Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E... Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của[r]
(1)§Ò sè 1: đề thi học sinh giỏi huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: n 16 2 n ; a) b) 27 < 3n < 243 Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC §Ò sè 2: đề thi học sinh giỏi M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 (2) b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n 2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : a) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 b) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… Đáp án đề 1toán Bµi T×m gi¸ trÞ n nguyªn d¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) n 16 2 n ; a) => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ( 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 (3) 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bµi (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m x biÕt: |2 x+3|=x +2 Ta cã: x + => x - - th× + NÕu x |2 x+3|=x +2 => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) x < - Th× |2 x+3|=x +2 => - 2x - = x + => x = - (Tho¶ + NÕu - 2 m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n b) Tìm giá trị nhỏ A = |x − 2006|+|2007 − x| Khi x thay đổi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ là 2006 x 2007 Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau ít bao lâu thì kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay kim phút và kim 10giờ đến lúc kim đối trên đờng thẳng, ta có: x – y = (ứng với từ số 12 đến số trên đông hồ) vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do đó: x 12 x y x−y 1 = => = = = :11= y 12 11 33 => x = 12 (vòng) => x= (giê) 33 11 Vậy thời gian ít để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện trên đờng thẳng là 11 giê (4) Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi) §êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F Δ ABM = Δ DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), E AMB = DMC (®®) => BAM = CDM F =>FB // ID => ID AC Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) I Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) vµ E FA = 1v (4) MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phô ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB =>AE = BC A B H C M D §Ò sè 2: đề thi học sinh giỏi huyện M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực phép tính: A 212.35 46.9 3 510.73 255.492 125.7 59.143 b) Chứng minh : Với số nguyên dương n thì : 3n 2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: x a 3, 5 (5) x 7 b x 1 x 7 x 11 0 Bài 3: (4 điểm) : : c) Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng các bình phương ba số đó 24309 Tìm số A a c a2 c2 a 2 d) Cho c b Chứng minh rằng: b c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là điểm trên AC ; K là điểm trên EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC c) Từ E kẻ EH BC Biết HBE = 50o ; MEB =25o Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD là phân giác góc BAC d) AM = BC ……………………………… Hết ……………………………… (6) Đáp án đề toán Bài 1:(4 điểm): a) (2 điểm) 212.35 46.9 10 510.73 255.492 212.35 212.34 510.7 A 12 12 9 3 125.7 14 3 212.34 1 510.73 12 1 59.73 23 10 212.34.2 12 59.73.9 10 b) (2 điểm) 3n2 2n 3n 2n = 3n2 3n n 2n n n = (3 1) (2 1) n n n n = 10 5 3 10 10 = 10( 3n -2n) n2 n2 n n Vậy 10 với n là số nguyên dương Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) x 4 16 3, x 5 5 x 14 5 x 2 x 12 x 1 x217 3 x 21 3 (7) b) (2 điểm) x 7 x 1 x 7 x 11 0 x 10 0 x 1 x 10 0 x 7 x 7 x 1 x x 10 1 ( x 7)10 0 x 7010 x 7 x8 ( x 7) Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số chia từ số A : : Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) a b c k a k;b k; c Từ (1) = k k ( ) 24309 25 16 36 Do đó (2) k = 180 và k = 180 + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237 + Với k = 180 , ta được: a = 72 ; b = 135 ; c = 30 Khi đó ta có só A = 72 +( 135 ) + ( 30 ) = 237 b) (1,5 điểm) a c Từ c b suy c a.b a c a a.b 2 đó b c b a.b a ( a b) a = b( a b) b (8) Bài 4: (4 điểm) A a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I M B C H AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB K E Vì AMC = EMB MAC = MEB (2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy AC // BE b/ (1 điểm ) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) MAI = MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) EMK + IME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o HBE = 90o - HBE = 90o - 50o =40o HEM = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o A BME là góc ngoài đỉnh M HEM Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o 20 ( định