TUYEN TAP CAC DE THI 10 CHUYEN 2009 2010

c Từ giả thiết suy ra d ⊥OM Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy ra góc OMI bằng 900 , do đó OI là đường kính của đường tròn này Khi C và D di[r]

Sở giáo dục và đào tạo H¶I d¬ng Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT chuyªn nguyÔn tr·i - N¨m häc 2009-2010 M«n thi : to¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Ngµy thi 08 th¸ng n¨m 2009 (§Ò thi gåm: 01 trang) §Ò thi chÝnh thøc C©u I (2.5 ®iÓm): 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x  y2  xy 3   xy  3x 4 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có ít nghiệm nguyên: 4x  4mx  2m  5m  0 C©u II (2.5 ®iÓm): 1) Rót gän biÓu thøc:   x2    x    A   x2 2) Cho tríc sè h÷u tØ m cho   x   víi  x 2 m là số vô tỉ Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: a m  b m  c 0 C©u III (2.0 ®iÓm): 1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hÖ sè cña x lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ biÕt f(5)  f(3) 2010 Chøng minh r»ng: f(7)  f(1) lµ hîp sè P  x  4x   x  6x  13 2) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: C©u IV (2.0 ®iÓm): Cho tam gi¸c MNP cã ba gãc nhän vµ c¸c ®iÓm A, B, C lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M, N, P trªn NP, MP, MN Trªn c¸c ®o¹n th¼ng AC, AB lÇn lît lÊy D, E   cho DE song song víi NP Trªn tia AB lÊy ®iÓm K cho DMK NMP Chøng minh r»ng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ đó suy điểm M là tâm đờng tròn bàng tiếp gãc DAK cña tam gi¸c DAK C©u V (1.0 ®iÓm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh : Sè b¸o danh : Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ : .Ch÷ kÝ cña gi¸m thÞ 2: Híng dÉn chÊm C©u PhÇn néi dung §iÓm c©u I 1) 2,5 ®iÓm 1,5®iÓm x  y2  xy 3 (1)  (2)  xy  3x 4  3x y x , thay vµo (1) ta cã: Từ (2)  x  Từ đó 0.25   3x2   3x2 x2    x 3  x  x   7x  23x  16 0 x 1 hoÆc x = Giải ta đợc 16 16 7 x   x   y  7 Tõ x 1  x 1  y 1 ; 4 5 7 4 7 ; ;     7 7     VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1); ; Điều kiện để phơng trình có nghiệm:  x ' 0 2) 1,0®iÓm c©u II 1) 2,5 ®iÓm 1,5®iÓm 0.25 0.25 0.25 0.25  m  5m  0  (m  2)(m  3) 0 V× (m - 2) > (m - 3) nªn:  x ' 0  m  0 vµ m  0  m 3, mµ m  Z  m = hoÆc m = Khi m =   x ' =  x = -1 (tháa m·n) 0.25 Khi m =   x ' =  x = - 1,5 (lo¹i) VËy m = 0.25 0.25 (a, b 0) §Æt a   x; b   x  a  b 4; a  b 2x  ab  a  b3   ab  a  b   a  b  ab   A   ab  ab  ab  a  b    ab   A   ab  a  b   ab  A   2ab  a  b  a   b2  2ab  a  b   a  b   a  b   A a  b 2x  A x 1,0®iÓm 0.25   A 2 2) 0.25 a m  b m  c 0 (1) Gi¶ sö cã (1)  b m  c m  am 0 (2) 2 Tõ (1), (2)  (b  ac) m (a m  bc) 2 NÕu a m  bc 0  m a m  bc b  ac lµ sè h÷u tØ Tr¸i víi gi¶ thiÕt! 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 b  ac 0    a m  bc 0 b3 abc  bc am 3 3 m b a lµ sè h÷u tØ Tr¸i víi gi¶  b a m  b a m NÕu b 0 th× thiết!  a 0;b 0 Từ đó ta tìm đợc c = Ngợc lại a = b = c = thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = c©u III 1) ®iÓm 1,0®iÓm 2) 1,0®iÓm Theo bµi f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d víi a nguyªn d¬ng Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3 V× a nguyªn d¬ng nªn 16a + 2010>1 VËy f(7)-f(1) lµ hîp sè P  x  2  12   x  3 Ta chứng minh đợc:  x   x  3 OA   x  2  12 , OB   12   x  3  22  x  3 0,75®iÓm K B C N E A 0.25 0.25 0.25 Ta dÔ dµng chøng minh tø gi¸c   MBAN néi tiÕp  MAB MNB ,   MCAP néi tiÕp  CAM CPM M D 0.25 OB VËy Max P  26 x = ®iÓm 0.25 0.25  2  26 OA  OB AB MÆt kh¸c ta cã: DÊu “=” x¶y A thuéc ®o¹n OB hoÆc B thuéc ®o¹n OA x    x 7 x 3 Thö l¹i x = th× A(5; 1); B(10; 2) nªn A thuéc ®o¹n 1) 0.25      25   26  x  2  c©uIV 0.25 0.25  22 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) AB  0.25 P   L¹i cã BNM CPM (cïng phô gãc NMP)    CAM BAM (1) Do DE // NP mÆt kh¸c MA  NP  MA  DE (2) Tõ (1), (2)  ADE c©n t¹i A  MA lµ trung trùc cña DE  MD = ME 0.25 0.25 0.25 2) 1,25®iÓm M K B C D N E P A   Do DE//NP nªn DEK NAB , mÆt kh¸c tø gi¸c MNAB néi tiÕp nªn:      DEK 1800 NMB  NAB 1800  NMB     Theo gi¶ thiÕt DMK NMP  DMK  DEK 180  Tø gi¸c MDEK néi tiÕp Do MA lµ trung trùc cña DE  MEA MDA      MEA MDA  MEK MDC     V× MEK MDK  MDK MDC  DM lµ ph©n gi¸c cña gãc CDK, kÕt hîp với AM là phân giác DAB  M là tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK cña tam gi¸c DAK c©u V 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 A' ®iÓm B' B O C A D' D Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö:AB AC Gäi B’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung   AB' CB ' ABC Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA  AB  BC CA '      Ta cã: B 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B'CA  B 'BA 180 (2)     'BA ' 1800 B'BC B (3);Tõ (1), (2), (3)  B 'BA B 'BA ' Hai tam gi¸c A’BB’ vµ ABB’ b»ng  A 'B ' B 'A Ta có  B' A  B'C B'A ' B'C A'C = AB + BC ( B’A + B’C không đổi vì B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy B trùng với B’ 0.25 0.25 0.25  Hoµn toµn t¬ng tù nÕu gäi D’ lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung ADC th× ta còng cã AD’ + CD’  AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’  Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt B, D lµ c¸c ®iÓm chÝnh gi÷a c¸c  cung AC đờng tròn (O) 0.25 Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng cho điểm tối đa Sở giáo dục và đào tạo Hng yªn kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2009 – 2010 đề chính thức M«n thi: To¸n (Dµnh cho thÝ sinh thi vµo c¸c líp chuyªn To¸n, Tin) Thêi gian lµm bµi: 150 phót Bµi 1: (1,5 ®iÓm)   1 a 2 :     1      Cho H·y lËp mét ph¬ng tr×nh bËc hai cã hÖ sè nguyªn nhËn a - lµ mét nghiÖm Bµi 2: (2,5 ®iÓm)  xy   xy  a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  x b) Tìm m để phơng trình x 16  y y  x   2x  3x  6x  m 0 cã nghiÖm ph©n biÖt Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2 a) Chøng minh r»ng nÕu sè nguyªn k lín h¬n tho¶ m·n k  vµ k  16 lµ c¸c sè nguyªn tè th× k chia hÕt cho b) Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có p là nửa chu vi th× p  a  p  b  p  c  3p Bµi 4: (3,0 ®iÓm) Cho đờng tròn tâm O và dây AB không qua O Gọi M là điểm chính cung AB nhỏ D là điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB C Chøng minh r»ng: a) MB.BD MD.BC b) MB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi Bµi 5: (1,0 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD LÊy E, F thuéc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc c¹nh CD; K, M thuéc c¹nh DA cho h×nh - gi¸c EFGHIJKM cã c¸c gãc Chứng minh độ dài các cạnh hình - giác EFGHIJKM là các sè h÷u tØ th× EF = IJ HÕt Hä vµ tªn thÝ sinh:…………………… ……… Sè b¸o danh: ….….………Phßng thi sè: … … …… Ch÷ ký cña gi¸m thÞ …………… ….…… … Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: (1,5 ®iÓm)  a 2 :       2:  7 a=   2 :     1  7  1 0,5 ® 0,25 ® §Æt x a   x    x    x  2x  7  x  2x  0 VËy ph¬ng tr×nh x  2x  0 nhËn  lµm nghiÖm 0,5 ® 0,25 ® Bµi 2: (2,5 ®iÓm)  xy   xy   a)  x 16  x 16 xy     y y   y  y  x 5  x  x y (1) 0,25 ® (2) §K: x, y 0 2 Gi¶i (2)  6y  6x 5xy  (2x  3y)(3x  2y) 0  3y 2x  3y 0  x  * NÕu  3y 16 y   2 Thay vào (1) ta đợc  3y 23   (ph¬ng tr×nh v« nghiÖm) 2y 3x  2y 0  x  * NÕu 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® Thay vào (1) ta đợc y 9  y 3 - Víi y 3  x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) - Víi y   x  (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) 0,25 ® b) §Æt x  2x  y   x  1 y  x 1  y Phơng trình đã cho trở thành:  y  5y  m  0 (1)  y  1 (y 0) (*)   y  1  m 0 0,25 ® Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt thì phơng trình 0,25 ® (1) cã nghiÖm d¬ng ph©n biÖt     S   P   9  4m   5  m    0,25 ®  m    4m m   4m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt VËy víi 0,25 ® Bµi 3: (2,0 ®iÓm) 2 a) V× k > suy k   5; k  16  2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  10n   k  5 0,25 ®  k  kh«ng lµ sè nguyªn tè 2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  20n   k  16 5  k  16 kh«ng lµ sè nguyªn tè 0,25 ® 2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  30n   k  16 5  k  16 kh«ng lµ sè nguyªn tè 0,25 ® 2 - XÐt k 5n  (víi n  )  k 25n  40n  16  k  5  k  kh«ng lµ sè nguyªn tè Do vËy k 5 0,25 ®    a  b  c  3 a  b  c2 (*) b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th× 2 2 2 ThËt vËy (*)  a  b  c  2ab  2bc  2ca 3a  3b  3c 0,5 ®  (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 0 (luôn đúng) ¸p dông (*) ta cã:  p a  p b  p c Suy  3  3p  a  b  c  3p p  a  p  b  p  c  3p (®pcm) Bµi 4: (3,0 ®iÓm) 0,5 ® N D J I A O C B M a) XÐt MBC vµ MDB cã:   BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)   BMC BMD 0,5 ® Do MBC và MDB đồng dạng MB MD   MB.BD MD.BC BD Suy BC 0,5 ®    b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC  BJC 2BDC 2MBC  BJC   MBC  hay  180  BJC  BCJ c©n t¹i J  CBJ  0,5 ®   BJC 180 O  BJC MBC  CBJ    90 O  MB  BJ 2 Suy Suy MB là tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB 0,5 ® c) Kẻ đờng kính MN (O)  NB  MB Mà MB là tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN     Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN Chøng minh t¬ng tù: CI // JN Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành  CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) và (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bµi 5: (1,0 ®iÓm) 0,5 ® 0,5 ® A E F a B b h M H g K d f D G c e J I C Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ c¸c sè h÷u tØ d¬ng) Do c¸c gãc cña h×nh c¹nh b»ng nªn mçi gãc cña h×nh c¹nh cã (8  2).180O 135O sè ®o lµ: 0,25 ® Suy góc ngoài hình cạnh đó là: 180O - 135O = 45O Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân h b d f  MA = AE = ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 0,5 ® h b f d a   e 2 Ta cã AB = CD nªn:  (e - a) = h + b - f - d NÕu e - a ≠ th× 2 h b f  d  e a (®iÒu nµy v« lý lµ sè v« tØ) 0,25 ® VËy e - a =  e = a hay EF = IJ (®pcm) HÕt -SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi:Toán (chuyên) Ngày thi:19/06/2009 Thời gian:150 phúBài Đề chính thức 1(1.5điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng: 1< a b c + + <2 b +c c +a a + b Bài 2(2điểm) Cho số phân biệt m,n,p.Chứng minh phương trình 1 + + =0 x- m x- n x- p có hai nghiệm phân biệt Bài 3(2điểm) Sn = Với số tự nhiên n, n ³ Đặt ( 1+ ) + ( 2+ ) + + ( n +1) ( n + n +1 ) Chúng minhSn< Bài 4(3điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A cho cung EB cung EC.AE cắt cạnh BC D a.Chúng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC b.Tính độ dài AD theo a,b,c Bài 5(1.5điểm) m n ³ n2 ( 3+ ) Chứng minh : Với số nguyên m,n ********************************************* ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2009 Bài 1: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b Nên ta có Mặt khác Vậy ta có a a +a 2a < = b +c a + b +c a + b +c a a > b +c a + b +c a a 2a < < (1) a +b +c c +b a +b +c b b 2b c c 2a < < (2); < < (3) a + b +c c + a a + b +c a +b +c b +a a +b +c Tương tự Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh Bài 2: ĐK: x ¹ m, n, p PT đã cho Û (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = Û 3x2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) ' Ta có Δ = (m + n + p) - 3(mn + mp + np) = m2+n2+p2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp1 3np = m2+n2+p2 –mn-mp-np = [(m-n)2+(n-p)2+(m-p)2] >0 Đặt f(x) = 3x2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n) (m-p) ¹ = >m,n,p không phải là nghiệm pt(1) Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt Bài Ta cã : < ( 2n +1) ( n + n +1 ) n +1 - n n2 + n = = n +1 - n n +1 - n = 2n +1 n2 + n + 1 æ1 = ç ç ç è n n + n ç n +1 - n ö ÷ ÷ ÷ ÷ n +1 ø Do đó C a E O b D B 1æ 1 1 Sn < ç 1+ + + ç ç 2è 2 n ö 1æ ÷ ç ÷ = 1ç ÷ ç ÷ 2è n +1 ø c ö ÷ ÷ < ÷ ÷ n +1 ø Bài 3: · · Ta có BAD = CAE ( Do cung EB = cung EC) · · Và AEC = DBA ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên ΔBAD ΔEAC BA AE = Þ AB AC = AE AD(1) AD AC · · · · Ta cú ADC = BDC(Đối đỉnh) và CAD = DBE Þ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên ΔACD Þ ΔBDE AD DB = Þ AD.DE = DB.DChay DC DE AD(AE-AD) = DB.DC Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1)) 4b)Theo tính chất đường phân giác ta có DC DB DC DB DC + DB a = hay = = = AC AB b c b +c b +c DC DB a a a2 bc = Þ DB.DC = b c b +c b +c ( b + c) bc theo câu a ta có AD = AB.AC – DB.DC = æ ö a2 ÷ ç ÷ Þ AD = bc ç ç 2÷ ÷ ç ÷ ç ( b + c) ø è a bc ( b + c) æ ö a2 ÷ ç ÷ ç = bc ç1 2÷ ÷ ç ç è ( b + c) ÷ ø A Bài 5: m m lµ sè h÷u tØ vµ 2lµ sè v« tØ nªn ¹ n Vì n Ta xet hai trường hợp: m > Khi đó m > n2 ị m ³ n +1 hay m ³ n a) 2n +1 Từ đó suy : m n n +1 n ³ = 2+ n - n2 2= = ³ æ ö 1 n2 ÷ 2ç ÷ 2+ + n ç + + ÷ ç n ÷ ç n2 è ø 2+ m < Khi đó m2 < 2n2 ị m Ê 2n - hay m Ê b) n ( 3+ ) 2n - Từ đó suy : m n = = 2- m ³ n 2n - = 2n 2- ³ æ ö n2 ÷ ÷ n2 ç ç + ÷ ç ÷ ç n2 ø è 2- = n2 2- 2+ n2 + 2- n2 ( 3+ ) ************************************************ Equation Chapter Section 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— (Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm) a) 1  x  y  x  y 2    xy   xy Giải hệ phương trình:  b) Giải và biện luận phương trình: | x  |  p | x  |5 (p là tham số có giá trị thực) Câu 2: (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt a2 b2 c2   2 (b  c) (c  a ) (a  b) Chứng minh Câu 3: (1,5 điểm) Cho A x  x  và B 2x  x2  2x 1 Tìm tất các giá trị nguyên x cho C 2A  B là số nguyên Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M là trung điểm BD, AC Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC Q Chứng minh: a) KM // AB b) QD = QC Câu 5: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, cho điểm chúng là đỉnh tam giác có diện tích không lớn Chứng minh tất điểm đã cho nằm tam giác có diện tích không lớn —Hết— Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh SBD SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho lớp chuyên Toán ————————— Câu (3,0 điểm) a) 1,75 điểm: Nội dung trình bày Điều kiện xy 0 2[xy ( x  y )  ( x  y )] 9 xy (1)  (2) Hệ đã cho 2( xy )  xy  0 Điể m 0,25 0,25  xy 2 (3)   xy  (4) Giải PT(2) ta được:    x 1   x  y 3   y 2     x 2  xy 2    y 1 Từ (1)&(3) có: 0,50 0,25   x 1     y 1  x  y       xy    x   2    y 1  Từ (1)&(4) có: 0,25 Vậy hệ đã cho có nghiệm là: ( x; y ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1) b) 1,25 điểm: Nội dung trình bày Xét trường hợp: TH1 Nếu  x thì PT trở thành: ( p  1) x 2( p  1) (1) TH2 Nếu   x  thì PT trở thành: (1  p) x 2(1  p) (2) TH3 Nếu x   thì PT trở thành: ( p  1) x 2( p  4) (3) p  Nếu thì (1) có nghiệm x 2 ; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x thoả mãn: x 2( p  4)      p 1 p 1 0,25 Điể m 0,25 0,25 Nếu p  thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn x ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm Nếu p 1 thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn   x  ; (1) có nghiệm x=2; (3)VN Kết luận: + Nếu -1 < p < thì phương trình có nghiệm: x = và + Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm  x   + Nếu p = thì phương trính có vô số nghiệm   x 2 x 0,25 0,25 2( p  4) p 1 0,25 p1  + Nếu  p  thì phương trình có nghiệm x = Câu (1,5 điểm): Nội dung trình bày + Phát và chứng minh Điể m 1,0 bc ca ab   1 (a  b)(a  c ) (b  a )(b  c) (c  a )(c  b) + Từ đó, vế trái bất đẳng thức cần chứng minh bằng: 0,5   b c  bc ca ab  a      2    2  b c c a a b  (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b)  Câu (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điể m 0,25 Điều kiện xác định: x 1 (do x nguyên) Dễ thấy A 2 x  2( x  1) C   ; B   | x  1| | x  1|  | x  1| | x  1| , suy ra: 0,25 2 4( x 1) 1 2x  4( x 1) C  1    C  1  1 0 x  3(2 x  1) 3(2 x  1) 3(2 x  1)   x  Nếu Khi đó  C  , hay C không thể là số nguyên với x  Suy   x 1 Nếu Khi đó: x 0 (vì x nguyên) và C 0 Vậy x 0 là giá trị cần 0,5 0,25 tìm Khi đó x  (do x nguyên) Ta có: Nếu 2 4( x  1) 4( x  1) 2x   C    1  0 C   1  0  x 1  3(2 x  1) 3(2 x  1) 3(2 x  1) và ,   C 0 hay C 0 và x  Vậy các giá trị tìm thoả mãn yêu cầu là: x 0, x  x suy 0,25 Câu (3,0 điểm): a) 2,0 điểm: Nội dung trình bày Điể m Gọi I là trung điểm AB, I A B K M Q D E H b) 1,0 điểm: R C E IK  CD , R IM  CD Xét hai tam   giác KIB và KED có: ABD BDC 0,25 KB = KD (K là trung điểm BD) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25   IKB EKD Suy KIB KED  IK KE Chứng minh tương tự có: MIA MRC Suy ra: MI = MR Trong tam giác IER có IK = KE và MI = MR nên KM là đường trung bình  KM // CD Do CD // AB (gt) đó KM // AB (đpcm) Nội dung trình bày 0,25 0,25 Điể m Ta có: IA=IB, KB=KD (gt)  IK là đường trung bình  ABD  IK//AD hay IE//AD chứng minh tương tự  ABC có IM//BC hay IR//BC Có: QK  AD (gt), IE//AD (CM trên)  QK  IE Tương tự có QM  IR Từ trên có: IK=KE, QK  IE  QK là trung trực ứng với cạnh IE IER Tương tự QM là trung trực thứ hai IER Hạ QH  CD suy QH là trung trực thứ ba IER hay Q nằm trên trung trực đoạn CD  Q cách C và D hay QD=QC (đpcm) Câu (1,0 điểm): Nội dung trình bày P' 0,25 0,25 0,25 0,25 Điể m B' A C' P C B A' Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn (diện tích S) Khi đó S 1 Qua đỉnh tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn tạo thành tam giác A ' B ' C ' (hình vẽ) Khi đó S A ' B 'C ' 4S ABC 4 Ta chứng minh tất các điểm đã cho nằm tam giác A ' B 'C ' Giả sử trái lại, có điểm P nằm ngoài tam giác A ' B ' C ', chẳng hạn trên d P; AB  d C ; AB    , suy S PAB  