Bài tập tọa độ không gian oxyz mức độ VD có đáp án chi tiết

Cách 2 (áp dụng tính chất hình học về góc giữa hai mặt phẳng lớn hơn góc giữa một đường thẳng n ằm trong mặt này so với mặt kia).. M ặ t ph ẳ ng ch ứa đườ ng th ẳ ng nên suy ra góc.[r]

(1)

Phần 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Câu 1: [2H3-1.1-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(5;3; 1− ), B(2;3; 4− ) (1; 2; 0)

C Tọa độđiểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB

A (6; 4; 5− ) B (4; 6; 5− ) C (6; 5; 4− ) D (−5; 6; 4) Hướng dẫn giải

Chọn A

Phương trình đường thẳng AB: ( )

3

x t

y t

z t

= + 

 = ∈



 = − + 



Gọi C1(5 ;3; 3+ t − + t) hình chiếu vng góc C lên đường thẳng AB Ta có: CC1 =(4 ;1; 3+ t − + t)

Khi đó: CC1⊥BA

 

1

CC BA

⇔ = ⇔3 3( + t) (+ − +3 3t)=0 t

⇔ = − Hay 1 7;3;

2

C  − 

 

Điểm D đối xứng với C qua đường thẳng AB ⇒C1 trung điểm CD⇒D(6; 4; 5− )

Câu 2: [2H3-1.1-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp Biết tọa độ đỉnh , , , Tìm tọa độđiểm hình hộp

A B C D.

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi A x y z′( 1; 1; 1), C x y z′( 2; 2; 2)

Tâm hình bình hành A B C D′ ′ ′ ′ 1;3;5

2

I 

 

Do I trung điểm A C′ ′ nên

1

x x

y y

z z

+ = 

 + = 

 + = 

Ta có AC =(7; 0; 1− ) A C′ ′ =(x2−x y1; 2−y z1; 2−z1)

Oxyz ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ ( 3; 2;1)

A − C(4; 2; 0) B′ −( 2;1;1) D′(3;5; 4) A′

( 3;3;1)

A′ − A′ − −( 3; 3;3) A′ − − −( 3; 3; 3) A′ −( 3;3;3)

D/

C/

B/

A/

D

C B

(2)

Do ACC A′ ′ la hình bình hành nên 2 x x y y z z − =   − =   − = − 

Xét hệphương trình:



2

1

7

x x x

+ = = −

 

⇔  − =  =

  

1

2

6

0

y y y

+ = =

 

⇔

 − =  =

  

1

2

5

1

z z z

+ = =

 

⇔  − = −  =

 

Vậy A′ −( 3;3;3) Cách khác

Gọi I trung điểm AC 1; 2;1

2

I 

⇒  

Gọi I′ trung điểm B D′ ′ 1;3;5

2

I′ 

⇒  

Ta có  AA′=II′⇒A′(−3;3;3)

Câu 3: [2H3-1.1-4] Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     có điểm A

trùng với gốc tọa độ, B a ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; D a  A b với a0, 0b Gọi M trung điểm cạnh

CC Giả sử a b 4, giá trị lớn thể tích khối tứ diện A BDM bằng: A 64

27 B

128

27 C

128

9 D

27 Hướng dẫn giải

Chọn A

Từ giả thiết, suy

        ; ;0 ' ;0; ; ; ' 0; ;

' ; ;

C a a

B a b b

M a a D a b

C a a b

                  Ta có  

   2

' ;0;

3 ' 0; ; ' , ' ; ; ' , ' '

2 ; ;

2

A B a b

a b

A D a b A B A D ab ab a A B A D A M

b AM a a

                                        

Thể tích khối tứ diện

2 ' ' , ' ' A MBD a b V    A B A D A M  Do a b, 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta

2

3

1 1 64

4

2 27

a b a a b a b a b

        Suy max ' 64

27

A MBD

V 

Câu 4: [2H3-1.2-3]Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 0; 2− ) mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 25

(3)

A 8 B 4 C 6 D 10 Lời giải

Chọn A

Mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 25

S x− + y+ + +z = có tâm I(1; 2; ;− − ) R=5 Ta có : AI = < =3 R Nên điểm A năm mặt cầu

Gọi H hình chiếu I đường thẳng d

Trong tam giác vuông ∆IAH và∆IHMTa có: ; 2

IH ≤IA MN=HM = IM −IH Do để MNminthì

2

ax 2

M

IH ⇒IH =IA⇒MN = HM = IM −IA =

Câu 5: [2H3-1.2-3] Trong không gian Oxyz cho điểm M(2; 2; 5− − ) đường thẳng

( ) 1

:

2 1

x y z

d − = + =

− Biết N a b c( ; ; ) thuộc ( )d độ dài MN ngắn Tổng a b c+ + nhận

giá trịnào sau đây?

A B 3 C 2 D 4

Lời giải Chọn C

( ) (1 ; ; ) N∈ d ⇒N + t − + −t t

( ) (2 ) (2 )2 ( )2

2 1 21 21

MN = t− + +t + −t = t− + ≥

MN

⇒ ngắn 21 t=1khi N(3; 0; 1− )⇒ + + = + − =a b c

Câu 6: [2H3-1.2-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(2;1;3); (0; 1; 1)

B − −

; C(− −1; 2; 0); D′(3; 2;1− ) Tính thể tích hình hộp

A 24 B 12 C 36 D 18 Hướng dẫn giải

Chọn A

M

N A

(4)

Ta có BA=(2; 2; 4); BC= − −( 1; 1;1)

( )

; 6; 6; BA BC

  = −

  ⇒SABCD =  BA BC;  = 62+ −( )6 =6

Mặt phẳng (ABCD) qua điểm A(2;1;3) có vectơ pháp tuyến  BA BC;  = (6; 6; 0− ) có phương trình: 6(x− −2) (6 y− +1) (0 z− = ⇔ − − =3) x y

( )

( ) ( )

( )2

3

; 2

1

h=d D′ ABCD = − − − =

+ −

Vậy thể tích hình hộp V =SABCD.h=6 2.2 =24

Câu 7: [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(2;1;3); (0; 1; 1)

B − −

; C(− −1; 2; 0); D′(3; 2;1− ) Tính thể tích hình hộp

A 24 B 12 C 36 D 18 Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có BA=(2; 2; 4); BC= − −( 1; 1;1)

( )

; 6; 6; BA BC

  = −

(5)

Mặt phẳng (ABCD) qua điểm A(2;1;3) có vectơ pháp tuyến  BA BC;  = (6; 6; 0− ) có phương trình: 6(x− −2) (6 y− +1) (0 z− = ⇔ − − =3) x y

( )

( ) ( )

( )2

3

; 2

1

h=d D′ ABCD = − − − =

+ −

Vậy thể tích hình hộp V =SABCD.h=6 2.2 =24

Câu 8: [2H3-1.2-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm A(−2; 2; ,− ) (B 3; 3;3− ) M điểm thay đổi không gian thỏa mãn

3 MA

MB= Khi độ dài OM lớn bằng?

A 12 B 6 C 5

2 D 5

Lời giải Chọn A

Gọi M x y z( ; ; ) Ta có:

( ) (2 ) (2 )2 ( ) (2 ) (2 )2

2

9 2 3

3 MA

MA MB x y z x y z

MB

   

= ⇔ = ⇔  + + − + + =  − + + + − 

2 2

12 12 12

x y z x y z

⇔ + + + − + = ⇒M∈ mặt cầu ( )S tâm I(−6; 6; 6− ) bán kính R=6 Khi OMmax =d O I( ; )+R =OI+ =R 3+6 3=12

Câu 9: [2H3-1.2-3]Cho tam giác ABC với A(1; 2; 1− ), B(2; 1; 3− ), C(−4; 7; 5) Độ dài phân giác ∆ABC kẻ từđỉnh B

A 2 74

5 B

2 74

3 C

3 73

3 D 2 30

Giải Chọn B

(6)

Ta có

( )

2

1 11 74

2

2 3

2 1

a

a a

BA AD

AD CD b b b BD

BC CD

c c c

 = −  − = − −

 

 

= = ⇒ = − ⇒ − = − + ⇔ = ⇒ =  + = − + 

  =



 

Câu 10: [2H3-1.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A0;0;0 , 0;1;1 , 1;0;1 B  C  Xét điểm D thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ diện ABCD tứ diện Kí hiệu D x y z 0; ;0 0 tọa độ điểm D Tổng x0y0 bằng:

A 0 B 1 C 2. D 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Tính ABBCCA

Do DOxyD x y 0; ;00  Yêu cầu toán

2

DA

DA DB DC DB

DC

         

  

 

2 2 2

0 0 0

2

0 0 0

0 2

2

0

2 2

1

1 1

1

x y x y

x

x y x y x y

y

x y

   

   

 

   

  

             

  

    

      

Câu 11: [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 4), điểm M nằm mặt phẳng (Oxy) M ≠O Gọi D hình chiếu vng góc O lên AM E trung điểm

OM Biết đường thẳng DE tiếp xúc với mặt cầu cốđịnh Tính bán kính mặt cầu A R=2 B R=1 C R=4 D R=

Hướng dẫn giải Chọn A

Ta có tam giác OAM vuông O

Gọi I trung điểm OA (Điểm I cốđịnh) Ta có tam giác ADO vng D có ID đường trung tuyến nên 1( )

2 ID= OA=

Ta có IE đường trung bình tam giác OAM

nên IE song song với AM mà OD⊥ AM ⇒OD⊥IE Mặt khác tam giác EOD cân E Từđó suy

IE đường trung trực OD

Nên DOE   =ODE IOD; =IDO⇒IDE =IOE= ° ⇒90 ID⊥DE ( )2 Vậy DE tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính

2 OA R= =

Câu 12: [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ trục , cho hình chóp có , ,

ể ố

Oxyz S ABC S(2; 2; 6) A(4; 0; 0)

( ) ( )

A

M D

E I

(7)

A B C D Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có , vng

,

Mà , , thuộc mặt phẳng suy

Vậy thể tích

Câu 13: [2H3-1.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình lăng trụ đứng có , , , vng góc với Thể tích khối tứ diện

A B C D

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi

Ta có: hình lăng trụ nên

Suy ra: ,

Do vng góc với nên

Vì nên Vậy Thể tích khối tứ diện

Câu 14: [2H3-1.3-3]Cho tam giác ABC với A(1; 2; 1− ), B(2; 1;3− ), C(−4; 7;5) Độ dài phân giác ∆ABCkẻ từđỉnh B là:

A 2 74

5 B

2 74

3 C

3 73

3 D 2 30 Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi D a b c( ; ; ) chân đường phân giác kẻ từđỉnh B Ta có

48 16 24

(0; 4; 0)

BA= −



( 4; 0; 0)

BC= − ⇒BA BC= ⇒ ∆ABC

  

B

4

BA= BA = 1.4.4

ABC

BC= BC = ⇒S = =

(4; 0; 0)

A B(4; 4; 0) C(0; 4; 0) (Oxy):z=0

( )

( , ) ( ,( ))

d S ABC =d S Oxy = ( ( ))

1

, 6.8 16

3

S ABC ABC

V = d S ABC S = =

Oxyz ABC A B C 1 1 1

(0; 0; 0)

A B(2; 0; 0) C(0; 2; 0) A1(0; 0;m) (m>0) A C1 BC1

1

A CBC

3

8

3

( )

1 ; ; C x y z

1 1

ABC A B C  AA1=CC1

0 x

y

z m

=   ⇔ − =

 = 

0 x y

z m

=   ⇔ =

 = 

( )

1 0; 2;

C m

⇒

( )

1 0; 2;

A C= −m



( )

1 2; 2;

BC = − m



1

A C BC1

1

2

2 m

A C BC m

m =  = ⇔ − = ⇔ 

= −   

0

m> m=2 A1(0; 0; 2)

1

A CBC

1 1 1

1 1

3 3

A CBC ABC A B C

(8)

( )

2

1 11 74

2

2 3

2 1

a

a a

BA AD

AD CD b b b BD

BC CD

c c c

 = −  − = − −

 

 

= = ⇒ = − ⇒ − = − + ⇔ = ⇒ =  + = − + 

  =



 

Câu 15: [2H3-1.3-3]Cho tam giác ABC với A(1; 2; 1− ), B(2; 1;3− ), C(−4; 7;5) Độ dài phân giác ∆ABCkẻ từđỉnh B là:

A 2 74

5 B

2 74

3 C

3 73

3 D 2 30

Chọn B

Gọi D a b c( ; ; ) chân đường phân giác kẻ từđỉnh B Ta có ( )

( )

2

1 11 74

2

2 3

2 1

a

a a

BA AD

AD CD b b b BD

BC CD

c c c

 = −  − = − −

 

 

= = ⇒ = − ⇒ − = − + ⇔ = ⇒ =  + = − + 

  =



 

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Câu 16: [2H3-2.2-3] Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;1;1), vng góc với hai mặt phẳng

( )α :x+ − − =y z 0, ( )β :x− + − =y z

A y+ − =z B x+ + − =y z 0

C x−2y+ =z D x+ − =z Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi ( )P mặt phẳng cần tìm Ta có: nP =n n α; β=(0; 2; 2), Phương trình ( )P :y+ − =z

Câu 17: [2H3-2.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm (1; 2;3)

M − vng góc với hai mặt phẳng ( )P : 2x− − − =y z 0, :( )Q x− + − =y z

A 2x+3y+ − =z B x+3y+2z+ =1 C x+3y+2z− =1 D 2x+3y+ + =z Hướng dẫn giải

Chọn D

( )P có vtpt n1=(2; 1; 1− − ), ( )Q có vtpt n2 =(1; 1;1− )

(9)

Phương trình mặt phẳng cần tìm −2(x− −1) (3 y+ − − = ⇔2) (z 3) 2x+3y+ + =z

Câu 18: [2H3-2.2-3] Viết phương trình mặt phẳng qua A(1;1;1), vng góc với hai mặt phẳng

( )α :x+ − − =y z 0, ( )β :x− + − =y z

A y+ − =z B x+ + − =y z 0

C x−2y+ =z D x+ − =z Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi ( )P mặt phẳng cần tìm Ta có: nP =n n α; β=(0; 2; 2), Phương trình ( )P :y+ − =z

Câu 19: [2H3-2.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua điểm (1; 2;3)

M − vng góc với hai mặt phẳng ( )P : 2x− − − =y z 0, :( )Q x− + − =y z

A 2x+3y+ − =z B x+3y+2z+ =1 C x+3y+2z− =1 D 2x+3y+ + =z Hướng dẫn giải

Chọn D

( )P có vtpt n1=(2; 1; 1− − ), ( )Q có vtpt n2 =(1; 1;1− )

Vì mặt phẳng vng góc với ( )P ( )Q nên có vtpt n  = ∧n1 n2 = − − −( 2; 3; 1)

Phương trình mặt phẳng cần tìm −2(x− −1) (3 y+ − − = ⇔2) (z 3) 2x+3y+ + =z

Câu 20: [2H3-2.3-3]Cho điểm , gọi hình chiếu Mặt phẳng song song với mp có phương trình

A B.

C. D.

Chọn D

Ta có

Câu 21: [2H3-2.3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), (0;12; 4)

C Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz)

A ( )S :x2+y2+z2−8y−2z=0 B ( )S :x2+y2+z2−4x−6z−64=0

C ( )S :x2+y2+z2−12y−2z− =8 D ( )S :x2+y2+z2−14y−10z+48=0 Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt cầu ( )S cần lập có tâmI thuộc (Oyz) ⇒I(0; ;b c) nên ( )S có phương trình dạng:

(–3; 2; 4)

M A B C, , M Ox Oy Oz, ,

(ABC)

4 – – 3x y z+12=0 – – 4x y z+12=0

6 – – – 12x y z =0 – – – 12x y z =0

(–3; 0; 0) (, 0;2; 0) (, 0; 0; 4)

A B C ( ): 12

3

x y z

ABC x y z

⇒ + + = ⇔ − − + =

(10)

2 2

2

x +y +z − by− cz+ =d

Vì ( )S qua A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), C(0;12; 4) nên ta có hệ:

16 64

12 56

24 160 48

b d b

b c d c

b c d d

− + = − =

 

− − + = − ⇔ =

 

− − + + −  =

 

⇒ phương trình ( )S :x2+y2+z2−14y−10z+48=0

Câu 22: [2H3-2.3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), (0;12; 4)

C Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (Oyz)

A ( )S :x2+y2+z2−8y−2z=0 B ( )S :x2+y2+z2−4x−6z−64=0

C ( )S :x2+y2+z2−12y−2z− =8 D ( )S :x2+y2+z2−14y−10z+48=0 Hướng dẫn giải

Chọn D

Mặt cầu ( )S cần lập có tâmI thuộc (Oyz) ⇒I(0; ;b c) nên ( )S có phương trình dạng:

2 2

2

x +y +z − by− cz+ =d

Vì ( )S qua A(0;8; 0), B(−4; 6; 2), C(0;12; 4) nên ta có hệ:

16 64

12 56

24 160 48

b d b

b c d c

b c d d

− + = − =

 

− − + = − ⇔ =

 

− − + + −  =

 

⇒ phương trình ( )S :x2+y2+z2−14y−10z+48=0

Câu 23: [2H3-2.4-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình 2x−2y−3z=0 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua hai điểm H(1; 0; 0) K(0; 2; 0− ) biết ( )Q vng góc ( )P

A ( )Q : 6x+3y+4z+ =6 B ( )Q : 2x− +y 2z− =2

C ( )Q : 2x− +y 2z+ =2 D ( )Q : 2x+ +y 2z− =2 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Vì mặt phẳng ( )Q qua hai điểm H(1; 0; 0), K(0; 2; 0− )và ( )Q vuông góc ( )P nên mặt phẳng nhận n( )Q = HK n,( )P làm véctơ pháp tuyến

Ta có

( )

( ) ( )

1; 2; 2; 2;

P

HK n

= − − = − − 

 ⇒n( )Q =HK n, ( )P =(6; 3; 6− ) (=3 2; 1; 2− )



(11)

Phương trình mặt phẳng ( )Q qua H(1; 0; 0)có véctơ pháp tuyến n( )Q =(2; 1; 2− ) ( )

2 x− − +1 y 2z= ⇔0 2x− +y 2z− =2

Câu 24: [2H3-2.4-3] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng qua hai điểm , vng góc với mặt phẳng Tính tổng

A B C D

Chọn D.

vuông góc với mặt phẳng

Giải hệ:

Câu 25: [2H3-2.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng : 1

2

x y z

d − = − = +

−

điểm A(1;3; 1− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d qua A

A 2x− + − =y z 0. B x+ +y 5z+ =1 C x+ − =y 0. D x− − + =y z 0.

Lời giải Chọn B

Ta có d qua M(3;1; 1− ) có vtcp u=(2;3; − ) ( 2; 2; )

MA= −



( )P có vtpt , (1;1;5 )

2 

=  =

 

n u MA

Phương trình ( )P : x+ +y 5z+ =1

Câu 26: [2H3-2.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) đường thẳng :

1 1

x y z d = =

− Lập phương trình mặt phẳng chứa điểm M d

A 5x+2y−3z=0 B 2x+3y−5z=0 C 2x+3y−5z+ =7 0 D 5x+2y−3z+ =1 0

Đường thẳng d có véc-tơ chỉphương u=(1; 1; 1− ), lấy O∈d Ta có OM=(1; 2; 3)

Oxyz ( )P :ax by cz+ + −27=0

(3; 2;1)

A B(−3;5; 2) ( )Q : 3x+ + + =y z S = + +a b c

2

S = − S =2 S = −4 S = −12

(3; 2;1) ( ): 27 27 1( )

A ∈ P ax by cz+ + − = ⇒ a+ b c+ − =

( 3;5;2) ( )P :ax by cz 27 27 0( )2 B − ∈ + + − = ⇒ − +a b+ c− =

( )P :ax by cz+ + −27=0 ( )Q : 3x+ + + =y z ( )

3

p q

n n  = a b c+ + =

( ) ( ) ( )

3 27 6

3 27 27 12

45

3

a b c a

a b c b a b c

c a b c

+ + − =

  =

− + + − = ⇒ = ⇒ + + = −

 

 + + =  = −

(12)

Gọi n ≠0 véctơ pháp tuyến mặt phẳng cần tìm.Vì n u u OM, ( 5; 2; 3)

n OM

 ⊥

 = = − −

  

⊥ 

 

   

Mặt phẳng chứa điểm M d có phương trình : 5x+2y−3z=0

Câu 27: [2H3-2.5-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

2 1

x y z

d + = = −

− điểm

(0; 1;3)

A − Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm A chứa đường thẳng d A ( )P :x+3y+ =z B ( )P :x+4y+2z− =2

C ( )P : 2x+3y− + =z D ( )P :x+3y+ − =z Hướng dẫn giải

Chọn A

Lấy B(−1; 0;1) ( )∈ d

( 1;1; 2)

AB= − −



Đường thẳng ( )d có VTCP ud =(2; 1;1− ) Vậy ( )P có VTPT  AB u, d = (1;3;1)

PTMP ( ) (P :1 x− +0) (3 y+ +1) (1 z− = ⇔ +3) x 3y+ =z

Câu 28: [2H3-2.4-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình 2x−2y−3z=0 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua hai điểm H(1; 0; 0) K(0; 2; 0− ) biết ( )Q vng góc ( )P

A ( )Q : 6x+3y+4z+ =6 B ( )Q : 2x− +y 2z− =2

C ( )Q : 2x− +y 2z+ =2 D ( )Q : 2x+ +y 2z− =2 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Vì mặt phẳng ( )Q qua hai điểm H(1; 0; 0), K(0; 2; 0− )và ( )Q vng góc ( )P nên mặt phẳng nhận n( )Q = HK n,( )P làm véctơ pháp tuyến

Ta có

( )

( ) ( )

1; 2; 2; 2;

P

HK n

= − − = − − 

 ⇒n( )Q =HK n, ( )P =(6; 3; 6− ) (=3 2; 1; 2− )



 

Phương trình mặt phẳng ( )Q qua H(1; 0; 0)có véctơ pháp tuyến n( )Q =(2; 1; 2− )

( )

(13)

Câu 29: [2H3-2.4-3] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng qua hai điểm , vng góc với mặt phẳng Tính tổng

A B C D

Chọn D.

vng góc với mặt phẳng

Giải hệ:

2

x y z

d − = − = +

−

MA= − 

( )P có vtpt , (1;1;5 )

2 

=  =

 

n u MA

1 1

x y z d = =

Đường thẳng d có véc-tơ chỉphương u=(1; 1; 1− ), lấy O∈d Ta có OM=(1; 2; 3)

n OM

 ⊥

 = = − −

  

⊥ 

 

   

Oxyz ( )P :ax by cz+ + −27=0

(3; 2;1)

A B(−3;5; 2) ( )Q : 3x+ + + =y z S = + +a b c

2

S = − S =2 S = −4 S = −12

(3; 2;1) ( ): 27 27 1( )

A ∈ P ax by cz+ + − = ⇒ a+ b c+ − =

( 3;5;2) ( )P :ax by cz 27 27 0( )2 B − ∈ + + − = ⇒ − +a b+ c− =

( )P :ax by cz+ + −27=0 ( )Q : 3x+ + + =y z ( )

3

p q

n n  = a b c+ + =

( ) ( ) ( )

3 27 6

3 27 27 12

45

3

a b c a

a b c b a b c

c a b c

+ + − =

  =

 

− + + − = ⇒ = ⇒ + + = −

 

 + + =  = −

(14)

2 1

x y z

d + = = −

− điểm

(0; 1;3)

Chọn A

Lấy B(−1; 0;1) ( )∈ d

( 1;1; 2)

AB= − −



PTMP ( ) (P :1 x− +0) (3 y+ +1) (1 z− = ⇔ +3) x 3y+ =z

2

x y z

d − = − = +

−

MA= − 

( )P có vtpt , (1;1;5 )

2 

=  =

 

n u MA

1 1

x y z d = =

(15)

n OM

 ⊥

 = = − −

  

⊥ 

 

   

2 1

x y z

d + = = −

− điểm

(0; 1;3)

Chọn A

Lấy B(−1; 0;1) ( )∈ d

( 1;1; 2)

AB= − −



PTMP ( ) (P :1 x− +0) (3 y+ +1) (1 z− = ⇔ +3) x 3y+ =z

Câu 36: [2H3-2.7-3]Mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng có phương trình

A B. C. D.

Chọn C

Ta có có

Câu 37: [2H3-2.7-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

2

x y z

d − = = +

− − mặt

phẳng ( )P :x+ − + =y z Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa đường thẳng ( )d vng góc với mặt phẳng ( )P

A 3x+ +y 4z-1=0 B 3x− +y 4z 1+ =0 C 3x+ +y 4z 1+ =0 D x+3y+4z 1+ =0

Ta có (2; 2; 1) , (3; 4;1) (1;1; 1)

d

d P P

u

n u n

n α

 = − −

 ⇒ = =

  

= −

 

  



( )P : 1

2

x y z

d − = = +

( ) : 2Q x+ − =y z –

x+ y = x−2y+ =z x−2 – 0y = x+2y+ =z

(2;1;3) (2;1; 1)

d

Q

u n  =

 ⇒



= −

 

 ( )P ( )

( )

, 4;8; qua 1; 0;

P d Q

n u n

M

 = = −

  



− 

  

( )P :x 2y

(16)

Mà d⊂( )α nên ( )α qua điểm M(1; 0; 1)− ⇒( )α : 3x+ +y 4z+ =1

Câu 38: [2H3-2.7-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

2

x y z

d − = = +

− − mặt phẳng ( )P :x+ − + =y z Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa đường thẳng ( )d vng góc với mặt phẳng ( )P

A 3x+ +y 4z-1=0 B 3x− +y 4z 1+ =0 C 3x+ +y 4z 1+ =0 D x+3y+4z 1+ =0

Ta có (2; 2; 1) , (3; 4;1) (1;1; 1)

d

d P P

u

n u n

n α

 = − −

 ⇒ = =

  

= −

 

  



Mà d⊂( )α nên ( )α qua điểm M(1; 0; 1)− ⇒( )α : 3x+ +y 4z+ =1

Câu 39: [2H3-2.8-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x−2y+ − =z Viết phương trình mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )P , cách ( )P khoảng cắt trục Ox điểm có hồnh độdương

A ( ) : 2Q x−2y z+ + =4 B. ( ) : 2Q x− + − =2y z 14

C ( ) : 2Q x− + − =2y z 19 D ( ) : 2Q x−2y+ − =z Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có ( ) ( ) ( )Q  P ⇒ Q : 2x−2y+ − =z m (m≠5)

( )Q cắt Ox điểm có hồnh độdương nên :m>0

Theo đề : d M( ,( )P )=d(( ) ( )P , Q )=3 ( ) ( )

5

14

m l

m

m n

 = −

⇒ − = ⇔ 

=



Phương trình mặt phẳng ( )P : 2x−2y+ −z 14=0

Câu 40: [2H3-2.8-3] Mặt phẳng ( )Q song song ( )P :x+2y+2z− =1 cắt mặt cầu

2 2

( ) : (S x−1) +y + −(z 3) =6 theo giao tuyến đường trịn có diện tích2π Biết ( )Q có dạng− +x ay+bz+ =c 0, giá trị c là:

A hoặc13 B −1 hoặc13 C −13 D 13 Hướng dẫn giải

ChọnD

(17)

Tâm I(1; 0;3)bán kính R=IA=

Diện tích hình trịn S =πr2 =2π ⇒ =r

Ta có 2

2 ( ; ( )) 2

3 d

IH = R −r = ⇒d I Q = ⇔ + + + =

( ) ( )

2 2 13

1 :

13 :

d Q

d

x y z

Q = − ⇒ 

⇒  = −

+ + − = + + − = ⇒



so với điều kiện nên ( )Q :x+2y+2z−13=0hay ( )Q :−x−2y−2z+13=0 Theo giải thiết ta chọn D

Câu 41: [2H3-2.8-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S mặt phẳng

( )P có phương trình lần lượt ( )S : 2

2 11

x +y + −z x+ y− z− = ( )P :

2x+2y− +z 17=0 Viết phương trình mặt phẳng ( )Q song song với mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo một giao tuyến đường trịn có chu vi bằng 6π

A ( )Q : 2x+2y− =z 0 B ( )Q : 2x+2y− + =z 0

C ( )Q : 2x+2y− + =z 0 D ( )Q : 2x+2y− − =z 0

Hướng dẫn giải: Chọn D

B A

H I

r R h

(18)

Ta có:

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3− ) có bán kính R=5 Bán kính đường tròn thiết diện:

2 r π

π

= =

Khoảng cách từ mặt phẳng đến tâm mặt cầu h= R2−r2 =4 Phương trình mặt phẳng ( )Q có dạng: 2x+2y− + =z c 17(c≠ ) Ta có: ( ( )) ( )

2 2

2.1 2

; 4

3 2

c c

d I Q = ⇔ + − − + = ⇔ − =

+ +

5 12 17

c c c

⇔ − = ⇔ = (lo¹i)∨ = −

Vậy phương trình mặt phẳng ( )Q thỏa mãn yêu cầu toán là: 2x+2y− − =z

Câu 42: [2H3-2.8-3]Trong không gian cho hai điểm Viết phương trình mặt phẳng qua điểm cho khoảng cách từđiểm đến mặt phẳng lớn

A B

C D

Ta có Do khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớn xảy Như mặt phẳng cần tìm mặt phẳng qua điểm vng góc với Ta có véctơ pháp tuyến

Vậy phương trình mặt phẳng : hay

Câu 43: [2H3-2.8-3]Trong không gian cho hai điểm Viết phương trình mặt phẳng qua điểm cho khoảng cách từđiểm đến mặt phẳng lớn

A B

C D

Ta có Do khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng lớn xảy Như mặt phẳng cần tìm mặt phẳng qua điểm vng góc với Ta có véctơ pháp tuyến

Vậy phương trình mặt phẳng : hay

Câu 44: [2H3-2.8-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )Q :x−2y+4z− =1 cách điểm M(−1;3;1) khoảng A ( )P :x−2y+4z− +3 21=0 hay ( )P :x−2y+4z− −3 21=0

( ) − + + + = ( ) − + + − =

,

Oxyz A(2;1; ,− ) B(−1; 0; 3)

( )P A B ( )P

3x+ −y 5z−17=0 2x+5y+ − =z

5x−3y+2z− =3 2x+ −y 2z− =9

( ) ( , )

d B P ≤ AB B ( )P

( )

( , )

d B P = AB ⇔ AB⊥( )P ( )P A

AB AB=(3;1; 5− ) ( )P

( )P 3(x−2) (+ y− −1) (5 z+2)=0 3x+ −y 5z−17=0

,

Oxyz A(2;1; ,− ) B(−1; 0; 3)

( )P A B ( )P

3x+ −y 5z−17=0 2x+5y+ − =z

5x−3y+2z− =3 2x+ −y 2z− =9

( ) ( , )

d B P ≤ AB B ( )P

( )

( , )

d B P = AB ⇔ AB⊥( )P ( )P A

AB AB=(3;1; 5− ) ( )P

(19)

C ( )P :x−2y+4z+ =5 hay ( )P :x−2y+4z+ =1

D ( )P :x−2y+4z+ +3 13=0 hay ( )P :x−2y+4z+ −3 13=0 Hướng dẫn giải

Chọn B

( )P có dạng: ( )P :x−2y+4z+ =c 0(c≠ −1) ( )

( ) 42 2 2 ,

21

c c

d M P = − − + + = −

+ +

( )

, 21

21 c

d M P = = − ⇒ − =c

3 21 21

3 2 c

c

c  = + − = ⇔ 

= −



Câu 45: [2H3-2.9-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x− y z−

∆ = =

điểm M(2;5;3) Mặt phẳng ( )P chứa ∆ cho khoảng cách từ M đến ( )P lớn

A x−4y− + =z B x+4y+ − =z C. x−4y+ − =z D x+4y− + =z

Gọi Ilà hình chiếu vng góc M(2;5;3) ∆, Hlà hình chiếu vng góc M mặt phẳng ( )P

Ta có MH =d M( ,( )P )≤MI Do MHđạt giá trị lớn H ≡I, mặt phẳng ( )P quaIvà vng góc với MI

(1 ; ; 2 ,) ( ; ; ) I∈ ∆ ⇒I + t t + t MI= − + t − + − +t t

( ) ( )

2 2 MI ⊥ ∆ ⇔MI u ∆ = ⇔ t− + − +t t− = ⇔ =t

Mặt phẳng ( )P qua I(3;1; 4)có vectơ pháp tuyến MI=(1; 4;1− ) Phương trình mặt phẳng ( )P : x−4y+ − =z

M

(20)

Câu 46: [2H3-2.9-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0; 1− ), B(3; 1; 2− − ),

(6; 2;3)

C − , D(0;1;6) Hỏi có mặt phẳng qua hai điểm C, D cách hai điểm A, B ?