lý góc ngoài tam giác ) Bài 5: (4 điểm) D M (9) a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC 0 Do đó DAB 20 : 10 0 b) ABC cân A, mà A 20 (gt) nên ABC (180 20 ) : 80 600 ABC nên DBC 0 Tia BD nằm hai tia BA và BC suy ABD 80 60 20 Tia BM là phân giác góc ABD nên ABM 10 0 Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; BAM ABD 20 ; ABM DAB 10 Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC (10) §Ò sè 3: đề thi học sinh giỏi M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n C©u Cho ®a thøc P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 vµ 9 10 vµ nhá h¬n 11 Q ( x ) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a/ ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = |x +1| +5 B= x +15 x +3 Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC a Chøng minh: DC = BE vµ DC BE b Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c Chøng minh: MA BC (11) Đáp án đề toán a 4 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 0 a => = 0; 1; 2; ; a * = => a = a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - a * = => a = hoÆc a = - 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 10 vµ nhá h¬n 11 Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x Ta cã: 9 9 63 63 63 10 x 11 => 70 x 77 => -77 < 9x < -70 V× 9x 9 => 9x = -72 => x = VËy ph©n sè cÇn t×m lµ C©u Cho ®a thøc P ( x ) = x ❑2 + 2mx + m ❑2 vµ Q ( x ) = x ❑2 + (2m+1)x + m ❑2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m §Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y x y xy 84 a/ ; xy=84 4 => 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn: (12) x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y => x x 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào trên ta đợc: 1 3y y y 12 2 =>1+ 3y = -12y => = -15y 1 => y = 15 1 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề bài C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = |x +1| +5 Ta cã : |x +1| DÊu = x¶y ⇔ x= -1 ⇒ A DÊu = x¶y ⇔ x= -1 VËy: Min A = ⇔ x= -1 B= x +15 x +3 = ( x2 +3 ) +12 x +3 12 x +3 =1+ Ta cã: x ❑2 DÊu = x¶y ⇔ x = ( vÕ d¬ng ) ⇒ x ❑2 + ⇒ 12 x +3 12 ⇒ 12 x +3 ⇒ ⇒ B DÊu = x¶y ⇔ x = VËy : Max B = ⇔ x = C©u 6: a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã: 1+ 122 x +3 1+ (13) DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE XÐt AIE vµ TIC I1 = I2 ( ®®) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC BE b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3) Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H Tõ E h¹ EP MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (®pcm) §Ò sè 4: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- 1 − − +1 : (− −1) 3 [( ) ( ) ] − (14) b- 3 ( )2003 − −1 2 − 12 ()( ) ()( ) C©u ( ®iÓm) a- Tìm số nguyên a để a +a+3 là số nguyên a+1 b- T×m sè nguyªn x,y cho x-2xy+y=0 C©u ( ®iÓm) a- Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) th× a = c víi b d b,d kh¸c b- Cần bao nhiêu số hạng tổng S = 1+2+3+… để đ ợc số có ba chữ số gièng C©u ( ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lÊy ®iÓm D cho CD=2CB TÝnh gãc ADE C©u ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 C©u 1.a 1.b 2.a Đáp án đề Híng dÉn chÊm Thực theo bớc đúng kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bớc đúng kết 14,4 cho điểm tối đa Ta cã : a +a+3 = a(a+ 1)+3 =a+ a+1 v× a lµ sè nguyªn nªn a +a+3 a+1 a+1 a+1 lµ sè nguyªn nguyên hay a+1 là ớc đó ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 2 VËy víi a { − 4,− 2,0,2 } th× a +a+3 lµ sè nguyªn a+1 2.b §iÓm 1§iÓm 1§iÓm 0,25 lµ sè a+1 0,25 0,25 0,25 Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn đó ta có các trờng hợp sau : (15) ¿ −2 y=1 x −1=− ⇒ ¿ x=0 y=0 ¿{ ¿ HoÆc 3.a 0,25 0,25 0,25 ¿ 1− y =−1 x −1=1 ⇒ ¿ x=1 y=1 ¿{ ¿ VËy cã cÆp sè x, y nh trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy a = c ( §PCM) b 3.b d Gi¶ sö sè cã ch÷ sè lµ aaa =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0) Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã : n(n+1) =111a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a 0,5 0,5 0,25 VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n ) 0,25 Do đó n=37 n+1 = 37 Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó n(n+1) =703 không thoả mãn Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36 n(n+1) =666 tho¶ m·n 0,5 A H 0,5 B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 đó CDH = 300 Nªn CH = CD ⇒ CH = BC Tam gi¸c BCH c©n t¹i C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H 0,5 1,0 1,0 (16) Do đó tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450+300=750 Tõ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2 Nếu x chia hết cho vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= nguyªn tè tho¶ m·n Nếu x không chia hết cho thì x2-1 chia hết cho đó 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho đó x2=19 kh«ng tho¶ m·n Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu bài lµ (2;3) §Ò sè 5: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): 1, Tính: 1 2003 2004 2005 5 P = 2003 2004 2005 2 2002 2003 2004 3 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 x x 0, 25 xy x2 y 3, Cho: A = x ; y Tính giá trị A biết là số nguyên âm lớn Bài (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + + 3x + = 117 0,25 0,25 0,25 0,25 (17) Bài (1đ): Một thỏ chạy trên đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy trên đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ trên đoạn đường nào lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ trên hai đoạn đường ? Bài (2đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE Gọi M là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 120 Bài (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó 2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E Chứng minh: AE = AB §Ò sè 6: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 4 C(x) = x + 4x + 3x – 8x + 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 16 2, Tính giá trị M(x) x = 0, 25 3, Có giá trị nào x để M(x) = không ? Bài (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x x x Bài (4đ): (18) Tìm giá trị nguyên m và n để biểu thức 1, P = m có giá trị lớn 8 n 2, Q = n có giá trị nguyên nhỏ Bài (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M là trung điểm BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A, cắt các đường thẳng AB, AC D, E 1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD và BD theo b, c Bài (3đ): Cho ∆ABC cân A, BAC 100 D là điểm thuộc miền ∆ABC cho DBC 100 , DCB 200 Tính góc ADB ? §Ò sè 7: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (3đ): Tính: 3 1 1 1 1, 2, (63 + 62 + 33) : 13 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 Bài (3đ): a b c 1, Cho b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2005 Tính b, c a b c d 2, Chứng minh từ hệ thức a b c d ta có hệ thức: a c b d Bài (4đ): (19) Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: x ; x 0 y = x ; x Bài (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 60 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác đó cắt I Chứng minh: ID = IE (20) §Ò sè 8: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : A= − − 0,( 4)+ − − | | (√ ) | + − Bài (3đ): Cho a,b,c | thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: R và a,b,c a c = a+2007 b ¿ ¿ b+ 2007 c ¿2 ¿ ¿ ¿ Bài (4đ): Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu (6đ): Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngoài ∆ABC các ∆ ABD và ACE 1, Chứng minh: BE = DC 2, Gọi H là giao điểm BE và CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ): p Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: m−1 = Chứng minh : p2 = n + 2 m+n p (21) §Ò sè 9: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Cho A=(0,8 7+0 82).(1 ,25 − 1, 25)+31 ,64 (11 , 81+8 , 19) , 02 B= :11 , 25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A=10 1998 − cã chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so víi B×nh lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ? C©u 3: a) Cho f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (−2) f (3)≤ BiÕt r»ng 13 a+b+ 2c =0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A= cã gi¸ trÞ lín nhÊt 6−x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AC Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900 F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c bê AB a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 89 A=19 +2 96 (22) §Ò sè 10: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 3 + 11 12 1890 a) TÝnh A= 1,5+1 −0 , 75 + : +115 5 2005 2,5+ −1 , 25 − ,625+ 0,5− − 11 12 1 1 1 b) Cho B= + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B< ( , 375− 0,3+ ) C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu a = c th× a+3 b = c +3 d b d a − b c −3 d (giả thiết các tỉ số có nghĩa) b) T×m x biÕt: x −1 + x − − x − = x − 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lÇn lît ë M, N Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đờng thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên cạnh BC C©u 5: (1 ®iÓm) Tìm số tự nhiên n để phân số n− có giá trị lớn 2n − (23) §Ò sè 11: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: A= B= (0 , 75 −0,6+ 37 +133 ): (117 + 1113 +2 ,75 − 2,2) (10 √17 , 21 +22 √30 ,25 ) :( √549 + √225 ) b) Tìm các giá trị x để: |x +3|+|x +1|=3 x C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M = a + b + c kh«ng lµ sè nguyªn a+b b+c c+ a b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+ bc+ ca ≤ C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d¬ng kh¸c x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn lît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12 b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; vµ Thêi gian m¸y bay bay từ A đến B ít thời gian ô tô chạy từ A đến B là 16 Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B bao lâu ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: + + + + < 15 25 1985 20 (24) §Ò sè 12: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chứng minh với số n nguyên dơng có: A= 5n (5n +1)− 6n (3 n+2) ⋮ 91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P cho P2+ 14 lµ sè nguyªn tè Bµi 2: ( ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n cho n2 +3 ⋮ n− b) BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx a b Chøng minh r»ng: c a b c = = x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An và Bách có số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ảnh hoa cña An b»ng sè bu ¶nh thó rõng cña B¸ch + B¸ch nãi víi An NÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh thó rõng cña t«i th× sè bu ¶nh cña b¹n gÊp lÇn sè bu ¶nh cña t«i + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c bu ¶nh hoa cña t«i th× sè bu ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè bu ¶nh cña b¹n TÝnh sè bu ¶nh cña mçi ngêi Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p +1997=5 p + q2 (25) §Ò sè 13: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) TÝnh: (13 14 −2 275 −10 56 ) 230 251 + 46 34 (1103 +103 ): (12 13 −14 27 ) Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A=36 38+ 4133 chia hÕt cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B=|x −1|+|x −2| đạt giá trị nhỏ c) Chøng minh r»ng: P(x) ¿ ax + bx +cx+ d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho tØ lÖ thøc a = c b ab a2 −b = cd c − d d vµ Chøng minh r»ng: a+b a2 +b = 2 c+ d c +d ( ) b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n cho: 2n − chia hÕt cho Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q cho chu vi APQ b»ng Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: a+2 b ⋮ 17 ⇔10 a+b ⋮ 17 (a, b Z ) (26) §Ò sè 14: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d¬ng a lín nhÊt cho 2004! chia hÕt cho 7a b) TÝnh 1 1 + + + .+ 2005 P= 2004 2003 2002 + + + + 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x y z t = = = Cho y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11 km để đến C Vận tèc cña ngêi ®i tõ A lµ 20 km/h VËn tèc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc và A, B, C thẳng hµng Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC KÎ AH BC (H BC) VÏ AE AB vµ AE = AB (E vµ C khác phía AC) Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đờng thẳng AH (M, N AH) EF c¾t AH ë O Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 (27) §Ò sè 15: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh : 1 − + 39 51 A= 1 − + 52 68 ; B=512 − 512 512 512 512 − − − − 10 2 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = x y z = = b) T×m x, y, z biÕt: z + y +1 x+ z +1 x+ y − =x + y + z (x, y, z ) C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d¬ng ta cã: chia hÕt cho 10 S=3 n+2 − 2n+2 +3 n −2 n 2 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: x − 2004 ¿ =23 − y 7¿ C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M cho AM = AC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay cho AN = AB LÊy ®iÓm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh: a) AC // BP b) AK MN C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn Chøng minh r»ng: a2 n +b 2n ≤ c 2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n (28) §Ò sè 16: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 16 +3 19 A= : 24 14 −2 34 17 34 1 1 1 B= − − − − − − 54 108 180 270 378 ( ) C©u 2: ( 2, ®iÓm) 1) Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + b) |3 m− 1|<3 2) Chøng minh r»ng: 3n+ −2n +4 +3 n+ 2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d¬ng C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z = = ; 2 vµ x − y =−16 b) Cho f (x)=ax2 + bx+ c Biết f(0), f(1), f(2) là các số nguyên Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n +1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n − lµ hîp sè (29) §Ò sè 17: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: (1+ 2+ 3+ +99+100) A= B= ( ( 12 − 13 − 17 − 19 )( 63 1,2 −21 3,6) −2+3 − 4+ + 99− 100 √2 √2 − + (− ) 14 35 15 ) (101 +253 √ − √52 ) 57 C©u 2: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A=3 x − x +1 víi b) Tìm x nguyên để √ x+1 chia hết cho √ x −3 |x|= C©u 3: ( ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt x = y = z vµ x +2 y − z 2=1 64 216 b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 15 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đờng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa đỉnh B bờ là đờng thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC Chứng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = AM c) AM EF C©u 5: (1 ®iÓm) Chøng tá r»ng: 1− + − + .