SCAB , mâu thuẫn với giả thiết tam hình vẽ Khi đó  giác ABC có diện tích lớn Vậy, tất các điểm đã cho nằm bên tam giác A ' B ' C ' có diện tích không lớn ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2009-2010 Bài : ( điểm ) 0.25 0.25 0.25 0.25 x 42   2  3 17  38  P  x  x  1 2009 Cho tính Bài : ( 1, điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = ( ) và x2 - b2 x + bc = (2 ) biết phương trình ( ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( ) có hai nghiệm x3 ; x4 thoả mãn điều kiện x3  x1  x4  x2 1 xác định b và c Bài : ( điểm ) 1 1    9 a b c  a  b  c   Cho các số dương a; b; c Chứng minh Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 Chứng ming 2009  670 2 a b c ab  bc  ca Bài : ( 3, điểm ) Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N là các tiếp điểm đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO P và Q Gọi E; F là trung điểm AB ; AC Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp Chứng minh Q; E; F thẳng hàng MP  NQ  PQ OM  a bc OC Chứng minh Bài : ( điểm ) Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, ô lúc đầu đặt viên sỏi Gọi T là thao tác lấy ô bất kì có sỏi và chuyển từ ô đó viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau số hữu hạn phép thực các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi trên bảng cùng ô không Lời giải Bài : x 42   2  3 17  38  1     3  (17  38)      17  38 17  38     P = Bài : vì x3  x1  x4  x2 1 => x3  x1  1; x4  x2   x1  x2  b(1)  x x c(2)    x1  1   x2  1 b (3)  x  x  bc (4) Theo hệ thức Vi ét ta có     Từ (1 ) và ( ) => b2 + b - =  b = ; b = -2 từ ( ) => x1 x2  x1  x2  bc => c - b + = bc ( ) +) với b = thì ( ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = trở thành  1  4c 0  c  X + x + = có nghiệm +) với b = -2 ( ) trở thành c + = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = trở thành x2 - x - = có nghiệm là x =  c 4; b= 1; c b = -2 ; c = -1 Bài : Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương a  b  c  abc 1  a  b  c      9 a b c => 1 1   3 a b c abc dấu “=” sảy  a = b = c ta có  ab  bc  ca a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c 3 2007 669 ab  bc  ca Áp dụng câu ta có 1   2      a  b  c  2ab  2bc  2ca  9 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca   1   1 a  b2  c ab  bc  ca  a  b  c  => 2009  670 2 a  b  c ab  bc  ca dấu “=” sảy  a = b = c = 1     BOP BAO  ABO  A  B  1800  C   PNC   A  B 2    BOP  PNC     Bài : a) ta có => tứ giác BOPN nội tiếp +) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp   +) tứ giác AOQM nội tiếp=> AQO  AMO 90    BNO 900 tứ giác BOPN nội tiếp => BPO   0 => AQB  APB 90 => tứ giác AQPB nội tiếp b ) tam giác AQB vuông Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA 1    EQB  EBQ  B QBC => => QE //BC Mà E F là đường trung bình tam giác ABC nên E F //BC  Q; E; F thẳng hàng c) MP OM OP   a OC OB NQ ON OM NOQ ~ COA( g  g )    b OC OC PQ OP OM POQ ~ BOA( g  g )    c OB OC OM MP NQ PQ MP  NQ  PQ      OC a b c A B C MOP ~ COB ( g  g )  Bài : 1) 3x - y3 =  y  3m  y 3m    m n m n  y  y  3  9  3.3  3 m  b  x m  b  x  3x  y  1  y  y  1  => tồn m; n cho  +) m = thì y = và x = 9m  3.3m  33   m  3.3m  39   +) m > thì m  3.3m  3  3m  3m  3 0 3n 3  n 3 9  n 1 => => m = => y = ; x = p/ trình có hai nghiệm là ( ; 0 ; ( ; ) 2.Ta tô màu các ô vuông bảng hai màu đen trắng bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi các ô đen 1005 2009 là số lẻ sau mối phép thực thao tác T tổng số sỏi các ô đen luôn là số lẻ không thể chuyển tất viên sỏi trên bẳng ô vuông cùng ô sau số hữu hạn các phép thưc thao tác T Sở giáo dục-đào tạo Hµ nam đề chính thức Kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT chuyªn N¨m häc 2009-2010 Môn thi : toán(đề chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Bµi 1.(2,5 ®iÓm) 1  2 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  3x  x    x  x  y 7    x 12 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  x  y Bµi 2.(2,0 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x  x   2m 0 a) Tìm m để x =  48 là nghiệm phơng trình b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=x1; x=x2 thoả mãn: x1  x2 24  x1  x2 Bµi 3.(2,0 ®iÓm) x  2m  x  6m  52 0   1) Cho ph¬ng tr×nh: ( víi m lµ tham sè, x lµ Èn sè) Tìm giá trị m là số nguyên để phương trình có nghiệm là số hữu tỷ 2) T×m sè abc tho¶ m·n: abc  a  b  4c Bµi 4.(3,5 ®iÓm)   Cho ∆ABC nhän cã C  A §êng trßn t©m I néi tiÕp  ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh AB, BC, CA lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N, E; gäi K lµ giao ®iÓm cña BI vµ NE  C  AIB 900  a) Chøng minh: b) Chứng minh điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên đờng tròn c) Gäi T lµ giao ®iÓm cña BI víi AC, chøng minh: KT.BN=KB.ET d) Gọi Bt là tia đờng thẳng BC và chứa điểm C Khi điểm A, B và tia Bt cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh các đờng thẳng NE tơng ứng luôn qua điểm cố định - HÕt -Hä vµ tªn thÝ sinh:………………………… Sè b¸o danh:………………… Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 1:……………………….Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 2……… Gợi ý số câu khó đề thi: Bµi 3: 2 1) Ta cã  = 4m  12m  68  2m  3  77 ' §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm h÷u tû th×  ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng Gi¶ sö  ' = n2( đó n là số tự nhiên) Khi đó ta có '  2m   2  77 n   2m  3  n 77   2m   n   2m   n  77 Do n  N nªn 2m-3+n>2m-3-n Vµ m  Z, n N vµ 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11) Từ đó xét trờng hợp ta tìm đợc giá trị m 2)Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta cã: 100a  10b  c  a  b  4c  c   Ta cã  a  b  100a  10b  a  b  (do  a  b   0) 10   a  b   9a     a  b  4 a  b  10  10a  b  2 lµ sè lÎ vµ  c 9 nªn  a  b   5 2 Mµ  a  b  lµ sè ch½n nªn  a  b  ph¶i cã tËn cïng lµ   a  b  ph¶i cã tËn cïng lµ hoÆc (*) c MÆt kh¸c  a  b  2.5 ab 4(a  b)2  vµ 2 a  b   a  b   125, 25 lµ sè lÎ   <500  (**) KÕt hîp (*) vµ (**) ta cã  a  b   {4; 9; 49; 64}  a+b  {2; 3; 7; 8} + NÕu a+b  {2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k ± 1(k  N) đó  a  b   chia  10   a  b   9a  hÕt cho mµ (a+b) + 9a= 3k ± 1+9a kh«ng chia hÕt cho kh«ng 3  c  N 10   9a    3a  c  35 + NÕu a+b =3 ta cã V× 0<a<4 vµ 1+3a 7  1+3a=7  a=2, đó c=6 và b=1.Ta có số 216 thoả mãn KÕt luËn sè 216 lµ sè cÇn t×m Bµi 4: * ý c : Chøng minh KT.BN=KB.ET KT AK  C¸ch 1:C/m  AKT   IET  ET IE KB AK  C/m  AKB   INB  BN IN Do IE=IN từ đó ta suy điều phải chứng minh C¸ch 2: KT TA  C/m  TKE   TAI  ET TI KB AB  C/m  BIM   BAK  BM BI TA AB  Theo tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña  ABT ta cã TI BI Và BM=BN từ đó suy điều phải c/m *ý d:Chứng minh NE qua điểm cố định:  Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và ABI  không đổi  (tia Bx lµ tia ph©n gi¸c cña ABt ) Xét  ABK vuông K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cos  không đổi Nh điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B khoảng không đổi đó K cố định  đpcm GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIEÂN GIANG, NAÊM 2009 – 2010 Đề, lời giải Baøi 1: (1 ñieåm) Cho phöông trình ax2 + bx + c = coù nghieäm phaân bieät x1, x2 Ñaët S2 = x12 + x22 ; S1 = x1.x2 Chứng minh rằng: a.S2 + b.S1 + 2c = b Theo Vi-eùt ta coù: x1+ x2 = a ; x1.x2 = c a Caùch khaùc, nhaän xeùt a.S2 + b.S1 + 2c = a x12  x2  b  x1  x2   2c   a   x1  x2    x1 x2    b  x1  x2   2c   a  x1  x2   2a  x1 x2   b  x1  x2   2c c b  b a    2a  b  2c a a  a  b2 b2   2c   2c 0 (do a 0) a a Baøi 2: (2 ñieåm) Cho phöông trình: 2x - x + 3m – = (1) a/ Định m để phương trình có nghieäm baèng vaø tìm taát caû nghieäm coøn laïi cuûa phöông trình b/ Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m để phương trình (1) có nghiệm a/ Phöông trình coù nghieäm x = thay vaøo pt ta coù: 2.9 - +3m – = 3m = Caùch khaùc: m = 7/3 Từ (1) ta có x 0 vào (1) ta  x   x  0 (2) pt:  x1 3 x = x  x  0 (2)   Ñaët Giải tìm t1 = ; t2 = ½   x2  Suy x1 = ; x = ¼ b/ Từ (1) coi phương trình với ẩn là  x2    x 2  x 81  24m  x2  maø S  x1  x2  Laäp x t 0 ta coù pt: 2t2 – 7t + = Để pt (1) có nghiệm thì:   x 81  24m 0 27   m   S  x1  x2  0  x1  x2  Caâu b: Có thể yêu cầu tìm số nguyên lớn m để phương trình (1) có nghieäm Chuù yù: neáu thay bài toán tương tự x x ta có Baøi 3: (2 ñieåm) Giaûi heä phöông   x  1  y   2 (1)   y    z  3 6 (2)   z  3  x  1 3 (3)  trình: (I) Nhaân (1) (2) vaø (3) ta coù: Nếu x, y, z là các số dương thì heä chæ coù nghieäm [(x + 1)(y + 2)(z + 3)]2 = 36 (x + 1)(y + 2)(z + 3) = (x + 1)(y + 2)(z + 3) = -6 Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = hệ (I) laø:  z  3   x  1   y  2   z 0   x 0  y 0  Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - hệ (I) laø:  z     x     y     z    x    y  Vaäy nghieäm cuûa heä laø (0 ; ; 0) vaø (-2 ; -4 ; -6) Baøi 4: (2 ñieåm) Trong maët phaúng toïa y x2 , ñieåm I(0 ; độ cho parabol (P): 3) vaø ñieåm M(m ; 0) Với m là tham số khác a/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai ñieåm M, I b/ Chứng minh (d) luôn luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với AB >6 a/ Goïi pt cuûa (d) laø y = ax + b Khi ñi qua I(0 ; 3) vaø M(m ; 0) ta coù:   a.0  b 3   m.a  b 0   b 3 3     (d ) : y  x  m a m  b/ Phương trình hoành độ giao điểm (d) vaø (P): x2   x 3 m  mx  x  9m ( m 0)  mx  x  9m 0  92  4.m   9m  81  36m  0, m 0 Vaäy (d) luoân caét (P) taïi ñieåm phaân bieät Chứng minh AB > Vì A, B laø giao ñieåm cuûa (d) vaø (P) neân hoành độ xA, xB phải thỏa mãn pt: mx2 + 9x – 9m = Theo Vi-eùt ta coù: xA+ xB = m -9 Do A, B ( d )  y A  ; x A x B = 3 3 x A  ; y B  xB  m m Theo công thức tính khoảng cách: AB   xA  xB    y A  y B  3  3  xA  xB  m   m   xA  xB    xA  xB     xA   2 xB      m  2 x  xB   A m      x A  x B   x A xB       m    2        4( 9)       m    m    81     36     m  m   81 729 324    36  36 6 m2 m m2 Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) vaø (O’ ; R’) caét taïi A vaø B (R > R’) Tieáp tuyeán taïi B cuûa (O’ ; R’) caét (O ; R) taïi C vaø tieáp tuyeán taïi B cuûa (O ; R) caét (O’ ; R’) taïi D a/ Chứng minh rằng: AB2 = AC.AD và AC  BC     AD  BD  b/ Lấy điểm E đối xứng B qua A Chứng minh bốn điểm B, C, E, D thuộc đường tròn có tâm là K Xác định tâm K đường tròn   a/ Xeùt (O) ta coù C1 B2 (chaén cung AnB)   Xeùt (O’) ta coù D1 B1 (chaén cung AmB)  ABC ADB AB AC BC    (1) AD AB BD  AB  AC AD 2 AB AC AD AC  BC   AB          AD AD2 AD  BD   AD  b/ Từ (1) thay AE = AB ta có AE AC  AD AE (*) maët khaùc: A C  B  ; A B  D  1 2    A  A (**) C = A K x = j B    E  B  B   CED  CBD E 2     E  D  D  B 2 O AEC ADE (c  g  c )  D   E / x Từ (*) và (**) suy ra: E / 180 ( xet BDE ) Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K Với K là gaio điểm đường trực BCE BDE D O' Së GD&§T NghÖ An K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010 §Ò thi chÝnh thøc Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1: (3.5 điểm) a) Giải phương trình x    x 3 b) Giải hệ phương trình  2  x  y   x3    y Bài 2: (1.0 điểm) Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x  ax  a  0 Bài 3: (2.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có đường phân giác BE (E thuộc AC) Đường tròn đường kính AB cắt BE, BC M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC K Chứng minh: AE.AN = AM.AK Bài 4: (1.5 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài độ dài cạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành Bài 5: (2.0 điểm) a) Bên đường tròn tâm O bán kính cho tam giác ABC có diện tích lớn Chứng minh điểm O nằm nằm trên cạnh tam giác ABC b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab  bc  ca P a  b2  c  a b  b 2c  c a Hết -Họ và tên thí sinh ………………………………… ……… SBD…………… * Thí sinh không sử dụng tài liệu * Giám thị không giải thích gì thêm K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt Së GD&§T NghÖ An chuyªn §Ò thi chÝnh thøc phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010 M«n thi: To¸n Híng dÉn chÊm thi B¶n híng dÉn chÊm gåm 03 trang Nội dung đáp án §iÓm 3,5 ® 2,0® Bµi a x    x 3  x    x  3 x   x   x    x 27 0.50®   ( x  2)(7  x) 27 0.25®  ( x  2)(7  x ) 2  ( x  2)(7  x) 8 0.25® 0.25® 0.25®  x  x  0  x    x 6 ( tháa m·n ) 0.50® b 1,50® z §Æt y 0.25® 2  3x z   z x   Hệ đã cho trở thành   x  z  z  x3 0.25® 0,25®   x  z  x  xz  z  0   x z  0,25® 2 (v× x  xz  z   0, x, z ) 0,25®  x  x3  x  0    x 2 Từ đó ta có phơng trình: 0,25® Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( x, y ) ( 1;  2),  2,1 Bµi 2: Điều kiện để phơng trình có nghiệm:  0  a  4a  0 (*) Gọi x1, x2 là nghiệm nguyên phơng trình đã cho ( giả sử x1 ≥ x2)  x1  x2 a  x1.x2  x1  x2 2  x1.x2 a   Theo định lý Viet:  ( x1  1)( x2  1) 3  x  3  x1       x2  1 hoÆc  x2   (do x1 - ≥ x2 -1) 1,0 ® 0,25® 0,25® 0,25®  x 4  x1 0     x2 2 hoÆc  x2  Suy a = hoÆc a = -2 (tháa m·n (*) ) Thö l¹i ta thÊy a = 6, a = -2 tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n Bµi 3:      V× BE lµ ph©n gi¸c gãc ABC nªn ABM MBC  AM MN    MAE MAN (1) Vì M, N thuộc đờng tròn đờng   kÝnh AB nªn AMB  ANB 90  ANK AME 90 , kÕt hîp với (1) ta có tam giác AME đồng d¹ng víi tam gi¸c ANK AN AK   AM AE  AN.AE = AM.AK (®pcm) Bµi 4:   V× tø gi¸c AMIN néi tiÕp nªn ANM  AIM   V× tø gi¸c BMNC néi tiÕp nªn ANM  ABC  AIM  ABC Suy tø gi¸c BOIM néi tiÕp Tõ chøng minh trªn suy tam gi¸c AMI đồng dạng với tam giác AOB AM AI    AI AO  AM AB AO AB (1) Gọi E, F là giao điểm đờng thẳng AO víi (O) (E n»m gi÷a A, O) Chứng minh tơng tự (1) ta đợc: K AM.AB = AE.AF = (AO - R)(AO + R) (víi BC = 2R) = AO2 - R2 = 3R2 3R 3R 3R R  AI     OI  AO R 2 (2)  AI.AO = 3R2 Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên OA.OK = OB.OC = R2 R2 R2 R  OK    OA R (3) Tõ (2), (3) suy OI = OK Suy O lµ trung ®iÓm IK, mµ O lµ trung ®iÓm cña BC V× vËy BICK lµ h×nh b×nh hµnh 0,25® 2,0 ® 0,25® 0,50® 0,25® 0,50® 0,25® 0,25® 1,5 ® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® 2,0 ® 1,0 ® Bµi 5: a, Gi¶ sö O n»m ngoµi miÒn tam gi¸c ABC Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö A vµ O nằm phía đờng thẳng BC Suy đoạn AO cắt đờng thẳng BC K KÎ AH vu«ng gãc víi BC t¹i H Suy AH  AK < AO <1 suy AH < 0,25® 0,25® 0,25® SABC  Suy víi gi¶ thiÕt) Suy ®iÒu ph¶i chøng minh AH BC 2.1  1 2 (m©u thuÉn b, Ta cã: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 2 mµ a + ab  2a b (¸p dông B§T C«si ) b3 + bc2  2b2c c3 + ca2  2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > ab  bc  ca P a  b  c  a  b2  c2 Suy  (a  b2  c ) 2  P a  b  c  2(a  b2  c ) Đặt t = a2 + b2 + c2, ta chứng minh đợc t  9 t t t P t      3   4 2t 2t 2 2 Suy P4 DÊu b»ng x¶y vµ chØ a = b = c = VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ 0,25® 1,0® 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® Nếu thí sinh giải cách khác đúng câu thì cho tối đa điểm câu đó SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Câu 1: (2,0 điểm) KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009-2010 MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 Cho số x ( x  R ; x > ) thoả mãn điều kiện : 1 x3 + x5 + x và B = x thức : A =       Giải hệ phương trình:  + x 2- 2 y + y 2- 2 x x2 + =7 x2 Tính giá trị các biểu Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax2 + bx + c = (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2a - 3ab + b Q =  x1  x  Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a - ab + ac Câu 3: (2,0 điểm) x - + y + 2009 + z - 2010 =  x + y + z  Giải phương trình: 2 Tìm tất các số nguyên tố p để 4p + và 6p + là số nguyên tố Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A, cắt cạnh BC M và cắt đường thẳng CD N Gọi K là giao điểm các đường thẳng EM và BN Chứng minh rằng: CK  BN Cho đường tròn (O) bán kính R = và điểm A cho OA = Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Một góc xOy có số đo 450 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh 2 -  DE < Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , đó ad – bc = Chứng minh rằng: P  Hết Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: …………………… sở giáo dục - đào tạo hµ nam đề chính thức Bµi (2 ®iÓm) kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2009 - 2010 M«n thi : to¸n(§Ò chung) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) x    x 1 1 x Cho biÓu thøc P = a) Tìm điều kiện xác định P b) Rót gän P c) Tìm x để P > Bµi (1,5 ®iÓm)    x  3 x  x 1 x    1 x  y      x  y 1 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  Bµi (2 ®iÓm) 1) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = x + và parabol y = x2 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + cắt trục õ, trục Oy lần lợt các điểm A , B và  AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy nhau) Bµi (3,5 ®iÓm) Cho  ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm Ah, K là trung điểm HC Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt diÓm M vµ N a) Chứng minh  ACB và  AMN đồng dạng b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH) c) T×m trùc t©m cña  ABK Bµi (1 ®iÓm) Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n: x + y + x = 1 1   T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = 16 x y z -hÕt Hä vµ tªn thÝ sinh:……………………………………… Sè b¸o danh: ……………… Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 1: ……………………………………Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 2: ……… Kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2009 – 2010 sở giáo dục đào tạo hµ nam hớng dẫn chấm thi môn toán : đề chung Bµi (2 ®iÓm) a) (0,5 điểm) Điều kiện xác định P là x 0 và x ≠ x   x 1 1 x b) (1 ®iÓm)   4 1 x x 0,2 x x  3 x  x 1  1 x 0.5 x  x  x 43 x  x 1 x 0,2 0,2 0,2 VËy P =  x P>0   x  c) (0,5 ®iÓm) 0,2 0,2 x   x   Bµi (1,5 ®iÓm)   2  x 1  Céng hai ph¬ng tr×nh ta cã :  x Víi x   1 y    1 0,5 1   21  2 1 0,5    1  0,2  x     y   0,2 K/l VËy hÖ cã nghiÖm: Bµi (2 ®iÓm) a) (1 điểm) Hoành độ giao điểm là nghiệm phơng trình: x2 = x +  x  x  0  x  hoÆc x = Víi x = -2  y 4; x 3  y 9 Hai ®iÓm cÇn t×m lµ (-2;4); (3;9) b) (1 ®iÓm) Víi y = Víi x =   m  1  2m  0  x  05 0,2 0,2  2m+3  2m   A ;0   m+1  m  (víi m ≠ -1) 0,2  y 2m   B  0;2m+3   2m   2m  m 1  OAB vu«ng nªn  OAB c©n A;B ≠ O vµ OA = OB 2m    2m    2m  3   1 0  m 0   m 1  + Víi m  hoÆc m = (lo¹i) 2m     2m    2m     1 0  m   m  m    + Víi hoÆc m = (lo¹i) 0,2 0,2 0,2 K/l: Gi¸ trÞ cÇn t×m m = 0; m = -2 Bµi 4(3,5 ®iÓm) a) (1,5 ®iÓm) A N 0,2 I E M C B H  AMN và  ACB vuông đỉnh A K 0,2   Cã AMN AHN (cïng ch¾n cung AN)    AHN ACH (cùng phụ với HAN ) (AH là đờng kính)    AMN ACH 0,7  AMN ACB 0,2  b) (1 điểm)  HNC vuông đỉnh N vì ANH 90 có KH = KC  NK = HK lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên  KNI =  KHI (c.c.c) 0,7     KNI KHI 900  KNI 900 Có KN  In, IN là bá kính (AH)  KN là tiếp tuyến với đờng tròn (AH) 0,2 c) (1 ®iÓm) + Gọi E là giao điểm Ak với đờng tròn (AH), chứng minh góc HAK= góc HBI HA HK  Ta cã AH2 HB.HC  AH.2IH = HB.2HK  HB HI     HAK HBI  HAK HBI   HAK EHK + Cã 0,5 (ch¾n cung HE)    HBI EHK  BI // HE AEH 90 0,2 Cã (AH là đờng kính)  BI  AK  ABK cã  BI  AK vµ  BK  AI  I lµ trùc t©m  ABK Bµi (1 ®iÓm)  1 1 1  y x   z x  z    x  y  z              16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y y x   Theo cèi víi c¸c sè d¬ng: 16 x y dÊu b»ng x¶u y=2x P= 0,2 y  21  z  16 z x   16 x z dÊu b»ng x¶u z=4x z y  1 4y z dÊu b»ng x¶u z=2y VËy P  49/16 P = 49/16 víi x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊy cña P lµ 49/16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC 0,2 0,2 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn Toán – Vòng (Dùng cho tất các thí sinh) Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 05 câu 01 trang Câu 1: (2 điểm) Tính giá trị biểu thức: 0,5  x  2 y  31  5 250 3 1 x x y y x y x  xy  y Câu 2: (2,5 điểm) Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – = (ẩn x, tham số m) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 thỏa mãn: 1   x1 x Câu 3: (1,0 điểm) Khoảng cách hai bến sông A và B là 60 km Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 20 phút bến sông B và ngược dòng trở A Thời gian kể từ lúc khởi hành đến bến A tất 12 Tính vận tốc riêng ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp lần vận tốc dòng nước Câu 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua tâm O cắt đường tròn (O; R) hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn, xác định tâm đường tròn đó b) Chứng minh MA.MB = MN2 c) Xác định vị trí điểm M cho tam giác MNP d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Câu 5: (1 điểm)  23 x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: A   B 8x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  18y  x y Đáp án: Câu 1: x = 10; y=3 A=x–y=7 Bài 2: a) Với m = thì x1 = 0; x2 = 2/3 b) m = -6 Bài 3: ĐS: Vận tốc ca nô: 12 km/h Vận tốc dòng nước: km/h Bài 4: a, b) c) Tam giác MNP OM = 2R d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm bên đường tròn) Bài 5: B 8x   18y  x y 2  2  5   8x     18y       8  12  23 43 x  y  x y  1  x; y   ;   3 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ B là 43 1 ;   3  x; y   SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ***** ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + = 0, a là tham số a) Giải phương trình với a = b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh a2 > Câu 2.(4,0 điểm) a) Giải phương trình: x+3 + 6-x b) Giải hệ phương trình: (x + 3)(6 - x) = =1 x + y + z  2x + 2y - 2xy + z = Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = Câu 4.(3,0 điểm) a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: b) Từ đó suy : abc + 3 3  3 xyz  (a + x)(b + y)(c + z) 2 3 Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông  AC (MN + NP + PQ + QM) a) Chứng minh SABCD b) Xác định vị trí M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M Ax và By =HẾT= Họ và tên thí sinh:……………………………………….Số báo danh:…………… Chữ kí giám thị 1:………………………Chữ kí giám thị 2:….…………………… SỞ GD & ĐT PHÚ YÊN *** KỲ THI TUYỂN SINH THPT NĂM HỌC 2009 -2010 MÔN : TOÁN (Hệ số 2) ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI Bản hướng dẫn chấm gồm 04 trang I- Hướng dẫn chung: 1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và thống thực Hội đồng chấm thi 3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số II- Đáp án và thang điểm: CÂU ĐÁP ÁN Điểm Câu 1a Ta có phương trình : x + ax +x + ax + = (1) (2,0đ) (2) Khi a =1 , (1)  x +x +x +x+1= Dễ thấy x = không phải là nghiệm Chia vế (2) cho x ta được: t = x+ x2 + 1  t  x+  x + 2 x x x 1 + x + +1= x x (3) 0,50 t -2 x 0,50 x2 + Đặt và Phương trình (3) viết lại là : t + t - = t1  0,50  1  1 t2  2 và không Giải (3) ta hai nghiệm thỏa điều kiện |t| 2.Vậy với a = 1, phương trình đã cho vô nghiệm Câu1b (2,0đ) 0,50 Vì x = không phải là nghiệm (1) nên ta chia vế cho x2 ta có phương trình : Đặt t =x+ x2 + 1  +a  x +  +1= x x  x , phương trình là : t2 + at - = (4) 0,50 Do phương trình đã cho có nghiệm nên (4) có nghiệm |t|  Từ 1- t a t (4) suy (1 - t ) a >2  2  t (t - 4) 1  (5) t2 Từ đó : 2 0,50 Vì |t|  nên t >0 và t –  , (5) đúng, suy a > Câu 2a (2,0đ) x + + - x - (x + 3)(6 - x) 3 (1) 0,50 0,50  x+3 0  -3 x 6  Điều kiện : 6-x 0 u  x + , u , v 0  u  v 9   v = - x Đặt : Phương trình đã có trở thành hệ : u + v =9   u + v - uv = Suy : (u + v) - 2uv =  = + uv u + v  uv = u =    uv = -4 v = (3+uv)2-2uv =  x+3 =  x = -3   x =  6-x = 0,50 0,50 0,50 0,50 Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = Câu 2b (2,0đ) Ta có hệ phương trình :  x+y+z=1  x+y = 1-z    2 2x+2y-2xy+z =1  2xy = z +2(x+y)-1 x + y = - z  2 2xy = z - 2z + = (1- z)  2xy = (x + y) 2  x + y =  x = y =  z = Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1) Câu (3,0đ) 0,50 0,50 0,50 Ta có : 3x2 + 6y2 + 2z2 +3y2z2 -18x = (1)  3(x-3) + 6y + 2z + 3y z 33 (2) Suy : z2  và 2z2  33 Hay |z|  Vì z nguyên suy z = |z| = a) z = , (2)  (x-3)2 + 2y2 = 11 (3) Từ (3) suy 2y2  11  |y|  Với y = , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn Với |y| = 1, từ (3) suy x  { ; 6} b) |z| = 3, (2)  (x-3)2 + 11 y2 = (4) Từ (4)  11y2   y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;1;0) ; (6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0) Câu 4a (2,0đ) 0,50 abc  xyz  (a+x)(b+y)(c+z) (1) Lập phương vế (1) ta : 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 abc + xyz + 3 (abc)2 xyz + 3 abc(xyz) (a+x)(b+y)(c+z) 0,50  abc + xyz+ 3 (abc) xyz +3 abc(xyz)2  abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz  3 (abc) xyz + 3 abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc) (2) 0,50 Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : (abz+ayc+ xbc) 3 (abc)2 xyz (3) (ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz)2 (4) 0,50 Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta bất đẳng thức (2), đó (1) chứng minh 0,50 Câu4b a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = Áp dụng BĐT (1) với (1,0đ) 3 Ta có : abc = + , xyz = 3- , a+ x = 6, b + y = 2, c + z = 3 3 3 Từ đó : 3+  3-  6.2.2 2 (đpcm) Câu 5a Gọi I, J, K là trung điểm (2,0) QN, MN, PQ Khi đó : MN BJ = (trung tuyến  vuông MBN) PQ Tương tự DK = QM IJ = (IJ là đtb  MNQ) PN Tương tự IK = M A B J Q I N K D C P 0,50 0,50 0,50 Vì BD  BJ + JI + IK + KD Dođó: SABCD  0,50 0,50 AC AC AC BD  (BJ+JI + IK+KD) = (MN+NP+PQ+QM) 2 - đpcm 0,50 Câu5b Chu vi tứ giác MNPQ là : (1,0) MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ = 2(BJ + JI + IK + KD)  2BD (cmt) Dấu xảy đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền tam giác vuông cân nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật Câu (3,0đ) Kí hiệu hình vẽ Phần thuận :   AOB =AMB 900 (giả thiết)  tứ giác AOBM luôn nội tiếp    AMO ABO 45 (vì AOB vuông cân O) y H P M' Q A M B' O B x 0,50 0,50 Suy M luôn nằm trên đường thẳng qua O và tạo với đường PQ góc 450 Trường hợp B vị trí B’ thì M’ nằm trên đường thẳng qua O và tạo với PS góc 450 Giới hạn : *) Khi A  H thì M  Q, A  K thì M  S *) Trường hợp B vị trí B’: A  H thì M’  P, A  K thì M’  R Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR), qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) A Kẻ bán kính OB  OA   Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì AMO ABO 45 )   Suy : AMB AOB 90 Mà AM//PQ , PQ PS  MB//PS Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là đường chéo hình vuông PQRS =Hết= 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 Sở Giáo dục và đào tạo B×NH D¦¥NG Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT Chuyªn Hïng V¬ng N¨m häc 2009-2010 M«n thi: To¸n (Chuyªn) Thêi gian lµm bµi: 150 phót (không kể thời gian phát đề.) §Ò thi chÝnh thøc -C©u1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x  x  x  19 2 x  39 C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x  y    x  y   0    x  y  0 C©u 3: Cho a,b  R tháa:    2  a  a    b  b   3    TÝnh a+ b C©u Cho Ph¬ng tr×nh bËc hai , x lµ Èn, tham sè m: x   m 1 x  2m 0 1- Chøng minh ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m 2- Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Chøng tá M = x1 + x2 - x1x2 kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m Câu Cho tam giác ABC có góc nhọn BE và CF là hai đờng cao Trực tâm H   Trªn HB vµ HC lÇn lît lÊy ®iÓm M , N cho AMC  ANB 90 Chøng minh : AM = AN GiảI đề Thi C©u1: Gi¶i ph¬ng tr×nh x  x  x  19 2 x  39 (*) đặt t = x  x  19 0 (*)  t  t  0 t 4(nhËn) t2  5(lo¹i  1  x  x  19 16  x  x  35 0  x1 7  x2   C©u 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  x  y    x  y   0 (*)    x  y  0 đặt t = x + y t 1 (*)  t  3t  0   t2 2  x 3   x  y 1  y    x  y        x    x  y 2    x  y 5   3   y   C©u 3: Cho a,b  R tháa:    2  a  a    b  b   3    TÝnh a+ b    tõ  a  a2    b  b2   3     a  a2        b   b2  3  3 a       a  a2    b  b2   3       2  a  a    b  b   3    vËy   a  a2    b  b2   3      a2    b  b        2 2  ab + a b + + b a + + a + b + =    2 2  ab - a b + - b a + + a + b + =     2a b2 + + 2b a + =         a b2 + + b a + = v × a + > 0, b2 + > nª n a = b =  a+b=0 C©u Cho Ph¬ng tr×nh bËc hai , x lµ Èn, tham sè m: x   m 1 x  2m 0 ’ = [-(m+1)]2-2m = m2 +2m +1 -2m = m2 + > Nªn ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ m TheoViet :  x1 + x = 2(m + 1)   x1.x2 = 2m M = x1 + x - x1.x = 2(m + 1) - 2m = Nªn kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m C©u 5: A AEB  AFC(g-g) AE AB   AF AC  AE AC  AF.AB (1) vMAC, ME : ® êng cao E MA2  AE AC (2) vNAB, NF : ® êng cao F NA2  AF.AB (3) Tõ (1),(2),(3) MA2 = NA2 MA = NA M H N B - C Hướng dẫn Câu ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Môn thi: TOÁN đề chính thức (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm : 01 trang Bài (2,0 điểm) : a Cho k là số nguyên dương bất kì Chứng minh bất đẳng thức sau: 1  2(  ) (k  1) k k k 1 b Chứng minh rằng: 1 1 88      2010 2009 45 x  ( m  1) x  0 Bài (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x: (1) (m là tham số) a Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x 1  b Tìm các giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 cho biểu thức: A ( x12  9)( x22  4) đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm): 2   x  y  xy 3  x  y3 9 a Giải hệ phương trình sau :  b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x3  x  3x   y Bài (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B) Vẽ đường tròn tâm I qua M và tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M và tiếp xúc với CD D Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt điểm thứ hai là N a Chứng minh điểm A, N, B, C, D cùng thuộc đường tròn Từ đó suy điểm C, M, N thẳng hàng b Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn o Bài (0.5 điểm): Cho góc xOy 120 , trên tia phân giác Oz góc xOy lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng OA là số nguyên lớn Chứng minh luôn tồn ít ba đường thẳng phân biệt qua A và cắt hai tia Ox, Oy B và C cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC là các số nguyên dương ========= Hết ========= Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:……………………………….………………… Số báo danh:…………… KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN CHUYÊN CÂU Bài Ý NỘI DUNG a Cho k là số nguyên dương bất kì CMR: ĐIỂM (2điểm) 1  2(  (k  1) k k ) k 1 1 1 88      2010 2009 45 b Chứng minh rằng: a (1.0đ)  Bđt  k 1  k  (k  1) k k k  0.25 2k   k(k  1)  0.25 k )2   ( k 1  0.25 Luôn đúng với k nguyên dương 1   2(  ) (k  1) k k k 1 b 0.25 Áp dụng kết câu a ta có: (1.0đ) 0.25 VT      2010 2009       2     2     2 3    2009  2      2010  0.25   2010  0.25  88   1   VP  45  45 (đpcm) Bài (2.5 điểm) Cho phương trình ẩn x: tham số) x  ( m  1) x  0 0.25 (1) (m là c Tìm các giá trị m để phương trình có nghiệm x 1  d Tìm m để (1) có nghiệm x1 , x2 cho biểu thức: A ( x12  9)( x22  4) max a (1,5đ)   1 Pt (1) có nghiệm x 1       m  1   0 Tìm m 5  và KL b (1,0đ) 1.0 Tính   m  1  24  m suy pt (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 A  x1 x2     x1  3x2  0.5 0.25 A   x1  x2  0 Theo ĐL Vi-et ta có x1 x2   2 x1  3x2 0    x1 x2   x  x 1  m   x1 3  x1     x2    x2 2 m 0 m 2   Max A = và KL : Vậy m = ; m = là các giá trị cần tìm Bài (2 điểm) 0.5 0.25 2   x  y  xy 3  3 9 a Giải hệ phương trình sau :  x  y b Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x3  x  3x   y3 a (1.0đ) Hệ phương trình đã cho  x  y  xy 3   2 ( x  y )( x  y  xy ) 9  x  y 3   xy 2 b (1.0đ) 3 x  y  ( x  y )  xy 3 0.5  x 1  x 2     y 2  y 1 0.5 3  y  x 2 x  x  2  x     4  Ta có (1) 3  x y 0.25  15  ( x  2)3  y 4 x  x   x      y  x   16  0.25 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + 0.25 Thay y = x + vào pt ban đầu và giải phương trình tìm x = -1; x = từ đó tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0) 0.25 (2) Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B) Vẽ đường tròn tâm I qua M và tiếp xúc với BC B, vẽ đường tròn tâm J qua M và tiếp xúc với CD D Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt điểm thứ hai là N c Chứng minh điểm A, N, B, C, D cùng thuộc đường tròn Từ đó suy điểm C, M, N thẳng hàng d Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn N I A B K H J M O C D a 2.0đ MNB MBC ( Cùng chắn cung BM) MND MDC ( Cùng chắn cung DM) 1.5 BND MNB  MND MBC  MDC 90 Do đó điểm A, B, C, D, M cùng thuộc đường tròn Suy NC là phân giác góc BND ( cung BC = cung BD) Mặt khác, theo CM trên ta có NM là phân giác góc BND 0.5 Nên M, N, C thẳng hàng b 1.0đ Gọi H, K là hình chiếu N trên AC và BD  NHOK là hình chữ nhật Ta có : NA.NC NH AC NH a 0.5 NB.ND NK BD NK a Suy NA.NB.NC.ND 2a NH NK 2a Dấu xảy và Bài (0.5 điểm) NH  NK a4 a NO  2 NH  NK  a (2  2)a  OM  2 o Cho góc xOy 120 , trên tia phân giác Oz góc xOy lấy điểm A cho độ dài đoạn thẳng OA là số nguyên lớn Chứng minh luôn tồn ít ba đường thẳng phân biệt qua A và 0.5 cắt hai tia Ox, Oy B và C cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC là các số nguyên dương O B C A y x z   Chỉ đường thẳng d1 qua A và vuông góc với OA thỏa mãn bài toán Đặt OA = a > (a nguyên) Trên tia Ox lấy điểm B cho OB = a + nguyên dương Đường thẳng d qua A, B cắt tia Oy C 1   Chứng minh OB OC OA 1     OC a (a  1) a  OC a là số nguyên dương Suy d là đường thẳng cần tìm  0.5 Tương tự lấy B trên Ox cho OB = a(a + 1), Ta tìm đường thẳng d3  Chứng minh d1 , d , d3 phân biệt ĐPCM Hướng dẫn chung Trên đây là các bước giải và khung điểm cho câu Yêu cầu học sinh phải trình bầy, lập luận và biến đổi hợp lý, chặt chẽ cho điểm tối đa Bài phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải bài toán cho điểm.( không cho điểm hình vẽ ) Những cách giải khác đúng cho điểm tối đa Chấm điểm phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần( không làm tròn) =========================== SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN GIA LAI Năm học 2009 – 2010 ………………… …………………………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán ( Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề ) ĐỀ BÀI: Câu 1: ( điểm) Tìm các số nguyên dương n cho n2 + chia hết cho n + Câu 2: ( 1,5 điểm) x x 1   x  x   x Cho biểu thức A = x 3 x a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu 3: ( 1,5 điểm) Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phương trình: x – 4x + = Tính x 12 + x22, x13 + x23 và x15 + x25 ( không sử dụng máy tính cầm tay để tính) Câu 4: ( điểm) a) Vẽ đồ thị các hàm số Oxy b) Chứng tỏ phương trình y x x  x 2 và y  x2 trên cùng hệ trục tọa độ có nghiệm Câu 5: ( 1,5 điểm) Một người dự định rào xung quanh miếng đất hình chữ nhật có diện tích 1.600m2, độ dài hai cạnh là x mét và y mét Hai cạnh kề rào gạch, còn hai cạnh rào đá Mỗi mét rào gạch giá 200.000 đồng, mét rào đá giá 500.000 đồng a) Tính giá tiền dự định rào ( theo x và y) b) Người có 55 triệu đồng, hỏi số tiền có đủ để rào không ? Câu 6: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O;R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H AO kéo dài cắt (O) M a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp và tứ giác BHCM là hình bình hành b) Chứng minh AO  EF S ABC  R2  p2 , đó SABC là diện tích tam giác ABC và p c) Chứng minh rằng: là chu vi tam giác DEF …………Hết……… Họ và tên: …………………………………… ; SBD………….; Phòng thi số: ………… Chữ kí giám thị 1:………………………; Chữ kí giám thị 2: ……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi : TOÁN hệ chuyên Ngày thi : 10-7 2009 Thời gian : 150 phút ( không kể phát đề) Câu (2đ) Rút gọn các biểu thức sau : 1) A = + 2) B = + Câu (2đ) 1) Giải hệ phương trình : 2) Giải phương trình : Câu (2đ) Gọi đồ thị hàm số y = x là parabol (P), đồ thị hàm số y = x - m là đường thẳng (d) Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Khi (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A và B kí hiệu x và x là hoành độ A và B Tìm các giá trị m cho x + x = Câu (2đ) 1) Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là trung điểm các cạnh AB,BC,CA Khẳng định S = 4S đúng hay sai ? ? 