A 1 mặt phẳng B. 2 mặt phẳng

C 4 mặt phẳng D có vơ số mặt phẳng

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi ( )P mặt phẳng qua hai điểm C, Dvà cách hai điểm A, B Có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán

TH1: Mặt phẳng ( )P qua hai điểm C, Dvà song song với đường thẳng chứa hai điểm A, B

TH2: Mặt phẳng ( )P qua hai điểm C, Dvà qua trung điểm đoạn thẳng AB

(2; 1; ,) (5; 2; ,) ( 1;1; 7)

AB= − − AC= − AD= −

  

Ta có   AB AC AD,  = ⇒0 A B C D, , , đồng phẳng

Lại có CD= −( 6;3;3) / /

AB − CD AB CD

⇒= ⇒ nên có vơ số mặt phẳng

Câu 47: [2H3-2.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A6;0;0, B0;6;0, C2;1;0

4;3; 2

D  Hỏi có mặt phẳng qua hai điểm A B, cách hai điểm C D, ?

A 1 B 2 C 4 D Vô số

Kiểm tra ta bốn điểm A B C D, , , không đồng phẳng nên tạo thành tứ diện ● Mặt phẳng thứ qua hai điểm A B, song song với CD

● Mặt phẳng thứhai qua hai điểm A B, trung điểm CD

Câu 48: [2H3-2.10-4]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song cách đường thẳng 1:

1 1

x y z

d − = =

− ,

1

:

2 1

x y z

d = − = −

− −

A ( )P : 2y−2z− =1 B ( )P : 2x−2y+ =1

C ( )P : 2x−2z+ =1 D. ( )P : 2y−2z+ =1

A B

C

D

A

B C

(21)

Do ( )P cách hai đường thẳng nên d1/ /( )P d, 2 / /( )P

Gọi a1 = −( 1;1;1) VTCP d1, a2 =(2; 1; 1− − ) VTCP d2suy a a 1, 2 = (0;1; 1− ) VTPT mặt phăng ( )P loại đáp án B C

Lấy M(2; 0; 0)∈d , N1 (0;1; 2)∈d2 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

1, 2, , ,

d P d P M P N P

d =d ⇒d =d thay vào ta thấy đáp án D thỏa mãn

Cách khác

Gọi a1 = −( 1;1;1) VTCP d1, a2 =(2; 1; 1− − ) VTCP d2suy a a 1, 2 = (0;1; 1− ) ( )P : y z d

⇒ − + =

(2; 0; 0) (0;1; 2)

M ∈d , N ∈d Ta có ( ;( )) ( ;( )) 1

2

d d

d M P =d N P ⇔ = − + ⇔ =d Câu 49: [2H3-2.10-4]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song

song cách đường thẳng 1:

1 1

x y z

d − = =

− ,

1

:

2 1

x y z

d = − = −

− −

A ( )P : 2y−2z− =1 B ( )P : 2x−2y+ =1

C ( )P : 2x−2z+ =1 D. ( )P : 2y−2z+ =1 Hướng dẫn giải

Chọn D

Do ( )P cách hai đường thẳng nên d1/ /( )P d, 2 / /( )P Gọi a1 = −( 1;1;1) VTCP d1, a2 =(2; 1; 1− − )



VTCP d2suy a a1, 2 = (0;1; 1− )

 

VTPT mặt phăng ( )P loại đáp án B C

Lấy M(2; 0; 0)∈d , N1 (0;1; 2)∈d2 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

1, 2, , ,

d P d P M P N P

d =d ⇒d =d thay vào ta thấy đáp án D thỏa mãn

Cách khác

Gọi a1 = −( 1;1;1) VTCP d1, a2 =(2; 1; 1− − ) VTCP d2suy a a 1, 2 = (0;1; 1− ) ( )P : y z d

⇒ − + =

(2; 0; 0) (0;1; 2)

M ∈d , N ∈d Ta có ( ;( )) ( ;( )) 1

2

d d

(22)

Câu 50: [2H3-2.11-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;5) Mặt phẳng ( )P qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A B C, , cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( )P

A x+2y+5z−30=0 B

5

x y z

+ + = C x+ + − =y z D

5

x y z

+ + =

Cách 1:

Gọi A a( ; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0;c)

Phương trình mặt phẳng (ABC) x y z a+ + =b c Do M∈(ABC) nên ta có phương trình 1( )

a+ + =b c

Ta có AM = −(1 a; 2;5 ,) BC=(0;−b c; ),BM=(1; 2−b;5 ,) AC= −( a; 0;c)

Do M trực tâm tam giác ABC nên ( )

2

5

c

AM BC b c b

a c

BM AC a c



 = − + = =

 ⇔ ⇔

 − + = 

= 

 

  =

 

Thế ( )2 vào ( )1 ta 30; 15

5c+5c+ = ⇔ = ⇒ =c c a b=

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) 30

30 15

x y z

+ + = ⇔ + + − =

Cách 2:

Ta có chứng minh OM ⊥(ABC) (ABC) qua M nhận OM làm VTPT

(ABC) (:1 x− +1) (2 y− +2) (5 y− = ⇔ +5) x 2y+5y−30=0

Câu 51: [2H3-2.11-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho H(1; 4;3) Mặt phẳng ( )P qua H cắt tia Ox, Oy, Oz ba điểm ba đỉnh tam giác nhận H làm trực tâm Phương trình mặt phẳng

( )P

A x−4y−3z+12=0 B x+4y+3z+26=0

C x−4y−3z+24=0 D x+4y+3z−26=0 Hướng dẫn giải

Chọn D

Kiểm tra tính chất qua H(1; 4;3) ta thấy có đáp án C, D thỏa mãn

Mà mặt phẳng x−4y−3z+24=0 khơng cắt tia Ox Vậy chỉcịn đáp án D thỏa mãn

Câu 52: [2H3-2.11-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm K(1; 2;5− ) Viết phương trình mặt phẳng qua K cắt trục Ox, Oy, Oz A B C, , cho K trực tâm tam giác ABC

A x− − + =y z B x−2y+5z−30=0

C x− − − =y z D x−2y+5z+30=0

(23)

Chọn B

Giả sử mặt phẳng ( )α qua K cắt trục Ox, Oy, Oz A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ), (0; 0; )

C c nên ( )α có phương trình: x y z a+ + =b c ( )α qua K(1; 2;5− ) suy

a b c

−

+ + = (*)

K trực tâm tam giác ABC suy

5

0

5

0

2

a c

AK BC b c

c

a c b

BK AC

= 

 ⋅ =  + =

 ⇔ ⇔

 − + =  = −

⋅ = 

 

 

   

Thay vào (*): 1 25

5

2

c c c

c c

−

+ + = ⇔ + + = ⇔ =

−

30; 15

a b

⇒ = = −

Vậy ( ): 30

30 15

x y z

α + + = ⇔ − + − =

−

Câu 53: [2H3-2.11-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho H(1; 4;3) Mặt phẳng ( )P qua H cắt tia Ox, Oy, Oz ba điểm ba đỉnh tam giác nhận H làm trực tâm Phương trình mặt phẳng

( )P

A x−4y−3z+12=0 B x+4y+3z+26=0

C x−4y−3z+24=0 D x+4y+3z−26=0 Hướng dẫn giải

Chọn D

Kiểm tra tính chất qua H(1; 4;3) ta thấy có đáp án C, D thỏa mãn

Mà mặt phẳng x−4y−3z+24=0 khơng cắt tia Ox Vậy chỉcịn đáp án D thỏa mãn

Câu 54: [2H3-2.11-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm K(1; 2;5− ) Viết phương trình mặt phẳng qua K cắt trục Ox, Oy, Oz A B C, , cho K trực tâm tam giác ABC

A x− − + =y z B x−2y+5z−30=0

C x− − − =y z D x−2y+5z+30=0

Giả sử mặt phẳng ( )α qua K cắt trục Ox, Oy, Oz A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ), (0; 0; )

C c nên ( )α có phương trình: x y z a+ + =b c ( )α qua K(1; 2;5− ) suy

a b c

−

+ + = (*)

K trực tâm tam giác ABC suy

5

0

5

0

2

a c

AK BC b c

c

a c b

BK AC

= 

 ⋅ =  + =

 ⇔ ⇔

 − + = 

= −

⋅ = 

 

 

   

Thay vào (*): 1 25

5

2

c c c

c c

−

+ + = ⇔ + + = ⇔ =

− ⇒ =a 30;b= −15

(24)

Vậy ( ): 30 30 15

x y z

α + + = ⇔ − + − =

−

Câu 55: [2H3-2.11-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;1; 4) Mặt phẳng ( )P qua Mvà cắt trục tọa độ điểm A B C, , ( khác gốc tọa độ) cho M trực tâm tam giácABC Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC

A. 22 22 11; ;

3

 

 

  B

26 26 13 ; ;

9

 

 

  C.

25 25 25 ; ;

12

 

 

  D.

2

; 2;

3

−

 − 

 

 

Câu 56: [2H3-2.11-4]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;3) cắt ba tia Ox, Oy,

Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ Phương trình mặt phẳng ( )P

A

1

x+ + =y z

B.

3

x+ + =y z

C

3

x+ + =y z

D

1

x+ + =y z Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi A a( ; 0; 0); B(0; 0;b); C(0; 0;c) (a b c; ; >0) Mặt phẳng ( )P có phương trình đoạn chắn x y z

a+ + =b c Vì M(1; 2;3) ( )∈ P nên

a+ + =b c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho sốdương a;

2 b

3

c ta

1 6

1 27 abc 162

a b c abc abc

= + + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

Do đó, 27

6

OABC

V = abc≥

Dấu "=" xảy

3

1

6

9 a b a b c

c

=  

⇔ = = = ⇔ =

 = 

Vậy ( ):

3

x y z

P + + =

Câu 57: [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2; 0; 0), N(1;1;1)

Mặt phẳng ( )P thay đổi qua M N, cắt tia Oy Oz, lần lượt tại B C,

(với B C, khơng trùng O) Tính giá trị nhỏ nhất T của biểu thức 3 OB +OC

A T =64 B T =32 C T =16 D T =128 Hướng dẫn giải:

Chọn D

Phương trình mặt phẳng ( )P có dạng:

2 2

(25)

( ) ( ) 1 1 1

1;1;1

2

N P

b c b c

∈ ⇔ + + = ⇔ + = (*)

Ta có: OB= b OC, = c Khơng tính tổng qt, ta giả sử b>0, c>0 Từ (*) ta có: 1 bc bc 16

b c bc

= + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

Do đó: 3 3 ( )

2 2.16.4 128

OB +OC =b +c ≥bc b+c ≥ bc bc ≥ =

Câu 58: [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1; 2; 3− ) mặt phẳng ( )α cắt trục tọa độ Ox, Oyvà Oz A, B C cho H trực tâm tam giác ABC Tìm phương trình mặt phẳng ( )α

A. ( )α :x+2y−3z−14=0 B ( )α :x+2y−3z+ =4

C ( )α : 6x+3y−2z−18=0 D ( )α : 6x+3y−2z+ =8 Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi A a( ; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0;c) Phương trình( )α :x y z a+ + =b c

( 1; 2;3 ,)

HA= a− −



( 1; 2;3 ,)

HB= − b−



(0; ; ), BC= −b c



( ; 0; )

AC = −a c



Vì H trực tâm tam giácABC, ta có:

( ) ( )

HA BC HA BC HB AC HB AC

H ABC H α

 ⊥  =

 

 ⊥ ⇒ =

 

 ∈  ∈

 

 

       

2 3

1

b c

a c

a b c



 + = 

⇒ + =

 −

 + + = 

3

14

3

1 14

1

3

2

b c

a

a c b

c

c c

c 

 

= −

  =

 



⇒ = − ⇒ =

 − 

 + + =  = −

− 

 −



Vậy phương trình mặt phẳng ( )α : 14 14

3 x + +y z =

−

hay x+2y−3z−14=0

Câu 59: [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )α qua điểm (4; 3; 12)

M − chắn tia Oz đoạn dài gấp đôi đoạn chắn tia Ox, Oy có phương trình ax by+ + + =cz d 0, tính S a b c

d

+ +

=

A.

S = B.

14

S = C.

14

S = − D.

(26)

Chọn C

Gọi A=( )α Ox, B=( )α Oy, C=( )α Oz Ta có: A m( ; 0; 0), B(0; ; 0n ), C(0; 0; p), (m n p, , >0), OA=m, OB=n, OC= p,OC=2OA=2OB ⇒ =p 2m=2n

Phương trình măt phẳng ( )α theo đoạn chắn ( ): x y z m m m

α + + = ( )α qua M(4; −3; 12) 12

2

m m m

−

+ + = ⇒ =m

Phương trình mặt phẳng ( )α

7 14

x z

+ + = hay 2x+2y+ −z 14= ≡0 ax+by+ + =cz d

Vậy 2

14 14

S= + + = −

−

Câu 60: [2H3-2.11-4]Trong không gian , cho ba điểm thuộc tia

(không trùng với gốc toạđộ) cho Giả sử điểm thuộc miền tam giác có khoảng cách đến mặt

Tính tổng thể tích khối chóp đạt giá trị nhỏ

A B C D

Từđề có:

Suy toạđộđiểm

Phương trình mặt phẳng có dạng:

mà

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi có: (vì )

Từ Vậy

Câu 61: [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho H(1; 2;3) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm H cắt trục tọa độ ba điểm phân biệt A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC

Oxyz A B C, , Ox Oy Oz, ,

, ,

OA=a OB=b OC=c M

ABC (OBC) (, OCA) (, OAB)

1, 2, S = + +a b c O ABC

18

S = S =9 S =6 S =24

( )

(M OBC, ) 1;

d =MK = d(M OCA,( )) =ME=2; d(M OAB,( )) =MH =3

(1; 2; 3)

M

(ABC) x y z

a+ + =b c

( ) ( )

1

M ABC

a b c

∈ ⇒ + + =

3 3

1 3 6

1 3

3 a b c a b c abc V

= + + ≥ = =

3 V = abc

3

1 54 54

3V V V

⇒ ≥ ⇔ ≥ ⇒ = ( )2

a = =b c ( )

3

1;

9 a b c

=  

⇒ =

 = 

(27)

A ( )P :x+ + − =y z B ( ):

2

y z

P x+ + =

C. ( )P :x+2y+3z−14=0 D ( ):

3

x y z

P + + =

Ta có tứ diện OABC tứ diện có ba cạnh OA,OB, OC đơi vng góc, H trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥(ABC)

⇒ mp ABC( ) qua H(1; :3) có VTPT n =OH =(1; 2;3) nên có phương trình là: (x− +1) (2 y− +2) (3 z− = ⇔ +3) x 2y+3z−14=0

Câu 62: [2H3-2.11-4]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;3) cắt tia Ox, Oy, Oz A B C, , (khác gốc tọa độ) cho biểu thức 12 12 12

OA +OB +OC có giá trị nhỏ

A.( )P :x+2y+ − =z 14 B.( )P :x+2y+ − =3z 11

C.( )P :x+ + − =y 3z 12 D.( )P :x+2y+ − =3z 14 Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình mặt phẳng ( )P có dạng x y z a+ + =b c Ta có M(1; 2;3) P

a b c

∈ ⇒ + + = Ta có 12 12 12 12 12 12

OA +OB +OC =a +b +c Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

( )

2

2 2

2 2 2

1 1 1 1

1

14

a b c a b c a b c

 + +  ≤ + +  + + ⇒ + + ≥

   

   

Dấu " "= xảy

2 2

1

14

1 1 14

2

14 1 1

3 14

a

a b c

b

a b c

c

a b c

 + + = 

  =

 

 = = ⇔ =

 

 

 + + =  =

 



Vậy ( )P :x+2y+3z−14=0

Cách khác:

Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta có

( )

2 2

1 1

OH ABC

OA OB OC OH

⊥   

+ + =

(28)

Suy 12 12 12

OA +OB +OC đạt giá trị nhỏ ⇔ OH đạt giá trị lớn ⇔OH =OM

( )

OM ABC

⇒ ⊥ ⇒(ABC) (:1 x− +1) (2 y− +2) (3 z− =3) ⇒(ABC):x+2y+3z−14=0 Câu 63: [2H3-2.11-4]Trong không gian , cho ba điểm thuộc tia

(không trùng với gốc toạđộ) cho Giả sử điểm thuộc miền tam giác có khoảng cách đến mặt

Tính tổng thể tích khối chóp đạt giá trị nhỏ

A B C D

Từđề có:

Suy toạđộđiểm

Phương trình mặt phẳng có dạng:

mà

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi có: (vì )

Từ Vậy

Câu 64: [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho H(1; 2;3) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm H cắt trục tọa độ ba điểm phân biệt A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC

A ( )P :x+ + − =y z B ( ): y z P x+ + =

C. ( )P :x+2y+3z−14=0 D ( ):

x y z

P + + = Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có tứ diện OABC tứ diện có ba cạnh OA,OB, OC đơi vng góc, H trực tâm tam giác ABC nên OH ⊥(ABC)

Oxyz A B C, , Ox Oy Oz, ,

, ,

OA=a OB=b OC=c M

ABC (OBC) (, OCA) (, OAB)

1, 2, S = + +a b c O ABC

18

S = S =9 S =6 S=24

( )

(M OBC, ) 1;

d =MK = d(M OCA,( )) =ME=2; d(M OAB,( )) =MH =3

(1; 2; 3)

M

(ABC) x y z

a+ + =b c

( ) ( )

1

M ABC

a b c

∈ ⇒ + + =

3 3

1 3 6

1 3

3 a b c a b c abc V

= + + ≥ = =

3 V = abc

3

1 54 54

3V V V

⇒ ≥ ⇔ ≥ ⇒ = ( )2

a = =b c ( )

3 1; a b c

=   ⇒ =

 = 

(29)

⇒ mp ABC( ) qua H(1; :3) có VTPT n =OH =(1; 2;3) nên có phương trình là: (x− +1) (2 y− +2) (3 z− = ⇔ +3) x 2y+3z−14=0

Câu 65: [2H3-2.11-4]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(1; 2;3) cắt tia Ox, Oy, Oz A B C, , (khác gốc tọa độ) cho biểu thức 12 12 12

OA +OB +OC có giá trị nhỏ

A.( )P :x+2y+ −z 14=0 B.( )P :x+2y+3z− =11

C.( )P :x+ +y 3z−12=0 D.( )P :x+2y+3z−14=0 Hướng dẫn giải

Chọn D

Phương trình mặt phẳng ( )P có dạng x y z a+ + =b c Ta có M(1; 2;3) P

a b c

∈ ⇒ + + = Ta có 12 12 12 12 12 12 OA +OB +OC =a +b +c Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:

( )

2

2 2

2 2 2

1 1 1 1

1

14

a b c a b c a b c

 + +  ≤ + +  + + ⇒ + + ≥

   

   

Dấu " "= xảy

2 2

1

14

1 1 14

2

14 1 1

3 14

a

a b c

b

a b c

c

a b c

 + + = 

  =

 

 = = ⇔ =

 

 

 + + =  =

 



Vậy ( )P :x+2y+3z−14=0

Cách khác:

Gọi H trực tâm tam giác ABC Ta có

( )

2 2

1 1

OH ABC

OA OB OC OH

⊥   

+ + =



Suy 12 12 12

OA +OB +OC đạt giá trị nhỏ ⇔ OH đạt giá trị lớn ⇔OH =OM

( )

OM ABC

⇒ ⊥ ⇒(ABC) (:1 x− +1) (2 y− +2) (3 z− =3) ⇒(ABC):x+2y+3z−14=0 Câu 66: [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P qua

điểm M(1; 2; 3) cắt tia Ox, Oy, Oz điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 6OA+3OB+2OC có giá trị nhỏ

A 6x+2y+3z−19=0 B x+2y+3z−14=0

C x+3y+2z−13=0 D 6x+3y+2z−18=0

Lời giải Chọn D

(30)

phương trình mặt phẳng ( )P : x y z a+ + =b c ( )P qua điểm M(1; 2; 3) nên

a+ + =b c ; 6OA+3OB+2OC=6a+3b+2c

( ) 3

6 6 6.9 54

2

b c

a b c a b c a

a b c a b c

    

+ + = + +  + + =  + +  + + ≥ =

    

Dấu xảy :

6 54

3

1

9

a b c

a b

a b c

c

b c

a 

 + + =

=  

 + + = ⇔ =

 

  =

 = = 

Vậy ( )P : 18

x y z

+ + = ⇔ + + − =

Câu 67: [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;1) Mặt phẳng ( )P thay đổi qua M cắt tia Ox Oy Oz, , A B C, , khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC

A 54 B 6 C D 18

Gọi A a( ;0;0 ,) (B 0; ;0 ,b ) (C 0, 0,c) với a b c, , >0 Phương trình mặt phẳng ( )P : x+ + =y z

a b c Vì : M∈( )P ⇔ + + =1 1

a b c

Thể tích khối tứ diện OABC : = OABC

V abc

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 1+ + ≥2 33 1.

a b c a b c

Hay 1 3≥ ⇔ ≥1 54

abc abc

Suy : 54

≥ ⇔ ≥

abc abc

Vậy : VOABC ≥9

Câu 68: [2H3-2.12-3] Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Gọi , , điểm thuộc , , cho , , đôi vuông góc với Hỏi mặt phẳng

đi qua điểm đây?

A B C D

(Oxyz), S(4; 2; ) A B C

3 Ox Oy Oz SA SB SC

(ABC) (1;3; 2)

(31)

Gọi ; ;

Ta có phương trình mặt phẳng

Ngoài

nên

nên nên

Giải hệtrên ta Suy Dễ thấy qua

Câu 69: [2H3-2.12-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M(1; 0; ,) (N 0; 2; 0) (3; 0; 4)

P Điểm Q nằm (Oyz) cho QP vng góc với (MNP) Tìm tọa độđiểm Q A 0; 11;

2 Q − 

  B Q(0; 3; 4− ) C

3 11

0; ;

2

Q − 

  D

3 11 0; ;

2 Q 

 

Ta có Q nằm (Oyz) nên Q(0; ;y z)⇒PQ(−3; ;y z−4)

Do MN(−1;2;0 ,) MP(2;0;4) nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n=MN MP , =(8; 4; 4− ) Mặt khác QP vng góc với (MNP) suy PQ=k n k ( ∈)

Hay

3

3 11

4 0; ;

11 2

4

2

k y

y k Q

z

z k

 − =

  = −

 = ⇒ ⇒  − 

   

 − = −  =

 

Câu 70: [2H3-2.12-4]Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 0;1; A

, B(1;1;1), C(2; 2;3− ) mặt phẳng

( )P :x− + + =y z 0 Tìm điể

m M mặt phẳng ( )P cho   MA MB+ +MC đạt giá trị nhỏ nhất

A M(1; 0; 2) B M(0;1;1) C M(−1; 2; 0) D M(−3;1;1)

Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒G(1; 0; 2)

( ; 0; 0)

A a B(0; ; 0b ) C(0; 0;c)

(ABC) x y z

a+ + =b c

( 4; 2; ;) ( 4; 2; ;) ( 4; 2; 6)

SA= a− − − SB= − b− − SC= − − c−

  

SA⊥SB −4(a−4) (−2 b−2) ( )− − = ⇔ −6 4a−2b+56=0 SA⊥SC −4(a−4) ( ) (− − −2 c−6)= ⇔ −0 4a−6c+56=0 SC⊥SB − − −4( ) (4 b−2) (−6 c−6)= ⇔ − −0 2b 6c+56=0

14 7; 14;

3

a= b= c= ( ):

14 14

3

x y z

ABC + + =

(32)

Ta có: MA MB  + +MC = 3MG =3MG

MA MB  + +MC nhỏ ⇔MG nhỏ ⇔M hình chiếu G lên ( )P

Ta có phương trình ( )

1 :

2

x t

MG y t

z t

= +   = −   = + 

( ) ( 1; 2; 0) M∈ P ⇒ = − ⇒t M −

Câu 71: [2H3-2.12-4]Trong không gian Oxyz, cho điểm ( ) 0;1; A

, B(1;1;1), C(2; 2;3− ) mặt phẳng

( )P :x− + + =y z 0 Tìm điể

m M mặt phẳng ( )P cho   MA MB+ +MC đạt giá trị nhỏ nhất

A M(1; 0; 2) B M(0;1;1) C M(−1; 2; 0) D M(−3;1;1)

Gọi G trọng tâm tam giác ABC ⇒G(1; 0; 2) Ta có: MA MB  + +MC = 3MG =3MG

MA MB+ +MC

  

nhỏ ⇔MG nhỏ ⇔M hình chiếu G lên ( )P

Ta có phương trình ( )

1 :

2

x t

MG y t

z t

= +   = −   = + 

( ) ( 1; 2; 0) M∈ P ⇒ = − ⇒t M −

Câu 72: [2H3-2.12-4]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 0), B(1; 1;3− ), (1; 1; 1)

C − −

mặt phẳng ( )P : 3x−3y+2z−15=0 Gọi M x( M;yM;zM) điểm mặt phẳng ( )P

cho 2

2MA −MB +MC đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức

M M M

T =x −y + z

A. T =5 B T =3 C T =4 D T =6 Hướng dẫn giải:

Chọn A

(33)

Khi

( ) ( ) ( )

( )

2 1 1

2 2 1 1; 2;

2

x x x x

IA IB IC y y y y I

z

z z z

− − − + − =

  =

 

− + = ⇔ − − − − + − − = ⇔ = ⇒ −  − − − + − − =  = −

 

   

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2

MA MB MC MI IA MI IB MI IC

MI IA IB IC MI IA IB IC MI IA IB IC

− + = + − + + +

= + − + + − + = + − +

     

   

Do 2

2MA −MB +MC nhỏ ⇔2MI2 nhỏ ⇔MI nhỏ ⇔M hình chiếu vng góc I lên ( )P

Gọi ∆ đường thẳng qua qua I(1; 2; 2− ) nhận nP =(3; 3; 2− ) vectơ chỉphương

Phương trình tham số ( )

1

: 3 t; t; 2 t 2

x t

y t M

z t

= +  

∆  = − ⇒ + − −

 = − 

Điểm M∈( )P ⇒3 3( + t) (−3 3− t)+2(2 ) 15− t − = ⇔ = ⇒0 t M(4; 1; 0− ) Vậy T =xM −yM +3zM =5

Câu 73: [2H3-2.12-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y+2z+ =7 điểm A(1; 2; 1)− , B(3;1; 2)− , C(1; 2;1)− Điểm M a b c( ; ; )∈( )P cho MA2−MB2−MC2 đạt giá trị lớn Khi tổng giá trị a b c+ +

A 23

9 B 0 C

20 −

D 20

Chọn B

Gọi D đỉnh thứtư hình bình hành ABDC Khi

  

DADB DC Suy D3; 3; 0  Do đó:

     

 

         

2 2

2 2 2 2

2

MA MB MC MD DA MD DB MD DC

MD MD DA DB DC DA DB DC

MD DA DB DC DA DB DC

       

       

       

Vậy MA2−MB2−MC2 lớn M ≡D hay M(3; 3; 0− ) Khi a b c+ + =0

Câu 74: [2H3-2.13-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( )α : 2x+ +y 2z+ =1

(34)

A 2x+2y+ + =z B 2x+ +y 2z+ =2 C 2x+ +y 2z+ =3 D 2x+ +y 2z+ =4

Hướng dẫn giải : Chọn C

Gọi M x y z( ; ; ) ( )∈ P Do ( )P song song cách hai mặt phẳng ( )α ( )β nên ( )

( ) ( ( )) 2 22 21 2 22 25

d , d ,

2 2

x y z x y z

M α = M β ⇔ + + + = + + +

+ + + +

( )

2 2

2

2 2

x y z x y z

x y z

x y z x y z

+ + + = + + +



⇔ ⇔ + + + =

+ + + = − + + +



Câu 75: [2H3-2.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;0;0 ,) B(0;3;0), C(0;0;3),

(1;1;1)

D

E(1; 2;3) Hỏi từ điểm tạo tất mặt phẳng phân biệt qua điểm điểm đó?

