Tuyển tập 8 đề thi môn toán giải tích 2 của trường Đại học Xây dựng Hà Nội

Kí hiệu L là biên của miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ... Kí hiệu L là biên của miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ.[r]

(1)

Trung tâm gia sư VIP –Số ngõ 128, Hoàng Văn Thái, Thanh Xuân, Hà Nội Hotline: 0914625305-0989189380

Trường Đại học Xây dựng

Đề thi mơn giải tích –khóa 58

Thời gian: 90 phút

Đề số

Câu 1: Cho hàm 2

( , ) (0, 0)

0 ( , ) (0, 0) ( , )

xy

khi x y x y

khi x y

f x y

 

 

  

a) Hàmf(x,y) có liên tục

 không? Tại sao?

b) Tồn hay không đạo hàm riêng f điểm (0,0)?

c) Hãy tính T = ( ) (M)

y f M x f

   



tại M (0,1)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f( x,y ) = 2

x +2xy-

x y+3y2-3y3-y-4

x

Câu 3: Sử dụng phép đổi biến x2rcost,yrsint tính tích phân kép  

 

 D

y x

e dxdy

2 4

2

Với miền 2

{( , ) | 16, 0, 0}

D x y  x  y  x y

Câu 4: Dlà miền phẳng hữu hạn giới hạn đường cong y2xvà

4x  y Kí hiệu L biên miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ

a) Tính trực tiếp tích phân đường loại hai 

L

dx

y2 , sử dụng biểu diễn tham số L

b) Tính tích phân 

L

dx

y2 cách sử dụng định lí Green

Câu 5: Giải phương trình " '

3x

y xy y

x    , biết y 1 x nghiệm phương trình " '

  xy y y

(2)

Câu 1: Cho hàm

2 ( , ) (0, 0)

2 ( , )

0 ( , ) (0, 0)

xy

khi x y

x y

f x y

khi x y



 

  

 



a) Hàm f(x,y)có liên tục

 không? Tại sao?

b) Tồn hay không đạo hàm riêng f điểm (0,0)?

c) Hãy tính T = ( ) (M)

y f M x f

   



tại M (1,0)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f( x,y ) = 2

x -2xy-

x y+3y2-3y3-y+4

x

Câu 3: Sử dụng phép đổi biến xrcost,y 2rsint tính tích phân kép  

 

 D

y x

e dxdy

2

4

3

Với miền D{( , )x y 2| 4x2 y2 16,x0,y0}

Câu 4: Dlà miền phẳng hữu hạn giới hạn đường cong y2xvà

2x

y  Kí hiệu L biên miền D định hướng ngược chiều kim đồng hồ

a) Tính trực tiếp tích phân đường loại hai 

L

dx

y2 , sử dụng biểu diễn tham số L

b) Tính tích phân 

L

dx

y2 cách sử dụng định lí Green

Câu 5: Giải phương trình " ' 42

2

x y

xy   , biết y 1 x nghiệm phương trình

0 '

"

  y

(3)

Đề số

Câu 1: Hệ thức x2 y4 3xyx1 xác định hàm ẩn khả vi y( x)tại lân cận điểm

1 ) ( ,

2  

 y 

x Hãy tính '(2)và"(2)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) x y2zvới điều kiện 4

2 2

   y z

x

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm hình trụ x2  y2 2y0

Câu 4: Gọi L giao cảu mặt parabôlôit 2

4 x y

z   mặt phẳng z3

a) Tìm biểu diễn tham số L sử dụng để tính tích phân đường loại hai

dz y x x xdy

L

) (   

 hướng L ngược chiều kim đồng hồ ta đứng dọc theo trục Oz

nhìn xuống

b) Sử dụng định lí Stokes để tính tích phân đường câu a)

Câu 5: Giải phương trình vi phân sau

a) (ycosx3x2)dxsin xdy0

(4)

Đề số 4:

Câu 1: Hệ thức x5 3xyy6 1 xác định hàm ẩn khả vi y( x)tại lân cận điểm

0 ) ( ,

1  

 y 

x Hãy tính '(1)và"(1)