2) Cho đường tròn (T) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B , PQ là đường kính thay đổi (T) khác đường kính AB Đường thẳng CQ cắt đường thẳng PB điểm M Khẳng định CQ = 2CM đúng hay sai ? ? Câu (2đ) 1) Cho hai số thực x , y thay đổi và thoả mãn điều kiện : 2x + 3y = Tìm x ,y để biểu thức P = 2x + 3y + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó 2) Cho t , y là hai số thực thoả mãn điều kiện : t + y + y - - 4y + = Hãy tìm t , y Hết LuyÖn thi vµo líp 10 thpt đề thi số PhÇn ii ( tù luËn) Câu 13: (1,5 điểm)   a 1      : a1 a   a   Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P : P = a 2   a   Câu 14: (1,5 điểm) a) Hãy cho hai đường thẳng cắt điểm A trên trục hoành Vẽ hai đường thẳng đó b) Giả sử giao điểm thứ hai hai đường thẳng đó với trục tung là B, c) Tính các khoảng cách AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC Câu 15: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , BC = 5, AB = 2AC a) Tính AC b) Từ A hạ đường cao AH, trên AH lấy điểm I cho AI = AH Từ C kẻ Cx // AH Gọi giao điểm BI với Cx là D Tính diện tích tứ giác AHCD c) Vẽ hai đường tròn (B, AB) và (C, AC) Gọi giao điểm khác A hai đường tròn này là E Chứng minh CE là tiếp tuyến đườn tròn (B) đề thi số PhÇn ii ( tù luËn) Câu 13: (1,5 điểm) Giải phương trình: Câu 14: (1,5 điểm) Cho hàm số a) Với giá trị nào m thì (1) là hàm số bậc nhất? b) Với điều kiện câu a, tìm các giá trị m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y – 2x + = 0? Câu 15: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH chia cạnh huyền thành hai đoạn: BH = 4cm; CH = 9cm Gọi D, E theo thứ tự đó là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB và AC a) Tính độ dài đoạn thẳng DE? b) Chứng minh đẳng thức AE.AC = AD.AB? c) Gọi các đường tròn (O), (M), (N) theo thứ tự ngoại tiếp các tam giác ABC, DHB, EHC Xác định vị trí tương đối các đường tròn: (M) và (N); (M) và (O); (N) và (O)? d) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung hai đường tròn (M) và (N) và là tiếp tuyến đường tròn đường kính MN? đề thi số PhÇn ii ( tù luËn) Câu 15: (2 điểm) Giải bài toán sau cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước 48 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ và vòi thứ hai thì bể nước Hỏi vòi chảy mình thì bao lâu đầy bể? Câu 16: (1 điểm) Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = (k là tham số) Chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm Câu 17: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm D khác A và B Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH AD Đường phân giác góc DAB cắt đường tròn E và cắt CH F, đường thẳng DF cắt đường tròn N a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp được? b) Chứng minh ba điểm N, C, E thẳng hàng? đề thi số PhÇn ii ( tù luËn) Câu 13: (2,0 điểm) Chứng minh biểu thức A sau không phụ thuộc vào x:   2x   x  : x  x x  A = (với x > 0) Câu 14: (1,5 điểm) Cho hai đường thẳng : y = -x ( d1 ) ; y = (1 – m)x + (m - 1) ( d2 ) a) Vẽ đường thẳng d1 b) Xác định giá trị m để đường thẳng d cắt đường thẳng d1 điểm M có toạ độ (-1; 1) Với m tìm hãy tính diện tích tam giác AOB, đó A và B là giao điểm đường thẳng d với hai trục toạ độ Ox và Oy Câu 15: (3,5 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’), tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D  (O), E  (O’) Kẻ tiếp tuyến chung A, cắt DE I Gọi M là giao điểm OI và AD, M là giao điểm O’I và AE Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh hệ thức IM.IO = IN.IO’ c) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến đường tròn có đường kính DE d) Tính DE biết OA = 5cm; O’A = 3,2cm a) đề thi số PhÇn ii ( tù luËn) Câu 17: (1,5 điểm) Giải phương trình Câu 18: (2 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một nhóm học sinh tham gia lao động chuyển 105 bó sách thư viện trường Đến buổi lao động có hai bạn bị ốm không tham gia được, vì bạn phải chuyển thêm bó hết số sách cần chuyển Hỏi số học sinh nhóm đó? Câu 19: (2,5 điểm) Cho tam giác PMN có PM = MN, Trên nửa mặt phẳng bờ PM không chứa điểm N lấy điểm Q cho a) Chứng minh tứ giác PQMN nội tiếp b) Biết đường cao MH tam giác PMN 2cm Tính diện tích tam giác PMN đề thi số PhÇn ii ( tù luËn) Câu 14: (1 điểm) ax  by   Xác định các hệ số a và b hệ phương trình bx  ay 8 , biết hệ có nghiệm là (1 ; -2) Câu 15: (2 điểm) Tổng hai chữ số số có hai chữ số 10, tích chúng nhỏ số đã cho là 16 Tìm hai chữ số đó Câu 16: (3 điểm) Cho tam giác PNM Các đường phân giác các góc M và N cắt K, các đường phân giác ngoài các góc M và N cắt H a) Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp b) Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMHN 10cm và đoạn KM 6cm, hãy tính diện tích tam giác KMH đề thi số N¨m häc 1999- 2000 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n ( Thêi gian 150’) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A= √ x − x +4 4−2x 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc A cã nghÜa? 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A : x = 1,999 Bµi II ( 1,5 ®iÓm) : ¿ 1 − =− x y −2 + =5 x y −2 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bµi III ( ®iÓm) : Tìm các giá rị a để ptrình : (a2 − a− 3)x 2+ ( a+2 ) x − a2=0 NhËn x=2 lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i cña ptr×nh ? Bµi IV( ®iÓm): Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D không trùng với đỉnh Avà đỉnh B Đờng tròn đơng kính BD cắt cạnh BC E Đờng thẳng AE cắt đtròn đờng kính BD điểm thứ hai là G Đơng thẳng CD cắt đtròn đờng kính BD điểm thứ hai là F Gọi S là giao điểm các đờng thẳng AC và BF Chứng minh : 1) Đờng thẳng AC song song với đờng thẳng FO 2) SA.SC = SB.SF 3) Tia ES lµ ph©n gi¸c cña gãc AEF Bµi V( ®iÓm): Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 + x + 12 √ x+1=30 đề thi số N¨m häc 2000 – 2001 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : Cho A = ( a+ √ a a − √a +1 −1 √ a+1 √ a −1 a) Rót gän A b) Víi a 0,a Bµi II ( ®iÓm) : )( ) Víi a 0,a 1 T×m a cho A = - a2 Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm : M(2;1) và N(5;- ) và đờng thẳng (d): y = ax + b a) Tìm a và b để đờng thẳng (d) qua M và N b) Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) với hai trục Oy và Ox Bµi III ( ®iÓm) : Cho số nguyên dơng gồm hai chữ số Tìm số đó biết tổng hai chữ số sè đã cho và thêm 13 vào tích hai chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại với số đã cho Bµi IV ( ®iÓm) : Cho tam giác nhọn PBC , PA là đờng cao Đờng tròn đờng kính BC cắt PB , PC lần luợt M và N NA cắt đờng tròn điểm thứ hai là E a) Chứng minh điểm A , B, P ,N cùng thuộc đờng tròn Xác định tâm và bán kính đờng tròn đó b) Chøng minh : EM BC c) Gọi F là điểm đối xứng N qua BC Chứng minh : AM AF = AN AE đề thi số N¨m häc 2001 - 2002 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) :  1 a a   a   1 a  1 a Rót gän biÓu thøc : M =  víi a  vµ a 1 Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : T×m hÖ sè x, y tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn : Bµi iiI ( ®iÓm) :  x  y 25   xy 12 Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc sÏ hoµn thµnh giê NÕu mçi ngêi lµm riªng để hoàn thành công việc thì thời gian ngòi thứ làm ít ngời thứ hai Hỏi làm riªng th× mçi ngßi ph¶I lµm bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc? Bµi Iv ( ®iÓm) : 2 Cho c¸c hµm sè : y = x (P) vµ y = 3x + m (d) ( x lµ biÕn sè , m lµ sè cho tríc) 1) CMR víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m , ®g th¼ng (d) lu«n c¾t parabol (P) t¹i ®iÓm ph©n bÞªt 2) Gọi y1 ; y2 là tung độ các giao điểm đờng thẳng (d) và parabol (P) Tìm m để có đẳng thức : y1  y2 11y1 y2 Bµi v ( ®iÓm) : Cho tam giác ABC vuông đỉnh A Trên cạnh AC lấy điểm M ( khác với các điểm A và C) Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MC Gọi T là giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn (O) Nối BM và kéo dài cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai là D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) t¹i ®iÓm thø hai lµ S Chøng minh : 1) Tứ giác ABTM nội tiếp đợc đòng tròn 2) Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi 3) Đờng thẳng AB song song với đờng thẳng ST đề thi số 10 N¨m häc 2002 - 2003 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) :  y x  xy    : x  xy x  xy  x y Cho biÓu thøc : S =  a) b) Rót gän biÓu thøc trªn Tìm giá trị x và y để S = víi x > , y > vµ x  y Bµi iI ( ®iÓm) : x Trên parabol y = lấy hai điểm A, B Biết hoành đọ điểm A là x A  và tung độ điểm B là yB 8 Viết phơng trình đờng thẳng AB Bµi Iii ( ®iÓm) : Xác định giá trị m phơng trình bậc hai : x  x  m 0 để + là nghiệm phơng trình Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã cho còn nghiệm Tìm nghiệm còn lại Êy? Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD và AB > CD ) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A và D cắt E Gọi I là giao điểm các đờng chéo AC vµ BD 1) Chứng minh tứ giác AEDI nội tiếp đờng tròn 2) Chứng minh các đờng thẳng EI , AB song song với 3) §êng th¼ng EI c¾t c¸c c¹nh bªn AD vµ BC cña h×nh thang t¬ng øng ë R vµ S CMR : a) I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n RS 1   b) AB CD RS Bµi v ( ®iÓm) : Tìm tất các cặp số ( x , y ) nghiệm đúng phơng trình :  16 x  y  16 x y   đề thi số 11 N¨m häc 2003 - 2004 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : 2  x  x  y 2     1,  Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x x  y Bµi Ii ( ®iÓm) : x  x 1 x x Cho biÓu thøc P = a) Rót gän biÓu thøc P víi x > ; x  1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P x = Bµi Iii ( ®iÓm) : Cho đờng thẳng d có phơng trình y = ax + b Biết đờng thẳng d cắt trục hoành điểm có hoành độ và song song với đờng thẳng y = -2x + 2003 a) T×m a , b  b) Tìm toạ độ các điểm chung ( có ) d và parabol y = Bµi Iv ( ®iÓm) : x Cho đờng tròn (O) có tâm là điểm O và điểm A cố định nằm ngoài đờng tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP , AQ với đờng tròn (O) , P và Q là các tiếp điểm Đờng thẳng qua O và vuông góc với OP cắt đờng thẳng AQ M a) CMR : MO = MA b) Lấy điểm N trên cung lớn PQ đờng tròn (O) cho tiếp tuyến N đờng tròn (O) c¾t c¸c tia AP vµ AQ t¬ng øng t¹i B vµ C 1) CMR : AB + AC – BC kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm N 2) CMR tứ giác BCQP nội tiếp đờng tròn thì PQ // BC Bµi v ( ®iÓm) : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  x   x   x  3x   x  đề thi số 12 N¨m häc 2004 - 2005 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : 1)§¬n gi¶n biÓu thøc : P = 14   14  2) Cho biÓu thøc :  x 2 x   x 1    x  x  x   x  Q= víi x > ; x  Q = x a) Chøng minh b) Tìm số nguyên lớn để Q có giá trị là số nguyên Bµi Ii ( ®iÓm) : Cho hÖ ph¬ng tr×nh :  a  1 x  y 4   ax  y 2a ( a lµ tham sè ) 1) Gi¶i hÖ a = 2) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña a , hÖ lu«n cã nghiÖm nhÊt (x , y) cho x + y 2 Bµi iiI ( ®iÓm) : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M và Q là hai điểm phân biệt , chuyển động trên (d) cho M khác A và Q khác A Các đờng thẳng BM và BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) các điểm thứ hai là N và P Chøng minh : 1) Tích BM BN không đổi 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc đờng tròn 3) Bất đẳng thức : BN + BP + BM + BQ > 8R Bµi iv ( ®iÓm) : y T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : x2  2x  x2  x  đề thi số 13 N¨m häc 2005 - 2006 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P = 7  74  2) Chøng minh : a b   ab a b  b a a  b a b ab víi a > vµ b > Bµi iI ( ®iÓm) : Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình : x2 y = (P) vµ y = mx – m + (d) m lµ tham sè 1) Tìm m để đờng thẳng (d) và parabol (P) cùng qua điểm có hoành độ x = 2) CMR với giá trị m , đờng thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt  x1; y1  ,  x2 ; y2  là toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và parabol (P) CMR y  y2  2  1  x  x2  3) Gi¶ sö Bµi iiI ( ®iÓm) : Cho BC là dây cung cố định đờng tròn tâm O , bán kính R ( < BC < 2R ) A là điểm di động trên cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AD , BE , CF tam gi¸c ABC c¾t t¹i H ( D  BC , E  CA, F  AB ) 1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc đờng tròn Từ đó suy AE AC = AF AB 2) Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC Chøng minh AH = A’O 3) Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S là diện tích tam giác ABC , 2p lµ chu vi cña tam gi¸c DEF a) Chøng minh : d // EF b) Chøng minh : S = p R Bµi v ( 1®iÓm) : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  16 2 x    x đề thi số 14 N¨m häc 2006 - 2007 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) :  A   x  Cho biÓu thøc :   x 2   : x    x  1) Rót gän A 2) Tìm x để A = x 1   x   víi x > vµ x  Bµi iI ( 3,5 ®iÓm) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình: Y = x (P) vµ y = 2(a – ) x +5 – 2a ( a lµ tham sè ) 1) Với a = tìm toạ độ giao điểm parabol (P) và đờng thẳng (d) 2) Chứng minh với a đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt 3) Gọi hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) là x1 , x2 Tìm a để x12  x22 6 Bµi iIi ( 3,5 ®iÓm) : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Điểm I nằm A và O ( I khác A và O ) Kẻ dây MN vu«ng gãc víi AB t¹i I Gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN ( C kh¸c M , N vµ B ) Nèi AC c¾t MN t¹i E Chøng minh : 1) Tø gi¸c IECB néi tiÕp 2) AM  AE AC 3) AE AC – AI IB = AI2 Bµi iv ( ®iÓm) : 2 Cho a 4, b 5, c 6 vµ a  b  c 90 Chøng minh : a + b + c  16 đề thi số 15 N¨m häc 2007- 2008 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 150’) Bµi I ( 2,5 ®iÓm) :   x2 x 4  P      x  x  2  x    Cho biÓu thøc : víi x 0; x 4 1) Rót gän P 2) Tìm x để P > Bµi Ii ( ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x  2(m  1) x  m  0 (1) , (m lµ tham sè) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 2) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt mäi m 3) Tìm m để phÇn 2/ ) x1  x2 đạt giá trị nhỏ ( x1 , x2 là hai nghiệm phơng trình (1) nói Bµi Iii ( 3,5 ®iÓm) : Cho đờng tròn (O) và hai điểm A , B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm M khác điểm A , từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME , MF với đờng tròn (O) , ( E , F là hai tiếp điểm ) Gọi H là trung điểm dây cung AB ; các điểm K ,I theo thứ tự là giao điểm đờng thẳng EF với các đờng thẳng OM và OH 1) Chứng minh điểm M , H , O , E , F cùng nằm trên đờng tròn 2) Chøng minh : OH OI = OK OM 3) Chứng minh IA , IB là các tiếp tuyến đờng tròn (O) Bµi Iv( ®iÓm) : 2 Tìm tất các cặp số (x;y ) thoả mãn : x  y  xy  x  y  để x+ y là số nguyên đề thi số 16 N¨m häc 2007- 2008 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT – TP hµ néi Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P= Rút gọn biểu thức P Tìm x để P < Bài 2: (2,5 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì thời gian ít thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Bài 3: (1 điểm) Cho phương trình Giải phương trình b= -3 và c=2 Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích chúng Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH <R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn hai điểm E và B ( E nằm B và H) Chứng minh góc ABE góc EAH và tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH Lấy điểm C trên d cho H là trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB= R Bài 5: (0,5 điểm) Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn Gợi ý phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội Năm học 2007-2008 Bài 1: P= Kết rút gọn với điều kiện xác định biểu thức P là Yêu cầu Đối chiếu với điều kiện xác định P có kết cần tìm là Bài 2: Gọi vận tốc là x (đơn vị tính km/h, điều kiện là x>0) ta có phương trình Giải ta có nghiệm x=12(km/h) Bài 3: Khi b=-3, c= phương trình x 2-3x+2=0 có nghiệm là x=1, x=2 Điều kiện cần tìm là Bài 4: đồng dạng vì cùng chắn cung AE Do đó tam giác ABH và EHA nên hay Vậy tứ giác AHEK là nội tiếp đường tròn đường kính AE M là trung điểm EB thì OM vuông góc BE, OM=AH Ta có cạnh R Vậy AH= OM= Bài 5: Đường thẳng y = (m-1)x+2 mx= y+x-2đi qua điểm cố định A(0;2) Do đố OA=2 Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là tức là m-1 đề thi số 17 N¨m häc 2007- 2008 KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – TP