A 7 mặt phẳng B 10 mặt phẳng C 12 mặt phẳng D 5 mặt phẳng

Lời giải Chọn A.

Mặt phẳng qua A, B, C là: ( ):

3 3

x y z

ABC + + = ⇔ + + − =x y z

Dễ thấy D∈( )P E∉( )P

Nhận thấy AD= −( 2;1;1), BD=(1; 2;1− ), CD=(1;1; 2− ) khơng có vecto phương nên khơng có điểm thẳng hàng

Vậy ta có mặt phẳng: (ABCD), (EAB), (EAC), (EAD), (EBC), (EBD), (ECD)

Câu 76: [2H3-2.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho lăng trụ đứng , với , , , Gọi trung điểm Mặt phẳng qua , song song với cắt Độdài đoạn thẳng

A B C D

Chọn A

Ta có , ,

,

Mặt phẳng qua có vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng

Đường thẳng qua có vectơ chỉphương

Oxyz ABC A B C 1 1 1

(0; 3; 0)

A − B(4; 0; 0) C(0;3; 0) B1(4; 0; 4) M A B1 1 ( )P

A M BC1 A C1 1 N MN

17

2

( )

1 0; 3;

A − C1(0;3; 4)

3 2; ;

2 M − 

 

3 2; ;

2 AM =  

 



( )

1 4;3; BC = −



( )P A n=AM BC, 1= − −( 6; 24;12)   

( )P :x+4y− +z 12=0 1

(35)

Phương trình Đường thẳng : giao điểm , nên

Câu 77: [2H3-2.13-3] Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1:

1

x = =y z−

− ,

2

:

1

x y− z−

∆ = =

− mặt cầu ( )

2 2

: x 2

S +y +z + x+ y− z− = Viết phương trình mặt phẳng ( )α song song với hai đường thẳng ∆1, ∆2 cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn ( )C có chu vi 365

5 π

A x−5y−3z+12=0;x−5y−3z− =2 B. x−5y−3z− =4

C. x−5y−3z+12=0 D. x−5y−3z− =2

Cách :

- Mặt cầu ( )S có tâm I(− −1; 1;3) bán kính R=4

- Đường trịn ( )C có chu vi 365

π ⇒ 365 365

2

5

r π r

π = ⇒ =

- Đường thẳng ∆1, ∆2 có VTCP u =(1; 2; ;− ) u′=(1; 1; 2− )

- Gọi n VTPT ( )α

+ Ta có : ( )α song song với hai đường thẳng ∆1, ∆2 nên n=u u , ′=(1; 5; 3− − ) - Phương trình ( )α có dạng x−5y−3z+ =d

+ Theo đề ta có: 2 2( ;( )) ( ;( )) 35 R =r +d I α ⇒d I α =

12

5 35

5

2

35

d d

d

=

− 

⇔ = ⇔ − = ⇔ 

= −



Cách (Trắc nghiệm): Mặt phẳng ( )α song song với hai đường thẳng ∆1, ∆2 cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường tròn ( )C có chu vi 365

5 π

nên có hai mặt phẳng ( )α thỏa toán Nên chọn A

Câu 78: [2H3-2.13-3] Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 2), B(5; 4; 4) mặt phẳng

( )P có phương trình: 2x+ − + =y z Gọi M điểm nằm ( )P cho MA2+MB2 nhỏ Khi đó, tung độ điểm M là:

1 A C

0 x

y t

z = 

 = − + 

 = 

N ( )P A C1 1 N(0; 1; 4− )

1 2; ;

2 MN =  

 

 17

2 MN

(36)

A. yM = −1 B. yM =3 C

M

y = D. yM =1

Thay tọa độ A B, vào ( )P ta thấy A B nằm nửa không gian chia mặt phẳng ( )P

Gọi H hình chiếu A lên ( )P A′ điểm đối xứng A qua ( )P Ta có: Phương trình đường thẳng d qua A vng góc ( )P là:

1 2

x t

y t

z t

= + 

 = + 

 = − 

( )

H = ∩d P nên thay x y z, , từ d vào ( )P ta t=− Vậy: 10; ;

3 3 H = − 

  Suy

13 14

; ;

3 3

A′− − 

 

Đường thẳng A B′ qua B có vectơ chỉphương 28 14; ;

3 3

u=  − 

 

 144 7

4

x t

y t

z t

′ = + 

 = + ′ 

 = − ′ 

Tọa độ M giao điểm A B′ ( )P Thay x y z, , từ A B′ vào ( )P ta

9 t=− Vậy: yM =8 /

Câu 79: [2H3-2.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ , mặt phẳng qua hai điểm , cắt nửa trục dương , , cho nhỏ ( trọng tâm tam giác ) Biết , tính

A 12 B 6 C 7 D 3

Gọi mà nên

qua hai điểm nên

Ta có

Suy

Oxyz ( )P M(1;8; 0) (0; 0;3)

C Ox Oy A B OG G

ABC G a b c( ; ; ) P= + +a b c

( ; 0; ,) (0; ; 0)

A m B n C(0; 0;3) ; ;1 3 m n G 

 

( )

2 2

1

OG = m +n +

( ):

3

x y z

P

m+ + =n ( )P M(1;8; 0)

1 m+ =n ( )2

1 16

1 25

2 m n

m n m n m n

+

= + = + ≥ ⇒ + ≥

+

( 2) 2 134

25 125

9

m n m n m n OG

(37)

Dấu

Câu 80: [2H3-2.13-4] Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : x t

d y t

z = 

 = − + 

 = 

A(−1; 2; 3) Biết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d có dạng x+by+cz+ =d khoảng cách từ A đến ( )P Xác định giá trị d

A B 1

2 C

1

4 D

ChọnB

Đường thằng dđi qua B(0; 1;1− )và vtcpu(1; 2; 0), mặt phẳng ( )P có vtptn(1, ,b c) Ta có mặt phẳng ( )P chứa đường thẳng d nên

( )

1

2

0

2 b b

u n

b c d B P

c d

 = − 

 =  + =

 ⇔ ⇔

 − + + =  −

∈ 

 

 = −



 

( ) 1

:

2

P x− y− +d z + =d

  mà ( ( ))

7 2d

; 3

1 1

4 d A P

d − −

= ⇔ =

 

+ + + 

 

2

5d 5d+

4 d

⇔ − = ⇔ =

Câu 81: [2H3-2.13-4]Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng có phương trình mặt phẳng Phương trình mặt phẳng chứa ∆ tạo với góc nhỏ

A B.

C. D.

1

5 10 ; ;1 10 3

m

m n

G n

m n

 + =

  =

 ⇔ ⇒  

  =  

  =



Oxyz ∆

1

2 1

x− y z+

= =

− ( )P : 2x− +y 2z− =1 ( )Q

( )P

(38)

Chọn B

Gọi giao điểm , giao tuyến Lấy điểm Gọi hình chiếu , dựng vng góc với , suy góc

Nên Dấu xảy Khi đường thẳng vng góc với ,

chọn

, suy đáp án B

Lưu ý: góc nhỏ góc hợp

Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Câu 82: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng qua A(3;5; 7) song song với :

2

x y z

d − = − = −

A

3

x t

y t

z t

= +   = +   = + 

B

2 3

x t

y t

z t

= +   = +   = + 

C

1

x t

y t

z t

= + 

 = + 

 = + 

D Không tồn Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi ∆ đường thẳng thỏa u cầu tốn

Ta có: ∆ có vectơ chỉphương u =(2;3; 4) qua A(3;5; 7)⇒ ( )

3 :

x t

y t

z t

= +   ∆  = +

 = + 

.

Câu 83: [2H3-3.1-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng qua A(3;5; 7) song song với :

2

x y z

d − = − = −

A d ( )P m ( )P ( )Q I d

H I ( )P HE m ϕ=IEH

( )P ( )Q tan IH IH

HE HA

ϕ = ≥ = E≡ A

m d

( )

; 1; 6;

m d P

u=d n = − −

( )

; 10; 7;13

Q d m

n =u u = −

  

(39)

A

3

x t

y t

z t

= +   = +   = + 

B

2 3

x t

y t

z t

= +   = +   = + 

C

1

x t

y t

z t

= + 

 = + 

 = + 

D Không tồn Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi ∆ đường thẳng thỏa u cầu tốn

Ta có: ∆ có vectơ chỉphương u =(2;3; 4) qua A(3;5; 7)⇒ ( )

3 :

x t

y t

z t

= +   ∆  = +

 = + 

.

Câu 84: [2H3-3.1-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(− −2; 2;1), A(1; 2; 3− ) đường thẳng :

2

x y z

d + = − =

− Tìm vectơ phương u



đường thẳng ∆ qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng lớn

A u=(4; 5; 2− − ) B u =(1; 0; 2) C u=(1;1; 4− ) D u=(8; 7; 2− ) Hướng dẫn giải

Chọn A

( 3; 4; 4)

AM = − −



Gọi ud



là vectơ chỉphương d ⇒ud =(2; 2; 1− ) Do M∈ ∆ ⇒d A[ ];∆ ≤AM

Dấu đẳng thức xảy ⇔ AM ⊥ ∆ Khi chọn u=ud;AM=(4; 5; 2− − )

  

Câu 85: [2H3-3.1-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(− −2; 2;1), A(1; 2; 3− ) đường thẳng :

2

x y z

d + = − =

− Tìm vectơ phương u



đường thẳng ∆ qua M , vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng lớn

A u=(4; 5; 2− − ) B u =(1; 0; 2) C u=(1;1; 4− ) D u=(8; 7; 2− ) Hướng dẫn giải

Chọn A

( 3; 4; 4)

AM = − −



Gọi ud vectơ chỉphương d ⇒ud =(2; 2; 1− ) Do M∈ ∆ ⇒d A[ ;∆ ≤] AM

(40)

Câu 86: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : ,1

1 2

x y z

d = − = + mặt phẳng ( )P : 2x+ +y 2z− =5 điểm A(1; 1; 2− ) Phương trình tắc đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng ( )P vng góc với đường thẳng d

A. 1

2

x− = y− = z+

− B.

1

1 2

x− = y− = x+

−

C. 1

1

x− = y− = x+

− D.

1

1 2

x− = y− = x+ Hướng dẫn giải

Chọn A

Đường thẳng d có VTCP ud =(1; 2; 2), mặt phẳng ( )P có VTPT n =(2; 1; 2) Gọi u VTCP đường thẳng ∆ Vì //( )

// P d ∆   ∆ ⊥  d u u u n  ⊥  ⇒  ⊥   

  ⇒ = u u n d,  =(2; 2; 3− ) Đường thẳng ( )

( )

đi qua 1; 1; VTCP 2; 2;

: A u − = −  ∆ 

  Phương trình tắc đường thẳng ∆

1

2

x− y− z+

= =

−

Câu 87: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1; 2; 3− ) hai đường thẳng

1

2 :

1

x t

d y t

z t = +   = −   = − + 

, 2: 1

1

x y z

d − = − = −

− − Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng

góc d1, d2

A : x t y t z = +   ∆  = +  = 

B

1 : x t y t z = +   ∆  = −  = − 

C

1 : x t y t z = −   ∆  = +  = − 

D

1 : x t y t z = −   ∆  = −  = − 

Đường thẳng d1, d2 có vectơ chỉphương u1=(1; 1;3− ), u2 = −( 1;1; 2− ) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉphương u∆ = u u1, 2= − −( 1; 1; 0)

(41)

Câu 88: [2H3-3.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1; 2; 3− ) hai đường thẳng : 1 x t

d y t

z t = +   = −   = − + 

, 2: 1

1

x y z

d − = − = −

− − Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc d1, d2

A : x t y t z = +   ∆  = +  = 

B

1 : x t y t z = +   ∆  = −  = − 

C

1 : x t y t z = −   ∆  = +  = − 

D

1 : x t y t z = −   ∆  = −  = − 

Đường thẳng d1, d2 có vectơ chỉphương u1=(1; 1;3− ), u2 = −( 1;1; 2− ) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉphương u∆ =u u1, 2= − −( 1; 1; 0)

   Do đó, đường thẳng ∆ có phương trình:

1 x t y t z = −   = −   = − 

Câu 89: [2H3-3.3-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ , viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm song song với giao tuyến hai mặt phẳng ,

A B C D

Gọi đường thẳng cần tìm có vecto chỉphương Suy phương trình tham số

Câu 90: [2H3-3.3-3]Trong khơng gian , viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt

phẳng

A B C D

Oxyz (1; 2;3)

M ( )P : 3x+ − =y

( )Q : 2x+ + − =y z 3 x t y t z t = +   = +   = +  3 x t y t z t = +   = −   = −  3 x t y t z t = −   = −   = +  3 x t y t z t = +   = −   = + 

∆ ∆ u∆ =n n P; Q=(1; 3;1− )

∆ 3 x t y t z t = +   = −   = +  Oxyz

(42)

Cách 1: Hai mặt phẳng cho có véc tơ pháp tuyến là: Giao tuyến cần tìm có véc tơ chỉphương

Cho thay vào phương trình hai mặt phẳng cho ta hệphương trình:

Vậy giao tuyến cần tìm qua điểm phương trình tham số

Cách 2: Cho thay vào phương trình hai mặt phẳng ta tìm Suy giao tuyến qua điểm

Tương tự, cho ta tìm Suy giao tuyến qua điểm

Véc tơ chỉphương giao tuyến

Vậy phương trình tham số giao tuyến cần tìm

Câu 91: [2H3-3.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;3;1), B(0; 2;1) mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng ( )P cho điểm thuộc đường thẳng d cách điểm A B

A x t y t z t =   = −   = 

B x t y t z t =   = +   = 

C x t y t z t = −   = −   = 

D x t y t z t =   = −   = 

Lấy điểm M thuộc đường thẳng d M cách A B nên M thuộc mặt phẳng trung trực AB Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB

Ta có mặt phẳng trung trực ( )Q AB qua 5; ;1 2 I 

  có vectơ pháp tuyến

( 3; 1; 0)

AB= − −



nên phương trình tổng quát mặt phẳng ( )Q ( )

3

3 1

2

x y z

   

−  − −  − + − =

    ⇔3x+ − =y

Do đường thẳng d giao tuyến ( )P ( )Q Xét hệphương trình

3

x y z x y + + − =   + − =  ( ) ( )

1 2;3; , 1; 2;3

n = n = −

[n n1; 2]=(13; 4; 7− − )  

1 z=

2

x y x

x y y

+ = = −

 

⇔  − = −  =

  M(−1; 2;1)

1 13 x t y t z t = − +   = −   = − 

z= x= −1; y=2

( 1; 2;1)

M −

0

z= 6, 10

7

x= y= 10; ;

7 N 

 

( )

13

; ; 13; 4;

7 7

MN = − − = − −

(43)

Cho x= ⇒0 y z =  ⇒  =

 C(0; 7; 0)∈d Cho x= ⇒1

2 y z =  ⇒  =

 D(1; 4; 2)∈d

Đường thẳng qua C(0; 7; 0) nhận vectơ CD=(1; 3; 2− ) làm vectơ phương nên phương

trình tham sốđường thẳng x t y t z t =   = −   = 

Câu 92: [2H3-3.3-3]Trong không gian , viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt

phẳng

A B C D

Cách 1: Hai mặt phẳng cho có véc tơ pháp tuyến là: Giao tuyến cần tìm có véc tơ chỉphương

Cho thay vào phương trình hai mặt phẳng cho ta hệphương trình:

Vậy giao tuyến cần tìm qua điểm phương trình tham số

Cách 2: Cho thay vào phương trình hai mặt phẳng ta tìm Suy giao tuyến qua điểm

Tương tự, cho ta tìm Suy giao tuyến qua điểm

Véc tơ chỉphương giao tuyến

Vậy phương trình tham số giao tuyến cần tìm

Oxyz

2x+3y+2z− =6 x−2y+3z+ =2 13 x t y t z t = − +   = −   = −  13 x t y t z t = −   = − +   = − +  13 x t y t z t = +   = −   = −  13 x t y t z t = +   = − +   = +  ( ) ( )

1 2;3; , 1; 2;3

n = n = −

[n n1; 2]=(13; 4; 7− − )  

1 z=

2

x y x

x y y

+ = = −

 

⇔  − = −  =

  M(−1; 2;1)

1 13 x t y t z t = − +   = −   = − 

z= x= −1; y=2

( 1; 2;1)

M −

0

z= 6, 10

7

x= y= 10; ;

7 N 

 

( )

13

; ; 13; 4;

7 7

MN = − − = − −

(44)

A

2

x t

y t

z t = 

 = − 

 = 

B x t

y t

z t

= 

 = + 

 = 

C

x t

y t

z t

= − 

 = − 

 = 

D x t

y t

z t

= 

 = − 

 = 

( 3; 1; 0)

AB= − −



3

3 1

2

x y z

   

−  − −  − + − =

    ⇔3x+ − =y

Do đường thẳng d giao tuyến ( )P ( )Q Xét hệphương trình

3

x y z x y

+ + − = 

 + − = 

Cho x= ⇒0 y z

= 

⇒  =

 C(0; 7; 0)∈d Cho x= ⇒1

2 y z

=

 ⇒

 =

 D(1; 4; 2)∈d

Đường thẳng qua C(0; 7; 0) nhận vectơ CD=(1; 3; 2− ) làm vectơ phương nên phương trình tham sốđường thẳng

2 x t

y t

z t

= 

 = − 

 = 

Câu 94: [2H3-3.3-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng ( ) ( )P , Q ( )R có phương trình ( )P :x+my− + =z 0; ( )Q :mx− + + =y z ( )R : 3x+ +y 2z+ =5 Gọi ( )dm giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P ( )Q Tìm m đểđường thẳng ( )dm vng góc

với mặt phẳng ( )R A

1

m m

=    = − 

B m=1

C

3

m= − D.Khơng có giá trị m

(45)

Mặt phẳng ( )Q có VTPT nQ =(m; 1;1− )

Đường thẳng ( )dm giao tuyến ( )P ( )Q nên có VTCP

( 2)

, 1; 1;

d p Q

u=n n = m− − − − −m m

Ta có dm ⊥( )R ⇔ud =k n ( )R

 

2

1

1 1

3 1

3

m m

m m m

m m

− − −

 =



− − − − − 

⇔ = = ⇔ ⇒

− − −

 =



không tồn giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán

Câu 95: [2H3-3.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+2y−2z+ =3 hai điểm A(1; 0;1), B(−1; 2; 3− ) Gọi ∆ đường thẳng nằm mặt phẳng ( )P cho điểm thuộc ∆ có khoảng cách đến A đến B Véctơ sau véctơ chỉphương đường thẳng ∆?

A u=(2; 4;3− ) B. u =(2; 4;3) C. u=(2; 4; 3− ) D u=(2; 4; 3− − ) Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi ( )Q mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB ( )Q qua trung điẻm I(0; 1; −1) AB nhận AB=(2; 2; 4− ) làm véc tơ pháp tuyến

Phương trình ( )Q : 2x−2(y− +1) 4(z+ = ⇔ − +1) x y 2z 3+ =0 Theo đề: ∆ =( ) ( )P  Q nên VTCP ∆ u∆ = −( 2; 4;3)

Câu 96: [2H3-3.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1; 1− ), B(2; 1;1− ) mặt phẳng ( )P : 2x+ + − =y z Viết phương trình đường thẳng ∆ chứa ( )P cho điểm thuộc ∆ cách hai điểm A B,

A

1

3

x t

y t

z t

= −   =   = 

, t∈ B

2

x t

y t

z t

= −   = +   = + 

, t∈ C

2 x

y t

z t

= −   = +   = + 

, t∈ D 2 x t

y t

z t

=   = +   = − 

, t∈ Hướng dẫn giải

Chọn B

Cách

∆ chứa ( )P ⇒ nP ⊥u∆ ⇒ Loại C, D

(46)

Chú ý + Do phương án nhiễu chưa hợp lý nên không cần sử dụng đến hai điểm A,B + Phương pháp tổng quát Gọi ( )Q mặt phẳng trung trực AB ⇒ ∆ =( ) ( )P ∩ Q Cách

Gọi ( )Q mặt phẳng trung trực AB ⇒ ( )Q qua trung điểm I(1; 0; 0) đoạn AB nhận

(2; 2; 2)

AB= −



làm VTPT⇒ ( )Q :x− + − =y z 0 Khi đó∆ =( ) ( )P ∩ Q ⇒u∆ =n nP, Q=(2; 1; 3)− −

  

;(nP =(2;1;1 , 1; 1;1) nQ =( − ))

 

Tọa độđiểm M(0;1; 2)thỏa mãn

2

x y z x y z

− + − = 

 + + − =

 ⇒M ∈ ∆

Vậy

2 : x t y t z t =   ∆  = −  = − 

Câu 97: [2H3-3.3-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A3;3;1, B0;2;1 mặt phẳng

 P x:    y z 0 Đườ

ng thẳng d nằm  P cho điểm d cách hai điểm

,

A B có phương trình là:

A x t y t z t           B x t y t z t          

C x t y t z t          

D

2 x t y t z t            Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương trình mặt phẳng trung trực AB   : 3x  y

Đường thẳng cần tìm d cách hai điểm A B, nên thuộc mặt phẳng   Lại có d P , suy d   P   hay :

3

x y z d x y           

Chọn xt, ta z t y t       

Câu 98: [2H3-3.4-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2

x y z

d − = + = −

−

Phương trình phương hình hình chiếu vng góc d mặt phẳng x+ =3 0?

A x y t z t = −   = − −   = − + 

B

3 x y t z t = −   = − +   = + 

C

3 x y t z t = −   = − +   = − 

. D

3 x y t z t = −   = − −   = + 

(47)

Cách 1: Đường thẳng d qua điểm M0(1; 5;3)− có VTCP ud =(2; 1; 4− ) Gọi ( )Q mặt phẳng chứa d vuông góc với ( )P :x+ =3

Suy mặt phẳng ( )Q qua điểm M0(1; 5;3)− có VTPT [u n d; P]=(0; 4;1) ( )Q : 4y z 17

⇒ + + =

Phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng ( )P 17

3 y z x + + =   + =

 hay

3 x y t z t = −   = − −   = + 

Cách 2: Ta có M∈ ⇒d M(1 ; 5+ t − −t;3 4+ t) Gọi M′ hình chiếu M ( )P :x+ =3

Suy M′ − − −( 3; t;3 4+ t) Suy

3

:

3 x

d y t

z t = −   ′  = − −  = + 

So sánh với phương án, ta chọn D đáp án

Cách 3. Trắc nghiệm

Gọi I = ∩d ( )α , suy I(− − −3; 3; 5) Dễ thấy chỉcó đáp án D thỏa mãn

Câu 99: [2H3-3.4-3]Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt phẳng

A. B C D

Lời giải:

Chọn A

Ta có phương trình tham số đường thẳng qua điểm có véctơ chỉphương

Vì điểm nên

Gọi điểm hình chiếu lên mặt phẳng

Gọi đường thẳng qua vng góc với mặt phẳng suy đường thẳng nhận véctơ pháp tuyến mặt phẳng làm véctơ chỉphương

Phương trình đường thẳng

,

Oxyz : 1

3 1

x y z

d − = − = +

− ( )P :x− − =z

d ( )P

3 x t y t z t = +   = +   = − +  x t y z t = +   =   = − −  3 x t y t z t = +   = +   = − − 

1 x t y t z t = −   = +   = − +  3 : 1 x t

d y t

z t = +   = +   = − − 

(3;1; 1)

M −

(3;1; 1) d

u = −

(3;1; 1) ( )

M − ∈ P M = ∩d ( )P

(0; 0; 0)

O= ∈d K O ( )P

∆ O ( )P ∆

(48)

Khi

Hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng đường thẳng

Véctơ chỉphương

Phương trình đường thẳng

Câu 100: [2H3-3.4-3] Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng mặt phẳng toạđộ

A B C D

Chọn D

Lấy gọi hình chiếu điểm Thay tọa độđiểm vào phương án ta thấy chỉcó phương án D thỏa

1

x y z

d + = − =

− − mặt

phẳng ( )P :x+ −y 2z+ =2 0, đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độgiao điểm I đường thẳng ∆ với mặt phẳng ( )P

A I(−1;3; 0) B I(−1;1; 0) C I(1; 3; 0− ) D I(−3;5; 0) Hướng dẫn giải

Chọn C

Có A(−1;1; ;) (B 0; 1; 1− − ∈) d

Gọi A B'; ' hình chiếu vng góc A B, lên mặt phẳng (Oxy)

( ) ( ) ( )

' ' ' '

1;1; ; 0; 1; 1; 2;

A B A B

⇒ − − ⇒= −

( )

1 :

0

x t

y t t

z = − −   ∆  = + ∈  =   ( ) I ( )

I P I P ∈ ∆  = ∆ ∩ ⇒  ∈  ∈ ∆ ⇒ − −( + ) ( )

K = ∆ ∩ P

( )

' '

0

2; 0;

'

4

x t t

y x

K

z t y

x z z

= =    =  =   ⇔ ⇔ ⇒ = − = − =    − − =  = −  

d ( )P MK

( 1; 1; 1) 1;1;1( ) MK= − − − = −

 MK x t y t z t = +   = +   = − +  Oxyz

1

:

2

x x z

d + = − = + Oxy

3 11 x t y t z = −   = −   =  11 x t y t z = +   = −   =  11 x t y t z = −   = +   =  11 x t y t z = −   = −   = 

( 1; 2; 3)

(49)

( )

I∈ P ⇒ − − + + + = ⇔ = −1 t 2t t 2⇒I(1; 3; 0− )

1

x y z

d + = − =

− − mặt phẳng ( )P :x+ −y 2z+ =2 0, đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng (Oxy) Tìm tọa độgiao điểm I đường thẳng ∆ với mặt phẳng ( )P

A I(−1;3; 0) B I(−1;1; 0) C I(1; 3; 0− ) D I(−3;5; 0) Hướng dẫn giải

Chọn C

Có A(−1;1; ;) (B 0; 1; 1− − ∈) d Gọi ' '

;

A B hình chiếu vng góc A B, lên mặt phẳng (Oxy)

( ) ( ) ( )

' ' ' '

1;1; ; 0; 1; 1; 2;

A B A B

⇒ − − ⇒= −

( )

1 :

0

x t

y t t

z = − − 



∆  = + ∈  =



 ( ) I ( )

I P

∈ ∆ 

= ∆ ∩ ⇒ 

∈ 

I∈ ∆ ⇒ − −I( t;1 ; 0+ t ) ( )

I∈ P ⇒ − − + + + = ⇔ = −1 t 2t t 2⇒I(1; 3; 0− )

Câu 103: [2H3-3.4-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2

1

x+ y− z−

∆ = =

mặt phẳng ( )P :x+ + =y z Tìm vectơ chỉphương u đường thẳng ∆′ hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng ( )P

A u=(1; 1; 0− ) B u =(1; 0; 1− ) C u=(1; 2;1− ) D u=(1;1; 2− )

Gọi ( )Q mặt phẳng chứa đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( )P ( )Q có vectơ chỉphương nQ = n uP; ∆=(1; 1; 0− )

′

∆ hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng ( )P nên ∆′ giao tuyến hai mặt phẳng ( )P ( )Q Do ∆′có vectơ chỉphương u∆′ = n nP; Q=(1;1; 2− )

Câu 104: [2H3-3.4-3]Trong không gian với hệ toạđộ Oxyz, cho đường thẳng : 2

1

x y z

d + = − = − Viết phương trình đường thẳng d′ hình chiếu d lên mặt phẳng Oxy

A ( )

3

: ,

0

x t

d y t t

z = − + 



′  = + ∈  =



 B ( )

3

: ,

0

x t

d y t t

z = − + 



′  = ∈

 = 

(50)

C ( )

3

: ,

0

x t

d y t t

z = − + 



′  = − ∈  =



 D ( )

3

: ,

0

x t

d y t t

z = −  

′  = − ∈  =



 Hướng dẫn giải

Chọn B

Phương trình tham số

2 :

2

x t

d y t

z t

= − + 

 = +   = + 

Hình chiếu d lên mặt phẳng (Oxy) (có phương trình z=0)

2 :

0

x t

y t

z = − + 

 ∆  = +

 = 

Nhận xét d′ ởđáp án B có vectơ chỉphương phương với VTCP ∆ có điểm chung với ∆ ⇒d′≡ ∆

Câu 105: [2H3-3.5-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1;3− ) hai đường thẳng

1 1

:

2 1

x y z

d − = − = −

− −

1 :

3

x y z d′ = = −

− Có đường thẳng qua M cắt hai

đường thẳng d d′

A 2 B 1 C 0 D Vô số

Với A(2t+ − + − + ∈1; t 1; t 1) d B(3 ; ;t′ − t t′ ′+ ∈1) d′ , ta có A, B, M thẳng hàng

( )

2 2 2 0

2 2

2

t k t t k kt

MA k MB t k t t k kt

t k kt

t k t

′ = − +

  + − ′=

 

′ ′

= ⇔ − = − ⇔ − − + = − − − = − + ′ − + − ′= 

 

hệ vơ nghiệm Vậy khơng có đường thẳng thỏa yêu cầu đề

Câu 106: [2H3-3.6-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 0) đường thẳng ∆ có phương trình

1

:

2 1

x− y+ z

∆ = =

− Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt vng góc với đường

thẳng ∆

A :

1

x y z

d − = − = B :

2

x y z

d − = − =

−

C :

1

x y z

d − = − =

− D.

