Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.. Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng lầ[r]
(1)BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 BT1.Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S ∉(α ) S a Xác định giao tuyến (SAC) và (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) và (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) và (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) và (SBD) Ta có : S là điểm chung (SAC) và (SBD) C Trong (), gọi O = AC BD O AC mà AC (SAC) O (SAC) A O BD mà BD (SBD) O (SBD) J O là điểm chung (SAC) và (SBD) k Vậy : SO là giao tuyến (SAC) và (SBD) O B b Xác định giao tuyến (SAB) và (SCD) D Ta có: S là điểm chung (SAC) và (SBD) Trong () , AB không song song với CD Gọi I = AB CD I AB mà AB (SAB) I (SAB) I I CD mà CD (SCD) I (SCD) I là điểm chung (SAB) và (SCD) Vậy : SI là giao tuyến (SAB) và (SCD) A c Tương tự câu a, b Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc mặt phẳng M Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lấy các điểm M, N, P cho MN không song P D song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) và ( MNP) B Giải P BD mà BD ( BCD) P ( BCD) N P ( MNP) P là điểm chung ( BCD) và ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN BC C E BC mà BC ( BCD) E ( BCD) E E MN mà MN ( MNP) E ( MNP) E là điểm chung ( BCD) và ( MNP) Vậy : PE là giao tuyến ( BCD) và ( MNP) Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự J , K Tìm giao tuyến các cặp mp sau : S a mp ( I,a) và mp (SAC ) b mp ( I,a) và mp (SAB ) I c mp ( I,a) và mp (SBC ) L O Giải a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có: I SA mà SA (SAC ) I (SAC ) I( I,a) I là điểm chung hai mp ( I,a) và (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a AC O AC mà AC (SAC ) O (SAC ) B K J A C (2) O ( I,a) O là điểm chung hai mp ( I,a) và (SAC ) Vậy : IO là giao tuyến hai mp ( I,a) và (SAC ) b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : là JI c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K là điểm chung hai mp ( I,a) và mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO SC L SC mà SC (SBC ) L (SBC ) L IO mà IO ( I,a) L ( I,a ) L là điểm chung hai mp ( I,a) và (SBC ) Vậy: KL là giao tuyến hai mp ( I,a) và (SBC ) Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm mp a Chứng minh AB và CD chéo b Trên các đoạn thẳng AB và CD lấy các điểm M, N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp nào M Xđ giao tuyến hai mp (CMN) và ( BCD) Giải a Chứng minh AB và CD chéo : B Giả sử AB và CD không chéo Do đó có mp () chứa AB và CD A ,B ,C , D nằm mp () mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB và CD chéo b Điểm I thuộc mp : I MN mà MN (ABD ) I (ABD ) I MN mà MN (CMN ) I (CMN ) I BD mà BD (BCD ) I (BCD ) Xđ giao tuyến hai mp (CMN) và ( BCD) là CI A N D I C Cho tam giác ABC nằm mp ( P) và a là mộtđường thẳng nằm mp ( P) và không song song với AB và AC S là điểm ngoài mặt phẳng ( P) và A’ là điểm thuộc SA S Xđ giao tuyến các cặp mp sau a mp (A’,a) và (SAB) b mp (A’,a) và (SAC) A' c mp (A’,a) và (SBC) Giải a Xđ giao tuyến mp (A’,a) và (SAB) N M A’ SA mà SA ( SAB) A’ ( SAB) A C F A’ ( A’,a) A’ là điểm chung ( A’,a) và (SAB ) Trong ( P) , ta có a không song song với AB Gọi E = a AB B E AB mà AB (SAB ) E (SAB ) E ( A’,a) E E là điểm chung ( A’,a) và (SAB ) a P Vậy: A’E là giao tuyến ( A’,a) và (SAB ) b Xđ giao tuyến mp (A’,a) và (SAC) A’ SA mà SA ( SAC) A’ ( SAC) A’ ( A’,a) A’ là điểm chung ( A’,a) và (SAC ) Trong ( P) , ta có a không song song với AC Gọi F = a AC F AC mà AC (SAC ) F (SAC ) E ( A’,a) (3) F là điểm chung ( A’,a) và (SAC ) Vậy: A’F là giao tuyến ( A’,a) và (SAC ) c Xđ giao tuyến (A’,a) và (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB A’E M SB mà SB ( SBC) M ( SBC) M A’E mà A’E ( A’,a) M ( A’,a) M là điểm chung mp ( A’,a) và (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC A’F N SC mà SC ( SBC) N ( SBC) N A’F mà A’F ( A’,a) N ( A’,a) N là điểm chung mp ( A’,a) và (SBC ) Vậy: MN là giao tuyến ( A’,a) và (SBC ) Cho tứ diện ABCD , M là điểm bên tam giác ABD , N là điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến các cặp mp sau a (AMN) và (BCD) b (DMN) và (ABC ) A Giải a Tìm giao tuyến (AMN) và (BCD) Trong (ABD ) , gọi E = AM BD E AM mà AM ( AMN) E ( AMN) P M E BD mà BD ( BCD) E ( BCD) E là điểm chung mp ( AMN) và (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN CD F AN mà AN ( AMN) F ( AMN) N Q F CD mà CD ( BCD) F ( BCD)B D E F là điểm chung mp ( AMN) và (BCD ) Vậy: EF là giao tuyến mp ( AMN) và (BCD ) b Tìm giao tuyến (DMN) và (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM AB F P DM mà DM ( DMN) P (DMN ) C P AB mà AB ( ABC) P (ABC) P là điểm chung mp ( DMN) và (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN AC Q DN mà DN ( DMN) Q ( DMN) Q AC mà AC ( ABC) Q ( ABCA) Q là điểm chung mp ( DMN) và (ABC ) Vậy: PQ là giao tuyến mp ( DMN) và (ABC ) a Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng a và mặt phẳng () Phương pháp : Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng () b A Giao điểm a và b là giao đt a và mặt phẳng () Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến mp () và mp () a Cần chọn mp () chứa đường thẳng a cho giao tuyến mp () và mp () dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB (4) a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng () Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP MN E SP mà SP (SPC) E (SPC) S E MN Vậy : E = MN (SPC ) Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN M ( SAB) (SPC ) = SP E Trong (SAB), gọi E = MN SP E MN E SP mà SP (SPC) Vậy : E = MN (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp () A Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB MN P D AB mà AB () D () D MN Vậy: D = MN () Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN ( SAB) () = AB Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN AB D AB mà AB () D () D MN Vậy : D = MN () Cho tứ giác ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S và C Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải Chọn mp phụ (SBD) SD Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) và (ABM ) A Ta có B là điểm chung ( SBD) và (ABM ) Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) và (ABM ) Trong (ABCD ) , gọi O = AC BD Trong (SAC ) , gọi K = AM SO B K SO mà SO (SBD) K ( SBD) N C B D S N M K D O C K AM mà AM (ABM ) K ( ABM ) K là điểm chung ( SBD) và (ABM ) ( SBD) (ABM ) = BK Trong (SBD) , gọi N = SD BK N BK mà BK (AMB) N (ABM) N SD Vậy : N = SD (ABM) Cho tứ giác ABCD và điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) S b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SAC) AN I N (5) Tìm giao tuyến ( SAC) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC BD ( SAC) (SBD) = SP Trong (SAC), gọi I = AN SP I AN I SP mà SP (SBD) I (SBD) Vậy : I = AN (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SMC) MN Tìm giao tuyến ( SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi Q = MC BD ( SAC) (SBD) = SQ Trong (SMC), gọi J = MN SQ J MN J SQ mà SQ (SBD) J (SBD) Vậy: J = MN (SBD) Cho mặt phẳng () và đường thẳng m cắt mặt phẳng () C Trên m ta lấy hai điểm A, B và điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng () là điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SB và mặt phẳng () S m Giải A Chọn mp phụ (SA’C) SB B Tìm giao tuyến ( SA’C ) và () Ta có ( SA’C ) () = A’C Trong (SA’C ), gọi B’ = SB A’C C B’ SB mà SB (SA’C ) B’ (SA’C) B' A' B’ A’C mà A’C () B’ () Vậy : B’= SB () Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng mặt phẳng Gọi I, H là trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến ( ABC ) và (IHK) Trong (SAC) ,có IK không song song với AC S Gọi E’ = AC IK ( ABC ) ( IHK) = HE’ Trong (ABC ), gọi E = BC HE’ E BC mà BC ( ABC) E ( ABC) E HE’ mà HE’ ( IHK) E ( IHK) E' Vậy: E = BC ( IHK) Cho tứ diện SABC Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB không song song ) a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) và ( ABC ) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Giải a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) và ( ABC ) Ta có : F là điểm chung hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB DE M AB mà AB (ABC) M (ABC) K I A C H B E K S D A C F E (6) M DE mà DE (DEF) M (DEF) M là điểm chung hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Vậy: FM là giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến ( ABC ) và (DEF) Ta có (ABC) (DEF) = FM hình Trong (ABC), gọi N = FM BC N BC S N FM mà FM (DEF) N (DEF) Vậy: N = BC (DEF) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (SBC) SC D C F Tìm giao tuyến ( SBC ) và (DEF) K Ta có: E là điểm chung ( SBC ) và (DEF) A ο N BC mà BC (SBC) N (SBC) N ο N FM mà FM (DEF) N (DEF) E N là điểm chung ( SBC ) và (DEF) Ta có (SBC) (DEF) = EN B Trong (SBC), gọi K = EN SC M K SC K EN mà EN (DEF) K (DEF) hình Vậy: K = SC (DEF) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O là giao điểm AC và BD M, N, P là các điểm trên SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SBD) SO Tìm giao tuyến ( SBD ) và (MNP) Ta có N MN mà MN (MNP) N (MNP) N SB mà SB (SBD) N (SBD) N là điểm chung ( SBD ) và (MNP) P MP mà MN (MNP) P (MNP) P SD mà SD (SBD) P (SBD) P là điểm chung ( SBD ) và (MNP) (MNP) (SBD) = NP Trong (SBD), gọi I = SO NP I SO I NP mà NP (MNP) I (MNP) Vậy: I = SO (MNP) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến ( SAC ) và (MNP) Ta có M MN mà MN (MNP) M (MNP) M SA mà SA (SAC) M (SAC) M là điểm chung ( SAC ) và (MNP) I MI mà MI (MNP) I (MNP) I SO mà SO (SAC) I (SAC) I là điểm chung ( SAC ) và (MNP) ( SAC) (SBD) = MI Trong (SAC), gọi Q = SC MI S P M I N A O B A J Q D C (7) Q SC Q MI mà MI (MNP) Q (MNP) Vậy: Q = SC (MNP) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là trung điểm AC và BC K là điểm trên BD và không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD và (MNK ) b Tìm giao điểm AD và (MNK ) Giải a Tìm giao điểm CD và (MNK ) : Chọn mp phụ (BCD) SC Tìm giao tuyến ( BCD ) và (MNK) Ta có N (MNK) N BC mà BC (BCD) N (BCD) N là điểm chung (BCD ) và (MNK) K (MNK) K BD mà BD (BCD) K (BCD) K là điểm chung (BCD ) và (MNK) (BCD) (MNK) = NK Trong (BCD), gọi I = CD NK I CD I NK mà NK (MNK) I (MNK) Vậy: I = CD (MNK) b Tìm giao điểm AD và (MNK ) Chọn mp phụ (ACD) AD Tìm giao tuyến (ACD ) và (MNK) Ta có: M (MNK) M AC mà AC (ACD) M (ACD) M là điểm chung (ACD ) và (MNK) I NK mà NK (MNK) I (MNK) I CD mà CD (ACD) I (ACD) I là điểm chung (ACD ) và (MNK) (ACD) (MNK) = MI Trong (BCD), gọi J = AD MI J AD J MI mà MI (MNK) J (MNK) Vậy: J = AD (MNK) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD O là điểm bên tamgiác BCD Tìm giao điểm : a MN và (ABO ) A b AO và (BMN ) Giải a Tìm giao điểm MN và (ABO ): M Chọn mp phụ (ACD) MN Tìm giao tuyến (ACD ) và (ABO) Q Ta có : A là điểm chung (ACD ) và (ABO) Trong (BCD), gọi P = BO DC I P BO mà BO (ABO) P (ABO) N P CD mà CD (ACD) P (ACD) C B P là điểm chung (ACD ) và (ABO) (ACD) (ABO) = AP O Trong (ACD), gọi Q = AP MN Q MN P Q AP mà AP (ABO) Q (ABO) D (8) Vậy: Q = MN (ABO) b Tìm giao điểm AO và (BMN ) : Chọn mp (ABP) AO Tìm giao tuyến (ABP ) và (BMN) Ta có : B là điểm chung (ABP ) và (BMN) Q MN mà MN (BMN) Q (BMN) Q AP mà AP (ABP) Q (ABP) Q là điểm chung (ABP ) và (BMN) (ABP) (BMN) = BQ Trong (ABP), gọi I = BQ AO I AO I BQ mà BQ (BMN) I (BMN) Vậy: I = AO (BMN) 10 Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K là các điểm trên SA, AB, BC ( K không là trung điểm BC) Tìm giao điểm : a IK và (SBD) b SD và (IJK ) c SC và (IJK ) Giải a Tìm giao điểm IK và (SBD) Chọn mp phụ (SAK) IK Tìm giao tuyến (SAK ) và (SBD) Ta có : S là điểm chung (SAK ) và (SBD) Trong (ABCD), gọi P = AK BD P AK mà AK (SAK) P (SAK) P BD mà BD (SBD) P (SBD) S P là điểm chung (SAK ) và (SBD) (SAK) (SBD) = SP Trong (SAK), gọi Q = IK SP I N Q IK Q SP mà SP (SBD) Q (SBD) Vậy: Q = IK (SBD) A b Tìm giao điểm SD và (IJK ) : Chọn mp phụ (SBD) SD Tìm giao tuyến (SBD ) và (IJK) Ta có : Q là điểm chung (IJK ) và (SBD) Trong (ABCD), gọi M = JK BD D M JK mà JK ( IJK) M (IJK) M BD mà BD (SBD) M (SBD) M là điểm chung (IJK ) và (SBD) (IJK) (SBD) = QM Trong (SBD), gọi N = QM SD N SD N QM mà QM (IJK) N (IJK) Vậy: N = SD (IJK) c Tìm giao điểm SC và (IJK ) : Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến (SAC ) và (IJK) Ta có : I là điểm chung (IJK ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC JK E JK mà JK ( IJK) E ( IJK) E AC mà AC (SAC) E (SAC) E là điểm chung (IJK ) và (SAC) Q B J M P K C F (9) ( IJK) (SAC) = IE Trong (SAC), gọi F = IE SC F SC F IE mà IE ( IJK) F ( IJK) Vậy : F = SC ( IJK ) 11.Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lấy hai điểm M,N cho MN không song song với CD Gọi O là điểm bên tam giác BCD A a Tìm giao tuyến (OMN ) và (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN) c Tìm giao điểm BD với (OMN) Giải N a Tìm giao tuyến (OMN ) và (BCD ): Ta có : O là điểm chung (OMN ) và (BCD ) Trong (ACD) , MN không song song CD Q B D Gọi I = MN CD I là điểm chung (OMN ) và (BCD ) O M Vậy : OI = (OMN ) (BCD ) P b Tìm giao điểm BC với (OMN): Trong (BCD), gọi P = BC OI Vậy : P = BC ( OMN ) C c Tìm giao điểm BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD OI I Vậy : Q = BD ( OMN ) 12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : Chọn mp phụ (SMN) MN Tìm giao tuyến (SAC ) và (SMN) Ta có : S là điểm chung (SAC ) và (SMN) S Trong (SBC), gọi M’ = SM BC Trong (SCD), gọi N’ = SN CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ AC N I M’N’ mà M’N’ (SMN) I ( SMN) I AC mà AC (SAC) I (SAC) I là điểm chung (SMN ) và (SAC) E D ( SMN) (SAC) = SI O Trong (SMN), gọi O = MN SI O MN O SI mà SI ( SAC) O ( SAC) A Vậy : O = MN ( SAC ) M N' b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : Chọn mp phụ (SAC) SC I B Tìm giao tuyến (SAC ) và (AMN) C M' Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO SC E SC E AO mà AO ( AMN) E ( AMN) Vậy : E = SC ( AMN ) (10) Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S là điểm không thuộc (ABCD) ,M và N là trung điểm đoạn AB và SC S a Xác định giao điểm I = AN (SBD) b Xác định giao điểm J = MN (SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng N Giải a Xác định giao điểm I = AN (SBD ) I Chọn mp phụ (SAC) AN D Tìm giao tuyến (SAC ) và (SBD) C J ( SAC) (SBD) = SO Trong (SAC), gọi I = AN SO O I AN A E I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) M B Vậy: I = AN ( SBD) b Xác định giao điểm J = MN (SBD) S Chọn mp phụ (SMC) MN Tìm giao tuyến (SMC ) và (SBD) S là điểm chung (SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC BD ( SAC) (SBD) = SE I Trong (SMC), gọi J = MN SE N J MN J D A J SE mà SE ( SBD) J ( SBD) M Vậy J = MN ( SBD) O (11) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Ta có : B là điểm chung (ANB) và ( SBD) I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) I AN mà AN (ANB) I (ANB) I là điểm chung (ANB) và ( SBD) J SE mà SE ( SBD) J ( SBD) J MN mà MN (ANB) J (ANB) J là điểm chung (ANB) và ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD và S (ABCD) Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC O và OJ cắt SC M a Tìm giao điểm K = IJ (SAC) b Xác định giao điểm L = DJ (SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng S Giải J a Tìm giao điểm K = IJ (SAC) Chọn mp phụ (SIB) IJ M Tìm giao tuyến (SIB ) và (SAC) L K B S là điểm chung (SIB ) và (SAC) A Trong (ABCD) , gọi E = AC BI E I C F (SIB) ( SAC) = SE D Trong (SIB), gọi K = IJ SE K IJ O K SE mà SE (SAC ) K (SAC) Vậy: K = IJ ( SAC) b Xác định giao điểm L = DJ (SAC) Chọn mp phụ (SBD) DJ Tìm giao tuyến (SBD ) và (SAC) S là điểm chung (SBD ) và (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC BD (SBD) ( SAC) = SF Trong (SBD), gọi L = DJ SF L DJ L SF mà SF (SAC ) L (SAC) Vậy : L = DJ ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A là điểm chung (SAC) và ( AJO) K IJ mà IJ (AJO) K (AJO) K SE mà SE (SAC ) K (SAC ) K là điểm chung (SAC) và ( AJO) L DJ mà DJ (AJO) L (AJO) L SF mà SF (SAC ) L (SAC ) L là điểm chung (SAC) và ( AJO) M JO mà JO (AJO) M (AJO) M SC mà SC (SAC ) M (SAC ) M là điểm chung (SAC) và ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) và (ABC) b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) và J = SC ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng (12) Giải a Tìm giao tuyến mp (LMN) và (ABC) Ta có : N là điểm chung (LMN) và (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB LM K LM mà LM (LMN ) K (LMN ) K AB mà AB ( ABC) K ( ABC) b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) Chọn mp phụ (ABC) BC Tìm giao tuyến (ABC ) và (LMN) (ABC) ( LMN) = NK Trong (ABC), gọi I = NK BC I BC I NK mà NK (LMN ) I (LMN) L Vậy : I = BC ( LMN) Tìm giao điểm J = SC ( LMN) Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN SC S N C A I M J SC J LN mà LN (LMN ) J (LMN) Vậy : J = SC ( LMN) B K c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J là điểm chung (LMN) và ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD và S (ABCD) Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD a Tìm giao điểm I = BN ( SAC) S b Tìm giao điểm J = MN ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải N a Tìm giao điểm I = BN ( SAC) Chọn mp phụ (SBD) BN Tìm giao tuyến (SBD ) và (SAC) I Trong (ABCD), gọi O = AC BD J (SBD) ( SAC) = SO Trong (SBD), gọi I = BN SO A I BN I SO mà SO (SAC ) I (SAC) Vậy : I = BN ( SAC) O K b Tìm giao điểm J = MN ( SAC) : B Chọn mp phụ (SMD) MN M Tìm giao tuyến (SMD ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi K = AC DM (SMD) ( SAC) = SK Trong (SMD), gọi J = MN SK J MN J SK mà SK (SAC ) J (SAC) Vậy : J = MN ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng : Ta có : C , I , J là điểm chung (BCN ) và (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng J D C (13) S Q Dạng : Tìm thiết diện hình chóp và mặt phẳng ( ) : Chú ý : Mặt phẳng ( ) có thể cắt số mặt hình chóp Cách : Xác định thiết diện cách kéo dài các giao tuyến P I R Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) Giải A Trong (ABCD), gọi J = BD MN K = MN AB K H = MN BC Trong (SBD), gọi Q = IJ SB Trong (SAB), gọi R = KQ SA Trong (SBC), gọi P = QH SC Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N , P là trung điểm lấy trên AB , AD và SC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải F Trong (ABCD) , gọi E = MN DC F = MN BC Trong (SCD) , gọi Q = EP SD Trong (SBC) , gọi R = FP SB A Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR H C B N O J D M S P R C B Q M D N E Cho tứ diện ABCD Gọi H,K là trung điểm các cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD lấy điểm M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện tứ diện với mp (HKM ) Xét trường hợp : a M C và D b M ngoài đoạn CD Giải a M C và D : A Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến (HKM) với (ABC) và (BCD) M Trong (BCD), gọi L = KM BD H Trong (ABD), gọi N = AD HL Vậy : thiết diện là tứ giác HKMN B L D (14) A H N D B L M K C b M ngoài đoạn CD: Trong (BCD), gọi L = KM BD Vậy : thiết diện là tam giác HKL S R Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N là trung điểm lấy trên P AD và DC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE) Giải Trong (SCD), gọi Q = EN SC A Trong (SAD), gọi P = EM SA Trong (ABCD), gọi F = MN BC Trong (SBC), gọi R = FQ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP Q F B C N M D E Cách :Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ : Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N là trung điểm SB và SC Giả sử AD và BC không song song a Xác định giao tuyến (SAD) và ( SBC) S b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải M a Xác định giao tuyến (SAD) và ( SBC) : Trong (ABCD) , gọi I = AD BC N B A Vậy : SI = (SAD) ( SBC) J K b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Trong (SBC) , gọi J = MN SI D Trong (SAD) , gọi K = SD AJ C Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N I a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC): Chọn mp phụ (SMN) MN Tìm giao tuyến (SAC ) và (SMN) Ta có : S là điểm chung (SAC ) và (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM BC Trong (SCD), gọi N’ = SN CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ AC (15) I M’N’ mà M’N’ (SMN) I ( SMN) I AC mà AC (SAC) I (SAC) I là điểm chung (SMN ) và (SAC) ( SMN) (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN SI O MN O SI mà SI ( SAC) O ( SAC) Vậy : O = MN ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : Chọn mp phụ (SAC) SC Tìm giao tuyến (SAC ) và (AMN) Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO SC E SC E AO mà AO ( AMN) E ( AMN) Vậy : E = SC ( AMN ) c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), gọi P = EM SB Trong (SCD), gọi Q = EN SD Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC Tìm thiết diện A hình chóp cắt mặt phẳng (A’B’C’) Giải Trong (ABCD), gọi O = AC BD P Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ SO B Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ SD Có hai trường hợp : Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’ Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì Gọi E = CD C’D’ F = AD A’D’ S thiết diện là tứ giác A’B’C’EF S Q N O E D M N' I C M' S A' B' A A' A O' O' C' O B B' D' D B O F C' E C D C D' (16) §1 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : Sử dụng các cách sau : Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình bình hành , định lý talet … ) Sử dụng các định lý Chứng minh phản chứng Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành b Gọi M là điểm bất kì trên BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải S a Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành : Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB D' C' Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // CD A' B' Mặt khác AB // CD D C A’B’ // C’D’ Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành N b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: M A Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung (A’B’M) và (ABCD) B Do đó giao tuyến (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’ Gọi N = Mx AD Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB CD) Gọi M , N là trung điểm các cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC (ADN) c Kéo dài AN và DP cắt I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI là hình gì ? Giải a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC (ADN): S M A I N B (17) Chọn mp phụ (SBC) SC Tìm giao tuyến (SBC ) và (ADN) Ta có : N là điểm chung (SBC ) và (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD AC ( SBC) (ADN ) = NE Trong (SBC), gọi P = SC NE Vậy : P = SC ( ADN ) c Chứng minh : SI // AB // CD Tứ giác SABI là hình gì ? ¿ SI =(SAB) ∩(SCD) AB ⊂ (SAB) CD ⊂(SCD) Ta có : ( theo định lí 2) AB / / CD ¿ ⇒ ¿ SI // AB // CD ¿{{{ ¿ Xét ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB) M là trung điểm AB // SI 2MN Mà AB // 2.MN Do đó : SI // AB Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành Cho tứ diện ABCD Gọi I ,J là trọng tâm các tam giác ABC và ABD A Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Giải Gọi E là trung điểm AB E I ¿ I ∈ CE J B Ta có : J ∈ DE IJ và CD đồng phẳng ¿{ ¿ EI EJ = = Do đó : (tính chất trọng tâm) D EC ED Vậy : IJ // CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB cho SN = SB S a Tìm giao tuyến (SAB) và (IJK) b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành Giải L a Tìm giao tuyến (SAB) và (IJK): Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung (SAB) và (IJK) A Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD : I Gọi L = Kx SA C D Thiết diện là hình thang IJKL Do : IJ là đường trung bình hình thang ABCD IJ = (AB + CD) LK SK 2 = = AB Xét SAB có : LK = AB SB 3 IJKL là hình bình hành IJ = KL C K B J (18) (AB + CD) = AB = 3.CD Vậy : thiết diện IJKL là hình bình hành AB = 3.CD AB Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,N ,P , Q là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD a Chứng minh : PQ // SA b Gọi K = MN PQ Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định M di động trên cạnh BC Giải a Chứng minh : PQ // SA S t K Xét tam giác SCD : Ta có : NP // CD P NP CN = (1) DS CS Tương tự : MN // SB N D A CN CM Q = (2) CS CB Tương tự : MQ // CD CM DQ = (3) CB DA B C DP DQ M = Từ (1) , (2) và (3), suy DS DA Vậy : PQ // SA b Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định M di động trên cạnh BC ¿ BC // AD BC ⊂(SBC) AD ⊂ (SAD) Ta có : S ∈(SBC) ∩(SAD) ¿{{{ ¿ giao tuyến là đường thẳng St qua S cố định song song BC và AD Mà K (SBC) (SAD) K St (cố định ) Vậy : K St cố định M di động trên cạnh BC (19) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Dạng : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) : ¿ d ⊄α d // a Phương pháp : Chứng minh a⊂ α ¿ ⇒¿ d // α ¿{{ ¿ Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,N là trung điểm các cạnh AB và CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P là trung điểm cạnh SA Chứng minh SB và SC song song với (MNP) c Gọi G ❑1 ,G ❑2 là trọng tâm ABC và SBC Chứng minh G1 G2 // (SAB) Giải S a Chứng minh MN // (SBC): ¿ MN ⊄(SBC) MN // BC P Ta có : BC ⊂(SBC) ¿ ⇒ ¿ MN // (SBC) ¿{ { A ¿ ¿ MN ⊄(SAD) M MN // AD Tương tự : AD ⊂ (SAD) B ¿ ⇒ ¿ MN // (SAD) ¿{{ ¿ b Chứng minh SB // (MNP): ¿ SB⊄( MNP) SB // MP Ta có : MP ⊂(MNP) ¿ ⇒ ¿ SB // (MNP) ¿{ { ¿ Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) và (SAD) Ta có : P là điểm chung (MNP) và (SAD) MN // AD Do đó giao tuyến là đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q PQ = (MNP) (SAD) Xét SAD , Ta có : PQ // AD P là trung điểm SA Q là trung điểm SD P Xét SCD , Ta có : QN // SC Q D N C S Q D N G2 C (20) ¿ SC⊄( MNP) SC // NQ Ta có : NQ ⊂ (MNP) ¿ ⇒ ¿ SC // (MNP) ¿{ { ¿ c Chứng minh G1 G2 // (SAB) : IG1 IG2 Xét SAI , ta có : = = IA IS G G // SA ¿ G1 G ⊄(SAB) G G // SA Do đó : SA ⊂ (SAB) ¿ ⇒ ¿ G G //(SAB) ¿{{ ¿ Cho hình chóp S.ABCD M,N là hai điểm trên AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA a Tìm các giao tuyến () với (SAB) và (SAC) b Xác định thiết diện hình chóp với () S c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện là hình thang Giải a Tìm các giao tuyến () với (SAB): P ¿ M ∈(α )∩(SAB) Q α // SA D Ta có : A SA ⊂ (SAB) ¿{ { M ¿ N R () (SAB) = MP với MP // SA C B Tìm các giao tuyến () với (SAC): Gọi R = MN AC ¿ S R ∈( α )∩(SAC) α // SA Ta có : SA ⊂ (SAC) ¿{{ ¿ Q () (SAC) = RQ với RQ // SA P D b Xác định thiết diện hình chóp với (): A Thiết diện là tứ giác MPQN N c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện là hình thang: M R C B (21) Ta có : MPQN là hình thang ¿ MP // QN ¿ MN // PQ ¿ ( 1) ( 2) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ SA // MP MP//QN Xét (1) ,ta có ¿ ⇒SA // QN ¿{ ¿ ¿ SA // QN QN ⊂( SCD) Do đó : ( vô lí ) ¿ ⇒ SA // (SCD) ¿{ ¿ ¿ BC=( ABCD) ∩(SBC) MN ⊂( ABCD) Xét (2) ,ta có PQ ⊂(SBC) ¿⇒ MN // BC ¿{{ ¿ ¿ PQ=α ∩(SBC) MB ⊂(α ) Ngược lại, MN // BC thì BC ⊂(SBC) ¿ ⇒¿ MN // PQ ¿{{ ¿ Vậy để thiết diện là hình thang thì MN // BC Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD b Xác định vị trí N trên CD cho thiết diện là hình bình hành Giải a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD ¿ A ( α )// CD CD ⊂(ACD) M M ∈(α) ∩(ACD) Ta có : ¿ ⇒ ¿ MP // CD (1) P ¿{{ D B ¿ Q N C (22) ¿ (α ) // CD CD ⊂(BCD) N ∈( α)∩(BCD) Tương tự : ¿ ⇒ ¿ NQ // CD(2) ¿{{ ¿ Từ (1) và (2), ta : MP // NQ Vậy: thiết diện là hình thang MPNQ A b Xác định vị trí N trên BC cho thiết diện là hình bình hành Ta có : MP // NQ CD M MP = P ¿ MP // NQ D B Q MP=NQ N ¿ ⇔¿ C ¿ MP // NQ MPNQ là hình bình hành MP=NQ= CD ¿{ ¿ Do đó : N là trung điểm BC Vậy : N là trung điểm BC thì MPNQ là hình bình hành Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và S là điểm ngoài mặt phẳng hình thang Gọi M là điểm CD ; () là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện là hình gì ? b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Giải a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD: ¿ (α ) // BC S BC ⊂( ABCD) M ∈(α )∩(ABCD ) Ta có : ¿ ⇒ ¿ MN // BC(1) ¿ {{ t P ¿ ¿ B A (α ) // SA N Q SA ⊂(SAB) Tương tự : N ∈(α )∩(SAB) D C M ¿ ⇒ ¿ NP // SA ¿{{ I ¿ ¿ (α ) // BC BC ⊂(SBC) P ∈(α )∩(SBC) ¿ ⇒ ¿ PQ // BC (2) ¿{{ ¿ Từ (1) và (2) , ta : MN // PQ Vậy : thiết diện là hình thang MNPQ b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Trong (ABCD) , gọi I = AD BC (23) I là điểm chung () và (SAD) ¿ (α )// SA SA ⊂ (SAD) Ta có : I ∈(α )∩( SAD) ¿{{ ¿ Vậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là điểm trên cạnh SC và () là mặt phẳng chứa AM và song song với BD a Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F mặt phẳng () với các cạnh SB, SD b Gọi I là giao điểm ME và CB , J là giao điểm MF và CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng Giải a Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F mặt phẳng () với các cạnh SB, SD Giả sử dựng E, F thỏa bài toán ¿ S (α ) // BD BD ⊂( SBD) Ta có : EF=(α )∩(SBD) M ¿ ⇒ ¿ BD // EF F ¿{ { ¿ D K J Do các điểm E ,F ,A ,M cùng thuộc mặt phẳng () C E Trong () , gọi K = EF AM K EF mà EF (SBD) K (SBD) O K AM mà AM (SAC) K (SAC) A B K (SAC) (SBD) Do (SAC) (SBD) = SO K SO I Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K AM và SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : ¿ I ∈ ME ¿ mà ¿ ME⊂ (α )¿ ¿ ⇒ I ∈(α ) Ta có : I ∈ BC ¿ mà ¿ BC ⊂(ABCD)¿ ⇒ I ∈( ABCD) ¿{ ¿ I () (ABCD) ¿ A ∈(α )∩(ABCD) Tương tự , J ∈(α )∩ (ABCD) ¿{ ¿ I , J , A là điểm chung () và (ABCD) Vậy : I , J , A thẳng hàng ^ = 60 ❑0 , AB = a Gọi O là trung Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông A , B điểm BC Lấy điểm S ngoài mặt phẳng () cho SB = a và SB OA Gọi M là mọt điểm trên cạnh AB , mặt phẳng () qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA N , P , Q (24) Đặt x = BM ( < x < a ) a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b Tính diện tích hình thang theo a và x Tính x để diện tích này lớn Giải a Chứng minh MNPQ là hình thang vuông : ¿ (β ) // OA OA ⊂ (ABC) Ta có : MN=( β )∩(ABC) ⇒ ¿ MN // OA (1) ¿{{ ¿ ¿ (β ) // SB SB⊂(SAB) MQ=(β )∩(SAB) ⇒ ¿ MQ // SB(2) ¿{{ ¿ ¿ ( β) // SB SB⊂(SBC) NP=( β) ∩(SBC) ⇒¿ NP // SB (3) ¿{{ ¿ Từ (2) và (3) ,suy MQ // NP // SB (4) MNPQ là hình thang ¿ OA ⊥ SB MN // OA MQ // NP // SB ¿ Từ (1) và (4) , ta có : MN ⊥ MQ MN ⊥ NP ¿¿⇒{ {{ ¿ Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN b Tính diện tích hình thang theo a và x Ta có : S MNPQ= (MQ+ NP) MN Tính MN : Xét tam giác ABC AB AB BC= ¿ Ta có : cos B= BC cos B ⇒ BC=2 a BO = a ¿ ^B=60 BA=BO Do ¿ ⇒ ¿ Δ ABO ¿{ ¿ S P N B Q M A O C (25) Có MN // AO MN BM BN = = ¿ AO AB BO ¿ ⇒ MN=MB=BN=x ¿ Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB MQ AM SB a = =(a − x ) =a − x MQ=AM SB AB AB a Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB NP CN SB a a− x = =(2 a− x) = NP=CN SB CB CB 2a x (4 a −3 x) = x (4 a −3 x) Do đó : S MNPQ= 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x và 4a 3x x +4 a −3 x ¿ 3x.( 4a 3x) ¿ 4a² a² S MNPQ ≤ a ²= 12 2a Đẳng thức xảy 3x = 4a – 3x x = 2a Vậy : x = thì S MNPQ đạt giá trị lớn Cho hình vuông cạnh a , tâm O Gọi S là điểm ngoài mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x mặt phẳng () qua M song song với SA và BD cắt SO , SB , AB N, P , Q a Tứ giác MNPQ là hình gì ? b Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a và x Tính x để diện tích lớn Giải a Tứ giác MNPQ là hình gì ?: Ta có : SB = SD SBC = SDC (c-c-c) Gọi I là trung điểm SC Xét IBC và IDC S Ta có : IC cạnh chung BC = CD DCI = BCI IBC = IDC IB = ID IBD cân I IO BD Mà OI // SA SA BD ¿ (α ) // BD BD ⊂( ABO) (α )∩( ABO)=MQ Ta có : ¿⇒ ¿ MQ // BD (1) ¿{{ ¿ N I P D A (*) Q B M O C (26) ¿ ( α )// BD BD ⊂(SBO) (α )∩(SBO)=NP Tương tự : ¿ ⇒¿ NP // BD(2) ¿{{ ¿ Từ (1) và (2) , suy MQ // NP // BD (3) ¿ ( α )// SA SA ⊂(SAO) (α )∩(SAO)=MN Mặt khác : ¿ ⇒¿ MN // SA ( 4) ¿{{ ¿ ¿ ( α) // SA SA ⊂(SAB) (α )∩(SAB)=PQ Tương tự : ¿⇒ ¿ PQ // SA (5) ¿{{ ¿ Từ (4) và (5) , suy MN // PQ // SA (6) Từ (3) , (6) và (*), suy MNPQ là hình chữ nhật Vậy : MNPQ là hình chữ nhật b Tính diện tích MNPQ theo a và x: Ta có : S MNPQ =MQ MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : ¿ ^ Α=45 ^ Q=45 ^ Ta có : cân M MQ = AM = x M =90 ¿ ⇒ Δ AQM ¿ {{ ¿ Tính MQ : Xét tam giác SAO : a √2 −x MN OM OM = ¿ ⇒ ¿ MN=AS =a =a − x √ Ta có : MN // SA AS OA OA a √2 S MNPQ =MQ MN=x (a − x √ 2)= x √2(a− x √ 2) √2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x √ x √ 2+ a − x √ ¿ x √ 2(a − x √ 2) ¿ ¿ a² a² a² a² S MNPQ ≤ = ¿⇒ S MNPQ = √2 √ 4 √2 mã và a − x √ (27) Đẳng thức xảy x √ 2=a − x √2 ¿ a a = √ √ M là trung điểm AO ⇔ x= a √2 thì S MNPQ đạt giá trị lớn Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J là trung điểm AB và CD Giả sử AB CD , mặt phẳng () qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD a Tìm giao tuyến () với ( ICD ) và (JAB) b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng () Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật c Tính diện tích thiết diện huình chữ nhật biết IM = IJ Giải A a Tìm giao tuyến () với mặt phẳng ( ICD ): ¿ ( α )// CD G CD ⊂(ICD) Ta có : P M ∈(α )∩(ICD) I ¿{{ F ¿ N giao tuyến là đt qua M và song song M với CD cắt IC L và ID N L ¿ B (α ) // AB H AB ⊂(JAB) Q Tương tự : E M ∈(α )∩(JAB) ¿{{ J ¿ giao tuyến là đt qua M và song song với AB cắt JA P và JB Q C b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng (): ¿ (α )// AB AB ⊂ (ABC) Ta có : L∈(α )∩( ABC) ¿{{ ¿ EF // AB (1) ¿ ( α )// AB AB ⊂ (ABD) Tương tự : N ∈( α )∩(ABD) ¿{{ ¿ HG // AB (2) Từ (1) và (2) , suy EF // HG // AB (3) ¿ (α )// CD CD ⊂(ACD) Ta có : P∈( α )∩(ACD) ¿{{ ¿ FG // CD (4) Vậy : x= D (28) ¿ (α )// CD CD ⊂(BCD) Tương tự : Q∈(α )∩(BCD) ¿{{ ¿ EH // CD Từ (4) và (5) , suy FG // EH // CD Từ (3) và (6) , suy EFGH là hình bình hành Mà AB CD Từ (3) , (6) và (*), suy EFGH là hình chữ nhật c Tính diện tích thiết diện huình chữ nhật biết IM = (5) (6) (*) IJ : Ta có : S EFGH =EF FG=PQ LN Tính LN : Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD ¿ LN IN = ¿ ¿ CD ID (7) Xét tam giác IJD : IN IM = (8) ID IJ LN IM CD b = = ¿⇒ ¿ LN= = Từ (7) và (8), suy CD IJ 3 PQ JM 2 = = PQ= AB= a Tương tự : AB JI 3 ab Vậy : S EFGH = Ta có : MN // JD HAI MẶT THẲNG SONG SONG a M Dạng : Chứng minh () // () : Sử dụng các cách sau : – ¿ a ⊂( α ),b ⊂ (α ) a ∩b=M a //( β ),b // (β) ¿ ⇒ ¿ (α ) //( β ) ¿{{ ¿ b hình a M b (29) – ¿ a ⊂( α ),b ⊂(α ) a ∩b=M c ⊂( β), d ⊂( β) c ∩d =N a // c , b // d ¿ ⇒ ¿ (α ) //( β) ¿{{{{ ¿ hình – ¿ (α ) //(γ ) (β) //(γ ) ¿ ⇒¿( α) // (β ) ¿{ ¿ hình Bài tập : 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC) b Gọi P, Q , R là trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Giải S a Chứng minh : (OMN) // (SBC): Xét tam giác SAC và SDB : ¿ OM // SC R M ON // SB Ta có : ¿ ⇒ ¿(OMN)// (SBC) N P A ¿{ B ¿ b Chứng minh : PQ // (SBC) Q ¿ O OP // AD AD // MN Ta có : D C ¿ ⇒ ¿ OP // MN ¿{ ¿ M, N, P, O đồng phẳng PQ (MNO) ¿ PQ ⊂ (MNO) (MNO) // (SBC) Mà ¿ ⇒¿ PQ // (SBC) ¿{ ¿ Vậy : PQ // (SBC) Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : (30) ¿ MR // AB AB // DC Ta có : ¿ ⇒ ¿ MR // DC ¿{ ¿ Xét tam giác SDB : ta có (1) OR // SD (2) ¿ MR // DC và OR // SD MR ⊂ (MOR )và OR ⊂ (MOR ) Từ (1) và (2) , ta DC ⊂(SCD)và SD ⊂(SCD) ¿ ¿ ⇒ ¿(MOR )// (SCD) ¿{{ ¿ Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng I , J , K là trung điểm các cạnh AB , CD, EF Chứng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) Giải a (ADF)//(BCE): F K E ¿ AD // BC AD ⊄ (BCE) Ta có : BC ⊂(BCE) (1) ¿ ⇒ ¿ AD // (BCE) A I B ¿{{ ¿ ¿ D J C AF // BE AF ⊄(BCE) Tương tự : BE ⊂ (BCE) (2) ¿ ⇒ ¿ AF //(BCE) ¿{ { ¿ Từ (1) và (2) , ta : ¿ AD // (BCE) AF // ( BCE) AD ⊂ (ADF)và AF ⊂( ADF) ¿ ¿⇒ ¿(ADF)// (BCE) ¿{{ ¿ Vậy : (ADF) //( BCE) b (DIK)//(JBE) : ¿ DI // JB IK // BE Ta có : ¿ ⇒ ¿( DIK) // (JBE) ¿{ ¿ Vậy : (DIK)//(JBE) Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác Trên các đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự M ❑1 , N ❑1 Chứng minh : a MN // DE M N // (DEF ) b (31) (MNM1 N 1) //(DEF) Giải a MN // DE : Giả sử EN cắt AB I Xét NIB NEF IB NB = = Ta có : EF NF c I là trung điểm AB và IN = NE (1) N1 Tương tự : Xét MAI MCD MA MI = = Ta có : MC MD IM = (2) I là trung điểm AB và MD IM IN = Từ (1) và (2) , suy MD NE MN // DE Vậy : M N b 1 // (DEF ) : AN IN NN // AI = = Ta có : N F NE Tương tự : MM // AI (4) Từ (3) và (4) , suy E F AN AM1 = = N1 F M1 D M1 N A B I M C D MN // DE (3) AM1 IM = = M D MD M N // DF ¿ M N // DF DF ⊂ (DEF) Ta : ¿ ¿ ⇒ ¿ M N // ( DEF) ¿{ ¿ M N // (DEF ) Vậy : (MNM1 N 1) //(DEF) : c ¿ MN // DE M N // DF Ta có : ¿ ⇒ ¿( MNN1 M 1) // (DEF) ¿{ ¿ (MNM1 N 1) //(DEF) Vậy : Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Trên AB lấy điểm M với AM = x Gọi () là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , và CD N, P, Q a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp Thiết diện là hình gì ? b Tìm quĩ tích giao điểm I MN và PQ M di động trên đoạn AB c Cho = 1v và SA = a Tính diện tích thiết diện theo a và x Tính x để diện tích = SAD 3a Giải a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp: (32) (α ) //(SAD) ¿ ¿ ⇒ ¿ S ( α) // SD Ta có : (α ) // SA ( α) // AD ¿{{ (α ) // SD Với P ¿ (α ) // SD A SD ⊂ (SAD) Có (α )∩(SAD)=PQ ¿ ¿ ⇒ ¿ PQ // SD Q D ¿{ { ¿ Với (α ) // SA ¿ (α) // SA SA ⊂(SAB) Có (α )∩(SAB)=MN ¿ ¿⇒ ¿ MN // SA ¿ {{ ¿ Với (α ) // AD ¿ (α ) // AD AD ⊂(ABCD) Có (1) (α )∩( ABCD)=MQ ¿ ¿ ⇒ ¿ MQ // AD ¿{{ ¿ ¿ BC // MQ BC ⊄(α ) Vì ¿ ¿ ¿ ⇒¿( α )// BC ¿{ ¿ ¿ (α ) // BC BC ⊂(SBC) Có (2) (α )∩(SBC)=PN ¿ ¿ ⇒¿ PN // BC ¿{ { ¿ Từ (1) và (2) , suy : MQ // PN ¿ ⇒¿ MNPQ là hình thang Vậy : MNPQ là hình thang b Tìm quĩ tích giao điểm I MN và PQ M di động trên đoạn AB.: ¿ AB // DC AB ⊂ (SAB) , DC ⊂(SCD) S ∈(SAB)∩(SCD) Ta có : ¿ ⇒ ¿Sx // AB // CD ¿{{ ¿ S I x N M C B (33) ¿ I ∈ PQ ¿ mà¿ PQ ⊂( SCD) I ∈MN ¿ mà¿ MN⊂ (SAB) Mà ¿ ⇒¿ I ∈(SAB)∩(SDC)¿ ⇒ ¿ I ∈ Sx ¿{ ¿ M≡A I≡S Giới hạn quĩ tích : Khi I ≡ S0 M≡B c Tính diện tích thiếtdiện theo a và x : S MNPQ =S IMQ − S INP =S SAD − SINP Ta có : Tính : S SAD Ta có: SAD vuông cân A Do đó : S SAD = a S Tính : INP Xét tam giác SBC , tam giác SBS ❑0 và tam giác SAB NI SN = NI // S B Ta có : (1) S B SB PN SN = PN // BC (2) BC SB AM SN = MN // SA (3) AB SB NI PN AM = = Từ (1) , (2) và (3) , ta S B BC AB INP vuông cân N Do đó : S INP = x 2 2 S MNPQ= a − x = (a − x ) 2 2 3.a 2 a Để S MNPQ = (a − x )= 8 a x 2=a2 − a x 2= a x= NI=PN=AM=x Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M , N thứ tự là trung điểm AB , BC và I , J , K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE) C D Giải Xét tam giác MFC : MI MJ = = Ta có : J MF MC M N IJ // FC (1) Xét hình bình hành MNEF : K I MI NK = = Ta có : B MF NE A IK // FE (2) F E (34) IJ // FC IK // FE (IJK) //(CEF) Từ (1) và (2) , ta Vậy : (IJK) //( CEF) Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 ,G3 là trọng tâm các tam giác ABC , ACD , ADB (G1 G2 G3) //(BCD) a Chứng minh : b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1 G2 G3) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD là S Giải (G1 G2 G3) //(BCD) a Chứng minh : A Gọi M , N , L là trung điểm các cạnh BC , CD và BD AG AG2 AG Ta có : = = = AM AN AL G G // MN ; G G // NL ; G3 G1 // LM 2 ¿ G3 G1 G2 // MN G E G2 G3 // NL G2 G1 MN ⊂(BCD) , NL ⊂( BCD) F ¿ ⇒(G1 G2 G3 )// (BCD) D L B ¿{{ N M ¿ Vậy : (G1 G2 G3) //(BCD) C b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1 G2 G3) : ¿ BC // (G1 G2 G 3) BC ⊂( BCD) Ta có : gt qua G1 // BC cắt AB và AC E và F G1 ∈(G1 G2 G3 )∩(ABC) ¿⇒ ¿{{ ¿ (G G G Tương tự : 3) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD (G1 G2 G3) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC và tam giác ABC AG AF G F // MC Ta có : = = AM AC (1) EF AF = EF // BC (2) BC AC AG EF Từ (1) và (2), ta = = AM BC EF= BC FG= CD Tương tự : GE= BD 2 2 EF+FG +GE= BC+ CD+ GE= (BC+ CD+GE) 3 3 Diện tích thiết diện : S EFG = √( EF+ FG+ GE).( EF+ FG − GE).( EF+ GE −FG ).( FG+GE − EF ) (35) = √(BC+ CD+DB).(BC+ CD− DB).(BC+ DB− CD).(CD+DB − BC) S = BCD S EFG = S BCD Vậy : Cho hai đường thẳng chéo Ax, By Hai điểm M, N di động trên Ax, By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn luôn song song với mặt phẳng cố định Giải A Kẻ Bx’// Ax Trên Bx’ lấy điểm M’ cho AM = BM’ M x ¿ AM // BM ' T a có : AM=BM ' ABM’M là hình bình hành B ¿{ M' x' ¿ MM’//AB (1) BM’N cân B z N Kẻ Bt là phân giác góc x’By M’N Bt (2) t Trong (x’By) , kẻ Bz Bt (3) y Từ (2) và (3) , ta Bz // M’N (4) ¿ MM '// AB Từ (1) và (4) , M ' N // Bz (MNM ') // ( ABz) ¿{ ¿ MN // (ABz) Vậy : MN // (ABz) cố định Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm AB và CD Một mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AD và BC N và M a Cho trước điểm M, hãy trình bày cách dựng điểm N Xét trường hợp đặc biệt M là trung điểm BC A b Gọi K là giao MN và IJ Chứng minh : KM = KN Giải a Hãy trình bày cách dựng điểm N : I Điểm N phải nằm trên giao tuyến (MIJ) và (ACD) , giao tuyến này qua J N J ∈( MIJ)∩(ACD) Ta có : E=MI ∩ AC D Gọi B ¿ K E ∈ MI mà ¿ MI ∈(MIJ) J E ∈ AC mà AC ∈( ACD) M ⇒ E ∈( MIJ) ∩(ACD ) C ¿{ ¿ EJ=( MIJ)∩(ACD) E N=EJ ∩AD Gọi Trường hợp M là trung điểm BC: Nếu M là trung điểm BC IM // AC (IMJ ) // AC (IMJ ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC b Chứng minh : KM = KN Do I , J là trung điểm AB ,CD (36) có thể dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng song song Áp dụng định lí Talet không gian MK BI = =1 ¿ ⇒ MK=KN Ta : KN IA MK=KN Vậy : HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH HỘP Bài tập : 1.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ và các điểm M , N thuộc các cạnh AB , DD’ ( M, N không trùng với các đầu mút A,B ,D ,D’ các cạnh ) Hãy xác định thiết diện hình hộp bị cắt : a Mặt phẳng (MNB) & Các thiết diện là hình g ì ? b Mặt phẳng (MNC) & Các thiết diện là hình g ì ? A D c Mặt phẳng (MNC’) Giải M a Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNB) : Ta có : (MNB) (AA’B’B)= MB=BA (MNB) (AA’D’D) = AN (MNB) (DD’C’C) = NL (trong đó L = x CC’, L x // DC , x qua N ) (MNB) (BB’C’C) = LB thiết diện là tứ giác ABLN m ặt kh ác NL //= DC DC //= AB NL //= AB nên thiết diện ABLN l à h ình b ình h ành b Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC) : T ơng T ự Ta có : (MNC) (BB’C’C)= BC (MNC) (CC’D’D) = CN (MNC) (DD’A’A) = NI (trong đó I = y AA’, I y // AD , y qua N ) (MNC) (BB’A’A) = IB thiết diện là tứ giác BCNI m ặt kh ác NI //= AD AD //= BC NI //= BC nên thiết diện BCNI l à h ình b ình h ành c Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC’) : Gọi C’N DC = K Nối KM AD = P KM BC = R Kẻ RC’ Cắt BB’ Q Ta có : (MNC’) ( DD’C’C) = C’N (MNC’) ( DD’A’A) = NP (MNC’) ( ABCD) = PM (MNC’) ( AA’B’B) = MQ N B C L A' D' B' C' (37) (MNC’) ( BB’C’C) = QC’ (MNC’) ( A’D’C’B’) = C’ thiết diện là tứ giác NPMQC’ (38)