HO CHI MINH (TG: 120 phút) Câu 1: (1, điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x2 – x+4=0 b) x4 – 29x2 + 100 = 5 x  y 17  c) 9 x  y 7 Câu 2: (1, điểm) Thu gọn các biểu thức sau: a) b) Câu 3: (1 điểm) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675 m2 và có chu vi 120 m Tìm chiều dài và chiều rộng khu vườn Câu 4: (2 điểm) Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m là tham số và x là ẩn số a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 c) Với điều kiện câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ Câu 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E và F Biết BF cắt CE H và AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm BC OK Tính tỉ số BC tứ giác BHOC nội tiếp d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm và HC > HE Tính HC Gợi ý phương án bài giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2007-2008 Câu 1: a) Ta có Δ’ = nên phương trình có nghiệm phân biệt là x = – và x2 = + b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta phương trình trở thành t2 – 29t + 100 = t = 25 hay t =2 * t = 25 x2 = 25 x = ± *t=4 x =4 x = ± Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ± 2; ±5 c) Câu 2: a) b) Câu 3: Gọi chiều dài là x (m) và chiều rộng là y (m) (x > y > 0) Theo đề bài ta có: Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = x = 45 hay x = 15 Khi x = 45 thì y = 15 (nhận) Khi x = 15 thì y = 45 (loại) Vậy chiều dài là 45(m) và chiều rộng là 15 (m) Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = (1) a) Khi m = thì (1) trở thành: x2 – 2x + = (x – 1)2 = x = b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Δ’ = m – > m > Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m > c) Khi m > ta có: S = x1 + x2 = 2m và P = x1x2 = m2 – m + Do đó: A = P – S = m2 – m + – 2m = m2 – 3m + = Dấu “=” xảy m= (thỏa điều kiện m > 1) Vậy m = thì A đạt giá trị nhỏ và GTNN A là – Câu 5: − ≥– a) * Ta có E, F là giao điểm AB, AC với đường tròn đường kính BC Tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC * Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) BF, CE là hai đường cao ΔABC H là trực tâm Δ ABC AH vuông góc với BC b) Xét Δ AEC và Δ AFB có: chung và Δ AEC đồng dạng với Δ AFB c) Khi BHOC nội tiếp ta có: mà và (do AEHF nội tiếp) Ta có: K là trung điểm BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC OK vuông góc với BC mà tam giác OBC cân O (OB = OC ) Vậy d) d) Xét Δ EHB và Δ FHC có: mà BC = 2KC nên (đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12 HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = * Khi HC = thì HE = (không thỏa HC > HE) * Khi HC = thì HE = (thỏa HC > HE) Vậy HC = (cm) đề thi số 18 N¨m häc 1999- 2000 HC = HC = §Ò thi vµo líp 10 trờng PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : a b a+b + − Cho biÓu thøc N= Víi a,b lµ sè d¬ng kh¸c √ ab+b √ ab −a √ ab 1) Rót gän biÓu thøc N 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøcN : a=√ 6+2 √5 vµ b=√ 6− √5 Bµi II ( 2,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh ( Èn x) : x4 - 2mx2 + m2 – = 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = √ 2) Tìm m để phơng trình có đúng nghiệm phân biệt Bµi III ( 1,5 ®iÓm) : Trên hệ trục toạ độ Oxy cho điểm A (2;3) và Parapol (P) có ptrình là : y=− x 2 (P) 1) Viết ptrình đờng thẳng có hệ số góc k và qua điểm A(2;-3) 2) CMR đờng thẳng nào qua điểm A(2;-3) và không song song với trôc tung bao giê còng c¾t parabol y=− x t¹i ®iÓm ph©n biÖt Bµi IV( ®iÓm): Cho đtròn (O,R) và đờng thẳng (d) cắt đtròn điểm A và B Từ điểm M nằm trên đờng thẳng (d) và ngoài đtròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MP và MQ đến đtròn , đó P và Q là các tiếp điểm 1) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®o¹n th¼ng MO víi ®trßn (O,R) CMR I lµ t©m ®trßn néi tiÕp tam gi¸c MPQ 2) Xác định vị trí M trên đờng thẩng (d) để tứ giác MPOQ là hình vuông 3) CMR điểm M di chuyển trên đờng thẳng (d) thì tâm đtròn ngoại tiếp tam giác MPQ chạy trên đờng thẳng cố định đề thi số 19 N¨m häc 2000 - 2001 §Ò thi vµo líp 10 trờng PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) Bµi I ( 2,5 ®iÓm) : Cho biÓu thøc T = x+ + √ x +1 − √ x +1 Víi x > vµ x ≠ x √ x −1 x + √ x+ x − 1) Rót gän biÓu thøc T 2) CMR víi mäi x > vµ x ≠ lu«n cã T < Bµi II ( 2,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh ( Èn x) : x2 - 2mx + m2 – =0 (1) 1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm ptrình có giá trị tuyệt đối 2) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm và các nghiệm là số đo cạnh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng Bµi III ( ®iÓm) : Trên hệ trục toạ độ Oxy Parapol (P) có ptrình là : (P) y=x Viết ptrình đthẳng song song với đthẳng y = 3x + 12 và có với parabol (P) đúng ®iÓm chung Bµi IV( ®iÓm): Cho đtròn (O) đờng kính AB = 2R Một điểm M chuyển động trên đtròn (O) (M khác Avà B) Gọi H là hình chiếu vuông góc M trên đờng kính AB Vẽ đtròn (T) có tâm là M và bán kính là MH Từ A và B lần lợt kẻ các tiếp tuyến AD , BC đến đtròn (T) ( D vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm ) 1) CMR M di chuyển trên đtròn (O) thì AD + BC có giá trị không đổi 2) CM ®th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®trßn (O) 3) CM với vị trí nào M trên đtròn (O) luôn có bất đẳng thức AD BC ≤ R2 Xác định vị trí M trên đtròn (O) để đẳng thức xảy 4) Trên đtròn (O) lấy điểm N cố định Gọi I là trung điểm MN và P là hình chiếu vuông góc I trên AB Khi M di chuyển trên đtròn (O) thì P chạy trên đờng nào? đề thi số 20 N¨m häc 2001 - 2002 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) ( thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ x+ ay=2 ax − y =1 ¿{ ¿ ( x,y lµ Èn , a lµ tham sè) 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn 3) Tìm số nguyên a lớn để hệ phơng trình có nghiệm ( x0 ; y0 )thoả mãn bất đẳng thức x0 y0 < Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : 1) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn cã hai nghiÖm lµ: x 2= − √5 2) TÝnh : P = ( 4 + 3+ √ 3− √ ) ( x 1= 3+ √5 ) 3) Bµi iIi ( ®iÓm) : Tìm m để phơng trình : x −2 x −|x − 1|+m=0 có đúng hai nghiệm phân biệt Bµi iV ( ®iÓm) : Giả sử x và y là các số thoả mãn đẳng thức : ( √ x 2+5+ x )( √ y +5+ y ) =5 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = x + y Bµi V ( 3,5 ®iÓm) : vµ Cho tø gi¸c ABCD cã AB = AD vµ CB = CD 1) Chøng minh r»ng : b) Tứ giác ABCD ngoại tiếp đợc đờng tròn c) Tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn và AB và BC vuông gãc víi 2) Gi¶ sö AB BC Gọi ( N ; r) là đờng tròn nội tiếp và ( M; R ) là đờng tròn ngo¹i tiÕp tø gi¸c ABCD Chøng minh: a) AB + BC = r + √ r 2+ R2 b) MN2=R 2+ r − r √ r + R2 đề thi số 21 N¨m häc 2002 - 2003 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : 1) CMR víi mäi gi¸ trÞ d¬ng cña n ta lu«n cã :  n 1 1   n  n n 1 n n 1 1 1     100 99  99 100 2) TÝnh tæng : S =    Bµi Ii( 1,5 ®iÓm) : Trên đờng thẳng y = x + 1, tìm điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức : y  y x  x 0 Bµi Iii( 1,5 ®iÓm) : x  (2m  3) x  0 Cho hai ph¬ng tr×nh sau : x  x  m  0 ( x lµ Èn , m lµ tham sè ) Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng nghiệm chung Bµi Iv( ®iÓm) : Cho đờng tròn (O;R) với hai đờng kính AB và MN Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A cắt các đờng thẳng BM và BN tơng ứng M , N1 Gọi P là trung điểm AM1 , Q lµ trung ®iÓm cña AN1 1) CMR tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc đờng tròn 2) NÕu M1N1 = 4R th× tø gi¸c PMNQ lµ h×nh g×? 3) Đờng kính AB cố định , tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ đờng kính MN thay đổi Bµi v( ®iÓm) : Cho đờng tròn (O;R) và hai điểm A,B nằm phía ngoài đờng tròn (O) với OA = 2R Xác định vị trí M trên đờng tròn (O) cho biểu thức : P = MA + MB đạt giá trÞ nhá nhÊt T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt Êy đề thi số 22 N¨m häc 2003 - 2004 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) ( Thời gian 150’) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : 2 Cho ph¬ng tr×nh : x  2(m  1) x  m  0 víi x lµ Èn , m lµ tham sè cho tríc 1) Giải phơng trình đã cho kho m = 2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm dơng x1 , x2 phân biệt thoả mãn điều 2 kiÖn x1  x2 4 Bµi Ii ( ®iÓm) : x y    xy  a  đó x,y là ẩn , a là số cho trớc Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 1) Giải hệ phơng trình đã cho với a = 2003 2) Tìm giá trị a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm Bµi iiI ( 2,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x    x m víi x lµ Èn , m lµ sè cho tríc 1) Giải phơng trình đã cho với m = 2) Giả sử phơng trình đã cho có nghiệm x = a CMR đó phơng trính đã cho còn cã mét nghiÖm n÷a lµ x = 14 – a 3) Tìm tất các giá trị m để phơng trình đã cho có đúng nghiệm Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho hai đờng tròn (O) và (O’) có bán kính theo thứ tự là R , R’ cắt hai ®iÓm A vµ B 1) Một tiếp chung hai đờng tròn tiếp xúc với (O) và (O’) lần lợt C và D Gọi H vµ K theo thø tù lµ giao ®iÓm cña AB víi OO’ vµ CD CMR : a) AK lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c ACD ( R  R ') b) B lµ träng t©m cña tam gi¸c ACD vµ chØ OO’ = 2) Một cát tuyến di động qua A cắt (O) và (O’) lần lợt tai E và F cho A nằm đoạn EF Xác định vị trí cát tuyến EF để diện tích tam giác BEF đạt giá trị lớn nhÊt Bµi v ( ®iÓm) : Cho tam gi¸c nhän ABC Gäi D lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC , M lµ ®iÓm tuú ý trªn cạnh AB ( không trùng với các đỉnh A, B ) Goịu H là giao điểm các đoạn thẳng AD và CM CMR tứ giác BMHD nội tiếp đựoc đờng tròn thì có bất đẳng thøc BC  AC đề thi số 23 N¨m häc 2004 - 2005 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : Rót gän c¸c biÓu thøc sau : 1) P = m n m  n  mn  m n m n a 2b  ab a b : ab a b 2) Q = v¬Ý m 0, n 0, m n víi a  0, b  Bµi Ii ( ®iÓm) : Gi¶i ph¬ng tr×nh :  x  x  2 Bµi Iii ( ®iÓm) : Cho các đờng thẳng : ( d1 ) : y = 2x + ; ( d ) : y = -x + 2; ( d3 ) : y = mx ( m lµ tham sè ) 1) Tìm toạ độ các giao điểm A ,B , C theo thứ tự ( d1 ) với ( d ) ; ( d1 ) với trục hoành vµ ( d ) víi trôc hoµnh 2) Tìm tất các giá trị m cho ( d3 ) cắt hai đờng thẳng ( d1 ) và ( d ) 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho ( d3 ) c¾t c¶ hai tia AB vµ AC Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và D là điểm nằm trên cung BC không chøa ®iÓm A Trªn tia AD ta lÊy ®iÓm E cho AE = DC 1) Chøng minh ABE CBD 2) Xác định vị trí D cho tổng DA + DB + DC lớn Bµi v ( ®iÓm) : T×m x , y d¬ng tho¶ m·n hÖ  x  y 1   4 8( x  y )  xy 5  đề thi số 24 N¨m häc 2005 - 2006 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : 1  x 1 x M   x  x  x víi x 0; x 1 Cho biÓu thøc : 1) Rót gän biÓu thøc M 2) Tìm x để M 2 Bµi iI ( ®iÓm) : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  12  x Bµi iiI ( ®iÓm) : Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình : y = mx2 (P) ; y = 2x +m (d) đó m là tham số , m 0 1) Với m = , tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) và parabol (P) 2) CMR với m 0 , đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt 3) Tìm m để đờng thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm có hoành độ là 1   ; 1   Bµi iv( ®iÓm) : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và D là điểm trên cung BC không chứa A ( D kh¸c B vµ D kh¸c C) Trªn tia DC lÊy ®iÓm E cho DE = DA 1) Chứng minh ADE là tam giác 2) Chøng minh ABD ACE 3) Khi D chuyển động trên cung BC không chứa A ( D khác B và D khác C) thì E chạy trên đờng nào ? Bµi v( ®iÓm) : Cho sè d¬ng a, b, c tho¶ m·n : a + b + c  2005 5a  b3 5b  c 5c  a   2005 2 Chøng minh : ab  3a bc  3b ac  3c đề thi số 25 N¨m häc 2006 - 2007 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) :   x 1 x  1  Q  x      x  x  x    Cho biÓu thøc : víi x > vµ x  1) Rót gän Q 2) Tìm x để Q = Bµi iI ( ®iÓm) : Gi¶i ph¬ng tr×nh : x   x  Bµi iiI ( ®iÓm) : m   x    2m  x  m  0 Cho ph¬ng tr×nh :  ( x lµ Èn ; m lµ tham sè ) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = - 2) CMR phơng trình đã cho có nghiệm với m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm Bµi iv ( ®iÓm) : Cho tam giác ABC ( AB  AC ) nội tiếp đờng tròn (O) Đờng phân giác AD và đờng trung tuyến AM tam giác ( D  BC ; M  BC ) tơng ứng cắt đờng tròn (O) P và Q ( P ,Q khác A ) Gọi I là điểm đối xứng với D qua M 1) Kẻ đờng cao AH tam giác ABC Chứng minh AD là phân giác góc OAH 2) Chøng minh tø gi¸c PMIQ néi tiÕp 3) So s¸nh DP vµ MQ Bµi v ( ®iÓm) :  2 x  y   4 x( x  x  x  1)  y  xy  T×m x , y tho¶ m·n hÖ :  đề thi số 26 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chung) ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) :  x2  x x x x  P x    x 1  x  x 1 x1  x1 Cho biÓu thøc : víi x 0; x 1 1) Rút gọn biểu thức đã cho 2) Tìm xlà số nguyên để P nhận giá trị nguyên thoả mãn biểu thức đã cho Bµi iI ( ®iÓm) : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đờng parabol : y = x2 (P) và đờng thẳng : 2(m - 1) x + m + (d) y= 1) Khi m = , hãy tìm hoành độ giao điểm (d) và (P) 2) CMR : (d) vµ (P) lu«n c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt víi mäi m Gäi hai giao điểm (d) và (P) là A( x1 , y1 ); B( x2 , y2 ) Hãy xác định m để : y1 x2  y2 x1 1 Bµi iiI ( ®iÓm) : Cho nửa đờng tròn tâm O bán kính R với đờng kính AB ; C là điểm chính cña cung AB ; ®iÓm M thuéc cung AC cho M kh¸c A vµ C KÎ tiÕp tuyÕn (d) cña (O,R) tiếp điểm M Gọi H là giao điểm BM và OC Từ H kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng thẳng đó cắt (d) E 1) Chøng minh tø gi¸c OHME lµ tø gi¸c néi tiÕp 2) Chøng minh EH = R 3) Kẻ MK vuông góc với OC K Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác OBC qua tâm đờng tròn nội tiếp tam giác OMK Bµi iv ( ®iÓm) :  x  y  4( x  1)( y  1)    x  y  xy  1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : 2 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x( x  1) 3( x  x  1) Bài v ( điểm) : Cho các số x, y thay đổi thoả mãn điều kiện : x  y 1 Tìm giá trị nhá nhÊt cña biÓu thøc M = y  x2    đề thi số 27 N¨m häc 1999- 2000 §Ò thi vµo líp 10 trờng PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’) Bµi I ( 1,5 ®iÓm): Víi x, y, z tho¶ m·n : H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau x y z + + =1 y+z x+z y+x 2 x y z A= + + y + z x +z y + x Bµi Ii ( ®iÓm): Tìm m để ptrình : x +2 mx+1 =0 x −1 v« nghiÖm Bµi III ( 1,5 ®iÓm): Chứng minh bất đẳng thức sau: √ 6+√ 6+√ 6+√ 6+ √30+ √30+√ 30+√ 30<9 Bµi IV ( ®iÓm): Trong c¸c nghiÖm (x,y) cña ph¬ng tr×nh : ( x − y 2+2 ) + x y +6 x − y 2=0 Hãy tìm tất các nghiệm (x,y) cho A= x2 +y2 đạt giá trị nhỏ Bµi V ( ®iÓm): Trên nửa đtròn đờng kính AB đtròn (O) lấy điểm tơng ứng là C và D tho¶ m·n : AC2 + BD2 = AD2 + BC2 Gọi K là trung điểm BC Hãy xác định vị trí các điểm C và D trên đtròn (O) để đờng thẳng DK qua trung điểm AB đề thi số 28 N¨m häc 2000 - 2001 §Ò thi vµo líp 10 trờng PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) - ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : Gi¶i ptr×nh : x + √ x+1 =1 Bµi II ( 1,5 ®iÓm) : Tìm tất các giá trị x không thoả mãn đẳng thức : (m+|m|)x − x + 4(m+|m|)=1 dï m lÊy bÊt cø gi¸ trÞ nµo Bµi III ( 2,5 ®iÓm) : ¿ | x −1|+| y − 2|=1 Cho hÖ ptr×nh : ( x − y ) + m ( x − y − ) − x − y =0 ¿{ ¿ 1) Tìm m để hệ ptrình có nghiệm (x0; y0) cho x0 đạt giá trị lớn Tìm nghiÖm Êy? 2) Gi¶i hÖ ptr×nh m = Bµi IV( 3,5 ®iÓm): Cho nöa ®trßn ®kÝnh AB Gäi P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB , M lµ ®iÓm chuyÓn động trên cung BP Trên đoạn AM lấy điểm N cho AN = BM 1) CM tỷ số NP/ MN có giá trị không đổi điểm M di chuyển trên cung BP Tính giá trị không đổi ? 