2

:

1

x y z

d − = − =

− −

(51)

Chọn D

Gọi H hình chiếu M lên ∆

Nên H(1 ; 1+ t − + − ∈∆t; t) ⇒MH=(2t− − + −1; t; t)

Và a=(2;1; 1− ) véc tơ chỉphương ∆

Dó đó: ( )

2

3 MH a= ⇔ t− − + + = ⇔ =t t t

 

Khi đó: ( )

; ; 1; 4;

3 3

MH = − − ⇒ =u − −

 

 

là véc tơ chỉphương d Vậy :

1

x y z

d − = − =

− −

Câu 107: [2H3-3.6-3] Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 0) đường thẳng ∆ có phương trình

1

:

2 1

x− y+ z

∆ = =

− Viết phương trình đường thẳng d qua M , cắt vng góc với đường

thẳng ∆

A :

1

x y z

d − = − = B :

2

x y z

d − = − =

−

C :

1

x y z

d − = − =

− D.

2

:

1

x y z

d − = − =

− −

Gọi H hình chiếu M lên ∆

Nên H(1 ; 1+ t − + − ∈∆t; t) ⇒MH=(2t− − + −1; t; t)

Và a=(2;1; 1− ) véc tơ chỉphương ∆

Dó đó: ( )

2

3 MH a= ⇔ t− − + + = ⇔ =t t t

 

Khi đó: ( )

; ; 1; 4;

3 3

MH = − − ⇒ =u − −

 

 

là véc tơ chỉphương d Vậy :

1

x y z

d − = − =

− −

2

x y z

d + = − = +

− , mặt

phẳng ( )P :x− + + =y z điểm A(1;1; 2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, song song với ( )P vng góc với d

A 1

1

x− y− z−

= =

− − B

1

x+ y+ z+

= =

C 1

1

x− y− z−

= = D 1

1

x+ y+ z+

= =

− −

(52)

Mặt phẳng ( )P có vec tơ pháp tuyến n=(1; 1;1− ) Đường thẳng d có vectơ chỉphương u =(2;1; 2− )

Đường thẳng d′ qua điểm A, song song với ( )P vng góc với dcó vectơ phương

( )

, 1; 4;3 u′ =n u =

Phương trình tắc : 1

1

x y z

d′ − = − = −

2

x y z

d + = − = +

− , mặt phẳng ( )P :x− + + =y z điểm A(1;1; 2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, song song với ( )P vng góc với d

A 1

1

x− y− z−

= =

− − B

1

x+ y+ z+

= =

C 1

1

x− y− z−

= = D 1

1

x+ y+ z+

= =

− − Hướng dẫn giải

Chọn C

Mặt phẳng ( )P có vec tơ pháp tuyến n=(1; 1;1− ) Đường thẳng d có vectơ chỉphương u =(2;1; 2− )

Đường thẳng d′ qua điểm A, song song với ( )P vng góc với dcó vectơ phương

( )

, 1; 4;3 u′ =n u =

Phương trình tắc : 1

1

x y z

d′ − = − = −

Câu 110: [2H3-3.7-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 3x+2y+3z− =1 điểm A(4;1;3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng ( )P

∆ cắt đường thẳng : 3

3 2

x y z

d − = − = +

−

A

5

x− y− z−

= =

− B

4

1 3

x− y− z−

= =

−

C

5

x− y− z−

= =

− − D

4

1

x− y− z−

= =

− −

Phương trình tham số đường thẳng

3 : 2

x t

d y t

z t

= +   = + 

 = − − 

(53)

(3 1; 2; 5)

AB= t− t+ − −t



véc tơ chỉphương đường thẳng ∆ Do ∆ song song với mặt phẳng ( )P nên

( )P

AB⊥n

 

( ) P AB n

⇔  = ⇔3 3( t− +1) (2 2t+ + − − =2) (3 2t 5) 0⇒7t=14⇒ =t Vậy AB=(5; 6;−9)

Phương trình đường thẳng ∆:

5

x− = y− = z− −

1

x− y− z−

∆ = =

mặt phẳng ( )α :x+ + − =y z Gọi d đường thẳng nằm ( )α đồng thời cắt đường thẳng

∆ trục Oz Một véctơ chỉphương d là:

A u(2; 1; 1− − ) B u(1;1; 2− ) C u(1; 2;1− ) D u(1; 2; 3− )

+ Gọi A= ∩ ∆ ⇒ ∈ ∆ ⇒d A A(2+t; 2+t;1 2+ t)

Vì A∈ ⊂ α ⇒ ∈ αd ( ) A ( ) ⇒ + + + + + − = ⇔ = − ⇒2 t t 2t t A(1;1; 1− ) + Gọi B= ∩d Oz ⇒B(0; 0;b)

Vì B∈ ⊂ α ⇒ ∈ α ⇒ − = ⇔ = ⇒d ( ) B ( ) b b B(0; 0;1 ) Khi VTCP đường thẳng d u =BA=(1;1; 2− )

1

x− y− z−

∆ = =

mặt phẳng ( )α :x+ + − =y z Gọi d đường thẳng nằm ( )α đồng thời cắt đường thẳng ∆ trục Oz Một véctơ chỉphương d là:

A u=(2; 1; 1− − ) B u =(1;1; 2− ) C u =(1; 2;1− ) D u=(1; 2; 3− )

+ Gọi A= ∩ ∆ ⇒ ∈ ∆ ⇒d A A(2+t; 2+t;1 2+ t)

Vì A∈ ⊂d ( )α ⇒ ∈A ( )α ⇒ + + + + + − = ⇔ = − ⇒2 t t 2t t A(1;1; 1− ) + Gọi B= ∩d Oz ⇒B(0; 0;b)

Vì B∈ ⊂d ( )α ⇒ ∈B ( )α ⇒ − = ⇔ = ⇒b b B(0; 0;1 )

(54)

1

x− y− z−

∆ = =

mặt phẳng ( )α :x+ + − =y z Gọi d đường thẳng nằm ( )α đồng thời cắt đường thẳng ∆ trục Oz Một véctơ chỉphương d là:

A u=(2; 1; 1− − ) B u =(1;1; 2− ) C u =(1; 2;1− ) D u=(1; 2; 3− )

+ Gọi A= ∩ ∆ ⇒ ∈ ∆ ⇒d A A(2+t; 2+t;1 2+ t)

Vì A∈ ⊂d ( )α ⇒ ∈A ( )α ⇒ + + + + + − = ⇔ = − ⇒2 t t 2t t A(1;1; 1− ) + Gọi B= ∩d Oz ⇒B(0; 0;b)

Vì B∈ ⊂d ( )α ⇒ ∈B ( )α ⇒ − = ⇔ = ⇒b b B(0; 0;1 )

Khi VTCP đường thẳng d AB= − −( 1; 1; 2) (= − 1;1; 2− ) Vậy véctơ u=(1;1; 2− ) VTCP đường thẳng d

Câu 114: [2H3-3.9-3]Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có tọa độ đỉnh A(0;0;0), B(2;0;0), (0;2;0)

D

, A′(0;0; 2) Đường thẳng d song song với A C′ , cắt cảhai đường thẳng AC′ B D′ ′ có phương trình

A 1

1 1

x− y− z−

= =

− B

1

1 1

x+ y+ z+

= =

−

C 1

1 1

x+ y+ z+

= = D 1

1 1

x− y− z−

= =

Chọn A

Khi C(2;2;0), C′(2; 2; 2)

Mặt khác d A C// ′ suy VTCP u =A C′ =(1;1; 1− )

Vì d song song với A C′ , nên d qua trung điểm A C′ ′ I(1;1; 2) Vậy : 1

1 1

x y z

d − = − = −

−

Câu 115: [2H3-3.10-3]Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P có phương trình x+2y+ − =z đường thẳng :

2

x y z

d + = = + Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( )P , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d

A

1 1

x+ y− z−

= = B

1 1

x− y+ z+

= =

C 1

5

x− = y− = z−

− − D

1 1

5

x+ = y+ = z+

− −

(55)

Chọn C

Gọi I giao điểm d ( )P Tọa độ I nghiệm hệ

2 2 1 1

1

2

3

2

1

2 2 4 0 1

2

+

 =



− = − =

 

+ + 

 = = +

 ⇔ = ⇔ − = ⇔ =

   

 + + − =   + + − =  =

  + + − =  



x y

x y x

x y z

y z

y z y

x y z x y z z

x y z

Ta có VTCP ∆ sau: ∆ = ; ( )=(5; 1; 3)− −

  

d p

u u n

Vậy phương trình : 1

5

x y z

d − = − = −

− −

Chú ý: Do ∆ cắt d ∆ nằm ( )P nên ∆ phải qua I Do ta chọn đáp án C mà khơng cần tìm VTCP ∆

Câu 116: [2H3-3.10-3]Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α : 3x+ + =y z đường thẳng :

1 2

x y z

d − = = +

− Gọi ∆ đường thẳng nằm ( )α , cắt vng góc với d Hệ phương trình phương trình tham số ∆?

A

2

x t

y t

z t

= − + 

 = −   = − 

B

3 5

x t

y t

z t

= − + 

 = −   = − 

C

1

x t

y t

z t

= +   = − 

 = − − 

D

3 7

x t

y t

z t

= − + 

 = −   = − 

Gọi M = ∩d ( )α nên M(1+ − − +t; ; 2t t)∈d

Mà M∈( )α ⇒3 1( + − − +t) 2t 2t= ⇔ = ⇒0 t M(1;0; 3− ∈∆)

Ta có:n=(3;1;1) véc tơ pháp tuyến ( )α b=(1; 2; 2− ) véc tơ chỉphương d Nên u  = ∧ =n b (4; 5; 7− − ) véc tơ chỉphương ∆

Do đó:

1 4

: : 5

3 7

x t x t

y t y t

z t z t

′

= + = − +

 

 ′ 

∆  = − ⇒ ∆  = −  = − − ′  = −

 

Kiểm tra điểm M(1; 0; 3− ) u=(4; 5; 7− − )thỏa đáp án B

Câu 117: [2H3-3.10-4]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1; 2), M(−1;1; 0) mặt phẳng ( )α :x− + =y Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, M cắt ( )α theo giao tuyến vuông góc với AM

A 4x−5y−2z− =9 B 2x+ −y 4z+ =1

C 2x+ − − =y z D 4x−5y−2z+ =9

(56)

Chọn D

Giả sử ( )P :Ax+By Cz+ + =D ( 2 )

A +B +C ≠ ( )∗ mặt phẳng cần tìm Theo giả thiết A M, ∈( )P ⇒

0

B C D

A B D

+ + = 

− + + =

 (1)

Theo giả thiết ( ) ( )P AM

α

∩ = ∆

 

∆ ⊥

 ⇒

( ); ( )

P

u n n

u AM

α

∆ ∆

 = 

  



 =



  

 

Mà

( ) ( )

( )

; ; 1; 1;

1; 0;

P

n A B C

n AM

α

 =  = − 



= − − 

 

 ⇒

( )

; ; 1; 0;

u C C A B

AM ∆

 = − −

 

= − − 





⇒ u AM∆.=0 ⇔ − +C 2(A B+ )=0 (2)

Từ (1) (2) ⇒

2

9

A C

B C

D C

  = −   =    = − 

(3)

Thế (3) vào ( )∗ , ta được:

2

Cx Cy Cz C

− + + − = ⇔ − +4x 5y+2z− =9

Câu 118: [2H3-3.10-4]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1; 2), M(−1;1; 0) mặt phẳng ( )α :x− + =y Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, M cắt ( )α theo giao tuyến vng góc với AM

A 4x−5y−2z− =9 B 2x+ −y 4z+ =1

C 2x+ − − =y z D 4x−5y−2z+ =9

(57)

Giả sử ( )P :Ax+By Cz+ + =D ( 2 )

A +B +C ≠ ( )∗ mặt phẳng cần tìm Theo giả thiết A M, ∈( )P ⇒

0

B C D

A B D

+ + = 

− + + =

 (1)

Theo giả thiết ( ) ( )P AM α ∩ = ∆   ∆ ⊥  ⇒ ( ); ( ) P

u n n

u AM α ∆ ∆  =       =       Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; 1; 1;

1; 0;

P

n A B C

n AM α  =  = −   = − −     ⇒ ( ) ( ) ; ; 1; 0;

u C C A B

AM ∆  = − −   = − −   

⇒ u AM∆.=0 ⇔ − +C 2(A B+ )=0 (2)

Từ (1) (2) ⇒

2 A C B C D C   = −   =    = −  (3)

Thế (3) vào ( )∗ , ta được:

2

Cx Cy Cz C

− + + − = ⇔ − +4x 5y+2z− =9

Câu 119: [2H3-3.11-3] Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(2;1; 0), vng góc cắt đường thẳng

1

2 1

x− = y+ = z

−

A x t y t z t = +   = −   = 

B

2 x t y t z t = − +   = −   = 

C

2 x t y t z t = +   = −   = − 

D

2 x t y t z t = +   = − −   = 

Đáp án: C

Phương trình tham số đường thẳng

1

:

x t

d y t

z t = +   = − +   = − 

có véctơ chỉphương ud =(2;1; 1− )



Gọi M giao điểm ∆ d nên M(1 ; 1+ t − + −t; t) Suy véctơ ∆ u∆ =AM =(2t−1;t− −2; t)

Theo giả thiết ∆ d vng góc nên u d ⊥u∆ ⇔u u d ∆ = ⇔0 2( t− + − + =1) (t 2) t

2

; ;

3 3

t u∆  − − 

⇔ = ⇒ =  

 



cùng phương với u =(1; 4; 2− − )

(58)

∆: x t y t z t = +   = −   = − 

Câu 120: [2H3-3.11-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 : x t y t z t = +   ∆  = +  = − 

Đường thẳng d qua

(0;1; 1)

A − cắt vng góc với đường thẳng ∆ Phương trình sau phương trình đường thẳng d ?

A 5 x t y t z t ′ =   = + ′   = − + ′ 

B.

1 x t y t z t ′ =   = + ′   = − + ′ 

C

5 10 x y t z t =   = + ′   = − ′ 

D

5 x t y t z t ′ = +   = + ′   = + ′ 

Ta có: u∆ =(1;1; 1)− ; Gọi M = ∆ ∩ ⇒d M(1+t; 2+t;1−t)⇒AM = +(1 t;1+t; 2−t) ( )

1

u∆ ⊥AM ⇒u ∆ AM = ⇒ + + + − − ⇒ =t t t t

Đường thẳng d có vec tơ phương AM =(1;1; 2) qua A(0;1; 1− ) : 1 x t d y t

z t ′ =   ′ ⇒  = +  = − + ′ 

Câu 121: [2H3-3.11-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1; 0) đường thẳng

1

:

2 1

x− y+ z

∆ = =

− Lập phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt ∆ vng góc

với ∆

A. ( )

2 :

x t

d y t

z t = +   = −   = 

B. ( )

2 :

2

x t

d y t

z t = +   = −   = 

C. ( )

2 :

2

x t

d y t

z t = − +   = −   = − 

D. ( )

3

:

2

x t

d y t

z t = +   = − −   = − − 

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có : x t y t z t = +   ∆  = − +  = − 

Gọi H(1 ; 1+ t − + − ∈ ∆t; t) hình chiếu M lên ∆ Suy MH=(2t−1;t− −2; t)

Ta có 2( 1) 2 1; 4;

3 3

MH u∆ = ⇔ t− + − + = ⇔ = ⇒t t t MH = − − 

 

  

(1; 4; 2)

u

⇒ = − − VTCP d

Ta thấy đáp án C D có vectơ chỉphương chỉcó đáp án D qua điểm M ( )

3

:

x t

d y t

(59)

Câu 122: [2H3-3.11-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 :

3

x t

y t

z t

= +  

∆  = −  = − + 

và điểm (1; 0; 2)

A Viết phương trình đường thẳng d qua A, d vng góc cắt ∆

A

1

x− y z−

= =

− − B

1

x+ y z+

= =

− −

C

1

x+ = y = z+

− − D

1

x− = y = z−

− −

Gọi H = ∩ ∆d nên H(1+t; ; 3− t − +t)

Ta có: AH ⊥ ∆ ⇒ AH u ∆ =0 ⇔(t; ;− t t−5 1; 3;1) ( − )=0⇔ =t Suy AH =(1; 1; 4− − ) nên d có phương trình:

1

x− y z−

= =

− −

Câu 123: [2H3-3.11-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 :

3

x t

y t

z t

= +  

∆  = −  = − + 

và điểm (1; 0; 2)

A Viết phương trình đường thẳng d qua A, d vng góc cắt ∆

A

1

x− y z− = =

− − B

1

x+ y z+ = =

− −

C

1

x+ y z+

= =

− − D

1

x− y z−

= =

− − Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi H = ∩ ∆d nên H(1+t; ; 3− t − +t)

Ta có: AH ⊥ ∆ ⇒ AH u ∆ =0 ⇔(t; ;− t t−5 1; 3;1) ( − )=0⇔ =t Suy AH =(1; 1; 4− − ) nên d có phương trình:

1

x− = y = z−

− −

Câu 124: [2H3-3.13-4]Trong khơng gian , viết phương trình tắc đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo

A B

C D

Oxyz d

1

2

:

1 1

x y z

d − = − = −

− −

3

:

5

x t

d y t

z

= + 

 = + 

 = 

1

1 1

x− y− z−

= =

− −

1

x− y− z−

= =

− −

1

1 2

x− = y− = z−

− −

1

(60)

Chọn D

là vectơ chỉphương đường thẳng vectơ chỉphương đường thẳng

là đường vng góc chung hai đường thẳng và :

Khi

Khi phương trình tắc đường thẳng :

Câu 125: [2H3-3.13-4]Trong khơng gian , viết phương trình tắc đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo

A B

C D

là vectơ chỉphương đường thẳng vectơ chỉphương đường thẳng

là đường vng góc chung hai đường thẳng và :

( )

1 1; 1;

u= − − d1

( )

2 1;1;

u= d2

( )

1 2; 1;

A∈ ⇒d A u+ − + − +u u

( )

2 ; ;5

B∈d ⇒B +t +t

( 1; 1; 3)

AB= − +t u t+ +u u+



AB d1 d2

1

AB u t u t u u

t u t u AB u  =  − + − − − − − =  ⇔   − + + + + = =      

3

1 2

u t u t − − =  ⇔ + = ⇔ = = − 

(1; 1; 2) AB= −



(1; 2;3) A

d

1

x− y− z−

= =

−

Oxyz d

1

2

:

1 1

x y z

d − = − = −

− −

3

:

5

x t

d y t

z = +   = +   = 

1

1 1

x− y− z−

= =

− −

1

x− y− z−

= =

− −

1

1 2

x− = y− = z−

− −

1

x− = y− = z− −

( )

1 1; 1;

u= − − d1

( )

2 1;1;

u= d2

( )

1 2; 1;

A∈ ⇒d A u+ − + − +u u

( )

2 ; ;5

B∈d ⇒B +t +t

( 1; 1; 3)

AB= − +t u t+ +u u+



AB d1 d2

1

AB u t u t u u

t u t u

AB u  =  − + − − − − − =  ⇔   − + + + + = =      

3

1 2

(61)

Khi

Khi phương trình tắc đường thẳng :

Câu 126: [2H3-3.14-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) đường

thẳng :

1

x− y+ z

∆ = =

− Tìm tọa độ điểm M ∆ cho

2

28 MA +MB =

A M(1; 0; 4− ) B M(−1; 0; 4) C M(1; 0; 4) D M(−1; 0; 4− ) Hướng dẫn giải

Chọn B

(1 ; ; )

M∈ ⇒d M − − +t t t

( ) (2 )2

2 2

6 2 20 40

MA = + −t t + − t = t − t+

( ) (2 ) (2 )2

2

2 4 28 36

MB = −t + −t + − t = t − t+ Theo ra: 2

28 12 48 76 28

MA +MB = ⇔ t − t+ = ⇔ − + = ⇔ =t2 4t t

Vậy M(−1; 0; 4)

Câu 127: [2H3-3.14-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; − −2; 3), B(−3; 3;−2) Tìm điểm M thuộc trục Ox cho M cách hai điểm A B

A M(1; 0; 0) B M(0; 1; 0− ) C M(−1; 0; 0) D M(0; 1; 0) Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Gọi M x( ; 0; 0)∈Ox

Ta có: MA= − − −(1 x; 2; ;) MB= − −( x;3; − ) M cách hai điểm A B

MA MB

⇔ = 2

MA MB

⇔ = ( ) ( ) ( ) (2 2 ) ( ) ( )2 2

1 x x 3

⇔ − + − + − = − − + + − ⇔ = −x

Vậy: M(−1; 0; )

Cách 2: Ta thấy đáp án A đáp án C Từđáp án A C ta tính : MA, MB đáp án C

thẳng :

1

x− y+ z

∆ = =

2

28 MA +MB =

Chọn B

(1 ; ; ) M∈ ⇒d M − − +t t t

( ) (2 )2

2 2

6 2 20 40

MA = +t −t + − t = t − t+

(1; 1; 2)

AB= −



(1; 2;3) A

d

1

x− y− z−

= =

(62)

( ) (2 ) (2 )2

2

2 4 28 36

MB = −t + −t + − t = t − t+ Theo ra: 2

28 12 48 76 28

MA +MB = ⇔ t − t+ = ⇔ − + = ⇔ =t2 4t t

Vậy M(−1; 0; 4)

Câu 129: [2H3-3.14-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; − −2; 3), B(−3; 3;−2) Tìm điểm M thuộc trục Ox cho M cách hai điểm A B

A M(1; 0; 0) B M(0; 1; 0− ) C M(−1; 0; 0) D M(0; 1; 0) Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Gọi M x( ; 0; 0)∈Ox

Ta có: MA= − − −(1 x; 2; ;) MB= − −( x;3; − ) M cách hai điểm A B

MA MB

⇔ = 2

MA MB

⇔ = ( ) ( ) ( ) (2 2 ) ( ) ( )2 2

1 x x 3

⇔ − + − + − = − − + + − ⇔ = −x

Vậy: M(−1; 0; )

Cách 2: Ta thấy đáp án A đáp án C Từđáp án A C ta tính : MA, MB đáp án C

thẳng :

1

x− y+ z

∆ = =

2

28 MA +MB =

Chọn B

(1 ; ; ) M∈ ⇒d M − − +t t t

( ) (2 )2

2 2

6 2 20 40

MA = + −t t + − t = t − t+

( ) (2 ) (2 )2

2

2 4 28 36

MB = −t + −t + − t = t − t+ Theo ra: 2

28 12 48 76 28

MA +MB = ⇔ t − t+ = ⇔ − + = ⇔ =t2 4t t

Vậy M(−1; 0; 4)

Câu 131: [2H3-3.14-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD có ( 1; 4;1)

A − , đường chéo : 2

1

x y z

BD − = − = +

− − , đỉnh C thuộc mặt phẳng ( )α :x+2y+ − =z Tìm tọa độđiểm C

A C(1;3; 3− ) B C(−1;3; 1− ) C C(3; 2; 3− ) D C(−2;3; 0)

(63)

Câu 132: [2H3-3.14-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm (3; 0; , 0; 2; , 0; 0; , 1;1;1 ) ( ) ( ) ( )

A B C D Gọi ∆ đường thẳng qua D thỏa mãn tổng khoảng cách từcác điểm A B C, , đến ∆ lớn Hỏi ∆ qua điểm điểm đây?

A M(7;13;5) B M(3; 4;3) C M(− −1; 2;1) D M(− − −3; 5; 1) Hướng dẫn giải

Chọn D

Dềdàng có phương trình mp(ABC)

3+ + = ⇔2 + + − =

x y z

x y z có D∈(ABC) Do d A( ,∆ ≤) AD; d B( ,∆ ≤) BD;d C( ,∆ ≤) CD;và dấu bất đằng thức đạt

(ABC) ∆ ⊥

Vậy vtcp ∆ vtpt mp(ABC) u=(2;3;1) Phương trình : 1

2

x− y− z−

∆ = =

Vậy M(− − − ∈ ∆3; 5; 1)

Câu 133: [2H3-3.15-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (1;1;1),A B(2; 0;1) mặt phẳng ( ) :P x+ +y 2z+ =2 0 Viết phương trình tắc đường thẳng d qua A, song song với mặt phẳng ( )P cho khoảng cách từ B đến d lớn

A : 1

3

x y z

d − = − = −

− B

2 :

2 2

x y z d = = +

−

C : 2

1 1

x y z

d − = − =

− D

1 1

:

3 1

x y z

d − = − = −

− −

Hướng dẫn giải Chọn C.

Ta có : BK =d B d( , )≤ AB

Để maxd B d( , )⇔K ≡ ⇒A AB⊥d Gọi ud VTCP d

Ta có :ud = nP,AB=(2; 2; 2− =) (2 1;1; 1− ) Do A∈ : 2

1 1

x y z

d − = − =

−

Vậy phương trình tắc d : 2

1 1

x− = y− = z

−

P

d

K B

(64)

Câu 134: [2H3-3.15-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai đường thẳng : ;

1

x y z a = =

−

1

:

2 1

x y z

b + = = +

− − mặt phẳng ( )P :x− − =y z Viết phương trình đường thẳng d song

song với ( )P , cắt a b M N mà MN =

A :7 7

3

x y z

d + = − = +

− B

7 7

3

x− = y− = z+

−

C :7 7

3

x y z

d − = + = +

− D

7 7

:

3

x y z

d − = + = +

−

Gọi M t t( ; ; 2− t) N(− −1 ', ', 1t t − −t') Suy MN = − −( 't −t t; '− − − +t; t' 2t) Do đường thẳng d song song với ( )P nên − −1 't − − + + + − = ⇔ = −t t' t t' 2t t t'

Khi ( )

1 ; ; 14 MN = − + − − +t t t ⇒MN = t − +t



Ta có

2 14 2

7

MN = ⇔ t − + = ⇔ = ∨ =t t t

Với t =0 MN = −( 1; 0; 1− ) ( loại khơng có đáp án thỏa mãn ) Với

7

t = 3; 5; 1(3;8; 5)

7 7

MN = − − = − −

 



4; ;

7 7

M − 

 

Vậy

4

7 7

7 7 .