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) x y2zvới điều kiện 4

2 2

   y z

x

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm hình trụ x2  y2 2x0

Câu 4: Gọi L giao cảu mặt parabôlôit 2

6 x y

z   mặt phẳng z2

a) Tìm biểu diễn tham số L sử dụng để tính tích phân đường loại hai

dz y x e xdy

L

x

) (   

 hướng L ngược chiều kim đồng hồ ta đứng dọc theo trục Oz

nhìn xuống

b) Sử dụng định lí Stokes để tính tích phân đường câu a)

Câu 5: Giải phương trình vi phân sau

c) eydx(xey 4y)dy0

(5)

Đề số 5:

Câu 1:

Cho hàm véc tơ g:

 

 , g(t)(2t,t) hàm thực hai biến f :2 , f(x,y) xy2x

a) Tính đạo hàm riêng fx',fy' M(1,1) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm f khả vi M(1,1)

b) Áp dụng cơng thức đạo hàm hàm hợp để tính u'(t), biết u  fog

Câu 2: Tìm cực trị hàm số 2

2

2xy y z xz z x

u     

Câu 3: Tính tích phân   v(1 x2 y2)dxdydz với V miền không gian giới hạn mặt

parabôlôit 2

9 x y

z    mặt phẳng z =

Câu 4: Hãy tìm hàm u(x,y,z) cho (2 ) ( )

dz yz x dy z dx z x

du     Tính tích phân đường

loại hai I   L(2xz)dxz2dy(x2yz)dz biết L đoạn thẳng nối điểm A(1,1,1)

B(2,-1,1) theo hướng từ A đến B

Câu 5: Giải phương trình vi phân sau:

a) '

   y y x x

y

(6)

Đề số 6:

Câu 1:

Cho hàm véc tơ g:

 

 , g(t)(2t,t) hàm thực hai biến f :2 , f(x,y)2yxy

c) Tính đạo hàm riêng fx',fy' M(1,1) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm f khả vi M(1,1)

d) Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp để tính u'(t), biết u  fog

Câu 2: Tìm cực trị hàm số 2

2 4

5x xy y z xz z

u     

Câu 3: Tính tích phân   v(1 x2 y2)dxdydz với V miền không gian giới hạn mặt

parabôlôit 2

5 x y

z    mặt phẳng z =

Câu 4: Hãy tìm hàm u(x,y,z) cho (2 ) ( )

dz x x ydy dx

z xz

du     Tính tích phân đường

loại hai I   L(2xzz)dx2ydy(x2 x)dz biết L đoạn thẳng nối điểm A(1,2,1)

B(2,0,1) theo hướng từ A đến B

Câu 5: Giải phương trình vi phân sau:

a) (1 2) ( 2)  



x dy xy y dx

(7)

Đề số 7:

Câu 1: Tìm vi phân toàn phần hàm số yz

x

u  với x>0, y>0, z>0

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z) x2 4y8z với điều kiện x2 y2 z2 20

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm mặt trụ x2  y2 2y0

Câu 4:

a) L cung trơn nối hai điểm A(1,0), B(0,1) không cắt đường thẳng x+y=0 Cung L định hướng từ A đến B Xác định a để thích phân sau khơng phụ thuộc L tính tích phân

I=



  



3

2

) (

) ( )

(

y x

dy y x dx ay xy x

L

b) Tính tích phân mặt loại hai  

x dydz

S biết S mặt cầu

2 2

    y z

x định hướng

phía ngồi

Câu 5:

a) Giải phương trình (2xey  y4)y'  yeydx

(8)

Đề số 8:

Câu 1: Tìm vi phân tồn phần hàm số xy

z

u  với x>0, y>0, z>0

Câu 2: Tìm cực trị hàm f(x,y,z)4xy2 8z với điều kiện x2 y2 z2 20

Câu 3: Tính thể tích phần hình cầu x2 y2 z2 4 nằm mặt trụ x2  y2 2x0

Câu 4:

c) L cung trơn nối hai điểm A(1,0), B(0,1) không cắt đường thẳng x+y=0 Cung L định hướng từ A đến B Xác định a để thích phân sau khơng phụ thuộc L tính tích phân

I=



   



3

2

) (

)

( ) (

y x

dy ay xy x

dx y xy x

L

d) Tính tích phân mặt loại hai  

z dydz

S biết S mặt cầu

2 2

   y z

x định hướng

phía ngồi

Câu 5:

c) Giải phương trình (x2  y3)y'  xy

d) Tìm nghiệm y  y(x)của phương trình x

xe y y