2) T×m tËp hîp c¸c ®iÓm N M di chuyÓn trªn cung BP Bµi V( 1,5 ®iÓm): CMR víi mèi sè nguyªn d¬ng n bao giê còng tån t¹i hai sè nguyªn d¬ng a,b tho¶ m·n: ¿ ( 1+ √ 2001 ) =a+ b √ 2001 a2 − 2001 b2=( − 2000 )n ¿{ ¿ n đề thi số 29 N¨m häc 2001 - 2002 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : Tìm a và b thoả mãn đẳng thức sau: 1+ a √ a a+ a − √ a √ =b2 −b+ 1− a 1+ √ a ( Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : ) Tìm các số hữu tỷ a, b ,c đôi khác cho biểu thức : H= 1 + + 2 ( a −b ) ( b −c ) ( c −a ) √ nhËn gi¸ trÞ còng lµ sè h÷u tû Bµi iiI ( 1,5 ®iÓm) : Gi¶ sö a vµ b lµ lµ hai sè d¬ng cho tríc T×m nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh: √ x ( a − x ) + √ x ( b − x )=√ ab Bµi Iv ( ®iÓm) : Gọi A, B , C là các góc tam giác ABC tìm điều kiện tam giác ABC đểbiểu thøc: A B C P = Sin Sin Sin đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn ? Bµi v ( ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD 1) Víi mçi ®iÓm M cho tríc trªn c¹nh AB ( kh¸c A vµ B) Trªn c¹nh AD lÊy ®iÓm N cho chu vi tam giác AMN gấp hai lần chu vi hình vuông đã cho 2) Kẻ đờng thẳng cho đờng thẳng này chia hình vuông đã cho thành tứ giác có tỷ số diện tích Chứng minh đờng thẳng trên có ít đờng đồng quy đề thi số 30 N¨m häc 2002 - 2003 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’) Bµi I a) Víi a, b lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n a2 - b > H·y chøng minh : a b  a  a2  b a  a2  b  2 b) Kh«ng sö dông m¸y tÝnh vµ b¶ng sè , CMR 2 2 29     2   20 Bµi Ii Giả sử x , y là các số dơng thoả mãn x + y = 10 Tính giá trị x , y để biểu thøc Bµi Iii P  x4 1 y4 1    đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : y z  x  x  y  y  z  z  x 0   y z  x   0 2  ( x  y ) ( y  z ) ( z  x) Bµi Iv Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) bán kính R với BC = a , AC = b , BA = c LÊy ®iÓm I bÊt kú ë phÝa cña tam gi¸c ABC Gäi x ,y ,z lÇn l ît là khoảng cách từ điểm I đến BC , AC và AB tam giác ABC x y z Chøng minh : a  b2  c 2R Bµi v Cho tập hợp P gồm 10 điểm đó có số cặp điểm đợc nối với đoạn thẳng Số các đoạn thẳng có tập P nối từ điểm A đến các điểm khác gọi là bậc điểm A CMR tìm đợc hai điểm tập hợp P có cïng bËc đề thi số 31 N¨m häc 2003 - 2004 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh x2 + x – = Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Gäi x1 lµ nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh H·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : P  x18  10 x1  13  x1 Bµi iI ( ®iÓm) : Cho biÓu thøc P = x  x  (3  x)  x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña P  x 3 Bµi iiI ( ®iÓm) : 2 a) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i c¸c sè nguyªn a ,b, c cho : a  b  c 2007 b) Chøng minh r»ng kh«ng tån tai c¸c sè h÷u tû x , y , z cho x  y  z  x  y  z  0 Bµi iv( 2,5 ®iÓm) : Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đờng cao AH Gọi (O) là vòng tròn ngoại tiÕp tam gi¸c AHC Trªn cung nhá AH cña vßng trßn (O) lÊy ®iÓm M bÊt kú kh¸c A Trªn tiÕp tuyÕn t¹i M cña vßng trßn (O) lÊy hai ®iÓm D vµ E cho BD = BE = BA §êng th¼ng BM c¾t vßng trßn (O) t¹i ®iÓm thø hai N a) CMR tø gi¸c BDNE néi tiÕp mét vßng trßn b) Chøng minh vßng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c BDNE vµ vßng trßn (O) tiÕp xóc víi Bµi v ( ®iÓm) : Có n điểm , đó không có ba điểm nào thẳng hàng Hai điểm đợc nối với đoạn thẳng , đoạn thẳng đợc tô màu xanh , đỏ vàng Biết : có ít đoạn màu xanh , đoạn màu đỏ ,và đoạn màu vàng ; không có điểm nào mà các đoạn xuất phát từ đó có đủ ba màu và không có tam giác nào tạo các đoạn thẳng đó đã nối có ba cạnh cùng màu a) CMR kh«ng tån t¹i ba ®o¹n th¼ng cïng mµu xuÊt ph¸t tõ cïng mét ®iÓm b) Hãy cho biết có nhiều bao nhiêu điểm thoả mãn điều kiện đề bài đề thi số 32 N¨m häc 2004 - 2005 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’) Bµi I ( ®iÓm) : 1) Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n  x 5 , ta cã :  x  x  2 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh :  x  x   x  x  Bµi Ii ( ®iÓm) : Cho x, y , z lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n xy + yz + zx = 1) CMR : + x2 = ( x + y )( x + z ) 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : P x 2 2   y    z   y   x    z   z   y    x   x2 1 y2 1 z2 Bµi Iii ( ®iÓm) : Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt A và B cho hai tâm O và O’ nằm hai phía khác đờng thẳng AB Đờng thẳng (d) quay quanh B , cắt các đờng tròn (O) và (O’) lần lợt C và D ( C khác A , B và D khácA , B ) 1) CMR số đo các góc ACD , ADC và CAD không đổi 2) Xác định vị trí (d) cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn 3) C¸c ®iÓm M, N lÇn luît ch¹y trªn (O) vµ (O’) , ngîc chiÒu cho c¸c góc MOA , NO’A CMR đờng trung trực đoạn thẳng MN luôn qua điểm cố định Bµi Iv ( 2®iÓm) : Tìm a , b để hệ sau có nghiệm  xyz  z a   xyz  z b  x  y  z 4  Bµi v ( ®iÓm) : Cho ba sè a , b , c tho¶ m·n : a 2;0 b 2;0 c 2 vµ a + b + c = 3 3 Chøng minh r»ng : a  b  c 9 đề thi số 33 N¨m häc 2005 - 2006 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : BiÕt a ,b , c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n a + b + c = vµ abc  2 1) Chøng minh a  b  c  2ab 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P 1  2  2 2 a  b  c b  c  a c  a2  b2 Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : T×m c¸c sè nguyªn d¬ng x , y ,z cho : 13 x  23 y  33 z 36 Bµi Iii ( ®iÓm) : 1) Chøng minh :  x  x 1 2 víi mäi x tho¶ m·n :  x  4 2) Gi¶ ph¬ng tr×nh :  x  x   16 x  x  Bµi iv ( ®iÓm) : Cho tam giác ABC D và E là các điểm lần luợt nằm trên các cạnh AB và AC Đờng phân giác góc ADE cắt E I và đờng phân giác góc AED cắt AD K Gäi S , S1 , S2 , S3 lÇn lît lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c ABC , DEI , DEK , vµ DEA Gọi H là chân đờng vuông góc kẻ từ I đến DE Chứng minh : 1) 2) 3) S3 IH  DE AD S3 S3 S1  S   DE DE  AD DE  AE S  S S Bµi v ( ®iÓm) : Cho c¸c sè a , b, c tho¶ m·n : a 2;0 b 2;0 c 2 vµ a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức : ab  bc  ca  đề thi số 34 N¨m häc 2006 - 2007 §Ò thi vµo líp 10 Bµi I ( ®iÓm) : PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’)  x  y m  2 x  1   y  1 10    Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ( m lµ tham sè ) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm để hệ phơng trình có nghiệm Bµi Ii ( ®iÓm) : x 1  x4  x x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) BiÕt r»ng b) CMR ph¬ng tr×nh sau cã nghÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m: 1   0 x  mx  x  mx  11 x  mx  35 Bµi iiI ( ®iÓm) : P( x )  x   x    Cho ®a thøc KÝ hiÖu A lµ tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña P(x) vµ B lµ tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lÎ cña P(x) ( sau khai triÓn ) TÝnh A , B Bµi Iv ( 3,5®iÓm) : Cho tam giác nhọn ABC ,đờng cao AH Điểm M di động trên đoạn thẳng BC ( M khác B và C) Đờng trung trực đoạn BM cắt đờng thẳng AB E và đờng trung trực đoạn CM cắt đờng thẳng AC F Qua M dung đờng thẳng Mx vuông góc với EF Mx cắt đờng tròn tâm E bán kính EM điểm thứ hai N a) Chứng minh N nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đờng thẳng Mx luôn qua điểm cố định K b) Xác định dạng tam giác ABC để KM KN có giá trị không đổi Bµi v ( 1,5®iÓm) : 2 CMR tån t¹i c¸c sè thùc a , b , x , y cho a + b = , ax = by = , ax  by 4 , ax  by 11 7 H·y tÝnh ax  by đề thi số 35 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên Lê Hồng phong – Nam định Môn toán (đề chuyên) ( Thời gian 150’) đề thi số 36 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn nguyÔn bØnh khiªm – vÜnh long Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) (S 56 tr 11) Bµi I ( ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh víi Èn sè thùc x: x2 - 2(m - ) x + m - =0 (1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó Bµi II ( ®iÓm) : P Cho biÓu thøc : a) Rót gän biÓu thøc P b) Tìm x để P < x x   11 x   x x 3 x víi x  vµ x  Bµi iiI ( ®iÓm) : Trong n¨m häc 2005-2006 , trêng chuyªn NBK tuyÓn 80 häc sinh vµo hai líp 10 To¸n vµ Tin BiÕt r»ng nÕu chuyÓn 10 HS cña líp 10 To¸n sang líp 10 Tin th× sè HS cña hai líp b»ng TÝnh sè HS ban ®Çu cña mçi líp Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng tròn tâm O’ bán kính R’tiếp xúc ngoài với A ( R > R’ ) Vẽ các đờng kính AOB đờng tròn (O) và AO’C đờng tròn (O’) Dây DE đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm K BC a) Chøng minh tø gi¸c BDCE lµ h×nh thoi b) Gọi I là giao điểm EC với đờng tròn (O’) Chứng minh ba điểm D, A, I thẳng hµng c) Chứng minh KI là tiếp tuyến đờng tròn (O’) Bµi v ( ®iÓm) : Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC = 2R Điểm A di động trên nửa đờng tròn Gọi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn BC Gäi D vµ E lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trên AC và AB Xác định vị trí A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn đề thi số 37 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn nguyÔn bØnh khiªm – vÜnh long Môn toán (đề chuyên) - ( Thời gian 150’) (S59 tr 11) Bµi I ( ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2(m-1) x +2m - =0 (1) a) CMR ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 b) Tìm m để nghiệm x1 , x2 (1) thoả mãn : x1  x2 14 Bµi Ii ( ®iÓm) a) CMR : n3 – n + kh«ng chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn n b) Rót gän biÓu thøc :  x x 3x    x   P     1  : x  x    x   x 3  ; víi x 0, x 9 Bµi Iii ( ®iÓm) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360 m Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất không đổi Tính chu vi mảnh đất ban đầu? Bµi Iv ( ®iÓm) Cho đtròn tâm O , bán kính R Qua điểm A nằm ngoài đtròn (O) vẽ đờng thẳng d vu«ng gãc víi OA Trªn d lÊy ®iÓm M kh¸c A Tõ M vÏ c¸c tiÕp tuyÕn MP , MP’ víi ®trßn (O) D©y PP’ c¾t OM , OA lÇn lît t¹i N vµ B a) CMR tø gi¸c MNBA néi tiÕp b) Chøng minh OA.OB = OM ON = R2 c) Cho PMP ' 60 vµ R = 5cm TÝnh diiÖn tÝch tø gi¸c MPOP’ Bµi v ( ®iÓm) Cho ABC Trên tia đối tia AC , BA , CB lần lợt lấy các điểm A1 , A , A3 cho AA1 BC , BB1 CA, CC1  AB CMR : S ABC1  S BCA1  SCAB1 6S ABC đề thi số 38 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH n¨ng khiÕu ®hqg Hå chÝ minh M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (S 55 tr 11) Bµi I ( ®iÓm) : a) Tìm số gồm hai chữ số biết tổng hai chữ số đó là và tổng bình phơng hai số đó là 25 3 b) Gi¶ sö x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh mx  2(m  1) x  0 vµ x1  x2 TÝnh A x1  x2 theo m Bµi Ii ( ®iÓm) :  x   y  5  y   y 0 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  12   3x  3x  b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : Bµi iiI ( ®iÓm) : x 900  10 x   2  48     x 6 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho tam giác ABC cân đỉnh A , điểm I thuộc cạnh AC cho AI = IC.Đờng tròn t©m O ngoaÞ tiÕp tam gi¸c BCI c¾t c¹nh AB t¹i K AK a) TÝnh KB b) Phân giác góc CKB cắt đờng tròn (O) tai E ( E khác K) CMR : EA  KI c) Ph©n gi¸c cña gãc KBC c¾t KE t¹i F So s¸nh EF vµ EC Bµi v ( ®iÓm) Có vòi nớc cùng cung cấp nớc cho hồ nớc cạn Đúng h, vòi cùng chảy đựơc mở, đến 10 ngời ta đóng vòi nớc thứ hai, đến 13giờ 40 phút thì hồ đầy nớc Biết 14 giê míi ®Çy nÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh lµm ®Çy mét phÇn ba hå th× ph¶I mÊt tÊt c¶ hå vµ lu lîng cña vßi thø hai lµ trung b×nh céng cña lu lîng cña vßi thø nhÊt vµ vßi thø ba Hỏi vòi nớc đợc mở mình vào đúng thì đến lúc nào hồ đầy? đề thi số 39 N¨m häc 2007 - 2008 Bµi I : §Ò thi vµo líp 10 PTTH n ¨ng khiÕu ®hqg Hå chÝ minh M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T7/07 tr 5) x2  x m  m   m 1  0 x Cho ph¬ng tr×nh (1) a) Tìm m để x = -1 là nghiệm phơng trình (1) b) Tìm m để phơng trình (1) vô nghiệm Bµi iI :  x  3  x  1 a) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :  x   x2   x y  y x 3x x    y  x y 3 y y  b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : Bµi iiI : a) Cho a , b lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a  3ab  2b  a  b a  2ab  b  5a  7b  Chøng tá r»ng ab – 12a + 15b =   A  x2   x  x 1 x2     x  x 1  x x x1 b) Cho Hãy tìm tất các giá trị x để A  Bµi iv : Cho tam gi¸c ABC nhän cã trùc t©m lµ H vµ gãc BAC = 60 Gäi M , N , p lÇn lît lµ chân các đờng cao hạ từ A , B , C tam giác ABC và I là trung điểm BC a) CMR tam giác INP b) Gäi E vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña PB vµ NC CMR c¸c ®iÓm I ,M ,E ,K cïng thuộc đờng tròn., c) Gi¶ sö IA lµ ph©n gi¸c cña gãc NIP H·y tÝnh sè ®o cña gãc BCP Bµi v : Mét c«ng ty may giao cho tæ A may 16800 s¶n phÈm , tæ B may 16500 s¶n phÈm vµ b¾t đầu công việc cùng lúc Nếu sau sáu ngày, tổ A đợc hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B Nếu tổ A đợc hỗ trợ 10 công nhân từ đầu thì họ hoàn thành công việc sớm tổ B ngày Hãy xác định số công nhân ban đầu tổ Biết công nhân ngày may đợc 20 sản phẩm đề thi số 40 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH n ¨ng khiÕu ®hqg Hå chÝ minh M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T1/08 tr 6) Bµi I : a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x  y 6 x   y  2 xy b) Cho a = 11  , b  11  CMR a, ,b lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn 3 2 c) Cho c  10, d   10 CMR c , d lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè nguyªn Bµi Ii : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn P là điểm di động trên cung BC không chứa A H¹ AM , AN lÇn lît vu«ng gãc víi PB vµ PC a) CMR đờng thẳng MN luôn qua điểm cố định b) Xác định vị trí điểm P cho biểu thức AM PB + AN PC đạt giá trị lớn Bµi Iii : a) Cho a, b , c, d là các số dơng thoả mãn điều kiện ab = cd = Chứng minh bất đẳng thøc (a  b)(c  d )  2( a  b  c  d ) b) Cho a, b , c, d là các số dơng thoả mãn điều kiện ab cd = 1> Chứng minh bất đẳng thøc (ac  bd )(ad  bc) (a  b)(c  d ) Bµi Iv : Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD Biết đờng tròn đờng kính CD qua trung ®iÓm c¸c c¹nh bªn AD , BC vµ tiÕp xóc víi c¹nh AB H·y t×m sè ®o c¸c gãc cña h×nh thang Bµi v : a) Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng ph©n biÖt cã tæng b»ng CMR ph¬ng tr×nh x  2ax  b 0; x  2bx  c 0; x  2cx  a 0 cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh v« nghiÖm b) Cho S lµ mét tËp hîp gåm sè tù nhiªncã tÝnh chÊt : tæng hai phÇn tö tuú ý cña S lµ 5; 20; 44 S  10;54;90  hoÆc   lµ c¸c tËp hîp tho¶ m·n c¸ mét sè chÝnh ph¬ng ( VÝ dô S =  ®iÒu kiÖn trªn) Chøng minh r»ng tËp S cã kh«ng qu¸ mèt sè lÎ đề thi số 41 N¨m häc 2007 - 2008 Bµi I: §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn tØnh th¸I nguyªn Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) (S 58 tr 11) (a  b) x  (a  b) y 1  Cho hÖ ph¬ng tr×nh : (2a  b) x  (2a  b) y 2 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = vµ b = b) Tìm tất các giá trị a , b  Z để hệ có nghiệm x ,y nguyên Bµi iI: Cho biÓu thøc  ax  ( a  x) x  a  2ax  x  P :    2ax  a x    a x  2ax  a) Víi a=1, h·y rót gän P  với x mà P xác định b) Hãy tìm giá trị nhỏ a để P Bµi iIi: H·y t×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ a, b, c lµ c¸c sè cïng d¬ng hoÆc cïng ©m cho biÓu thøc P đạt giá trị nhỏ và tìm giá trị nhỏ đó , với :  2003a   2004b   2005c  P          2005c   2003a   2004b   Bµi iv: Cho tam giác ABC có góc A = 30 0, AB = c, AC = b, M là trung điểm BC Một đờng th¼ng (d) quay xung quanh träng t©m G cña tam gi¸c ABC cho (d) c¾t ®o¹n AB t¹i ®iÓm P vµ (d) c¾t ®o¹n AC t¹i ®iÓm Q a) §Æt AP = x, h·y t×m tËp hîp gi¸ trÞ cña x AB AC  AP AQ b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc c) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c APQ theo b , c đề thi số 42 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn tØnh th¸I nguyªn Môn toán (đề chuyên) - ( Thời gian 150’) (S 58 tr 11) Bµi I: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x( x  1)  x( x  2) 2 x Bµi Ii: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai : x  2(m  1) x  m  m 1 0 1) (x lµ Èn, m lµ tham sè) Tìm tất các giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm 2) Tìm tất các giá trị tham số m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn : x1  x2 3 3) Tìm tất các giá trị tham số m để tập giá trị hàm số y = x  2(m  1) x  m  m  chøa ®o¹n  2;3 Bµi Iii: a  2b  4b  0  2 a  a b  2b 0 Cho a, b lµ hai sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc T = a  b Bµi IV: n2 n 1 Chøng minh r»ng n  N ta cã Bn 3  chia hÕt cho 11 Bµi V: Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính AB Gọi C là điểm chính cung AB ; M là ®iÓm bÊt kú trªn cung BC ( M kh«ng trïng víi B,C) §êng ph©n gi¸c cña gãc COM c¾t AM t¹i I AM 1) Gi¶ sö AM ®i qua trung ®iÓm cña d©y cung BC , h·y tÝnh tØ sè BM 2) Tìm quỹ tích điểm I M di động trên cung BC đề thi số 43 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn tØnh vÜnh phóc Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) (S 60 tr 11) Bµi I ( ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2(m-1) x +2m - =0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình có nghiệm này bình phơng nghiệm Bµi iI ( 2,5 ®iÓm) : M a) Rót gän biÓu thøc : N b) Cho biÓu thøc : 2008  2007 2008  2007  2008  2007 2008  2007 x2 x 1   x x  x  x 1 x1 Tìm x để biểu thức N có nghĩa Khi đó CMR : N < Bµi iiI ( ®iÓm) : a) Hai ô tô cùng xuất phát từ hai địa điểm A, B , ngợc chiều trên quãng đờng Ô tô xuất phát từ A sau đợc phần ba quãng đờng thì tăng vậ tốc lên gấp đôi nên hai ô tô gặp chính quãng đờng Tính vận tốc ban đầu ô tô , biÕt r»ng vËn tèc cña « t« xuÊt ph¸t tõ B lín h¬n vËn tèc ban ®Çu cña « t« xuÊt ph¸t tõ A lµ 10 km/h b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A   x x , víi < x < Bµi iv ( 2,5 ®iÓm) : Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ các tiếp tuyến MC , MD với đờng tròn ( C, D là các tiếp điểm ) Một cát tuyến qua M cắt đờng tròn (O) hai điểm A, B ( B nằm gi÷a A vµ M ) Ph©n gi¸c cña gãc ACB c¾t AB ë E Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB a) CMR : MC = ME b) CMR : DE lµ ph©n gi¸c cña gãc ADB c) CMR : CMI CDI Bµi v ( ®iÓm) : 3 Cho x , y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : x  y x  y 3 CMR x  y 2 đề thi số 44 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn §HSp hµ néi Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) (S 61 tr 11) Bµi I: Cho a > , chứng minh đẳng thức Bµi iI: Cho hµm sè y = x2, y = -x + a  3a  (a  1) a   a   a  a  3a  (a  1) a   a   a 1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B đồ thị hai hàm số đã cho và toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB, biết A có hoành độ dơng 2) Xác định toạ độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x cho tam giác AMB cân M Bµi iIi: 2 Cho ph¬ng tr×nh : x  x  6a  a 0 1) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 2) Gi¶ sö x1 , x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nµy H·y t×m gi¸ trÞ cña a cho x2  x1  x1 Bµi iv: Cho tam giác ABC cân A Một đờng tròn (O) có tâm O nằm tam giác , tiếp xúc với AB , AC lần lợt X, Y và cắt BC hai điểm , hai điểm này đợc ký hiÖu lµ Z Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña O trªn AZ CMR : 1) C¸c tø gi¸c HXBZ, HYCZ néi tiÕp 2) HB , HC theo thø tù ®i qua trung ®iÓm cña XZ, YZ Bµi iIi: x2  x  2 Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 x  x  đề thi số 45 N¨m häc 2007 - 2008 Bµi I: §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn §HSp hµ néi Môn toán (đề chuyên Toán + Tin) - ( Thời gian 150’) (S 61 tr 11) P x 1 : , Q  x  x  15 x x x x x  x Cho biÓu thøc : 1) Rót gän P 2) Với giá trị nào x thì Q- 4P đạt GTNN? víi x > , x  Bµi Ii: 2 4 C¸c sè x, y tho¶ m·n : x  x y  y 4 , x  x y  y 8 12 2 12 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓy thøc A  x  x y  y Bµi Iii: 1) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x , y cho 2(x + y ) + xy = x2 + y2 2 2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thoả mãn a  b  5c Chøng minh r»ng : c < a , c < b Bµi IV: Cho đờng tròn (O) có tâm O và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Qua A kẻ hai đờng thẳng cắt đờng tròn (O) cấc điểm B, C và D, E tơng ứng ( B nằm A và C, D nằm A và E) Đòng thẳng qua D và song song với BC cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai F Đờng thẳng AF cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai G Hai đờng thẳng EG và BCcắt t¹i ®iÓm M CMR: 1) AM2 = MG ME 1   2) AM AB AC Bµi v: Sáu điểm phân biệt thuộc hình chữ nhật có độ dài các cạnh là cm và cm ( các ®iÓm nµy cã thÓ n»m bªn hay trªn c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ) CMR lu«n tån t¹i hai ®iÓm ®iÓm nµy mµ kho¶ng c¸ch gi÷a chóng nhá h¬n hoÆc b»ng 5cm N¨m häc 2007 –2008 đề thi số 46 §Ò thi vµo líp 10 - PTTH chuyªn §H vinh ( Tg 150’) (T8/07 tr 6) Vßng Bµi I ( ®iÓm) :  x  A     4 x Cho biÓu thøc : a) Rót gän A Bµi iI ( ®iÓm) :  x1    x 1 x 1   x   b) Tìm x để 2A + x= a) Xác định giá trị m để phơng trình sau có nghiệm kép: x  x  m( m  3)  0 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi iiI ( 1,5 ®iÓm) :  x  y 4  3  x y  xy 30 2 Cho c¸c sè thùc x,y tho¶ m·n x  y 6 H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = x - 5y Bµi iv ( 3,5 ®iÓm) : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi AA’, BB’ , CC’ là các đờng cao và H là trực tâm tam giác ABC a) CMR : AA’ là đờng phân giác góc B’A’C’ b) Cho gãc BAC = 60 Chøng minh tam gi¸c AOH lµ tam gi¸c c©n Vßng Bµi v ( 3,5 ®iÓm) : a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình 5x - 2007y = 1, đó x  (1 ; 3000) 53n 2  22 n 3 11, b) CMR  Bµi vi ( ®iÓm) :  víi mäi sè tù nhiªn n 2 2 Xác định các số nguyên tố p ,q cho p  q  2q và p  pq  q là các số nguyên tố cïng Bµi vii ( 1,5 ®iÓm) : Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tho¶ m·n a + b + c =6 b c 5 c  a  a b 3   6 2b 3c CMR :  a Dấu đẳng thức xảy nào? Bµi viii ( ®iÓm) : Cho đờng tròn tâm O bán kính R và điểm H nằm đờng tròn Qua H ta vẽ hai d©y cung AB , CD vu«ng gãc víi R a) TÝnh AB  CD theo R, biÕt r»ng OH = 2 b) Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c ®o¹n th¼ng AC, BD , OH CMR: M, N, P th¼ng hµng Bµi ix ( ®iÓm) : Trong mét tam gi¸c cã c¹nh lín nhÊt b»ng , ngêi ta lÊy ®iÓm ph©n biÖt CMR điểm đó luôn tồn hai điểm mà khoảng cách chúng không vợt quá đề thi số 47 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên lê quý đôn - Đà nẵng Môn toán (đề chung) - ( Thời gian 150’) (T 9/07 tr 4) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : A 1  x xx x Cho biÓu thøc : a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa Với điều kiện đó , hãy rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A + x - = Bµi iI ( 1,5 ®iÓm) : (a  1) x  y 3  Cho hÖ ph¬ng tr×nh : ax  y a ( a lµ tham sè) a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a = -2 b) Xác định tất các giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x + y > Bµi Iii ( ®iÓm) : Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh : 10  x  x  Bµi Iv ( 2,5 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh : mx2 - 5x - ( m + 5) = (1) đó m là tham số, x là ẩn a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Chøng tá r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m c) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 , h·y tÝnh theo m gi¸ 2 trị biểu thức B = 10 x1 x2  3( x1  x2 ) Tìm m để B = Bµi v ( 3,5 ®iÓm) : Cho hình vuông ABCD có AB = cm Gọi M, N là các điểm lần lợt di động trên các cạnh BC và CD hình vuông, P là điểm nằm trên tia đối tia BC cho BP = DN a) CMR tứ giác ANCP nội tiếp đợc đờng tròn b) Giả sử DN = x cm (  x 1) Tính theo x độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP c) CMR: MAN 45 vµ chØ MP = MN d) KHi M và N di động trên các cạnh BC , CD cho MAN 45 , tìm giá trị lớn vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c MAN đề thi số 48 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên lê quý đôn - Đà nẵng Môn toán (đề chuyên) - ( Thời gian 150’) (T 9/07 tr 4) Bµi I ( ®iÓm) : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x   x 6  x   y  5   xy  x  y 0 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : Bµi Ii ( ®iÓm) : a) Cho a lµ sè thùc kh¸c Gi¶ sö b vµ c lµ hai nghiÖn ( Ph©n biÖt) cña ph ¬ng tr×nh x  ax  0 4 2a CMR: b  c 2  x b) Víi c¸c gi¸ trÞ nµo cña c¸c tham sè m, n th× hµm sè y = mx + n đồng biến trên R Bµi Iii ( ®iÓm) : 2 a) Cho ph¬ng tr×nh : x  2mx  m  0 ( m lµ tham sè ,x lµ Èn sè) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nguyên m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện 2000  x1  x2  2007 b) Cho a, b, c, d  R CMR Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm ax  2bx  c 0; bx  2cx  d 0; cx  2dx  a 0; dx  2ax  b 0; H·y tæng qu¸t ho¸ bµi to¸n Bµi Iv( ®iÓm) : m P  Cho m , n , p , q  Z ; n > 0, q > vµ n q m km  hp p   a) CMR : n kn  hq q víi mäi k, h nguyªn d¬ng  m p  ;  b) Đảo lại, Hãy chứng tỏ số hữu tỷ khoảng  n q  có dạng km  hp kn  hq , với h, k là các số nguyên dơng nào đó Bµi v( ®iÓm) : a) Cho bát giác lồi ABCDEFGH nội tiếp đờng tròn (C) và có AB = BC = GH = HA = cm, CD = DE = EF = FG = cm Hãy tính diện tích S bát giác lồi đó b) CMR đa giác lồi (H) có đỉnh nằm nằm trên đòng tròn (C) thì chu vi cña (H) bÐ h¬n chu vi cña (C) đề thi số 49 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn nguyÔn tr·I - h¶I d¬ng M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T 10/07 tr 5) Bµi I ( ®iÓm) : a) Gäi a lµ nghiÖm d¬ng cña ph¬ng tr×nh A tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc  2 x  x  0 Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y 2a  2(2a  2a  3)  2a  7  20 a b a  b b) T×m c¸c sè h÷u tû a, b tho¶ m·n Bµi Ii ( 1,5 ®iÓm) :  x  y   xy 0   x y     x 1 y 1    Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh Bµi iiI ( 2,5 ®iÓm) : 2 1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn đẳng thức a  b  ab c CMR phơng trình x  x  (a  c)(b  c) 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2) Cho phơng trình x  x  p 0 có hai nghiệm dơng x1 , x2 Xác định giá trị p 4 5 x1  x2  x1  x2 đạt giá trị lớn Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ), hai đờng cao BD và CE cắt H ( D trên cạnh AC, E trên cạnh AB) Gọi I là trung điểm BC , đờng tròn qua B, E, I và đờng trßn ®i qua C, D, I c¾t t¹i K ( K kh¸c I ) 1) CMR : BDK CEK 2) §êng th¼ng DE c¾t BC t¹i M Chøng minh ba ®iÎm M, H , K th¼ng hµng 3) Chøng minh tø gi¸c BKDM lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi v( ®iÓm) : Cho 19 điểm dố không có điểm nào thẳng hàng nằm lục giác có cạnh b»ng CMR lu«n tån t¹i mét tam gi¸c cã Ýt nhÊt mét gãc kh«ng lín h¬n 45 vµ n»m đờng tròn có bán kính nhỏ 3/5 ( đỉnh tam giấctọ bửi 19 điểm đã cho) đề thi số 50 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn to¸n- trêng §hKH huÕ M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T 11/07 tr 6) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : 1 1    CMR a, b,c thoả mãn a + b + c = 2007 và a b c 2007 thì ba số đó phải cã mét sè b»ng 2007 Bµi Ii ( ®iÓm) : a) CMR : A =   1 3 21 lµ mét sè nguyªn  x  y 1  3 2 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  x  y  x  y Bµi iiI ( ®iÓm) : Cho hai đa thức : P( x) x  ax 1, Q( x) x  ax  Hãy xác định giá trị a để P(x) và Q(x) cã nghiÖm chung Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh lµ a Trªn hai c¹nh AD vµ CD lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm M vµ N cho gãc MBN = 450 BM vµ BN c¾t AC theo thø tù t¹i E vµ F a) Chứng tỏ M, E , F, N cùng nằm trên đờng tròn b) MF vµ NE c¾t t¹i H , BH c¾t MN t¹i I TÝnh BI theo a ; c) TÝnh vÞ trÝ cña M vµ N cho diÖn tÝch tam gi¸c MDN lín nhÊt Bµi v ( 1,5 ®iÓm) : Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng a b c    a) Chøng minh r»ng b  c c  a a  b ; b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A a b c b c c a a b      b c c a a b a b c Bµi vI ( ®iÓm) : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : ( x + y + z) = 4xyz – 24 đề thi số 51 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyên lê quý đôn – bình định M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T 12/07 tr 5) Bµi I ( 1,5 ®iÓm) : x2  y 2 Cho x > y vµ xy = CMR : x  y Bµi iI ( 3,5 ®iÓm) : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x  x   x ; b) x  x   x  x  9 x  Bµi iii ( ®iÓm) : Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè thùc x, y, a, b tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn x + y = a + b vµ x  y a  b th× x n  y n a n  b n , víi mäi sè nguyªn d¬ng n Bµi Iv ( ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A Dùng h×nh ch÷ nhËt MNPQ cho M , N lµ c¸c ®iÓm trªn c¹nh BC , cßn P ,Q lÇn lît lµ c¸c ®iÓm trªn c¹nh AC , AB Gäi R1 , R2 , R3 theo thø tù là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác BQM , CPN , và AQP CMR: a) Tam giác AQP đồng dạng với tam giác MPQ và tam giác MBQ đồng dạng với tam gi¸c NPC ; 2 b) DiÖn tÝch tø gi¸c MNPQ lín nhÊt vµ chØ R1  R2 R3 đề thi số 52 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn hµ tÜnh M«n to¸n (Vßng 1)- ( Thêi gian 150’) (T 2-08 tr 3) Bµi I : Cho ph¬ng tr×nh : (m + ) x2 - ( 2m + ) x +2 = , víi m lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm này gấp lần nghiệm Bµi iI : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  x   x   x  x  y  y  b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :  y  x 6 Bµi iiI :  Cho x, y thoả mãn đẳng thức x2   x   y   y 4 TÝnh x +y ? Bµi Iv : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M thuộc đờng tròn ( M khác A và B) Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm M trên AB Đờng tròn đờng kính HM c¾t c¸c d©y cung MA , MB lÇn lît t¹i P vµ Q a) CMR : PHQ 90 vµ MP MA = MQ MB b) Gäi E , F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AH , BH Tø gi¸c EPQF lµ h×nh g× ? c) Xác định vị trí M để tứ giác EPQF có diện tích lớn Bµi vI : 1  16 Cho ba sè d¬ng a , b, c tho¶ m·n a + b + c =1 CMR : ac bc đề thi số 53 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH chuyªn hµ tÜnh M«n to¸n (Vßng 2)- ( Thêi gian 150’) (T 2-08 tr 3) Bµi I : a) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x  x  x  3x  0 b) Tìm điểm M(x;y) trên đờng thẳng y = x + có toạ độ thoả mãn đẳng thức : y  y x  x 0 Bµi iI : C¸c sè x , y, z kh¸c , tho¶ m·n xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P yz zx xy   x2 y z Bµi Iii : T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x  xy  y 2 x  y  Bµi Iv : T×m tÊt c¶ c¸c bé ba sè d¬ng ( x; y ; z ) tho¶ m·n hÖ: 2 x 2008  y 2007  z 2006  2008  z 2007  x 2006 2 y 2 z 2008  x 2007  y 2006  Bµi v : Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O , vẽ hai tiếp tuyến PE , PF tới đờng tròn ( E , F là các tiếp điểm ) Tia PO cắt đờng tròn A ,B cho A nằm P và O Kẻ EH vuông góc với FB ( H  FB ) Gọi I là trung điểm EH Tia BI cắt đờng tròn M ( M  B ) , EF c¾t AB t¹i N CMR : a) EMN 90 b) Đờng thẳn AB là tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm P , E , M Bµi vi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P x2 y2 z2   yz zx x y đó x , y , z là các số dơng thoả mãn điều kiện x + y + z  đề thi số 54 N¨m häc 2007 - 2008 §Ò thi vµo líp 10 PTTH amsterdam vµ chu v¨n an hµ néi M«n to¸n - ( Thêi gian 150’) (T 3-08 tr 4) Bµi I (3 ®iÓm) : 2 Cho ph¬ng tr×nh : x  y  xy  x  10 y  0 (1) 1) 2) 2 T×m nghiÖm ( x ; y ) cña ph¬ng tr×nh ( ) tho¶ m·n x  y 10 T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (1) Bµi iI (4 ®iÓm) : Cho điểm A di chuyển trên đờng tròn tâm O đờng kính BC = R ( A không trùng với B vµ C ) Trªn tia AB lÊy ®iÓm M cho B lµ trung ®iÓm cña AM Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn BC vµ I lµ trung ®iÓm cña HC 1) CMR : M chuyển động trên đờng tròn cố định 2) CMR : AHM đồng dạng với CIA 3) CMR : MH  AI 4) HM cắt đờng tròn (O) E và F , AI cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai là G CMR tổng các bình phơng các cạnh tứ giác AEGF không đổi Bµi Iii (1 ®iÓm) : T×m sè nhá nhÊt c¸c sè nguyªn d¬ng lµ béi cña 2007 vµ cã bèn ch÷ sè cuèi cïng lµ 2008 Bµi Iv (1 ®iÓm) : Cho líi « vu«ng kÝch thíc 5x5 Ngêi ta ®iÒn vµo mçi « vu«ng cña líi mét c¸c sè -1 ; ; Xét tổng các số tính theo cột , theo hàng và theo đờng chéo CMR tất các tổng đó luôn tồn hai tổng có giá trị Bµi v(1 ®iÓm) : * TÝnh tæng sau theo n ( n  N ) S 2n   2.2n   3.2n    (n  1).2  n N¨m häc 2008- 2009 đề thi số 55 Đề thi vào lớp 10 ptth - tỉnh Nam định M«n to¸n - ( thêi gian 120’) Bài I (2 điểm) : Các câu dới đây , sau câu có nêu phơng án trả lời ( A, B, C, D) , đó có phơng án đúng Hãy viết vào bài làm mình phơng án trả lời mà em cho là đúng ( Chỉ cần viết chữ cái ứng với phơng án trả lời đó ) Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho hai đờng thẳng d1 : y 2 x 1 và d : y  x  Hai đờng thẳng đã cho cắt điểm có toạ độ là : A (-2;-3) B (-3;-2) C (0;1) D ( 2;1) Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến x < ? A y = -2x B y = -x + 10 C y = 3x D.y=    x2 Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho các đồ thị hàm số y 2 x  và y  x Các đồ thị đã cho cắt hai điểm có hoành độ lần lợt là : A vµ -3 B -1 vµ -3 C vµ D -1 vµ C©u 4: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y , ph¬ng tr×nh nµo cã tæng hai nghiÖm b»ng 5? 2 2 A x  x  25 0 B x  10 x  0 C x  0 D x  10 x  0 C©u 5: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y , ph¬ng tr×nh nµo cã hai nghiÖm ©m? 2 2 A x  x  0 B x  x  0 C x  3x 1 0 D x  0 Câu 6: Trong hai đờng tròn (O,R) và (O,R’) có OO’ = cm; R = cm, R’ = cm Hai đờng tròn đã cho A c¾t B tiÕp xóc C ë ngoµi D tiÕp xóc ngoµi  ABC C©u 7: Cho vu«ng ë A cã AB = cm; AC = cm §trßn ngo¹i tiÕp ABC cã b¸n b»ng A cm B cm C 2,5 cm D cm Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy là cm, chiều cao là cm Khi đó , diện tích xung quanh hình trụ đã cho A 30 cm2 B 30  cm2 C 45  cm2 D 15  cm2 Bµi iI (1,5 ®iÓm) : x   x  x 1 P   : x  x    x x  víi x  Cho biÓu thøc a) Rót gän P b) Tìm x để P < Bµi iII (2 ®iÓm) : Cho ph¬ng tr×nh x  2mx  m  0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = b) CM : phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, với m Hãy xác định m để phơng trình có nghiệm dơng Bµi iV (3 ®iÓm) : Cho đờng tròn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm hai điểm A và O Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) M và N Gọi S là giao điểm hai đờng thẳng BM và AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng AB vµ AM lÇn lît ë K vµ H H·y chøng minh : a) Tø gi¸c SKAM lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ HS.HK = HA.HM b) KM là tiếp tuyến đờng tròn (O;R) c) Ba ®iÓm H , N, B th¼ng hµng Bµi V (1,5 ®iÓm) :  xy  12  y  a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh  xy 3  x 4 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x  3.x 2 x  2008 x  2008 N¨m häc 2008- 2009 đề thi số 56 §Ò thi vµo líp 10 ptth – hµ néi M«n to¸n - ( thêi gian 120’) Bµi I  x   x  P   :    x x    x  x   Cho biÓu thøc 1) Rót gän biÓu thøc P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = 13 Tìm x để P = 3) Bµi II : Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Tháng thứ hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vợt mức 15% và tổ hai vợt mức 10 % so với tháng thứ , vì hai tổ sản xuất đợc 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy? Bµi III : y  x2 và đờng thẳng (d) có Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho Parapol (P) có ptrình là : ph¬ng tr×nh y = mx + a) CMR: với giá trị m đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm ph©n biÖt b) Gäi A ,B lµ hai giao ®iÓm cña (d) vµ (P) TÝnh diÖn tÝch AOB theo m ( O lµ gèc toạ độ ) Bµi IV: Cho đtròn (O), đờng kính AB = 2R và E là điểm bất kì nằm trên đờng tròn đó ( E khác A và B) Đờng phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F và cắt đờng tròn (O) ®iÓm thø hai lµ K a) Chứng minh KAF đồng dạng KEA b) Gọi I là giao điểm đờng trung trực đoạn EF với OE Chứng minh đờng tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đờng tròn (O) E và tiếp xúc với đờng thẳng AB F Chứng minh MN // AB , đó M và N lần lợt là giao điểm thứ hai AE , BE với đờng tròn (I) d) Tính giá trị nhỏ chu vi KPQ theo R E di chuyển trên đờng tròn (O), víi P lµ giao ®iÓm cña NE vµ AK, Q lµ giao ®iÓm cña MF vµ BK Bµi V: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A biÕt c) 4 A  x  1   x  3   x  1  x  3 Đáp án Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thành phố Hà Nội 2008 - 2009 Câu I Rút gọn P Điều kiện: Với Tìm x để: Đặt Với Với Vậy nghiệm là : và Câu II Gọi tháng thứ tổ I sản xuất x ( chi tiết máy) Do tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy nên tháng thứ hai tổ II sản xuất 900 – x (chi tiết