3 8

x y z

− − + − − +

= = ⇔ = =

− −

A

2

x t

y t

z t =   = −   = 

B x t

y t

z t

=   = +   = 

C

x t

y t

z t

= −   = −   = 

D x t

y t

z t

=   = −   = 

( 3; 1; 0)

AB= − −



3

3 1

2

x y z

   

−  − −  − + − =

    ⇔3x+ − =y

(65)

Xét hệphương trình

3

x y z x y

+ + − = 

 + − = 

Cho x= ⇒0 y z

=

 ⇒

 =

 C(0; 7; 0)∈d Cho x= ⇒1

2 y z

=

 ⇒

 =

 D(1; 4; 2)∈d

Đường thẳng qua C(0; 7; 0) nhận vectơ CD=(1; 3; 2− ) làm vectơ phương nên phương trình tham sốđường thẳng

2 x t

y t

z t

=   = −   = 

Câu 136: [2H3-3.15-3] Trong không gian với hệ tọa độ ,cho hai đường thẳng

Mặt phẳng tọa độ cắt đường thẳng , điểm , Diện tích tam giác

A B C D

Chọn A

Giao điểm đường thẳng mặt phẳng nghiệm hệ:

Ta có:

Vậy diện tích tam giác

Câu 137: [2H3-3.15-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,cho đường thẳng : 1

1 1

x y− z−

∆ = =

Xét mặt phẳng ( )P :m x2 −2y+mz+ =1 0, m tham số thực Tìm tất giá trị m để đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( )P

A m=1 m= −2 B m= −2 Oxyz

1

:

3

x y z

d − = + = +

−

3 :

2

x t

d y t

z t

= − + 

 = −   = 

Oxz d1 d2 A B

OAB

5 10 15 55

1

d Oxz

( )

5

1

0 5; 0;

3 1

2

0

x

x y z y

y A

x z

y z

= − 

− + + =

 = = 

 ⇔ ⇔ = ⇒ − −

− − +

  = = − 

 =   = −

  

1

d Oxz

( )

3

5 12

12; 0;10

2

0 10

x t t

y t x

B

z t y

y z

= − + =

 

 = −  =

 ⇔ ⇒

 =  =

 

 =  =

 

( )

, 0; 10;

OA OB

  = −

 

OAB ,

2

(66)

C m=1 D m= −1 m=2 Hướng dẫn giải

Chọn C

∆ có vectơ chỉphương u=(1;1;1) qua A(0;1;1) ( )P có vectơ pháp tuyến n=(m2; 2; )− m

Để ∆ ⊂( )P

2

2 0

1

.0 2.1 .1 0

( )

m m

u n

m

m m

A P

 ⊥  − + =

 ⇔ ⇔ =

 

− + + =

∈

 

  

Câu 138: [2H3-3.15-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α :x+ay bz+ − =1 đường thẳng :

1 1

x y z−

∆ = =

− − Biết ( )α // ∆ ( )α tạo với trục Ox Oz, góc giống

nhau Tìm giá trị a

A a= −1 a=1 B a=2 a=0. C a=0 D a=2

Ta có ( ) ( ) ( )

1; 1; 1; ; u

nα a b

∆ = − − 

 = 



 mà ( )α //∆⇒n ( )α u∆ = ⇔ − − = ⇔ + =0 a b a b ( )∗

Mặt khác ( )α tạo với trục Ox Oz, suy sin(n( )α ;i)=sin(n( )α ;k) với ( )

( )

1; 0; 0; 0;1 i

k  =  

= 

 

( ) ( )

1

1 1

n i n k b

b

n i n k

α α

⇒ = ⇔ = ⇔ = ±

 

  , vào ( )∗ , ta a a

=   = 

Tuy nhiên a= ⇒0 ( )α :x+ − =z chứa đường thẳng ∆ suy nhận a=2 Câu 139: [2H3-3.15-3]Cho mặt phẳng ( )P : x+ −y 2z+ =5 0, đường thẳng :

2 1

x y z

d + = = − điểm (1; 1; 2)

A − Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d ( )P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN

A 1

1

x+ = y− = z+

− B

1

2

x− = y+ = z−

− C

1

2

x− = y+ = z−

D 1

2

x− = y+ = z−

−

Chọn C

Giả sử ∆ cắt d M(− +1 ; ; 2t t + ⇒t) N(3 ; 2− t − −t; 2−t) A trung điểm MN Do N∈( )P : x+ −y 2z+ = ⇒ = ⇒5 t M(3; 2; 4)⇒AM(2; 3; 2)

Phương trình đường thẳng ∆ qua A, M 1

2

x− = y+ = z−

(67)

Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Câu 1: [2H3-4.1-3]Trong không gian , cho mặt cầu

tham số thực) Tìm giá trị để mặt cầu có bán kính nhỏ

A B C D

có tâm , bán kính =

đạt giá trị nhỏ

Câu 2: [2H3-4.1-3]Trong không gian , cho mặt cầu

tham số thực) Tìm giá trị để mặt cầu có bán kính nhỏ

A B C D

có tâm , bán kính =

đạt giá trị nhỏ

Câu 3: [2H3-4.1-4] Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho điểm ( ; 0; ,) (0; ; ,) (0; 0;3)

A a B b C a, b số thực dương thỏa mãn a+ =b Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnOABC Biết a, b thay đổi điểm I ln thuộc đường thẳng ∆ cốđịnh Viết phương trình đường thẳng ∆

A : ;

3 x t

y t t

z

  = 

∆  = − ∈

  = 

 B

1

: ;

3

x t

y t t

z

  = − 

∆  = ∈

  = 

.

C : ;

3 x t

y t t

z

=  

∆  = + ∈

 = 

 D : ;

3 x t

y t t

z

=  

∆  = + ∈

 = 



Ta có A a( ; 0; ,) (B 0; ; ,b ) (C 0; 0;3) nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ; ;3 2 a b I 

 

Oxyz ( )S :x2+y2−2mx+6y−4z−m2+8m=0 m

m ( )S

3

m= m=2 m=4 m=5

( )S I m( −3; 2) R= m2+ −( )3 2+22+m2−8m 2(m−2)2+ ≥5

R R= m=2

Oxyz ( )S :x2+y2−2mx+6y−4z−m2+8m=0 m

m ( )S

3

m= m=2 m=4 m=5

( )S I m( −3; 2) R= m2+ −( )3 2+22+m2−8m 2(m−2)2+ ≥5

(68)

Theo đề ta có a b+ = ⇒ = −2 a b nên ; ;3 2

b b I − 

 

Cho 1 1 3; ; 2 b= ⇒I  ∈ ∆

  ,

1 3 ; ; 4 b= ⇒I  ∈ ∆

  ,

1 ; ; 4 I I = − 

 



Do ∆ qua I1 có vtcp u =(1; 1; 0− )

 nên có phương trình

1 2

x t

y t

z  = + 



 = − 

  = 

tức đường thẳng

3

x t

y t z

  = − 

=    = 

Câu 4: [2H3-4.3-3]Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình sau phương trình mặt cầu có tâm

(2; 3; 2)

I − tiếp xúc với mặt phẳng ( )P : 2x− +y 2z− =5 ?

A (x+2) (2+ y−3) (2+ +z 2)2 =2 B (x−2) (2+ y+3) (2+ −z 2)2=2

C (x+2) (2+ y−3) (2+ +z 2)2 =4 D. (x−2) (2+ y+3) (2+ −z 2)2=4

Hướng dẫn giải: Chọn D

( ) ( )

,

3

d I P = = =R

Câu 5: [2H3-4.3-3] Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 6; 2), B(5;1;3), C(4; 0; 6), (5; 0; 4)

D

Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) A ( 5)2 ( 4)2

223

x− +y + −z = B ( 5)2 ( 4)2

446 x− +y + z− =

C ( 5)2 ( 4)2 223

x+ +y + +z = D ( 5)2 ( 4)2

223

x− +y + −z =

Chọn D

Ta có AB=(4; 5;1− ) AC =(3; 6; 4− )

Khi  AB AC,  = − ( 14; 13; 9− − )

(69)

( ) ( ) ( )

14 x 13 y z 14x 13y 9z 110

− − − − − − = ⇔ + + − =

Do ( ( ))

2 2

14.5 13.0 9.4 110 ,

446 14 13

R=d D ABC = + + − =

+ +

Phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) ( 5)2 ( 4)2 223

x− +y + −z =

Câu 6: [2H3-4.3-3]Trong mặt phẳng , cho đường thẳng mặt phẳng lần

lượt có phương trình ; Mặt cầu có tâm thuộc đường

thẳng , tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình

A B.

C. D.

Chọn D

Gọi

Do tiếp xúc với hai mặt phẳng ta có:

có

Câu 7: [2H3-4.3-3] Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng  P : 2x y 2z3 1   Viết phương trình mặt cầu nằm phần khơng gian có x0, 0, 0y z , tiếp xúc với trục Ox Oy Oz, , tiếp xúc

với mặt phẳng  P

A. x2y2 z2 2x   y z 1 0. B. x2y2z22x  y z 20. C. x2y2z22x  y z 20. D. x2y2 z2 2x   y z 1 0.

Lời giải.Gọi tâm mặt cầu cần tìm I a b c , , với a0;b0;c0

Chân đường vuông góc hạ từ I đến trục Ox Oy Oz, , lần lượt A a ;0;0, B0; ;0b , C0;0;c

Mặt cầu tiếp xúc với trục Ox Oy Oz, , tiếp xúc với mặt phẳng  P nên ta có:

Oxyz :

x t d y

z t =   = −   = − 

( )P ( )Q 2

x+ y+ z+ = x+2y+2z+ =7 ( )S I

d ( )P ( )Q

( ) (2 ) (2 )2

3

9

x+ + y+ + −z = ( 3) (2 1) (2 3)2

9

x− + y− + +z =

( ) (2 ) (2 )2

3

9

x+ + y+ + +z =

( ) (2 ) (2 )2

3

9

x− + y+ + +z =

( ; 1; ) I t − − ∈t d

( )S ( )P ( )Q

( )

(I P, ) (I Q,( ))

d =d

2 2 2

2 2

1 2 2

t− − +t t− − +t

⇔ =

+ + + + ⇔ =t

( )S

(3; 1; 3)

2 I R

− − 

 

=

 ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

: 3

9

S x y z

(70)

 

     

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 ,

2 9 2 2 3 1

3

b c a c b c a c

IA IB IC d I P a c a b a c a b

a b c a b a b c

a b                                                            

 2  

2 d , ,

18 2

a b c a b c

o a b c a b c

a a a a

                        

Khi bán kính mặt cầu RIA

Do phương trình mặt cầu cần tìm x1 2 y 1 2 z 12 2

hay x2y2 z2 2x   y z 1 0

Chọn D.

Cách giải nhanh Nhận thấy đáp án có tâm I1;1;1 R d I P , 

Câu 8: [2H3-2.11-3]Câu 49*.[2H3-2.11-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M1; 3;2  Hỏi có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A B C, , thỏa mãn OA OB OC  0

A. B. C. D.

Lời giải.Giả sử

   

  ;0;0

0; ;0 :

0;0;

P Ox A a

x y z

P Oy B b P

a b c

P Oz C c

               

● P qua M1; 3;2

a b c

    

●OA OB OC    a b c

Ta có hệ

1 1

a b c

a b c

    

   

Hệcó nghiệm nên có mặt phẳng  P thỏa yêu cầu Chọn C

Cụ thểcác trường hợp

* a b c, , dùng dấu   a b c: không thỏa mãn

* Một ba số a b c, , khác dấu với hai sốcòn lại

a b c

             

Nhận xét Do tọa độ điểm M đặc biệt nên trường hợp a b c không thỏa mãn Nếu không đặc biệt kết quảbài có mặt phẳng

Câu 9: [2H3-2.11-4]Câu 50* [2H3-2.11-4] Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2z23

Một

mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S cắt tia Ox Oy Oz, , tương ứng A B C, , Tính giá trị biểu thức 2

1 1

T

OA OB OC

  

A.

3

T B.

3

T C.

9

T D. T

Lời giải Gọi

   

  ;0;0

0; ;0 :

0;0;

Ox A a

x y z

Oy B b

a b c

Oz C c

                   

hay  :x y z

a b c

    

Mặt cầu  S có tâm I0; 0; 0, bán kính R

Do   tiếp xúc với  S nên   2 2 2

2 2

1 1 1

,

1 1

d I R

a b c

 

        

 

(71)

Suy 2 2 2

1 1 1 1

3

T

OA OB OC a b c

       Chọn B.

Cách trắc nghiệm.Do toán với nên ta chọn trường hợp đặc biệt Chọn điểm M1;1;1 thuộc  S

Khi mặt phẳng   thỏa mãn toán qua M nhận OM làm VTPT nên có phương trình

  :x   y z

Suy

   

2 2

3 ;0;0

1 1 1 1

0;3;0

9 9 0;0;3

Ox A a

Oy B T

OA OB OC

Oz C

  

  



          



   

Câu 10: [2H3-4.3-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ( )α mặt phẳng qua đường thẳng

4

:

3

x− y z+

∆ = =

− tiếp xúc với mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

: 3

S x− + y+ + −z = Khi ( )α

song song với mặt phẳng sau đây?

A 3x− +y 2z=0 B − +2x 2y− − =z

C x+ + =y z D x+3y+ =z

3

4

:

4

3

x y

x y z

y z

− − =



− +

∆ = = ⇔ 

+ + =

− 

( )α qua đường thẳng ∆ nên có pt dạng: a x( −3y− +4) (b 4y+ +z 4)=0 với 2 a +b ≠ Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 3;1− ) bán kính R=3

( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S nên d I( ,( )α )=R

( )2

2

8

3

4

a b

a b a b

−

⇔ =

+ − +

( )2

2

a b a b

⇔ − = ⇔ = Chọn a=2 ⇒ =b

2x 2y z

⇔ − + − =

Câu 11: [2H3-4.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; 1; 6− − ) đường thẳng

1

:

1 2

x− y z+

∆ = =

− Gọi ( )P mặt phẳng thay đổi chứa đường thẳng ;∆ ( )S mặt cầu có

tâm I tiếp xúc mặt phẳng ( )P cho mặt cầu ( )S có bán kính lớn Tính bán kính R mặt cầu ( )S

A R=3 B R=5 C R=2 D R=2

Gọi H hình chiếu I lên ∆ Ta có: IH =d I( ,∆ ≥) d I( ,( )P )

(72)

Tọa độ H giao điểm ( )α ( )∆ nên nghiệm hệphương trình:

1

2

1 2

2 12

x t t

y t x

z t y

x y z z

= + =

 

 =  =

 ⇒

 = − −  =

 

 + − − =  = −

 

Vậy: H(2; 2; 3− )

Bán kính 2

0 3

R=IH = + + =

Câu 12: [2H3-4.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;8; 2)và mặt cầu ( )S có phương trình

2 2

( ) : (S x−5) +(y+3) + −(z 7) =72 và điểm B(9; 7; 23)− Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ B đến ( )P lớn Giả sử (1; ; )



n= m n một

vectơ pháp tuyến ( )P Khi

A m n =2 B m n = −2 C m n =4 D m n = −4

Mặt phẳng ( )P qua Acó dạng a x( 0)b y( 8)c z( 2) 0 ax by cz8b2c 0

Điều kiện tiếp xúc:

2 2 2

5 11

( ;( )) a b c b c a b c

d I P

a b c a b c

     

    

    (*)

Mà

2 2 2

9 23 15 21

( ;( )) a b c b c a b c

d B P

a b c a b c

     

 

   

2 2

5a 11b 5c 4(a b )c

a b c

    

 

 

2 2 2

2 2 2 2 2

5 11 1 ( 1) 4

4 18

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

        

    

     

Dấu xảy

1

a  b  c

 Chọn a 1;b  1;c 4 thỏa mãn (*)

Khi ( ) :P x  y 4z 0 Suy m  1;n 4 Suy ra: m n  4

Câu 13: [2H3-4.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết đường cong ( )ω tập hợp tâm mặt cầu qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α :x+ + − =y z

( )β :x+ + + =y z Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( )ω

A 45 π B 3 C 9 π D 3

(73)

Gọi ( )S mặt cầu thỏa đề bài, với tâm I x y z( ; ; ) Theo ra, ta có

( )

( ; ) ( ;( ))

IA=d I α =d I β Mà ( )

( ; ) ( ;( )) 6

d I d I x y z x y z

x y z

α = β ⇔ + + − = + + +

⇔ + + =

Vậy tâm mặt cầu thỏa đề nằm mặt phẳng  P :x  y z ( )

( , )= =

d A P AH

Vì ( )α //( )β nên (( ) ( ); )

d

IA= α β = Từ (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =12 Vậy điểm

( ; ; )

I x y z thuộc mặt cầu   S1 : x1 2 y 1 2 z 12 12

⇒ Tập hợp tâm mặt cầu ( )S giao tuyến mặt cầu ( )S1 mặt phẳng ( )P

đường trịn tâm H có bán kính ( ) ( ( )) ( ) ( )

1

2

; 3

S

R= R −d A P = − =

Vậy diện tích hình phẳng cần tính S=πR2 =9 π

Câu 14: [2H3-4.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;8; 2)và mặt cầu ( )S có phương trình

2 2

( ) : (S x−5) +(y+3) + −(z 7) =72 và điểm B(9; 7; 23)− Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua Atiếp xúc với ( )S cho khoảng cách từ B đến ( )P lớn Giả sử (1; ; )



n= m n một

vectơ pháp tuyến ( )P Khi

A m n =2 B m n = −2 C m n =4 D m n = −4

Mặt phẳng ( )P qua Acó dạng a x( 0)b y( 8)c z( 2) 0 ax by cz8b2c 0

Điều kiện tiếp xúc:

2 2 2

5 11

( ;( )) a b c b c a b c

d I P

a b c a b c

     

    

    (*)

Mà

2 2 2

9 23 15 21

( ;( )) a b c b c a b c

d B P

a b c a b c

     

 

   

2 2

5a 11b 5c 4(a b )c

a b c

    

 

(74)

2 2 2

2 2 2 2 2

5 11 1 ( 1) 4

4 18

a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

        

    

     

Dấu xảy

1

a b c

 

 Chọn a 1;b  1;c 4 thỏa mãn (*)

Khi ( ) :P x  y 4z 0 Suy m  1;n 4 Suy ra: m n  4

Câu 15: [2H3-4.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết đường cong ( )ω tập hợp tâm mặt cầu qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α :x+ + − =y z

( )β :x+ + + =y z Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( )ω

A 45 π B 3 C 9 π D 3

Gọi ( )S mặt cầu thỏa đề bài, với tâm I x y z( ; ; ) Theo ra, ta có

( )

( ; ) ( ;( ))

IA=d I α =d I β Mà ( )

( ; ) ( ;( )) 6

d I d I x y z x y z

x y z

α = β ⇔ + + − = + + +

⇔ + + =

Vậy tâm mặt cầu thỏa đề nằm mặt phẳng  P :x  y z ( )

( , )= =

d A P AH

Vì ( )α //( )β nên (( ) ( ); )

d

IA= α β = Từ (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =12 Vậy điểm

( ; ; )

I x y z thuộc mặt cầu   S1 : x1 2 y 1 2 z 12 12

⇒ Tập hợp tâm mặt cầu ( )S giao tuyến mặt cầu ( )S1 mặt phẳng ( )P

đường trịn tâm H có bán kính ( ) ( ( )) ( ) ( )

1

2

; 3

S

R= R −d A P = − =

Câu 16: [2H3-4.3-4]Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật Mỗi bóng tiếp xúc với hai tường nhà Trên bề mặt bóng, tồn điểm có khoảng cách đến hai tường bóng tiếp xúc đến nhà 9, 10, 13 Tổng độdài đường kính hai quảbóng

A. 64 B 34 C 32 D 16

Giải

(75)

Chọn hệ trục toạđộ Oxyz gắn với góc tường trục cạnh góc nhà Do hai cầu tiếp xúc với tường nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạđộ, tâm cầu có toạđộ I a a a( ; ; ) với a>0 có bán kính R=a

Do tồn điểm bóng có khoảng cách đến tường nhà 9, 10,

11 nên nói cách khác điểm A(9;10;13) thuộc mặt cầu

Từđó ta có phương trình: (9−a) (2+ 10−a) (2+ 13−a)2 =a2 Giải phương trình ta nghiệm a=7 a=25

Vậy có mặt cầu thoả mãn tốn tổng độdài đường kính 25( + )=64

-HẾT -

2

− = =

−

x y z

d mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

: −1 + −2 + −1 =2

S x y z Hai mặt phẳng ( )P và( )Q chứa d tiếp xúc với ( )S Gọi ,

M N tiếp điểm Tính độdài đoạn thẳng MN A 2 B

3 C D 4

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;1 ,) R=

Đường thẳng d nhận u =(2; 1; 4− ) làm vectơ chỉphương

Gọi H hình chiếu I lên đường thẳng d (2 2; ; )

∈ ⇔ + −

H d H t t t

Lại có :

( ) ( )

= ⇔0 + − −1; 2; −1 2; 1; 4− =0

 

IH u t t t

( ) ( )

2 2 4 0

⇔ t+ + + +t t− = ⇔ =t

Suy tọa độđiểm H(2;0;0) Vậy IH = 1+ + = Suy ra: HM = 2− =2

Gọi K hình chiếu vng góc M lên đường thẳng HI Suy ra: 2 2 12 1

4

= + = + =

MK MH MI

Suy ra:

3

(76)

Câu 18: [2H3-4.5-3]Trong không gian , cho hai điểm , đường thẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc qua hai điểm ,

A B

C D

Gọi mặt cầu có tâm , bán kính Vì

Vì hai điểm , thuộc nên:

Vậy:

Câu 19: [2H3-4.5-3]Trong không gian , cho hai điểm , đường thẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc qua hai điểm ,

A B

C D

Gọi mặt cầu có tâm , bán kính Vì

Vì hai điểm , thuộc nên:

Vậy:

Câu 20: [2H3-4.5-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét mặt cầu ( )S có tâm I thuộc mặt phẳng ( )P :x− + =y qua hai điểm A(0; 0; 2), B(0; 2; 0) Giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ( )S

Oxyz A(1; 2; 2− ) B(0;3; 4)

:

3

x t

d y t

z t

= + 

 = − 

 = − 

d A B

( ) (2 ) (2 )2

1 25

x− + y− + −z = (x−3) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =29 ( ) (2 ) (2 )2

3 29

x+ + y− + −z = (x−3) (2+ y+1) (2+ +z 2)2 =29

( )S I R

(1 ; ;3 ) I∈ ⇒d I + t − t −t

A B ( )S IA=IB=R

2

IA IB

⇔ = ( ) ( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2

2t 3t t 2t 3t t

⇔ − + + − + = − − + + + + ⇔22t=22⇔ =t

(3; 1; 2) I

⇒ − R=IA= 29

( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 29

S x− + y+ + −z =

Oxyz A(1; 2; 2− ) B(0;3; 4)

: 3

x t

d y t

z t

= + 

 = − 

 = − 

d A B

( ) (2 ) (2 )2

1 25

x− + y− + −z = (x−3) (2+ y+1) (2+ −z 2)2 =29 ( ) (2 ) (2 )2

3 29

x+ + y− + −z = (x−3) (2+ y+1) (2+ +z 2)2 =29

( )S I R

(1 ; ;3 ) I∈ ⇒d I + t − t −t

A B ( )S IA=IB=R

2

IA IB

⇔ = ( ) ( ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )2 2t 3t t 2t 3t t

⇔ − + + − + = − − + + + + ⇔22t=22⇔ =t

(3; 1; 2) I

⇒ − R=IA= 29

( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 29

(77)

A B 2 C 2 D

Ta có mặt cầu ( )S qua hai điểm A B, nên tâm I nằm ( )α mặt phẳng trung trực

đoạn thẳng AB

Mặt phẳng ( )α qua trung điểm M(0;1;1) AB có vtpt (0;1; 1)

nα = AB= −

 

nên có

phương trình y− =z

Mặt khác I thuộc mặt phẳng ( )P nên I nằm giao tuyến ∆ ( )α ( )P

Đường thẳng ∆ qua điểm C(−4; 0; 0) có vtcp u = n nP, α=(1;1;1 ) Gọi H hình chiếu A lên d Khi ta có IA≥HA

Do giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ( )S ( ) ,

, 2

u MA

R HA d A

u

 

 

= = ∆ = =

 



Câu 21: [2H3-4.6-3] Trong không gian với hệ trục , mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn có tọa độ tâm

A B C D

Chọn C

Ta có có tâm

Tâm đường trịn thiết diện hình chiếu tâm xuống mặt phẳng Gọi đường thẳng qua vng góc với mp

Phương trình

P

M A

B H

I

Oxyz ( )P :x+ + =y z ( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 2

S x+ + y− + −z =

(1;1; 2− ) (1; 2;1− ) (−2;1;1) (− −1; 2;3)

( )S I(−1; 2; 2)

H I ( )P

∆ I ( )P

1

:

2

x t

y t

z t

= − + 



∆  = +

(78)

Tọa độ nghiệm hệ

Câu 22: [2H3-4.6-3]Trong khơng gian viết phương trình mặt cầu có tâm cắt mặt phẳng theo giao tuyến đường trịn có chu vi

A B

C D

Áp dụng cơng thức SGK hình học 12 là:

Với bán kính mặt cầu, khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng, bán kính đường trịn giao tuyến

Ta có: ,

Vậy:

Câu 23: [2H3-4.6-3]Mặt phẳng ( )P : 2x+2y− − =z mặt cầu ( )

2 2

: 11

S x +y + −z x+ y− z− = Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn Tính bán kính đường trịn

A 4 B 3 C 5 D 34

Ta có: ( )S có tâm I(1; 2;3− ) , bán kính R=5 Khoảng cách từ I đến ( )P : d I P ;( )=3

⇒ bán kính đường tròn giao tuyến r= 52−32 =4

2 2

: 11

A 4 B 3 C 5 D 34

⇒ bán kính đường trịn giao tuyến r= 52−32 =4

H ( )

1

2

2;1;1

2

0

x t x

y t y

H

z t z

x y z t

= − + = −

 

 = +  =

 ⇔ ⇒ −

 = +  =

 

 + + =  = −

 

,

Oxyz I(−1; 0;1)

2 17

x+ y+ z+ = 16π

( )2 2 ( )2

1 81

x+ +y + −z = (x+1)2+y2+ −(z 1)2 =100 ( )2 2 ( )2

1 10

x+ +y + −z = (x+1)2+y2+ −(z 1)2 =64

2 2

r =d +R

r d R

2πR=16π ⇒ =R ( ( ))

2 2

1 17

,

1 2

d =d I α = − + + =

+ +

2 2 2

(79)

Câu 25: [2H3-4.6-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) 2 ( )

: 2

m

S x +y + mx− m− y−mz+ − =m Với m∈, mặt cầu ( )Sm qua

đường trịn cốđịnh Tính bán kính r đường trịn

A r=3 B r= 2 C r= D r=2

Gọi M x y z( ; ; ) điểm cốđịnh mà mặt cầu ( )Sm qua với m∈ ( )

2 2

2 2 0,

x +y +z + mx− m− y−mz+ − = ∀ ∈m m 

( )

2 2

2 2 0,

x y z y m x y z m

⇔ + + + − + − − + = ∀ ∈

Suy ra: ( )

( )

2 2

1 2

2

x y z y S

x y z α

 + + + − =

 

− − + =



( )Sm chứa đường tròn ( )C giao tuyến mặt cầu ( )S1 mặt phẳng ( )α Mặt cầu ( )S1 có tâm I(0; 1; 0− ), bán kính R=

( )

( ) 2.0 2.2( )12

,

2

d I α = − − − + =

+ + ( ( ))

2

,

r= R −d I α = − =

Câu 26: [2H3-4.6-3]Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình ( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x− + y− + −z = Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Ox cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính

A. ( )P : 3y−2z=0 B ( )P : 2y−3z=0

C ( )P : 2y+3z=0 D ( )P : 3y+2z=0

Phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Oxcó dạng: ( 2 )

0

By Cz+ = B +C ≠

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3), bán kính R=2

Vì mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nên mặt phẳng ( )P qua tâm I(1; 2;3)

Nên ta có: 2B+3C=0 Chọn B=3 suy C= −2 Vậy phương trình mặt phẳng ( )P : 3y−2z=0

Câu 27: [2H3-4.6-3]Trong không gian viết phương trình mặt cầu có tâm cắt mặt phẳng theo giao tuyến đường trịn có chu vi

A B

C D

,

Oxyz I(−1; 0;1)

2 17

x+ y+ z+ = 16π

( )2 2 ( )2

1 81

x+ +y + −z = (x+1)2+y2+ −(z 1)2 =100 ( )2 2 ( )2

1 10

(80)

Áp dụng cơng thức SGK hình học 12 là:

Với bán kính mặt cầu, khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng, bán kính đường trịn giao tuyến

Ta có: ,

Vậy:

2 2

: 11

A 4 B 3 C 5 D 34

2 2

: 11

S x +y + −z x+ y− z− = Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn Tính bán kính đường tròn

A 4 B 3 C 5 D 34

Câu 30: [2H3-4.6-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

( ) 2 ( )

: 2

m

S x +y + mx− m− y−mz+ − =m Với m∈, mặt cầu ( )Sm ln qua

đường trịn cốđịnh Tính bán kính r đường trịn

A r=3 B r= 2 C r= D r=2

Gọi M x y z( ; ; ) điểm cốđịnh mà mặt cầu ( )Sm qua với m∈ ( )

2 2

2 2 0,

x +y +z + mx− m− y−mz+ − = ∀ ∈m m 

( )

2 2

2 2 0,

x y z y m x y z m

⇔ + + + − + − − + = ∀ ∈

Suy ra: ( )

( )

2 2

1 2

2

x y z y S

x y z α

 + + + − =

 

− − + =



2 2

r =d +R

r d R

2πR=16π ⇒ =R ( ( ))

2 2

1 17

,

1 2

d =d I α = − + + =

+ +

2 2 2

(81)

( )Sm chứa đường tròn ( )C giao tuyến mặt cầu ( )S1 mặt phẳng ( )α Mặt cầu ( )S1 có tâm I(0; 1; 0− ), bán kính R=

( )

( ) 2.0 2.2( )12

,

2

d I α = − − − + =

+ + ( ( ))

2

,

r= R −d I α = − =

Câu 31: [2H3-4.6-3]Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình ( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x− + y− + −z = Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Ox cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính

A. ( )P : 3y−2z=0 B ( )P : 2y−3z=0

C ( )P : 2y+3z=0 D ( )P : 3y+2z=0

Phương trình mặt phẳng ( )P chứa trục Oxcó dạng: ( 2 )

0

By+Cz= B +C ≠

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3), bán kính R=2

Vì mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính nên mặt phẳng ( )P qua tâm I(1; 2;3)

Nên ta có: 2B+3C=0 Chọn B=3 suy C= −2 Vậy phương trình mặt phẳng ( )P : 3y−2z=0

Câu 32: [2H3-4.6-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z+ =2 điểm (1; 2;1)

I − Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến

đường trịn có bán kính

A ( ) (S : x+1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =25 B ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =25 C ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =16 D ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =7

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có d I P( ,( ))=3

Bán kính mặt cầu là: 32+42 =5

Câu 33: [2H3-4.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x− +y 2z+ =1 ( )Q : 2x+ + − =y z Tìm r cho có mặt cầu ( )S có tâm thuộc trục hoành,

đồng thời ( )S cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến đường trịn có bán kính ( )S

(82)

A r= B r= C

2

r= D

2 r=

Gọi I a( ; 0; 0) tâm mặt cầu

Vì ( )S cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến đường trịn có bán kính nên Bán kính mặt cầu ( )

2

2 2 ( 1)

2 , ( ) (1)

6 a

R = +d I P ⇔R = + +

Vì ( )S cắt mặt phẳng ( )Q theo giao tuyến đường trịn có bán kính r nên Bán kính mặt cầu ( )

2

2 2 2 (2 1)

, ( ) (2)

6 a

R =r +d I Q ⇔R =r + −

Từ (1) (2) ta có

2

( 1) (2 1)

6

a a

r

+ −

+ = + 2 2 ( )2 2

2

a a r a r

⇔ − + − = ⇔ − = −

Khi để có mặt cầu ( )S thỏa u cầu tốn

9

2

r r

− = ⇔ =

Câu 34: [2H3-4.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x− +y 2z+ =1 ( )Q : 2x+ + − =y z Tìm r cho có mặt cầu ( )S có tâm thuộc trục hồnh,

đồng thời ( )S cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến đường trịn có bán kính ( )S

cắt mặt phẳng ( )Q theo giao tuyến đường trịn có bán kính r

A r= B r= C

2

r= D

2 r=

2

2 2 ( 1)

2 , ( ) (1)

6 a

R = +d I P ⇔R = + +

2

2 2 2 (2 1)

, ( ) (2)

6 a

R =r +d I Q ⇔R =r + −

Từ (1) (2) ta có

2

( 1) (2 1)

6

a a

r

+ −

+ = + 2 2 ( )2 2

2

a a r a r

⇔ − + − = ⇔ − = −

Khi để có mặt cầu ( )S thỏa yêu cầu toán

9

2

r r

(83)

Câu 35: [2H3-4.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu   S : x1 2 y 1 2 z 22 4

điểm A1;1; 1  Ba mặt phẳng thay đổi qua A đôi vuông góc nhau, cắt mặt cầu theo thiết diện ba hình trịn Tổng diện tích ba hình trịn bằng:

A 3  B 4  C 11  D 12 

Mặt cầu  S có tâm I1;1; 2 , bán kính R2

Gọi ba mặt phẳng đơi vng góc thỏa mãn tốn       ,  , 

Gọi M N P, , hình chiếu vng góc I       ,  ,  Suy M N P, , tâm

các đường tròn giao tuyến

Xét đường tròn giao tuyến nằm mặt phẳng   có: R2 R2 IM2

 

Tương tự, ta có R2 R2IN2 R2R2IP2

Suy R2R2R23R2IM2IN2IP23R2IA2 11

Vậy tổng diện tích ba hình trịn: SR2R2R2R2R2R211

Câu 36: [2H3-4.7-3] Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu tâm biết mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn có chu vi

A. . B .

C . D

Gọi tâm đường trịn ,

Đường trịn có chu vi Do đó:

Gọi bán kính mặt cầu

Vậy phương trình mặt cầu :

Câu 37: [2H3-4.7-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt cầu ( )S có tâm I nằm tia Ox, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) Viết phương trình mặt cầu ( )S

,

Oxyz A(1; 2; 2− )

( )P : 2x+2y+ + =z ( )S A ( )P

( )S π

( ) ( ) (2 ) (2 )2

: −1 + −2 + +2 =25

S x y z ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ +z 2)2 =5

( ) ( ) (2 ) (2 )2

: −1 + −2 + +2 =9

S x y z ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ +z 2)2 =16

I ( )C IA⊥( )P ⇒IA=d A P( ;( ))=3 ( )C π 2πr=8π ⇒ =r

R ( )S ⇒ =R r2+IA2 = 42+32 =5 ( )S (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 2)2 =25

R M

I

P

N

M I

(84)

A 2

( 3)

x +y + z− = B 2

( 3)

x +y + z− =

C 2

(x−3) +y +z =3 D 2

(x−3) +y +z =9

Mặt cầu có tâm thuộc Ox, bán kính R=3 nên có tâm I(3; 0; 0)

Phương trình mặt cầu là: (x−3)2+y2+z2 =9

Câu 38: [2H3-4.8-3] Trong không gian với hệ trục , cho hai đường thẳng Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng có

phương trình:

A B

C D

Chọn C

Ta có hai đường thẳng có hai véc-tơ

phương

Mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với cảhai đường thẳng đoạn vng góc chung hai đường thẳng đường kính mặt cầu

Gọi ,

là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng và

Suy , Suy mặt cầu có tâm trung điểm

đoạn có tọa độ bán kính Suy có phương trình

Oxyz

4

:

3

x y z

d − = − = +

− −

2

:

1

x y z

d − = + = d1 d2

2 2

2

x +y + +z x+ − =y z x2+y2+ +z2 4x+2y−2z=0

2 2

4 2

x +y +z − x− y+ z= x2+y2+ −z2 2x− + =y z

1

4

:

3

x y z

d − = − = +

− −

2

:

1

x y z

d − = + =

( )

1 3; 1;

u − − u2(1;3;1)

1 d d2

(4 ;1 ; )

A + a − − −a a ∈d B(2+ − +b; 3 ;b b)∈d2 AB b( −3a−2;3b+ −a 4;b+2a+5)

AB d1 d2

1

2

11

AB u AB u a b a

b a b

AB u AB u

 ⊥  =  + + =  = −

 ⇔ ⇔ ⇔

   + − =  =

⊥ =  

 

 

       

(1; 2; 3)

A − B(3; 0;1) AB(2; 2; 4− ) ( )S

AB I(2;1; 1− )

2 AB

R= = ( )S

2 2

(85)

Câu 39: [2H3-4.8-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), (0; 0; 6)

C

D(2; 4; 6) Tập hợp điểm M thỏa mãn    MA MB+ +MC+MD =4 mặt cầu có

phương trình

A (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =1 B (x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =1 C (x−1) (2+ y−2) (2+ z−3)2 =4 D (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =1

Chọn A.

Giả sử M x y z( ; ; ) (2 ; ; )

MA= − − −x y z



, MB= −( x; 4− −y; z), MC= − −( x; y; 6−z), MD=(2−x; 4−y; 6−z) (4 ;8 ;12 )

MA MB+ +MC+MD= − x − y − z

   

( ) (2 ) (2 )2

4 4 12 4

MA MB+ +MC+MD = ⇔ − x + − y + − z =

   

( ) (2 ) (2 )2 x y z

⇔ − + − + − = ( ) (2 ) (2 )2

1

x y z

⇔ − + − + − =

Cách khác

Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD G(1;2;3) và:

4 4

+ + + = ⇔ = ⇔ =

    

MA MB MC MD MG MG

Vậy tập hợp điểm M mặt cầu tâm G(1;2;3), bán kính

Suy phương trình cần tìm (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =1

Câu 40: [2H3-4.8-4] Trong không gian với hệ trục , mặt phẳng điểm , Mặt cầu có bán kính nhỏ qua , , tiếp xúc với mặt phẳng có tâm

A B C D

Chọn A

Gọi trung điểm đoạn thẳng suy Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Gọi đường thẳng qua vng góc với , suy có phương trình Gọi tâm mặt cầu suy

Ta có

Oxyz ( )P : 2x− +y 2z+ =5 (0; 0; 4)

A B(2; 0; 0) ( )S O A B

( )P (1; 2; 2)

I 1; 19;

4 I − 

  I(1; 2; 2− )

19 1; ;

4 I 

 

I AB I(1; 0; 2) I

OAB

∆ I (OAB) (≡ Oxz) ∆

1

2 x y t z

=   =   = 

E ( )S E∈ ∆ ⇒E(1; ; 2t )

2

(86)

Khi ta có

Với

Câu 41: [2H3-4.10-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình cầu ( )S :

2 2

6 11

x +y + −z x− y− − =z mặt phẳng 2x+2y+ + =z cắt theo hình trịn ( )C

Tính diện tích tồn phần hình nón có đỉnh tâm ( )S đáy hình trịn ( )C

A V =36π B V =24π C V =25π D V =49π

Ta có ( )S có tâm I(3;1; 2) bán kính r=5 Khoảng cách từ I đến ( )P : 2x+2y+ + =z

( )

( ) 2 22 2

;

2

d I P = + + + =

+ +

Gọi l h R, , độdài đường sinh, chiều cao bán kính đáy hình nón Ta có: l =IC=3, h=IJ =d I( ;( )P )=4, 2

3 R=JC = IC −IJ = Diện tích đáy bằng: S1=π.R2 =9 π

Vậy ta có diện tích tồn phần khối nón: Stp =Sxq+S1=π .R l+9π =24π

Câu 42: [2H3-4.10-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 4− ),B(1; 3;1− ), (2; 2;3)

C

Mặt cầu ( )S qua A, B, Cvà có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy)có bán kính

A 26 B 34 C 34 D 26

2

2 11

5 22 76 19

3

4 t t

t t t

t

= 

− + 

+ = ⇔ + − = ⇔

 = − 

( )

2 1; 2;

t = ⇒E ⇒ =R EB=

19 19 441

1; ;

5 4

t = − ⇒E − ⇒ =R EB= >

 

R C

J A

(87)

Chọn A

TâmI mặt cầu ( )S thuộc mặt phẳng (Oxy)nên giả sử I x y( ; ;0) Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 16

1 16 2

1 16

1

1 16 2

 − + − + = − + + +

=

 

= = ⇔ ⇔

=

  − + − + = − + − +

 − + − + = − + + +  = −



⇔ ⇔ =



− + − + = − + − +



x y x y

IA IB IA IB IC

IA IC

x y x y

x y x y x

y

x y x y

Suy I(−2;1;0) Vậy bán kính mặt cầu R=IA= 26

Câu 43: [2H3-4.10-3]Hai bóng hình cầu có kích thước khác đặt hai góc nhà hình hộp chữ nhật Mỗi bóng tiếp xúc với hai tường nhà Trên bề mặt bóng, tồn điểm có khoảng cách đến hai tường bóng tiếp xúc đến nhà 9, 10, 13 Tổng độdài đường kính hai quảbóng

A 64 B 34 C 32 D 16

Giải Chọn.A

Chọn hệ trục toạđộ Oxyz gắn với góc tường trục cạnh góc nhà Do hai cầu tiếp xúc với tường nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạđộ, tâm cầu có toạđộ I a a a( ; ; ) với a>0 có bán kính R=a

Do tồn điểm bóng có khoảng cách đến tường nhà 9, 10,

11 nên nói cách khác điểm A(9;10;13) thuộc mặt cầu Từđó ta có phương trình: ( ) (2 ) (2 )2 2

9−a + 10−a + 13−a =a

Giải phương trình ta nghiệm a=7 a=25

Vậy có mặt cầu thoả mãn toán tổng độdài đường kính 25( + )=64

Câu 44: [2H3-4.10-3] Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho A(1; 0; 0), B(0; −1; 0), C(0; 0; 1), (1; 1; 1)

D −

Mặt cầu tiếp xúc cạnh tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện có diện tích S Chọn mệnh đềđúng ?

A

6

S =π B

4

S =π C

3

S =π D

5 S =π

(88)

1 1 ; ;

2 2

G − 

  ; bán kính

1

3

2

R=AG= =

Phương trình mặt phẳng (ACD) : x+ − =z ( )

( )

1 1

2 2

;

2

GH d G ACD

− −

= = =

Bán kính đường tròn thiết diện : 2 1

4 2

r= R −GH = − =

Vậy diện tích đường trịn : S=πr =π

Câu 45: [2H3-4.10-4] Cho mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y+1) (2 + +z 2)2 =4 điểm M(2; 1; 3− − ) Ba mặt phẳng thay đổi qua M đôi vng góc với nhau, cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến ba

đường trịn Tổng bình phương ba bán kính ba đường trịn tương ứng

A 4 B 1 C 10 D 11

Cách 1:

Ta có mặt cầu ( ) (S : x−2) (2 + y+1) (2+ +z 2)2 =4 có tâm I(2; 1; 2− − ) bán kính R=2

Tịnh tiến hệ trục tọa độ lấy M gốc tọa độ I a b c( ; ; )

Khi 2

1=IM ⇔a +b +c =1

Khoảng cách từ Iđến ba mặt đơi vng góc a b c, ,

Do tổng bình phương ba bán kính ba đường trịn tương ứng

2 2

R − a +R −b +R − c =3R2−(a2+b2+c2)=11

Cách 2:

Gọi α mặt phẳng qua M I, , α ( )S cắt tạo thành đường trịn bán kính:

3 rα = R −IM =

x z

y

M

(89)

Gọi β mặt phẳng qua MIvà vng góc với α , β ( )S cắt tạo thành đường tròn bán kính:rβ =RS = 4=2

Gọi γ mặt phẳng qua MIvà γ vng góc với α , γ vng góc với β, γ ( )S cắt tạo thành đường trịn bán kính:rγ =RS = 4=2

Vậy tổng bình phương bán kính ba đường trịn : rα2+rβ2+rγ2 =11

Câu 46: [2H3-4.10-4]Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , mặt phẳng Trong mặt cầu qua hai điểm , có tâm thuộc mặt phẳng

, mặt cầu có bán kính nhỏ Tính bán kính mặt cầu

A B C D

Ta có: , gọi trung điểm suy Gọi tâm mặt cầu cần tìm Vì suy ra: Vì mặt cầu qua hai điểm , nên

Khi

mặt cầu có bán kính nhỏ nhỏ Ta có

Suy nhỏ là:

Khi bán kính nhỏ mặt cầu là:

Câu 47: [2H3-4.10-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0; 1− ) mặt phẳng ( )P :x+ − − =y z Mặt cầu ( )S có tâm I nằm mặt phẳng ( )P đồng thời qua hai điểm A O cho chu vi tam giác OIA 6+ Khi đó, phương trình mặt cầu ( )S phương

trình sau đây, biết tâm I có cao độ âm?

A (x+1) (2+ y−2) (2+ +z 2)2 =9 B (x+2) (2+ y−2) (2+ +z 3)2 =17 C ( )2 ( )2

1

x− +y + +z = D ( )2 ( )2

2

x− +y + +z =

Lời giải Chọn A.

Ta có: OA= IA=IO nên IA=IO=3 Gọi I x( ;− + +x z 3;z) ( )∈ P , tọa độ I thỏa hệ:

3 IO IA

=   = 

( )

( ) ( ) ( )

2

2 2

3

1

x x z z

 + − + + + =

 ⇔ 

− + − + + + − − =



Ta trừhai phương trình với giải hệ ta có: z= −2 (do I có cao độ âm) Vậy I(−1; 2; 2− ) hay ( ) (S : x+1) (2+ y−2) (2+ +z 2)2 =9

Oxyz A(1; 2;1) B(3; 2;3)

( )P :x− − =y A B

( )P ( )S R ( )S

2

R= R=2 R= R=1

(2; 0; 2) AB=



H AB H(2; 2; 2)

I I∈( )P I m m( ; −3;n) HI =(m−2;m−5;n−2)

( )S A B HI ⊥ AB⇔HI AB  = ⇔ + = ⇔ = −0 m n n m ( 2; 5; )

HI = m− m− −m



( )S d I AB( , )

( ) ( )

, 18 33 6

d I AB = HI = m − m+ = m − m+ + ≥

( , )

d I AB

( )

2

6 2

AB

R=   + = + =

(90)

- HẾT -

Câu 48: [2H3-4.10-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x− +y 2z+ =1 ( )Q : 2x+ + − =y z Tìm r cho có mặt cầu ( )S có tâm thuộc trục hoành, đồng

thời ( )S cắt mặt phẳng ( )P theo giao tuyến đường tròn có bán kính ( )S cắt mặt

phẳng ( )Q theo giao tuyến đường trịn có bán kính r

A r= B r= C

2

r= D

2 r=

2

2 2 ( 1)

2 , ( ) (1)

6 a

R = +d I P ⇔R = + +

2

2 2 2 (2 1)

, ( ) (2)

6 a

R =r +d I Q ⇔R =r + −

Từ (1) (2) ta có

2

( 1) (2 1)

6

a a

r

+ −

+ = + 2 2 ( )2 2

2

a a r a r

⇔ − + − = ⇔ − = −

Khi để có mặt cầu ( )S thỏa u cầu tốn 2

r r

− = ⇔ =

Câu 49: [2H3-4.10-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 25

S x− + y− + +z = Đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S hai điểm A, B Biết tiếp diện ( )S A B vng góc Tính độ dài AB

A.

2

AB= B. AB=5 C. AB=5 D. 2 AB=

(91)

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2; 1− ), bán kính R=5 Tiếp diện ( )P ( )Q ( )S A B vng góc với suy tứ giác IAHB hình vng Vậy AB=R 2=5

Câu 50: [2H3-4.10-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho biết đường cong ( )ω tập hợp tâm mặt cầu ( )S qua điểm A(1;1;1) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng ( )α :x+ + − =y z ( )β :x+ + + =y z Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong ( )ω

A 45 π B 3 C 9 π D 3

Gọi I x y z( ; ; ) tâm mặt cầu ( )S Theo ra, ta có IA=d I( ;( )α )=d I( ;( )β ) ( )

( ; ) ( ;( )) 6 ( ):

d I α =d I β ⇔ + + − = + + + ⇔x y z x y z P x+ + =y z

( )α //( )β suy (( ) ( ); ) ( ) (1 : 1) (2 1) (2 1)2 12

d

IA= α β = ⇒ S x− + y− + −z =

⇒ Tập hợp tâm mặt cầu ( )S giao tuyến mặt cầu ( )S1 mặt phẳng ( )P hình trịn có bán kính ( ) ( ( )) ( ) ( )

1

2

; 3

S

R= R −d A P = − =

Phần 5: TỔNG HỢP GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

Câu 51: [2H3-5.2-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

3 x t

d y t

z t

= +   = −   = − 

2

:

5 x t

d y t

z t

′ =  

′  = − − ′

 = − ′



Chọn

khẳng định khẳng định sau:

A d ≡d′ B d cắt d′ C d d′chéo D. d//d′

Hướng dẫn giải: Chọn D

I A

B

P Q

(92)

Do ud′=2ud M(1; 2;3)∈ ⇒d M∉ ⇒d′ d/ /d′

Câu 52: [2H3-5.2-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;0;2 hai đường thẳng :

d x y z,

1 ' :

0

x t

d y t

z           

Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d' cho đường thẳng

AN cắt đường thẳng d điểm

A N0;3;0  B N2;1;0 

C N1;2;0  D Khơng có điểm N

Lời giải. Viết lại

'

: : '

1 2

2 '

x t

x y z

d d y t

z t            

Gọi  

 

;2 ;2

1 ;2 ;0 '

M m m m d

N n n d

 



   



Suy  

   

;2 ;2

, 4;2 2;

1 ;2 ;

AM m m m

AM AN mn m n mn m n mn

AN n n

                         

Để AN cắt d M ba điểm A M N, , thẳng hàng AM AN, 0

 

  

 

2 1

2 2 1;2;0

0

3

mn m n

m

mn m n N

n mn                              

Chọn C.

Nhận xét Chỗ giải cho học sinh, nhiều giáo viên mắc sai lầm cho hai vectơ phương xét tỉ lệ Trong dính tham số nên làm khơng ổn

Câu 53: [2H3-5.2-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ( )

1

:

3

x t

d y t t

z t = +   = ∈   = − 

 ( )

2 :

x t

d y t t

z t ′ = +   ′  = + ′ ′∈  = − ′ 

 Khẳng định sau đúng?

A Đường thẳng d cắt đường thẳng d′

B Đường thẳng d song song với đường thẳng d′

C Đường thẳng d trùng với đường thẳng d′

D Hai đường thẳng d d′ chéo

Hai đường thẳng d, d′ có vectơ chỉphương là: u1 =(1; 2; 1− ) u2 =(2; 4; 2− )=2u1

nên hai đường thẳng d, d′ song song trùng Lấy M(1; 0;3)∈d, thay vào d′ ta có:

1 2 t t t ′ = +   = + ′   = − ′  0, 0, 75 t t t ′ = −   ′ ⇔ = −  ′ = 

(vô lý) nên hai đường thẳng d, d′ song song với

Câu 54: [2H3-5.3-3] Cho hai điểm A(1; 2;1) B(4;5; 2− ) mặt phẳng ( )P có phương trình 3x−4y+5z+ =6 Đường thẳng AB cắt ( )P điểm M Tính tỷ số MB

(93)

A 4 B 2 C 3 D 1

4

Ta có AB=(3;3; − ) Phương trình đường thẳng AB ( ) ( )

:

1

x t

d y t t

z t

= + 

 = + ∈

  = − 



Gọi M giao điểm ( )d ( )P , ta có hệ:

( )

1 1

2 2

2;3;

1

3 3 5 0

x t x t t

y t y t x

M

z t z t y

x y z t t t z

= + = + =

  

 = +  = +  =

 ⇔ ⇔ ⇒

 = −  = −  =

  

 − + + =  + − − + − + =  =

  

Ta có MA= − −( 1; 1;1 ,) MB=(2; 2; 2− ⇒) MB= −2MA Vậy MB MA =

Câu 55: [2H3-5.3-3] Cho hai điểm A(1; 2;1) B(4;5; 2− ) mặt phẳng ( )P có phương trình 3x−4y+5z+ =6 Đường thẳng AB cắt ( )P điểm M Tính tỷ số MB

MA

A 4 B 2 C 3 D 1

4

Ta có AB=(3;3; − ) Phương trình đường thẳng AB ( ) ( )

:

1

x t

d y t t

z t

= + 

 = + ∈

  = − 



Gọi M giao điểm ( )d ( )P , ta có hệ:

( )

1 1

2 2

2;3;

1

3 3 5 0

x t x t t

y t y t x

M

z t z t y

x y z t t t z

= + = + =

  

 = +  = +  =

 ⇔ ⇔ ⇒

 = −  = −  =

  

 − + + =  + − − + − + =  =

  

Ta có MA= − −( 1; 1;1 ,) MB=(2; 2; 2− ⇒) MB= −2MA Vậy MB MA =

(94)

A N(2;1;1) B. 1; ; 2

N − 

  C

3 ; ;1 2

N 

  D

5 ; ;1 2

N 

 

Đường thẳng AB qua A nhận AB= −( 1;1; 2) làm vectơ phương có phương trình

tham số là:

2 x t y t z t = −   = +   = 

Do N∈AB nên N(2−t;1+t t; )⇒MN = −(1 t t t; ; ) Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến là: n =(1;1;1)

1

/ /( ) ;

2 2

MN P ⇒MN n= ⇔ − + + = ⇔ = − ⇒t t t t N − 

 

 

Câu 57: [2H3-5.3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm (0; 2; 0)

A , M(2;1; 1− ) cắt trục Ox, Oz B, C cho thể tích tứ diện OABC

A 2x+3y+ − =z 0; x−6y+8z+12=0 B 2x+3y+ − =z 0; x−6y+8z−12=0

C 2x+3y+ + =z 0; x−6y+8z−12=0 D 2x+3y+ + =z 0; x−6y+8z+12=0

Ta có: B∈Ox⇒B b( ; 0; 0), C∈Oz ⇒C(0; 0;c) Vì OABC tứ diện nên B≠O C≠O Suy a b ≠0,OA=2, OB= b , OC= c ,

6

OABC

V = OA OB OC b c

=

3b c

=

Gọi ( )α mặt phẳng cần tìm Phương trình mặt phẳng ( )α theo đoạn chắn

x y z

a+ + =c Mặt phẳng ( )α qua M thể tích tứ diện OABC khi:

2 1 b c b c −  + + =    =  18 18 c b bc c b bc  − =   =   ⇔  − = −  = −   ( ) 2 9 18

2 9 18

b c c c b c vn c c  = −  − − =   ⇔  = +   + + =  12 3 b b c c = −  =   ⇔ ∨ = = −  

Với b c =   =

 , phương trình mặt phẳng ( )α : x y z

+ + = hay 2x+3y+ − =z

Với

12 b c = −    = −

 , phương trình mặt phẳng ( )α :

2

12

x y z

+ + =

(95)

Câu 58: [2H3-5.3-4] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm (0; 2; 0)

A , M(2;1; 1− ) cắt trục Ox, Oz B, C cho thể tích tứ diện OABC

A 2x+3y+ − =z 0; x−6y+8z+12=0 B 2x+3y+ − =z 0; x−6y+8z−12=0

C 2x+3y+ + =z 0; x−6y+8z−12=0 D 2x+3y+ + =z 0; x−6y+8z+12=0

Ta có: B∈Ox⇒B b( ; 0; 0), C∈Oz ⇒C(0; 0;c) Vì OABC tứ diện nên B≠O C≠O Suy a b ≠0,OA=2, OB= b , OC= c ,

6

OABC

V = OA OB OC

6 b c

=

3 b c

=

Gọi ( )α mặt phẳng cần tìm Phương trình mặt phẳng ( )α theo đoạn chắn

x y z

a+ + =c Mặt

phẳng ( )α qua M thể tích tứ diện OABC khi: 1

1 b c b c −  + + =    =  18 18 c b bc c b bc  − =   =   ⇔  − = −  = −   ( ) 2 9 18

2 9 18

b c c c b c vn c c  = −  − − =   ⇔  = +   + + =  12 3 b b c c = −  =   ⇔ ∨ = = −  

Với b c =   =

 , phương trình mặt phẳng ( )α :

x+ + =y z

hay 2x+3y+ − =z

Với

12 b c = −    = −

 , phương trình mặt phẳng ( )α :

2 12 x + +y z =

− − hay x−6y+8z+12=0

Câu 59: [2H3-5.3-4]Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba mặt phẳng ( )P :x−2y+ − =z 0, ( )Q :x−2y+ + =z ( )R : x−2y+ − =z Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng ( ) ( ) ( )P , Q , R A B C, , Đặt

2 144 AB T AC

= + Tìm giá trị nhỏ T A. minT =54 23 B minT =108 C

minT =72 D minT =96

Ta có ( ) ( ) ( )P // Q // R (( ) ( )) ( ) ( )

( , )

, d P Q AB

AC = d P R =

2 2

3

2

144 72 72 72.72

3 54

4 4

AB AB AB

T

AC AC AC AC

(96)

Câu 60: [2H3-5.4-3] Cho mặt cầu ( ) (S : x−4) (2+ y−7) (2+ +z 1)2 =36 mặt phẳng ( )P : 3x+ − + =y z m Tìm m để mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn có bán kính lớn

A m= −20 B m=6 C m=36 D m=20 Hướng dẫn giải

Chọn A

• Mặt cầu S tâm I(4; 7; 1− ) bán kính R=6

• Mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường trịn có bán kính lớn mặt mặt ( )P

đi qua tâm I mặt cầu, đường trịn giao tuyến cịn gọi đường trịn xích đạo Khi (4; 7; 1) ( )

I − ∈ S ⇔ m= −20

Câu 61: [2H3-5.4-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ tâm I đường tròn giao tuyến với mặt cầu ( )S : (x−1) (2+ y−1) (2+ z−1)2 =64 với mặt phẳng ( )α : 2x+2y+ +z 10=0 A 7; 7;

3 3

− − − 

 

  B (− − −2; 2; ) C

2 7

; ;

3 3

− − − 

 

  D

7

; ;

3 3

− − − 

 

 

Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1), bán kính R=8

Phương trình đường thẳng d qua I(1;1;1) vng góc với mặt phẳng ( )α : 2x+2y+ +z 10=0

1 :

1

x t

d y t

z t

= +   = +   = + 

Gọi J tâm mặt cầu ( )S Suy : J = ∩d ( )α Vậy J(1 ;1 ;1+ t + t +t)

Mà J∈( ) (α : 2+ t) (+2 2+ t)+ + +1 t 10=0

3 t

⇔ = − Suy 7; 7;

3 3

J− − − 

 

Câu 62: [2H3-5.4-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ tâm I đường tròn giao tuyến với mặt cầu ( )S : (x−1) (2 + y−1) (2+ z−1)2 =64 với mặt phẳng ( )α : 2x+2y+ +z 10=0 A 7; 7;

3 3

− − − 

 

  B (− − −2; 2; ) C

2 7

; ;

3 3

− − − 

 

  D

7

; ;

3 3

− − − 

 

 

Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1), bán kính R=8

(97)

1 :

1

x t

d y t

z t

= +   = +   = + 

Gọi J tâm mặt cầu ( )S Suy : J = ∩d ( )α Vậy J(1 ;1 ;1+ t + t +t)

Mà J∈( ) (α : 2+ t) (+2 2+ t)+ + +1 t 10=0

3 t

⇔ = − Suy 7; 7;

3 3

J− − − 

 

Câu 63: [2H3-5.4-4]Cho số thực ; ;x y z thỏa mãn

2 2

2 4

x +y + −z x− y− z− = Tìm giá trị lớn nhất biểu thức T =2x+3y+6z

A T =49 B T =7 C. T =48 D T =20

Mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x−4y−4z− =7 có tâm I(1; 2; 2) bán kính R=4 Xét mặt phẳng ( )P : 2x+3y+6z T− =0