+ − = + + + + 99 200 101 102 199 200 (30) §Ò sè 18: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 2 1 0,4 − + −0 ,25+ 11 a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M = − 7 1,4 − + − , 875+0,7 11 b) TÝnh tæng: P=1 − − − − − − 10 15 28 21 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: |2 x+3|− 2|4 − x|=5 2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai b»ng 3: §Õn lóc gÆp vËn tèc ngêi thø nhÊt ®i so víi ngêi thø hai ®i lµ 2: Hái gÆp th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x)=ax2 + bx+ c (a, b, c nguyªn) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x thì a, b, c chia hết cho b) CMR: nÕu a = c b d th× a +5 ac b +5 bd = 2 a − ac b −5 bd (Giả sử các tỉ số có nghĩa) C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE= AB+ AC C©u 5: (1 ®iÓm) Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn đó có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngµy 30/4 cÇn tiÕt môc v¨n nghÖ cã b¹n nam, b¹n n÷ tham gia Hỏi có nhiều bao nhiêu cách lựa chọn để có bạn nh trên tham gia (31) §Ò sè 19: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A= [ 11 − 15 −6 31 19 ] ( ) −1 14 31 ( 93 ) 50 1 + ( 12−5 ) 6 1 1 > b) Chøng tá r»ng: B=1 − − − − .− 2 3 2004 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho ph©n sè: C= 3|x|+2 4|x|−5 (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x Z để C là số tự nhiên C©u 3: (2 ®iÓm) Cho a = c b d Chøng minh r»ng: a+ b ¿ ¿ c +d ¿2 ¿ ¿ ab =¿ cd C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn lît t¹i E vµ D a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng thẳng này cắt BC lần lît ë K vµ H Chøng minh r»ng KH = KC C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p cho: 2 p +1 ; 24 p +1 lµ c¸c sè nguyªn tè (32) §Ò sè 20: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 , 75− 0,6+ + 13 A= ; 11 11 , 75− 2,2+ + B=(−251 3+281)+3 251 −(1− 281) b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 C©u 2: ( ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c ⋮ Z) b) BiÕt bz −cy =cx − az =ay − bx a b Chøng minh r»ng: 17 nÕu a - 11b + 3c ⋮ 17 (a, b, c c a b c = = x y z C©u 3: ( ®iÓm) Bây là 10 phút Hỏi sau ít bao lâu thì hai kim đồng hồ nằm đối diện trên đờng thẳng C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, đờng cao IM BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C N TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Số 2100 viết hệ thập phân tạo thành số Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số ? (33) §Ò sè 21: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 + 2,5+ −1 , 25 11 12 P=2005 : 5 1,5+ 1− ,75 − ,625+ 0,5 − − 11 12 ( , 375− 0,3+ ) b) Chøng minh r»ng: 19 + 2 + 2 + .+ 2 <1 2 3 10 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d¬ng n th×: n+ n+1 n+ n+2 chia hÕt cho +3 +2 +2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D=|2004 − x|+|2003 − x| C©u 3: (2 ®iÓm) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC Trên tia đó lấy ®iÓm E cho AE = AC Chøng minh r»ng: a) DE = AM b) AM DE C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, …, xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ hoÆc -1 Chøng minh r»ng nÕu x x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho (34) §Ò sè 22: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: ,75 ¿2 11 25 2 ([ ) :0 , 88+3 , 53] −¿ : 1325 ¿ 81 ,624 : − , 505 +125 A= ¿ ( ) b) Chøng minh r»ng tæng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n 2005=| x − 4|+|x −10|+|x +101|+|x +990|+| x+1000| b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm mét sè ngµy Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3 Điều đó đúng hay sai ? vì ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: TÝnh a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = a b c d a+b b+c c +d d +a M= + + + c+ d d +a a+b b+c Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t t¹i I a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu gãc A = 600 b) Gọi giao điểm BD và CE với đờng cao AH ABC lần lợt là M và N Chøng minh BM > MN + NC Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng x Chøng minh r»ng: y z + + ≤ x + y + z y + z + x z+ x + y (35) §Ò sè 23: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: |x 2+|6 x − 2||=x +4 b) Tìm tổng các hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = 3+4 x+ x ¿2005 −4 x+ x ¿2004 ¿ ¿ Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x là số tự nhiªn T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) x y z t Cho = = = y + z +t z +t + x t + x+ y x + y + z CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: P= x+ y y + z z +t t + x + + + z +t t+ x x+ y y+ z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B = α Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E cho góc EBA= α Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : b c a +3 a +5=5 vµ a+3=5 (36) §Ò sè 24: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh A=3 − 32+33 − 34 + .+ 32003 −32004 b) T×m x biÕt |x − 1|+|x +3|=4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x NÕu Th× y z = a+2 b+c a+b −c a −4 b+c a b c = = x +2 y + z x+ y − z x − y + z = Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A và B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C cùng trên đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A là 20 km/h Vận tèc cña ngêi ®i tõ B lµ 24 km/h Tính quãng đờng ngời đã Biết họ đến C cùng lúc Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ các ®iÓm D, E cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE Gäi I, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005 − 2006 x 2004 +2006 x 2003 −2006 x 2002 + − 2006 x2 +2006 x − §Ò sè 25: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u ( 2®) Cho: Chøng minh: ( a b c = = b c d a+ b+c a = b+c +d d ) C©u (1®) T×m A biÕt r»ng: (37) A= a = c = b b+c a+b c +a Câu (2đ) Tìm x ∈ Z để A Z và tìm giá trị đó a) A = x+ b) A = −2 x x −2 x+3 C©u (2®) T×m x: a) b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 |x − 3| = C©u (3®) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM E BC, BH,CK AE, (H,K AE) Chøng minh MHK vu«ng c©n §Ò sè 26: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2®) x x 2 Rót gän A= x x 20 C©u (2®) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng đợc nh C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn C©u : (3®) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc đó Từ điểm B trên Ax vẽ đờng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C vÏ Bh Ay,CM Ay, BK AC.Chøng minh r»ng a, K lµ trung ®iÓm cña AC AC b, BH = c, KMC (38) C©u (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t gi¶i 1,2,3,4 Biết câu câu dới đây đúng nửa và sai nửa: a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải Em hãy xác định thứ tự đúng giải cho các bạn §Ò sè 27: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 2 3 18 (0, 06 : 0,38) : 19 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho c b chứng minh rằng: a2 c2 a b2 a2 b a 2 2 a a) b c b b) a c Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) x b) 15 x x 12 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây (39) Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: e) Tia AD là phân giác góc BAC f) AM = BC 2 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2009) - §Ò sè 28: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi Bµi Bµi 140 vµ 1 1 96.101 TÝnh 1.6 6.11 11.16 1 x y T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, cho: T×m hai sè d¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, Bµi T×m x, y tho¶ m·n: x x y x = Bµi Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 Ph©n gi¸c gãc ACB c¾t AB t¹i M Trªn MC lÊy ®iÓm N cho gãc MBN = 40 Chøng minh: BN = MC (40) §Ò sè 29: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 10 vµ nhá h¬n 11 Câu 3: Trong số x, y, z có số dơng , số âm và số Hỏi số đó thuộc loại nµo biÕt: x y3 y2 z C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a, ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b, 12 5x 4x C©u 5: TÝnh tæng: 3n S 1 14 (n Z* ) Câu 6: Cho tam giác ABC có  < 90 Vẽ phía ngói tam giác đó hai đoạn thẳng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC d Chøng minh: DC = BE vµ DC BE e Gọi N là trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chøng minh: AB = ME vµ ABC EMA f Chøng minh: MA BC (41) §Ò sè 30: đề thi học sinh giỏi (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: So s¸nh c¸c sè: A 1 2 250 a B =251+ b 2300 vµ 3200 C©u 2: T×m ba sè a, b, c biÕt a tØ lÖ thuËn víi vµ 11; b vµ c tØ lÖ nghÞch víi vµ vµ 5a - 3b + 2c = 164 C©u 3: TÝnh nhanh: 1 761 4 417 762 139 762 417.762 139 Câu Cho tam giác ACE cho B và E hai nửa mặt phẳng đối có bờ AC a Chøng minh tam gi¸c AED c©n b TÝnh sè ®o gãc ACD? (42)