: a) - b) - c) + d) + e) f) + lim Bài 8: Tìm giới hạn các hàm số sau: (Dạng ): x 3 x2 x 3x lim lim lim x x x x x x 2x a/ b/ c) x2 x 1 lim x x x 1 x g) h) c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 2 x x x 7 f) ĐS: a) b) -1 lim lim f) x3 lim d) x x x2 lim x x 5 i) h) 4/3 i) k) Bài 9: Tìm giới hạn các hàm số sau: (Dạng ): 1 2x x 1 lim 1 lim x 1 lim x x x x 1 x x 1 x a) b) c) x ĐS: a) -1 b) c) + d) d/ lim x 1 3x x 1 x2 x lim e) x x x x 3x lim x 2 x k) lim x x x x2 Bài 10: Tìm giới hạn các hàm số sau: (Dạng - ): lim a) ĐS: a) x x2 1 x b) b) c) 1/4 lim x x2 2x x2 1 c) lim x x2 x x d) lim x x2 x x2 d) 1/2 sin x 1 Bài 11: Tìm giới hạn các hàm số sau: (Áp dụng x x ) sin 3x sin x sin x sin x.sin x sin nx cos x lim lim lim lim 3x xn a) x x b) x c) x x sin x d) x ĐS: a) b) 2/3 c) d) n! lim Bài 12: Xét tính liên tục các hàm số sau: x2 x -2 f ( x) x 4 x -2 x = -2 a) x2 x f ( x) x b) x 1 f ( x ) x d) x 3 x 3 x = x 3x x 3 x 1 f ( x) x x 3 x 1 x = c) x2 x x x f ( x) x f ( x) x 2 3x x x 2 e/ x0 = f) ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 13: Xét tính liên tục các hàm số sau trên TXĐ chúng: 1 x x 3x 2 x 2 f ( x) x f ( x) x x 2 a) b) x 2 x 2 x0 = x0 = (5) x2 x f x x 5 x c) x x f x x2 x x x x 1 d) x x 2 ĐS: a) hsliên tục trên R ; c) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan x = d) hs liên tục trên khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan x = Bài 14: Tìm điều kiện số thực a cho các hàm số sau liên tục x0 x2 x x x2 x f x x f ( x) a x với x = -1 2ax x 1 với x0 = a) b) x7 x 2 3x x f ( x ) x f ( x ) a x 2 x 1 2a c) với x = d) với x = ĐS: a) a = -3 b) a = c) a = 7/6 d) a = 1/2 Bài 15: Chứng minh phương trình: a) x x 0 có ít nghiệm b) x 3x 0 có ít nghiệm c) x x 0 có ít nghiệm d) x 10 x 0 có ít nghiệm e) cosx = x có ít nghiệm thuộc khoảng (0; /3) f) cos2x = 2sinx – = có ít nghiệm g) x 3x 0 có nghiệm phân biệt 2 m x 1 x x 0 luôn có ít nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với m h) m x 1 x x 0 i) luôn có ít nghiệm với m CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y x b) y 3 x c) y x Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: x3 x2 y x 1) 2) 4) y=5 x (3 x −1) 13) y x x x y=2 x − +3 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) y=( x 2+1)(5 −3 x 2) 2 y x x 10) d) 8) y=x (2 x −1)(3 x +2) x1 11) y x 14) y x 1 x 3x y x y x x x 7x4 3) 6) x +5 ¿ 7) y=¿ x +3 ¿3 9) x +2 ¿2 ¿ y=( x+1)¿ 12) y = ( 5x3 + x2 – )5 x2 y x2 15) (6) y 2 x 3x y 16) 19) y=√ x 2+ x+7 y= √ 25) x3 x x y x x x y 17) 20) y=√ x − 1+ √ x +2 1 x y 1 x 23) x2 −2 x+ x +1 y x2 x x3 x x2 x 1 26) y = x2 7x x 3x 18) 21) y=(x+1) √ x + x+ 24) √ x (x2- √ x +1) y x2 x 22) 27) Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx y=cos x sin2 x y cot (2x ) 9) 13) y tan x 1+sin2 x ¿2 ¿ 17) y= ¿ 2) y = cos (x3) 6) y cos x cos3 x 7) 10) y sin (cos x) cos x y cot x 3sin x 14) x sin x y tan x 18) 4) 1+cot x ¿ y =¿ 3) y = x.cotx 19) y=sin x 8) y= 15) y sin(2sin x) 16) y = sin p - 3x y sin x x x sin x Bài 5: Cho y=x − x2 +2 Tìm x để: a) y’ > x0 ĐS: a) x b) x Bài 7: Cho hàm số f(x) x Tính : y=3 sin x sin x 12) 20) y tan x Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x sin x +cos x sin x −cos x 11) y cot x g ( x) cos x Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x) sin x cos x và Chứng minh rằng: f '( x ) g '( x) (x ) 5) b) y’ < b) f(x) = √ sin x −cos x + x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – f(3) (x 3)f '(3) x +2 x +2 Bài 8: a) Cho hàm số: y= Chứng minh rằng: 2y.y’’ – =y’2 x −3 b) Cho hàm số y = Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’ x+4 c) Cho hàm số y 2x x Chứng minh rằng: y y" 0 Bài 9: Chứng minh f '( x) x , biết: f ( x ) x x x3 x x a/ b/ f ( x) 2 x sin x (7) x2 x x (C) Bài 10: Cho hàm số a) Tính đạo hàm hàm số x = b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = -1 Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + y Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x x Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2) b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – Bài 13: Viết phơng trình tiếp tuyến đờng cong a) T¹i ®iÓm (-1 ;-1) ; b) Tại điểm có hoành độ ; c) BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau: x a) y=x − x +1 b) y=sin 2 1+cot x ¿ y =¿ y=x : y=√ x 2+ x+7 c) Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai các hàm số sau: x 1 x 1 y y x x x 1) 2) 3) 5) y x sin x 7) y = x.cos2x 6) y (1 x ) cos x y '' y '' x3 10 x 30 x 14 y e) y=cos x sin x x x 1 4) y x x 1 8) y = sin5x.cos2x 2x x x3 3x y '' y '' x2 x2 1 x2 1 3) 4) x2 x x 2 ĐS: 1) 2) y '' x sin x x cos x 5) 6) y '' 4 x sin x ( x 3) cos x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x d) Bài 16: Tính đạo hàm cấp n các hàm số sau: y x 1 a) b) y = sinx n! n y n 1 n 1 y n sin x n x 1 2 ĐS: a) b) 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x (8) B HÌNH HỌC I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a và b 90 Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vuông góc ( a b a b ' với b’ là hình chiếu đt b lên mp chứa đt a) u a b u v Phương pháp 2: ( , v là vectơ phương a và b) Phương pháp 3: Chứng minh a ( ) b b ( ) a Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P) Phương pháp 1: Chứng minh: d a và d b với a b = M; a,b (P) Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a (P) Phương pháp 3: Chứng minh: d (Q) (P), d a = (P) (Q) Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) (R) và (Q) (P), (R) (P) Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc Phương pháp 1: Chứng minh (P) a (Q) Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) (Q) Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a (Q) Dạng 4: Tính góc đt a và b Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’) Dạng 5: Tính góc đt d và mp(P) Phương pháp: Gọi góc đt d và mp(P) là +) Nếu d (P) thì = 900 +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó: = (d,d’) Dạng 6: Tính góc hai mp (P) và (Q) Phương pháp 1: - Xác định a (P), b (Q) - Tính góc = (a,b) Phương pháp 2: Nếu (P) (Q) = d - Tìm (R) d - Xác định a = (R) (P) - Xác định b = (R) (Q) - Tính góc = (a,b) Dạng 7: Tính khoảng cách Tính khoảng từ điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) MH (với H là hình chiếu vuông góc M trên a) Tính khoảng từ điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P) - d(M, (P)) = AH Tính khoảng đt và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ) Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng đt chéo a và b: +) Phương pháp 1: Nếu a b : - Dựng (P) a và (P) b - Xác định A = (P) b - Dựng hình chiếu H A lên b (9) - AH là đoạn vuông góc chung a và b +) Phương pháp 2: - Dựng (P) a và (P) // b - Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) H cắt đt b A - AH là đoạn vuông góc chung a và b +) Phương pháp 2: - Dựng đt (P) a I cắt b O - Xác định hình chiếu b’ b trên (P) (b’ qua O) - Kẻ IK b’ K - Dựng đt vuông góc với (P) K, cắt b H - Kẻ đt qua H và song song với IK, cắt đt a A - AH là đoạn vuông góc chung a và b II BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B SA (ABC) a) Chứng minh: BC (SAB) b) Gọi AH là đường cao SAB Chứng minh: AH SC Bài 2: a) b) c) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA (ABCD) Chứng minh rằng: BC (SAB) SD DC SC BD Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh: BC AD b) Gọi AH là đường cao ADI Chứng minh: AH (BCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a a) Chứng minh SO (ABCD) b) Gọi I, K là trung điểm AB và BC Chứng minh IKSD c) Tính góc đt SB và mp(ABCD) Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB CD, BC AD Gọi H là hình chiếu A lên mp(BCD) Chứng minh: a) H là trực tâm BCD b) AC BD Bài 6: Cho tứ diện ABCD Chứng minh các cặp cạnh đối diện tứ diện vuông góc với đôi Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a √ , SA (ABCD) a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là tam giác vuông b) Gọi I là trung điểm SC Chứng minh IO (ABCD) c) Tính góc SC và (ABCD) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA chiếu vuông góc A lên SB, SD a) Chứng minh BC (SAB), BD (SAC) b) Chứng minh SC (AHK) c) Chứng minh HK (SAC) (ABCD) Gọi H, K là hình Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, SA = AB = AC = a, SA (ABC) Gọi I là trung điểm BC a) Chứng minh BC (SAI) (10) b) Tính SI c) Tính góc (SBC) và (ABC) Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B SA (ABC) và SA = a, AC = 2a a) Chứng minh rằng: (SBC) (SAB) b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) c) Tính góc (SBC) và (ABC) d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung SA và BC B BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc và OA= OB = OC = a Gọi I là trung điểm BC; H, K là hình chiếu O lên trên các đường thẳng AB và AC CMR: BC (OAI) CMR: (OAI) (OHK) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS: a / Tính côsin góc OA và mp (OHK) ĐS: cos / ĐS: tan Tính tang góc (OBC) và (ABC) Tìm đường vuông góc chung hai đường thẳng HK và OI Tính khoảng cách hai đường ĐS: a / Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA a CMR: Các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông CMR: mp (SAC) mp(SBD) Tính góc SC và mp (ABCD), góc SC và mp (SAB) 0 ĐS: 45 , 30 ĐS: tan 2 Tính tang góc hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD) ĐS: a / Tìm đường vuông góc chung các đường thẳng SC và BD Tính khoảng cách hai đường thẳng ĐS: a / Hãy điểm I cách S, A, B, C, D và tính SI ĐS: SI a BAD 60 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a / và Gọi H là hình chiếu S trên AC CMR: BD (SAC) và SH (ABCD) CMR: AD SB CMR: (SAC) (SBD) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC ĐS: SH a 15 / và SC = a / Tính sin góc SD và (SAC), côsin góc SC và (SBD) ĐS: sin / và cos 3 / 14 Tính khoảng cách từ H đến (SBD) ĐS: a 10 / 12 ĐS: tan Tính góc (SAD) và (ABCD) Tìm đường vuông góc chung các đường thẳng SH và BC Tính khoảng cách hai đường thẳng ĐS: a / ADC 450 Hãy điểm I cách S, A, B, D và tính MI 15a / 20 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông A, AB = BC = a và Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a ĐS: (11) CMR: BC mp(SAB) CMR: CD SC Tính góc SC và (ABCD), góc SC và (SAB), góc SD và (SAC) 0 ĐS: 45 , 30 , tan / Tính tang góc mp(SBC) và mp(ABCD) Tính khoảng cách SA và BD ĐS: tan ĐS: 2a / Tính khoảng cách từ A đến (SBD) ĐS: 2a / 7 Hãy điểm M cách S, A, B, C; điểm N cách S, A, C, D Từ đó tính MS và NS ĐS: MS a , NS a / Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a Gọi O là tâm tứ giác ABCD; và M, N là trung điểm AB vàAD CMR: BD (ACC' A ') và A’C (BDC') CMR: A 'C AB' CMR: (BDC’) (ACC’A’) và (MNC’) (ACC’A’) Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’) Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’) Tính tang góc AC và (MNC’) Tính tang góc mp(BDC’) vaø mp(ABCD) Tính côsin góc (MNC’) và (BDC’) Tính khoảng cách AB’ vaø BC’ ĐS: a / ĐS: 3a / 17 ĐS: tan 2 / ĐS: tan ĐS: cos 7 / 51 ĐS: a / (12)