Để tồn ba giá trị , ,x y z mặt phẳng mặt cầu phải cắt

Do đó, d I P( ,( ))<R 20

T

−

⇔ < ⇔ 20− <T 28 ⇔ − <28 20− <T 28⇔ − < <8 T 48

Vậy Tmax =48

Câu 64: [2H3-5.4-4]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét điểm A(0; 0;1 ,) B m( ; 0; ,)

(0; ; 0)

C n

vàD(1;1;1) với m n, >0;m+ =n Biết m n, thay đổi, tồn mặt cầu cốđịnh tiếp xúc với (ABC) qua điểm D Tính bán kính R mặt cầu

A

2

R= B. C 3

2 D

3

( ):

1 x y z

P nx my mnz mn

m+ + = ⇔n + + − =

(1 m x) my m(1 m z) m(1 m)

⇔ − + + − − − =

Gọi I a b c( ; ; ) tâm mặt cầu cốđịnh ( )

( , )

d I P k

⇒ = ( số )

( ) ( ) ( )

( )2 2 2( )2

1 1

1

m a mb m m c m m

k

m m m m

− + + − − −

⇔ =

(98)

( ) ( )

( )

2

1

m c m a b c a

k

m m

− + − + + − +

⇔ =

− +

Do k số ∀ ∈m  nên 1 1

1 1

a c

c a b c a

b c

= − 

− = − + + −

= ⇔  = −

− 

Ta lại có R=d I P( ,( ))=ID=k ( ) (2 ) (2 )2

1 1

a a b c

⇔ = − + − + − ⇔ =c

1 a b

= 

⇒  =



1 R

⇒ =

Câu 65: [2H3-5.4-4]Cho số thực ; ;x y z thỏa mãn

2 2

2 4

x +y + −z x− y− z− = Tìm giá trị lớn nhất biểu thức T =2x+3y+6z

A T =49 B T =7 C. T =48 D T =20

Mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2x−4y−4z− =7 có tâm I(1; 2; 2) bán kính R=4 Xét mặt phẳng ( )P : 2x+3y+6z T− =0

Để tồn ba giá trị , ,x y z mặt phẳng mặt cầu phải cắt

Do đó, d I P( ,( ))<R 20

T

−

⇔ < ⇔ 20− <T 28 ⇔ − <28 20− <T 28⇔ − < <8 T 48

Vậy Tmax =48

Câu 66: [2H3-5.4-4]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, xét điểm A(0; 0;1 ,) B m( ; 0; ,) (0; ; 0)

C n

vàD(1;1;1) với m n, >0;m+ =n Biết m n, thay đổi, tồn mặt cầu cốđịnh tiếp xúc với (ABC) qua điểm D Tính bán kính R mặt cầu

A

2

R= B. C 3

2 D

3

( ):

1

x y z

P nx my mnz mn

m+ + = ⇔n + + − =

(1 m x) my m(1 m z) m(1 m)

⇔ − + + − − − =

Gọi I a b c( ; ; ) tâm mặt cầu cốđịnh ( )

( , )

d I P k

⇒ = ( số )

( ) ( ) ( )

( )2 2 2( )2

1 1

1

m a mb m m c m m

k

m m m m

− + + − − −

⇔ =

(99)

( ) ( )

( )

2

1

m c m a b c a

k

m m

− + − + + − +

⇔ =

− +

Do k số ∀ ∈m  nên 1 1

1 1

a c

c a b c a

b c

= − 

− = − + + −

= ⇔  = −

− 

Ta lại có R=d I P( ,( ))=ID=k ( ) (2 ) (2 )2

1 1

a a b c

⇔ = − + − + − ⇔ =c

1 a b

= 

⇒  =



1 R

⇒ =

Câu 67: [2H3-5.6-3] Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình lập phương có , , Xét mặt phẳng chứa , gọi góc mặt phẳng Giá trị nhỏ

A B C D

Chọn B

Cách (Xác định góc hai mp – tìm BĐT liên quan) Gọi giao tuyến (qua ), dựng C H' ⊥d mà

Ta có Vậy góc nhỏ

Cách (áp dụng tính chất hình học góc hai mặt phẳng lớn góc đường thẳng nằm mặt so với mặt kia)

Mặt phẳng chứa đường thẳng nên suy góc

Vậy góc nhỏ

Oxyz ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

(0; 0; 0)

A B(1; 0; 0) D(0;1; 0) A′(0; 0;1) ( )P CD′ α

( )P (BB C C′ ′ ) α

30° 45° 60° 90°

x

y z

d

C

D C'

B

A' D'

A B'

H

( ) ( )

d = P ∩ BB C C′ ′ C (BB C C′ ′ ) C D′ ′ ⊥d ⇒D H′ ⊥d

( ) ( )

( P , BB C C′ ′ )=C HD′ ′=α

( )

1

tan C D do C H CC C H C H CC

α = ′ ′= ≥ = ′ ≤ ′

′ ′ ′ ⇒ ≥ °α 45 α = °45

( )P CD′ (( )P ,(BB C C′ ′ ))≥(CD′,(BB C C′ ′ ))= °45 45

(100)

Câu 68: [2H3-5.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ − + =y z hai

điểm A(1; 2; 2− ), B(2; 0; 1− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua hai điểm A, B cho góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )Q nhỏ

A 4x+ −y 2z−10=0 B x+2y+3z+ =1

C x− − =y 0 D 2x+ − − =y z

Gọi M =AB∩( )P d =( ) ( )P ∩ Q

Gọi H hình chiếu vng góc A lên ( )P Dựng HK ⊥d

Khi đó, (( ) ( )P ; Q )=ϕ

Ta có sin AH AH AK AM

ϕ = ≥

ϕ nhỏ ⇔sinϕ nhỏ ⇔K ≡M (1; 2;1)

AB= −



; nP =(1;1; 1− )

Ta có d d ; P (1; 2;3)

d P

u AB

u AB n

u n



⊥   

⇒ = =

  

⊥ 

 

  

 

( )

; 8; 2;

Q d

Q

n u

n u AB n AB



⊥ 

 

⇒ = = −

  

⊥ 

 

  

 

Mặt phẳng ( )Q qua điểm A(1; 2; 2− ) có nQ =(8; 2; 4− ) có phương trình

( ) ( ) ( )

8 x− +1 y− −2 z+2 = ⇔0 4x+ −y 2z−10=0

Câu 69: [2H3-5.6-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ − + =y z hai

điểm A(1; 2; 2− ), B(2; 0; 1− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q qua hai điểm A, B cho góc mặt phẳng ( )P mặt phẳng ( )Q nhỏ

A 4x+ −y 2z−10=0 B x+2y+3z+ =1

C x− − =y 0 D 2x+ − − =y z

Gọi M =AB∩( )P d =( ) ( )P ∩ Q

(101)

Khi đó, (( ) ( )P ; Q )=ϕ

Ta có sin AH AH

AK AM

ϕ = ≥

ϕ nhỏ ⇔sinϕ nhỏ ⇔K ≡M

(1; 2;1)

AB= −



; nP =(1;1; 1− )

Ta có d d ; P (1; 2;3)

d P

u AB

u AB n

u n



⊥   

⇒ = =

  

⊥ 

 

  

 

( )

; 8; 2;

Q d

Q

n u

n u AB n AB



⊥ 

 

⇒ = = −

  

⊥ 

 

  

 

Mặt phẳng ( )Q qua điểm A(1; 2; 2− ) có nQ =(8; 2; 4− ) có phương trình

( ) ( ) ( )

8 x− +1 y− −2 z+2 = ⇔0 4x+ −y 2z−10=0

Câu 70: [2H3-5.8-3] Hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(0;0;0 , 1;0;0 , 0;2;0 ,) (B ) (D ) A′(0;0;3) Góc đường thẳng AC′ mặt phẳng (A BD′ ) gần bằng:

A 43 25° ′ B 46 35° ′ C 52 13° ′ D 48 47° ′

Hướng dẫn giải ChọnA

Có AC   ′ =AB AD AC+ + =(1;2;3)

Mặt phẳng ( ): 6

1

x y z

A BD′ + + = ⇔ x+ y+ z=

( )

( ) 2 6.1 3.2 2.32 2 2 2 2 18 sin ;

7 14

6 2

AC A BD′ ′ = + + =

+ + + +

Vậy góc đường thẳng AC′ mặt phẳng (A BD′ ) gần 43 25° ′

Câu 71: [2H3-5.8-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α :x+ay bz+ − =1

đường thẳng :

1 1

x y z−

∆ = =

− − Biết ( )α // ∆ ( )α tạo với trục Ox Oz, góc giống Tìm giá trị a

(102)

C a=0 D a=2

Chọn A(0; 0;1)∈ ∆ Ta có ( )

( ) ( ) 1; 1;

1; ; u

nα a b

∆ = − −



 =

 

 mà ( )α //∆ ( )

( )

1 0 1

1

n u a b a b

b b A α α ∆ =   − − =  + =  ⇔ ⇔ ⇔ ≠ ≠ ∉      ( )∗

Mặt khác ( )α tạo với trục Ox Oz, góc nhau, suy sin(n( )α ;i)=sin(n( )α ;k) với ( )

( ) 1; 0;

0; 0;1 i k  =   =    ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

n i n k b

b

n i n k

α α α α ⇒ = ⇔ = ⇔ = ±      

  , vào ( )∗ , ta a a =   = 

Khi a=2 b= −1 (thỏa mãn), a=0 b=1 (không thỏa mãn) Vậy a=2

Câu 72: [2H3-5.8-3] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α :x+ay bz+ − =1

đường thẳng :

1 1

x y z−

∆ = =

− − Biết ( )α // ∆ ( )α tạo với trục Ox Oz, góc giống Tìm giá trị a

A a= −1 a=1 B a=2 a=0

C a=0 D a=2

Chọn A(0; 0;1)∈ ∆ Ta có ( )

( ) ( ) 1; 1;

1; ; u

nα a b

∆ = − −



 =

 

 mà ( )α //∆ ( )

( )

1 0 1

1

n u a b a b

b b A α α ∆ =   − − =  + =  ⇔ ⇔ ⇔ ≠ ≠ ∉      ( )∗

Mặt khác ( )α tạo với trục Ox Oz, góc nhau, suy sin(n( )α ;i)=sin(n( )α ;k) với ( )

( ) 1; 0;

0; 0;1 i k  =   =    ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

n i n k b

b

n i n k

α α α α ⇒ = ⇔ = ⇔ = ±      

  , vào ( )∗ , ta a a =   = 

(103)

1

x− y z+

∆ = = đường

thẳng :

3

x y z

d + = − = + Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua ∆ tạo với đường thẳng d góc lớn

A 19x−17y−20z−77=0 B 19x−17y−20z+34=0

C 31x−8y−5z+91=0 D 31x−8y−5z−98=0

Cách 1:

Đường thẳng d có VTCP u1=(3;1; 2)

Đường thẳng ∆ qua điểm M(3; 0; 1− ) có VTCP u =(1; 2;3)

Do ∆ ⊂( )P nên M∈( )P Giả sử VTPT ( )P n=(A B C; ; ),(A2 +B2+C2 ≠0)

Phương trình ( )P có dạng A x( − +3) By C z+ ( + =1) Do ∆ ⊂( )P nên u n  = ⇔ +0 A 2B+3C= ⇔ = −0 A 2B−3C Gọi α góc d ( )P Ta có

( )

1

2 2 2 2

1

3

14 14. 2 3

u n A B C B C B C

sin

u n A B C B C B C

α = = + + = − − + +

+ + − − + +

   

( )2

2

5 7

5 12 10 14

14 12 10

B C B C

B BC C

+ +

= =

+ +

+

TH1: Với C=0 70

14 14

sinα = =

TH2: Với C≠0 đặt t B C

= ta có ( )

2

5

1

5 12 10

14

t sin

t t

α = +

+ +

Xét hàm số ( ) ( ) 2

5 12 10

t f t

t t

+ =

+ + 

Ta có ( )

( )

2

50 10 112 12 10

t t

f t

t t

− + +

′ =

+ +

( )

8 75

5 14

0 50 10 112

7

0

5

t f

f t t t

t f

 = ⇒  =

 

  



′ = ⇔ − + + = ⇔

  

= − ⇒ − =

  



Và ( ) ( )

2

5

lim lim

5 12 10

x x

t f t

t t

→±∞ →±∞

+

= =

+ +

(104)

Từđó ta có ( ) 75 14

Maxf t = 8

5

B t

C

= ⇒ = Khi 75

5 14 14

sinα = f   =

 

So sánh TH1 Th2 ta có sinα lớn 75 14

sinα = B C =

Chọn B= − ⇒ = − ⇒ =8 C A 31

Phương trình ( )P 31(x− −3) 8y−5(z+ = ⇔1) 31x−8y− −5z 98=0

Cách 2:

Gọi n ≠0 vtpt ( )P (1; 2;3)

u= vtcp đường thẳng∆.Kiểm tra đk :n u  =0 loại A B, LấyM(3; 0; 1)− ∈ ∆.Kiểm tra đk M∈( )P :Loại C Vậy chọn D

1

x− y z+

∆ = = đường

thẳng :

3

x y z

d + = − = + Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua ∆ tạo với đường thẳng d góc lớn

A 19x−17y−20z−77=0 B 19x−17y−20z+34=0

C 31x−8y−5z+91=0 D 31x−8y−5z−98=0

Cách 1:

Đường thẳng d có VTCP u1=(3;1; 2)

Đường thẳng ∆ qua điểm M(3; 0; 1− ) có VTCP u =(1; 2;3)

Do ∆ ⊂( )P nên M∈( )P Giả sử VTPT ( )P ( ) ( 2 )

; ; ,

n= A B C A +B +C ≠



Phương trình ( )P có dạng A x( − +3) By C z+ ( + =1) Do ∆ ⊂( )P nên u n  = ⇔ +0 A 2B+3C= ⇔ = −0 A 2B−3C Gọi α góc d ( )P Ta có

( )

1

2 2 2 2

1

3 2 3 2 3 2

14 14. 2 3

u n A B C B C B C

sin

u n A B C B C B C

α = = + + = − − + +

+ + − − + +

   

( )2

2

5 7

5 12 10

14

14 12 10

B C B C

B BC C

+ +

= =

+ +

+

(105)

TH2: Với C≠0 đặt t B C

= ta có ( )

2

5

1

5 12 10

14

t sin

t t

α = +

+ +

Xét hàm số ( ) ( ) 2

5 12 10

t f t

t t

+ =

+ + 

Ta có ( )

( )

2

50 10 112 12 10

t t

f t

t t

− + +

′ =

+ +

( )

8 75

5 14

0 50 10 112

7

0

5

t f

f t t t

t f

 = ⇒  =

 

  



′ = ⇔ − + + = ⇔

 = − ⇒ − =

  

 



Và ( ) ( )

2

5

lim lim

5 12 10

x x

t f t

t t

→±∞ →±∞

+

= =

+ +

Bảng biến thiên

Từđó ta có ( ) 75

14

Maxf t = 8

5

B t

C

= ⇒ = Khi 75

5 14 14

sinα = f    =

 

So sánh TH1 Th2 ta có sinα lớn 75 14

sinα = B C =

Chọn B= − ⇒ = − ⇒ =8 C A 31

Phương trình ( )P 31(x− −3) 8y−5(z+ = ⇔1) 31x−8y−5z−98=0

Cách 2:

Gọi n ≠0 vtpt ( )P (1; 2;3)

u= vtcp đường thẳng∆.Kiểm tra đk :n u  =0 loại A B, LấyM(3; 0; 1)− ∈ ∆.Kiểm tra đk M∈( )P :Loại C Vậy chọn D

Câu 75: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(−1; 2; 4) N(0;1;5) Gọi ( )P mặt phẳng qua M cho khoảng cách từ N đến ( )P lớn Khi đó, khoảng cách d từ O đến mặt phẳng ( )P bao nhiêu?

A

3

d = B d = C

3

d = D

3 d = −

(106)

Gọi H hình chiếu N lên mặt phẳng ( )P Khi đó, tam giác MNH vng H nên NH ≤NM Do đó, để khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( )P lớn M ≡H hay ( )P qua M có vecto pháp tuyến MN=(1; 1;1− )

Suy ra: ( ) (P : x+ −1) (y−2) (+ z−4)=0 ⇔ − + − =x y z Vậy ( ( ))

( )2

2

1

;

3

1 1

d O P = − =

+ − +

Câu 76: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), gọi I giao điểm đường thẳng

1

:

2

x y z

d − = + = + mặt phẳng ( )P :x+2y+2z− =7 Tính khoảng cách từ điểm M ∈d

đến ( )P , biết IM =9

A 3 B 2 C 15 D 8

Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng ( )P

Ta có MIH =(d P,( )) Khi sin cos( , ( )) 3.3

d P

MIH = u n  = + + =

Suy ( ,( )) sin 9.8 d M P =MH =MI MIH = =

Câu 77: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng

điểm Với giá trị khoảng cách từđiểm đến mặt phẳng lớn

A -B C D

Xét hàm số Tập xác định 9

P

M

I H

,

Oxy ( ) (P : m−1)x+ +y mz− =1 (1;1; 2)

A m A ( )P

5

( )

2

2 2

1

,

2 2

1

m m m m m

d A P

m m

− + + − − − +

= = =

− +

− + +

( ) 22

9

2 2

m m

f m

m m

− +

=

(107)

Bảng biến thiên

Vậy, lớn lớn

Câu 78: [2H3-5.9-3] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(2;1;3 ,)

(0; 1; ,)

B − − C(− −1; 2; 0)

, D 3; 2;1 ′ −( ) Tính khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (A B C D′ ′ ′ ′)

A B 2 C 2 D

( 2; 2; 4) 1;1; 2( )

AB − − − = − = − x

 

( 3; 3) 1;1;1( )

AC − − − = − = − y

 

Mặt phẳng (ABCD) qua điểm A nhận x y ;  = − ( 1;1; 0) vec tơ pháp tuyến nên có phương trình − + + =x y

( )

( ) ( ( ))

; ; 2

2 d A A B C D′ ′ ′ ′ =d D′ ABCD = − − + =

Câu 79: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng  P qua

1;1; 2

M cho khoảng cách từđiểm N3; 1; 4  đến mặt phẳng  P lớn

A x   y z B x   y z C x   y z D x   y z

Ta có d N P , MN Do khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng  P lớn

 

 , 

d N P MN xảy MN  P Như mặt phẳng  P cần tìm mặt phẳng qua

điểm M vng góc với MN Ta có MN 2; 2; 2  véctơ pháp tuyến  P Vậy phương trình mặt phẳng  P : 2x12y12z20 hay x   y z

( )

( ) ( )

2

5 32 10

; 1

2 2

3 m

m m

f m f m

m

m m

= 

− + − 

′ = ′ = ⇔

 =

− + 

( ) ( , )

(108)

Câu 80: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

1

x y− z−

= = mặt phẳng ( )P :x+2y−2z+ =3 Tìm tọa độ điểm M d có cao độ

dương cho khoảng cách từ M đến ( )P

A. M(10; 21;32) B M(5;11;17) C M(1;3;5) D M(7;15; 23)

Gọi M thuộc đường thẳng d có dạng M t( ;1 ; 3+ t + t)

Theo đề: d M( ,( )P )=3 ( ) ( )

( )2

2

2 2 3

1 2

t+ + t − + t +

⇔ =

+ + − ⇔ − =1 t

( )

8 8; 15; 22 10 10; 21;32

t M

= − ⇒ − − −

 ⇔ 

= ⇒



Do M có cao độdương nên ta nhận M(10; 21;32)

Câu 81: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có A(2;1;3 ,) (0; 1; ,)

B − − C(− −1; 2; 0)

, D 3; 2;1 ′( − ) Tính khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (A B C D′ ′ ′ ′)

A B 2 C 2 D

( 2; 2; 4) 1;1; 2( )

AB − − − = − = − x

 

( 3; 3) 1;1;1( )

AC − − − = − = − y

 

Mặt phẳng (ABCD) qua điểm A nhận x y ;  = − ( 1;1; 0) vec tơ pháp tuyến nên có phương trình − + + =x y

( )

( ; ) ( ;( )) 2

2 d A A B C D′ ′ ′ ′ =d D′ ABCD = − − + =

Câu 82: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng  P qua

1;1; 2

M cho khoảng cách từđiểm N3; 1; 4  đến mặt phẳng  P lớn

A x   y z B x   y z C x   y z D x   y z

Ta có d N P , MN Do khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng  P lớn

 

 , 

d N P MN xảy MN  P Như mặt phẳng  P cần tìm mặt phẳng qua điểm M vng góc với MN Ta có MN2; 2; 2  véctơ pháp tuyến  P

(109)

Câu 83: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình

1

x y− z−

= = mặt phẳng ( )P :x+2y−2z+ =3 Tìm tọa độ điểm M d có cao độ

dương cho khoảng cách từ M đến ( )P

A. M(10; 21;32) B M(5;11;17) C M(1;3;5) D M(7;15; 23)

Gọi M thuộc đường thẳng d có dạng M t( ;1 ; 3+ t + t)

Theo đề: d M( ,( )P )=3 ( ) ( )

( )2

2

2 2 3

1 2

t+ + t − + t +

⇔ =

+ + − ⇔ − =1 t

( )

8 8; 15; 22 10 10; 21;32

t M

= − ⇒ − − −

 ⇔ 

= ⇒



Do M có cao độdương nên ta nhận M(10; 21;32)

Câu 84: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :

2 1

x y z

d   

 mặt phẳng

  :x2y2z 5 Tìm điểm A d cho khoảng cách từ A đến   3, biết A có hồnh độ dương

A A0;0;   B A2;1;   C A2; 1;0   D A4; 2;1  

Lời giải.Gọi A t t2 ; ; 1   t d với t0

Theo đềbài, ta có      

   2 2

2 2

, 3

3

1 2

t t t t

d A             

   

 

1

2 2; 1;0

8

t

t t A

t

  

         

 Chọn C.

Câu 85: [2H3-5.9-3]Cho mặt phẳng ( )P : 2x+2y−2z+15=0 mặt cầu ( )S :x2+y2+z2−2y−2z− =1 Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc mặt phẳng ( )P đến điểm thuộc mặt cầu ( )S A. 3

2 B C

3

2 D

3

Giải Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1;1) bán kính R= Gọi H hình chiếu I ( )P A

giao điểm IH với ( )S Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc mặt phẳng ( )P đến

điểm thuộc mặt cầu ( )S đoạn AH ( ,( )) 3

= − =

AH d I P R

Câu 86: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 3; 2− − ), B(1; 2; 0− ) mặt phẳng ( )P : 2x+2y− − =z Điểm M thuộc đường thẳng AB cho khoảng cách từ M

(110)

A (5; 0; ) B (7; 0; ) C (1; 0; ) D (3; 0; )

Ta có AB= −( 2;1; 2) Đường thẳng ABcó phương trình tham số dạng:

1 2

2

x t

y t

z t

= − 

 = − + 

 = 

Điểm M(1 ; 2− t − +t; 2t)thuộc đường thẳng AB ( )

( ) 2( ) (2 )

, 2

3

t t t

d M P = ⇔ − + − + − − = ⇔ − − =4t 6 6

4 6

t t

− − = − =

 

⇔ ⇔

− − = = −

 

Do zM <0nên điểm M(7; 5;− −6)

Vậy hình chiếu vng góc M lên trục Oxlà (7; 0; )

Câu 87: [2H3-5.9-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1; 4) đường thẳng

:

x t

y t

z t

= +

 = +

 + ∆

=

 Tọa độđiểm H thuộc ∆ cho đoạn thẳng MH nhỏ

A H(1; 2;1 ) B H(3; 4;5 ) C H(0;1; − ) D H(2;3;3 )

Chọn D

H thuộc ∆⇒H(1+t; 2+t;1 + t)

( ) (2 ) (2 )2 2 ( )2

1 12 11 5

MH = −t + +t + − t = t − t+ = t− + ≥

MH nhỏ ⇔ = ⇒t H(2;3;3 )

Câu 88: [2H3-5.9-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm O0;0;0, A1;0;0, B0;1;0

0;0;1

C

Hỏi có điểm cách mặt phẳng OAB, OBC, OCA, ABC?

A 1 B 4 C 5 D 8

Ta có

             

:

OAB Oxy

OCD Oyz

CDA Oxz

ABC x y z

 



 



 



   



Gọi P a b c ; ;  tọa độđiểm cần tìm

Theo đề bài, ta cần có

3

a b c a b  c   

Có tất trường hợp có nghiệm Cụ thể:

●

a b c

a b c    

    

      

(111)

● Mỗi trường hợp kết hợp với

a b c

c     sinh hai trường hợp

Nhận xét Hình dung mặt hình học sau: Một điểm dễ thấy tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Bốn điểm cịn lại khó thấy bốn tâm mặt cầu bàng tiếp tứ diện Ba điểm lại khó hình dung nằm góc tam diện hình vẽ sau (trường hợp nhạy cảm, đặc biệt cho OA OB OC, , đôi vng góc)

Câu 89: [2H3-5.9-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x− + y− + z− = mặt phẳng ( )P : 2x−2y+ + =z Gọi M a b c( ; ; ) điểm mặt cầu ( )S cho khoảng cách từ Mđến ( )P lớn Khi

A a b c+ + =5 B a b c+ + =6 C a b c+ + =7 D a b c+ + =8

Mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ z−3)2 =9 có tâm I(1; 2;3) bán kính R=3 Gọi d đường thẳng qua I(1; 2;3) vng góc ( )P

Suy phương trình tham số đường thẳng d

1 2

x t

y t

z t

= + 

 = − 

 = + 

Gọi A B, giao d ( )S , tọa độ A B, ứng với t nghiệm phương trình

( ) (2 ) (2 )2

1 2 2 3

1 t

t t t

t

= 

+ − + − − + + − = ⇔ 

= − 

Với (3; 0; 4) ( ; ( )) 13 t = ⇒A ⇒d A P = Với ( 1; 4; 2) ( ; ( ))

3

t= − ⇒B − ⇒d B P =

Với điểm M a b c( ; ; ) ( )S ta ln có d B P( ; ( ))≤d M P( ; ( ))≤d A P( ; ( ) ) Vậy khoảng cách từ M đến ( )P lớn 13

3 M(3; 0; 4)

(112)

Câu 90: [2H3-5.9-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x− + y− + −z = mặt phẳng ( )P : 2x−2y+ + =z Gọi M a b c( ; ; ) điểm mặt cầu ( )S cho khoảng cách từ Mđến ( )P lớn Khi

A a b c+ + =5 B a b c+ + =6 C a b c+ + =7 D a b c+ + =8

Mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =9 có tâm I(1; 2;3) bán kính R=3 Gọi d đường thẳng qua I(1; 2;3) vng góc ( )P

Suy phương trình tham số đường thẳng d

1 2

x t

y t

z t

= + 

 = − 

 = + 

Gọi A B, giao d ( )S , tọa độ A B, ứng với t nghiệm phương trình

( ) (2 ) (2 )2

1 2 2 3

1 t

t t t

t

= 

+ − + − − + + − = ⇔ 

= − 

Với (3; 0; 4) ( ; ( )) 13

t = ⇒A ⇒d A P =

Với ( 1; 4; 2) ( ; ( ))

t= − ⇒B − ⇒d B P =

Với điểm M a b c( ; ; ) ( )S ta ln có d B P( ; ( ))≤d M P( ; ( ))≤d A P( ; ( ) ) Vậy khoảng cách từ M đến ( )P lớn 13

3 M(3; 0; 4)

Do a b c+ + =7

Câu 91: [2H3-5.9-4]Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho A a( ;0;0), B(0; ;0b ), C(0;0;c) với a, b, c dương thỏa mãn a b c+ + =4 Biết rằng a, b, c thay đổi tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng ( )P cốđịnh Tính khoảng cách d từ M(1;1; 1− ) tới mặt phẳng ( )P A d = 3 B

2

d = C.

3

d = D d =0

Chọn C

Vì A a( ; 0; 0), B(0; ; 0b ), C(0; 0;c) với a, b, c dương ⇒ OABC tam diện vuông

Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ⇒ ; ; 2 a b c I 

 

Theo giả thiết a b c+ + =4 ⇔ 2

2 2

a+ b+ c =

⇔ 2xI +2yI +2zI =4

(113)

⇒ Tâm I nằm mặt phẳng ( )P :x+ + − =y z

Vậy ( ( )) 1 22 2 2 ,

3 1

d =d M P = + − − =

+ +

Câu 92: [2H3-5.10-3] Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Với tham số thực, gọi giao tuyến hai mặt phẳng

Tính khoảng cách từ đến

A B C D

Chọn , ta có: Suy ra:

Đường thẳng có vectơ chỉphương là:

Vậy

Câu 93: [2H3-5.10-3]Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

2

x y z

d + = − = −

− ,

2

:

1

x y z

d = + = −

− − Mặt phẳng ( )P chứa d1 song song với d2 Khoảng cách từ M(1;1;1) đến ( )P

A B

3 C 4 D

Chọn A.