máy) (Điều kiện: 0< x < 900) Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên tổ I sản xuất số chi tiết máy là: x + x.15%= x.115% (chi tiết máy) (1) Tháng thứ hai tổ II vượt mức 10% nên tổ II sản xuất số chi tiết máy là: (900 - x) + (900 – x).10% = (900 – x) 110% ( chi tiết máy) (2) Trong tháng hai hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy, nên từ (1) và (2) ta có phương trình: Vậy tháng thứ tổ I sản xuất 400 (chi tiết máy) Vậy tháng thứ tổ II sản xuất được: 900 – 400 = 500 (chi tiết máy) Câu III Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d) là nghiệm phương trình: (1) (1) có hai nghiệm phân biệt với m vì a.c = - < (2) Vậy (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt 2.Phương trình (1) có: Phương trình (1) có nghiệm: và Ta chọn: Thay vào (d): và ta được: và Gọi A’ và B’ là hình chiếu A và B lên trục Ox Gọi S1 là diện tích hình thang ABB’A’ Gọi S2 là diện tích tam giác AOA’ (vì ) Gọi S3 là diện tích tam giác BOB’ Vậy Diện tích: (vì ) (đvdt) Câu IV 1) Xét hai và Góc chung (1) có: ( góc nội tiếp ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (g.g) Do EK là đường phân giác góc nên K là điểm chính cung AB suy Mà OK = OE nên cân O (3) Mặt khác: I là giao điểm đường trung trực EF và OE nên IF = IE cân (4) Từ (3) và (4) suy Vậy IF // OK ( Do ) Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB +) Ta có: E, I, O thẳng hàng và OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R) AE cắt (I) M, BE cắt (I) N Mà qua I suy MN là đường kính đường tròn ( I ) nên MN Hơn EF là phân giác góc Theo chứng minh tương tự câu a ta suy Vậy MN // AB Theo đề bài ta có NF cắt AK P, MF cắt BK Q Suy ( vì hai góc đối đỉnh) Mà góc ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) Vậy tứ giác PKQF là tứ giác nội tiếp đường tròn Suy Mà ( vì cùng chắn cung KQ ) ( đối đỉnh) Mặt khác Hơn ( cùng chắn cung ME và MN // AB ) ( vì cùng chắn cung AE ) Suy và Vậy (chắn cung FQ) suy PKQF là hình chữ nhật Mặt khác: Suy AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK Mà vuông cân K Vậy chu vi tam giác KPQ là: vuông cân P ( PQ = KF) trùng với O hay E là điểm chính cung AB Vậy Câu V Tìm giá trị nhỏ biểu thức A (*) Đặt Khi đó (*) (vì ) Vậy N¨m häc 2008- 2009 đề thi số 57 §Ò thi vµo líp 10 ptth – Hå chÝ minh M«n to¸n - ( thêi gian 120’) Bµi I Gi¶I c¸c ph¬ng tr×nh vµ hÖ ph¬ng tr×nh sau : a) x  3x  0 b) x  3x  0 2 x  y 1  c) 3x  y  Bµi II : a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = - x2 và đờng thẳng (d) y = x - trên cùng hệ trục toạ độ b) Tìm toạ độ các giao điểm (P) và (d) câu trên phép tính Bµi III : Thu gän biÓu thøc sau : a) A      x 1 x    x x  2x  x   B     x  x  x    x     b) víi x > 0, x  Bµi IV: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2mx - = ( m lµ tham sè ) a) Chøng minh ph¬ng tr×nh trªn lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) 2 Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phơng trình trên Tìm m để x1  x2  x1 x2 7 Bµi V: Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O và hai tuyến tuyến MA , MB đến đờng tròn (O) đây A , B là các tiếp điểm và C nằm gi÷a M vµ D a) Chøng minh : MA2 = MC.MD b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD Chøng minh ®iÓm M, A, O, I, B cïng n»m trªn đờng tròn c) Gọi H là giao điểm AB và MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đờng tròn Suy AB là đờng phân giác góc CHD d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến C và D đờng tròn (O) Chứng minh ®iÓm A, B, K th¼ng hµng Đáp án KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2008 – 2009 TP.HCM Môn thi : TOÁN Câu 1: a) có a + b + c = nên có nghiệm là x = hay b) Ðặt , phương trình : (1) thành Phương trình này có dạng a - b + c = nên có nghiệm là t = -1 (loại) hay Do đó, c) Câu 2: a) Vẽ đồ thị: b) Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (D) là nghiệm phương trình: Ta có: y(1) = - = -1; y(-2) = -2 - = -4 Tọa độ giao điểm (D) và (P) là (1; -1); (-2; -4) Câu 3: a) b) Điều kiện: x - ≠ 0; x + Với điều kiện (*) thì: + ≠ 0; ≠ 0; x Câu 4: a) Ta có : a.c = -1 < 0, phương trình có nghiệm phân biệt trái dấu với b) Theo định lý Viet ta có ; x ≠ 4; x > (*) với Câu 5: a) Chứng minh : Vì tính chất phương tích tiếp tuyến nên ta có b) Chứng minh: M, A, O, I, B cùng nằm trên đuờng tròn Vì nên điểm B, A, I cùng nhìn OM góc vuông Vậy điểm B, A, I, M, O cùng nội tiếp đường tròn đường kính OM c) Từ hệ thức lượng tam giác vuông ta có: (c.g.c) Ta có: Mà nội tiếp (chứng minh trên) ( cùng chắn cung DO) (tam giác COD cân O) là phân giác góc CHD d) K là trực tâm tam giác CDO thẳng hàng ( chắn nửa đường tròn đường kính KO) Mà Dễ dàng suy A, H, K thẳng hàng suy A, B, K thẳng hàng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT Năm học 2008 -2009 đề thi số 58 Môn: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) I Phần trắc nghiệm (4, điểm) Chọn ý đúng câu sau và ghi vào giấy làm bài.Ví dụ: Nếu chọn ý A câu thì ghi 1A (3  Câu Giá trị biểu thức 5) A  B  C D  Câu Đường thẳng y = mx + song song với đường thẳng y = 3x  A m =  B m = C m = D m =  Câu x  7 x A 10 B 52 C  46 D 14 Câu Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x là A (  2;  8) B (3; 12) C (  1;  2) D (3; 18)  Câu Đường thẳng y = x cắt trục hoành điểm có toạ độ là A (2; 0) B (0; 2) C (0;  2) D (  2; 0) Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có sin B  AC AB sin B  AH AB sin B  AB BC sin B  BH AB A B C D Câu Một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h Diện tích xung quanh hình trụ đó A r2h B 2r2h C 2rh D rh Câu Cho hình vẽ bên, biết BC là đường kính đường tròn (O), điểm A nằm trên · M đường thẳng BC, AM là tiếp tuyến (O) M và MBC = 65 65 Số đo góc MAC A A 150 B 250 C 350 D 400 B O II Phần tự luận (6,0 điểm) Bài (1,5 điểm) a) Rút gọn các biểu thức: M =2 5- 45 + 20 ; æ N =ç ç ç è3 - C - ö 5- ÷ × ÷ ÷ 3+ 5ø 5- b) Tổng hai số 59 Ba lần số thứ lớn hai lần số thứ hai là Tìm hai sè đó Bài (1,5 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 - 5x + m = (1) với x là ẩn số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x  x x1 6 Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB 6cm Gọi H là điểm nằm A và B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) C và D Hai đường thẳng BC và DA cắt M Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB) a) Chứng minh MNAC là tứ giác nội tiếp · b) Tính độ dài đoạn thẳng CH và tính tg ABC c) Chứng minh NC là tiếp tuyến đường tròn (O) d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT TẠO QUẢNG NAM Năm học 2008 -2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án và thang điểm Phần trắc nghiệm (4,0 điểm) - HS chọn đúng câu cho 0,5 điểm - Đáp án Câu A Câu C Câu B Phần tự luận (6,0 điểm) Bài Câu D Câu A Câu B Câu C Đáp án Câu D Điểm a) Biến đổi 0,25đ M 2   3 (1,5đ) æ 1 ö 5- + - (3 ÷ N =ç × = ÷ ç ÷ ç è3 - + ø - 9- = 5) × 1 × = b) Gọi x là số thứ nhất, y là số thứ hai ìïï x + y = 59 í ï Theo đề bài ta có: ïî 3x - 2y = 5- 5( - 1) 0,25đ 0,25đ 0,25đ Giải hệ phường trình tìm x = 25, y = 34 Kết luận hai số cần tìm là 25 và 34 0,25đ 0,25đ a) Khi m = 6, ta có PT x2 - 5x + = Lập ∆ = 52 - 4.6 = Tìm hai nghiệm: x1 = 2; x2 = b) Lập ∆ = 25 - 4m 0,25đ 0,5đ 25 Phương trình có nghiệm x1, x2 ∆ ≥ hay m  Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = ; x1.x2 = m ìïï x1 + x > í ï x x >0 Hai nghiệm x1, x2 dương ïî hay m > (1,5đ) Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 là 25 < m  (*) Ta có: Suy ( x1 + x ) = x1 + x + x1 x = + m x1 + x = + m 0,25đ Ta có x1 x  x x1 6  x1.x  0,25đ  x1  x 6 m  m 6  2m m  5m  36 0 (1) Đặt t  m 0 , đó (1) thành:  2t3 + 5t2 - 36 =  (t - 2)(2t2 + 9t + 18) =  t - = 2t2 + 9t + 18 = * t - = => t = => m = (thoả mãn (*)) * 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vô nghiệm Vậy với m = thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương x1, x2 x x  x x1 6 thoả mãn Hình vẽ phục vụ a) M Hình vẽ phục vụ b), c), d) K Hay 0,25đ 0,25đ 0,25đ C N E I A H O B D 0 · · a) Lí luận ACM = 90 , ANM = 90 Kết luận ANMC là tứ giác nội tiếp (3,0đ) 0.25đ 0.25đ b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABC ta có: CH2 = AH.HB  CH = AH.HB  (cm) CH · t gABC = = HB · · c) Lí luận được: ACN=AMN · · · ADC=ABC = BCO · · ADC=AMN · · Suy ACN=BCO · Lí luận NCO=90 Kết luận NC là tiếp tuyến đường tròn (O) d) Gọi I là giao điểm BE và CH và K là giao điểm tiếp tuyến AE và BM Lí luận OE//BM Từ đó lí luận suy E là trung điểm AK IC IH BI  EK EA (cùng BE ) Lý luận Mà EK = EA Do đó IC = IH Kết luận: Đường thẳng BE qua trung điểm đoạn thẳng CH 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) QUẢNG NAM đề thi số 59 Bài ( điểm ): √ 10+ √ 20 −3 √ − √ 12 √5 − √3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − √ x −2008 a) Thực phép tính: Bài ( 1,5 điểm ): ¿ mx − y =2 x+ my=5 Cho hệ phương trình: ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m=√ b) Tìm giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ m2 thức x+ y=1 − m +3 Bài (1,5 điểm ): y=− x , có đồ thị là (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M và N nằm trên (P) có hoành độ là −2 và b) Giải phương trình: x2 +3 x − √ x + x=1 a) Cho hàm số Bài ( điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N MO MO a) Chứng minh: CD + AB =1 1 b) Chứng minh: AB + CD =MN c) Biết S AOB =m2 ; SCOD =n Tính S ABCD theo m và n (với S AOB , SCOD , S ABCD là diện tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD) Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB cho AD và BC luôn song song Gọi M là giao điểm AC và BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp b) OM BC c) Đường thẳng d qua M và song song với AD luôn qua điểm cố định Bài ( điểm ): x2 y2 + ≥ x+ y y x b) Cho n là số tự nhiên lớn Chứng minh n4 + n là hợp số a) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ĐỀ CHÍNH Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian THỨC giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung Điểm ( √ 5− √ 3)( √2+2) 0,25 a) Biến đổi được: √5 − √3 ¿ √ 2+2 0,25 b) Điều kiện x ≥ 2008 1 x − √ x −2008=(x − 2008 −2 √ x −2008+ )+2008 − (1đ) 4 ¿ 8031 8031 ≥ √ x −2008 − ¿ 2+ ¿¿ 0,25 8033 Dấu “ = “ xảy √ x −2008= ⇔ x= nhỏ cần tìm là (thỏa mãn) Vậy giá trị 8031 8033 x= 4 0,25 ¿ √2 x − y =2 a) Khi m = √ ta có hệ phương trình x+ √2 y=5 (1,5đ) ⇔ x − √ y=2 √ x+ √ y=5 ⇔ 2+5 ¿ x= √ y =√ x − ¿{ 0,25 ¿{ ¿ 0,25 0,25 ⇔ √2+5 x= 5 √ −6 y= ¿{ 2m+5 m −6 b) Giải tìm được: x= ; y= m +3 Thay vào hệ thức 0,25 m +3 m2 x+ y=1 − ; m +3 ta 2 m+5 m− m + =1 − 2 m +3 m +3 m +3 Giải tìm m= 0,25 0,25 a) Tìm M(- 2; - 2); N (1:− ) 0,25 Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M và N nên ¿ −2 a+b=− a+b=− ¿{ (1,5đ) ¿ Tìm a= ; b=− Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y= x − b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3(x + x) −2 √ x +x − 1=0 Đặt t=√ x2 + x ( điều kiện t ), ta có phương trình t −2 t −1=0 Giải tìm t = t = − (loại) −1+ √ Với t = 1, ta có √ x2 + x=1 ⇔ x + x −1=0 Giải x= −1− √ x= 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ A M B O D MO AM MO MD a) Chứng minh CD =AD ; AB =AD N 0,25 C 0,25 MO MO AM+ MD AD = =1 Suy CD + AB = AD AD (2đ) (1) 0,50 NO NO b) Tương tự câu a) ta có CD + AB =1 (2) MO+NO MO+NO MN MN + =2 hay + =2 (1) và (2) suy CD AB CD AB 1 Suy CD + AB =MN 0,25 0,25 S AOB OB S AOD OA OB OA S S = ; = ; = ⇒ AOB = AOD S AOD OD S COD OC OD OC S AOD SCOD c) ⇒ S 2AOD=m2 n2 ⇒ S AOD=m n m+n ¿2 Tương tự S BOC=m n Vậy S 2 ABCD =m +n +2 mn=¿ 0,25 0,25 Hình vẽ vụ câu a) (phục 0,25 a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB và AMB O và M cùng phía với AB Do đó tứ giác AOMB nội tiếp b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực BC (1) - M nằm trên đường trung trực BC (2) Từ (1) và (2) suy OM là đường trung trực BC, suy 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A D I O M B (3đ) C OM ⊥BC c) Từ giả thiết suy d ⊥OM Gọi I là giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 900 , đó OI là đường kính đường tròn này Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định Vậy d luôn qua điểm I cố định a) Với x và y dương, ta có x − y ¿2 ≥ ⇔ x + y ≥ xy(x + y )⇔( x + y )¿ 2 x y + ≥ x+ y y x (2) 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) 0,25 (2) luôn đúng với x > 0, y > Vậy (1) luôn đúng với 0,25 x> , y > (1đ) b) n là số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k là số tự nhiên lớn - Với n = 2k, ta có 2k 2k ¿ +4 n n + =¿ lớn và chia hết cho Do đó là hợp số -Với n = 2k+1, tacó n +4 n k 0,25 2 n ¿ k n +2 ¿ −¿ k 2 ¿ =¿ n 2k n + =n + 4=n +¿ 0,25 = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ] Mỗi thừa số lớn Vậy n4 + 4n là hợp số ======================= Hết ======================= SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM đề thi số 60 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ( Dành cho học sinh chuyên Tin) Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài (1,5 điểm ): a) Thực phép tính: √ 10+ √ 20 −3 √ − √ 12 √5 − √3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x − √ x −2008 Bài (2 điểm ): Cho hệ phương trình: ¿ mx − y =2 x+ my=5 ¿{ ¿ a) Giải hệ phương trình m=√ b) Tìm giá trị m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức m2 x+ y=1 − m +3 Bài (2 điểm ): y=− x , có đồ thị là (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M và N nằm trên (P) có hoành độ là −2 và a) Cho hàm số b) Giải phương trình: x2 +3 x − √ x + x=1 Bài ( 1,5 điểm ): Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo là O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC M và N MO MO a) Chứng minh: CD + AB =1 1 b) Chứng minh: AB + CD =MN Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) và dây cung AB cố định không qua tâm O; C và D là hai điểm di động trên cung lớn AB cho AD và BC luôn song song Gọi M là giao điểm AC và BD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOMB là tứ giác nội tiếp b) OM BC c) Đường thẳng d qua M và song song với AD luôn qua điểm cố định ======================= Hết ======================= Họ và tên thí sinh: …………………………………… Số báo danh: ……………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2008-2009 Môn TOÁN ĐỀ CHÍNH (Dành cho học sinh chuyên Tin) THỨC Thời gian làm bài 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN I Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu đáp án mà đúng thì cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và thống Hội đồng chấm thi 3) Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án: Bài Nội dung Điểm ( √ 5− √ 3)( √2+2) 0,50 a) Biến đổi được: √5 − √3 ¿ √ 2+2 0,25 x ≥ 2008 b) Điều kiện 1 x − √ x −2008=(x − 2008 −2 √ x −2008+ )+2008 − 4 ¿ (1,5đ) 8031 8031 ≥ √ x −2008 − ¿ 2+ 4 ¿¿ 8033 Dấu “ = “ xảy √ x −2008= ⇔ x= (thỏa mãn) Vậy giá trị 8031 8033 x= nhỏ cần tìm là 4 ¿ x − y =2 √ a) Khi m = √ ta có hệ phương trình x+ √2 y=5 ¿{ ¿ ¿ ⇔ x − √ y=2 √ x+ √ y=5 ¿ ⇔ 2+5 x= √ (2đ) y =√ x − ¿ ¿{ ¿ ⇔ √2+5 x= 5 √ −6 y= ¿{ 2m+5 m −6 b) Giải tìm được: x= ; y= m +3 m +3 m x+ y=1 − Thay vào hệ thức ; ta m +3 m+5 m− m2 + =1 − m2+3 m2 +3 m2+3 Giải tìm m= a) Tìm M(- 2; - 2); N (1:− ) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M và N nên (2đ) ¿ −2 a+b=− a+b=− ¿{ ¿ Tìm a= ; b=− 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y= x − b) Biến đổi phương trình đã cho thành 3(x + x) −2 √ x +x − 1=0 Đặt t=√ x2 + x ( điều kiện t ), ta có phương trình t −2 t −1=0 Giải tìm t = t = − (loại) Với t = 1, ta có √ x + x=1 ⇔ x + x −1=0 Giải −1+ √ x= 0,25 0,25 0,25 −1− √ x= 0,25 Hình vẽ A B M N O 0,25 D C MO AM MO MD a) Chứng minh CD =AD ; AB =AD Suy MO MO AM+ MD AD + = = =1 CD AB AD AD (1,5đ) b) Tương tự câu a) ta có NO + NO =1 CD AB 0,25 (1) 0,50 (2) MO+NO MO+NO MN MN + =2 hay + =2 AB CD AB 1 + = CD AB MN (1) và (2) suy CD Suy Hình vẽ vụ câu a) 0,25 0,25 (phục 0,25 A D I O M (3đ) B C a) Chứng minh được: - hai cung AB và CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB và AMB O và M cùng phía với AB Do đó tứ giác AOMB nội tiếp b) Chứng minh được: - O nằm trên đường trung trực BC (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 - M nằm trên đường trung trực BC (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy OM là đường trung trực BC, suy 0,25 OM ⊥BC c) Từ giả thiết suy d ⊥OM Gọi I là giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 900 , đó OI là đường kính đường tròn này Khi C và D di động thỏa mãn đề bài thì A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định Vậy d luôn qua điểm I cố định 0,25 0,25 0,25 0,25 ======================= Hết ======================= đề thi số 61 Đề thi tuyển sinh lớp 10 PTNK năm học 2008-2009_Môn toán AB Thời gian : 150' Câu Cho phươhg trình : a) Giải phương trình b)Tìm tất các giá trị (1) để phương trình (1) có nghiệm Câu a)Giải phương trình : b) giải hệ phương trình : Câu a) chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (x > 1) b) Cho a , b , c là các số thực khác thoả mản điều kiện : Chứng minh : Câu Cho tứ giác vuông góc vói giác PM a) Hãy tính tỉ số : DH có góc A nhọn và đường chéo AC , BD là trung điểm và là trực tâm tam b)Gọi N, Klần lượt là chân đường cao kẻ từ B và D tam giác ; Q là giao điểm hai đường và CMR : MN = MQ c) Chừng minh tứ giác BQNK nội tiÕp Câu Một nhóm học sinh cần chia lương kẹo thành các phần quà để tặng các em nhỏ đơn vị trẻ mồ côi Nếu phần quà giảm viên thì các em có thêm phần quà , giam 10 viên phần quà thì có thêm 10 phần quà HỎi số kẹo mà nhóm học sinh này có