Đường thẳng d1 qua A(−1;1; 2) có VTCP u1=(2; 1;3− )

Đường thẳng d2 có VTCP u2 = −( 1; 2; 3− )



( ) ( )

1, 3;3;3 1; 1; u u

  = − = − − −

 

Vì ( )P chứa d1 song song với d2nên suy ( )P qua A(−1;1; 2) có VTPT n =(1; 1; 1− − )

cùng phương với u u 1, 2 có phương trình là: ( )P :x− − + =y z Khoảng cách từđiểm M(1;1;1) đến mp( )P là:

( )

( ) 1

,

3

d M P = − − + =

(Oxyz), A(1; 0; ) α

dα ( )

: sin sin cos cos cos

Pα α x+ α α y+ α z+ α =

( )

: cos sin sin cos sin

Qα α x+ α y− α α z− α = A dα

5 2

(0; ; ) M y z ∈dα

2

sin cos cos cos sin sin cos sin

y z

α α α α

 + + =

 

− − =



1 0;

cos

y z

α

⇔ = = −

1 0; 0;

cos M

α

 − 

 

 

1 1; 0;

cos MA

α

 

⇒ =  

 



dα

( 2 3 )

, sin cos ; cos sin cos ;sin sin cos

P Q

u= n n = − α α α+ α α α− α α

( ) ( )

( )

3 2

2

, 1;sin sin cos sin cos ; cos

,

2 sin cos ; cos ;sin sin cos u MA

d A d

u

α

α α α α α α

  + − −

 

= = =

− −

(114)

Câu 94: [2H3-5.10-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( )

:

x t

t y

z t

= +   =   = − 

∆ ∈

điểm A(2;1; 1− ), B(−1; 2; 0) Gọi d đường thẳng qua B, cắt đường thẳng ∆và có khoảng cách từ A tới d lớn Khẳng định sau đúng?

A Đường thẳng d vng góc với đường thẳng ∆

B Đường thẳng d vng góc với trục Oz C.Đường thẳng d vng góc với trục Ox

D Đường thẳng d vng góc với trục Oy

Giả sử dcắt ∆ M t( +1; 0;−t) Ta có BM= + − −(t 2; 2; t)là vectơ chỉphương d ( )

( ) ( ) ((2 ) ) (2 )2

2 2

, 2 2 2 4 6 20 24

,

2

AB BM t t t t t

d A d

t t

BM

  − + − + − − +

 

= = =

+ +

+ + +

 



Xét ( ) ( ) ( )

2

6 20 24 64 256

; ;

2 8

t t t

f t f t f t t

t t t t

− + ′ − ′

= = = ⇔ = ±

+ + + +

Lập BBT ta có f t( ) đạt giá trị lớn t= − ⇒2 BM=(0; 2; 2− ) Vậy Đường thẳng d vng góc với trục Ox

Câu 95: [2H3-5.10-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1; 1;0 ,  B 1;0; ,  C3; 1; 1   Tính khoảng cách từđiểm A đến đường thẳng BC

A 21

6 B

14

2 C

21

2 D

7

Ta có AB0;1; 2  BC2; 1;1  Suy  AB BC,       1; 4; 2

Khi  ,  , 21 14

2

AB BC d A BC

BC

 

 

 

  

 



Câu 96: [2H3-5.10-4] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( )

: 2

P m + +m x+ m − y+ m+ z+m + + =m chứa đường thẳng ∆ cố định m thay đổi Tính khoảng cách từ gốc toạđộđến ∆

A.

5 B.

1

6 C.

1

2 D.

Chọn D

Cách 1: Ta có ( )P :(m2+ +m 1) (x+2 m2−1)y+2(m+2)z+m2+ + =m

( ) ( )

2 2

x y z m x z m x y z

(115)

Phương trình nghiệm với m

2 2z 4z

x y

x

x y

+ + =

 

⇔ + + =

 − + + = 

1

x t

y t z t

= − − 



⇔ =

 = 

Vậy ( )P chứa đường thẳng cốđịnh ∆ có PT Gọi H(− −1 ; ;t t t)∈ ∆ hình chiếu O lên ∆

( )

2

3

OH u∆ t t t t

⇒ = ⇔ − − − + + = ⇔ = − 1; 1;

3 3

H 

⇒ − − − 

 

1 OH

⇒ =

Cách 2: Lấy m= ⇒0 ( )P1 :x−2y+4z 0+ = Lấy m= − ⇒1 ( )P2 :x+2z 0+ =

Suy ∆ =( ) ( )P1 ∩ P2 : 4z 2z

x y

x

− + + =



⇒ ∆  + + =



Trong hệtrên đặt z= ⇒ = − −t x ;t y=t

:

x t

y t z t

= − − 



⇒ ∆  =

 = 

Lấy M(−1; 0; 0)∈ ∆, u∆ = −( 2;1;1) ( )

, 1

;

3 OM u

d O

u ∆ ∆

 

 

⇒ ∆ = =

 



Câu 97: [2H3-5.10-4] Trong không gian với hệ (Oxyz) cho điểm M(1; 2;3) ; A(1; 0; 0) ; B(0; 0;3) Đường thẳng  qua M thỏa mãn tổng khoảng cách từcác điểm A ; B đến  lớn có phương trình là:

A :

6

x y z

  

 B

1

:

6

x y z

  



C :

3

x y z

  

 D

1

:

2

x y z

  



Chọn B

Ta có d A( ; ) d B( ; ) MAMB

Để tổng khoảng cách từcác điểm A ; B đến  lớn

( ; ) ( ; ) MA

d A d B MA MB

MB

   

        



Suy d qua M, vtcp uMA MB;   6;3; 2  6; 3; 2 

 

  

Vậy phương trình đường thẳng  cần tìm là: :

6

x y z

  



Câu 98: [2H3-5.10-4] Trong không gian với hệ (Oxyz) cho điểm M(1; 2;3) ; A(1; 0; 0) ; B(0; 0;3) Đường thẳng  qua M thỏa mãn tổng khoảng cách từcác điểm A ; B đến  lớn có phương trình là:

O

M u

∆

 ∆

( ; )

(116)

A :

6

x y z

  

 B

1

:

6

x y z

  



C :

3

x y z

  

 D

1

:

2

x y z

  



Chọn B

Ta có d A( ; ) d B( ; ) MAMB

Để tổng khoảng cách từcác điểm A ; B đến  lớn

( ; ) ( ; ) MA

d A d B MA MB

MB

   

      

 



Suy d qua M, vtcp uMA MB;   6;3; 2  6; 3; 2 

 

  

Vậy phương trình đường thẳng  cần tìm là: :

6

x y z

  



Câu 99: [2H3-5.13-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 2), B(5; 4; 4) mặt phẳng ( )P : 2x+ − + =y z Nếu M thay đổi thuộc ( )P giá trị nhỏ MA2+MB2

A. 60 B 50 C 200

3 D

2968 25

Gọi I(3;3;3)là trung điểm đoạn AB Ta có

2

2 2

2

2 AB

MA +MB = MI +

Do 2

MA +MB đạt giá trị nhỏ MI ⊥( )P ( )

( ) 3

,

4 1

MI =d I P = + − + =

+ + ;

2 2

4 2 24

AB= + + =

( ) ( )

2

2 24

2 60

2

MA +MB = + =

Câu 100: [2H3-5.13-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x− + y− + −z = tam giác ABC với (5; 0; 0),A B(0;3; 0),C(4;5; 0) Tìm tọa độđiểm M thuộc cầu ( )S cho khối tứ diên MABC tích lớn

A M(0; 0;3) B M(2;3; 2) C. M(2;3;8) D M(0; 0; 3− )

(117)

1

3

M ABC ABC

V = S MJ

Để VM ABC lớn ⇔MJ lớn ⇔ MJ ⊥(ABC)

( )

M IJ S

⇒ = ∩

Phương trình mặt phẳng (ABC): z=0

Đường thẳng JI:

2 x y

z t

= 

 =

  = + 

(2;3;5 )

M t

⇒ +

( )

M∈ S ⇒ (2 2− ) (2+ −3 3) (2+ + −5 t 5)2 =9⇒ = ±t

(2;3; ,) 1(2;3;8)

M M

⇒

Do MJ =d M( 1,(ABC))>d M( ,(ABC)) ⇒M1(2;3;8)

Câu 101: [2H3-5.13-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1; 4) đường thẳng

1

:

1 x t

y t

z t

= +  

∆  = +

 = + 

Tìm tọa

độđiểm H thuộc đường thẳng ∆ cho đoạn MH có độ dài nhỏ

A. H(2;3;3) B H(1; 2;1) C H(0;1; 1− ) D H(3; 4;5) Hướng dẫn giải

Chọn A

(1 ; ;1 )

H∈ ∆ ⇒H +t +t + t

( ) (2 ) (2 )2

1

MH = t− + +t + t− = 6t2−12t+11= 6(t−1)2+ ≥5 Dấu "=" xảy ⇔ =t

Vậy H(2;3;3)

Câu 102: [2H3-5.13-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P đường thẳng ( )d

tương ứng có phương trình 2x− +y 3z− =3 2

2 1

x+ = y− = z+

− − Biết đường thẳng ( )d

cắt mặt phẳng ( )P điểm M Gọi N điểm thuộc ( )d cho MN =3, gọi K hình chiếu vng góc điểm N mặt phẳng ( )P Tính độdài đoạn MK

A

105

MK= B

4 21

MK = C 21

7

MK = D 105

7 MK =

M1

I

A

B

C M

(118)

( )P có vec tơ pháp tuyến n=(2; 1;3− ), ( )d có vec tơ chỉphương u= −( 2;1; 1− ) Gọi α góc ( )P ( )d Ta có: sin cos

14 21 21

n u n u

α = = = ⇒ α =

 

Tam giác MNK vuông K nên cos 5 105

21 21

MK

MK MN

α = = ⇔ = =

Câu 103: [2H3-5.13-3]Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm hai đường thẳng Lấy điểm cho thẳng hàng Tìm tọa độtrung điểm đoạn thẳng

A B C D

,

Ba điểm thẳng hàng

,

Tọa độtrung điểm là:

Câu 104: [2H3-5.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu

và đường thẳng Đường thẳng cắt

hai điểm phân biệt Tính độdài đoạn ? P

d

α

M

N

K

,

Oxyz M(1;1; 2− )

( )1 ( )2

2 1

: ; :

1 1 1

x− y z− x y+ z+

∆ = = ∆ = =

− − N ( )∆1 P ( )∆2

, ,

M N P NP

(0; 2;3 ) (2; 0; − ) (1;1; − ) (1;1; − )

( )

1 ; ;

N∈∆ ⇒N −t t +t P∈∆ ⇒2 P(2 ; 1t′ − +t′; 6− −t) (1 ; 1;3 )

MN = −t t− +t



(2 1; 2; )

MP= t′− t′− − −t′



, ,

M N P ⇔MP=k MN ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 1 2

1

2

4 1

5

1 t

t k t t t

t

t k t t k t k

t t

t k t t k t

t t

  ′ =

′− = − ′− = − −′

  

′ =

 ′  ′  

⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ =

− 

− − =′ + − − =′ + 

  − = − +

 −

 (0; 2;3)

N

⇒ P(2; 0; 7− )

NP (1;1; 2− )

Oxyz

( ) 2

:

S x +y + −z x− y+ z− =

2 :

1

x t

d y t

z

= −   = +   = 

d ( )S

(119)

A B C D

Tọa độcác giao điểm nghiệm hệphương trình sau:

Từ (*) ta có:

Với

Vậy

Câu 105: [2H3-5.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ , hình chiếu vng góc điểm Tính

A B C 0 D

Chọn C

Ta có 17 17

2 29 29

29 29

2 17 17

d ( )S

2 2

2

2 (*)

x t

y t

z

x y z x y z

= −   = +   = 

 + + − − + − = 

( ) (2 )2 ( ) ( )

2 5− t + 4+2t + −1 2 5− t −4 4+2t + − =2

0

29 2

29 t t t

t =  

⇔ − = ⇔

 = 

( )

0 2; 4;1

x

t y A

z

=  

= ⇒ = ⇒

 = 

48 29

2 120 48 120

; ;

29 29 29 29

1 x

t y B

z

 =  

  

= ⇒ = ⇒  

 

 =  

10 29

; ;

29 29 29

AB= − ⇒ AB=

 



Oxyz A(0; 1; 2− ) B(1; 0; 2− )

( ; ; )

I a b c :

4 1

x y+ z−

∆ = =

− ( )P : 2x− −y 2z− =6 S = + +a b c

3+ 5+ 4+

1

:

4 1

x y+ z−

∆ = =

− ⇒ =a (4;1; 1− )



(120)

Gọi d đường thẳng qua vng góc với mp(P), phương trình tham số d là:

Vì B hình chiếu I (P) nên Vì A hình chiếu I nên

Do

Vậy

Câu 106: [2H3-5.13-3] Cho đường thẳng

2

:

1

x t

d y t

z t

= + 

 = + 

 = − − 

2: 2

4

x y z

d − = − = −

− − Gọi d đường thẳng vng góc chung d1 d2, M a b c( , , ) thuộc d, N(4; 4;1) Khi độ dài MN ngắn a b c+ + bằng?

A B C D.

Gọi P(2+t; 2+ − −t; 2t)∈d1 Q(2 ; ; 2+ t′ − t′ −t′)

Ta có: a=(1;1; 2− ), b =(4; 3; 1− − ) PQ=(4t′− − − − + +t; 3t′ t; t′ 2t 3)

Khi đó: ( )

( ) ( ) ( )

4 2

4 3

t t t t t t

a PQ

t t t t t t

b PQ

′ ′ ′

 =  − − − − − + + =

 ⇔

  ′ ′ ′

− − − − − − + + =

= 

 

    

3 6

26 3

t t t

′− = ′=

 

⇔ ⇔

′ − = = −

 

Suy P(1;1;1) Q(2; 2; 2) ⇒PQ=(1;1;1) Nên

1 : 1

x t

d y t

z t

= +   = +   = + 

Gọi M(1+t;1+t;1+t) nên NM= −(t 3;t−3;t)

Do đó: ( ) (2 )2 2 ( )2

3 3 12 18 6

NM = t− + −t + =t t − t+ = t− + ≥

Đoạn thẳng MN ngắn t=2

(1; 0; 2)

B −

1

2

x t

y t

z t

= +   = − 

 = − − 

I∈d ⇒I(1 ;+ t − − −t; 2t) (1 ;1 ; )

AI t t t

⇒= + − − −

∆ ⇒ AI ⊥a ⇒ AI a =0⇒4 2( + t)+ − − − −1 t ( 2t)=0

t

⇒ = −

(1 ; ; 2 ) ( 1;1; 0)

I + t − − −t t = − ⇒ = −a 1;b=1;c=0

(121)

Câu 107: [2H3-5.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; 3; 4− − ) đường thẳng

2

:

3

x y z

d + = + =

− Mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d điểm H Tìm tọa độđiểm H

A H =(4; 2; 2− ) B H =(1; 0; 1− ) C 1; 0;1

2

H = − 

  D

1

; 1;

2

H = − − − 

 

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d điểm H nên H hình chiếu I lên d Ta có d có phương trình tham số: ( )

2 2

x t

y t t

z t

= − + 

 = − + ∈

  = − 

 có VTCP ud =(3; 2; 1− ) ( ; 2 ; )

H∈ ⇒d H − + t − + t −t ⇒IH = − +( ;1 ; 4t + t −t)

Mà u IH d = ⇔ − +0 3( 3t) (+2 2+ t) (−1 4− = ⇔ = ⇒t) t H(1; 0; 1− ) Câu 108: [2H3-5.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu

( ) 2

:

S x +y + −z x+ y− z+ = hai đường thẳng 1: 2

1

x y z

d − = + = − ;

2

:

2

x y z

d − = = −

− Hai điểm M, N thuộc hai đường thẳng d1 d2 cho đường thẳng MN cắt mặt cầu ( )S hai điểm A B, Tìm tọa độđiểm N đểđoạn thẳng AB có độ dài lớn

A N =(0; 2;2− ) B N=(4; 3;1− ) C N=(2;0;1) D N = − −( 2; 4;3)

Lời giải

Kiểm tra ba điểm M N I, , không thẳng hàng

Đề sai – đáp án

Chưa kiểm tra

Câu 109: [2H3-5.13-3] Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp với tọa độ

đỉnh , Các điểm thay đổi

các đoạn cho Tìm độ dài nhỏ đoạn thẳng

A B C D

,

Oxyz ABCD A B C D ′ ′ ′ ′

(0; 1; ,) (2;1; 0)

A − C B' 2; 1; 2( − ) D' 0;1; 2( ) M N,

A B′ ′ BC D M′ ⊥ AN MN

(122)

+ Chọn hệ trục tọa độnhư hình vẽ ,

Phương trình đường thẳng có dạng:

Điểm

Phương trình đường thẳng có dạng:

Điểm ; MN(2−t k; + −2; 2); AN(2;k+2; 0); + Vì D M′ ⊥ AN⇒ −2t 2(k+2)=0 ⇒ = − ⇒k t MN(2−t t; ; 2− )

Câu 110: [2H3-5.13-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S : ( ) (2 ) (2 )2

1

x+ + y− + −z =

và hai điểm A(1; 0; 4), B(0;1; 4) Các mặt phẳng ( )P1 , ( )P2 chứa đường thẳng AB tiếp xúc với mặt cầu ( )S điểm H1, H2 Viết phương

trình đường thẳng H H1 2

0

x

y z

D'

C' A'

B'

D

C B

A

0; 1; 2 A

  B2; 1; 0 

A B 

2 x t y z

        

t ; 1; 2

M A B M t 

BC

2

0 x

y k

z

        

k 2; ; 0

NBCN k D M t ; 2; 0 

 2 2

min

MN t t

(123)

A x t y t z = − +   = +   =  B x t y t z = − +   = +   =  C x t y t z t  = +    = +   = +   D x t y t z = − +   = +   = 

Ta có ( )S có tâm I(−1; 2;1) bán kính R=

Đường thẳng ∆ qua hai điểm A B, có phương trình x t y t z = −   =   = 

(IH H1 2) qua I vng góc với AB nên có phương trình − + − =x y Gọi H giao điểm AB (IH H1 2) Khi H(−1; 2; )

Gọi M giao điểm H H1 2 IH Khi H M1 ⊥IH Ta có

2

3

IM IM IH R

IH = IH = IH = nên

1 IM = IH

 

Do M(−1; 2; )

H H vng góc với IH AB, nên có vtcp , (1;1; )

3 

= −  =



u IH AB

Phương trình H H1 :

1 x t y t z = − +   = +   = 

Câu 111: [2H3-5.13-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A3;0;0 , 0;2;0 , 0;0;6 B  C 

1;1;1

D Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từcác điểm A B C, , đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây?

A M 1; 2;1 B N5;7;3 C P3;4;3 D Q7;13;5

Kiểm tra ta thấy DABC: 2x3y z  6 Ta có             , , , , , ,

d A d AD

d B d BD d A d d B d d C d AD BD CD d C d CD

              

Dấu " " xảy dABC điểm D Do

1 :

1

x t

d y t N d

z t              

Câu 112: [2H3-5.13-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;3;1), (4;1; 2)

B −

, C(6;3; 7) D(1; 2; 2− ) Các mặt phẳng chứa mặt tứ diện ABCD chia không gian Oxyz thành số phần

(124)

Ta có đường thẳng chia mặt phẳng thành phần

3 mặt phẳng chia không gian thành phần, mặt phẳng thứ cắt mặt phẳng trước thành giao tuyến, giao tuyến chia mặt phẳng thứ thành phần, phần lại chia phần không gian thành phần

Vậy mặt phẳng chia không gian thành 8+7=15 phần

Câu 113: [2H3-5.13-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 4

3

x+ y− z−

∆ = =

− −

và điểm A(2;3; 4− ), B(4; 6; 9− ) Gọi C, D điểm thay đổi đường thẳng ∆ cho 14

CD= mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD tích lớn Khi đó, tọa độtrung điểm

đoạn thẳng CD A 79 64 102; ;

35 35 35

 

 

  B

181 104 42

; ;

5 5

− −

 

 

 

C 101 13 69; ; 28 14 28

 

 

  D (2; 2;3 )

C, D nằm đường thẳng

1

:

4

x t

y t

z t

= − + 



∆  = −

 = − 

nên C(− +1 ; ; 4t1 − t1 −t1) (,D − +1 , , 4t2 − t2 −t2)

(2;3; ;) ( 3 ;1 ;81 1); ( 3 ;1 ;82 2)

AB= − AC= − + t − t −t AD= − + t − t −t

  

Ta có CD2 =14=9(t1−t2)2+4.(t1−t2) (2+ t1−t2)2 ⇔(t1−t2)2 =1 Do vai trò t t1; 2 nên ta đặt t2 = +t1

Ta thấy để thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện ABCD tích lớn bán kính r khối cầu phải lớn

Mặt khác ta có ABCD tp

V r

S

=

Mặt khác .sin( , )

ABCD

(125)

Mặt khác SACD;SBCD không đổi Do ta tìm SABC+SABD

Ta có 1.( , , )

2

ABC ABD

S +S =  AB AC +  AB AD ( ) (2 ) (2 )2

1 1

, 29 13 13 11 13

AB AC t t t

  = − + + + −

 

( ) (2 ) (2 )2

1 1

, 16 13 14 13 13

AB AC t t t

  = − + + + +

 

Đặt 13t1=x lúc ta có

( ) ( ) (2 ) (2 )2 ( ) (2 ) (2 )2

29 11 16 14

f x = x− + +x + −x + x− + +x + +x

( ) 2

3 78 963 456

f x = x − x+ + x +

( ) 2 2

3 39 13

0

2

3 78 963 456

x x

f x x t

x x x

−

′ = + = ⇔ = ⇒ =

− + +

Vậy I(2; 2;3)

Câu 114: [2H3-5.13-4]Cho mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

:

S x− + y+ + −z = Điể

m M x y z( ; ; ) di động ( )S

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2x+2y− +z 16

A 2 B 6 C 24 D 3

Mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y+1) (2+ −z 3)2 =9có tâm I(2; 1; 3− ), bán kính R=3 Xét mặt phẳng ( )P : 2x+2y− +z 16 =0

Đường thẳng ∆ qua I vuông góc với ( )P có phương trình x= +2 ,t y= − +1 ,t z= −3 t giá trị tham sốt tương ứng với giao điểm D (S) t = ±1

Þ ∆ ( )S cắt điểm: A(0; 3; ,− ) (B 4; 1; 2) Ta có d A P( ,( ))=2,d B P( ,( ))=8 Lấy ( ; ; ) ( ) ( ,( )) 2 16

3

x y z

M x y z ∈ S ⇒d M P = + − + = P

Ln có ( ,( )) ( ,( )) ( ,( )) 8 24

d A P d M P d B P P P

= ≤ ≤ = ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

Vậy PMin =6 x=0,y= −3,z=4

(126)

A (0; 0;3 ) B (0; 0; ) C (0; 2; ) D (1; 0; )

Câu 116: [2H3-5.14-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y+ −z 66=0

điểm M(6; 7;5) Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M mặt phẳng ( )P

A H(10;13; 7) B H(10; 13; 7− ) C H(10; 7; 25− ) D H(10; 7; 25)

Gọi d đường thẳng qua điểm M(6; 7;5) vng góc với mặt phẳng ( )P ⇒ d có vectơ

phương u=n( )P =(2;3;1)  

Phương trình tham số đường thẳng d :

6 ,

x t

y t t

z t

= + 

 = + ∈

  = + 



Hình chiếu H M lên ( )P giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( )P

(6 ; ;5 )

H∈ ⇒d H + t + t +t

( )

H∈ P ⇒2 2( + t) (+3 3+ t) (+ + −5 t) 66=0⇔14t−28= ⇔ =0 t ⇒H(10;13; 7)

Câu 117: [2H3-5.14-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm M(1; 2;3) có hình chiếu vng góc trục Ox điểm:

A (0; 0;3 ) B (0; 0; ) C (0; 2; ) D (1; 0; )

Câu 118: [2H3-5.14-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+3y+ −z 66=0

điểm M(6; 7;5) Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M mặt phẳng ( )P

A H(10;13; 7) B H(10; 13; 7− ) C H(10; 7; 25− ) D H(10; 7; 25)

Gọi d đường thẳng qua điểm M(6; 7;5) vng góc với mặt phẳng ( )P ⇒ d có vectơ

phương u=n( )P =(2;3;1)  

Phương trình tham số đường thẳng d :

6 ,

x t

y t t

z t

= + 

 = + ∈

  = + 



Hình chiếu H M lên ( )P giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( )P (6 ; ;5 )

H∈ ⇒d H + t + t +t ( )

(127)

Câu 119: [2H3-5.14-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(−4;0; 0) đường thẳng

:

2

x t

y t

z t

= −  

∆  = − +

 = − 

Gọi H a b c( ; ; ) hình chiếu M lên ∆ Tính a b c+ +

A 3 B −1 C 4 D 5

Đường thẳng ∆ có VTCP u = −( 1;3; 2− ), ( )

1

; ; :

2

a t

H a b c t b t

c t

= −  

∈ ∆ ⇒ ∃ ∈  = − +

 = − 

 Ta có:

(5 ; ; )

MH = − − +t t − t



H hình chiếu vng góc M ∆ MH ⊥ ∆ ⇔u MH  =0

( ) ( ) ( )

1 t 3t 2t

⇔ − − + − + − − = 11

14 t

⇔ =

3 22

; ;

14 14 14

H 

⇒  − 

 

3 22 14 14 14

a b c+ + −

⇒ = + = −

Cách khác

Đường thẳng ∆ có VTCP u = −( 1;3; 2− ), ( )

1

; ; :

2

a t

H a b c t b t

c t

= −  

∈ ∆ ⇒ ∃ ∈  = − +

 = − 



Ta có a b c+ + = − − + − = −1 t 3t 2t

Câu 120: [2H3-5.14-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(− −2; 5; 7) mặt phẳng ( )α :x+2y− + =z Gọi H hình chiếu A lên ( )α Tính hồnh độđiểm H

A 4 B 2 C 3 D 1

Đường thẳng ( )∆ qua A(− −2; 5; 7) nhận nα =(1; 2; 1− ) làm VTCP có phương trình ( )

2

:

7

x t

y t

z t

= − + 



∆  = − +

 = − 

Gọi H hình chiếu A lên ( )α Khi đó, tọa độ H nghiệm hệ

5

2

x t

y t

z t

x y z

= − + 

 = − + 

 = − 

 + − + =



⇔

1 t x y z

=   =   =   = 

(128)

Câu 121: [2H3-5.15-3] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1

3 1

x y z

d     



điểm A1;2;3 Tọa độđiểm A đối xứng với A qua d là:

A A3;1; 5  B A  3;0;5 C A3;0; 5  D A3;1;5

Đường thẳng d có VTCP ud 3; 1;1 

Gọi   mặt phẳng qua A vng góc với d nên có VTPT nud 3; 1;1 

Do   : 3x y z   4

Tọa độ hình chiếu vng góc H A d thỏa mãn

 

2 1

2;1;

3 1

3

x y z

H x y z

   

  

   



     

Khi H trung điểm AA nên suy A3;0; 5 

Câu 122: [2H3-5.15-3]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x+ − − =y z điểm (1; 2; 2)

M − − Tìm tọa độđiểm N đối xứng với điểm Mqua mặt phẳng ( )P

A N(3; 4;8) B N(3; 0; 4− ) C N(3; 0;8) D N(3; 4; 4− )

( )P :x+ − − =y z có VTPT n=(1;1; 1− )

Theo đềđường thẳng MN qua M(1; 2; 2− − ) nhận n=(1;1; 1− )làm VTCP

Phương trình đường thẳng MN: 2

1 1

x− y+ z+

= =

− ( )

H =MN∩ P nên tọa độ H thỏa hệ:

4

3

1 2

4

1 1

x y z x

x y z

x y y

x y z

y z z

+ − = =

 

+ − − = 

 ⇔ − = ⇔ = −

 − = + = +  

 − − =  = −

 −  

(2; 1; 3)

H

⇒ − −

Mặt khác, H trung điểm MN nên tọa độ N:

2

N H M

x x x

y y y

x z z

= − =



 = − =



 = − = −



Câu 123: [2H3-5.15-3]Cho tam giác ABC với A(1; 2; 1− ), B(2; 1; 3− ), C(−4; 7; 5) Độ dài phân giác ∆ABC kẻ từđỉnh B

A 2 74

5 B

2 74

3 C

3 73

3 D 2 30

Giải Chọn.B

(129)

( ) ( ) ( )

2

1 11 74

2

2 3

2 1

a

a a

BA AD

AD CD b b b BD

BC CD

c c c

 = −  − = − −

 

 

= = ⇒ = − ⇒ − = − + ⇔ = ⇒ =

 + = − + 

  =

  

Câu 124: [2H3-5.15-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =3 mặt cầu ( )

2 2

:

S x +y +z + x− y− z+ =

Giả sử điểm M∈( )P N∈( )S cho MN

cùng phương với u=(1; 0;1)



khoảng cách M N lớn Tính MN

A MN =3 B MN = +1 2 C MN =3 D MN =14

Mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 2;1) bán kính R=1 Ta có ( ( ))

( )2

2

1

,

1 2

d I P = − − + − = >R

+ − + nên ( )P không cắt ( )S

Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với ( )P Gọi T giao điểm d mặt cầu ( )S thỏa d T P( ;( ))>d I P( ;( ))

Ta có d T P( ;( ))=d I P( ;( ))+ = + =R Ta có ( ( ))

( )2 2 2

1.1 2.0 1.2

cos ,

2

1 2 1

P

u n = − + =

+ − + + +

 

(130)

( )

( ) ( ) ( ( ))

sin , cos , , 45

2

P

MN P = u n  = ⇒ MN P = °

Gọi H hình chiếu N lên ( )P Ta có sin 45

NH

MN = =NH

°

Do MN lớn NH lớn

Điều xảy N ≡T H ≡ H′ với H′ hình chiếu I lên ( )P

Định dạng
Số trang	130
Dung lượng	2,29 MB